등가 회로(Thevenin & Norton) :

Chapter 3 저항 회로망 해석 (Resistive circuits)

이장에서는 회로법칙(Kirchhoff와 Ohm의 법칙)에 근거하여, 회로 해석의 방법을 설명할 것임 회로 해석의 방법 ---

Node Voltage & Mesh current

Superposition principle

등가 회로(Thevenin & Norton) :

등가 회로 구성(소스와 부하로 단순화) --- 소스와 부하간 전력의 전달관계 이해

3.1 노드 전압 해석 (Node-Voltage Analysis) Network Analysis method

Voltage-division

Current-division ---- Useful, but do not apply to all network.

방법 및 절차

수동 부호 규약

1. 기준 노드(보통 접지)를 선택한다. 다른 모든 노드 전압은 이 노드를 기준으로 결정한다.

2. 남은 (n-1)개의 노드 전압을 독립 변수로 정의한다.

3. (n-1)개의 각 노드에

KCL

을 적용하여, 각

분기 전류를 인접 노드 전압의 항으로

나타낸다. 4. (n-1)개의 미지수를 갖는 (n-1)개의 방정식으로구성된 선형 시스템을 수립하고, 해를 구한다.

(1) Assigning Node Voltage

각각의 node에 전압 v₁ , v_2,

v

₃ 를 기입

v

₁ : node 1과 reference node 사이에 걸리는 전압 극성 : v₁ 쪽이 positive

Reference node를 이상 전압원의 한쪽 끝에 설정하는 것이 유리

reference node쪽이 negative

R₂

R4

R₅ v₁

i3

v₂ R1

Reference Node

v₃ Node3

Node 2 Node 1

v_s

R₃

The negative reference polarity for each of the node

voltage is the reference node.

(2) Writing KCL equations in Terms of the Node Voltage -1

(2) Writing KCL equations in Terms of the Node Voltage -2

Node a에서는

Node b에서는

2

0

1

− =

− i i i

_s

3

0

2

− i = i

Node c에서는

3

0

1

− i − i

_s

= i

즉 , 기준노드에서는 KCL을 적용할 필요가 없다.

Node n을 나와 저항을 거쳐 node k를 향하는 전류를 구하고자 할 때는, node n의 전압으로부터 node k의 전압을 빼어 준 다음, 저항값으로 나누어 준다.

R v i v ⁿ − ^k

=

n 개의 노드를 갖는 회로에서 최대로 얻을 수 있는

독립된 식의 수는 (n-1) 이다 .

(3) Applying KCL for at each node

R₄ R₂

R5

v1

i3

v2

R₁

Reference Node

v3

Node3

Node 2 Node 1

v_s

R₃

at the node 2

(

node를 중심으로 들어오는 것은 negative임으로

)

3 0

4

2 + + =

−

i i i

0 0

3 3 2 4 2 2

1 2

3 3 2 4 2 2

2 1

− = +

+



 



 −

− = +

+



 



− −

R v v R

v R

v v

R v v R

v R

v v

v

2

i

₂

i

₃

i

4

node 3에 대하여 KCL을 적용하면

5 0

3

1 − + =

−

i i i

0 0

5 3 3

2 3 1

1 3

5 3 3

3 2 1

3 1

=

+



 

 + −



 



 −

=

+



 



 −

−



 



− −

R v R

v v R

v v

R v R

v v R

v v

v

₃

i

₃

i

₁

i

₅

두 식을 정리하면

1 0 1

1 1

1

1 0 1

1 1

1

3 5 3

1 2

3 1

1

3 3 2

4 3

2 1

2

 =



 



 + +

 +



 



−

 +



 



−

 =



 



−

 +



 



 + +

 +



 



−

R v R

v R v R

R

R v R v

R v R

R

괄호 안의 부분은 알고 있는 값이므로 상수로 계산 가능하다

.

