PSC 교량의 3차원 시공 중 해석기법을 위한 가정된 변형률 쉘 요소 개발
Development of an Assumed Strain Shell Element for the Three Dimensional Construction Stage Analysis of PSC Bridge
김 기 두1)* 송 삭2) 황 현 진3) 박 재 균4) Kim, Ki Du Songsak Suthasupradit Hwang, Hyun Jin Park, Jae Gyun
Abstract
The frame element is commonly used for construction stage analysis PSC bridges. However, the frame element does not show sufficient information in the curved PSC box bridges. For the case of curved PSC bridges, the deformations in the inner and outer web are different. In this case, the different jacking forces are required in the inner and outer webs.
And it is impossible to calculate different jacking forces in the inner and outer webs if we use the frame element for construction stage analysis. In order to overcome this problem, the use of shell element is essential for a three- dimensional construction stage analysis of PSC bridges. In the following, the formulation of an assumed strain shell element and its application of PSC box girder bridge analysis are presented.
Keywords : Assumed Strain Shell Element, PSC Bridge, Three Dimensional Construction Stage Analysis
1) 정회원, 건국대학교 사회환경시스템공학과 교수 2) 정회원, 건국대학교 사회환경기스템공학과 박사 3) 정회원, 건국대학교 사회환경기스템공학과 대학원생 4) 정회원, 단국대학교 토목환경공학과 부교수
* Corresponding author : [email protected] 02-2049-6074
• 본 논문에 대한 토의를 2010년 6월 30일까지 학회로 보내주시면 2010년 9 월호에 토론결과를 게재하겠습니다.
1. 서 론
PSC 박스 교량은 재료의 비선형성 거동 특성 및 콘크 리트의 시간 의존적 특성을 가지고 있는 복합 구조물이 다. 또한 텐던의 긴장력은 시공단계에서 탄성 수축, 마찰, 앵커슬립에 의한 즉각 손실과 크리프, 수축 및 릴랙세이 션 등에 의한 시간의존 손실을 가지므로 시공도중의 설계 검토가 필수적으로 요구되고 있다.
현재까지는 이러한 거동특성을 고려하기 위하여 PSC 박스 교량은 뼈대 요소(프레임 요소)를 이용한 시공단계 의 설계를 수행하고 있다(이계호 등, 1994; 이재석 등, 1992 윤영수 등, 1998; 곽효경 등, 1999; 이재석 등, 2007). 이 요소에 의한 설계는 교량 전체 구조를 단순한 뼈대 요소로 가정하여 해석하는 계산이다.
PSC 박스 교량 중 곡선 램프교 등의 경우는 프레임 요 소를 이용하면 부반력 계산이 용이하지 못하기 때문에 시 공 후 유지관리 단계에서 교좌장치와 상부구조와의 이격 이 발생하는 등 부실시공이 발생하는 경우가 있다. 그리 고 외측과 내측에서의 변위 및 응력 값이 현저히 다르므 로 PSC 박스 곡선 교량의 텐던량 및 시공 중 긴장력이
외측 및 내측에서 다르게 산정되어야 함에도 불구하고 현 실적으로는 계산이 불가능하여 같은 양의 텐던과 부적절 한 긴장력을 사용하고 있어 시공 중 항상 안전사고에 노 출되고 있다.
