] j@ /† < Ɠ §  © œ@ / : rƒ ½ ¨™ è · ( Ž É Ó' 6 £ x6   x õ † < Æ Ò, ^ ” K 621-749 (2004¸ 1 Z 4 14{ 9 ~ à Î6 £ §)

Mathematica õ u § T  “ Ó Þ” X ¢  ¹ Å M ] K ¡; c" e ß O Ë4 V  à U Ø< g; c 6 ” X ¢ Ž ì ŏ Œ

"

k * > Z Á ^∗ · ' å a : @¬ £

“

 ] j@ /† < Ɠ §  © œ@ / : rƒ  ½ ¨™ è · ( Ž É Ó' 6 £ x6   x õ † < Æ Ò, ^ ” K  621-749 (2004¸   1 Z 4 14{ 9  ~ à Î6 £ §)

„ 

 l † < Æ_   â > u  ë  H ] j\ " f • ¸^ ‰_  $ í | 9 `  ¦
 ? /  H  â > › ¸| (E

= 0) õ  Ä »„  ^ ‰_  $ í | 9 `  ¦
 

?

/  H  â > › ¸| (E

= E

, D

= D

) s  ×  æ כ ¹  . s \  ¦ S X ‰ “   l  0 AK   â > €  \ " f „  l  © œ_     o

\

 ¦ Mathematica\  ¦ s 6   x # Œ ³ ð‰ & ³ % i  . s M :, • ¸^ ‰³ ð€   x 9  Ä »„  ^ ‰  â > \ " f „  l  © œ`  ¦ ç ß –é ß –y  ½ ¨  l

 0 AK  „  l % ò  © œZ O (image method)`  ¦  6   x % i  . ‘ : r  7 Hë  H \ " f  H l ” > r \  à ºd ” `  ¦ : Ÿ x K  \ V8 £ ¤ 0 p xÙ þ ¡

~ 

 „  l  © œ    o\  ¦ r y Œ • o l  0 AK  Mathematica\  ¦ s 6   x # Œ
 ? /% 3  . ÷  rë ß – m   „  l  © œõ   8 Ô

 ¦ # Q Ä »„  ^ ‰ ? /\ " f „  l  © œ`  ¦ ç ß –é ß –y 
 ? /l  0 AK  „  l   0 A © œ(D)`  ¦ • ¸{ 9 † < Ê`  ¦ S X ‰ “   à º e ” % 3  .  



" f Mathematica\  ¦  6   x €   „   l † < Æ\ " f  â > u  ë  H ] jü < ° ú  s  # Q§ > t ë ß – ×  æ כ ¹ô  Ç ë  H ] j\  ¦  À ҍ  H X <

´

òõ & h { 9   כ Ü ¼– Ð l @ /ô  Ç .

PACS numbers: 01.40.Gm

Keywords: „  l % ò  © œZ O ,  â > › ¸| , Mathematica

I. " e  ] Ø

þ

j  H   r¨ 8 Š â s  & ñ ˜ Ð o r @ /– Ð  Ø Ô>  ”  ' Ÿ ÷ &# Q 

“

¦, s / B N >  l x Û  æ › ¸ ë ß –ƒ  H † d \     @ /† < Æ ? /_  Ó ü t o “ §

¹

¢

¤ s  d ” y Œ •ô  Ç • ¸„  `  ¦ ~ à Γ ¦e ”  . s  כ “ É r Ó ü t o    H † < Æë  H s  C

Ä ºl  # Q 9Ö  ¦ ÷  rë ß –  m  , Ó ü t o „  / B N  [ þ t_  2 [\ O s  } Œ •

ƒ 

y  # Q§ >    H Ò q ty Œ •\  † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o † < Æ`  ¦ l x  l  M : ë

 H s  .   " f, s  Qô  Ç ë  H ] j[ þ t`  ¦ @ /% ƒK 
l  0 AK " f



 H r @ /& h   © œS ! `  ¦ “ ¦ 9ô  Ç  € ª œô  Ç “ §Ã º† < Æ_ þ v~ ½ ÓZ O s  ƒ  ½ ¨

÷

&# Q4 R  ô  Ç [1,3]. Õ ª ô  Çt  ~ ½ ÓZ O s  Ó ü t o  † < Æ_ þ v‰ & ³ © œ\  ( Ž

É Ó' \  ¦ • ¸{ 9    H  כ s  [2]. 7 £ ¤, ×  æ כ ¹ô  Ç > h¥ Æ _  † < Æ_ þ v`  ¦ 0 AK " f s  : r y © œ_ – Ð = å Qè ­ q  כ s   m   Y O w p n # Q • ¸½ ¨ [

þ

t`  ¦  Ö ¸6   x # Œ r y Œ • o † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ > h¥ Æ `  ¦ ~ 1 >  s K  • ¸ 2

Ÿ

¤   H  כ s  .

„ 

 l † < Æ\ " f  â > u  ë  H ] j  H # Q§ > t ë ß – =  G s K K   ½ + É

×

 æ כ ¹ô  Ç ë  H ] j×  æ_  
s  . Ä ºo  Å Ò0 A_  Ó ü t| 9  @ / Òì  r“ É r

•

¸^ ‰
 Ä »„  ^ ‰– Ð s À Ò# Q4 R e ” “ ¦ • ¸^ ‰ü < Ä »„  ^ ‰  H Ó ü t o 

&

h Ü ¼– Ð s p   â > \  ¦ + þ A$ í “ ¦ e ”   H  © œS ! s Ù ¼– Ð s \  ¦ s  6

x # Œ  â > u  ë  H ] j\  ¦ s K ½ + É Ã º e ”  .

•

¸^ ‰_  : £ ¤f ç ×  æ,  © œ ×  æ כ ¹ô  Ç  כ “ É r  6 £ §_   â > › ¸| 

E t = 0 (1)

s

 . s  d ” “ É r • ¸^ ‰ ³ ð€  \ " f „  l  © œ_  ] X ‚  $ í ì  r (tan- gential component)“ É r ” > r F  t  · ú §  H    H  כ `  ¦ _ p ô  Ç

∗

E-mail: [email protected]



. ë ß –{ 9  „  l  © œ_  ] X ‚  $ í ì  r s  ” > r F ô  Ç €    Å Ò Â ú ª“ É r r  ç

ß –\  „   _  F C u  { 9 # Q
 & ñ & h “    © œI  ÷ &# Q „  l 



© œ_  ] X ‚  $ í ì  r“ É r 0 s ÷ &“ ¦ Z O ‚  $ í ì  rë ß – ” > r F  >   ) a  [4].

