Complex Vector Spaces and Unitary inner product spaces

2012 LECTURE NOTE - WEEK 12, 13

8.

Complex Vector Spaces and Unitary inner product spaces

8.0. Introduction. 정사각형 행렬 A의 고유치를 계산하는 다항식 pA(t) = det(tI − A)은 A의 여러 특성을 알려주므로특성다항식(charcateristic polynomial)이라는 이름을 얻었다. 먼저 A가 n차 정사각형 행렬이면 p_A(t)는 계수에 tr(A)와 det(A)가 들어있는 n차 다항식이다. 좀 더 정확히 표현한다면, p_A(t)의 상수항은 A의 행렬식, n − 1차 항의 계수는 A의 trace이다.

pA(t) =         

t − a11 −a₁₂· · · −a_1n

−a₂₁ x − a₂₂ · · · −a_2n ... ... . .. ...

−a_n1 −a_n2 · · · t − ann

= tⁿ− tr(A)tⁿ⁻¹+ · · · + (−1)ⁿdet(A) 또, 특성다항식의 근 λ는

Ax = λx

를 만족하는, A의 고유벡터라고 불리는 영이 아닌 벡터 x를 찾게 해 준다. 이 고유벡터와 고유 치는 A의 선형 변환으로써의 특성을 알려주고, 연립선형미분방정식의 풀이를 포함하여 많은 응용이 있음을 관찰하였다.

이차다항식에 대해서는 언제 실근을가지고, 언제 중근을 가지는지 잘 알려져 있지만, 일반적 으로는 단 한개의 실근의 존재여부를 알아내는 것도 쉽지 않다. (물론 홀수차인 경우는 적어도 한 개의 실근을 가지지만.) 어떤 상황에서든 우리가 관찰하고자 하는 것의 존재여부를 모르는 경우에는 그 녀석의 특성을 분석하는 것이 쉽지 않다.

그러나, 대수학의 기본정리에 따르면, (계수가 실수이건 복소수이건) 모든 다항식은 복소수 근을 항상 가져야 하며, 나눗셈 정리와 이 사실을 순차적으로 이용하면, 모든 n차 다항식은 근의 중복도까지 계산하여 n개의 복소수 근을 가진다. 물론 실근을 구체적으로 구할 수 없었던 것처럼 복소수근을 구체적으로 구할 수는 없지만, 존재한다는 사실이 보장되는 것만으로도 큰 도움이 된다. 우리의 놀이터인 ground field를 실수에서 복소수로 확장해야 하는 이유이다.

이제 실근을원한다면, 복소수가 실근일 조건이 성립하는지 확인하면 된다. 복소수 λ가 실수 이기 위한 필요충분조건은 λ = λ임은 모두들 기억하리라 본다. 여기서 λ = a+ib일 때 λ = a−ib 를 의미한다.

실수 고유치는 갖지 않지만 복소수 고유치를 갖는 가장 간단한 행렬을 보자. 행렬 A =0 −1

1 0



의 특성다항식은 x²+ 1이므로 i와 −i가 두 근이다. i와 −i에 대응하는 고유벡터는 Ax = ix와 Ax = −ix으로부터 얻어진다.

0 −1 1 0

  1

−i



= (i) 1

−i



, A =0 −1 1 0

 1 i



= (−i)1 i

 .

1

복소수를 고유값으로 가치는 경우에도 고유벡터의 계산은 실수의 경우와 같은 방법으로 구할 수 있으므로, 우리의 놀이터를 좁은 공간으로 제한할 이유가 없다. 이제 지금까지의 선형대수 에서 우리가 사용한 연산은 실수의 단계로 가서 살펴보면 덧셈, 뺄셈, 곱셈과 나눗셈뿐 이었다.

복소수도 이와 같은 연산이 되므로 선형대수 교재의 대부분의 내용은 그대로 확장된다. 다만 복소수와 실수의 차이가 복소수는 대소관계(즉 양수와 음수)가 없어 이 부분만 적절히 보완하면 된다. 실수의 양수의 성질은 내적공간에서만 필요했음을 기억하자.

8.1. Complex vector spaces and unitary inner product spaces

간단히 설명한다면, 복소벡터공간은 scalar로 복소수를 허락하는 벡터공간이다. 복소수들의 집합은 C로 표현한다.

