중학교 수학교육에 수학사 도입이 학습효과에 미치는 영향에 관한 연구

碩 士 學 位 論 文

중학교 수학교육에 수학사 도입이 학습효과에 미치는 영향에 관한 연구

國民大學校 敎育大學院 數 學 敎 育 專 攻

李 鍾 旻

중학교 수학교육에 수학사 도입이 학습효과에 미치는 영향에 관한 연구

指 導 敎 授 金 載 龍

이 論 文 을 碩 士 學 位 請 求 論 文 으 로 提 出 함

2000年 12月 日

國民大學校 敎育大學院 數 學 敎 育 專 攻

李 鍾 旻

2 0 0 0

李 鍾 旻 의

碩 士 學 位 請 求 論 文 을 認 准 함

2000年 12月 日

審査委員長 印

審 査 委 員 印

審 査 委 員 印

國民大學校 敎育大學院

감 사 의 글

본 논문이 완성되기까지 지도하여 주신 김재룡 교수님께 먼저 감사의 뜻을 전합 니다. 더불어 교육대학원에 재학기간동안 학업의 발전을 위해 많은 도움과 조언을 아끼지 않으신 수학교육과 모든 교수님들께도 진심으로 감사드립니다.

그리고 항상 저의 곁에서 물심양면으로 도움을 주신 부모님께도 이 지면을 빌려 큰 감사와 고마움을 전합니다. 더불어 어려울 때마다 주위에서 힘이 되어준 동기, 선・후배들과 여러 선생님들께도 진심으로 감사드립니다. 그리고 마지막으로 이 논 문이 완성되기까지 많은 도움을 아끼지 않고 주신 정경숙 선생님께 진심으로 감사 드립니다.

설문에 응해주신 여러 선생님들과 논문 실험을 위해 도와준 서울 S중학교 2학년 학생 등 많은 이들의 도움과 부족한 제 자신의 노력의 결과로 하나의 논문이 완성 되었습니다. 다시 한번 모든 분들께 진심으로 감사드리며 이 논문이 여러 후학들에 게도 많은 도움이 되길 바라는 마음을 가지며 이 글을 마칩니다.

차 례

국문 요약

I. 서 론 1

1. 연구의 필요성 및 목적 1

2. 연구의 내용 3

3. 연구의 방법 4

4. 연구의 제한점 6

II. 이론적 배경 7

1. 수학 학습에서의 흥미 유발 7

2. 수학교육에서 수학사 지도의 필요성 8

3. 수학교육에서 수학사의 역할과 지도의 효과 11 4. 현행 6차 교육과정상에 나타난 수학사 내용 조사 17

III. 연구의 실제(實際) 20

1. 연구의 개요 20

2. 연구 대상의 선정 21

가. 표본학급의 선정 21

나. 표본학급간의 동질성 검사 22

가. 중학교 수학과 목표 24

나. 연구단원의 개관 및 지도목표 25

다. 연구단원에 대한 지도 계획 27

라. 연구단원의 실제 학습 지도 29

4. 연구 내용별 평가 및 결과 35

가. 연구 주제 35

나. 연구 주제별 평가 및 결과 분석 35

IV . 결론 및 제언 59

1. 결론 59

2. 제언 61

참 고 문 헌 SUMMARY 부록 1, 2, 3, 4, 5

표 목 차

< 표 1> 6차 교육과정에 수학 교과서 8종 소개 17

< 표 2> 중학교 방정식 단원의 교과서 수록 위치별 수학사 내용 19

< 표 3> 중학교 방정식 단원의 구체적 수학사 내용 19

< 표 4> 집단간 사전 학력(1학기 중간고사)검사 결과 22

< 표 5> 연구대상에 대한 집단간 상・중・하위 사전학력검사 결과 23

< 표 6> 연립방정식 단원의 지도 계획 28

< 표 7> 비교집단 학습 지도안의 예 30

< 표 8> 연구집단 학습 지도안의 예 31

< 표 9> 탐구 학습지 Ⅰ 32

< 표 10> 5월 사후평가 문항 분석 37

< 표 11> 9월 사후평가 문항 분석 38

< 표 12> 실험 후 집단간 사후평가 결과 39

< 표 13> 실험 후 사후평가에서 상・중・하위 집단간 결과 40

< 표 14> 실험 후 집단간 사후평가 중 서술형 점수 결과 41

< 표 15> 사후평가 중 서술형 점수의 상・중・하위 집단간 결과 41

< 표 16> 파지력 검사에 대한 결과 42

< 표 17> 수학적 성향에 관한 분석 46

< 표 18> 수학 학습 태도에 관한 분석 48

< 표 19> 설문 문항 1, 2, 3 에 대한 결과 분석 49

< 표 20> 설문 문항 4, 5, 6 에 대한 결과 분석 49

국문 요약

중 학 교 수 학 교 육 에 수 학 사 도 입 이 학 습 효 과 에 미 치 는 영 향 에 관 한 연 구

이 종 민

국민대학교 교육대학원 수학교육전공

본 연구의 목적은 학교 수학 수업에 활용될 수 있는 수학사 내용을 수집 하고 이를 학습 자료로 개발하여 학교 수업을 좀 더 흥미롭고 알차게 하여 수학에 대한 학생들의 흥미와 관심을 증진시켜 그 결과 학업 성적에 긍정적 효과를 이끌어 내는 데 그 목적이 있다. 즉, 수업에 수학자, 수학사에 관련 된 일화, 일화 속에 등장하는 관련 문제 등을 소개함으로써 수학에 관심 있 는 학생뿐만 아니라 수학에 흥미가 없고 싫어하는 학생들에게까지 수학에 대한 흥미와 관심을 고조시킬 수 있을 것이다. 이러한 효과가 학업 성적에 미치는 영향이 어떠한가를 다음과 같은 과정을 통해 검증하였다.

1. 중학교 수학교과에 적용 가능한 수학사 자료를 수집하고 수집한 내용을 학교 수업에 적용 가능하게 자료화한다.

2. 수집과 자료화 과정을 거친 수학사 자료를 학교 수업에 적용한다.

3. 적용 후, 연구집단과 비교집단 간의 인지적 영역에 대한 평가 결과상에

차이를 보이는가와 함께 3～5개월 후 사후평가를 실시하고 그 결과에 대한 차이까지 함께 조사한다.

4. 적용 후, 연구집단과 비교집단 간의 정의적 평가를 위해 수학적 성향의 변화를 묻는 검사와 수학사에 대한 견해를 묻는 설문조사를 통해 연구 집단 학생들의 의견과 비교집단 학생들의 의견으로 나누어 분석해본다.

5. 실험을 진행하면서 현직에 계신 중・고등학교 교사들이 갖고 있던 수학 사에 대한 평소의 견해를 설문작업을 통해 수집・분석한다.

이러한 연구 주제들을 해결하기 위하여 연구의 대상으로 서울시와 경기도 소재 중・고등학교 교사를 대상으로 수학사에 대한 관심 정도, 학교 수업에 수학사 적용에 대한 필요성과 실제 수학사 적용 등에 대한 설문 조사를 하 였고, 학습 자료화한 수학사 내용들을 적용한 수업은 서울특별시 소재 남녀 공학인 S중학교 2학년을 대상으로 사전 학업 성취도 검사를 통한 연구집단 35명, 비교집단 35명을 선발과 함께 중학교 2학년 과정의 한 부분인 연립방 정식 단원을 중심으로 한달 동안 연구집단에 수학사 자료를 적용하였다. 이 실험이 끝난 후 수학사에 대한 학생들의 의견을 설문조사 방법을 통해 연구 집단과 비교집단을 대상으로 같이 조사해보았다. 그리고 3～5개월 사이에 연구집단과 비교집단 간의 파지력 검사를 위한 사후평가를 다시 시행한 후 그 결과의 차이를 조사했다.

본 연구를 통하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다.

첫째, 중학교 수학 교과에 있어서 수학사를 도입한 결과 교사가 교과서를 중심으로 한 일반 강의식 수업보다 교과서와 수집작업을 거쳐 학습 자료화 한 수학사를 같이 적용한 수업이 학업 성적 향상에 긍정적 효과가 있음을 알 수 있었다. 따라서 수학 수업에 수학사를 도입한 것이 흥미 유발로 인한 학업 성적 향상에 효과적임을 알 수 있다.

둘째, 수학사를 도입한 후 연구집단, 비교집단 모두에게 주어졌던 수학적 성향을 알아보는 검사, 수학사에 대한 의견을 묻는 설문조사에서 비교집단 과 비교한 결과 연구집단에서 수학적 성향검사와 수학사에 대한 견해를 묻 는 설문 모두에서 수학사가 정의적 영역에 긍정적 영향을 줌을 알 수 있다.

셋째, 교사를 대상으로 진행한 수학사에 대한 관심, 수학사의 필요성, 현 재 학교 현장에서 적용 정도를 알아본 결과 역시 수학사가 학생들에게 흥미 유발과 학업 성적 향상이라는 측면에 의미 있는 도움을 주고 있다는 결론을 보이고 있다. 다만, 수학사의 자료들이 현재 교육 현장에 체계적으로 정리되 어 있지 못한 결과 수학사 자료의 수집과 학습 자료로 개발한다는 측면에 많은 어려움을 느끼고 있음을 지적하고 있으며, 더불어 현 교과서에 실린 수학사 내용들의 부족함을 함께 지적하고 있다.