이러한 단점을 해결하기 위해서는 쉘 요소에 의한 3차 원 해석이 필수적으로 수행되어야 하지만 3차원 해석 요 소기술 개발은 매우 어려운 과정이 수반되는 과제이며, 또 한 요구되는 텐던의 형상을 자동으로 배치할 수 있는 모 델링 기법의 개발이 병행되어야만 한다. 3차원 입체 요소 를 이용한 박판 구조물의 모델링에서 데이터 준비의 용 이성, 수렴성 및 정확성을 증가시키기 위하여 Ahmad 등 (1970)이 제안한 ‘축퇴’ 이론에 근거하여 쉘 요소가 개발 되고 있다. 이러한 쉘 요소들은 두꺼운 판과 쉘 문제에서 는 효과적이었으나 판과 쉘의 두께가 얇아짐에 따라 전단 잠김 현상이 발생하게 되면서 정확도가 급격히 저하되는 현상이 있다. Zienkiewicz 등(1971)에 의해 감차적분법 이 전단 잠김 현상을 극복하기 위한 해법으로 제안되었으 나 해의 정확성 및 안전성을 증가시키기에 한계가 있어 가정된 자연 변형률 방법 및 면내 거동에서 보강된 변형 률 방법 및 준적합 기법(Kim, 2003) 등에 의하여 연구가
진행되고 있다. 가정된 변형률 방법은 Dvorkin과 Bathe (1984)가 제안한 후 많은 쉘 요소에서 이용되어 왔으며 해를 더욱 개선시키기 위한 Simo and Rafai(1991)가 비 적합 모드를 제안한 이래 Andelfinger와 Ramm(1993) 등에 의해서 보강변형률 방법(Enhanced Assumed Strain) 으로 체계화 되었다. 다른 방법으로 String Net 함수를 이용한 준적합 쉘 요소가 Shi와 Voyiagis(1991) 그리고 Kim 등(2003)에 의해서 개발되었으며 다른 방법에 비하 여 뛰어난 수렴도와 해를 제공하고 있다.
본 연구에서는 PSC 직선교 및 곡선교의 시공단계에서 발생할 수 있는 문제점을 해결하고 더욱 정확하고 정밀한 구조해석을 위하여 PSC 교량의 텐던의 배치를 고려한 가 정된 변형률 PSC 쉘 요소의 3차원 정식화를 제안하고 그 결과를 검증하고자 한다. 그리고 콘크리트 재료 모델에서 ACI 코드에 의한 크리프 및 건조수축의 비선형 특성을 고려한 수치 예제 및 쉘 요소를 이용한 3경간 연속 교량 의 시공 중 해석 과정 예제를 이용하였다.
쉘 요소의 비선형 거동을 결정하고 강체 병진 운동과 회전 운동을 제거하기 위하여 순수변위 방법(Co-rotational method)이 적용되었으며 유한회전에서 개선된 2차 변위 의 가정을 적용하여 개발하였다. 그러므로 변형은 전체 절점 변위로부터 강체 회전을 제거함으로써 분리될 수 있 다. 임의의 방향에 배치된 텐던은 강절 링커로 절점과 결 합되었다. 쉘 요소의 기하학적 비선형 정식은 미소변형과 대회전을 가정한 Mindlin-Reissner 이론에 근거한다.
2. 본 론
2.1 쉘요소의 기하학적 형상
Fig. 1에 기저 벡터로 확립된 자연 곡선 좌표계(ξ, η, ζ)와 국부 좌표계(r, s, t) 사이의 관계가 표시된 쉘 요소 를 나타내었다. 중립면은 두개의 무차원 좌표계 ξ, η로 나 타내었고 ζ는 쉘 중립면에 수직인 축이다. 곡선 좌표계의 원점은 각 요소의 중앙점에 위치하나 일반적으로 이 좌표 계는 서로 직교하지는 않는다. 그리고 국부 직교 좌표계 (r, s, t)는 요소의 가우스 적분점에 위치한다.
기저벡터 (Vr, Vs, Vt)는 국부 좌표계에 접하고 Fig. 1 과 같으며 식(1)로 정의된다.
V ×
×
V ×
×
Vr Vs× Vt
(1)
전체 좌표축 x, y, z에 대한 국부 좌표축 r, s, t 그리고
Fig. 1 쉘 요소
Fig. 2 PSC 쉘 요소와 긴장재
식(1)의 Vξ와 Vη는 ξ와 η에 접하는 단위 기저 벡터로 식 (2)와 같다.
V
P ╱
P
V P ╱
P
(2)중립면으로부터 t만큼 떨어진 절점 P의 위치벡터 P(r, s, t)는 식(3)과 같다.
P Hi P tV (3)
여기서 Hi는 Lagrange 형상 함수, Pi는 절점 좌표계의 위 치 벡터, Vt는 쉘의 중립면에 수직인 단위 벡터이다. 그리 고 t는 범위가 -h/2에서 h/2인 두께 국부 좌표계이다. 최 종적으로 고려되는 PSC 쉘 요소는 기저 벡터로 확립된 국부 좌표계 사이의 관계를 표시한 쉘 요소에 긴장재를 설치하여 Fig. 2에 나타내었다.