정의 8.1.1. 복소벡터공간(complex vector space) V 는 (1)-(4)의 성질을 만족하는 이항연산 +를 가지고, (5)-(8)의 성질을 만족하는 복소수 상수곱을 가지는 공집합이 아닌 집합이다. v, w, u ∈ V 일 때, v + w ∈ V 이고

(1) (v + w) + u = v + (w + u)

(2) 0 + v = v = v + 0인 영벡터 0이 V 에 존재

(3) v ∈ V 에 대하여, v + (−v) = 0 = (−v) + v인 −v ∈ V 존재 (4) v + w = w + v,

a ∈ C, v ∈ V 일 때 복소수 상수곱은 av ∈ V 로 표시하고, a, b ∈ C에 대하여 (5) (ab)v = a(bv)

(6) (a + b)v = av + bv (7) a(v + w) = av + aw (8) 1v = v

이 성립한다.

물론 벡터공간은 영벡터를 항상 가지므로 자동적으로 공집합은 아니다.

예제 8.1.1. Cⁿ= {(z1, z2, · · · , zn) zi ∈ C} 은 n차원 복소벡터공간이다. 왜냐하면 (z1, z2, · · · , zn), (w1, w2, · · · , wn) ∈ Cⁿ, a ∈ C 이면,

(z1, z2, · · · , zn) + (w1, w2, · · · , wn) = (z1+ w1, z2+ w2, · · · , zn+ wv) ∈ Cⁿ, a(z₁, z₂, · · · , z_n) = (az₁, az₂, · · · , az_n) ∈ Cⁿ.

Cⁿ is 의 표준기저(the standard basis)는 {e1, e2, · · · , en}이다. z = (z₁, z2, · · · , zn)이면 z = z₁e₁+ z₂e₂+ · · · + z_ne_n임은 자명하다.

예제 8.1.2. Rⁿ은 복소벡터공간은 아니다. 왜냐하면, i(1, 0, 0, · · · , 0) = (i, 0, 0, · · · , 0) /∈ Rⁿ

Cⁿ의 표준내적과 유니타리 공간

어떤 벡터공간의 벡터의 크기를 정의하기 위하여 그 벡터공간에 내적을 정의했었던 것을 기억할 것이다. 이제 복소벡터공간에 있는 벡터의 크기를 정의하기 위하여 복소벡터공간에 내적을 정의한다. 5장의 실벡터공간의 내적과 구별하기 위하여 필요하다면 복소내적(complex inner product)으로 부른다.

내적과 벡터의 크기와의 관계가

||v||² = v · v

였음을 기억하고, 복소수z = x + iy의 크기|z|가

|z|²= z ¯z

였음을 생각한다면 다음 정의는 자연스럽게 느껴지리라 본다.

정의 8.1.2. [Cⁿ의 표준내적(Standard Inner Product)] z = (z₁, z₂, · · · , z_n), w = (w₁, w₂, · · · , w_n) ∈ Cⁿ일 때 z와 w의 표준내적은 z · w로 쓰고

z · w = z₁w₁+ z₂w₂+ · · · + z_nw_n 로 정의한다.

예제 8.1.3. (1) h(2 − 3i, 2), (5 + 2i, 1 − 3i)i = (2 − 3i)(5 − 2i) + 2(1 + 3i) = 6 − 13i (2) h(5 + 2i, 1 − 3i), (5 + 2i, 1 − 3i)i = 29 + 4 = 33

위의 두번째 예에서처럼

(8.1) hz, zi = z₁z₁+ z₂z₂+ · · · + z_nz_n≥ 0

이 성립하고, z_iz_i ≥ 0이므로 식 (8.1)에서 = 이 성립하기 위한 조건은 z = 0와 동치이다.

표준내적에 의해서 Cⁿ의벡터z의 크기

||z|| =phz, zi

가 결정될 때 Cⁿ을 유니타리 공간(unitary space)이라 부른다.

위의 식 (8.1)을 포함하여 Cⁿ의 복소표준내적이 다음 성질을 만족함은 정의로부터 쉽게 유 도된다.

보조정리 1. V = Cⁿ, v, w, u ∈ V , a ∈ C, 그리고 hv, wi = v · w. 그러면 다음이 성립한다.

(1) hv, wi = hw, vi

(2) hv + w, ui = hv, ui + hw, ui, hv, w + ui = hv, wi + hv, ui (3) hav, wi = ahv, wi, hv, awi = ¯ahv, wi

(4) hv, vi ∈ R, hv, vi ≥ 0. hv, vi = 0 ⇐⇒ v = 0.