이러한 연구 사실을 통해서 수학 수업에 수학사를 도입한 수업이 학생들 의 흥미 유발로 인한 학업 성적 향상이란 측면으로 연결되고 있음을 알게 되었고, 교사들 역시 수학사 도입이 흥미 유발로 인한 성적 향상이라는 교 육적 효과를 올리는 데에 효과가 있음을 제시하고 있다.

Ⅰ. 서 론

1. 연구의 필요성 및 목적

지난 수세기 동안 수학이란 무엇인가 라는 질문은 수학이 생겨난 이래 끊임없이 제기되고 있는 질문의 하나이다. 이와 같은 질문에 많은 수학자, 철학자들이 여러 가지 변화된 질문을 하고 있는데, 이것은 수학이란 학문의 본질을 파악하기가 그 만큼 어렵다는 것을 의미한다고 할 수 있다.¹⁾

수학은 인류의 발생 이후로 인류의 발달과 함께 변화되어 왔기 때문에 수 학의 역사는 곧 인류 사고의 발달 과정의 역사이기도 하다. 즉, 인류는 논리 적이고 합리적인 수학적 사고를 함으로써 문명을 발달시킬 수 있었고, 또한 미래를 개척할 수 있었다. 즉, 수학은 논리적이고 합리적이며 경제적인 사고 능력을 길러주어 일상 생활에서 일어나는 갖가지 문제를 해결하는데 결정적 인 도움을 준 것이다.

이러한 수학에 대한 여러 학자들의 견해를 종합해 본다면, 수학이란 인간 의 필요에 의해서 생겨났으며 수학적 발견의 근원인 직관으로부터 시작하여 끊임없이 시행착오와 반성・분석・종합하는 인간활동을 통해서 그 핵심이 정리되는 과정 과 이 과정의 결과로 완성된 산물 이라고 볼 수 있다.

그러나 지금 학교현장에서 지도되는 수학교육을 살펴보면 수학을 하나의 완성된 산물인 형식적인 체계로 지도하고, 이를 통해 시험을 보고 대학에 가야하는 상황에서, 수학적인 탐구과정, 수학이 형성되어온 역동적인 과정, 인간의 생활과 밀접한 관련을 맺고 발전해온 수학의 모습들을 배제한 수학

교육이 이루어지고 있는 것이 지금 수학교육의 현실이다.

우리 나라 중학교 교육과정과 고등학교 교육과정에 수학에 대한 흥미와 관심을 지속적으로 가지게 하는 것이 수학교육의 목표 중의 하나로 명시되 어 있다. 그러나 실제 학교에서의 수학 교육은 지식 위주의 교육에 치중하 고, 특히 고등학교 수학교육은 대학 입학을 위한 선발 기능의 목적으로만 지도되며 학습되는 실정이다.

수학은 어느 한 순간에 완성된 것이 아니라, 오랜 세월에 걸쳐 성장하고 수정되었음에도 불구하고 수학을 배우는 학생들은 완성된 수학 안에 이러한 배경에 대해서는 전혀 알지 못하면서 그와 같은 엄청난 수학적 산물을 학습 해야 하는 것이다. 그리하여 대부분의 학생들은 수학과목의 필요성을 느끼 지 못한 채 그냥 대학입시 관문의 통과 수단으로만 여기고 있으며, 따라서 수학은 재미없고, 어려운 과목으로 생각되며 이로 인해 점점 더 수학이란 과목에 흥미를 잃고 있다.

따라서 본 논문은 수학교육에 문제들을 해결할 수 있는 여러 방법들 중에 서 하나의 보조적 방안으로 수학수업에 활용 될 수 있는 수학사와 관련된 교수 - 학습자료 를 개발하여 학교 수업에 적용하고, 이를 통한 학생들의 관심을 지속적으로 가지게 하는데 의미가 있으며, 수학의 역사적 발달 과정 을 되돌아봄으로써 수학적 사고와 이전에 알지 못했던 수학의 진정한 모습 을 접해 보게 하여, 학습동기를 유발하고 이를 통해 긍정적 학습효과를 가 져오는 하나의 방안이 될 수 있을 것이다.

2. 연구의 내용

본 연구에서는 앞에서 제시한 연구의 필요성과 그 목적을 구현하기 위하 여 다음과 같이 연구 주제를 설정하였다.

1) 중학교 수학 교과에 적용 가능한 수학사 자료의 수집과 자료화 과정을 거친 탐구 학습지를 개발하고 이를 실제 수업 속에서 연구집단에게 적 용한다.

2) 수학사 적용을 통한 연구 집단과 기존 강의식 수업을 진행한 비교 집 단간의 수학에 있어서의 인지적 영역에 대한 평가 결과는 유의미한 차 이를 보이는가? 또 4개월 후에 시행한 파지력 검사에서 연구집단과 비 교집단 간에 인지적 영역에 대한 평가는 유의미한 차이를 보이는가?

3) 수학사가 담긴 탐구 학습지를 적용한 후 연구집단과 기존에 교과서로 강의식 수업을 전개한 비교집단 학생에게 정의적 영역의 검사인 수학 적 성향검사와 수학사에 대한 의견을 설문조사를 통해 알아본다.

4) 중・고등학교 교사들을 대상으로 수학사에 대한 관심, 수학사 적용의 필요성, 실제 현장에서 수학사 적용의 현황과 문제점 등을 알아보고자 배포한 설문을 조사・분석해본다.

3. 연구 방법

1) 수학사 자료의 수집・개발 - 중학교 방정식 단원 중심으로

수학사 및 수학자에 대한 참고 자료와 도서를 선정하여 중학교 학생들에 게 적당하고, 이해 수준에 맞는 방정식 단원의 내용을 수집하여 정리한다 즉, 중학교 방정식 단원에 대한 교양, 역사적인 배경, 수학자들의 소개, 관련 문제 등의 수집과 내용을 정리하여 개발한다.

2) 수학사를 도입한 탐구 학습지 개발

현재 중학교 2학년 연립방정식 단원의 수업과 수준에 맞는 내용을 선별 하여 탐구 학습지 형식을 가진 유인물을 만든다.

3) 사전 학업 성취도 검사를 실시한다.

사전 학업 성취도 검사는 학교 정기고사를 가지고 유의성 검정을 통해 성적에 유의미한 차이가 없는 중학교 2학년 두 개 반을 연구집단과 비교 집단 반으로 설정한다.

4) 수학사를 도입한 탐구 학습지를 적용한 후 결과 분석

(1) 적용 대상

서울시 소재 남녀공학인 S중학교 2학년 연구집단 35명, 비교집단 35명

(2) 적용 방법

앞에서 개발한 탐구 학습지를 수업 차시에 맞춰 연구집단 학생들을 대 상으로 연립방정식 단원이 끝날 때까지 적용한다.

(3) 적용 후 결과 분석

연립 방정식 단원이 끝난 후 연구집단과 비교집단을 대상으로 사후평가 를 실시한다. 이 평가를 통계작업을 통해 분석한다.

5) 실험 적용 후 수학적 성향과 수학사에 대한 설문조사 실시.

탐구 학습지 적용을 모두 마친 후, 연구집단과 비교집단 학생들을 대상 으로 정의적 영역의 평가인 수학적 성향 검사와 수학사에 대한 견해를 묻는 설문작업을 실시한다.

6) 사후검사인 파지력 검사를 실시한다.

수학사를 도입한 모든 수업이 마친 후 3～5개월 사이에 연구집단과 비 교집단 간의 파지력 검사를 위한 사후검사를 실시한다.

7) 중・고등학교 교사를 대상으로 수학사 설문조사를 실시.

서울・경기도 수학 교사들을 대상으로 수학사의 관심도, 필요성, 적용 현황과 문제점 등을 묻는 설문조사를 실시한다.

4. 연구의 제한점

가. 본 연구는 수학사라는 내용을 기존의 수학교육에 있어서 교육효과를 증대시키기 위한 보조적이며 부수적인 자료로 사용함을 전제로 한다.

나. 본 연구의 대상 학교와 교사, 학생을 연구자가 임의로 선정하였기 때 문에 다른 지역의 학교와 교사, 학생에게도 모두 동일한 연구 결과가 나 올 것이라고 일반화하는 데에는 제한점을 갖는다.

다. 본 연구에서 사용한 수학 교과 내용이 중학교 2학년 연립방정식 하나 의 단원의 내용을 중심으로 한 연구이기에 다른 학년과 다른 수학 교과 내용으로까지 일반화하는 데에 제한점을 갖는다.

Ⅱ. 이론적 배경

1. 수학 학습에서의 흥미 유발

학습 활동에서의 참여 의욕은 학습자의 지적 활동을 촉진시킬 수 있는 외 적 상황 즉 외부의 자극을 어떻게 배열・제시하느냐에 따라 좌우하게 된다.