I₂ I₁

R₄ R₁

R2

R3

Node 1

I₂ I₁

R₄ R₁

R2

R3

Node 2

) 2 ( 노드 0 0

) 1 ( 노드 0 0

2 4

2 3

2 1 2

2 1

3 2 1 2

2 1 1

1 1

=

 −



 



 −

 −



 

 +  −

 

 



 −

 =



 



−  −

 

 



−  −

 

 



−  −

R I v R

v v R

v v

R v v R

v v R

I v

회로의 하단 노드를 기준 전압 0V를 갖는 기준 노드로 선택

Node 1, 2에 KCL을 적용하면

이 식들을 미지의 노드전압의 함수 형태로 나타내면

) 2 ( 노드 1

1 1

1 1

) 1 ( 노드 1

1 1

1 1

2 2

4 3

2 1

3 2

1 2 3 2

1 3 2

1

I R v

R v R

R R

I R v

v R R R

R

−

 =



 



 + +

 +



 



 − −

 =



 



 − −

 +



 



 + +

예제 3.1

실제 저항 및 전류 값을 대입하면

) 2 ( 노드 50

1 . 1 6 . 0

) 1 ( 노드 10

6 . 0 6

. 1

2 1

2 1

−

= +

−

=

−

v v

v v

이 되며 , 이 연립방정식의 해는

V 86 . 52

V 57 . 13

2 1

−

=

−

= v v

이제 노드 전압을 알고 있으므로 , 회로에서 각 분기 전류와 원하는 전압을 쉽게 구할 수 있다 . 예를 들어 R

₃

=10kΩ 저항에 흐르는 전류는

mA 93 . 000 3 , 10

2 1 k

10 _Ω

= v − v = i

한편 , R

₁

=1kΩ 저항에 흐르는 전류는 mA 57 . 000 13

, 1

57 . 13 000

, 1

1 k

1 _Ω

= v = − = −

i

이는 노드 1의 전압이 접지에 대하여 음이기 때문에 실제 전류가 접지에서 노드

1로 흐른다는 것을 의미

크래머 법칙에 기초한 선형 연립방정식의 해법

2 2 22 1

21

1 2 12 1

11

i v g v g

i v g v g

= +

= +

선형 대수 방법의 Cramer 의 법칙을 적용하여 equation을 풀 수 있다.

여기서 G : 계수행렬, v : 노드전압 벡터, i = 전류원 벡터

선형 방정식의 Determinant는 미지수(variable)의 상수로 이루어진 element 를 포함한다.

i Gv =

 ⇒



 



= 



 







 





2 1 2

1 22 21

12 11

i i v

v g

g

g g

21 12 22

11 22

21

12

11

g g g g

g g

g

D = g = −

22 21

12 11

22 21

1 11

2

22 21

12 11

22 2

12 1

1 ,

g g

g g

g g

i g

v g

g

g g

g i

g i

v

= =

D v D

D

v

₁ =

D

¹ , ₂ = ²

노드전압은 다음과 같은 식에 의하여 구할 수 있다.

2 21

1 11 2

22 2

12 1

1 and

where

i g

i D g

g i

g

D

=

i

=

3.2 망전류 방법(Mesh-Current Analysis or Loop Analysis)

망전류(mesh current)를 미지수로 하고, KVL을 적용하여 망전류를 구하는 방법 node voltage analysis와 같이 전류를 사용하여 적당한 수의 독립된 방정식을 세움. ---

독립변수로 전류

(current)를 사용

In mesh current method

지정된 방향으로 저항을 통하여 흐르는 전류가 저항에 걸리는 전압의 극성을 정의한다.

R i

• 전류에 의하여 회로 소자 즉, 저항의 극성이 정하여 짐.

• 전류의 흐름은 한쪽 방향으로 일정하게 유지한다. ---전류방향은 일관성이 있어야 함.

• The number of independent KVL equation for a planar network is equal to the number of open area defined by the network layout(식의 수는 회로 내의 망의 수와 일치.)