특히. hv, awi = ¯ahv, wi를 기억하도록.

교재 5.2절에서 내적을 정의하듯이 임의의 복소벡터공간에 보조정리 1의 (1)-(4)를 만족하는 복소내적 h , i을 정의할 수 있다. 다만 이 강의록에서는 상황을 간단하게 하기위하여 복소벡 터공간은 Cⁿ이고 내적은 표준내적으로 한정한다. 그러나 여기에서 소개하는대부분의 내용이 보조정리 1를 만족하는 모든 복소내적에서 성립하는 경우가 대부분이므로 Cⁿ의 복소내적도 h , i로 표현한다. 표준내적임을 강조해야할 때만 점곱(dot product)으로 표현한다.

Hermitian adjoint of A와 Hermitian matrix

A = [a_ij] ∈ M_n×n(C)일 때 ¯A = [ ¯a_ij], A^∗= ¯A^T로 약속한다. A^∗를 A의 Hermitian adjoint라고 부르기도 한다.

보조정리 2. A = [a_ij] ∈ Mn×n(C), z = (z1, z2, · · · , zn), w = (w1, w2, · · · , wn) ∈ Cⁿ, hz, wi = z · w이다. 임의의 z, w에 대하여

hAz, wi = hz, A^∗wi 가 성립한다. (교재 연습문제 5.2 89번 참조)

증명. 연습문제

행렬 A = [aij] ∈ Mn×n(C)가

A = A^∗

를 만족하면 Hermitian matrix(에르미뜨 행렬)이라 부른다. 따라서 행렬의 모든 원소가 실 수인 대칭행렬은 Hermitian 행렬이다.

예제 8.1.4. (1) A =

 3 2 − 5i 2 + 4i i



이면 A^∗ =

 3 2 − 4i 2 + 5i −i

 . (2) 대칭행렬 A =3 2

2 −5



는 Hermitian 행렬이다.

(3) 대칭행렬 A = 3 2i 2i −5



는 Hermitian 행렬이 아니다. 왜냐하면 A^∗ =

 −3i 3 + 2i 3 + 2i −5

 6=

A.

정리 8.1. A = [a_ij] ∈ M_n×n(C) 가 Hermitiam matrix이고 어떤 벡터 z 6= 0와 λ ∈ C에 대하여 Az = λz이면 λ는 실수이다. 특히 A ∈ Mn×n(R)가 대칭행렬이면 A의 고유치는 항상 실수이다.

증명. A = A^∗이므로

hAz, zi = hz, A^∗wi = hz, Azi.

Az = λz이므로, hAz, zi = hλz, zi = λhz, zi, hz, Azi = hz, λzi = ¯λhz, zi. 따라서 λhz, zi = ¯λhz, zi.

hz, zi 6= 0이므로 λ = ¯λ. 즉, λ ∈ R.

이제 교재의 정리 7.7의 2번이 증명되었다.

연습문제 8.1

1. V 는 임의의 복소벡터공간이고, h , i이 보조정리 1의 (1)-(4)를 만족하면, 임의의 v에 대하여 hv, vi은 실수임을 보여라.

2. 보조정리 2를 증명하라.

8.2. The polynomials p(t) that satisfy p(A) = O for a given matrix A.

이 강의록의 나머지 부분에서 O는 영행렬(zero matrix)이며, F 는실수들의 집합 R이거나, 혹은 복소수들의 집합 C이다. 물론 Hermitian 행렬을 논할때는 F = C이다. 표현을 간단히 하기 위하여 필요하다면 계수가 집합 F 의 원소인 다항식들의 집합을 F [t]로 표현한다. 따라서 g(t) ∈ R[t]이면 g(t)의 계수는 실수이고, g(t) ∈ C[t]이면 g(t)의 모든 항의 계수는 복소수이(거나 실수)다.

f (t) = antⁿ+ an−1tⁿ⁻¹+ · · · + a1t + a0는 다항식이고 A ∈ M_n×n(F )일 때 f (A) = a_nAⁿ+ a_n−1Aⁿ⁻¹+ · · · + a₁A + a₀I

로 정의한다.

예제 8.2.1. A =2 0 0 2



는 2차 정사각행렬이고, f (t) = t − 2, g(t) = 2t²− 5이다. 그러면

f (A) = A−2I =2 0 0 2



−21 0 0 1



=0 0 0 0



, g(A) = 2A²−5I = 22 0 0 2

2

−51 0 0 1



=3 0 0 3

 .