특히, 학습 활동의 시발점에서는 학습자의 주의를 끌고 집중하게 하는 일이 중요하다. 주의를 환기시키는 가장 좋은 방법은 학습자의 흥미에 호소하는 일이며, 흥미는 활동의 근원이 되므로 흥미가 없는 활동이나 작업은 학습자 에 있어서 크게 의미가 없다. 그러므로 학습자가 학습 목적, 활동, 내용 등 에 깊은 흥미를 느끼고 있을 때 비로소 학습은 가장 용이하며 효과가 있는 것이므로, 교사는 이와 같은 점을 충분히 감안하여 지도해야 한다.²⁾ 즉, 학 생의 학습에 대한 흥미 유발은 매우 중요한 것이며, 교사는 학습 내용의 구 성과 전개에 있어서 학습자가 흥미를 느낄 수 있는 지도 방법을 동원해야 한다.

Guilford (1952)는 흥미를 어떤 활동군에 이끌리게 되는 개인의 일반화된 행동 경향 이라고 정의하고 있는데, 이는 곧 개인이 어떤 특별한 활동(예를 들면 수학 학습)에 만족을 얻어 그 활동을 좋아하게 되는 것을 의미하고 있 다.^{3 )} 또한 흥미에서 노력이 출발하게 되나 노력은 또 새로운 흥미를 일으키

게 되며, 이와 같은 순환 작용은 학습 활동을 더욱 강하게 하고 보다 나은 발전을 낳게 하는 계기가 되는 것이므로 교사는 학생들의 흥미와 그 변화에 대하여 유의하여 지도하여야 한다.^{4 )}

결국 올바른 수학 교육이란, 인지적 차원과 정의적인 차원의 결합을 필요 로 하기 때문에 학습자들이 인지적으로 학습하는 내용을 그들의 느낌 및 태 도에 연결시켜서 수학 학습에 대한 즐거움과 흥미 및 수학 과목에 대한 긍 정적인 태도를 유발시키는 것이 무엇보다 중요하다고 할 수 있다.

그러므로 흥미를 유발시키는 수학사와 수학의 필요성을 느끼게 하는 수학 적 내용의 응용을 통해, 인지적 목표뿐만 아니라 정의적 목표를 달성하게 하여 학습자 스스로 수학에 대한 부정적인 시각을 해소시키도록 도와줄 교 육 방법을 연구할 필요가 있다. 이런 차원에서 수학 교육에서의 수학사 교 육은 많은 도움을 줄 수 있을 것이다.^{5 )}

2. 수학교육에서 수학사 지도의 필요성

현재 우리 나라 수학 교육에서는 많은 문제점들이 대두되고 있는데, 그 가운데에서 가장 큰 문제점은 학생들의 수학에 대한 부정적인 태도라고 할 수 있다. 즉, 학생들의 수학 학습에 대한 부담감과 거부감이 학업 성취 수준 의 질적 저하로 연결되고 있는 점이다.

3) 나숙자 : 수학사와 수학의 응용을 이용해서 정의적인 목표를 강조한 수업으로 인한 수학 학습 효과의 고찰, 이화여대, 1992

4) 상계서 2) 5) 상계서 3)

한편, 인간에게는 자신의 뿌리를 찾으려는 본능적인 욕구가 있어 초등학 교 3, 4학년이 되면 역사적인 인물에 대한 관심을 갖기 시작하고, 중학생이 되면 역사적인 사건의 내면적인 흐름에 관심을 갖게 되어 나름대로 역사 의 식을 형성하기 시작한다고 한다. 그러므로 수학 교육에서의 수학사 지도는 수학에 대한 학생들의 관심을 자연스럽게 유발하고, 나아가 수학사를 고려 한 자연스러운 수학지도에 의해 유발된 동기를 학습에 지속시켜 수학교육의 진정한 목표를 달성하게 하는 적합한 방법적 수단이 될 수 있다고 본다.

이성헌^{6 )}은 수학사의 연구와 실제의 수학 교육과는 다음과 같은 깊은 의 의가 있다고 하였다.

첫째, 수학사는 모든 과학이나 산업 기술의 기반으로서 인간 문화에 중요 한 지위를 차지하는 수학이 어떠한 자연과 사회를 배경으로 어떻게 발전되 어 왔으며, 또 그렇게 형성된 수학이 인간의 생활개선에 어떠한 역할을 하 여 왔는가를 인식시켜 준다.

둘째, 수학사는 교재의 취급과 연구에 있어서 또는 지도상의 문제점의 규 명에 있어서 많은 도움이 된다.

셋째, 수학사는 학생에게 수학에의 친근감을 주고, 무미 건조하기 쉬운 수 학을 흥미 있는 학습으로 이끌 수 있으며, 수학에 대한 자신과 용기를 준다.

또, 백석윤^{7 )}은 수학사 지도의 필요성을 다음과 같이 말하고 있다.

6) 이성헌 : 수학지도법 및 세계수학사, 서울, 교학사, 1975

첫째, 수학 내용에 대한 역사적 의의를 알게 됨으로써 학생들의 수학에 대한 흥미, 적극적인 학습 의욕, 학습 노력을 불러일으킨다.

둘째, 수학적 개념이나 내용의 생성・변천과정을 통하여 학생들의 잘못된 인식과 개념을 정립시킨다.

셋째, 수학에 대한 무미건조함을 해소시킨다. 즉, 수학 내용을 실생활과 연결시켜 의미를 찾아볼 수 있게 하는 계기를 마련하고 수학 내용이 실생활 과 유리된 불필요한 과목이라는 잘못된 편견을 시정할 수 있는 계기를 마련 한다.

넷째, 수학 형성의 배경, 수학자나 당시 사회와 관련된 흥미로운 에피소 드, 수학적 개념・내용의 발생과 변천 과정에 대한 재미있는 이야기 등으로 학생들의 잘못된 선입관, 편견을 바람직한 방향으로 시정・유도하게 한다.

이를 위하여, 수학사가 제공하는 수학자들의 관련 일화는 수학의 인간적인 측면을 인식하게 할 수 있고, 수학의 엄밀성・완벽성에 대한 학생들의 거부 감 해소에 도움이 된다.

다섯째, 수학의 발달과정은 자연과학의 발달과정과 밀접하게 연관되어 있 으므로 수학은 편협한 과목이 아니라 일반적인 성격이 강하고 적용범위가 넓은 기초 과학 과목이라는 폭넓은 이해를 갖게 하는데 도움이 되며, 이러 한 이해를 통하여 갖게 되는 수학에 대한 올바른 인식은 학생들의 수학 공 부에 대한 올바른 태도를 가져다 줄 것으로 기대된다.

여섯째, 일선 교사의 적절한 방법을 통한 수학사의 응용은 학생들의 주의 집중과 변화를 가져오게 한다.

일곱째, 수학적 구조나 개념의 형성・발전 과정의 고찰은 학생의 수학적

구조나 개념의 형성에 도움이 되고, 수학 교육 과정의 연구에도 중요한 참 고 자료가 된다.

3. 수학교육에서 수학사의 역할과 지도의 효과

신영미^{8 )}는 수학교육에서의 수학사의 역할을 다음과 같이 정리하고 있다.

첫째, 수학사는 현대 기술 문명의 발달에서 수학의 중심적인 역할과 수학 의 문화적인 역할, 특히 인간관과 세계관 형성에 미친 수학의 역할을 이해 하게 함으로써 수학에 대한 학생들의 인식을 바꿀 수 있다.

둘째, 수학사는 인류라는 가장 큰 학습자의 학습 과정이므로 수학사에서 찾아 볼 수 있는 일련의 수학적 구조나 개념 형성 발달 과정의 고찰은 학생 들의 수학적 구조나 개념의 형성 과정을 이해하고 연구하는데 도움이 된다.

나아가서 수학 교육과정 상의 연구와 지도방법의 연구에도 중요한 자료가 된다.

셋째, 수학의 역사적 발달 과정을 되돌아봄으로써 수학적 사고의 인간적 인 모습과 수학의 진정한 모습을 접해 보게 하여, 학습동기를 유발하고 수 학 학습에 생기를 불어넣는 방안을 찾을 수 있다. 그리고 수업에서 학생들 의 주의를 집중시키고 수업에 변화를 주는 방법으로 사용할 수 있다.

넷째, 알고리즘적 계산 수학을 반성하게 하여 개념적 사고를 고취하게 하 는데 이용할 수 있다.

다섯째, 수학사는 다양한 문제 해결 과정이나 방법을 배울 수 있는 기회

를 제공하며 교사에게는 학생들에게 이해되기 쉽고 개념 형성에 도움이 되 는 지도 과정이나 방법을 선택하는데 도움을 줄 수 있다.

여섯째, 교사의 수학사에 대한 지식은 수학 수업에서 학생들이 오류를 범 하거나 이해하는데 곤란을 겪는 것에 대해 민감하고 적절하게 대처할 수 있 는 방법을 알게 해준다.

일곱째, 수학사는 학생들로 하여금 수학이 창조되고 발전되며, 변화되고 일반화되는 과정과 이유에 대한 이해를 도와준다.