Ä

»„  ^ ‰_  : £ ¤f ç • ¸  â > › ¸| `  ¦ s 6   x # Œ
 è ­ q à º e ” 



. s M :, • ¸^ ‰ü <_  s & h “ É r Ä »„  ^ ‰_  : £ ¤f ç `  ¦ ¿ º> h_   â

>

› ¸| Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ”    H  כ s  . Õ ª ' Í   P :

E 1t = E 2t (2)

“

 X <, s  d ” “ É r Ä »„  ^ ‰  â > €  \ " f „  l  © œ_  ] X ‚  $ í ì  r“ É r

†

½ Ó © œ ƒ  5 Å qe ” `  ¦ _ p ô  Ç . ¿ º  P :  H „  l   0 A © œÜ ¼– Ð ³ ð

‰ &

³ ) a

D 1n = D 2n (3) s

 . s  d ” “ É r Ä »„  ^ ‰ ³ ð€  \  ³ ð€  „    ” > r F  t  · ú §  H



€   „  l   0 A © œ_  Z O ‚  $ í ì  r(normal component)“ É r ƒ   5

Å qe ” `  ¦ _ p ô  Ç . s  Qô  Ç  â > › ¸|  \ " f  â > u  ë  H ] j K

  `  ¦ 0 AK  „  l  © œ`  ¦ > í ß –   H  כ “ É r ~ 1 t  · ú § . s     â Ä

º É Ò 5 Å x(Poission) ¢ ¸  H  e  ¦  Û ¼(Laplace)~ ½ Ó& ñ d ” _  K 

\

 ¦ ½ ¨† < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ „  l  © œ`  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”   H X < s  כ “ É r / 'î  r{ 9  s

  m  . Õ ª Q
 „  l % ò  © œZ O `  ¦  6   x €   É Ò 5 Å x ¢ ¸  H



e  ¦  Û ¼~ ½ Ó& ñ d ” õ  ° ú  “ É r p ì  r~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Û  ¦ t  · ú §“ ¦• ¸  © œ

„ 

 \  ¦ • ¸{ 9 K " f Õ ªü < ° ú  “ É r   õ \  ¦ % 3 # Q è ­ q à º e ”  .

l

” > r_  Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ \ " f  H  â > u  ë  H ] j\  › ' a K  „  l % ò  © œ Z O

`  ¦  6   x # Œ „  l  © œ`  ¦ ½ ¨ % i  . Õ ªo “ ¦ s X O >  ½ ¨ô  Ç

-308-

„ 

l  © œ à ºd ” Ü ¼– Ðë ß –  â > €  \ " f_  „  l  © œ    o\  ¦ \ V8 £ ¤ 

%

i Ü ¼
, „  l  © œ    o_  & ñ $ í & h “   K $ 3 “ É r Ô  ¦ 0 p x  . ì ø Í

€ 

\  ‘ : r  7 Hë  H \ " f  H Mathematica\  ¦  6   x # Œ  â > €  \ 

"

f_  „  l  © œ    o õ & ñ `  ¦ ³ ð‰ & ³ % i Ü ¼ 9 Õ ªA á Ô\  ¦ : Ÿ x 

#

Œ & ñ $ í x 9  & ñ | ¾ Ó& h Ü ¼– Ð K $ 3 s  0 p x > 
 ? /% 3  . s 

\

 ¦ : Ÿ x K " f d ” (1)_  • ¸^ ‰_  $ í | 9 (E t = 0) õ  d ” (2), (3)_  Ä

»„  ^ ‰_  $ í | 9 (E _1t = E 2t , D 1n = D 2n )`  ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ” 

%

3  . ÷  rë ß –  m   " f– Ð   É r Ä »„  Ö  ¦`  ¦ ”   ¿ º Ä »„  ^ ‰ _

  â > ë  H ] j\  ¦ K $ 3 † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ E © œõ  D © œ_  s & h `  ¦ ³ ð

‰ &

³½ + É Ã º e ” % 3  . ¢ ¸ô  Ç „  l   0 A © œ D\  ¦ • ¸{ 9  €   ”  / B N \ 

"

f „   \  _ ô  Ç „  l  © œ`  ¦
 ? /1 p w s , Ó ü t| 9  ? /\ " f• ¸ „  

\  _ ô  Ç „  l  © œ`  ¦ D © œÜ ¼– Ð ç ß –é ß –y 
 è ­ q à º e ” 6 £ §`  ¦ S X

‰ “  ½ + É Ã º e ” % 3  .

‘

: r  7 Hë  H \ " f  H „   l † < Æ_   â > u  ë  H ] j\  ¦
 ? /  H  

€

ª œô  Ç \ Vr \  ¦ ˜ Ðs “ ¦ s \  ¦ Mathematica\  ¦  6   x # Œ r y Œ •

 o   H † < Æ_ þ v~ ½ ÓZ O `  ¦ ] jr  % i  .   " f „   l † < Æ y © œ_  r

ç ß –\  # Q 9î  r  â > u  ë  H ] j\  ¦ † < ÆÒ q t[ þ t \ >  ~ 1 >  „  ² ú ˜ 



 H X < ´ òõ & h { 9   כ Ü ¼– Ð l @ /ô  Ç .

‘

: r  7 Hë  H \ " f  6   xô  Ç Å Òכ ¹ô  Ç Mathematica" î § î # Q  H   6

£

§ õ  ° ú   . „   x 9 • ¸ ì  r Ÿ í\  ¦ Õ ªo l  0 AK " f  H " î § î # Q pPloty, 1 p x ( J $ ™[ > `  ¦ Õ ªo l  0 AK " f  H pContourPloty,

„ 

l  © œ`  ¦ Õ ªo l  0 AK " f  H pPlotGradientFieldy, pPlot VectorFeildy1 p x`  ¦  6   x % i  .

II. X ì ȏ ¹ Å ; c 8 ý” X ¢ y ¢= k ç g Ëì Å; c" e  ¹ ÅM X ê s8 ý S

P c l× D

Fig. 1-(a) ü < ° ú  s  Á ºô  Çy  V , “ É r • ¸^ ‰ ¨ î €  õ  & h „    q  ” > r F    H  â Ä º, Á ºô  Ç • ¸^ ‰¨ î €  _  ³ ð€  “   x = 0\ " f (

J $ ™[ > “ É r 0 s  . ë ß –{ 9  Á ºô  Ç • ¸^ ‰¨ î €  s  ” > r F  t  · ú §  H  

€ 

  Ä »/ B Nç ß –\ " f & h „   \  _ ô  Ç „  l  ( J $ ™[ > “ É r V q (x, y, z) = q

4π 0 r 1

= q

4π 0 p(x − d) ² + y ² + z ² (4)

–

Ð Å Ò# Q”   . Õ ª Q
 Fig. 1-(b)\ " fü < ° ú  s  Á ºô  Ç • ¸^ ‰

¨ î

€    s \  & h „    q Z  ~ # Œ4 R e ”  €   ³ ð€  \  ³ ð€  

„ 

  σ(0, y ⁰ , z ⁰ )  Ä »• ¸  ) a  . s X O >  Ä »• ¸  ) a Á ºô  Ç • ¸^ ‰¨ î

€ 

 0 A_  „   [ þ t“ É r • ¸^ ‰ Z  ~ # Œ4 R e ” ~   x = 0“   0 Au \ 

"

f −dë ß –
p u b  # Q”   / B M \  −q_  „   | ¾ Ó`  ¦ t   H % ò  © œ„   

–

Ð @ /u ½ + É Ã º e ” “ ¦, & h „    q  H % ò  © œ„    −qü < † < Êa  Š © œ F

G  (dipole)% i ½ + É`  ¦ ô  Ç [6-8].   " f s  Š © œF G  \  _ ô  Ç

„ 

l  ( J $ ™[ > “ É r

V (x, y, z) = q 4π 0

√ r ² + d ² − 2rd cos θ

− q

4π ₀ √

r ² + d ² + 2rd cos θ (5)

Fig. 1. (a) A point charge +q above an infinite plane con- ductor. (b) Distribution of induced charges on a plane conductor. (c) Electric field lines(99K) from a pair of op- posite charges. (d) Electric field lines in the observation region of x ≥ 0.

