Free Vibration Analysis of Laminated Composite Stiffened Plates under the In-plane Compression and Shear Loads

構 造 工 學

大 韓 土 木 學 會 論 文 集

第26卷 第1A 號·2006年 1月 pp. 191 ~ 203

면내 압축 및 전단하중을 받는 적층 복합 보강 판의 자유진동해석

Free Vibration Analysis of Laminated Composite Stiffened Plates under the In-plane Compression and Shear Loads

한성천*·최삼열**

Han, Sung-Cheon ^· Choi, Samuel

···

Abstract

The vibration characteristics of composite stiffened laminated plates with stiffener is presented using the assumed natural strain 9-node shell element. To compare with previous research, the stiffened plates are composed of carbon-epoxy composite laminate with a symmetric stacking sequence. Also, the result of the present shell model for the stiffener made of composite material is compared with that of the beam model. In the case of torsionally weak stiffener, a local buckling occurs in the stiff- ener. In this case, the stiffener should be idealized by using the shell elements. The current investigation concentrates upon the vibration analysis of rectangular stiffened and unstiffened composite plates when subjected to the in-plane compression and shear loads. The in-plane compression affect the natural frequencies and mode shapes of the stiffened laminated composite plates and the increase in magnitude of the in-plane compressive load reduces the natural frequencies, which will become zero when the in-plane load is equal to the critical buckling load of the plate. The natural frequencies of composite stiffened plates with shear loads exhibit the higher values than the case of without shear loads. Also, the intersection, between the curves of fre- quencies against in-plane loads, interchanges the sequence of some of the mode shapes as a result of the increase in the in- plane compressive load. The results are compared with those available in the literature and this result shows that the present shell model for the stiffened plate gives more accurate results. Therefore, the magnitude, direction type of the in-plane shear and compressive loads in laminated composite stiffened plates should be selected properly to control the specific frequency and mode shape. The Lanczos method is employed to solve the eigenvalue problems.

Keywords : Free vibration analysis, Composite stiffened plates, Lanczos method, Assumed natural strain, 9-node shell element

···

요 지

가정 변형률 9절점 쉘 요소를 이용하여 스티프너로 보강된 적층 복합 보강판의 진동 특성을 연구하였다. 기존의 연구결과 들과 비교하기 위하여 대칭으로 적층된 carbon-epoxy 복합재료 적층 판을 사용하였다. 또한 본 연구에서 스티프너를 쉘로 모델링 한 결과들은 보 요소로 모델링 된 결과들과 비교하였다. 비틀림에 약한 스티프너의 경우에 국부 좌굴이 스티프너에 서 발생할 수 있다. 이 경우에 스티프너는 쉘로 모델링 하여야 한다. 본 연구는 면내 압축 및 전단하중을 받는 적층 복합 보강 판과 보강되지 않은 적층 복합 판의 연구에 집중되어 있다. 면내 압축 및 전단하중은 적층복합 판의 고유진동수와 진 동 모우드를 변화시키고 압축 하중의 증가는 압축 하중이 임계 좌굴하중에 도달하여 진동수가 0 이 될 때 까지 진동수를 감소시킨다. 면내 전단하중의 작용은 그렇지 않은 경우에 비하여 진동수를 증가시켰다. 또한 진동수와 면내 하중 관계 곡선 의 교차는 적층 복합 보강판의 진동 모우드를 교체 시킨다. 본 연구에서 제시한 쉘 요소로 적층 복합 보강판을 해석한 결 과 참고문헌과 비교하여 매우 정확한 결과를 나타내었다. 그러므로 보강된 적층 복합 판의 면내 전단 및 압축하중의 종류와 크기는 특정한 진동수와 모우드 형상의 조절을 위해 적절하게 선택되어야 한다. 고유치 문제를 풀기 위하여 Lanzcos 방법 을 사용하였다.

핵심용어 : 자유진동해석, 적층 복합 보강판, Lanzcos 방법, 가정 변형률, 9절점 쉘 요소

···

1. 서 론

기존의 강판에 비하여 높은 자중대비 강성과 강도, 부식 저항성 그리고 높은 감쇄특성 등의 장점으로 인하여 토목, 항공, 해양 그리고 기타 산업분야에서 적층복합 판의 사용은

널리 증대되고 있는 실정이다. 대부분의 구조물들은 그것들 이 공간, 해양, 혹은 지상에 존재하더라도 동적인 하중상태 에 놓여있게 된다. 특히 동적 하중상태에 놓여 있을 때 복 합재료는 기존의 다른 재료들보다 우수한 특성을 나타내게 된다. 구조물을 설계할 때 자중의 감소는 매우 중요한 문제

*

정회원·대원과학대학토목과부교수·공학박사

(E-mail: [email protected])

**

정회원·

(

주

)EO

엔지니어즈구조부부장·공학박사

(E-mail: [email protected])

가 된다 . 또한 판의 진동문제에 있어서 자중 증가로 인한 문제점 없이 판의 최대 처짐을 감소시키는 것도 필요하게 된다 . 이러한 두 가지 문제를 해결하기 위하여 판에 스티프 너를 붙여 사용하게 된다 .

쉘 요소를 이용한 등방성 판의 진동해석은 Lee 와 Han

(2001) 에 의해서 수행되어 졌다 . 적층복합 판의 자유진동에

관한 연구는 Reddy(1997) 와 Kant 등 (2001) 이 발표하였다 .

한성천과 최삼열 (2004) 은 회전관성이 고려되지 않은 집중질

량을 이용하여 적층복합 판의 정적 해석과 진동해석에 관하 여 연구하였다 . Park 등 (2005) 은 4 절점 quasi-conforming

쉘 요소를 이용하여 적층복합 판과 쉘의 선형 정적해석 및 강제 진동해석을 수행하였다 . 8 절점 합 응력 솔리드 요소를

이용한 3 차원 해석은 Kim 등 (2005) 에 의하여 연구되었다 .

