Ó
Þ ¤² v Ç à à Š8 ý ¿ R < X ì Ä 2 Ì ¦ R mà Ã Å Ò Þ Ä Z ØV Ä ù p § Þ X ¢ Ê
Ý] K ¡w ] K ¡t ô p §8 ý Y ê s8 ýX ì Ä Ä Z ØV Ä Ö «I í Ä 9 0W ë s 7 ` ì Å
T
ø ¶ B` 9 ∗
@
/½ ¨õ < Æ ¦1 p x < Æ §, @ /½ ¨ 706-852
* × <9 · L | Ú' å
â
· ¡ ¤ @ / < Æ § Ó ü t o §¹ ¢ ¤ / B N, @ /½ ¨ 702-701 (2005¸ 12 Z 4 21{ 9 ~ à Î6 £ §)
õ
< Æ ¦ < ÆÒ q t[ þ t \ > à ºf Ü ¼ Ð B ² ú 2 ; 6 x à º^ o = _ 2 " é ¶ H & h é ß 1 l x` ¦ ì r$ 3 ¸2 ¤ % i . < Æ Ò q
t[ þ t É r n t _ O Ö r ï 8\ ¦ s 6 x # O É % ò ¦ z ´+ « > ì r$ 3 & h ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð K \ ¦ ½ ¨ % i . X <s ' ì r$ 3 ` ¦ :
x K , < ÆÒ q t[ þ t É r U ´s H 6 x à º^ o = H à º¨ î ~ ½ Ó ¾ Ó_ é ß ü < à ºf ~ ½ Ó ¾ Ó_ 6 x à º^ o = ½ + Ë
)
a + þ AI Ð î r1 l x < Ê` ¦ · ú Í Ç xÜ ¼ 9, à º¨ î õ à ºf ~ ½ Ó ¾ Ó_ y 1 l x à º q \ 2 " é ¶ ¸ o 1 l x _ â Ä ºü <
1
l x{ 9 ô Ç ¸ ª _ Lissajous/ B G ` ¦ Õ ªo ¦ e 6 £ §` ¦ ' a8 £ ¤ % i .
PACS numbers: 01
Keywords: 6 x à º^ o = , 2 " é ¶ ¸ o 1 l x, Lissajous/ B G
I. " e  ] Ø
]
j 7 õ < Æõ §¹ ¢ ¤ õ & ñ ` ¦ : x K õ < Æ §¹ ¢ ¤ _ ^ ] jü < ? / 6
x` ¦ q & h Ü ¼ Ð or & õ < Æ §¹ ¢ ¤ _ + À : ` ¦ z ´ & ³ l 0
AK ¸§ 4 % i Ü ¼ , õ < Æ §¹ ¢ ¤ _ > h+ À : É r Õ ª ô Ç> \ ¦ × ¼ Q
?
/ ¦ e [1]. s \ ¦ F G4 ¤ l 0 AK & ñ ½ © < Æ § §¹ ¢ ¤ s ü @
\
< ÆÒ q t[ þ t \ > ª ô Ç õ < Æ& h â + « >_ l r\ ¦ ] j/ B N 9
¸§ 4 ¦ e [2]. < Æ § µ 1 Ú õ < Æ §¹ ¢ ¤ É r §z ´s H / B N ç ß õ
r ç ß _ ] j ` ¦ # Á # Q " f Ð ´ òõ & h Ü ¼ Ð §¹ ¢ ¤| ¨ c à º e
H ? /6 x` ¦ Z > # z ´r ½ + É Ã º e H & h [3]\ " f z ´
?
/ Ö ¸1 l x _ Ð ¸Ã ºé ß Ü ¼ Ð" f @ /î ß & h §¹ ¢ ¤ Ö ¸1 l x Ü ¼ Ð
"
f Õ ª × æ כ ¹$ í ` ¦ t ¦ e [4]. " f, õ < Æ ¦1 p x < Æ §
< ÆÒ q t[ þ t õ ° ú s õ < Æ ñ ¸ Z } É r < ÆÒ q t[ þ t \ > d ¸ e
H ë H ] j\ ¦ ] X > < ÊÜ ¼ Ð+ q ó ø Í& h õ < Æ è ª ` ¦ ° ú ð r < Æ Ò q
t| 9 é ß ` ¦ + þ A$ í ¦ Õ ª/ B M \ " f õ < Æ ë H \ ¦ s = å J # Qè q à º e
¸2 ¤ 9½ + É Ã º e [5]. & ³F õ < Æ ¦\ " f H õ < ÆF é ß _
õ < Æ ¦ R&E (Research and Education) \ O õ õ < Æ ë
H oF é ß _ ' õ A è¸ õ < Æ Ã Ð½ ¨ì ø Í Ö ¸1 l x 1 p x` ¦ : x K < ÆÒ q t[ þ t
\
> ª ô Ç õ < Æ& h â + « >_ l r\ ¦ ] j/ B N ¦ e .