s

 . s   â Ä º „  l  © œ“ É r E = −∇V _  › ' a > d ” `  ¦ : Ÿ x K  ½ ¨

½ +

É Ã º e ”  . Fig. 1-(c)  H Š © œF G  \  _ ô  Ç „  l § 4 ‚  `  ¦
 

 · p . Õ ª Q
 % ò  © œ„    ” > r F    H % ò % i “   x < 0“   % ò

%

i “ É r z  ´] j– Ð › ' a8 £ ¤`  ¦ ½ + É Ã º \ O   H % ò % i s  9 Š © œF G  \  _  ô 

Ç „  l § 4 ‚  “ É r x ≥ 0_  % ò % i \  ” > r F    H › ' a8 £ ¤   › ' a8 £ ¤ Ù þ

¡`  ¦ M :, Fig. 1-(d)ü < ° ú  s 
 è ß – . l ” > r_  „   l † < Æ

\

" f  H d ” (5)ü < ° ú  s  > í ß – ) a à ºd ” [ þ t`  ¦ : Ÿ x K  ( J $ ™[ >  ì  r Ÿ í ü

< „  l  © œ_     o\  ¦ \ V8 £ ¤ % i  . Õ ª Q
 Mathemetica\  ¦



6   x €   Fig. 2ü < ° ú  s  f ” › ' a& h Ü ¼– Ð „  l  © œ_     o\  ¦ Õ

ªA á Ԗ Ð
 è ­ q à º e ”  . Fig. 2  H d ” (5)\ " f ½ ¨ô  Ç (  J $

™[ > `  ¦ q/4π 0 d – Ð ½ ©   o “ ¦, Mathematica_  " î § î # Q pPlotGradientFieldy\  ¦  6   x # Œ Û ¼º ú ˜  ° ú כ“   d ” (5)\  Õ ª



n ƒ  à Ô\  ¦ 2 [ # Œ 7 ˜' Õ ªA á Ԗ Ð
  · p  כ s  [5]. s 

\

 ¦ • ¸^ ‰  â >  \ O   H  â Ä º_  ( J $ ™[ > “   d ” (4)\  ¦ s 6   x 

#

Œ „  l  © œ Õ ªA á Ô\  ¦ Õ ª 2 ; כ õ  q “ § # Œ
 ? /% 3 Ü ¼ 9,

Fig. 2. (a) Contour for equipotentials and electric vector fields a charge in the presence of conductor at x = 0. (b) Contour and electric vector fields for a point charge in the absence of condutor at x = 0. Equipotential lines takes values V 1 = 1.5 × 10 ⁻⁵ , V 2 = 1.0 × 10 ⁻⁵ , V 3 = 0.5 × 10 ⁻⁵ , V ₄ = 0.2 × 10 ⁻⁵ from inner circle to outer ones successively.

s

M :, Mathematica_  " î § î # Q pContourPloty`  ¦  6   x # Œ 1

p

x ( J $ ™[ >  Õ ªA á Ôü < ° ú  s 
 ? /% 3  .

Fig. 2-(a)  H • ¸^ ‰  â >  e ”   H  â Ä º, ( J $ ™[ >  ß ¼l  ° ú  

“ É

r & h `  ¦ ƒ    ô  Ç 1 p x “ ¦‚   Õ ªA á Ôü < „  l  7 ˜'  © œ Õ ªA á Ôs  9, Fig. 2-(b)  H • ¸^ ‰  â >  ” > r F  t  · ú §  H  â Ä º 1 p x “ ¦

‚ 

 Õ ªA á Ôü < „  l  7 ˜'  © œ Õ ªA á Ô\  ¦ ° ú  s 
 ? /% 3  . & h 

„ 

  0 Au    H x = 1`  ¦ ×  æd ” Ü ¼– Ð " é ¶+ þ AI – Ð
 
  H Õ

ªA á Ô 1 p x “ ¦‚   Õ ªA á Ôs  9 x = 1`  ¦ ×  æd ” Ü ¼– Ð ~ ½ Ó + þ A Ü

¼– Ð . á <# Q
  H + þ AI _   o¶ ú ˜³ ð „  l  7 ˜'  © œ Õ ªA á Ôs 



. Ä º‚   ¿ ºt   â Ä º 1 p x “ ¦‚   Õ ªA á Ô\  ¦ q “ §K  ˜ Ð . Fig.

2-(a)_   â Ä º x = 0“   t & h \  • ¸^ ‰¨ î €  s  ” > r F  Ù ¼– Ð s  0 Au \ " f_  ( J $ ™[ > “ É r V = 0 s  9, 1 p x “ ¦‚   Õ ªA á Ô & h & h  V = 0 \    H  † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . ¢ ¸ô  Ç ° ú  “ É r ß ¼l \  ¦ t  9 " f– Ð   É r  Ҡ ñ_  „    ì ø Í@ /A á ¤ \  % ò  © œ„   – Ð @ /u 

÷

&% 3 l  M :ë  H \  & h „   ü <_   © œ  ñ Œ •6   x Ü ¼– Ð Š © œF G   ½ ¨› ¸

÷

&# Q & h „    0 Au ô  Ç (x = 1, y = 0)`  ¦ l ï  r Ü ¼– Ð q @ /

Fig. 3. (a) Variation of electric fields near conducting surface. (b) Variation of electric fields without conduct- ing surface at x = 0.

g A“   ½ ¨› ¸\  ¦ ”   . s \  ì ø ÍK   â >  \ O   H  â Ä º_  (  J $

™[ > `  ¦ 1 p x “ ¦‚  Ü ¼– Ð
  · p Fig. 2-(b)\ " f x = 0“   t & h  _  ( J $ ™[ > “ É r V 6= 0s  9 & h „   \  ¦ ] jü @ô  Ç   É r ü @ ҁ Œ •6   x s

 \ O Ü ¼Ù ¼– Ð & h „   \ " f  o  Y O # Q| 9 à º2 Ÿ ¤ ( J $ ™[ >  ° ú כ s

 ×  ¦ # Q× ¼  H 1 l xd ” " é ¶ + þ AI \  ¦
  · p .



6 £ §“ É r „  l  7 ˜'  © œ Õ ªA á Ô\  ¦ q “ §K  ˜ Ð . ¿ º t   â Ä

º — ¸¿ º „  l  7 ˜'  © œ“ É r & h „   \  ¦ ×  æd ” Ü ¼– Ð  ¾ ú  Ü ¼– Ð . á <

#

Q
  H + þ AI \  ¦ { “ ¦ e ” Ü ¼
, x = 0 Â Ò   H \ " f_  „  l  7 ˜'  © œ“ É r " f– Ð   É r + þ AI \  ¦ ”   . Fig. 2\ " f & h ‚  Â Ò ì

 r`  ¦ S X ‰ @ /K " f
 ? /€   Fig. 3õ  ° ú   .

Fig. 3-(a)_  „  l  7 ˜'  © œ Õ ªA á Ô\ " f  H x = 0“   t & h 

\

" f „  l  © œs  à ºf ” Ü ¼– Ð { 9  † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . 7 £ ¤, Fig.