등방성 보강 판에 관한 연구는 많은 연구자들에 의하여 수 행되었다 . Olsen 과 Hasell(1977) 은 4 변 고정 등방성 보강 판의 진동 특성에 관한 이론적 결과와 실험적 결과를 비교 연구하였다 . 그들은 삼각형 유한요소를 사용하였다 . Mukherjee 와 Mukhopadhyay(1988) 는 8 절점 유한요소를 사 용하여 진동해석을 수행하였다 . Palani ^등 (1992) ^은 4 ^{가지 질}

량집중 방법을 이용하여 다양한 경계를 가지는 보강 판의 정적 및 진동해석을 수행하였다 . Liu 와 Chen(1992) 은 유한 요소법을 이용하여 경사각을 가지는 캔틸레버 보강 판의 자 유진동을 연구하였다 . 최근에 Lee 와 Lee(1995) 는 상판은 쉘 요소를 사용하고 스티프너는 보 요소를 사용하여 적층복합 판의 진동해석을 수행하였다 . 또한 Rikards 등 (2001) 도 보 요소를 사용하여 보강된 적층복합 판의 진동해석에 관하여 연구하였다 . Lee ^와 Lee(1995) ^그리고 Rikards ^등 (2001) ^은

전체 구조물의 자유도를 줄이기 위하여 보 요소를 사용하였 다 . 스티프너가 비틂에 강하고 상판이 매우 얇은 경우에는 상판의 진동 모우드가 지배적이기 때문에 스티프너를 보 요 소로 모델링 할 수 있다 . ^{하지만 스티프너가 비틂에 약한}

경우에는 스티프너에 국부 좌굴이 발생할 수 있기 때문에 이러한 경우에는 반드시 스티프너를 쉘 요소를 사용하여 모 델링 하여야만 정확한 진동해석을 수행할 수 있다 . 기존의 연구자들에 의한 스티프너의 국부 좌굴이 고려된 진동해석 은 매우 드문 상황 이므로 본 연구에서는 보다 정확한 진동 모드형상을 분석하기 위하여 스티프너를 쉘 요소로 모델링 하였다 .

전단 잠김 문제를 해결하기 위하여 Huang 등 (1986) 은

자연 좌표계에서 전단 변형률을 보간한 9 절점 가정 변형률 쉘 요소를 개발하였다 . 가정 변형률을 이용한 다른 유한요소

는 Jang 등 (1986) 에 의해 독립적으로 연구되었다 . Simo 등

(1986) 은 변분 이론에 근거한 가정 변형률 방법을 제안하였

다 . Belytschko 등 (1989) 은 모래시계 모우드를 조절하기 위해

안정화 행렬을 사용한 9 절점 가정 변형률 쉘요소를 제안하 였고 이 요소는 모든 항들을 감차 적분 하였다 . 본 연구에

서는 잠김 현상을 극복하기 위하여 Han 등 (2004) 에서 사용된

가정 변형률 방법을 사용하였다 . 합 응력 개념을 사용하여 적층 판의 적합 조건식을 유도하였고 이 이론은 Kim 등

(2003) ^{이 적층 복합 쉘의 비선형 해석에 사용하였다} . ^등방성

보강 판의 진동 해석과 적층복합 판의 정적 해석 및 진동해 석에 관한 연구에 비해 면내 하중을 받는 보강된 적층복합

판의 동적 해석은 매우 희박한 상황이다 . 면내 압축 및 전 단을 받는 경우의 진동문제는 구조물에 가해지는 동적하중 이 변화하는 경우에 면내 응력들의 증가로 인한 진동모드의 변화와 구조물의 안정문제와 관련되어 있다 . 따라서 동적하 중의 증가로 인한 적층 복합 보강판의 진동수와 진동모드의 변화가 보다 경제적이고 구조적으로 안정한 구조설계를 위 해 적절하게 검토되어야 할 필요가 있다 .

본 연구에서는 9 절점 가정변형률 쉘요소를 이용하여 면내 하중을 받는 보강된 적층복합 판의 동적 해석에 초점을 맞 추어 연구하였다 . 전단변형 효과를 고려하기 위하여 1 차 전 단 변형이론을 사용하였고 정확한 진동해석을 위하여 회전 관성이 고려된 분포 질량 행렬을 사용하였다 . 연구 결과의 정확도를 검증하기 위하여 4 각형 적층복합 판의 고유진동수 를 이론적인 연구결과와 비교하였다 . 보 요소로 스티프너를

모델링 한 경우와 비교하기 위하여 Lee 와 Lee(1995) 그리

고 Rikards 등 (2001) 의 연구결과와 비교하여 나타내었다 . 면

내 하중의 영향을 알아보기 위하여 여러 가지 하중상태에 따른 고유진동수와 진동 모우드를 분석하여 표와 그림으로 나타내었다 . ^{적층복합 판의 고유치 문제를 해석하기 위하여}

Lanczos 방법을 사용하였고 분포질량행렬을 구하기 위해

Gauss 적분법을 사용하였다 .

2. 쉘의 기하학적 형상

6 개의 자유도를 가지는 쉘 요소는 그림 1 과 같다 .

중립 면에 수직한 선분은 변형 후에도 수직 하다는 쉘의 가정을 이용하면 각 노드에서 두께 h

^a

를 가지는 쉘의 초기

상태는 식 (1)-(3) 으로 표현 할 수 있다 .

(1) (2)

(3)

여기서 P는 쉘 요소 임의 점의 위치 벡터 ; 는 중립 면에 있는 임의 점의 위치 벡터 ; N

a

는 절점 a에 대한 2 차원

Lagrangian 형상함수 ; 는 3 개의 Cartesian 성분을 가지는 위치 벡터 ; h

^a

는 절점 a에서 쉘의 두께 ; 그리고 는 절점 a에서 중립 면에 수직한 단위 벡터이다 . 절점 a에서 단위

P ( ) ξ

_i

= P ( ) ξ _β + ξ

₃

V ( ); i 1 2 3 ξ _β = , , , β = 1 2 ,

P ( ) ξ _β N

_a

( ) ξ _β P

^a

a 1=

∑

9

=

V ( ) ξ _β N

_a

( )h ξ _β --- 2

^a

V ˆ

^a

a 1=

∑

9

=

P

P

^a

V ˆ

^a

그림 1. 9절점 쉘 요소의 기하학적 형상

수직 벡터 는 식(4)로 정의 할 수 있다.

(4)

3개의 직교 축에 대한 유한회전은 미소 회전과는 달리 벡 터로 특정 지을 수 없다(Groesberg, 1968). 쉘의 선형해석 에 일반적으로 사용되는 3개의 전체 좌표축에 대한 쉘 수직 성분 회전의 사용은 기피되었으며, 이것은, 유한회전이 포함 될 때, 이들 회전의 변환 및 갱신에 특별한 처리과정이 필 요하기 때문이다. 강체 동역학에서 Euler의 각(Gresberg, 1968)을 이용하여 성공적으로 다루어진 강체의 회전운동은 일련의 엄밀한 회전변위에 의해 정의되는 것으로 알려져 있 다. 여기서 회전에 관한 변환행렬은 필요한 3개의 모우드 대신 오직 2개의 독립 회전 모우드를 표현할 수 있으며, 따 라서, 이것은 미소회전이 주된 문제일 때 Euler 각의 단점을 보여준다.