여덞째, 수학사는 수학과 실세계와의 관계에 대한 이해를 돕는다.

아홉째, 수학사는 수학의 구조, 공리론적 체계, 증명 등의 이해를 돕는다.

이상과 같이 수학사는 수학 교육에서 담당할 수 있는 역할이 매우 다양하 고, 이러한 역할들은 수학의 진정한 모습을 대할 수 있게 하고 의미 있는 수학교육을 가능하게 하여, 학교 수학교육에 필요한 수학 영역 중에 하나임 을 말해준다.

또, 김춘영^{9 )}은 수학교육에서의 수학사 도입의 효과를 다음과 같이 적고 있다.

첫째, 흥미와 자신감을 고취시킨다.

어떤 특정한 수학 단원을 학습하는 시간에 그 수업의 내용과 관련이 있는 문제를 수학사에서 발췌하여 당시의 그 문제에 대한 간단한 배경 설명과 함

9) 김춘영 : 수학사를 이용한 국민학교 수학과 교재개발연구, 한국교원대 석사학위 논문, 1993

께 학생들에게 제시하면, 학생들은 역사 속에서 당시의 문제를 의식하고 해 결해 보려 노력하는 가운데 자연히 새로운 흥미를 갖게 될 것이다. 또 수학 적 개념이나 내용의 생성・변천을 의식하게 해 줌으로써 문제 해결 과정과 방법을 다시 음미하여 오늘날의 수학을 이해하는데 도움을 준다. 예를 들어 이집트에서 기하학이 발달하기 시작한 이유가 지리적・기후적 환경과 당시 의 상황에 있었다는 것을 이해할 수 있다. 따라서 그 문제가 등장했던 당시 의 문화적・사회적인 측면의 이해도 넓힐 수 있어 수학에 대하여 갖기 쉬운 무미건조한 느낌을 해소시키는 데도 도움이 된다. 즉, 그 문제가 등장하게 된 이유 등을 살펴보게 되면 수학의 내용들이 실제 우리의 생활과 밀접한 과목이라는 생각을 갖게 될 것이다. 나아가 현재 배우는 수학 내용을 일상 생활과 관련시켜 해결 방법을 찾아 볼 수도 있다.

둘째, 수학의 형성 배경과 변천 과정을 통해 새로운 수학관을 확립한다.

수학 형성의 배경이라 할 수 있는 수학자와 당시 사회와 관련된 흥미로운 이야기, 그리고 하나의 수학적 개념이나 내용의 변천과정에 얽혀 있는 이야 기 등은 학생들로 하여금 수학에 대한 부정적 편견을 줄이고, 바람직한 방 향으로 유도할 것이다. 사실 많은 학생들이 수학은 어렵고, 추상적이며, 재 미없는 과목이라는 생각을 하고 있는 현실이다.

학생들의 이러한 생각을 해소해 주기 위해서 수학자들에 관련된 일화 등 의 소개로 수학이 갖고 있는 인간적인 측면을 인식시켜 줄 수 있다. 즉, 수 학이라는 딱딱한 과목도 인간이 생활해 나가면서 필요해 의하여 창조, 수정, 다듬어져 현재와 같은 완성된 모습을 갖추게 되었고 또한 앞으로도 계속 변

어느 정도 해소하게 해주는 역할을 할 것이다.

셋째, 수학의 폭넓은 수용성과 과학 발달 현상과의 연관성을 이해한다.

수학과 자연과학의 발달 과정에서 등장하는 이야기들은 자연계에 존재하 는 여러 가지 원리들이 수학과 어떠한 관련이 있는가를 간접적으로나마 시 사해준다. 따라서 수학이 우리 생활과 아주 동떨어진 과목이 아니라, 그 적 용 범위가 넓은 기초 과학 과목이라는 폭넓은 이해를 갖게 하는데 도움이 된다. 이러한 수학에 대한 올바른 인식은 학생들의 수학에 업적을 남긴 사 람들은 단지 수학자만이 아니라 때로는 물리학자, 생물학자, 천문학자, 철학 을 연구하는 사람도 있었다는 것을 학생들이 알 때 수학의 폭넓은 수용성이 나, 수학적 개념이나 내용이 갖고 있는 일반성을 간접적으로나마 이해하게 될 것이다.

수학사는 때로는 수학 수업 시간에 학생들의 주의를 집중시키거나 흥미를 유발시키는 방법으로도 사용이 가능하다. 수학사의 응용은 지루한 수학 수 업에 활기를 불어넣을 수 있게 해주고 분산된 학생들의 관심을 수학 학습에 다시 끌어들이는 역할도 할 수 있다. 즉, 수학을 지도하는 교사의 수학사에 대한 풍부한 지식과 이해는 즐거운 수학 학습의 기회를 교사나 학생 모두에 게 가져다 줄 것임에 틀림이 없다.

넷째, 학생 성장에 따른 교육과정 개발에 참고가 된다.

어린이들의 수체계 형성 과정은 인류 문화에서 수체계의 역사적 발전 과 정과 흡사함을 본다. 수학사에서 찾아 볼 수 있는 일련의 수학적 구조나 개 념의 형성・발전 과정의 고찰은 학생들의 수학적 구조나 개념의 형성 과정 을 연구하는데 도움이 될 것이며, 나아가서 수학 교육과정의 연구에도 중요

한 참고 자료가 될 것으로 본다.

마지막으로, 대안적인 해법을 제시한다.

어떤 수학적 문제를 해결하는 방법에는 한 가지만 있는 것은 아니다. 수 학사를 통해서도 알 수 있듯이 문제 해결을 위해서 여러 가지 방법이 동원 되었고 또 다른 방법을 찾기 위해 수학자들이 노력한 사실을 알 수 있다.

이것을 통해서 수학적 문제를 접했을 때 여러 가지 해결 방법을 모색해 봄 으로써 탐구력도 향상되고 새로운 해결 방법을 찾을 수 있게 된다. 학생들 이 자주 갖는 의문을 수학사를 통하여 해결 방법을 찾을 수 있다. 물론 수 학사에서 얻을 수 있는 문제 해결의 수단이나 과정들이 잘 정리된 정리처럼 논리 정연하고 유일성을 갖는 것은 아니지만, 수학 문제를 푸는 학생들이 때때로 그러한 수단이나 과정을 효율적으로 사용하거나 응용하면 새로운 풀 이 방법이 개발될 수 있다. 이상에서 보듯이 여러 효과가 기대되나 좀 더 세분해 보면 다음과 같다.

⑴ 학생 동기 고취에 도움을 준다.

⑵ 수학에 인간적인 모습을 준다.

⑶ 역사적 발달은 커리큘럼 내의 내용 배열 결정에 도움을 준다.

⑷ 학생에게 여러 개념이 어떻게 개발되어 왔나를 보여줌으로써 이해를 돕는다.

⑸ 수학에 대한 학생들의 인식을 바꾼다.

⑹ 고대와 현대와의 비교가 현대 기술의 가치를 확립한다.

⑻ 연구 기회를 제공한다.

⑼ 발달에 관한 과거의 장애가 오늘날 학생들이 어려워하는 것이 무엇인 지를 설명하는데 도움을 준다.

⑽ 학생들이 문제를 갖고 있는 것이 자신만이 아님을 깨달음으로써 안심 케 한다.

⑾ 우수 학습자에게 좀 더 깊이 성찰하도록 격려한다.

⑿ 사회에서의 수학의 역할을 설명한다.

⒀ 수학을 덜 놀라운 것으로 만든다.

⒁ 수학사 탐구는 수학에 대한 관심과 열의를 유지시킨다.

⒂ 다른 과목 교사나 학생들과의 교육과정 사이의 연구기회를 제공한다.

수학사를 수업에 적절히 도입하여 활용하면 학생들은 자연스럽게 새로운 사실에 대해 주목하게 되고, 따라서 관심을 가지고서 수업에 임하여 수학을 탐구하게 되는 바람직한 태도가 형성될 것이라 보여진다. 그러나 수학사는 수학 지도에 있어서 보조적이고 종속적이어야 하며, 학습자에게 실제로 도 움이 되는 만큼만 적절히 지도되어야 할 것이다. 따라서 수업 전개상 수학 사의 도입이 가능한 단원의 학습지도에 있어, 수학사 자체에 대한 관심보다 는 기존 수학 교육 과정의 통합된 한 부분으로서 수학사적인 자료를 도입한 다면 수업 분위기를 환기시키거나 학습자의 관심과 흥미를 유발시킬 수 있 을 것이다. 통합된 부분(internal part ) 이란 수학사에 대한 교육이 수학 교 과의 분리된 단원으로서가 아니라 수학 교과 단원에 대한 교육의 보완적인 것을 의미한다.

4. 현행 6차 교육과정에 나타난 수학사 내용 조사

- 연구단원인 방정식 단원을 중심으로

가. 현행 6차 교육과정상에 수학사 내용 및 지도 현황

우리 나라의 중학교 수학교육에서 수학사 지도의 현황을 알아보기 위하여 교과서와 교과서 안에 있는 수학사를 조사했다. 현행 6차 교육과정에 의한 중학교 1, 2, 3학년의 수학 교과서와 이들 교과서에 실린 수학사의 내용을 조사해보았다.