s
½ ¨ H % i < Æ& h 1 l x > \ " f H D h Ðî r & ³ © _
µ 1 Ï| s > h \ Å Ò3 l q& h ` ¦ ¿ ºl Ð H, ¦/ å L Ó ü t o õ
&
ñ ` ¦ µ 1 á ¦ e H õ < Æ ¦1 p x < Æ § < ÆÒ q t[ þ t s f ] X Ã Ð# ô Ç
∗
E-mail: [email protected]
½
¨ü < §¹ ¢ ¤ (Research and Education) á Ô ÐÕ ªÏ þ s H §
¹
¢ ¤& h 3 l q& h \ × æ& h ` ¦ ¿ º% 3 . : £ ¤ y , 6 x à º^ o = _ 2 " é ¶
1 l x õ ° ú É r 4 ¤ ¸ ú ô Ç % i < Æ& h 1 l x > \ @ /ô Ç s : r& h s K
H ¦1 p x < Æ § < ÆÒ q t[ þ t÷ r ë ß m Ó ü t o < Æ` ¦ / B N ô Ç { 9 ì ø Í
[ þ t \ > ¸ ~ 1 t · ú § É r ë H ] js . s \ < ÆÒ q t[ þ t s f ] X z ´ +
« > © u \ ¦ ë ß [ þ t ¦ 8 £ ¤& ñ ~ ½ ÓZ O ` ¦ ¦î ß K z ´+ « > õ \ ¦ ¸Ø ¦ K
? / H õ & ñ ` ¦ â + « > > < ÊÜ ¼ Ð+ 4 ¤ ¸ ú ô Ç % i < Æ& h 1 l x
>
_ s : r& h s K ü < ½ Ó_ & h ì r$ 3 0 p x§ 4 ` ¦ C ª r v H X <
½
¨_ í& h ` ¦ ´ ú Æ Ò% 3 .
s
7 Hë H _ ½ ¨$ í É r 6 £ § õ ° ú . $ II © \ " f H < ÆÒ q t [
þ
t \ > ] jr ô Ç ½ ¨Å Ò] jü < l ç ß ` ¦ è> h % i . III © \
"
f H 2 " é ¶ à ºf ¨ î \ " f 1 l x H 6 x à º^ o = _ s
: r& h ì r$ 3 õ z ´+ « >& h ì r$ 3 ` ¦ è> h % i . s : r& h 8 £ ¤ \
"
f H Õ ª| ½ Ót î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ ½ ¨ ¦ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d \
è ß y ½ Ó_ Ó ü t o & h _ p \ ¦ j Ë µ_ ' a > Ð ì r$ 3 % i .
z
´] j 6 x à º^ o = î r1 l x z ´+ « >\ " f n t _ O Ö r ï 8\ ¦ 6 x ô
Ç ì r$ 3 ~ ½ ÓZ O ` ¦ è> h ¦ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d _ K ( 0 Aü < 1
l
x à º)\ ¦ à ºu K $ 3 ` ¦ : x K ½ ¨ % i . ¢ ¸ô Ç 6 x à º^ o = © à º, Æ
Ò_ | 9 | ¾ Ó, 6 x à º^ o =_ U ´s 1 p x` ¦ or v " f à º¨ î ~ ½ Ó ¾ Ó (× æ§ 4 \ _ ô Ç é ß 1 l x) õ à ºf ~ ½ Ó ¾ Ó (6 x à º^ o =\ _ ô Ç é ß 1
l x) \ @ /ô Ç 1 l x à º & ñ à ºq ÷ & ¸2 ¤ ¸& ñ # Image processing\ ¦ : x K 6 x à º^ o = 2 " é ¶ \ " f Ð: x _ ¸
o 1 l x ü < ° ú É r Lissajous / B G ` ¦ Í Ç r` ¦ Ð% i . = å Q Ü
¼ Ð, IV © \ " f H : r ½ ¨_ õ \ ¦ & ñ o % i .