본 연구에서는 회전을 연속된 3개 회전으로 엄밀히 분리 하고 이를 순차적으로 표현하여 제안하였으며, 그림 2에 나 타내었다.

그림 2의 3개 회전에 대한 각각의 변환 행렬은 식(5)와 같다.

(5)

여기서 c

i

=cos θ

i

, s

i

-sin θ

i

(i=1,2,3) 그리고 변환 행렬 R은 식 (6)으로 표현 할 수 있다.

(6)

3개의 회전은 식(6)과 같이 하나의 변환 행렬로 정의 할 수 있다. 그러므로 3개의 회전은 각 절점에 추가된 참고 시 스템에서 일반적인 좌표 계로 사용할 수 있다. 그때 중립 면에 대한 회전변위는 이 3개의 회전으로 나타낼 수 있다.

쉘 요소의 변위 장 u는 식(7)로 나타낼 수 있다.

(7)

여기서 는 중립 면 임의 점의 병진 변위 벡터이고 는 절점 의 회전변위 벡터이다. 즉,

(8) 식(8)을 이용하여 식(7)을 나타내면 식(9)와 같다.

(9)

여기서 은 단위 행렬이다.

식(6)의 3개 회전이 매우 작으면 식(9)는 식(10)으로 표현 할 수 있다.

(10)

여기서

(11)

3. 자연 변형률 텐서와 변형에너지

자연 좌표 계에서 자연 변형률 텐서와 Green 변형률 텐 서의 관계는 식(12)와 같다.

(12) Vˆ

^a

Vˆ

^a

∂ P

^a

∂ξ

₁

--- ∂ P

^a

∂ξ

₂

---

×

∂ P

^a

∂ ξ

₁

--- ∂ P

^a

∂ ξ

₁

---

× ---

=

R

₁

1 0 0 0 c

₁

s –

₁

0 s

₁

c

₁

R

₂

c

₁

0 s

₂

0 1 0 s

₂

– 0 c

₂

R

₃

c

₃

s – 0

₃

s

₃

c

₃

0 0 0 1

=

;

=

;

=

R R

₁

R

₂

R

₃

c

₂

c

₃

– c

₂

s

₃

s

₂

c

₁

s

₃

+ s

₁

s

₂

c

₃

c

₁

c

₃

– s s

_{1 2}

s

₃

s –

₁

c

₂

s

₁

s

₃

– c

₁

s

₂

c

₃

s

₁

c

₃

+ c

₁

s

₂

s

₃

c

₁

c

₂

= =

u ( ) ξ

_i

N

_a

( ) ξ _β u

^a

+ ξ

₃

^h --- ₂

^a

eˆ

^a

= u ( ) ξ _β + ξ

₃

e ( ) ξ _β

a 1=

∑

9

=

u eˆ

^a

eˆ

^a

= R

^a

Vˆ

^a

– Vˆ

^a

u ( ) ξ

_i

N

_a

( ) ξ _β u

^a

+ ξ

₃

^h --- ₂

^a

( R

^a

– I

_{3 3×}

) Vˆ

^a

a 1=

∑

9

=

I

_{3 3×}

u ( ) ξ

_i

N

_a

( ) ξ _β I

_{3 3×}

ξ

₃

h

^a

--- 2 Ψ

^a

u

^a

( ) ξ

_i

N

_a

u

^a

a 1=

∑

9

=

a 1=

∑

9

=

Ψ

^a

0 V ˆ

3a

V ˆ

2a

– V ˆ

3a

– 0 V ˆ

1a

V ˆ

2a

V ˆ

1a

– 0

u

^a

= { u

₁^a

, , , , , u

₂^a

u

₃^a

θ

₁^a

θ

₂^a

θ

₃^a

}

^T

,

=

N

_a

N

_a

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ξ

₃

h

^a

---Vˆ 2

₃^a

ξ

₃

h

^a

--- 2 – Vˆ

₂^a

0 0 0 ξ

₃

h

^a

---Vˆ 2

₃^a

– 0 ξ

₃

h

^a

---Vˆ 2

₁^a

0 0 0 ξ

₃

h

^a

---Vˆ 2

₂^a

ξ

₃

h

^a

--- 2 – Vˆ

₁^a

0

=

E˜ _αβ ∂ P

_I

∂ ξ _α --- ∂ P

_J

∂ ξ _β ---E

_IJ

=

그림 2. 회전 표현 형식

식(12)에서 Green 변형률 텐서를 대입하여 정리하면 식 (13)과 같다.

(13)

식(13)은 식(14)로 간단하게 정리할 수 있다.

(14) 여기서 와 는 면내, 휨 그리고 전단 변형률 성분 이다. 고 는 변형률-변위 관계 행렬이다.

3차원 구조체로 표현된 쉘의 변형에너지는 응력 텐서 S

ij

와 변형률 텐서 E

ij

의 곱을 전체 체적에 대하여 적분한 형 태로 표현되며 식(15)와 같다.

(15) 적층 구조물에서 강성은 수직 좌표 계의 함수로 표현된다.

그림 3에 N개의 층으로 구성된 적층 판과 적층 판의 단면 을 나타내었다. 비등방성 층의 선형 탄성 특성 치들은 탄성 계수 텐서 C

ijkl

로 표현된다. 각 층에서 Hook의 법칙을 적용 하면 식(16)과 같다.

(16) 본 연구의 정식은 자연 좌표 계에서 표현되기 때문에 자 연 좌표 계에서의 적합 조건식을 얻기 위하여 전체 좌표계 와 자연 좌표계 사이의 좌표변환이 필요하게 된다. 자연 좌 표 계에서 응력 텐서는 식(17)과 같이 나타낼 수 있다.

(17) 여기서 는 Jacobian 행렬의 행렬식이고, 는 보강방 향 θ 를 가지는 직교이방성 재료의 적합 행렬이다. 좌표변환 행렬 T는 식(18)과 같다.

(18) 여기서

(19)

식(17)을 식(15)에 대입하면 변형 에너지 U는 식(20)과 같다.

(20)

두께에 대한 적분을 수행하면 변형 에너지로부터 식(21)과 같은 면내, 면내-휨 조합, 휨 그리고 전단 강성 행렬을 구할 수 있다. 본 연구에서는 등가 적합 방정식을 구성하기 전에 식(17)의 자연 적합 조건식에 평면 응력 상태를 도입하였다.

(21) 여기서 Reissner에 의해 제안된 5/6를 전단 보정계수(k

s

)로 유한요소 정식에 사용하였다.

적층 복합 판의 적합 방정식은 식(22)와 같다.