2.2 변위장
임의의 절점 P(r, s, t)의 국부 운동은 일차 가정에 근 거한 Mindlin-Reissner 이론으로 정의할 수 있다. 중립 면에 위치하고 있지 않는 절점의 변위 u와 υ는 회전 φs와 φr로 인해 선형으로 변화한다. 그러나 대변형을 포함한 운 동학적 정식의 유도시 증분 회전변위 행렬은 2차식으로 가정하였다. 임의의 절점에서 2차식으로 가정된 국부 증 분운동 변위장은 식(1)의 비선형 운동학적 관계로 주어
진다.
∆ ∆ ∆
∆∆
∆ ∆ ∆
∆∆
∆ ∆
(4)
여기서 u, v, w는 국부 중립면의 변위 성분이고 φs, φt와 φr는 국부 중립면 회전변위 성분 이다. 국부좌표계에서 전체 좌표계로의 좌표변환에 의한 전체 좌표계의 변위는 식(3)의 위치벡터의 정의를 사용하여 식(5)와 같이 나타 낼 수 있다.
U
Hi U t (5)
여기서 U=(U, V, W)는 중립면의 절점 i에서 x, y, z 방 향으로의 변위이고 θ=(θx, θy, θz)는 중립면의 절점 i에서 전체좌표계 x, y, z 방향 수직축의 회전 변위이다. 좌표변 환 행렬 θ는 식(6)와 같다.
nt mt
nt lt mt lt
(6)
2.3 순수 변위장
초기 국부 좌표계 or, os와 ot로부터 현재 국부 좌표계 tr, ts와 tt로의 변환은 국부 좌표계에서 강체회전과 일치 되는 직교 회전 행렬(R()로부터 얻어진다. 임의의 절점 i의 순수변위는 각 요소의 중앙 점에서 발생하는 강체운 동을 제거한 잔류변위로 정의되고 r=s=0인 점에 대한 임의 절점의 운동으로 표현된다. 절점의 강체변형을 제거 한 순수변위(u )는 식(7)과 같이 표현된다.
u Pi Pc R uPiuPc (7)
여기서 (Pi Pc)와 ()는 각각 현재와 초기상 태에서 임의 절점 i의 각 요소의 중앙 점에 대한 상대적인 위치를 나타낸다. 연속체 역학의 극 분해 이론에 따라 전 체 회전(φ)은 강체 회전()과 전단 변형에 의한 회전 ()으로 재구성 된다.
R R R (8)
의 국부 성분은 단면의 평균전단변형으로 간주하여 식(9)로 표현된다.
(9)
유한 회전에 관한 보다 자세한 내용은 Kebari와 Cassel (1992)에 나타나 있다.
2.4 변형률-변위 관계
식(4)의 2차항을 운동학적 관계식을 Green 변형률 텐 서에 대입하고 고차항을 무시하여 증분 면내, 휨 그리고 전단 변형률을 선형 부분과 비선형 부분으로 나누어 표현 하면 식(10)와 같다.
∆r
∆
∆
∆
∆
∆s
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆∆ (10)
여기서 면내 변형률 ∆m={∆r, ∆s, ∆r s}T, 휨 변형률 ∆={∆, ∆, ∆ }T 그리고 수직전단 변형률 ∆={∆ , ∆}T이다. 식(10)의 각 성분 들에 대한 자세한 표현은 Kim 등(2003)에 나타나 있다.
2.5 면내 및 전단 잠김
면내거동은 면내 변형률에 보강 변형률을 추가함으로 서 개선시킬 수가 있다. 면내거동 항은 다음과 같이 표현 할 수 있다.
em emcom patible eE A S BmU M (11) 허용 가능한 응력장을 제거하기 위하여 다음과 같은 조 건을 만족하여야 한다.
TM (12)
보간 함수 Mξ의 행렬 요소는 다음과 같다.
M
(13)
식(12)에 소개 되었듯이 보간 함수는 직교 조건을 만 족해야 하므로. 등매개(isoparametric) 사상을 통한 자코 비안 변환으로 Mξ는 직교 좌표계로 변환된다. 따라서 보 강 변형률은 다음과 같이 표현된다.
det det
(14)
J0와 J는 요소의 중심과 가우스 적분점에서 계산된 자코 비안 행렬이다. 위식의 역행렬은
det det
(15)
식 (15)를 이용한 보간 행렬의 변환은 다음과 같다.