예제 8.2.2. 행렬 A =a b c d



의 특성다항식을 p(t)라고 하자. 그러면 p(t) = t²−(a+d)t+(ad−bc) 이고,

p(A) = A²− (a + d)A + (ad − bc)I =a b c d

 a b c d



− (a + d)a b c d



+ (ad − bc)1 0 0 1



=0 0 0 0

 . 위의예는 2차 행렬에 대한 Cayley-Hamilton 정리이다. 또 위의 예에서 a + d = trace(A), ad − bc = det(A)임을 기억하도록.

보조정리 3. V = Fⁿ, A ∈ Mn×n(F )이라 하자. 그러면 v ∈ V 에 대하여, p(A)v = 0을 만족하는 차수가 n이하인 다항식p(t)이 항상 존재한다.

증명. {v, Av, A²v, · · · , Aⁿv}는 V 의 n+1개 벡터들이다. 그런데 V 의 차원은 n이므로, {v, Av, A²v, · · · , Aⁿv}

는 일차종속이다. 따라서 모두는 0이 아닌 상수(=스칼라) a0, a1, · · · , an∈ F 이 존재하여 anAⁿv + · · · + a1Av + a0v = (anAⁿ+ · · · + a1A + a0I)v = 0.

따라서, p(t) = a_ntⁿ+ an−1tⁿ⁻¹+ · · · + a1t + a0이라 놓으면, f (A)v = 0.

보조정리 4. V = Fⁿ, B ∈ Mn×n(F )이고 {v1, v2, · · · , vn}은 V 의 기저이다. 만약 모든 i에 대하 여 Bv_i = 0이면 B = O.

위의보조정리는 잘 알려진 것이지만, 혹 그 이유가 바로 들어오지 않는 학생들은 표준기저 {e₁, e₂, · · · , e_n}에 대해서 간단히 증명해 보기 바란다. 증명은 Be_i은 B의 i번 째 열임을 기억하 기만 하면 된다.

보조정리 5. f (t), g(t)는 다항식이고, A ∈ M_n×n(F )이다. 그러면 f (A)g(A) = g(A)f (A).

증명. 수업시간에, 혹은 연습문제

정리 8.2. 정사각행렬 A ∈ M_n×n(F )에 대해서 p(A) = O를 만족하는 차수가 많아야 n²인 다항식 p(x)가 존재한다.

증명. V 의 적당한 기저 {v₁, v₂, · · · , v_n}을 잡고 각각의 v_i에 보조정리 3을 적용하면, 차수가 n 차 이하인 다항식 p_i(t) 가 존재하여 pi(A)vi= 0을 만족한다. 이제 p(t)를 pi(t)의 곱

p(t) = p1(t)p2(t) · · · pn(t) 으로 잡으면 차수는 많아야 n²이며, 보조정리 5에 의하여

p(A)v_i = p₁(A)p₂(A) · · · p_n(A)v_i= p₁(A)p₂(A) · · · p_n(A)p_i(A)v_i= 0.

그런데 {v₁, v₂, · · · , v_n}이 V 의 기저이므로, 보조정리 4를 행렬 p(A)에 적용하면 p(A) = O가 성립한다.

예제 8.2.3. 다음의 세 행렬의 특성다항식은 모두 p(t) = (t − 2)³이다.

(a) A₁ =





2 0 0 0 2 0 0 0 2



 (b) A₂ =





2 0 1 0 2 0 0 0 2



 (c) A₃ =





2 1 1 0 2 1 0 0 2





(1) 위의 세 행렬은 모두 p(t)를 만족함을 보여라. 행렬 A가 다항식 p(t)를 만족한다는 것은 p(A) = O이 성립한다는 것이다.

(2) p1(t) = t − 2, p2(t) = (t − 2)²이라 하면, 다음을 확인하라.

(a) p₁(A₁) = O.

(b) p1(A2) 6= O지만 p2(A2) = O.

(c) p1(A3) 6= O, p2(A3) 6= O지만 p(A3) = O.

위의예의 세 행렬들은 특성다항식이 같고, 모두 특성다항식을 만족하지만, 어떤 행렬은 차 수가 더 낮은 다항식을 만족하기도 한다. 이런 이유로 다음 절의 주제가 필요하다.