(22)

수직회전 자유도에 관련된 직접 강성이 없는 요소에서 이 웃하는 요소들이 거의 동일 평면상에 존재하게 되면 강성행 렬의 역행렬을 구할 수 없게 된다. 과거에는, 요소에 국부적 으로, 혹은 각 절점에 정의된 유사 수직방향에 가상의 비틀 림 스프링을 추가하였다. 이러한 기법은 종종 만족스럽지 못 한 결과를 나타내는데, 특히 연성 시스템에서 강체 운동에 의해 스프링에 과도한 변형에너지가 발생할 수 있다. 본 연 구에서는 Kanok-Nukulchai (1979)의 제안에 근거하여 수직 회전 자유도에 식(23)과 같은 추가 변형에너지를 이용한 벌 칙 범함수를 면내 비틀림에 결합하여 사용한다.

(23) 여기서 k

t

는 지정될 매개변수이며 0.1을 사용하였고, G는 전 단 계수; V

^e

는 요소의 체적; α

t

는 면내 비틂 회전; w

1

과 w

2

는 국부 좌표계에서의 변위성분; z

3

축이 쉘의 중립면에 수직 인 z

i

(i=1, 2, 3)는 국부 직교좌표축; 그리고 dV는 미소체적이 다. 과다 구속 현상을 피하기 위하여 비틀림 강성을 구할 E˜ _αβ 1

2 --- ∂ P

_I

∂ ξ _α --- ∂ u

_J

∂ ξ _β --- ∂ u

_I

∂ ξ _α --- ∂ P

_J

∂ ξ _β --- +

=

E˜

^m

= B˜

m

u , E˜

^b

= ξ

₃

B˜

b

u , E˜

^s

= B˜

s

u E˜

^m

, E˜

^b

E˜

^s

B˜

m

, B˜

b

B˜

s

U 1 2 --- S

_ij

E

_ij

d V

∫

V

=

S

_ij

= C

_ijkl

E

_kl

S˜

_ij

= C˜

_ijkl

E˜

_kl

= J˜

₀

T D˜

_ijkl

T

^T

E˜

_kl

J˜

0

D˜

ijkl

T

T

₁₁₁₁

T

₂₁₂₁

T

₃₁₃₁

2T

₁₁₂₁

2T

₂₁₃₁

2T

₁₁₃₁

T

₁₂₁₂

T

₂₂₂₂

T

₃₂₃₂

2T

₁₂₂₂

2T

₂₂₃₂

2T

₁₂₃₂

T

₁₃₁₃

T

₂₃₂₃

T

₃₃₃₃

2T

₁₃₂₃

2T

₂₃₃₃

2T

₁₃₃₃

T

₁₁₁₂

T

₂₁₂₂

T

₃₁₃₂

T

₁₁₂₂

+ T

₁₂₂₁

T

₂₁₃₂

+ T

₂₂₃₁

T

₁₁₃₂

+ T

₁₂₃₁

T

₁₂₁₃

T

₂₂₂₃

T

₃₂₃₃

T

₁₂₂₃

+ T

₁₃₂₂

T

₂₂₃₃

+ T

₂₃₃₂

T

₁₂₃₃

+ T

₁₃₃₂

T

₁₁₁₃

T

₂₁₂₃

T

₃₁₃₃

T

₁₁₂₃

+ T

₁₃₂₁

T

₂₁₃₃

+ T

₂₃₃₁

T

₁₁₃₃

+ T

₁₃₃₁

=

T

_ijkl

∂ ξ

_j

∂ P

_i

--- ∂ ξ

_l

∂ P

_k

---

=

U 1 2 --- E˜

_ij^T

C˜

_ijkl

E˜

_kl

d ξ

₃

d A

h⁄2

– h⁄2 A

∫

∫

=

A _αβγδ , B _αβγδ , D _αβγδ C˜ αβγδ ( 1 , , ξ

₃

ξ

₃²

) d ξ

₃

h⁄2 – h⁄2

∫

=

A _α

₃

_β

₃

k

_s

C˜ _α

₃

_β

₃

ξ d

₃ h⁄2

– h⁄2

∫

=

N _αβ M _αβ Q _α

₃

⎩ ⎭

⎪ ⎪

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎧ ⎫ A _αβγδ B _αβγδ 0 B _αβγδ D _αβγδ 0

0 0 A _α

₃

_β

₃

E˜ _γδ

^m

E˜ _γδ

^b

E˜ _β

^s₃

⎩ ⎭

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎧ ⎫

=

U

_t

k

_t

G α

_t

( ξ

₁

, ξ

₂

) 1 2 --- ∂w

₂

∂z

₁

--- ( ξ

₁

, , ξ

₂

0 ) ∂w

₁

∂z

₂

--- ( ξ

₁

, , ξ

₂

0 )

⎩ – ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

–

2

V

V^e

d

∫

=

그림 3. N개의 층으로 구성된 적층 판의 단면

때 2×2 가우스 적분을 사용하였다.

4. 전단 잠김과 면내 잠김

잠김 현상을 해결하기 위하여 Han 등(2004)의 9절점 쉘 요소에서 사용한 가정 변형률 방법을 사용하였다. 그림 4 의 견본 점을 이용하여 전단 및 면내 변형률을 식(24)와 같 이 보간하여 사용한다.

(24)

여기서 δ =2(j−1)+i는 그림 4의 견본 점의 위치를 나타낸다.

식(24)의 함수 Ω

i

( ξ

1

)와 Ξ

j

( ξ

2

)는 식(25)와 같다.

(25)

여기서 와 는 변수를 바꾸면 쉽게 구할 수 있다. 가정 변형률 는 각각 와 같은 보간 형 태를 갖는다.

식(24)로 유도된 가정 변형률 이 변위 장으로부터 유도 된 식(15)의 변형률 를 대신하여 사용된다. 식(26)에서 보 는 바와 같이 가정 변형률에서 유도된 행렬이 표준

를 대체하여 사용된다.

(26)

여기서 와 는 가정 면내 그리고 가정 전단 변형률 성분이다.

5. 동적 평형 방정식

가상일의 원리를 사용하고 면내, 휨 그리고 전단 합 응 력을 이용하여 동적 평형 방정식을 식(27)로 표현 할 수 있다.

(27) 여기서 ρ 는 요소 재료의 비중이다.

가상 변위 는 0이 아닌 임의의 값을 가지므로 식(27) 은 식(28)로 표현 할 수 있다.

(28) 식(28)의 일반 해는 식(29)로 나타낼 수 있다.

(29) 식(29)를 식(28)에 대입하면 고유치 문제 방정식 식(30)을 얻을 수 있다.