M det det
M (16)
여기서
T
J J J J J J J J
JJJJ JJ JJ
(17)
전단 잠김은 Dvorkin과 Bathe(1984)가 제안한 방법 을 이용하여 제거하였다.
2.6 쉘 긴장재 세그먼트 강성도와 하중 계산
긴장재 세그먼트의 국부 강성도는 k=EpA/L이다. 전체 강성 행렬 K는 변위-변형 행렬을 이용함으로써 유도된다.
K HTTpTTpH (18) 여기서, A, L 그리고 Ep는 각각 세그먼트의 단면적, 세그 먼트의 길이 그리고 응력-변형률 계수이다. 또한 H는 쉘 절점과 텐던 사이의 상대적인 거리를 나타내는 함수이며,
Fig. 3 쉘 데이터의 요소 모델링 예
TP는 식(19)와 같으며 Songsak(2008)에 자세하게 설명 되어 있다.
Tp
(19) 긴장재 세그먼트의 내력 Fts는 Ep와 총 긴장재 변형률
를 곱함으로써 계산된다. 총 긴장재 변형률은 역학적 변형률 과 온도 변형률 의 합으로 이루어진다.
(20) 긴장재 세그먼트 내력에 의한 등가 절점력과 모멘트는 변환에 의해서 계산된다.
(21)
쉘 요소에서 긴장재 모델의 예는 다음과 같다(Fig. 3):
2.7 수치 해석 예제
2.7.1 긴장력을 받는 PSC 곡선교의 거동 예제 곡선교의 응력분배를 연구하기 위하여 각각의 다른 반 경을 가진 단 경간 거더 교량을 선택하였다. 모든 교량의 길이는 54m이다. 곡률은 0, 30, 60, 90°이다. 각각에 해 당하는 반경은, 103.1m, 51.6m, 34.4m이다. 교량의 특 성은 Fig. 4에 나타내었다(Ali R 등, 2007).
지점 조건에서 종방향은 비틀림이 고정되어 있으며, 수 직방향의 처짐은 모두 완전히 고정되어 있다. 횡방향의 거 동은 양 끝 단 모두 곡선축을 따라 자유단을 가진다. 국부 변형의 영향을 줄이고 큰 지점반력을 동일하게 분배하기 위해 양 끝단은 30cm의 콘크리트 다이아프램으로 구성 되어 있다.
모든 프리스트레싱 텐던은 최대 편심과 모멘트를 가지 며, 총 9개의 텐던으로 구성되어 있다. 각각의 텐던은 양 끝단에서 500kN로 긴장하였다. 사하중과 활하중을 포함 한 하중(Gravity)은 25kN/m2이며, 이 하중은 중력방향 으로 상부슬래브에 재하 된다.
시간 의존해석을 위한 재료특성은 다음과 같다. 콘크리 트는 극한 강도 f ′c(28)=40MPa, 탄성계수 3.41291 e+10N/m2, 단위하중 W=2500kg/m3을 갖는다. 크리프
Table 1 곡률 반경에 따른 각각의 하중에서의 Xfinas의 ANS 요소와 Sap2000을 이용한 응력 해석 결과(단위: MPa)
Location and curvature angle
Load Type
Gravity Prestressing Gravity and prestressing
slab soffit slab soffit slab soffit
Exterior edge
Interior edge
Exterior edge
Interior edge
Exterior edge
Interior edge
Exterior edge
Interior edge
Exterior edge
Interior edge
Exterior edge
Interior edge
0
Xfinas_frame -10.62 -10.53 13.04 13.04 0.195 0.192 -1.363 -1.367 -10.425 -10.330 11.677 11.673 Xfinas_ANS -10.16 -10.16 12.47 12.47 0.187 0.187 -1.28 -1.28 -9.973 -9.973 11.19 11.19
Sap2000 -10.25 -10.25 13.11 13.33 0.20 0.20 -1.28 -1.28 -10.05 -10.05 9.57 9.57
30
Xfinas_frame -10.91 -10.83 13.41 13.47 0.190 0.195 -1.363 -1.367 -10.72 -10.635 12.047 12.103 Xfinas_ANS -9.38 -11.71 12.07 14.45 0.13 0.24 -1.25 -1.35 -9.25 -11.47 10.82 13.1
