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2012년도 3월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설
• 수학 영역 •
정 답
1 ② 2 ⑤ 3 ⑤ 4 ③ 5 ① 6 ① 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10 ② 11 ② 12 ⑤ 13 ③ 14 ④ 15 ④ 16 ④ 17 ③ 18 ② 19 ① 20 ② 21 ⑤ 22 14 23 22 24 11 25 30 26 432 27 26 28 20 29 54 30 103
해 설
1. [출제의도] 집합의 연산 계산하기
이므로 원소의 총합은 이다.
2. [출제의도] 나머지 정리 이해하기
라 하면 나머지 정리에 의해서 나 머지는 이다.
3. [출제의도] 복소수 계산하기
이므로 이다.
4. [출제의도] 유리식 계산하기
에서
이다.
5. [출제의도] 합성함수와 역함수 이해하기
에서 이다.
따라서 이다.
6. [출제의도] 방정식 이해하기
에서 가 실수이므로
이다. 의 서로 다른 실근의 개수는 이므로 주어진 방정식의 실근 의 개수도 이다.
7. [출제의도] 분수함수의 평행이동 계산하기
이므로
의 그래프를 축의 방향으로 , 축의 방향으로
만큼 평행이동한 것이다.
따라서 이고, 이다.
8. [출제의도] 복소수의 성질 이해하기
⇔ 또는
에서
∴ 따라서 이다.
9. [출제의도] 집합과 이차부등식 문제 해결하기 집합 에서 또는 이므로 ∩ ∅ 이 되기 위해서는 ≤ ≤ ≤ 이다.
∴ ≤ ≤
따라서 정수 의 개수는 이다.
10. [출제의도] 근과 계수와의 관계 이해하기
의 두 근이 이므로
…… ㉠
의 두 근이
이므로
…… ㉡
㉠, ㉡에서
이므로
이다.
∴
이므로
이다. ∴
따라서 이고 가 실수이므로
이다. ∴
11. [출제의도] 도형의 넓이 이등분 증명하기
O A
C B E D
R P
Q
직선 과 선분 CD 의 교점을 P 라 하고 P 에서 축, 축에 내린 수선의 발을 각각 Q R 이라 하면 삼각형 OQP 의 넓이와 삼각형 OPR 의 넓이가 서로 같으므로 사각형 ABCQ 와 사각형 DERP 의 넓이가 서로 같다.
따라서 × ER × 에서 ER
이고 P
이므로 직선 의 기울기는
이다. ∴
12. [출제의도] 집합과 방정식 문제 해결하기
∪이면 ⊂이다. 공집합은 모든 집합 의 부분집합이므로 집합 가 공집합이 되는 경우는 일차 방정식 에서 이다. 집합 가 공집합이 아닌 경우 의 원소는 또는 이 다. 그러므로 ∈이면 에서
이고, ∈이면 에서
이다.
따라서 모든 실수 의 값의 합은
이다.
13. [출제의도] 다항식 문제 증명하기
정사각형의 넓이와 직각 삼각형의 넓이가 같으므로
(가)=이고 직각 삼각형에서
이므로 (나)= 이고
(다)= 이 다.
여기서 가 모두 정수라 하면,
(나)= 에서 는 짝수이므로 ′
(′ 은 자연수)라 할 때
′․
′
․
′ = ′ ′ ′ 가
된다. 우변은 연속된 세 자연수의 곱이므로 제곱수가 될 수 없다. 따라서 모순이다. 그러므로 중 적어도 하나는 정수가 아니다.
그러므로 , ,
이다.
∴
14. [출제의도] 실생활에서 순열 문제 해결하기
우선 남학생 12 명을 일렬로 세우는 경우의 수는
이다. 여기서 남학생 2 명씩 묶어서 그 사이에 여 학생 2 명을 세우는 경우의 수는 × 이 므로 경우의 수는 × 이 되어 이다.
15. [출제의도] 조건의 진리집합 추론하기
의 진리집합을 각각 라 하자.