2 \ " f „  l  © œ_  x$ í ì  r“   E _x   H • ¸^ ‰ ¨ î €  \  Z O ‚   ~ ½ ӆ ¾ Ó_ 

„ 

l  © œ $ í ì  r E n s  ÷ &“ ¦ • ¸^ ‰  â > \ " f E n 6= 0s  9, „   l

 © œ_  y$ í ì  r“   E y “   • ¸^ ‰¨ î €  \  ] X ‚  ~ ½ ӆ ¾ Ó_  „  l  © œ $ í ì

 r“ É r E t  ÷ & 9, • ¸^ ‰  â > \ " f E t = 0 s    H • ¸^ ‰_  $ í

| 9

`  ¦ ë ß –7 á ¤† < Ê`  ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”  . s \  ì ø ÍK  Fig. 3-(b)_ 

&

h

„   \  _ ô  Ç „  l  © œ“ É r ü @ Òü <_   © œ  ñ Œ •6   x s  \ O Ü ¼Ù ¼

–

Ð x = 0“   t & h \ " f „  l  © œ_  $ í ì  r s  E n = E _x 6= 0, E t = E y 6= 0e ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

III. X ì ȏ ¹ Å ; c 8 ý” X ¢ y ¢= k Œ ƒ » ì Å; c" e ( a • Ö כ  ÇÊ Ý

 ¹

ÅM X ê s8 ý S P c l× D

II] X \ " f  H Á ºô  Ç • ¸^ ‰¨ î €  _   â > \ " f & h „   \  _ ô  Ç

„ 

l  © œ    o\  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ѐ Œ ¤Ü ¼ 9 III] X \ " f  H • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  

\

" f ü @Â Ò & h „   \  _ ô  Ç „  l  © œ    o\  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ð ’ x . Á º ô 

Ç • ¸^ ‰¨ î €  _   â Ä º & h „   \  _ K  • ¸^ ‰³ ð€  \  Ä »• ¸÷ &



 H (−)„     H Á ºô  Çô  Ç • ¸^ ‰ / B Nç ß –_  # Qn \ " f Ä »• ¸÷ &# Q M

® o  H t  · ú ˜ à º \ O Ü ¼ 9, s X O >  Ä »• ¸  ) a ( −)„   \  ¦ % ò  © œ„  

Fig. 4. A point charge above a grounded conducting sphere.

(−q)– Ð @ /u ô  Ç .   " f, „   | ¾ Ó ˜ Д > rZ O g Ë :`  ¦ “ ¦ 9½ + É Ã

º \ O  . Õ ª Q
 • ¸^ ‰½ ¨ü < ° ú  “ É r Ä »ô  Çô  Ç / B Nç ß –`  ¦ t   H • ¸

^

‰  H ° ú  “ É r € ª œ_  (+),(−)„    † ½ Ó © œ ” > r F   9 „  l & h Ü ¼

–

Ð ×  æ$ í s  ÷ & 9 „     H ü @Â Ò & h „   \  _ K  • ¸^ ‰³ ð€  \ 

"

f
* '# Q" f ì  r Ÿ í  ) a  .   " f s X O > 
¾ º# Q”   „   \  ¦ y

Œ

•y Œ •_    É r % ò  © œ„   – Ð @ /u  Ù ¼– Ð 8 ú x„   | ¾ ӓ É r ˜ Д > r ) a



. „   | ¾ Ó ˜ Д > r_  Z O g Ë :_  ×  æ כ ¹$ í `  ¦ “ ¦ 9 # Œ  6 £ §_  ¿ º

t   â Ä º– Ð
¾ º# Q" f ¶ ú ˜( R˜ Ð .

1. ± n ÉU c Ü R y ¢= k Œ  ü8 ý X ì ȏ ¹ Å (V (a, θ = π/2, φ) = 0)

Fig. 4 ü < ° ú  s  ì ø Í â a“   • ¸^ ‰½ ¨\ " f  o  dë ß –
p u b  # Q

”

  0 Au \  & h „    q ” > r F ½ + É  â Ä º\  ¦ Ò q ty Œ •K  ˜ Ð .

+q“   & h „   \  _ K  • ¸^ ‰½ ¨_  ] X t   ) a  ⠖ Ð\  ¦ : Ÿ x K  ( −)„    s 1 l x # Œ • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  \   H (−)„    Ä »• ¸

| ¨

c  כ s  9, s X O >  Ä »• ¸  ) a ³ ð€  „   \  ¦ @ /’  K " f • ¸^ ‰½ ¨

?

/ Ò_  r 0 0 Au \  % ò  © œ„    q ⁰ `  ¦ & ñ ½ + É Ã º e ”  [6-8].  



" f ¿ º & h „    q, q ⁰ \  _ ô  Ç „  l  ( J $ ™[ > “ É r V (r, π/2, φ) = 1

4π ₀ ( q r ₁ + q ⁰

r ₂ ) (6)

Fig. 5. Eletric fields around the grounded conducting sphere(a = 1, d = 3).

s

 . # Œl " f r 1 = p

r ² + d ² − 2rd cos φ, r 2 =

q

r ² + r ² ₀ − 2rr 0 cos φ (7) s

 . s M :, % ò  © œ„   _  ß ¼l  q ⁰ õ  0 Au  r ⁰ \  ¦   & ñ l  0 A K

" f ] X t   ) a • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  (r = a)\ " f V = 0s    H  â > 

›

¸| `  ¦ & h 6   x €   r <sub>0</sub> = a <sup>2</sup> /d ü < q <sup>0</sup> = −aq/d\  ¦ % 3 `  ¦ à º e ” 

“

¦, q ⁰ “ É r & h „   \  _ K  ] X t   ) a • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  \  Ä »• ¸  ) a 8 ú x

„ 

 | ¾ Ós  .   " f ( J $ ™[ > “ É r V (r, π/2, φ) = 1

4π 0

( q r 1 − aq

r 2 d ) (8) s

  ) a  . E = −∇V _  › ' a > \  ¦ s 6   x # Œ Mathematica\  ¦



6   x # Œ • ¸^ ‰½ ¨ Å Ò0 A_  „  l  © œ`  ¦ Õ ªA á Ԗ Ð
 ? /€   Fig. 5 ü < ° ú   .

 â

> €  “   • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  \ " f „  l  © œ_  ~ ½ ӆ ¾ Ós  • ¸^ ‰½ ¨

×

 æd ” `  ¦ † ¾ Ó “ ¦ e ” 6 £ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s   H • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  \  ( −)„    Ä »• ¸÷ &% 3 l  M :ë  H s  9, • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  \ " f „  l 



© œ_  ] X ‚  $ í ì  r s  0s    H • ¸^ ‰_  $ í | 9 `  ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ” 



. • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  \ " f „  l  © œ“ É r Z O ‚  $ í ì  rë ß – ” > r F  Ù ¼– Ð

„ 

l  © œ_  Z O ‚  $ í ì  r“   E r “ É r E _r = q

4π 0

[ r − d cos φ (r ² + d ² − 2rd cos φ) ^3/2

− a {r − ( ^a _d

) cos φ }

d {r ² + ( ^a _d

) ² − 2( ^a _d

)r cos φ } ^3/2 ] (9) s

 9, • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  \  ì  r Ÿ í   H „   x 9 • ¸  H σ(a, π/2, φ) =

 ₀ · E r (a, π/2, φ) σ(a, π/2, φ) = q

4πa {− d ² − a ²

(a ² + d ² − 2ad cos φ) ^3/2 } (10) s

 . Fig. 6“ É r • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  _  „   x 9 • ¸\  ¦ y Œ • φ\    

  · p Õ ªA á Ôs  .