-80-
II. ì Å U ê s0 n É õ m Í ± n Ç
1. ì Å ¤< g8 ý Ò ÅX N Ë
° ú
É r r ç ß ç ß Ü ¼ Ð ÷ &Û ¦ s ÷ & H ¸ H î r1 l x` ¦ Å Òl î r 1
l
x s ô Ç . Å Òl î r1 l x` ¦ H { 9 î r1 l x H â Ð
$
° ú ` ¦ â Ä º, s î r1 l x` ¦ 1 l x s ô Ç . H @ /³ ð& h
Å Òl î r1 l x` ¦ H Ó ü t o > [6] Ð" f Å Òl î r1 l x õ ' aº ) a
´ ú
§ É r Ó ü t o & ³ © ` ¦ À Ò H ~ ½ ÓZ O ` ¦ ] jr # Å Ò ¦ e l M : ë
H \ ¦1 p x < Æ § §õ " f÷ r ë ß m ¸ H % i < Æõ & ñ _ ¸ { 9
 Òì r \ H ì ø Í× ¼r _ î r1 l x \ @ /ô Ç 7 H _ \ ¦ í < Ê
¦ e . s ² ú ¨Ü ¼ Ð þ j H à º¸ ç ß _ î r1 l x \ ' a ô Ç
ª ô Ç + þ AI _ ½ ¨, \ V\ ¦ [ þ t , é ß \ 6 x H ½ + ˧ 4 _
~ ½ Ó ¾ Óõ C & h _ ] X ~ ½ Ó ¾ Óõ _ ' a > ì r$ 3 [7], y
W§ 4 s 6 x H | 9 | ¾ Ó-6 x à º^ o = > _ ; ¤ o\ @ /ô Ç K
$ 3
& h ½ ¨ , { 9 & ñ ô Ç 5 Å q ¸ Ð r H ¨ î ? /\ " f_ y
W é ß î r1 l x _ ì r$ 3 õ [ þ t s µ 1 ϳ ð÷ &% 3 . s Qô Ç & h
`
¦ ¦ 9 # õ < Æ ¦ 1 < Ƹ õ & ñ \ " f < Æ_ þ v ô Ç 6 x à º^ o =
\
¦ 4 ¤ ¸ ú ô Ç 1 l x > Ð ¨ 8 # ] jr % i . { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð
_ â Ä º ; ¤` ¦ > # é ß 1 l x` ¦ r ~ ´ â Ä º ô Ç
>
h_ Ä » ¸ / B I, ô Ç > h_ 1 l x à º Ð s > _ é ß 1 l x & ³ ©
`
¦ [ O " î ½ + É Ã º e . t ë ß , à ºf Ü ¼ Ð B ² ú 2 ; 6 x à º^ o =
H à º¨ î ~ ½ Ó ¾ Ó_ ; ¤` ¦ > # é ß 1 l x \ ¾ ú ¸2 ¤
H \ ¦ r ~ ´ â Ä º, × æ§ 4 \ _ ô Ç é ß 1 l x õ 6 x à º^ o =\ _ ô Ç é
ß 1 l x _ ½ + Ë + þ AI ¿ º > h_ Ä » ¸ Ð > _ î r1 l x` ¦ [ O
"
î # ô Ç . ë ß 6 x à º^ o = 2 " é ¶ à ºf ¨ î © \
"
fë ß ¹ ¡ §f ¦ & ñ ½ + É â Ä º, ¢ ¸ô Ç t 2 £ § ~ ½ Ó ¾ Óõ y ~ ½ Ó ¾ Ó
¸¿ º é ß 1 l x` ¦ ô Ç ¦ & ñ ½ + É â Ä º, s H f ' a& h Æ Ò : r \ _
K ¿ º é ß 1 l x \ _ ô Ç 2 " é ¶ é ß 1 l x` ¦ ½ + É כ s \ V © ) a
. 6 x à º^ o = _ t 2 £ § ~ ½ Ó ¾ Ó î r1 l x õ y ~ ½ Ó ¾ Óî r1 l x \ @ /ô Ç î
r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ¢ ¸ô Ç Õ ª| ½ Ót ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ РÒ' Ä » ¸½ + É Ã º e
. t ë ß ¿ º Ä » ¸ ½ + Ë ) a ~ ½ Ó& ñ d _ K $ 3 & h K \ ¦
½
¨ l H B Ä º # Q 9Ä ºÙ ¼ Ð ½ + Ë ) a 2 " é ¶ é ß 1 l x s Ð: x _
2 " é ¶ é ß 1 l x _ + þ AI ü < ° ú ¦ \ V8 £ ¤ l ê ø Í ~ 1 t · ú §
. & h { © ô Ç è ß s ¸ü < z ´+ « >õ & ñ \ " f ª ô Ç : x ] j 0 p x
§ 4
1 p x` ¦ ¦ 9 # < ÆÒ q t[ þ t \ > ] jr ô Ç ½ ¨õ ] j H 6 £ § õ
° ú .