방법 및 절차

1. 각 전류를 일관성 있게 정의한다. (편의상 시계방향)

2. 하나 또는 그 이상의 망전류로 각 전압을 표시하고, KVL을 각 망에 적용한다.

3. 독립변수로 망전류를 가지는 선형연립방정식을 수립하여 해를 구한다.

2개의 망을 가진 회로

Mesh 2 : KVL requires that

4 0

3

2 +

v

+

v

=

v

where

( )

4 2 4

3 2 3

2 1 2 2

R i v

R i v

R i i v

=

=

−

(

_{1 2}

)

₂ ⁰ =

1

1 − − =

−

i R i i R v

_s

두 개의 식을 조합하면 다음과 선형방정식을 구할

수 있다. ( ⁱ

₂ ⁻

ⁱ

₁

) ^R

₂ ⁺

ⁱ

₂

^R

₃ ⁺

ⁱ

₂

^R

₄ ^{= 0}

( )

(

_{2 3 4}

)

₂ 0

1 2

2 2 1 2 1

= +

+ +

−

=

− +

i R R R i

R

v i R i R

R

_s

예제 3.5~3.7까지 풀어볼 것

-. 여러 개의 전원을 포함한 회로에서의 출력은 각 전원에 대한 출력을 따로 구하여 이들을 합함으로써 구할 수 있으며 이를 중첩의 원리라 한다.

-. 선형 회로에만 적용이 가능하다.

R

vB1 i

vB2

R

iB1

vB1

R

i_B2

vB2

+

=

2

1 B

B

i

i i

= +

R v R v R

v

v

_{B1 B2 B1 B2} + + =

R₂ R₁

i_s

v_s R₂

R₁ i_s

전압원과 전류원을 제거하는 방법

case 1. 전압원 ⇒ 단락회로(short circuit)로 대치 : 전압이 zero

R₂ R₁

i_s

v_s R₂

R₁

v_s case 2. 전류원 ⇒ 개방회로 (open circuit)로 대치 : 전류가 흐르지 못함.

3.5 1포트 회로망(1 port network)과

등가회로(Equivalent circuit)

1- Port network --- two terminal device.

-. Original circuit has only two points that can be connected to other circuit.

-. 모든 회로 소자는 특성에 의해 공급원(source), 부하(load), 전압 (voltage), 저항(resistance), 전류(current) 등으로 특성지워지는 2단자 장치(two terminal device)이다.

-. 1- port network 라고도 함

Linear network i

v

등가회로의 예시

R2

R1 R₃ REQ

Equivalent load circuit Load circuit

Thévenin의 정리

---- Which consist of an independent voltage source in series with a resistance 전압원 + 저항 : 직렬 연결

Norton의 정리

---- which consist of an independent current source in parallel with a resistance (전류원 + 저항 : 병렬 연결)

R

T

v

T

i

v Load

Source

i

v Load

R

N

I

N

i

v Load

Source

i

v Load

등가회로를 계산하는 첫 단계는 등가 저항(equivalent resistance)을 구하는 것이다.

• 회로 내의 모든 source를 zero로 놓고 단자 사이에서 유효 저항을 계산.

• 전압원과 전류원은 중첩의 원리에서 사용한 방법 사용하여 제거 전압원 ⇒ short circuit : 저항이 zero

전류원 ⇒ open circuit : 저항이 무한대

• 부하를 제거한 채로 부하 단자 사이의 총 저항을 계산(부하가 보는 등가저항의 계산)

R1

vs R2

R3

RL

a

b

R1

R2

R3

제 1 단계

2 1

2 1

R R

R R

_eq

R

= +

R

3

R

T

제 2 단계

테브닌 전압의 계산

(Finding Thevenin Voltage in Equivalent Circuits)

-.

테브닌 등가전압은 부하를 제거하였을 때, 부하 단자에 걸리는 개방 전압에 해당한다.

-

.