Sap2000 -9.47 -11.81 11.86 15.15 0.16 0.25 -1.20 -1.31 -9.59 -11.22 9.85 9.81
60
Xfinas_frame -11.97 -11.87 14.70 14.77 0.190 0.195 -1.363 -1.367 -11.78 -11.675 13.337 13.403 Xfinas_ANS -9.45 -14.65 12.55 17.7 0.08 0.31 -1.25 -1.37 -9.07 -14.34 11.3 16.33
Sap2000 -9.26 -14.76 11.59 18.72 0.13 0.29 -1.15 -1.37 -9.89 -13.55 10.97 10.90
90
Xfinas_frame -14.18 -14.07 17.42 17.50 0.190 0.195 -1.363 -1.367 -13.99 -13.875 16.057 16.133 Xfinas_ANS -9.27 -20.42 14.32 23.07 0.05 0.4 -1.17 -1.41 -9.22 -20.02 13.15 21.66
Sap2000 -9.43 -20.20 12.10 24.66 0.09 0.33 -1.12 -1.44 -11.12 -17.90 13.31 13.12
와 건조수축 그리고 재령의 시간 의존적인 전개는 이 값 들에 대한 ACI 209R-92에서 권장하는 값들을 사용하였 다. 순 철근 보강재의 탄성계수 E=2.0E05MPa이다. 프 리스트레싱 철근은 탄성계수 E=1.99E05MPa이고, 릴랙 세이션 계수 R=10, 곡률 마찰 계수 µ=0/radian, 파상계 수 k=0.0/m으로 가정하였다.
곡선 교량의 변위는 처짐이 대칭적으로 발생하는 직선 교와는 달리, Fig. 5에 나타난 것처럼 내부보다 외부 끝단 에서 더 큰 처짐이 발생하는 것을 알 수 있다. Fig. 6을 보면 Xfinas의 프레임 요소, ANS요소, SAP 2000을 사 용하여 얻은 프리스트레싱에 의한 변위는 거의 같게 나타
Fig. 4(a) 곡선교의 평면도
Fig. 4(b) 곡선교의 거더 형상
나는 반면, 중력방향에 의해 발생하는 변위의 경우, 곡률 이 증가할수록 변위의 차이가 발생하는 것을 알 수 있다.
또한 곡선교에서의 응력의 분배는 대칭적으로 나타나 지 않았다. 프리스트레싱 하중의 경우, 인장 응력은 증가 하는 반면, 압축응력은 감소하는 경향을 보였다.
교량 단면에서의 응력의 분배는 Fig. 7에 나타내었다.
직선교에서 휨 응력은 수직방향의 중심축을 따라 대칭적 으로 분배가 되었다. 그러나 곡선교에서의 응력의 분배는 대칭적으로 나타나지 않는 것을 알 수 있다.
슬래브 상하부에서 응력의 편차는 곡률이 커질수록 상 당히 증가하였는데, 개발된 ANS 요소를 이용하여 얻은 결 과와 Xfinas의 프레임 요소를 이용하여 얻은 결과, SAP 2000을 이용하여 얻은 결과를 Table 1에 정리하여 나타 내었다. 자중과 프리스트레싱 하중을 준 경우 모두 응력은
Fig. 5(a) 중력방향 하중에 의한 60° 곡선교의 변위
Fig. 5(b) 프리스트레싱에 의한 60° 곡선교의 변위
Fig. 7(a) 상․ 하부 슬래브의 응력 변화 내부보다 외부 끝단에서 더 크게 나타나는 것을 알 수 있
다.
Fig. 6 중력 방향 하중과 프리스트레싱 하중에 의한 변위
곡률에 따라 응력의 구배는 단면의 높이에 따라 선형적 으로 변화하였다. 그러나 복부 내부에서의 응력 구배가 복 부 외부에서 더 크게 나타는 것을 알 수 있는데, 이는 외 부 끝단에서 더 많은 처짐이 발생하기 때문이다. 만약 교 량이 세 개의 거더로 구성되어 있다면 내부 거더의 상대적 인 강성은 외부보다 더 크게 나타날 것이다. 즉, 하중의 일 부가 내부 끝단 쪽으로 이동되어 바깥쪽보다 짧은 길이를 가진 거더가 더 많은 하중을 받기 때문에 이러한 현상이 나타난다.