£
Ê Áã U c ä ·W · 9 I ± Ó Ê Á Ò Ï ã Ã × * ×n § , ä ·W · Ê
ÁË ^ ã Ã × $ × ï 5 Ñr â Á» Ç ß£ · D 1 l £ o > Ð M £ Ê Áã ë
> + ( P â £ · & P 7 # b .
2. ì Å Y c p# b ] K ¡t õ m Í M m z
´+ « >\ Ã Ðô Ç < ÆÒ q t[ þ t É r õ < Æ Ö ¸1 l x \ ' a d s ´ ú § É r 1 < Æ
¸
3" î s % 3 . s [ þ t É r Ý ¶ l , Ä º$ í ô ¥, s ô Ç < ÆÒ q tÜ ¼ Ð 2005¸ 4 Z 4Â Ò' 9 Z 4 t 6> h Z 4 1 l x î ß z ´+ « > Ö ¸1 l x` ¦ % i
.
III. ì Å + s ÇÊ Ý
1. ñ m ÇT ì Å À W ¥ Ó Þ ¤² v Ç à à Š8 ý Æ U Ø Ò Þ Ä Z ØV Ä
(1) U ´s H 6 x à º^ o = _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d
Fig. 1 \ " fü < ° ú s à ºf Ü ¼ Ð B ² ú 2 ; 6 x à º^ o = 2
"
é
¶ à ºf © \ " f 1 l x ½ + É â Ä º, 6 x à º^ o = = å Q \ B ² ú 2 ; | 9
|
¾ Ó m Ó ü t ^ _ Õ ª| ½ Ót î ß L` ¦ F G ý a³ ð (r, φ) Ð ? /
6 £ § õ ° ú .
L = T −V = 1
2 m( ˙r 2 +r 2 φ ˙ 2 )−mgr cos φ− 1
2 k(r−r 0 ) 2 (1)
#
l " f T ü < V H y y î r1 l x \ -t ü < 0 Au \ -t \ ¦
? / ¦ ∆r = r − r 0 H t 2 £ § ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð_ Ó ü t ^ _ 0 A\ ¦
· p . d (1)\ " f t 2 £ § ~ ½ Ó ¾ Ó r\ @ /ô Ç î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r d
dt ( ∂L
∂ ˙r ) − ∂L
∂r = 0
ÐÂ Ò'
m¨ r = mr ˙ φ 2 − mg cos φ − k(r − r 0 ) (2) e
` ¦ · ú Ã º e . / B I, d (2)\ ¦ : x K t 2 £ § ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð 6
x H · ú j Ë µ É r Ó ü t ^ _ r \ É r " é ¶ d § 4 ½ Ó(mr ˙φ 2 ), Ó
ü
t ^ Á º> _ t 2 £ § ~ ½ Ó ¾ Ó $ í ì r (–mgcos φ), 6 x à º^ o =_ ò ø Í$ í
Fig. 1. The spring pendulum held in a vertical position.
§
4 (–k∆r)_ ½ + Ëe ` ¦ · ú Ã º e . ¢ ¸ô Ç φ\ @ /ô Ç î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d
É r
d dt ( ∂L
∂ ˙ φ ) − ∂L
∂φ = 0
\
_ K dl dt = d
dt (mr 2 φ) = −r × mg sin φ = τ ˙ (3) e
` ¦ · ú Ã º e . # l " f l É r Ó ü t ^ _ y î r1 l x | ¾ Ó, τ H Ð ß
¼s . d (3) É r φ \ @ /ô Ç r î r1 l x s Æ Ò_ Á º> \ _ K Ò q
tl H Ðß ¼ M :ë He ` ¦ · ú Ã º e . < ÆÒ q t[ þ t É r s Qô Ç ~ ½ Ó
&
ñ d _ K $ 3 & h K \ ¦ ½ ¨ l B Ä º # Q 90 > 6 x à º^ o =
\
B ² ú 2 ; Ó ü t ^ _ î r1 l x` ¦ O É % ò # ì r$ 3 H ~ ½ ÓZ O ` ¦ × þ
% i . z ´+ « >½ + É M : _ U ´s \ ¦ U ´> " f ; ¤` ¦
>
# þ j@ /ô Ç é ß 1 l x \ H ¸2 ¤ z ´+ « >` ¦ [ O > % i
. ¢ ¸ô Ç # Q _ ì ø Í4 ¤ z ´+ « >` ¦ : x K 2 " é ¶ © \ " f 1 l x s
{ 9 # Q ¸2 ¤ Ä »_ % i Ü ¼ 9, F G y & h É r · ú ¡+ ' ~ ½ Ó ¾ Ó_ 1
l
x É r ì r$ 3 \ " f ] jü @r ( . n t _ O Ö r ï 8\ ¦ s 6 x K O É
% ò
ô Ç _ î r1 l x © É r 6 £ § _ ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð ì r$ 3 % i .