1) 조사의 대상

현행 6차 교육과정 상에 수학 교과서는 모두 8종이 있다. 이 8종의 교과 서는 아래 < 표 1> 과 같다.

< 표 1> 6차 교육과정에 수학 교과서 8종 소개

구 분 교 과 서 저 자

6차 교육 과정

A (주)교학사 박두일, 신동성, 강영환

B 동아출판사 김연식, 김홍기

C 지학사 구광조, 황선욱

D (주)교학사 박배훈, 정창현

E 바른교육사 오병승

F (주)지학사 김호우, 박교식, 신준국, 정은실

G (주)천재교육 최용준, 이현구

H 한샘출판사 김응태, 박승안, 오연장, 신현용

2) 조사의 내용과 방법

< 표 1>에서 수학 8종 교과서를 알아보았다. 교과서 내용 안에 실린 수 학사의 지도 내용들을 조사함에 있어서 아래와 같은 구분을 모든 교과서에 적용하였다.

① 수학자의 생애와 업적, 에피소드 소개

② 개념, 원리, 법칙의 발견과 그 발달 과정에 대한 설명

③ 역사적 내력이 있는 기호, 공식과 그 증명, 문제와 그 풀이에 대한 것

④ 수학사적 자료, 사진, 어록의 소개

이와 같은 내용들을 기호 ①, ②, ③, ④ 로 조사표를 만들어 보았다. 구성 은 이 논문의 연구 단원인 방정식 관련 단원을 중학교 학년별로 그 내용들 을 모았다. < 표 2> 는 중학교 방정식 단원의 수학사 내용을 중심으로 만들 었다. 표의 작성 요령은 각 교과서를 학년별 구분 후, 연구단원인 방정식 단원 에서 수학사적인 내용의 수록 위치를 단원의 도입 부분, 단원의 전개 부분, 단원의 정리 부분의 3단계로 분류하며, 위의 내용 분류에서 ①, ②,

③, ④ 중에서 구분이 모호한 것은 연구자의 주관적인 판단으로 구분하였다.

그리고 마지막으로 연구단원인 방정식과 관련된 중학교 학년별 구체적 수학 사의 내용들을 < 표 3>으로 정리해보았다. 이 < 표 3> 은 교과서 (주)교학사 (A ), 동아출판사(B ), 지학사(C) 등 3개의 교과서를 중심으로 정리하였고 다 른 출판사의 교과서들도 이와 유사한 내용들을 가지고 있었다.

< 표 2> 중학교 방정식 단원의 교과서 수록 위치별 수학사 내용 학년 ^교과서

위치

방 정 식 관 련 수 학 사 내 용 구 분

A B C D E F G H

1학년

도입 ①③ ①③④ ②④ ①②③ ②④

전개 ③④

정리 ①③ ③④ ③

2학년

도입 ③④ ① ①② ③④ ②④

전개

정리 ③④ ③④ ③④

3학년

도입 ^{①③④ ①② ①② ④ ②③}

전개

정리 ③ ② ③

< 표 3> 중학교 방정식 단원의 구체적 수학사 내용

학년 ^단원

교과구분 방 정 식 단 원 의 구 체 적 수 학 사 내 용

1학년

A ・디오판토스의 업적과 그의 묘비의 나이 계산 B ・ 린드 파피루스 의 방정식 기록의 의의

・디오판토스의 업적과 그의 묘비의 나이 계산

C

・< 생각해봅시다> 바빌로니아 진흙판의 수학문제와 그 문제 를 문자로 사용하여 표현하기

・< 생각해봅시다> 3000년 전 이집트의 문제 예시

2학년

A

・가장 오래된 수학책 구장산술(九章算術) 에서 방정식이란 단어의 유래 소개.

・ 구장산술 에 수록된 연립방정식 문제 소개와 풀이 B ・디오판토스의 대수학적 업적 소개

C

3학년

A ・이차방정식의 역사 : 헤론과 그의 이차방정식의 문제 B ・ 이차방정식의 역사, 황금비의 응용 문제

C

Ⅲ. 연구의 실제 (實際 )

1. 연구의 개요

본 연구는 지금까지 수학 교육에서 수학사의 교육적 이용의 중요성과 가 치에 대해 거듭 논의가 되어 왔으나, 아직까지 수학사적인 관점은 교육과정 구성은 물론이고, 실제 지도에 깊게 뿌리를 내리고 있지 못하다. 특히, 우리 나라의 교육과정에서는 수학사의 이용에 대한 언급조차 없고 교과서 집필상 의 유의점에서 학습동기 유발을 위한 소재로 이용할 것을 권고하고 있는 정 도이며, 기껏해야 교과서의 각 단원의 도입 부분이나 끝 부분에서 읽을 거 리로 간단한 역사적 발달 과정이나 일화를 언급하고, 단원의 내용과 관련된 유명한 수학자를 소개하는 정도가 고작이다.^{10 )}

이에 본 연구자는 학생들의 흥미유발로 인한 수학 과목에 대한 동기부여 로 학습효과를 높이는 여러 교육 방법적인 측면 중에서 수학사가 미치는 흥 미로운 영향을 연구하고자 중학교 2학년 연구집단 한 반 35명, 비교집단 한 반 35명을 표본으로 선정하고, 방정식단원을 중심으로 한 달간 수집한 수학 사의 자료를 탐구 학습지 형식을 빌어 연구집단의 차시별 수업에 적용해 보 았다. 그리고 이 수학사를 적용한 후 학생들의 정의적 영역에 어떠한 영향 을 주었는지를 한국 교육 개발원에서 제작한 수학적 성향 검사와 수학사에 대한 견해를 물어보는 설문지를 통해 조사・분석하였다. 이와 병행에 수학 사가 학업 성적 향상에 도움을 주고 있는지에 대한 조사는 인지적 영역의 평가를 실시하였다. 이 인지적 영역의 평가는 2차례에 걸쳐서 실시하였다.

10) 우정호 : 학교수학의 교육적 기초, 서울대학교 출판부, 2000

연구단원의 수업이 모두 끝난 직후 연구집단, 비교집단 학생들에게 총괄평 가의 형식을 빌린 사후평가를 모든 연구대상 학생들에게 실시하였고, 4개월 후에 연구단원에 대한 파지력 검사를 위해 연구집단, 비교집단 모든 학생들 에게 새로운 사후평가를 실시하였다. 이에 대한 분석 방법은 유의수준 10%

양측검정에서 평균 차 검정을 적용하였다.

이와 병행해 서울・경기도 지역의 중학교와 고등학교 수학 교사 55명을 대상으로 수학사의 관심도, 필요성, 적용 현황과 문제점 등을 묻는 설문조사 를 실시하고 분석해 보았다.

2. 연구 대상의 선정

가. 표본학급의 선정

본 연구를 적용하기 위해서 선정된 학생들은 서울시 S구에 소재하고 있 는 남녀공학인 S중학교 2학년을 대상으로 사전 학업 성취도 검사를 실시하 여 연구에 필요한 연구 집단 1개 반 35명과 비교 집단 1개 반 35명을 선정 하였다. 사전 학업 성취도 검사는 별도로 시행하지 않았고 학교 정기고사인 1학기 중간고사를 이용하였다. 본 연구에 선정된 학생들은 연구집단(평균 60.37점, 표준편차 26.52점)과 비교집단(평균 62.57점, 표준편차 27.87점)은 2 학년 학급 중 가장 성적이 비슷한 두 학급을 선정하였다. 이 내용들을 바탕 으로 두 개의 반을 표본으로 결정하고 실험을 적용하였다.

나. 표본 학급간의 동질성 검사

(1) 전체 집단간의 사전 학력 검사결과에 대한 평균 차 검정

선정된 연구집단, 비교집단의 학급은 2000년 5월초에 실시한 중간고사 성 적에 의하여 그 성적 분포가 같다고 볼 수 있지만 이를 더욱 확실히 하기 위하여 다음과 같은 평균 차에 대한 유의성 검정을 실시하였다.

< 표 4> 집단간 사전 학력(1학기 중간고사)검사 결과

검사도구 구 분 학생수 평균 표준편차

사전학력검사 (1학기 중간고사)

연구반 35 60.37 26.52 비교반 35 62.57 27.87

< 표 4>의 결과를 가지고 두 집단간의 평균 차에 대한 유의성 검정을 다 음과 같이 분석하였다.

귀무가설 H₀ : ₁ = ₂ 대립가설 Ha : 1 2

유의수준 10% , 즉 α=0.1

x1 = 60 . 37 , x2 = 62 . 57 , d0 = 1 - 2 = 0 s₁ = 26 . 52 , s₂ = 27 . 87 , n₁ = 35 , n₂ = 35 이므로

( x₁ - x₂) - d₀ = 60 . 37 - 62 . 57 = - 2 . 2

s²₁

n₁ + s²₂

n₂＝ 26 . 52²

35 + 27 . 87²

35 6.50

Z = ( x1 - x2) - d0

s²₁

n₁ + s²₂ n₂

= - 2 . 2

6 . 50 - 0.34

그런데 유의수준 10%의 양측검정에 대한 기각영역은 |Z | > 1.645 인데,

|Z | = 0.34 < 1.645 이므로 귀무가설은 기각되지 않는다. 즉, 연구집단, 비 교집단의 성적사이에는 의미 있는 차이가 있다고 할 수 없다.