Fig. 6. Shape of charge distribution on the grounded

conducting sphere(a = 1, d = 3).

Fig. 6`  ¦ ¶ ú ˜( R‘ : r   õ , • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  “ É r 6 £ §_  „   ë ß – ì  r

Ÿ

í “ ¦ e ” 6 £ §`  ¦ · ú ˜Ã º e ” “ ¦, s   H d ” (10)_  & h ì  r`  ¦ : Ÿ x K " f Ä

»• ¸  ) a 8 ú x„     H q ⁰ = −qe ” `  ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”  . s  „    [

þ

t“ É r — ¸¿ º ˆ ½ Ó\ " f f  Ë  Q[ þ t # Q“ : r  כ [ þ t s  9, • ¸^ ‰½ ¨_  „   

|

¾ Ó ˜ Д > rZ O g Ë :`  ¦ & h 6   x r ~  ´ à º \ O   H  â Ä ºs  .

2. w Š ô m Éc Ü R y ¢= k Œ  ü8 ý X ì ȏ ¹ Å (V (a, θ = π/2, φ) 6=

0)

•

¸^ ‰½ ¨ 0 A\ " f „   | ¾ Ó ˜ Д > rZ O g Ë :(×  æ$ í “   • ¸^ ‰½ ¨ s Ù ¼

–

Ð 8 ú x„   | ¾ ӓ É r 0e ” )`  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ð . “ ¦w n  ) a • ¸^ ‰½ ¨  s 

\

 +q_  & h „   \  ¦ é  H  €   Fig. 7õ  ° ú  s  & h „   ü <   î

 r • ¸^ ‰½ ¨€  \   H ( −)„    Ä »• ¸÷ &“ ¦, & h „   ü < Y O o  b  

#

Q”   • ¸^ ‰½ ¨€  \   H (+)„    Ä »• ¸ | ¨ c  כ s  .

Fig. 7 \ " f • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  \  Ä »• ¸  ) a ( −)„   \  ¦ • ¸^ ‰½ ¨

?

/_  " é ¶& h \ " f r 0 ë ß –
p u b  # Q”   / B M \  ” > r F    H % ò  © œ„    q ⁰ Ü ¼– Ð & ñ “ ¦, ³ ð€  \  Ä »• ¸  ) a (+)„   \  ¦ % i r  • ¸^ ‰½ ¨

?

/_  " é ¶& h \  ” > r F    H % ò  © œ„    q ⁰⁰ Ü ¼– Ð & ñ ô  Ç (Fig. 4

‚

à Л ¸). Õ ª Q€   • ¸^ ‰½ ¨  ¾ ú   › ' a8 £ ¤& h \ " f_  „  l  ( J $ ™[ > “ É r V (r, π/2, φ) = 1

4π 0

[ q r 1

+ q ⁰ r 2

+ q ⁰⁰

r ] (11) s

 . s M :, q ⁰ , q ⁰⁰ `  ¦ ½ ¨ l  0 AK " f • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  \ " f d ”

(11)_  Ä º   ¿ º † ½ Ó_  ½ + ˓ É r · ú ¡_  ] X t   ) a • ¸^ ‰½ ¨_   â Ä º ü < ° ú  s  0Ü ¼– Ð כ ¹½ ¨ô  Ç . Õ ª Q€   q ⁰ = aq/d  ÷ &“ ¦, " é ¶& h 

\

 Z  ~“   q ⁰⁰ \  _ K  • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  _  ( J $ ™[ > “ É r q ⁰⁰ /4π 0 a s  9 s  כ “ É r  © œÃ º° ú כ`  ¦ t   H X <  ¾ ú  \ " f ˜ Ѐ   1/r\  q  Y

V Ù ¼– Ð • ¸^ ‰½ ¨_  ³ ð€  \  { 9 & ñ ô  Ç ( J $ ™[ > `  ¦ Ä »t ô  Ç .

q ⁰⁰ “ É r „   | ¾ Ó ˜ Д > r Z O g Ë :\  _ K  q ⁰ õ   H ß ¼l   H ° ú  Ü ¼
 ì

ø Í@ /  Ҡ ñ\  ¦ t   H ° ú כÜ ¼– Ð & ñ ô  Ç . Õ ª QÙ ¼– Ð q ⁰⁰ = aq/d – Ð ¸ ú šÜ ¼€   ( J $ ™[ > “ É r q/4π 0 d  ÷ &# Q 1 p x ( J $ ™[ > `  ¦ Ä » t

ô  Ç .   " f z  ´] j– Ð ” > r F    H „    qü < • ¸^ ‰½ ¨ ? / Ò

Fig. 7. Qualitative charge distribution on the conducting sphere in the presence of a point charge q.

\

 & ñ  ) a ¿ º> h_  % ò  © œ„    q ⁰ , q ⁰⁰ \  _ ô  Ç • ¸^ ‰½ ¨ µ 1 Ú_  › ' a 8

£

¤& h \ " f_  ( J $ ™[ > “ É r V (r, π/2, φ) = q

4π ₀ [ 1

p r ² + d ² − 2rd cos φ

− a/d

q

r ² + ( ^a _d

) ² − 2( ^a _d

) cos φ + a

rd ](12) s

 . s \  ¦ s 6   x # Œ • ¸^ ‰½ ¨ Å Ò0 A_  „  l  © œ ì  r Ÿ í\  ¦ Õ ªA  á

Ԗ Ð
 ? /€   Fig. 8õ  ° ú   .

&

h

„   ü <  î  r • ¸^ ‰€  \  Ä »• ¸  ) a ( −)„   \  _ K  „   l

 © œ_  ~ ½ ӆ ¾ Ós  • ¸^ ‰½ ¨ ×  æd ” `  ¦ † ¾ Ó  9, ì ø Í@ /A á ¤ €  \   H Ä »

•

¸  ) a (+)„   \  _ K  „  l  © œ_  ~ ½ ӆ ¾ Ós   ¾ ú  A á ¤`  ¦ † ¾ Ó “ ¦ e ”

6 £ §`  ¦ · ú ˜Ã º e ”  . ¢ ¸ô  Ç, „  l  © œ_  Z O ‚  $ í ì  r“ É r E _r = q

4π ₀ [ r − d cos φ (r ² + d ² − 2rd cos φ) ^3/2

− a {r − ( ^a _d

) cos φ }

d {r ² + ( ^a _d

) ² − 2( ^a _d

)r cos φ } ^3/2 + a rd ² ] (13)

–

Ð Å Ò# Qt Ù ¼– Ð, • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€   „   x 9 • ¸  H σ (a, π/2, φ)

= q

4πa {− d ² − a ²

(a ² + d ² − 2ad cos φ) ^3/2 + 1

d } (14) s

 . Fig. 9  H • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  _  „   x 9 • ¸\  ¦ y Œ • φ\    É r Õ

ªA á Ԗ Ð
  · p  כ s  .