(2) î r1 l x ì r$ 3 ~ ½ ÓZ O n
t _ O Ö r ï 8\ ¦ s 6 x K 6 x à º^ o = _ î r1 l x` ¦ O É % ò ô
Ç Ê ê, O É % ò ô Ç % ò © ` ¦ Ö ¼o > F Ò q tr v " f 0.1 í ç ß Ü
¼ Ð BMP ª d _ Õ ªa Ë > { 9 Ð $ © % i . Õ ªa Ë > { 9 5
Å
q _ Ó ü t ^ _ × æd \ & " f (cursor)\ ¦ ` ¦ 9Z ~ Ü ¼ Fig.
2 ü < ° ú s ¼ # | 9 á Ô ÐÕ ªÏ þ _ & ñ Ð ½ Ó\ & " f_ x, y ý a³ ð
è ß . s ý a³ ð\ ¦ { 9 # Q _ î r1 l x` ¦ ì r$ 3 % i .
(3) z ´+ « > õ
Fig. 3 É r 6 x à º^ o = © à º 0.84 N/m, Æ Ò_ | 9 | ¾ Ós 50 g, 6 x Ã
º^ o =s Z þ t # Qè ß % 6 £ § U ´s r 0 = 97 cm © I \ " f 6 x Ã
º^ o = \ ¦ H & h Ü ¼ Ð é ß 1 l x r ( ` ¦ â Ä º < ÆÒ q t[ þ t s
× þ
ô Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð z ´+ « >ô Ç õ \ ¦ ì r$ 3 ô Ç õ s .
Fig. 2. The position of a pendulum displayed in an edit program.
O É
% ò ô Ç % ò © ` ¦ : x K H r > ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð 1 l x` ¦
# QÖ ¼ í H ç ß ì ø Ír > ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð î r1 l x ~ ½ Ó ¾ Ós ÷ ¶ H z
´` ¦ · ú ¤Ü ¼ , ^ & h ¸_ þ v` ¦ : x K " f H # Q " ½ ©g Ë :` ¦
· ú
? /l # Q 9 ° ? . t ë ß 0.1 í ç ß _ x, y ý a³ ð\ ¦ :
x K " f H < É ª p Ðî r z ´` ¦ · ú > ÷ &% 3 . / B I, U ´s
H 6 x à º^ o = ¸ Ð: x _ 2 " é ¶ ¸ o 1 l x ü < ° ú s x, y
~
½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð y y sine < ÊÃ º ¸ ª _ Å Òl î r1 l x` ¦ ¦ e 6 £ §` ¦
· ú
¤ .
Fig. 4 ü < 5 H y y r ç ß \ É r à º¨ î ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð é ß _
0 A x(t)ü < à ºf ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð 6 x à º^ o = _ 0 A y(t)_ Õ
ªA á Ô\ ¦ · p כ s . Figs. 4ü < 5\ è ß é ß _
y y _ ~ ½ Ó ¾ Ó\ @ /ô Ç 0 Aü < y 1 l x à º\ ¦ à ºu K $ 3 ` ¦ :
x K 6 £ § õ ° ú s % 3 % 3 .
x(t) = −1.91 sin(3.24t + 10.6) + 5.15 ω x = r g
r 0 =
r 9.8 m/s 2
0.97 m = 3.2 rad/s
Fig. 3. Snap shot of the motion of the spring pendulum.
Fig. 4. Horizontal position of a pendulum vs. time (m
= 50 g).
Fig. 5. Vertical position of a pendulum vs. time (m = 50 g).
ü
<
y(t) = 2.98 sin (−4.13t − 8.71) + 4.40 ω y =
r k m =
s
0.84 N/m
0.05 kg = 4.1 rad/s
#
l " f r 0 H 6 x à º^ o =s Z þ t # Q t · ú § ¤` ¦ M :_ ¨ î + þ A U ´ s
s .
2. Lissajous ¤ Ò Å m ô p §M
x» ¡ ¤ õ y» ¡ ¤ y y _ ~ ½ Ó ¾ Ó\ @ /K é ß ¸ oî r1 l x` ¦ ô Ç H
z ´` ¦ : x K y ~ ½ Ó ¾ Ó_ y 1 l x à º\ ¦ or & { 9 ì ø ÍÓ ü t o
§F \ ¸ H Lissajous/ B G ` ¦ ½ ¨ & ³½ + É Ã º e ` ¦ כ s
¦ \ V8 £ ¤` ¦ % i .