(30) 여기서

(31)

그리고 K

L

의 각각의 성분은 Han 등 (2004)에 나타나 있 고 β

k

는 고유치 벡터, ϖ

k

는 고유진동수이다.

식(30)의 은 식(32)로 표현된다.

(32)

여기서

(33) 여기서 N

a

와 N

b

는 절점 a와 b에서의 형상 함수이다. 식(30) 을 풀기 위하여 Park 등(2006)에서 사용하였던 Lanczos 방 법을 사용하였다.

e˜

₁₃

Ω

_i

( )Ξ ξ

_{1 j}

( )E˜ ξ

_{2 13}

^δ , e˜

₂₃

Ω

_i

( )Ξ ξ

_{2 j}

( )E˜ ξ

_{1 23}

^δ

j=1

∑

3 i=1

∑

2

=

j=1

∑

3 i=1

∑

2

=

e˜

₁₂

Ω

_i

( )Ω ξ

_{1 j}

( )E˜ ξ

_{2 12}

^δ

j=1

∑

2 i=1

∑

2

=

Ω

₁

( ) 1 ξ

₁

= 2 --- 1 ( + 3 ξ

₁

) , Ω

₂

( ) 1 ξ

₁

= 2 --- 1 ( – 3 ξ

₁

) ,

Ξ

₁

( ) 1 ξ

₂

= 2 --- ξ

₂

( ξ

₂

+ 1 ) , Ξ

₂

( ) 1 ξ

₂

= – ξ

₂²

, Ξ

₃

( ) 1 ξ

₂

= 2 --- ξ

₂

( ξ

₂

– 1 )

Ω

_i

( ) ξ

₂

Ξ

_i

( ) ξ

₁

e˜

₁₁

, e˜

₂₂

e˜

₁₃

, e˜

₂₃

e˜

E˜

B˜

AS

B˜

e˜

^m

E˜

^b

e˜

^s

⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎧ ⎫ ( B˜

_m

)

_AS

0 ξ

₃

B˜

_b1

ξ

₃

B˜

_b2

B˜

s1

( )

_AS

( B˜

s2

)

_AS

u

⎩ ⎭ θ

⎨ ⎬ ⎧ ⎫

=

e˜

^m

e˜

^s

δ ( _e˜γδ ^m ) T

Nαβ δ ( _E˜γδ ^b ) T

Mαβ δ e˜β (

33

) T Q

_α3

+ +

⎝ ⎠

⎛ ⎞ A d

∫ ⁼ ∫ ^{ρ δ ( u ) T u·· d V}

δ u

K

_L

u – u·· = 0

u = β

_k

e

ⁱ

^ϖ

^kt

K

_L

– ϖ

_k²

[ ] β

_k

= 0

K

_L

^K

^L11

^K

^L12

K

_L²¹

K

_L²²

dA

=

ρ ^{( N}

^aT

^N

^b

⁾

^{3 3×}

11

0

0 ( N

_a^T

N

_b

)

_{3 3}²²_×

V

∫ d

=

N

_a^T

N

_b

( )

¹¹

N

_a

N

_b

0 0 0 N

_a

N

_b

0 0 0 N

_a

N

_b

=

N

_a^T

N

_b

( )

²²

NaNb

ξ

₃²

^hahb --- Vˆ ₄ (

₃

a Vˆ

₃

b + Vˆ

₂

a Vˆ

₂

b ) – ξ

₃²

^hahb ---V˜ ₄

₂

a V˜

₁

b – ξ

₃²

hahb ---V˜ 4

₃

a V˜

₁

b ξ

–

₃²

hahb ---V˜ 4

₁

a

V˜

₂

b ξ

₃²

^hahb --- Vˆ ₄

₃

a Vˆ

₃

b

Vˆ

₁

a Vˆ

₁

b +

( ) – ξ

₃²

hahb

---V˜ 4

₃

a V˜

₂

b

ξ

–

₃²

hahb ---V˜ 4

₁

a

V˜

₃

b – ξ

₃²

hahb ---V˜ 4

₂

a

V˜

₃

b ξ

₃²

^hahb --- Vˆ ₄

₂

a Vˆ

₂

b

Vˆ

₁

a Vˆ

₁

b +

( )

=

그림 4. 가정 변형률 e˜

₁₁

, e˜

₁₃

, e˜

₂₂

, e˜

₂₃

와 e˜

₁₂

를 위한 견본 점들

6. 수치 해석 예제

6.1 적층 복합 판의 자유 진동수

본 연구의 해석결과를 검증하기 위한 첫번째 예제는 (0/

90/90/0) 으로 적층된 직교 이방성 정사각형 판이다 . 맨 윗층

과 맨 아래층 파이버의 보강방향은 x 축 방향이다 . 이 예제 는 1 차 전단변형 이론을 이용한 Navier 방법과 Rikards 등

(2001) 의 삼각형 유한요소 (2048 개 요소분할 ) 를 이용하여 해

석한 결과와 비교하였다 . 본 연구의 해석을 위한 요소 분할 은 10 × 10 을 사용하였다 . 재료와 기하학적 성질은 식 (34) 와 같다 .

a = b =5, h =1, E

1

=40, E

2

=1, G

12

= G

13

=0.6, G

23

=0.5, ν

12

=0.25,

ρ =1 (34)

판의 경계는 단순 지지이며 식 (35) 의 경계 조건을 만족한다 .

x=0, a : u

₂

=u

₃

= θ

1

=0, y=0, b : u

₁

=u

₃

= θ

2

=0 (35)

1 차 전단변형 이론을 사용한 이론적 해석 결과 (FSDT), 고

전적 판 이론 (CPT) 을 사용한 해석결과 그리고 Rikards 등

(2001) 의 2048 개 요소분할 PL18 요소를 사용한 해석결과들

과 비교하여 표 1 에 나타내었다 . 표 2 에는 역대칭 직교이방 성 적층 복합 판과 역대칭 앵글 - ^{플라이 적층 복합 판의 자}

유진동 해석결과들을 참고문헌의 결과들과 비교하여 나타내 었다 . 본 연구의 해석결과가 참고문헌의 결과와 잘 일치 하 였고 상대적으로 작은 요소를 사용하였음에도 불구하고 정 확한 결과를 얻을 수 있었다 .

해석결과 검증을 위한 두번째 예제로 대칭으로 (0/90/90/0)

적층 되어 있고 면내 압축하중을 받는 정사각형 직교 이방 성 적층 판을 자유진동 해석하였다 . 폭 - 두께 비는 a/h =10 이 고 다른 물성치와 기하학적 성질 등은 첫번째 예제와 같다 .