(2) 상・중・하위 집단간의 사전학력검사 결과에 대한 평균 차 검정 상・중・하위 집단간의 사전학력검사 결과에 대한 검정 역시 위와 같은 평균 차 검정 방법으로 유의성 10%에서 검정을 실시하였다. 선정된 연구 대상들의 성적 분포는 앞에서 실시한 전체 학생들에 사전학력검사 결과에 대한 평균 차 검정으로 성적의 분포가 같다고 볼 수 있었다. 이를 더욱 확 실히 하기 위해 연구 대상으로 선정된 연구집단, 비교집단 학생들을 점수로 상・중・하위 집단으로 구분 후 각각의 평균 차 검정을 실시하였다.

< 표 5> 연구대상에 대한 집단간 상・중・하위 사전학력검사 결과

구분 점수 학생수 평균 표준편차

연구 집단

상위 수준 80점 이상 10명 90.30 6.75 중위 수준 79점～50점이상 14명 64.86 7.44 하위 수준 49점이하 11명 27.45 11.74

비교 집단

상위 수준 80점 이상 11명 91.45 6.83 중위 수준 79점～50점이상 14명 66.86 7.58 하위 수준 49점이하 10명 24.80 11.80

< 표 5> 의 결과를 토대로 검정한 결과 상위 집단의 Z = - 0.39 , 중위 집 단의 Z = - 0.70 , 하위 집단의 Z = 0.52 가 나왔다. 이 결과 역시 유의수준 10%의 양측검정에 대한 기각영역은 |Z | > 1.645 인데, |Z 이 모두 1.645| 보다 작으므로 귀무가설은 기각되지 않는다. 즉, 연구집단, 비교집단의 성적 을 상・중・하위로 구분하여도 의미 있는 차이가 있다고 할 수 없다.

(3) 사전 학력 검사 결과에 대한 분석

위와 같이 연구집단과 비교집단을 선정하고, 이를 상・중・하위 집단으로 나누어 두 반 사이의 성적을 전체와 각 집단별로 비교한 결과 전체별 검사 와 상・중・하위 집단별 검사에서 모두 의미 있는 성적의 차가 나타나지 않 았으므로 본 연구를 위한 연구집단, 비교집단의 선정은 매우 잘 된 것이라 할 수 있다.

3. 지도의 실제

가. 중학교 수학과 목표

현행 중학교 교육과정에 나타나 있는 수학과 학습목표는 다음과 같다. 수 학의 기초적 지식을 가지게 하고 수학적으로 사고하는 능력을 기르게 하며, 이를 활용하여 합리적으로 문제를 해결할 수 있게 한다.

(1) 여러 가지 사물의 현상을 수학적으로 고찰하는 경험을 통하여 수학의

기초적인 개념, 원리 법칙을 이해하게 한다.

(2) 수학의 용어와 기호를 정확하게 사용하게 하고 생활주변에서 일어나 는 여러 가지 문제를 수학적으로 사고하는 능력을 기르게 하여 이를 생활에 적용할 수 있게 한다.

(3) 수학에 대한 흥미와 관심을 지속적으로 가지게 하고 수학적 지식과 기능을 활용하여 합리적으로 문제를 해결하는 태도를 기르게 한다.

나. 연구단원의 개관 및 지도목표

중학교 과정 중에서 본 연구의 내용인 중학교 2학년 과정의 방정식 단원 에 대한 학습 내용과 지도 목표를 살펴보고자 한다.

(1) 연구 단원의 개관

본 연구 단원은 중학교 2학년 과정의 Ⅱ. 연립방정식 단원이다. 이 단원 의 중단원은 1. 연립방정식과 2. 연립방정식의 풀이로 구성되어 있다.

중단원 1.연립방정식에서는 소단원 §1. 미지수가 2개인 일차방정식, §2.

미지수가 2개인 연립일차방정식과 그 해로 구성되어 있고, 중단원 2. 연립방 정식과 그 풀이는 소단원 §1. 연립방정식 풀이, §2. 여러 가지 연립방정식,

§3. 연립방정식의 활용으로 구성되어 있다.

(2) 연구 단원의 지도 목표

① 연립 방정식

가 2개인 일차방정식을 만들게 하여 방정식의 뜻을 알게 한다.

변역이 자연수 전체의 집합이고 미지수가 2개인 일차방정식을 만족시키 는 순서쌍을 구하여 이 순서쌍이 주어진 일차방정식의 해임을 알게 한다.

생활 주변의 대상을 소재로 한 문장제를 주어 문제의 뜻에 맞는 미지수 가 2개인 일차방정식을 2개 만들게 하여 미지수가 2개인 연립일차방정식 을 이해하게 하고, 두 일차방정식의 공통인 순서쌍이 이 연립일차방정식 의 해임을 알게 한다.

변역이 자연수 전체의 집합인 미지수가 2개인 연립일차방정식을 주어 두 일차방정식의 해를 구하게 하여 미지수가 2개인 연립일차방정식의 해를 구할 수 있게 된다.

② 연립 방정식의 풀이

미지수가 2개인 연립방정식에서 두 변수 중 한 변수를 소거하여 미지수 가 1개인 일차방정식을 만들어 한 변수의 값을 구하고, 그 변수의 값을 주어진 두 개의 일차방정식 중 어느 하나에 대입하여 다른 변수의 값을 구하여 연립방정식을 풀 수 있음을 이해하게 한다.

두 일차방정식을 더하거나 빼어서 한 변수를 소거하여 연립방정식을 풀 수 있음을 알게 하고, 이 방법을 가감법이라 함을 알게 한다.

연립방정식의 한 일차방정식을 어떤 변수에 관하여 풀고, 이것을 다른 연립방정식에 대입하여 한 변수를 소거하여 연립방정식을 풀 수 있음을 알게 하고, 이 방법이 대입법임을 알게 한다.

가감법과 대입법을 배운 후, 연립방정식의 계수나 상수가 분수나 소수로 되어 있는 연립방정식의 계수나 상수를 정수로 고쳐서 연립방정식을 풀

수 있게 한다.

괄호가 있는 복잡한 연립방정식은 먼저 괄호를 풀고 간단한 꼴로 고쳐 풀게 함으로써 연립방정식의 뜻과 해법에 대한 이해를 깊게 한다.

A =B =C 꼴의 연립방정식을 풀 수 있게 한다.

생활 주변의 소재로 구성된 문제에서 무엇을 미지수로 할 것인가를 판단 하게 하고, 문제의 뜻에 따라 연립방정식을 세워 여러 가지 문장제를 풀 수 있게 한다.

(3) 연구 단원의 지도상의 유의점

미지수가 2개인 일차방정식에서는 연립방정식의 뜻을 이해하는 데 도움 이 되는 정도로만 다루도록 한다.

해를 구할 때는 주어진 변역 안에서 구하여야 하는 점에 유의토록 한다.

변역이 주어지지 않았을 때에는 실수 전체의 집합을 변역으로 한다.

연립방정식을 풀려면 두 변수 중 한 변수를 소거하여야 함을 알게 한 후, 그 소거법으로 가감법, 대입법이 있음을 소개한 후 가감법, 대입법 순 으로 지도하거나 이러한 방법들이 한 변수를 소거하기 위한 소거법임을 요약하여 지도하여도 좋다.

연립방정식의 풀이법 중 가장 기본이 되고 일반적인 것은 가감법임을 알 게 한다.

다. 연구단원에 대한 지도 계획

한 지도계획¹¹⁾은 아래의 < 표 6>과 같다.

< 표 6> 연립방정식 단원의 지도 계획 단 원 차

시 쪽

수 지도내용 지도의 중점 용어와

기호

1.

연 립 방 정 식

§1. 미지수가 2개인 일차방 정식

1

2 58

62

・준비학습

・미지수가 2개인 일차 방정식

・해, 방정식을 푼다

・직선의 방정식

・미지수가 2개인 일차 방정식의 뜻을 알고 그 해의 뜻을 이해하기

직선의 방 정식 연립방정식 연립일차방

§2. 미지수가 정식 2개인 연립일 차방정식과 그 해

3 63

64

・미지수가 2개인 연립 일차방정식

・연립방정식의 해

・연립방정식을 푼다

・미지수가 2개인 연립 방정식의 뜻을 알고 그 해를 구하기

기본문제 연습문제 (Ⅱ- 1)

4

5 65

66

・일차방정식의 해

・연립방정식의 해

・중단원의 기본사항 및 학습내용 복습

2.