Fig. 6. Model of two-dimensional harmonic oscillator.
Fig. 7. Lissajous figures.
(1) 2 " é ¶ ¸ o 1 l x _ Lissajous / B G _ " é ¶ o Fig. 6 É r 2 " é ¶ 0 A\ " f x» ¡ ¤ õ y» ¡ ¤ ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð 6 x à º^ o =s
) a 2 " é ¶ ¸ o 1 l x \ ¦ · p [10].
ô
Ç { 9 _ 0 A 7 ' \ ¦ ~ r = x ˆ e x + y ˆ e y ½ + É M : 4 ¤" é ¶§ 4 F = −(k ~ x x ˆ e x + k y y ˆ e y ) 6 x H â Ä º, | 9 | ¾ Ó m { 9
H x» ¡ ¤ x 9 y» ¡ ¤ ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð y y
x(t) = A x cos ω x t ; ω x = p k x /m y(t) = A y cos(w y t + δ) ; ω y =
q k y /m
Ð l Õ ü t ÷ & H é ß 1 l xî r1 l x` ¦ ô Ç . # l " f δ H ¿ º é ß 1 l x _
íl 0 A © s . 1 p x ~ ½ Ó$ í 1 l x(ω x = ω y = ω) _ â Ä º, { 9
_ C ¸ ~ ½ Ó& ñ d É r ( x
A x
) 2 − 2( x A x
)( y A y
) cos δ + ( y A y
) 2 − sin 2 δ = 0 s
¦ δ = nφ(n = & ñ Ã º) â Ä º f î r1 l x` ¦, Õ ª ü @_
â
Ä º " é ¶î r1 l x` ¦ ô Ç . ô Ǽ # , q 1 p x ~ ½ Ó$ í 1 l x (ω x 6= ω y )
â
Ä º\ H 2A x ü < 2A y \ ¦ ¿ º Ü ¼ Ð H f y + þ A î ß \
Table 1. Results for the two-dimensional motions of a spring pendulum.
Horizontal Vertical Angular
w
x: w
yk [N/m] m [g] r
0[m] w
x= q
g
r0
T
x=
w2πx
w
y=
q
km
T
y=
w2πy
frequency [rad/s] [sec] [rad/s] [sec] [rad/s]
1 : 2 4.41 50.77 0.46 4.79 1.31 9.58 0.66 4.79
1 : 3 6.40 101.51 1.50 2.57 2.44 7.71 0.81 2.57
1 : 4 9.02 101.51 2.19 2.15 2.92 8.60 0.73 2.15
2 : 3 6.85 101.51 0.25 5.42 1.16 8.13 0.77 2.71
"
f " é ¶î r1 l x s B Ä º 4 ¤ ¸ ú ô Ç î r1 l x` ¦ ô Ç . : £ ¤ y x ~ ½ Ó
¾ Óõ y ~ ½ Ó ¾ Ó_ 1 l x à º ω x ü < ω y _ q / B N à º \ O H ¿ º
&
ñ Ã º n x ü < n y _ q ü < ° ú , 7 £ ¤, ω x /ω y = n x /n y s , x ü < y ~ ½ Ó ¾ Ó É r 1 l x{ 9 ô Ç Å Òl T = 2πn x /ω x = 2πn y /ω y \ ¦
° ú
¦ { 2 ³/ B G ` ¦ Å Òl î r1 l x` ¦ ô Ç . s Qô Ç { 2 ³/ B G
` ¦ Lissajous / B G s 9, Fig. 7 É r Y > t â Ä º_ Lissajous / B G ` ¦ · p כ s .
ô
Ǽ # ω x /ω y Ä »o à º m Å Òl î r1 l x` ¦ t · ú §
H . " f { 9 H { 2 ³/ B G s \ P 2 ; / B G ` ¦ Õ ª 2 ;
. s â Ä º Ø æì r ô Ç r ç ß s â õ ô Ç Ê ê\ H ¿ º s y y 2A x ü < 2A y f y + þ A? /_ # Q " & h s H t Á ºô Çy
s : x õ ½ + É Ã º e # Q" f s f y + þ A` ¦ Õ ª / B G Ü ¼ Ð B jÄ º
>
) a .