연습문제 8.2

1. 보조정리 5를 증명하라.

2. 교재 7장 2절 예 7의 최소다항식은?

3. 교재 7장 3절의 예 3과 예 9의 최소다항식을 추측하고, 그렇게 추측한 이유를 밝혀라.

8.3. 정사각행렬의 최소다항식(Minimal polynomial of a square matrix) 최소다항식

A가 정사각행렬이면, 정리 8.2에서 A가 만족시키는 다항식 p(t)가 존재함을 보았다. 그리고 2절의 예제 8.2.3의 모든 3차 행렬은 차수가 3 이하인 다항식을 만족함을 관찰하였다.

A는 영행렬이 아닌 M_n×n(F )에 속하는 행렬이다. 그러면 정리 8.2에 의하여 다음 집합 Z = {f (t)|f (A) = O}

은 0이 아닌 다항식을 포함한다. 그러면 이 집합에 속하는 다항식들 중 0이 아닌 다항식들의 차수는 음이 아닌 정수들의 집합이다. 음이 아닌 정수들의 집합에는 항상 가장 작은 정수가 존 재하므로, Z의 0이 아닌 다항식 중 차수가 가장 작은 다항식을 잡을 수 있고, 그 중 최고차항의 계수가 1인 다항식을 A의 최소다항식이라 부르고,

m_A(t)

로 표시하자. 정의에 의하여 m_A(A) = O이다. 혼동이 일어나지 않는 경우는 m_A(t) = m(t)로 쓴다.

대수학의 기본정리로부터 실수, 혹은 복소수 계수를 가지는 임의의 n차 다항식은 n개의 일 차다항식들의곱으로 인수분해된다. 이제 최소다항식의 근은 항상 고유치가 됨을 보이자.

정리 8.3. A는 영행렬이 아닌 M_n×n(C)에 속하는 행렬이고 m(t) = mA(t)는 A의 최소다항식 이다.

(1) 만약 m(t) = (t − λ1)^s1(t − λ2)^s2· · · (t − λ_r)^sr, λi ∈ C이면, 각각의 i에 대하여, (i에 의 존하는) 영이 아닌 벡터 w_i ∈ Cⁿ가 존재하여 Aw_i = λ_iw_i를 만족한다. 즉, 행렬 A의 최소다항식의 모든 근은 A의 고유치이다.

(2) λ가 A의 고유치이면, λ 는 m_A(t)의 해이다.

(3) 다항식 f (t)가 f (A) = O를 만족하면, m_A(t)는 f (t)를 나눈다.

증명. (1) 먼저 λ₁이 고유치임을 보이자. m(t) = (t − λ₁)^s1(t − λ₂)^s2· · · (t − λ_r)^sr이므로 A는 g(t) = m(t)/(t − λ1) = (t − λ1)^s1−1(t − λ2)^s2· · · (t − λ_r)^sr를 만족하지 않는다. 즉, g(A)은 영행 렬이 아니다. 따라서 적당한 영이 아닌 벡터 v가 존재하여,

g(A)v 6= 0.

w₁ = g(A)v 로 놓으면

m(A)v = (A − λ1I)g(A)v = (A − λ1I)w1 = 0 이 되므로

Aw1= λ1w1

를 만족한다. w₁는영벡터가 아니므로 λ₁은 고유치이다.

(2) 과제임. (힌트는 Av = λv이고 v 6= 0인데 λ 6= λi이면 m_A(A)v가 0이 되지 않음을 보이면 된다. 혹은 아래 문제를 이용해도 됨.)

(3) 고등학교때 배운 나눗셈의 정리(보조정리 6)를 이용하면 f (A) = O를 만족하는 모든 다항식 f (t)은 m_A(t)로 나누어짐을 보일 수 있다. 나눗셈 정리로부터

f (t) = mA(t)q(t) + r(t), 단 r(t) = 0, 혹은 deg r(t) < deg mA(t).

r(t) = f (t)−m_A(t)q(t)이므로, r(A) = f (A)−m_A(A)q(A) = O−Oq(A) = O. 따라서 r(t) ∈ Z = {f (t)|f (A) = O}. 그런데 deg r(t) < deg m_A(t).이고. mA(t)는 Z에 속하는 영이 아닌 다항식 중 차수가 최소이므로, r(t) = 0이어야만 한다. 따라서 f (A) = O이면 m_A(t)는 f (t)를 나눈다.  보조정리 6 (나눗셈 정리). f (t), g(t) ∈ F [t]이고 g(t) 6= 0이면

f (t) = g(t)q(t) + r(t)

를 만족하는 다항식 q(t)와 r(t)가 존재하며, 이 때, r(t) = 0이거나 혹은 r(t)의 차수가 g(t)의 차수보다 작으면 q(t)와 r(t)가 유일하게 존재한다.