해석 결과들은 식 (36) 를 이용하여 무차원 화 하였다 . (36)

보강되지 않은 적층 판이 면내 압축하중을 받는 경우 진 동수의 변화와 면내 압축하중이 좌굴 하중에 도달하게 되면 공명 현상이 발생하게 되는 것을 그림 6 에 나타내었다 . 이 예 제의 목적은 면내 압축하중의 증가에 따른 진동수 - 면내 하중 관계 곡선에 대한 관찰과 첫 번째 임계하중의 크기를 공명 현

상을 이용하여 예측하는 것이다 . Kim 등 (2003) 의 좌굴 하중과

비교하였을 때 매우 정확하게 일치됨을 알 수 있었다 .

6.2 보강된 적층 복합 판의 자유 진동

6.2.1 한 개의 스티프너로 보강된 적층 복합 판

본 연구에서 사용한 9 절점 가정 변형률 쉘 요소를 이용한 적층 복합 스티프너 쉘 모델링의 정확도를 검증하기 위하여 보 요소를 사용한 해석결과와 비교하였다 . 일반적으로 등방성 판의 대칭 진동 모우드와는 달리 비등방성 판의 경우에는 항 상 대칭 진동 모우드가 발생하지는 않는다 . 따라서 보강된 적 층 복합 판의 진동 해석을 위하여 전체 구조물을 유한요소 모 델링 하였다 . 보강된 적층 복합 판의 진동 해석을 위하여 Lee

와 Lee (1995) 이 사용한 carbon-epoxy 복합 재료 (AS1/3501- 6) 를 사용하였다 . 재료의 성질은 표 3 에 나타내었다 . 상판의 적층 배열은 (0/ ± 45/90)

s

이고 스티프너의 적층 배열은 (0

7

/ 90

7

)

s

이다 . ^{보강된 적층 복합 판의 형상은 그림} 7 ^{과 같다} .

스티프너의 크기는 t

s

=3.64 mm 그리고 h

s

=10.5 mm 이다 .

ϖ ϖ ^a --- _h

²

ρ E

₂

---

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= P

_b

P

_b

a

²

E

₂

h

³

---

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= ,

그림 5. 적층 판의 기하학적 형상

표 1. 직교 이방성 적층판의 무차원 고유진동수( )

(Reddy, 1997) FSDT Rikards 등

(2001) 본 연구 CPT

(Rikards 등, 2001) 0.4342 0.4342 0.4342 0.7319

ϖ ϖ ρ = h

²

⁄ E

₂

표 2. 적층 복합 판의 무차원 고유진동수( , a/b=1, a/h=10)

해석 방법 역대칭 직교 이방성

^a

역대칭 앵글-플라이

n=2 n=10 n=2

^b

n=4

^c

n=10

^d

FSDT 10.473 15.779 13.044 14.742 17.634 19.380

한성천과 최삼열(2004) 10.534 15.823 13.100 - - 19.391

본 연구 10.477 15.779 13.044 14.742 17.634 19.381

a

0/90, (0/90)

s

;

^b

45/-45;

^c

(5/-5)

2

, (30/-30)2;

^d

(45/-45)

5

ϖ ϖ ρ = h

²

⁄ E

₂

그림 6. 면내 압축하중을 받는 적층 복합 판의 무차원 진동수

상판은 10×10으로 요소 분할 하였고 스티프너는 1×10으로 요소 분할 하였다. 본 연구의 해석결과와 참고문헌의 결과를 표 4에 나타내었다. 본 연구의 해석결과가 ANSYS의 해석 결과에 가장 근접됨을 알 수 있었다.

스티프너의 크기에 따른 진동수의 변화를 관찰하였다. Lee와 Lee(1995)연구 결과와 비교하여 표 5에 나타내었다. 보강된 적 층 복합 판의 형상은 그림 7과 같다. 표 5에서 스티프너의 길 이 및 두께의 증가는 자유 진동수의 변화의 원인이 되고 모든 경우에 있어서 진동수를 증가시킨다. 스티프너를 보 요소로 모 델링한 Lee와 Lee(1995)의 연구결과는 해석 번호 2에서 6까지

의 경우에는 본 연구의 결과보다 큰 진동수를 나타내었고 해 석 번호 8에서 10까지의 경우에는 본 연구의 결과보다 작은 진동수를 나타내었다. 이러한 현상은 해석 번호 7을 중심으로 스티프너를 보 요소로 해석하였을 때 강성의 과대 혹은 과소 평가에 의한 결과로 판단된다. 전체 구조물의 자유도를 줄이기 위해 Lee와 Lee (1995) 과 Rikards 등 (2001)은 보 요소로 스티프너를 모델링 하였다. 스티프너가 비틂에 강하고 상판이 매우 얇은 경우에는 상판의 진동 모우드가 지배적이기 때문에 스티프너를 보 요소로 모델링 할 수 있다. 하지만 스티프너가 비틂에 약한 경우에는 스티프너에 국부 좌굴이 발생할 수 있 기 때문에 이러한 경우에는 반드시 스티프너를 쉘 요소를 사 용하여 모델링 하여야만 정확한 진동해석을 수행할 수 있다.

또한 컴퓨터 시스템의 발달로 인해 전체 구조물의 자유도 숫 자는 더 이상 해석의 장애요인이 되지 않는다. 따라서 본 연구 에서는 보강된 적층 복합 판의 엄밀 자유진동 해석을 위하여 스티프너도 쉘 요소를 이용하여 모델링 하였다.

6.2.2 두개의 스티프너로 보강된 적층 복합 판

두 개의 스티프너로 보강된 적층 복합 판의 기하학적 형 상은 그림 8에 나타내었다. 상판의 적층 배열은 (0

2

±45

2

/ 90

2

)

s

이고 스티프너의 적층 배열은 (0

4

/90

4

)

s

이다. Lee와 그림 7. 적층 복합 스티프너로 보강된 적층 복합 판

표 3. 적층 복합 판의 재료 성질

재료 E

1

E

2

G

12

= ^G

¹³

^G

²³

^ν

¹²

^ρ 각 층 두께

Carbon-epoxy

(AS1/3501-6) 128

[GPa] 11

[GPa] 4.48

[GPa] 1.53

[GPa] 0.25 1500

[kg/m

³

] 0.13

[mm]

표 4. 적층 복합 스티프너로 보강된 적층 복합 판의 자유 진동수[Hz]