(2) Lissajous/ B G ` ¦ ë ß [ þ t l 0 Aô Ç z ´+ « > [ O > 2 " é ¶ ¸
o 1 l x _ â Ä º à º¨ î õ à ºf _ 6 x à º^ o = 7 á x À Ó\ ¦ or v
x » ¡ ¤ õ y » ¡ ¤ _ y 1 l x à º\ ¦ or ~ ´ à º e . U ´s
H 6 x à º^ o = _ â Ä º, » ¡ ¤ x ~ ½ Ó ¾ Ó_ y 1 l x à º\ ¦
or v l 0 AK 6 x à º^ o =_ U ´s \ ¦ or v y » ¡ ¤ ~ ½ Ó
¾ Ó_ y 1 l x à º ¸ < Êa % i . s Qô Ç ë H ] j\ ¦ K l
0 AK < ÆÒ q t[ þ t É r 6 x à º^ o =\ Z > ¦ ¸ ú Z þ t # Q t · ú § H z ´
Fig. 8. Adjustment of pendulum’s length using an unex- tensible string.
`
¦ % i (Fig. 8 à Р¸). $ " é ¶ H 6 x à º^ o =` ¦ & ñ
# ω y \ ¦ & ñ % i Ü ¼ 9, 6 x à º^ o =õ ô Ç z ´_ U ´s \ ¦
¸& ñ # " é ¶ H ω x \ ¦ ½ ¨ % i .
Fig ¼ # | 9 á Ô ÐÕ ªÏ þ ` ¦ s 6 x H ~ ½ ÓZ O É r ´ ú § É r ¸§ 4 õ r
ç ß s 9 כ ¹ l M :ë H \ Õ ªa Ë >\ " f 1 l x Ü ¼ Ð ý a³ ð\ ¦ { 9
#
QÅ Ò H á Ô ÐÕ ªÏ þ ` ¦ ¦î ß % i . C â É r É rÒ oÜ ¼ Ð % o
¦ Æ Ò\ ¦ ¸ Ï Ò oÜ ¼ Ð » } 9 ` ¦ ô Ç © I \ " f ¹ ¡ §f s H
Fig. 9. Lissajous path for w x : w y = 1 : 2 given in Table 1.
Fig. 10. Lissajous path for w x : w y = 1 : 3 given in Table
1.
Fig. 11. Lissajous path for w x : w y = 1 : 4 given in Table 1.
Fig. 12. Lissajous path for w x : w y = 2 : 3 given in Table 1.
\ ¦ n t _ O Ö r ï 8\ ¦ s 6 x # O É % ò % i . s % ò ©
`
¦ 1/30 ∼ 0.1 í ç ß _ Õ ªa Ë > { 9 Ð $ © ô Ç Ê ê, Image Processing` ¦ : x K µ 1 ß> n 2 ³ Ó ü t ^ _ ý a³ ð\ ¦ 1 l x Ü ¼ Ð { 9
% 3 . s M : Ó ü t ^ _ ý a³ ð H µ 1 ß É r & h (pixel)[ þ t _ ý a³ ð\ ¦
¨ î
ç H # ½ ¨ % i .
(3) 6 x à º^ o = ë ß × ¼ H Lissajous / B G Image Pro- cessing á Ô ÐÕ ªÏ þ ` ¦ s 6 x # U ´s H 6 x à º^ o =
\ B ² ú 2 ; Æ Ò_ ý a³ ð\ ¦ { 9 # Q ì r$ 3 ô Ç õ \ ¦ 6 £ § Table 1 \ & ñ o % i .
Fig. 9 \ " f 12 É r Table 1 \ " f ½ ¨ô Ç Ã º¨ î ~ ½ Ó ¾ Óõ à ºf ~ ½ Ó
¾ Ó_ y 1 l x à º_ q \ É r _ C ¸\ ¦ · p כ s
. 7 £ ¤, 2 " é ¶ Ã ºf ¨ î \ " f 1 l x H U ´s H 6 x Ã
º^ o = ¸ ω x ü < ω y & ñ Ã ºq \ ¦ ° ú H Lissajous / B G
`
¦ Õ ªw n = Ã º e 6 £ §` ¦ · ú Ã º e % 3 .