∈이면 가 정수이고 정수 전체의 집합은 곱셈 에 대하여 닫혀 있으므로 도 정수이다. 따 라서 ∈, ∈, ∈이므로
⊂⊂⊂이다. 같은 방법으로
⊂이다.
ㄱ. [반례] 이면 은 정수이지만
은 정수가 아니다. (거짓) ㄴ. ∩⊂ (참)
ㄷ. ∪⊃ (참)
16. [출제의도] 함수의 그래프와 방정식의 관계 이해하기
의 그래프는 다음과 같 다.
에서
또는 이므로
이다.
따라서 모든 실수 의 값의 합은 이다.
17. [출제의도] 삼각함수 활용 문제 해결하기
sin ≥ 의 주기가
이므로
이다.
sin = sin
18. [출제의도] 이차방정식의 활용 문제 해결하기
라 두면 이차방정식 에서
이므로
의 값에 관계없이 항상 서로 다른 두 실근을 가진다.
두 실근이 모두 이하가 되려면
(ⅰ) 대칭축의 방정식은 이므로 ≤ (ⅱ) ≥ 에서 ≤
(ⅰ), (ⅱ)에 의해 ≤
이다. 따라서 두 근 중
적어도 하나가 양의 실수가 되려면
이므
로 정수 의 최솟값 이다.
∴
19. [출제의도] 부등식의 영역 문제 해결하기 원점에서 직선 까지의 거리가 이므로
이다. ∴
점 P 에서 직선 에 이르는 수선의 길이는
이고, 점 P 에서 직
선 에 이르는 수선의 길이는
이다. 따라서
그런데 직선 이 두 점 P , P 사이 를 지나므로 이
1
다.
20. [출제의도] 삼각함수 문제 해결하기
∆ OCB
sin
sin
∆ OCD
□ABCD △OCD -△OCB △OCD ×
sin
21. [출제의도] 복소수 문제 추론하기 (ㄱ) (참) (ㄴ) , 이므로
(참)
(ㄷ) (ㄴ)에 의해서
(참)
22. [출제의도] 유리식 계산하기 (준식)
23. [출제의도] 이차함수 이해하기
이므로 에 서 최솟값 , 에서 최댓값 를 가진 다. 에서 최솟값이 이므로 이다. ∴ 따라서 최댓값은 이다.
24. [출제의도] 삼각함수 이해하기
sin cos sin cos 에서 양변을 제곱하면
sin cos sin cos이다. 따라서
sin cos sin cos
∴ sin cos (∵ ≤ sin cos ≤ )
이므로 이다.
25. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리 이해하기 점 P 가 직선 위의 점이므로
⋯⋯㉠
PA PB 이므로 정리하면 ⋯⋯㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
,
이다.
∴
26. [출제의도] 실생활에서 경우의 수 문제 해결하기 배열하는 모든 경우의 수는 × 가지이고, 와 가 대응되는 경우의 수는 × 가지이다. 따라서
와 가 대응되지 않는 경우의 수는
× × × × 이다.
27. [출제의도] 원과 직선의 방정식 문제 해결하기 중심 O 에서 변 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 두 점 A B 를 지나는 직선의 방정식이
이므로 OH
∴ ∆PAB ≤
× AB ×OH
따라서 이다.
[별해]
선분 AB 의 중점을 M 이라 하면 M
이고, OM
따라서 ∆PAB 의 넓이가 최대일 때 높이는
이다. AB 이므로
∆PAB 의 최댓값은
이다.
28. [출제의도] 부정방정식 이해하기
또는
이다.
따라서 또는 이다.
그러므로 자연수 의 모든 값의 합은 이다.
29. [출제의도] 항등식 이해하기
에서
가 된다. 따라서
이므로 이다.
30. [출제의도] 삼각형의 넓이 문제 추론하기
cos
× ×
이므로 sin
이
다.
∆ABC 의 넓이
× × ×
PF 라 하면
=
∴
△EFP
×
×
sin A
∴