모우드 Lee 와 Lee (1995) Rikards 등 (2001) ANSYS (Rikards 등 , 2001) 본 연구

a b a b a b a b

1 213.8 85.1 215.0 85.6 213.1 85.0 214.0 85.1

2 229.4 134.0 235.5 135.7 220.8 133.9 218.8 134.1

3 270.2 207.4 274.5 208.1 270.3 206.3 271.7 206.7

4 313.8 216.1 315.4 219.9 308.8 215.5 309.7 216.4

5 354.0 252.5 361.4 256.3 353.5 251.4 356.2 252.1

a : 스티프너로 보강된 경우 , b : 보강되지 않은 경우

표 5. 크기가 다른 스티프너로 보강된 적층 복합 판의 자유 진동수[Hz]

번호 스티프너 크기

t

s

×h

s

5 개 진동 모우드에 따른 진동수 [Hz]

1 2 3 4 5

a b a b a b a b a b

1 0 ^× 0 85.1 85.1 134.0 134.1 207.4 206.7 216.1 216.4 252.5 252.1

2 1.04 × 3.0 91.2 88.4 162.3 151.4 207.6 206.8 250.7 247.0 274.8 258.1

3 1.56 ^× 4.5 108.3 101.7 207.3 196.3 214.9 207.3 252.3 251.8 329.2 317.9

4 2.08 × 6.0 136.9 126.8 208.2 207.5 254.2 249.0 264.3 253.9 332.6 332.6

5 2.60 ^× 7.5 170.6 158.7 209.2 208.7 257.7 257.7 292.9 283.6 338.4 338.9

6 3.12 × 9.0 203.0 191.0 211.0 210.8 263.1 263.7 306.7 300.9 345.8 347.2

7 3.64 ^× 10.5 213.8 214.0 229.4 218.8 270.2 271.7 313.8 309.7 354.0 356.2

8 4.16 × 12.0 217.5 218.5 248.6 240.0 278.4 280.8 317.8 314.5 361.7 364.4

9 4.68 ^× 13.5 222.2 224.2 261.6 254.7 286.8 289.8 320.2 317.4 368.4 371.1

10 5.20 × 15.0 227.8 230.9 270.2 264.6 294.5 297.7 321.8 319.2 373.7 376.1

a : Lee ^와 Lee (1995), b : ^{본 연구}

Lee(1995)의 결과와 비교하여 표 6에 나타내었다. 표 6에 서 두개의 스티프너의 위치에 따른 진동수의 변화를 알 수

있다. 상판의 중심선으로부터 스티프너의 간격이 멀어질수 록 진동수가 증가하다가 다시 감소하는 현상을 보인다. 이 러한 현상으로부터 스티프너의 위치가 진동수의 변화에 매 우 중요한 요소임을 알 수 있다. 표 6으로부터 진동수를 증가시키기 위한 적절한 스티프너의 위치(d/b)가 0.6 정도 임을 알 수 있다. 스티프너의 위치(d/b)가 0.6인 경우 참고 문헌의 진동수와 본 연구의 진동수는 약 1.4%의 차이를 나타내었다.

스티프너의 위치에 따른 5가지 경우에 1번부터 3번까지의 진동 모우들 구하여 그림 9에 나타내었다. 스티프너의 간격 이 증가되면서 비대칭 모우드가 대칭 모우드로 변화하는 현 상을 보였다.

그림 8. 두개의 스티프너로 보강된 적층 복합 판의 기하학적 형상

표 6. 두개의 스티프너로 보강된 적층 복합판의 자유 진동수

스티프너 위치 (d/b)

5개 진동 모우드에 따른 진동수[Hz]

1 2 3 4 5

a b a b a b a b a b

0.2 138.2 138.5 141.2 139.3 252.3 256.3 259.2 262.2 424.1 431.8 0.4 170.3 171.3 200.7 194.6 294.8 299.8 318.1 319.3 471.4 425.6 0.6 189.8 192.5 301.7 300.2 326.4 330.9 382.3 357.2 434.6 444.2 0.8 144.2 145.9 266.2 271.9 375.2 372.6 438.5 451.0 499.0 504.6 1.0 110.7 111.7 227.9 232.4 269.1 268.4 372.7 385.4 409.2 413.5 a : Lee와 Lee (1995), b : 본 연구

그림 9. 두개의 스티프너로 보강된 적층 복합 판의 진동 모우드

6.3 면내 압축 및 전단하중을 받는 보강된 적층 복합 판 의 자유 진동

상판의 적층 배열은 (0/90/90/0)이고 스티프너의 적층 배열 은 (45/-45/-45/45)인 보강 적층 복합 판의 면내 압축 및 전단하중에 대한 진동수의 변화를 연구하였다. 해석예제의 기하학적 형상은 그림 5의 적층판에 그림 7의 형태로 보강 재가 보강된 경우이다.

해석을 위한 무차원 기하특성과 재료의 성질은 식(37)과 같다.

a=b=10.0, h=1.0, t

s

=1.0, h

s

=2.0,

E

1

=40, E

2

=1.0, G

12

=G

13

=0.6, G

23

=0.5, ν =0.25, ρ =1.0 (37)

경계조건은 식(38)과 같다.

x=0, 10 : u

3

= θ

1

= θ

3

=0, y=0, 10 : u

3

= θ

2

= θ

3

=0,(상판)

z=0, -2 : u

1

= θ

1

=0(스티프너) (38) 상판의 요소 분할은 10×10이고 스티프너의 요소 분할은 1×10 이다. 면내 압축 및 전단하중의 형태는 그림 10에 나 타내었다. 자유진동 해석결과는 식(39)를 이용하여 무차원 화 하였다.

(39)

면내 압축 및 전단하중을 받는 적층 복합 보강 판의 해석 f f a --- h

²

ρ

E

₂

---

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

=

그림 10. 면내 압축 및 전단하중을 받는 적층 복합 판 표 7. 면내 압축 및 전단하중을 받는 적층 복합 판의 자유 진동수

형태 진동수 [ ]

1번 모우드 2번 모우드 3번 모우드 4번 모우드 5번 모우드

(a) 2.410 5.124 6.136 7.427 7.667

(b) 0.913 4.211 4.608 6.234 6.683

(c) 2.266 4.172 4.933 5.650 6.150

(d) 1.256 4.172 4.230 4.566 5.651

(e) 1.262 3.049 4.153 4.525 5.599

(f) 3.832 3.955 4.166 5.235 5.455

(g) 3.825 3.954 4.166 5.235 5.451

(h) 1.474 2.992 4.159 5.334 5.624

(i) 2.157 3.216 3.713 3.931 4.159

f

결과는 표 7과 그림 11에 나타내었다.