•

¸^ ‰½ ¨ ] X t ÷ &# Q e ”   H  â Ä º_  „   ì  r Ÿ í\  ¦
  · p Fig. 6 õ   H ² ú ˜o  Fig. 9_    õ , • ¸^ ‰½ ¨ ³ ð€  \  (+)„    ü < (−)„    ì  r Ÿ í “ ¦ e ” 6 £ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . ¢ ¸ô  Ç d ” (14)\ 

"

f a\  ¦ { 9 & ñ >  ¿ º“ ¦ θ, φ\  @ /K  & h ì  r €   0° ú כ`  ¦ t  Ù

¼– Ð • ¸^ ‰½ ¨\ " f „   | ¾ Ә Д > r_  Z O g Ë :s  $ í w n † < Ê`  ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã

º e ” % 3  .

Fig. 8. Electric fields outside the conducting sphere in

the presence of a point charge q(a = 1, d = 3).

Fig. 9. Shape of charge distribution on the surface of a conducting sphere(a = 1, d = 3).

IV. – ¥ ¹ Å= k ß O Ë4  ì Å; c" e8 ý  ¹ ÅM X ê s8 ý S P c l× D

Ä

»„  ^ ‰_   â > u  ë  H ] j\  ¦ K   ½ + É M : · ú ¡] X _  • ¸^ ‰\ " f



À Ò% 3 ~    כ õ _  s & h s  ¿ ºt  e ”  .

' Í

P :, ¿ º Ä »„  ^ ‰  s _   â > €  \  d ” (2),(3)\ " f
 



· p ¿ º> h_   â > › ¸| (E _1t = E _2t , D _1n = D _2n : â > €  \  ] X 

‚ 

~ ½ ӆ ¾ ӓ   E © œ_  $ í ì  r“ É r ƒ  5 Å q s  9,  â > €  \  Z O ‚  ~ ½ ӆ ¾ Ó

“

  D © œ_  $ í ì  r“ É r ƒ  5 Å q)`  ¦ & h 6   x K   ô  Ç . # Œl " f D © œ`  ¦

•

¸{ 9 ô  Ç s Ä »  H Ä »„  ^ ‰\ " f E © œ_  ] X ‚  $ í ì  r“ É r † ½ Ó © œ ƒ   5

Å

q s  . Õ ª Q
 Z O ‚  $ í ì  r“ É r  â > €  \ " f Ô  ¦ƒ  5 Å q(E 1n 6=

E 2n ) s  9 s  כ “ É r  â > › ¸| Ü ¼– Ð  6   x l \   Ò& h ½ + Ë  .

Õ ª Q


E _1n : E _2n = 1

 1

: 1

 2

(15) e ”

`  ¦ · ú ˜“ ¦, D = E\  ¦ • ¸{ 9  # Œ d ” (15)\  ¦  â > › ¸| “   d ”

(13)Ü ¼– Ð
 ? /% 3  .

Ñ ü

t P :, › ' a8 £ ¤& h _  0 Au \  ¦ “ ¦ 9K   ô  Ç   H & h s  . Ä »„   Ö

 ¦  1 ,  2 “   ¿ º Ä »„  ^ ‰ ] X  “ ¦ e ” “ ¦ Ä »„  Ö  ¦  1 “   Ä »„  ^ ‰

?

/\   â > €   O − O ⁰ õ   o  dë ß –
p u b  # Q”   / B M \  & h „    q  ” > r F ô  Ç . s  â Ä º % ò  © œZ O `  ¦  6   x # Œ & h „   \  _ ô  Ç

 â

> €  \ " f_  „  l  © œ    o\  ¦
 ? / ˜ Ѐ Œ ¤ . Ä º‚   Fig.

10 \ " f
  · p  כ % ƒ! 3  › ' a8 £ ¤& h \     ¿ ºt   â Ä º– Ð


¾

º# Q Ò q ty Œ •½ + É Ã º e ”  [5].

' Í

P :, Fig. 10-(a)\ " fü < ° ú  s  › ' a8 £ ¤& h s  Ä »„  Ö  ¦  1 “  

 â

> €  _  š ¸ É rA á ¤ % ò % i \  ” > r F ô  Ç €   › ' a8 £ ¤% ò % i “ É r  â > €   _  š ¸ É rA á ¤ \ ë ß – & h 6   x s   ) a  .   " f „  / B Nç ß –_  Ä »„  Ö  ¦“ É r

 1 Ü ¼– Ð ^  ¦ à º e ” “ ¦, Ä »„  Ö  ¦ s    É r ¿ º Ä »„  ^ ‰_   â > €   _

  © œ  ñ Œ •6   x`  ¦ % ò  © œ„    q ⁰ – Ð @ /u ½ + É Ã º e ”  . Ñ ü t P :, Fig.

10-(b) \ " fü < ° ú  s  › ' a8 £ ¤& h s  Ä »„  Ö  ¦  2 “    â > €  _  ¢ , aA á ¤

% ò

% i \  ” > r F ô  Ç €   „  / B Nç ß –_  Ä »„  Ö  ¦“ É r  2 – Ð ^  ¦ à º e ” “ ¦,

 â

> €  _  š ¸ É rA á ¤ \  ” > r F    H „    qü <  â > €  _   © œ  ñ Œ • 6

x Ü ¼– Ð D h– Ðî  r % ò  © œ„    q ⁰⁰ `  ¦ & ñ ½ + É Ã º e ”  .  â > › ¸|  E 1t = E 2t , D 1n = D 2n \  ¦ & h 6   x €   q ⁰ , q ⁰⁰ “ É r

q ⁰ =  1 −  2

 ₁ +  ₂ q = 1 − k

1 + k q, (16)

Fig. 10. (a) Observation point is located in the right hand side with  ₁ . (b) Observation point is located in the left hand side with  ₂ .

q ⁰⁰ = 2 ₂

 1 +  2

q = 2k

1 + k q (17) s

 . # Œl " f k =  2 / ₁ s  . d ” (16), (17)\ " f ½ ¨ô  Ç q ⁰ , q ⁰⁰ `  ¦ s 6   x # Œ  ¹ ,  2 “   Ä »„  ^ ‰ ? /_  e ” _ _  0 Au \ " f

&

h

„    q\  _ ô  Ç „  l  © œ_  x$ í ì  r õ  y$ í ì  r`  ¦ f ” “ §ý a³ ð> 

–

Ð
 ? /€  

E x = −(a − x)q

4π 1 {(a − x) ² + y ² } ^3/2 , (18)

E y = yq

4π 1 {(a − x) ² + y ² } ^3/2 (19) s

“ ¦, & h „    q ⁰ \  _ ô  Ç „  l  © œ_  x$ í ì  r õ  y$ í ì  r“ É r E _x ⁰ = (a + x)q ⁰

4π 1 {(a + x) ² + y ² } ^3/2 , (20)

E _y ⁰ = yq ⁰

4π 1 {(a + x) ² + y ² } ^3/2 (21) s

 .   " f Ä »„  Ö  ¦  1 “   Ä »„  ^ ‰ ? /\ " f_  „  l  © œ_  x, y$ í ì  r“ É r d ” (18),(20) Õ ªo “ ¦ d ” (19),(21)_  ½ + ˓  

E _1x = E _x + E _x ⁰ , (22)

E 1y = E y + E _y ⁰ (23)

–

Ð Å Ò# Qt  9, ì ø ̀  \   â > €   ¢ , aA á ¤ \  0 Au    H Ä »„  Ö  ¦

 ₂ “   Ä »„  ^ ‰ ? /_  „  l  © œ E ⁰⁰ _  x, y$ í ì  r“ É r % ò  © œ„    q ⁰⁰ \  _

ô  Ç „  l  © œ

E _x ⁰⁰ = −(a − x)q ⁰⁰

4π 2 {(a − x) ² + y ² } ^3/2 , (24)

E _y ⁰⁰ = yq ⁰⁰

4π 2 {(a − x) ² + y ² } ^3/2 (25)

Fig. 11. Variation of electric fields near the boudary(a = 1).