^{테브닌 전압}

^V

T를 계산하기 위하여 1 port-network에 걸리는 개방전압을 구하는 것 -. 정의에 의하면

⇒ No current can flow trough an open circuit.

⇒ No current flow through the Thevenin resistance

⇒ the voltage across the resistance is zero Applying KVL

Thus the Thevenin source voltage is equal to the open circuit voltage of original network.

R

_T

v

_T

_v

oc

. . .

. .

._{c T} 0 _{oc T oc}

o R

T

v v v v v v

v

= T + ⇒ = + ⇒ =

테브닌 전압의 계산

방법 및 절차

1. 부하를 제거하여 부하 단자를 개방회로로 만든다.

2. 개방된 부하 단자에 걸리는 개방 전압

v

_oc를 정의한다.

3.

v

_oc 를 구하기 위하여 노드 전압법 등의 원하는 방법을 사용한다.

4. 테브닌 전압은

v

_T = v_oc 이다.

2 1

OC ₂ 2

R R

v R v

v

_{R S}

= +

=

( )

^T

S eq L

R R

v R

R R R

R R

v R R i v

= + +

⋅ +

⋅ +

=

=

2 OC

1

노턴 전류의 계산

-. 노턴 등가 전류는 부하를 단락회로로 대체하였을 때, 이에 흐르는 단락전류에 해당한다.

-. 부하를 대체한 단락회로에 흐르는 전류

i

_sc는 정확하게 노턴 전류

i

_N 과 같다는 것은 분명하다. 왜냐하면 소스 전류가 모두 단락 회로에 흐르기 때문이다.

망전류법

( )

(

_{2 3}

)

⁰

1 2

2 1

2 1

= +

+

−

=

− +

sc s sc

i R R

i R

v i

R i R

R

노턴 등가 회로의 예시

노드 전압법

3 2

1

R

v R

v R

v v

_s

+

− =

방법 및 절차

1. 부하를 단락회로로 대체한다.

2. 단락 전류 i_sc 를 노턴 등가 전류로 정의한다.

3. 노드 전압 등의 원하는 방법을 사용 하여

i

_sc 을 구한다.

4. 노턴 전류는 i_N =i_sc 이다.

2 1 3 2 3

1

3 2

R R R R R R

R v R

v

_s

+

= +

2 1 3 2 3

1

2

3

R R R R R R

R v R

i

_N

v

^s

+

= +

=

소스 변환(source transformation)

테브닌과 노턴 표현들의 등가성

T T

N

R

I

=

V

주의해야 할 점

-. current source의 reference direction과 voltage source의 polarity의 관계를 일정하게 유지하여야한다. -. 만일, positive polarity가 terminal a 에 있었다면 current reference는 반드시 terminal a를 향해야 한다.

RN

I_N V_T

R_T

⇔

b

a a

b

최대전력전달 (maximum power transfer)

• 등가회로의 형태로 나타내었을 경우의 장점

⇒ 부하로 전달되는 전력량의 계산

• 테브닌과 노턴 모델은 소스에 의해서 발생된 전력의 일부분은 소스 내의 내부회로 에 의해서 필수적으로 소모된다는 것을 의미

(

_T ^T _L

)

L

R R

i V

= +

L

L

i R

P

= ²

( )

²

2

L T

L T

L

R R

R P V

= +

) 0 (

) (

2 ) (

4 2 2

2

+ =

+

−

= +

L T

L T

L T L

T T L

L

R R

R R

R V R

R V dR

dP

{

^{)( )}

}

^{2( ) ( )}

( ) ( )

( ) (

x g

x g x f x g x f dx dy x

g x

y f

′ − ′

=

⇒

=

( R

_L +

R

_T

)

² − ²

R

_L

( R

_L +

R

_T

)

=⁰

T

L

R

R

=

T L T

R P V

4

2 max =

최대 전력을 전달하기 위해서 등가 소스 저항과 부하 저항이 서로 동일하여야 한다.