연습문제 8.3

1. A는 정사각행렬이고 f (t)는 f (A) = O인 상수가 아닌 다항식이다. 만약 Av = λv를 만족하는 영이 아닌 벡터 v가 존재하면, f (λ) = 0임을 보여라.

2. 정리 8.3(2)를 증명하라.

8.4. Mimimal polynomials of Hermitian Matrices

A^∗= A를 만족하는 행렬이 Hermitian 행렬이고, A^∗= A^T임을기억하도록.

정리 8.3로부터 정사각행렬 A의 최소다항식의 근은 고유치이고, 모든 고유치는 최소다항식 의 근임을 알았다. 정리 8.3으로부터 Hermitian행렬의 고유치는 실수였음을 기억하자. 따라서 A가 Hermitian 행렬이면

mA(t) = (t − λ1)^s1(t − λ2)^s2· · · (t − λ_r)^sr, 단, λi∈ R, si 는 1 이상의 자연수

정리 8.4. A가 Hermitian 행렬이면 m_A(t)는 중근을 가지지 않는다. 즉, 서로 다른 실수 λ₁, λ₂, · · · , λ_r 이 존재하여

m_A(t) = (t − λ₁)(t − λ₂) · · · (t − λ_r).

정리 8.4는 다음 보조정리로부터 증명된다.

보조정리 7. B가 n차 Hermitian 행렬이고 v ∈ Fⁿ일 때, 양의 정수 k에 대하여 B^kv = 0이면 Bv = 0이다.

증명. k = 2인 경우만 증명하자. Bv · Bv = v · B²v >= v · 0 = 0이므로 Bv = 0. 일반적인 경우는 k에 대한 귀납법을 쓰면 된다. 연습문제로 남긴다.

A, B가 n차 Hermitian 행렬이고, c ∈ C이면, (A + cB)^∗ = A^∗+ ¯cB^∗이다. 특히 c가 실수이고, A, B가 n차 Hermitian 행렬이면 (A + cB)^∗도 Hermitian 행렬이다.

정리 8.4의 증명 m_A(t) = (t − λ₁)^s1(t − λ₂)^s2· · · (t − λ_r)^sr라 놓자. 단, λ_i는 서로 다른 실수.

m_A(A) = O이므로, 모든 벡터 v에 대하여,

mA(A)v = [(A−λ1I)^s1(A−λ2I)^s2· · · (A−λ_rI)^sr]v = (A−λ1I)^s1{(A−λ₂I)^s2· · · (A−λ_rI)^srv} = 0.

A − λ1I는 Hermitian 행렬이므로 보조정리 7로부터, (A − λ1I){(A − λ2)^s2I · · · (A − λr)^srIv} = 0 이 되므로, m_A(x)가 최소다항식이라는 사실로부터 s₁ = 1이어야만 한다. 같은 방법으로 모든 i

에 대하여 s_i= 1임을 보일 수 있다. 

Hermitian 행렬과 특성다항식 정리 8.3과 앞의 사실들로부터 Hermitian 행렬의 특성다항식과 최소다항식의 성질을요약하면 다음과 같다.

A가 Hermitian 행렬이고 p(t) = det(tI −A)는 A의 특성다항식, m_A(t)는 A의 최소다항식이다.

그러면,

(1) p(t) = (t − λ1)^s1(t − λ2)^s2· · · (t − λ_r)^sr이면 m(t) = (t − λ1)(t − λ2) · · · (t − λr) (2) m_A(t)는 p(t)를 나눈다.

(3) p(A) = O (Cayley-Hamilton 정리)

위의 (2)와 (3)는 Hermitian 행렬에서만 증명한 것이긴 하지만, 모든 행렬에서 항상 성립한다.

연습문제 8.4

1. (1) A = A^∗, A³v = 0이면 A²v = 0임을 보여라.

(2) 일반적인 경우에서 보조정리 7을 증명하라.