IV. + s Ç Â ] Ø õ m Í < g ¹ Å
s
7 Hë H É r ½ ¨ü < §¹ ¢ ¤ (Research and Education) á Ô Ð Õ
ªÏ þ ` ¦ 3 l q& h Ü ¼ Ð U ´s H 6 x à º^ o = _ î r1 l x` ¦
< ÆÒ q t[ þ t Û ¼Û ¼ Ð ì r$ 3 K ¸2 ¤ # | ` ¦ º K Å Ò% 3 . < Æ Ò q
t[ þ t É r ë H ³ ¸ ü < z ´+ « >_ [ O > , z ´+ « > z ´r ü < ì r$ 3 ` ¦ : x K
U ´s H 2 " é ¶ 6 x à º^ o = î r1 l x _ H & h K
\
¦ ½ ¨ % i . Õ ª õ × æ§ 4 \ _ ô Ç é ß 1 l x à º¨ î ~ ½ Ó ¾ Ó_ î
r1 l x õ 6 x à º^ o =\ _ ô Ç é ß 1 l x à ºf ~ ½ Ó ¾ Ó_ î r1 l x s H
& h Ü ¼ Ð ½ + Ë ) a + þ AI _ î r1 l xe ` ¦ · ú ? /% 3 Ü ¼ 9, y y _
y 1 l x à º & ñ à ºq ÷ & H â Ä º 6 x à º^ o = H 2 " é ¶
¨ î
© \ " f Ð: x _ ¸ o 1 l x ü < ° ú É r Lissajous / B G ` ¦
Í Ç r` ¦ S X % i . ¢ ¸ô Ç s ½ ¨\ " f à º' ô Ç n t _ O Ö
r ï 8\ ¦ s 6 x ô Ç 4 ¤ ¸ ú ô Ç % i < Æ& h 1 l x > _ z ´+ « > ì r$ 3 ~ ½ Ó Z O
É r @ / < Æ_ % i < Æ z ´+ « > ½ Ó3 l q \ í < Êr ~ ´ à º e H §¹ ¢ ¤& h
u \ ¦ t ¦ e ¦ b H .
P
c p 8 ý ò k >
Image Processing É r Fig 1 l x% ò © \ " f 6 x t & ñ ô
Ç Ó ü t ^ \ ¦ " f Ó ü t ^ _ ý a³ ð\ ¦ { 9 # Q $ © H õ
&
ñ s á Ô ÐÕ ªÏ þ ` ¦ _ p ô Ç . s z ´+ « >\ 6 x ) a Image Processing á Ô ÐÕ ªÏ þ É r õ < ÆF é ß t " é ¶ õ < Æ ¦ §¹ ¢ ¤ á Ô ÐÕ ª Ï þ
\ O Ü ¼ Ð ë ß H á Ô ÐÕ ªÏ þ _ ô Ç 7 á x À Ó{ 9 m .
Y
c p w à U Ø ô
[1] H.-S. Kim, Properties of New Highschool Textbooks (Study on the Textbook, Seoul, 2003), p. 8.
[2] W.-H. Choi, K.-H. Woo and H.-J. Park, Journal of Korean Science Education, 24, 1070 (2004).
[3] J. Wellington, Using Informational Learning to En- rich Science Education, Secondary Science: Con- temporary Issues and Practical Approaches (Rout- ledge: London & New York, 1994), p. 284.
[4] J.-K. Park, Science Education 4, 41 (1987).
[5] Hodson, D, Teaching and Learning Science: To- wards a Personalized Approach. Buckingham (Open University Press, Philadelphia, 1998).
[6] J. -K. Koh, Mechanics (ChungMoonGak, Seoul, 1990), p. 95.
[7] F. Rief, Am. J. Phys. 63, 17 (1995); K. H. Kwon, Natural Science 7, 23 (1996).
[8] K. Y. Kim, C. M and D. S. Kang, Journal of Science Education 16, 39 (1999).
[9] W. K. Lee, J. of Natural Sciences Yeungnam Uni-
versity 11, 103 (1983).
[10] S. Frank and Jr. Crawford, Waves: Berkeley Physics Course, Vol. 3 (Mcgraw-Hill College, 1968),
p. 17.; K. Symon, Mechanics, 3rd ed. (Addi- son Wesley, Reading, MA, 1971), p. 107.
Study of Examples to Nurture Science-High-School Student’s Ability of Creative Analysis through the Analysis of the Approximate
Two-Dimensional Harmonic Motion of a Spring Pendulum
Jong-Seon Lee ∗
Daegu Science High School, Daegu 706-852 Yunebae Park and Ho-Meoyng Choi
Department of Physics Education, Kyungpook National University, Daegu 702-701 (Received 21 December 2005)
We let science-high-school students analyze the two-dimensional approximate harmonic motion of a spring pendulum held in a vertial position. They photographed the pendulum using a digital camcorder and obtained the solution of the motion by experimental analysis. Through the data analysis, they found that the combined horizontal and vertical motions of a spring pendulum fol- lowed the same Lissajous path, which depended on the ratio between the horizontal and the vertical angular frequencies, as that for the ordinary two-dimensional simple harmonic oscillator.
PACS numbers: 01
Keywords: Spring pendulum, Tow-dimensional harmornic motion, Lissajous path
∗