Fig. 12. (a) Negligible difference between tangential com- ponents of electric fields (E 1t − E 2t ). (b) Difference be- tween normal components of electric fields (E 1n − E 2n ).

(c) Negligible difference between normal components of electric density fields (D 1n − D 2n ) .

–

Ð Å Ò# Q”   .   " f  1 ,  ₂ “   Ä »„  ^ ‰_  y Œ • % ò % i \ " f_  „   l

 7 ˜'  © œ“ É r d ” (22)∼ (25)\  _ K 
 è ß – .

Fig. 11“ É r d ” (22) ∼ (25)_  „  l  © œ`  ¦ 7 ˜'  Õ ªA á Ԗ Ð
 

 · p  כ s  . s M :, k = 5– Ð ¿ º% 3  . Õ ª Q
, Fig. 11\  ¦ :

Ÿ

x K " f  H Ä »„  ^ ‰  â > €  \ " f_   â > › ¸| “   E 1t = E 2t , D 1n = D 2n \  ¦ S X ‰ “   l  # Q 9Ä ºÙ ¼– Ð x = 0“   t & h \ " f

„ 

l  © œ_  Z O ‚  , ] X ‚  $ í ì  r`  ¦
 ? /  H d ” (22)∼(25)_  y Œ •

$ í

ì  rZ >  \  ¦ Õ ªA á Ԗ Ð
 ? /Ù ¼– Ð  â > › ¸| `  ¦ S X ‰ “   ½ + É Ã

º e ”  .

Fig. 12-(a) \ " f  â > €  \ " f „  l  © œ_  ] X ‚  $ í ì  r_  

 10 ⁻¹⁷ _   Å Ò & h “ É r # 3 0 A î ß –\  e ” Ü ¼Ù ¼– Ð  â > €  \ " f_ 

°

ú כs  ƒ  5 Å q s   “ ¦ ½ + É Ã º e ”  . Fig. 12-(b)\ " f  H „  l  © œ

_  à ºf ” $ í ì  r_   Õ ª ° ú כs  −1.2 ∼ −0.3 t  ì  r Ÿ í “ ¦ e ”

Ü ¼Ù ¼– Ð „  l  © œ_  à ºf ” $ í ì  r s  Ô  ¦ƒ  5 Å qe ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

ì

ø ̀  \  „  l  © œ_  à ºf ” $ í ì  r \   ° ú כ`  ¦ Y  L K " f
  · p „  l 

 

0 A © œ_   â Ä º, Fig. 12-(c)ü < ° ú  s  ] X ‚  $ í ì  r_     Å

Ò & h “ É r # 3 0 A î ß –\  e ” Ü ¼Ù ¼– Ð  â > €  \ " f_  ° ú כs  ƒ  5 Å q s 



 “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .   " f, Ä »„  ^ ‰_  : £ ¤f ç “   E _1t = E _2t , D _1n = D _2n \  ¦ à ºu & h Ü ¼– Ð S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”  .

V. 8 û” ¼  ¹ ÅM X ê s 8 ý – ¥ ¹ Å= k Œ ß O Ë4  ì Å; c" e8 ý

 ¹

ÅM X ê sÊ Ý  ¹ ÅM 
ì Å üX ê s8 ý S P c l× D

Ä

»„  ^ ‰_   â > › ¸| `  ¦ ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð S X ‰ “   l  0 AK  ç  H{ 9  ô 

Ç ü @Â Ò „  l  © œs  Å Ò# Q| 9 M :, Õ ª î  r X < Ä »„  ^ ‰ ½ ¨\  ¦ ¿ º# Q s

  â Ä º_  ½ ¨ ³ ð€  \ " f_  „  l  © œ   o\  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ðl – Ð 



. ü @ Ò\ " f ç  H{ 9 ô  Ç „  l  © œ E ₀  Å Ò# Qt   H / B Nç ß –“ É r  1 “   Ä

»„  ^ ‰– Ð G 0 >4 R e ”  . s  Ó ü t| 9 ? /\  ì ø Í â s  as “ ¦  2 _  Ä

»„  Ö  ¦`  ¦ ° ú   H Ä »„  ^ ‰½ ¨ ” > r F ô  Ç €  , Ä »„  ^ ‰ ½ ¨ ü @Â Ò _

 „  l  © œ“ É r ü @ Ò\ " f Å Ò# Qt   H ç  H{ 9 ô  Ç „  l  © œ E 0 ü < Ä »

„ 

^ ‰ ½ ¨ ³ ð€  \  ì  rF G ) a „    " é ¶& h \ " f % ò  © œ„   – Ð @ / u

÷ &# Q Š © œF G  \  ¦ s À ÒÙ ¼– Ð s  Š © œF G  \  _ ô  Ç „  l  © œ_ 



© œ  ñ Œ •6   x Ü ¼– Ð
 è ß – . ¢ ¸ô  Ç ½ ¨ ? /Â Ò „  l  © œ“ É r E 0 ü < ~ ½ Ó

†

¾ Ós  ° ú  “ ¦ ß ¼l    É r „  l  © œÜ ¼– Ð & ñ ½ + É Ã º e ”  . Ä »

„ 

^ ‰½ ¨ µ 1 Ú_  e ” _ _  & h \ " f_  ( J $ ™[ > `  ¦ ½ ©   o # Œ
 

? /€  

V ₁ (r ₁ , θ) = −(r 1 − k − 1 2 + k

1

r ₁ ² ) cos θ (26) s

“ ¦, r 1 = r/a(a: Ä »„  ^ ‰ ½ ¨_  ì ø Í â , r:" é ¶& h õ  › ' a8 £ ¤& h    s

_   o )s  .   " f „  l  © œ_  Z O ‚  $ í ì  r“   E _1r õ  ] X 

‚ 

$ í ì  r“   E _1θ   H y Œ •y Œ • E 1r = − ∂V 1 (r 1 , θ)

∂r 1

= (1 + 2(k − 1) 2 + k

1

r ₁ ³ ) cos θ, (27)

E 1θ = − ∂V 1 (r 1 , θ)

r ₁ ∂θ = −(1 − k − 1 2 + k

1

r ³ ₁ ) sin θ (28) s

 .  ð ø Ít – Ð Ä »„  ^ ‰½ ¨ ? / Ò_  e ” _ _  & h \ " f_  (  J $

™[ > “ É r

V ₂ (r ₁ , θ) = − 3

2 + k r ₁ cos θ (29) s

“ ¦, „  l  © œ_  $ í ì  r“ É r y Œ •y Œ • E 2r = − ∂V 2 (r 1 , θ)

∂r 1

= 3

2 + k cos θ, (30)

E 2θ = − ∂V 2 (r 1 , θ)

r ₁ ∂θ = − 3

2 + k sin θ (31)

Fig. 13. (a) Configuration of electric fields(E) for inside and outside dielectric sphere. (b) Configuration electric density fields(D) for inside and outside dielectric sphere.