연 립 방 정 식 의 풀 이

§1. 연립방정 식의 풀이

6

7 67

72

・소거한다

・가감법

・대입법

・가감법, 대입법의 원리 를 이해하고, 이를 이용 하여 연립방정식 풀기

소거 가감법 대입법

§2. 여러 가 지 연립방정식

8

10 73

77

・계수를 정수로 고쳐 서 연립방정식 풀기

・A=B=C인 꼴의 연립 방정식 풀이

・분수, 소수를 정수를 고쳐 풀기

・A=B=C인 꼴의 연립방 정식 풀기

§3. 연립방정 식의 활용

11

12 78

81

・연립방정식 세우기

・활용문제 풀기

・문제의 뜻에 맞는 연 립방정식을 세우기

・연립방정식을 이용하 여 활용문제 풀기 기본문제

연습문제 (Ⅱ- 2)

13

14 82

83

・연립방정식의 풀이

・활용문제 풀기

・중단원의 기본사항 및 학습내용 복습

종합문제(Ⅱ) 15 84

85

・연립방정식의 풀이

・활용문제 풀기

・본 단원의 내용을 종 합적으로 복습

11) 박두일 외2 : 중학교 수학Ⅱ 교사용 지도서, (주)교학사, 1999

라. 연구단원의 실제 학습 지도

(1) 비교집단의 실제 학습 지도

< 표 6> 에서 제시한 연구단원의 지도 계획에 따라 수업을 진행하였다.

비교반의 수업은 수업의 자료인 교과서와 교사의 교과서 내용 분석에 입 각한 수업을 판서식 수업으로 진행하였다.

교과서의 내용을 중심으로 선수학습과 본시 학습의 목표를 분명히 제시 하고 이 목표에 입각한 수업을 진행하였다.

비교집단 실제 학습 형태를 나타내고자 아래의 < 표 7> 을 첨부하였다.

(2) 연구집단의 실제 학습 지도

< 표 6> 에서 제시한 연구단원의 지도 계획에 따라 수업을 진행하였다.

연구반의 수업은 수업의 자료인 교과서와 교사의 교과서 내용 분석과 함 께 본 연구의 주제인 연구단원에 대한 수학사 자료 분석을 통해 제작한 탐구 학습지 를 별도로 제작하여 수업의 차시에 맞게 학생들에게 배포하 고 이를 수업 속에서 병행하였다. 특히, 주의할 점은 이 탐구 학습지 는 연구 단원의 지도 내용을 소화하고자 한 것이 아닌 연구단원인 연립방정 식 단원의 수업 보조 자료의 역할을 하는데 초점을 두고 수업을 진행하였 다.

연구집단 실제 학습 형태을 나타내고자 아래의 < 표 8>을 첨부하였다.

이와 더불어 연구단원에 대한 수학사 자료 분석을 통해 만든 탐구 학습 지Ⅰ 를 < 표 9> 를 통해 제시했다. 더불어 연구단원에 대한 나머지 탐구

< 표 7> 비교집단 학습 지도안의 예

단 원 1. 연립방정식

① 미지수가 2개인 일차 방정식 교과서 10～11쪽 차

시 1/ 15 학습목표 미지수가 2개인 일차방정식의 뜻을 알고 그 해의 뜻을 이해한다.

준비물 OHP , 준비 학습용T P , 교과서, 형성 평가지

단계 교수 - 학습 활동 비고

도입 학습목표 제시와 새로운 단원에 대한 학습 흐름도 소개 준비학습을 통한 선수학습 확인

이미 만들어 진 일차방정

식에 대한

T P자료를 가 지고 준비학 습을 실시한 다 .(준비학습 이란 1학년 과정에서 배 운 일차방정 식의 의미를 말한다.)

준 비 학 습 을 통한 1학년 과정의 학습 결손의 정도 를 살핀다.

탐 색

및

토 의

교과서에 제시된 준비 학습 문제를 같이 풀어본다.

준비 학습에 제시된 일차방정식의 의미를 복습하며 미지수 의 개념과 방정식을 푼다라는 의미를 다시 세워본다.

미지수의 개념을 확실히 세운 후 생활 주변의 소재를 가지 고 미지수가 2개인 일차방정식에 대한 논의를 학생들과 같이 해본다. 발표까지 해보자.

생활 주변의 소재를 중심으로 미지수가 2개인 일차방정식들 을 교과서의 예시를 참고하여 만들어본다.

미지수를 직접 x , y로 하여 미지수가 2개인 방정식을 직접 만들고 이제부터는 미지수가 하나가 아닌 2개의 일차방정식 도 있음을 다시 확인시킨다.

정리 및 평가

오늘 배운 미지수가 2개인 일차방정식을 이해하는가?

준비학습문제의 풀이 결과를 조사하여 학습결손에 대한 보 충 계획을 세워본다.

차시 수업을 예고

- 미지수가 2개인 일차방정식의 해를 직접 찾아보기

< 표 8> 연구집단 학습 지도안의 예

단 원 1. 연립방정식

① 미지수가 2개인 일차 방정식 교과서 10～11쪽 차

시 1/ 15 학습목표 미지수가 2개인 일차방정식의 뜻을 알고 그 해의 뜻을 이해한다.

준비물 OHP , 준비 학습용T P , 탐구 학습지, 교과서

단계 교수 - 학습 활동 비고

도입 학습목표 제시와 새로운 단원에 대한 학습 흐름도 소개

준비학습을 통한 선수학습 확인 준비학습 문

제를 풀며 방 정식의 의미, 즉, 미지수와 방정식을 푼 다라는 의미 를 T P자료와 탐구 학습지 자료를 통해 제시한다.

준 비 학 습 을 통한 1학년 과정의 학습 결손의 정도 를 살핀다.

탐 색

및

토 의

교과서 제시된 준비 학습 문제를 같이 풀어보며 이 단원에 공부를 수학사를 이용하여 하겠다는 방법을 제시하며 탐구 학습지를 배부한다.

탐구 학습지의 내용을 학생들과 같이 살펴본다. 이를 통하 여 미지수 x의 유래와 생활 주변의 소재들을 이용한 일차방 정식 관련 역사적 문제들을 소개한다. 이를 통해 미지수의 의 미와 방정식을 푼다라는 의미를 이해시킨다. 이 후 탐구 학습 지에 제시된 일차방정식 문제를 같이 풀어본다.

미지수의 개념을 확실히 세운 후 생활 주변의 소재를 가지 고 미지수가 2개인 일차방정식에 대한 논의를 학생들과 같이 해본다. 발표까지 해보자.

미지수를 직접 x , y로 하여 미지수가 2개인 방정식을 직접 만들고 이제부터는 미지수가 하나가 아닌 2개의 일차방정식 도 있음을 다시 확인시킨다.

정리 및 평가

오늘 배운 미지수가 2개인 일차방정식을 이해하는가?

오늘 배운 내용 중에 수학사를 이용한 점에 대한 의견 묻기 준비학습문제의 풀이 결과를 조사하여 학습결손에 대한 보 충 계획을 세워본다.

차시 수업을 예고

- 미지수가 2개인 일차방정식의 해를 직접 찾아보기

탐구 학습지 의 정답을 같 이 채점한다.

발표를 유도 하여 적극적 수업 참여를 유도하자.

< 표 9> 탐구 학습지 Ⅰ

탐 구 학 습 Ⅰ

Ⅱ. 연립방정식

달리기 전, 준비 운동이 필수죠!

연립방정식 배우기 전, 어떤 준비운동을할까요? 자, 알아봅시다.

■ 학 습 궁 금 증 ⇒ 오 늘 꼭 해 결 합 시 다 .

1. x , y와 같은 문자 꼭 사용해야 하나요? 학생 - 문자 나오면 머리 아파요.

2. 방정식의 시작은 모르는 것을 아는 것 으로 믿고 푸는 것이다.

이것이 바로 식의 시작이고 방정식의 시작, 나아가 우리가 배울 연립방정식의 시작이다. 바로 미지수를 세우자라는 말.

◉ 자 , 시 작 합 시 다 .

1 . 문 자 는 꼭 사 용 해 야 되 나 요 ? 학 생 @문 자 나 오 면 머 리 아 파 요 ...

수학을 공부하다보면 문자를 사용하지 않고는 할 수가 없다. 문자는 꼭 사용해야 되는 것일까?

☞ 다음과 같은 문제를 살펴봅시다.

강아지 한 마리의 가격은 고양이 한 마리와 앵무새 한 마리 가격의 합과 같고, 사냥개 한 마리의 가격은 강아지 한 마리와 고양이 한 마리의 가격의 합과 같다.

또 사냥개 두 마리의 가격은 앵무새 세 마리의 가격과 같다고 할 때, 강아지 한 마리의 가격은 고양이 몇 마리의 가격과 같은가?

