2012년 1학기 위상수학1 중간고사
주의: 1, 5번은 답만 봅니다. 나머지는 풀이과정을 자세히 서술해야 함.
1. X = {1, 2, 3}에 대하여 다음에 답하시오. (각 5점)
(1) X 위의 위상들 중, {1}과 {2}를 동시에 열린집합으로 가지는 위상을 모두 구 하시오.
(2) (1)에서 구한 위상들의 크기를 비교하시오. (⊂을 →로 대체하여 그려도 됨. 예:
T1 ⊂ T2 ⇔ T1 → T2.)
2. 다음과 같이 정의된 B에 대하여 답하시오. (각 10점)
B =(x − r, x + r) × (y − 2r, y + 2r) | (x, y) ∈ R2, r > 0 . (1) B가 R2 위의 어떤 위상의 기저가 됨을 보이시오.
(2) B가 생성하는 위상을 구하시오.
3. X는 자연수의 집합 N이고, d : X × X → R이 다음과 같이 주어졌다:
d(x, y) =
x2− y2 . (1) d는 X의 거리함수임을 보이시오. (10점) (2) d가 유도하는 위상을 구하시오. (5점)
4. X가 무한집합이고, F 가 X 위의 유한여집합위상일 때, 위상공간 (X, F )는 Haus- dorff 공간이 아님을 보이시오. (15점)
5. 실수의 아래끝위상공간에서 부분집합 A = [0, 1]에 대하여 다음에 답하시오. (각 5 점)
(1) 내부 Int A.
(2) 외부 Ext A.
(3) 폐포 A.
(4) 경계 ∂A.
(5) 도집합 A0.
6. f : R → R, f (x) = x이고, Rl, Rf는각각 실수의 아래끝위상공간, 실수의 유한여집 합위상공간일 때 다음에 답하시오.
(1) f : Rf → Rl은 연속인가? (5점) (2) f : Rl → Rf는 연속인가? (10점)