–

Ð Å Ò# Q”   .   " f d ” (27),(28) Õ ªo “ ¦ (30),(31)`  ¦ f ” 

“

§ý a³ ð> – Ð   ¨ 8 Š # Œ Ä »„  ^ ‰½ ¨ ? /, ü @ Ò_  „  l  © œ    o

\

 ¦
 ? /€   Fig. 13-(a)s  9, Fig. 13-(b)  H D = E\  ¦ s

6   x # Œ „  l   0 A © œ`  ¦
  · p  כ s  .

Fig. 13-(a) \ " f
 è ß –  כ % ƒ! 3  Ä »„  ^ ‰½ ¨  â > €  \ 

"

f  â > › ¸| “   ] X ‚  $ í ì  r“ É r ß ¼l ü < ~ ½ ӆ ¾ Ós   _  ° ú  “ É r ° ú כ

`

 ¦ t Ù ¼– Ð ƒ  5 Å q(E 1θ = E 2θ ) s  9, Z O ‚  $ í ì  r“ É r Ô  ¦ƒ   5

Å q(E 1r 6= E 2r )e ” `  ¦ S X ‰ “   ½ + É Ã º e ”  . ì ø ̀  \  Fig. 13- (b) \ " f  H  â > › ¸| “   ] X ‚  $ í ì  r“ É r ß ¼l  " f– Ð   É r ° ú כ

`

 ¦ t Ù ¼– Ð Ô  ¦ƒ  5 Å q(D 1θ 6= D 2θ ) s  9, Z O ‚  $ í ì  r“ É r ƒ   5

Å q(D 1r = D _2r )e ” `  ¦ S X ‰ “   ½ + É Ã º e ”  . 7 £ ¤, „  l  © œ_  Z O 

‚ 

$ í ì  r“ É r Ô  ¦ƒ  5 Å q s t ë ß – Ä »„  Ö  ¦`  ¦ Y  L K " f
 ? /€  

 1 E 1r =  2 E 2r (32) õ

 ° ú  s 
 è ­ q à º e ” “ ¦, s \  ¦ ”  / B N \ " f & h „   \  _ ô  Ç

„ 

l  © œ`  ¦ E © œÜ ¼– Ð
 ? /1 p w s  Ó ü t| 9 ? /\ " f & h „   \  _  ô 

Ç „  l  © œ`  ¦ ç ß –é ß –y 
 ? /l  0 AK  D © œ`  ¦ • ¸{ 9 † < Ê`  ¦ · ú ˜ Ã

º e ”  .

VI. + s ÇÊ Ý õ m Í ‚ º8 ý

•

¸^ ‰ x 9  Ä »„  ^ ‰  â > €  \ " f „  l  © œ    o\  ¦ „  l % ò  © œ Z O

`  ¦ • ¸{ 9  # Œ > í ß – % i “ ¦ Mathematica\  ¦ s 6   x # Œ s 

\

 ¦ r y Œ • o % i  .   " f  A ü < ° ú  s  • ¸^ ‰ü < Ä »„  ^ ‰_ 

$ í

| 9 `  ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ” % 3  .

' Í

P :, • ¸^ ‰  â > €  \ " f „  l  © œ_  ] X ‚  $ í ì  r“ É r E t = 0 s 



.

Ñ ü

t e , • ¸^ ‰½ ¨\ " f 8 ú x„   | ¾ Ó ˜ Д > rZ O g Ë :s  ë ß –7 á ¤ ) a  .

!

Ó P :, Ä »„  ^ ‰  â > €  \ " f „  l  © œ_  ] X ‚  $ í ì  r“ É r ƒ  5 Å q (E 1t = E 2t ) s  9, „  l   0 A © œ_  Z O ‚  $ í ì  r“ É r ƒ  5 Å q(D 1n = D 2n ) s  .

Å e , „   l † < Æ\ " f „  l   0 A © œ(D)_  • ¸{ 9 s  € 9 כ ¹ô  Ç s

Ä »\  ¦  â > u  ë  H ] j\  ¦  À ғ ¦ Mathematica– Ð ³ ð‰ & ³† < ÊÜ ¼

–

Ð+ ‹ ~ 1 >  s K  ½ + É Ã º e ”  .

s

ü < ° ú  s  Mathematica  H pakage – Ð ½ ¨$ í ÷ &# Q e ” Ü ¼Ù ¼

–

Ð á Ԗ ÐÕ ªA b ç t  · ú §“ ¦ ~ 1 >  à ºu > í ß –s  0 p x “ ¦, Õ ª A

i ”  % ƒo  / '0 > Ó ü t o † < Æ_ þ v \  • ¸{ 9  €   B Ä º Ä »6   x½ + É  כ Ü

¼– Ð l @ /ô  Ç . 7 £ ¤, l ” > r \  à ºd ” Ü ¼– Ð > í ß –÷ &# Q \ V8 £ ¤ë ß –  0

p

xÙ þ ¡% 3 ~   Ó ü t o ‰ & ³ © œ`  ¦ à ºu  x 9  r y Œ •& h Ü ¼– Ð
 è ­ q à º e ” 

`

 ¦  כ Ü ¼– Ð l @ /ô  Ç .

VII. P c p 8 ý ò k >

‘

: r ƒ  ½ ¨  H “  ] j@ /† < Ɠ §_   © œ@ /ƒ   ƒ  ½ ¨™ è_  ƒ  ½ ¨t " é ¶ \  _

ô  Ç  כ s  9 s \  y Œ ™ × ¼w n m  .

Y c

p w Š à U Ø ”  ô

[1] H. J. Yun, SAEMULLI 40, 530 (2000).

[2] H. J. Yun, SAEMULLI 46, 249 (2003).

[3] J. S. Kim, G. H. Lee, Physics & High Technology 8, 15 (1999).

[4] H. P. Lee, C. G. Kang, W. I. Park, Electromagnetics (Moonwoon-Dang, Seoul, 1998).

[5] Kawase Hiromi, Electromagnetics using the Mathe- matica (Tokyo Denki Univ., Tokyo, 1992).

[6] J. R. Reitz, F. J. Milford and R. W. Christy, Foun- dations of electromagnetic theory (Addison-Wesley, Seoul, 1980).

[7] Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism (Mc- Graw Hill, Seoul, 1985).

[8] Munir H. Nayfeh and Morton K. Brussel, Electricity and Magnetism (John Wiley & Sons, Illinois, 1985).

[9] S. Wolfram, Mathematica 4.0 (Wolfram Media and

Cambridge Univ., New York, 1999).

Study of the Boundary-Value Problem in Electromagnetics by Using the Mathematica

Min Gyun Seo ^∗ and Yun Soo Myung

Relativity Research Center and School of Computer Aided Science, Inje University, Gimhae 621-749 (Received 14 January 2004)

In the boundary-value problem of electromagnetics, two important conditions are E

= 0 for a conductor and E

= E

, and these D

= D

for dielectrics. We use Mathematica to see whether or not there boundary conditions are satisfied. Also, we introduce the image method to find the electric fields in a simple way. In this work, the variation of the electric field is represented graphically by using Mathematica. Also, we find the reason an electric density field (D), in addition to an electric field (E), is introduced when a dielectric medium is present. We found that the use of Mathematica enhance understanding of electromagnetics, especially for the boundary-value problem.

PACS numbers: 01.40.Gm

Keywords: Image mathod, Boundary condition, Mathematica

∗

E-mail: [email protected]