이 문제를 문자를 사용하지 않고 푼다면 사냥개 한 마리의 가격은 강아지와 고 양이의 가격 합과 같고, 강아지 가격은 고양이와 앵무새의 가격의 합과 같으므로, 사냥개의 값은 고양이 두 마리와 앵무새 한 마리의 값과 같고, ・・・ 과 같이 복잡하여 머리 속이 혼란스러울 것이다. 이것을 문자를 사용하여 풀어보면, 강아 지의 가격을 a, 고양이의 가격을 b, 앵무새의 가격을 c, 사냥개의 가격을 d라 하 면, 위 문제는 다음과 같은 식으로 간단히 나타낼 수 있다.

a = b + c - - - ① d = a + b - - - ② 2d = 3c - - - ③ 여기서 ①식을 ②식에 대입하면

d = (b + c) + b = 2b + c ∴ 2d = 2(2b + c) = 4b + 2c

이것과 ③식의 좌변과 우변을 비교해보면 4b + 2c = 3c ∴ c = 4b 이것을 ①식에 대입하면 a = b + 4b = 5b

즉, 강아지 한 마리의 가격은 고양이 다섯 마리의 가격과 같다.

이와 같이 문자를 사용하면 문제를 간단히 단순화 할 수 있어 문제를 풀기가 쉬 워진단, 말씀 ! 이제 문자 사용의 이유를 아셨죠?

참 고 - 문자를 사용하다 보면 x 라는 문자를 많이 사용 쓰는데 그 이유가 있나 요? 처음 x를 사용한 사람은 프랑스의 수학자 데카르트 인데, 프랑스어에는 x자가 들어가는 단어가 많았다고 합니다. 그래서 인쇄소에서는 x자 활자를 여분으로 많 이 가지고 있었기 때문이라고 합니다. ^- - ^

2 . 방 정 식 의 시 작 은 모 르 는 것 (미 지 수 )을 아 는 것 으 로 믿 는 것 에 서 시 작 합 니 다 .

복잡한 문제를 방정식을 세워 간단히 해결할 수 있도록 도와 준 디오판토스는 그의 업적과 더불어 묘비에 새겨진 글귀로 더욱 유명하다. 그의 묘비에는 다음과 같은 글귀가 실려 있다고 한다.

이 무덤 아래 디오판토스 잠들다. 그는 일생의 1/ 6을 소년으로 지내고, 그 후 일 생의 1/ 12을 보내고 수염을 길렀다. 또 그 후, 일생의 1/ 7이 지나고 결혼하여 5 년 후에 아이를 낳았다. 아 ! 슬프구나. 그 애는 사람들의 사랑과 보살핌 속에 아버 지의 생애의 절반을 살고 세상을 떠나고 말았다. 이 슬픈 시련을 견디며 지내기를 4년, 아버지 또한 이 땅의 삶을 마쳤도 다." 몇살이지?

그래서 도대체 몇 살까지 살았다는 걸까? 여러 학생들은 죽어서까지 사람을 피 곤하게 한다고 하겠지만 디오판토스의 나이 문제는 겨우 '일차방정식 '이다. 이 비 문에 따라 우리들이 모르는 디오판토스의 나이를 미지수 χ로 놓고 식을 세워보 자.

χ/ 6 + χ/ 12 + χ/ 7 + 5 + χ/ 2 + 4 = χ 식을 정리하여 풀면 χ=84 이다.

즉, 84살까지 살았다.

이 문제는 단순히 일차방정식만의 의미가 아닌 것이다. 이 문제로 우리는 다음과 같은 교훈을 얻을 수 있다. 모르는 것이 나오면 과감히 모르는 것 '을 아는 것 '으 로 하여 식으로 표현해 보려는 노력이 방정식의 시작인 것이다. 옛날사람들도 이 모르는 것 을 안다 고 하여 푼다는 그 자체는 대단한 충격이었다고 한다. 있다는 것과 없는 것을 있다고 하는 것은 큰 차이니까?

확 인 학 습 - 미지수를 세워보자, 직접 !

1. 위대한 피타고라스여, 뮤즈 여신의 자손이 여, 가르쳐 주십시오. 당신 제자가 몇 명인지 를? 당신 제자의 절반은 수의 아름다움을 탐 구하고, 자연의 이치를 구하는 자가 4분의 1, 7분의 1의 제자들은 굳게 입을 다물고 깊이 사색에 열중하고 있습니다. 그 외 여자 제자 가 3명 이들이 제자의 전부입니다. 알겠는가?

제자의 수를? (그리스의 시집에서)

2. 고대 이집트 시대에는 여러 가지 사실을 기록하는데 종이 대신 파피루스라는 것을 썼다. 기원전 19세기에 이집트의 승려 아메스가 남긴 파피루스에는 아하 문 제(아하란 알지 못하는 값- 미지수를 말한다.) 라는 것이 있다. 아하와 아하의 1/ 7 의 합이 16일 때, 그 아하를 구하여라.

4. 연구 내용별 평가 및 결과

가. 연구 주제

(1) 수학사 적용을 통한 연구 집단과 기존 강의식 수업을 진행한 비교 집 단간의 수학에 있어서의 인지적 영역에 대한 평가 결과가 유의미한 차 이를 보이는가를 사후평가로 알아본다. 그리고 4개월 뒤에 실시한 파 지력 검사에서도 역시 연구집단과 비교집단 간에 인지적 영역에 대한 평가 결과는 유의미한 차이를 보이는가를 사후평가로 알아본다.

(2) 수학사가 담긴 탐구 학습지를 적용한 후 연구집단과 기존에 교과서로 강의식 수업을 전개한 비교집단 학생에게 정의적 영역의 검사인 수학 적 성향검사와 수학사에 대한 의견을 설문조사를 통해 분석해본다.

(3) 서울, 경기도에 근무하는 중・고등학교 수학과 55명의 교사들을 대상 으로 수학사에 대한 관심, 수학사 적용의 필요성, 실제 현장에서 수학 사 적용의 현황과 문제점 등을 알아보고자 배포한 설문을 조사・분석 해본다.

나. 연구 주제별 평가 및 결과 분석

(1) 연구 주제 1에 대한 결과 분석

연구 주제 1 - 수학사 적용을 통한 연구 집단과 기존 강의식 수업을 진행 한 비교 집단간의 학습에 있어서 인지적 영역에 대한 평가 결과가 유의미 한 차이를 보이는가를 단원의 마무리에서 사후평가를 통해 알아본다. 그 리고 4개월 뒤에 실시한 파지력 검사에서도 역시 연구집단과 비교집단 간 에 인지적 영역에 대한 평가 결과는 유의미한 차이를 보이는가를 연구 단 원에 대한 사후평가를 통해 알아본다.

① 인지적 영역 검사

인지적 영역의 차이를 알아보기 위하여 객관식 60점, 서술형 40점으로 구 성된 사후평가를 5월말에 연구집단, 비교집단 학생들에게 동시에 평가를 실 시하였다. 또 4개월 뒤에 연구단원에 대한 파지력 검사 역시 같은 형식의 사후평가를 통해 연구집단, 비교집단 학생들에게 동시에 평가를 실시하였다.

이 평가에 대한 검증은 두 집단간의 평균 차 검정을 유의수준 10%에서 검 증하였다.

㉮ 총괄평가에 대한 평가 문항의 작성

총괄평가는 수학사 적용 수업이 끝난 직후 실시한 5월말 사후평가와 파지 력 검사를 위해 실시한 9월초 사후평가 두 가지로 나뉜다. 두 개의 총괄평 가에 대한 시험 문항의 내용과 행동목표의 문항분석표를 아래에 < 표 10> ,

< 표 11> 을 통해 제시하였다. 시험 문항의 구성은 객관식 15문항(배점 4점), 서술형 5문항(배점 8점)으로 총 20문항 100점 만점으로 구성되어 연구집단, 비교집단 학생들에게 적용하였다.

< 표 10> 5월 사후평가 문항 분석

구분 번호

영역별 내용 행동 영역 예상 난이도 지식 이해 적용 상 중 하

객

관

식

1 미지수가 2개인 일차방정식을 풀 수 있다. ○ ○

2 연립방정식의 해를 구할 수 있다. ○ ○

3 연립방정식의 해를 적용, 다른 문자값을

찾을 수 있다. ○ ○

4 연립방정식의 해를 구할 수 있다. ○ ○

5 미지수가 2개인 일차방정식을 안다. ○ ○

6 연립방정식의 뜻을 안다. ○ ○

7 복잡한 연립방정식을 풀 수 있다. ○ ○

8 연립방정식의 뜻을 안다. ○ ○

9 연립방정식을 만들어 해를 구할 수 있다. ○ ○

10 복잡한 연립방정식을 풀 수 있다. ○ ○

11 연립방정식을 세우고 해를 구할 수 있다. ○ ○

12 연립방정식을 세우고 해를 구할 수 있다. ○ ○

13 A =B =C 형태 연립방정식을 풀 수 있다. ○ ○

14 복잡한 연립방정식을 풀 수 있다. ○ ○

15 연립방정식을 세우고 해를 구할 수 있다. ○ ○

서 술 형

1 연립방정식을 세우고 해를 구할 수 있다. ○ ○

2 가감법, 대입법을 안다. ○ ○

3 연립방정식을 세우고 해를 구할 수 있다. ○ ○ 4 연립방정식을 세우고 해를 구할 수 있다. ○ ○ 5 미지수가 2개인 일차방정식의 의미와 순서

쌍, 좌표평면의 의미를 안다. ○ ○