면내 압축하중을 받는 보강 되지 않은 적층 복합 판의 경

우에 진동수가 가장 작았으며 면내 전단하중을 받는 적층 복합 보강판의 경우에 진동수가 가장 크게 나타났다. 적층 그림 11. 면내 압축 및 전단하중을 받는 적층 복합 보강 판의 진동 모우드

그림 12. 면내 압축하중의 변화에 따른 보강된 적층 복합 판의 무차원 진동수 변화

복합 보강판의 경우에 x 방향 면내 압축하중에 의해서 진동 수가 약 55.5%로 감소되었다. 면내 전단하중은 방향에 관계 없이 적층 복합 보강판의 진동수를 증가시키는 것을 알 수 있었다. 표 7과 그림 11에서 특정한 진동수나 진동 모우드 를 조절하기 위한 적절한 면내 압축 및 전단하중의 크기와 방향이 선택되어야 함을 알 수 있다.

면내 압축하중의 증가에 따른 적층 복합 적층 판의 진동 수 변화를 그림 12에 나타내었다. 보강된 적층 복합 판의 경우에도 6. 1 절에서와 마찬가지로 면내 압축하중의 증가로 인한 공명 현상이발생 할 때의 압축하중을 임계 좌굴 하중 으로 예측할 수 있다. 그림 12에서 면내 압축하중의 증가로 인해 진동수 곡선들이 교차하면서 진동 모우드의 교체가 발 생된다. 이것은 압축하중방향과 평행한 반주기 수의 변화와 관련되어 있다.

면내 하중에 따른 5개의 모우드 형상을 그림 13에 나타내

었다. 그림 13에서 선택한 면내 하중들은 그림 12에서 진동 수 곡선들의 교차가 발생하는 점에서의 면내하중 값이다. 면 내 하중이 0.1 인 그림 13(b)의 3번 모우드가 그림 13(a)의 2번 모우드로 교체되었고, 면내 하중이 0.2 인 그림 13(c)의 5번 모우드가 그림 13(b)의 4번 모우드로 교체되었다. 면내 하중의 증가는 진동 모우드의 교체를 발생시키는 원인이 되 므로 면내 하중에 따른 정확한 진동수 및 진동 모우드에 관 한 해석이 필요하다.

그림 14에 면내 전단하중(Nxy=0.1)을 받는 적층 복합 보 강판에 일축압축하중이 작용하는 경우 진동수의 변화를 나 타내었다. 면내 전단하중의 작용은 예상할 수 있듯이 진동수 의 증가를 유발하였고 적층 복합 보강판의 좌굴을 위한 일 축압축하중의 크기 또한 증가시킴을 알 수 있다. 그림 12에 서와 마찬가지로 일축압축하중의 증가로 인한 진동 모우드 의 교체현상이 발생하였으며 이러한 진동모드의 교체를 그 그림 13. 보강된 적층 복합 판의 면내 압축하중에 따른 진동 모우드 형상

그림 14. 면내 전단을 받고 일축압축하중의 변화에 따른 보강판의 무차원 진동수 변화

그림 15. 면내 전단을 받고 일축압축하중의 변화에 따른 보강판의 진동 모우드 형상

그림 16. 면내 전단을 받고 이축압축하중의 변화에 따른 보강판의 무차원 진동수 변화

그림 17. 면내 전단을 받고 이축압축하중의 변화에 따른 보강판의 진동 모우드 형상

림 15에 나타내었다. 그림 16은 그림 15에 x 방향 면내하 중을 추가하여 해석한 그림이다. 이축압축하중으로 인하여 적층 복합 보강판의 좌굴을 위한 압축하중의 크기는 줄어들 었다. 그림 17에 전단하중이 작용하고 이축압축이 작용하는 경우 진동 모우드의 변화를 나타내었다. 면내 이축압축하중 의 증가로 인해 면내 하중이 0.1 인 그림 17(b)의 3번 모 우드와 면내 하중이 0.2 인 그림 17(c)의 2번 모우드가 면 내 하중이 없는 그림 17(a)의 5번 모우드로 교체되었다. 면 내 전단하중이 작용하는 경우에 진동수가 증가되며 면내 일 축 및 이축하중의 증가는 진동 모우드의 교체를 발생시키는 원인이 되므로 면내 전단 및 압축하중에 따른 정확한 진동 수 및 진동 모우드에 관한 해석이 필요하다.

7. 결 론

면내 압축 및 전단하중을 받는 적층 복합 보강 판의 진동 해석에 관해 연구하였다. 합 응력 개념과 가정 변형률 방법 을 이용한 9절점 쉘 요소를 사용하였다. 참고문헌의 결과와 비교하기 위하여 보강된 적층 복합 판과 보강되지 않은 적 층 복합 판의 자유진동 해석을 수행하였다. 본 연구의 결과 들은 참고문헌의 수치해석 결과 및 실험적 결과와 잘 일치 하였다. 스티프너가 비틀림에 약한 경우에는 스티프너에 국 부 좌굴이 발생할 수 있기 때문에 이러한 경우에는 반드시 스티프너를 쉘 요소를 사용하여 모델링 하여야만 정확한 진 동해석을 수행할 수 있다. 스티프너를 보 요소로 모델링 한 경우에 비하여 본 연구의 결과들은 보다 정확한 진동수와 진동 모우드 형상을 나타내었다.

스티프너 크기의 변화와 위치에 따라서 자유 진동수의 변 화가 발생하였다. 스티프너가 2개로 배치된 경우 스티프너의 간격 증가에 따라 진동수가 증가하다가 감소하는 현상이 발 생하므로 최적의 진동수와 진동 모우드를 조절하기 위하여 적절한 간격 설정이 중요한 문제임을 알 수 있었다. 면내 압축하중의 방향과 크기에 따른 진동수의 변화와 진동 모우 드의 변화에 대하여 연구하였다. 일반적으로 보강된 적층 복 합 판과 보강되지 않은 적층 복합 판 모두 면내 압축하중의 증가는 진동수 감소의 원인이 되었다. 면내 압축하중의 증가 에 따른 진동수-면내 하중 관계 곡선에서 첫 번째 임계하중 의 크기를 공명 현상을 이용하여 예측할 수 있었다. 면내 압축하중의 증가로 인해 진동수 곡선들이 교차하면서 진동 모우드의 교체가 발생되었다. 면내 전단하중은 진동수 증가 의 원인이 되며 면내 일축 및 이축하중의 증가는 진동 모우 드의 교체를 발생시키는 원인이 되므로 면내 전단 및 압축 하중에 따른 정확한 진동수 및 진동 모우드에 관한 해석이 필요하다.

그러므로 보강된 적층 복합 판의 면내 전단 및 압축하중 의 종류와 크기는 특정한 진동수와 모우드 형상의 조절을 위해 적절하게 선택되어야 한다.

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( 접수일 :2005.10.6/ 심사일 :2005.11.23/ 완료일 :2005.11.23)