2. V = Cⁿ는 복소벡터공간, T : V → V 는 선형변환이다. 그러면 T 는 고유치와 고유벡터를 가짐을 보여라.

8.5. Hermite 행렬의 대각화

행렬 A는 Hermite 행렬이다. 그러면 A의 특성다항식 p(t)와 최소다항식 m(t)는 각각 다음과 같다.

p(t) = (t − λ1)^s1(t − λ2)^s2· · · (t − λ_r)^sr, m(t) = (t − λ1)(t − λ2) · · · (t − λr).

단, λi는 모두 실수이고 서로 다른 A의 모든 고유치이다.

E_i = {v ∈ Cⁿ| Av = λv}가 고유치 λ_i에 대응하는 A의 고유공간일 때 , i 6= j 이면 E_i와 E_j 는 서로 수직이다. 따라서 이들의 직교합

W = E1⊕ E₂⊕ · · · ⊕ E_r

은 A의 고유벡터들로 생성된 Cⁿ의 부분공간이다. 먼저 W^⊥를 W 의 수직여공간이라면 W ⊕ W^⊥= Cⁿ이다. 이제

W = E₁⊕ E₂⊕ · · · ⊕ E_r= Cⁿ

임을보이려고 한다. 이는 W^⊥= {0}을 보이기만 하면 된다. 다음 두 사실을 먼저 관찰하자.

(1) A(W ) ⊂ W (연습문제) (2) A(W^⊥) ⊂ W^⊥.

(2)를 보이려면 임의의 u ∈ W^⊥와 임의의 w ∈ W 에 대하여 Au · w임을 보이면 된다. 그런데 Au · w = u · Aw (∵ A : Hermite 행렬)

= 0 (∵ Aw ∈ W, u ∈ W^⊥)

u ∈ W^⊥일 때 Au ∈ W^⊥라는것은 A가 벡터공간 W^⊥에서 W^⊥으로가는 선형변환 T : W^⊥ → W^⊥, T (u) = Au을 유도한다는 것이다. 만약 dim W^⊥ ≥ 1이면, 연습문제 8.4, 2번에 의하여 T u = Au = λu인 적당한 u ∈ W^⊥와 λ가 존재한다. 즉, u가 A의 새로운 고유벡터인데, 모든

고유벡터는 ∪Ei⊂ W 에 속하므로 모순. 따라서 W^⊥= {0}. 

대칭행렬과 대각화

위의결과를 A ∈ M_n×n(R)인 n차 대칭행렬에 적용하면 A는 대각화 가능하고, 적당한 직교 행렬 P 가 존재하여

P⁻¹AP = D = diag(D1, · · · , Di, · · · , Dr)

단, Di =











λ_i 0 · · · 0 0 λi · · · 0 ... ... . .. ...

0 0 · · · λ_i











는 si × s_i 정사각행렬이다. 그런데 P⁻¹AP 와 D의 특성다항식이

같고,

Dvi= λivi ⇐⇒ A(P v_i) = λi(P vi)

이므로같은 고유치에 해당하는 D와 A의 고유공간의 차원이 같다. 즉, dim E_i = s_i이고 p_D(t) = p_A(t) = (x − λ₁)^s1(x − λ₂)^s2· · · (x − λ_r)^sr. 다음은 7장과 이 절에서 얻은 대칭행렬에 관한 정리 이다.

정리 8.5. A ∈ M_n×n(R)는 n차 대칭행렬이고 p(t)는 A의 특성다항식이다. 그러면 (1) p(t) = (t − λ1)^s1(t − λ2)^s2· · · (t − λ_r)^sr, λi ∈ R

(2) dim Ei = si

(3) Rⁿ= E₁⊕ E₂⊕ · · · ⊕ E_r (4) A는 직교대각화 가능하다.

연습문제 8.5

1. 행렬 A는 n차 Hermite 행렬이다. E_i = {v ∈ Cⁿ| Av = λv}가 고유치 λ_i에 대응하는 A의 고유공간이다. λ₁6= λ₂이고, v₁∈ E₁, v₂ ∈ E₂이면 v₁· v₂ = 0임을 보여라.

2. A는 n차 행렬이고, λi는 A의 고유치, Ei는 λi에 대응하는 A의 고유공간이다. W = E₁+ E2+

· · · + E_r이라 하자. 그러면 A(W ) ⊂ W 임을 보여라.

prepared by 강병련 revised at 2012. 11. 28