또한 Fig. 7(b)에 나타난 응력의 결과와 같이 프레임 요소를 이용한 결과는 쉘 요로를 이용한 결과와 다르게 내
․ 외부 끝단에서 거의 같은 응력값을 나타내는 것을 알 수 있다. 곡률이 커질수록 내 ․ 외부의 응력의 차이가 많이 발 생하는데, 이는 프레임 요소가 쉘 요소와 달리 면내와 휨 거동의 특성을 나타내지 못하기 때문이다.
2.7.2 시공단계를 고려한 쉘요소 검증 예제
본 연구에서 사용된 가정된 자연 변형률 4절점 쉘 요소 는 임페리얼 공대와 AIT 및 건국대학교에서 공동 개발한 비선형 동적 범용 유한요소 해석프로그램 XFINAS (www.
xfinas.com)를 이용하여 개발하였다.
Fig. 7(b) 곡률에 따른 상부 슬래브에서의 응력 변화
Fig. 8 3경간 연속 캔틸레버 교량의 기하학적 형상
또 하나의 수치예제로서 Ketchum(1986)에 의한 3경 간 연속교(Fig. 7)를 모델링하였다. 이 방법에서는 긴장 재의 순간 손실(탄성변형, 정착장치활동, PS 강재와 쉬스 의 마찰)과 시간 단계 손실(크리프, 건조수축, PS 강재의 릴랙세이션)이 고려되었다. 본 예제에서는 XFINAS(2009) 의 보 요소와 쉘 요소를 이용하여, 각 경우에서의 정확도 및 차이점을 조사하였으며 그 결과를 나타내었다. 비교에 사용된 코드는 ACI 코드이다.
보 요소의 경계조건은 교대에서 롤러 지점을 만들어 수 직 변위를 구속하였으며, 중앙 경간의 절점은 대칭점이 되 고 수직 변위는 구속하지 않았다. 각 캔틸레버 세그먼트 는 하나의 보 요소로 모델링한다. 이 시공은 27년(10,000 일)의 시간 의존적 해석을 위해 39단계로 나누어 해석을 수행하였다.
쉘 요소도 보 요소와 마찬 가지로 교대 근처에 추가적 인 절점을 더 설정하여 교각은 10개의 절점으로 나누고, 교각 하부의 경계 조건은 고정시켰다. 각 거더 세그먼트
Fig. 9(a) 준적합 쉘 요소를 이용한 교량의 프리스트레싱 텐던 배치 모 델링
Fig. 9(b) 준적합 쉘 요소를 이용한 교량모델의 변형된 형상
는 총 8개의 쉘 요소로 모델링되는데, 그 각각은 상부 슬 래브에 네 개, 복부와 하부 슬래브에 각각 두 개씩이다.
하부 슬래브는 길이에 따라서 변하는 두께를 갖는데, 해 석 시 일정한 두께를 가정하였다. 위의 Fig. 9(a)는 해석 모델을 나타내고 Fig. 9(b)는 변형된 형상을 나타내고 있 다. 변위 해석을 위해 1) 캔틸레버 세그먼트가 완공되었 을 때, 2) 전체 시공이 완료되었을 때, 3) 27년의 사용기 간이 지난 후로 시공단계를 나누어 해석하였다.
보 모델에 대한 시공단계별 수직 변위는 Fig. 10에 나 타내었다. 쉘을 이용한 결과는 Fig. 11에 나타내었다. Fig.
Fig. 10 프레임 요소를 이용한 교량의 변위
Fig. 11 쉘 요소를 이용한 교량의 변위; 상부 슬래브 중심
Fig. 12 프레임 요소와 쉘 요소의 시공 27년 후의 총 변위
12에 있는 수직 변위는 프레임 요소와 쉘 요소의 시공 27년 후의 총 변위를 나타낸다. 캔틸레버를 시공하는 동 안 변위는 교각에 대해서 거의 대칭이다. 처짐에 대해서 쉘과 보 모델의 근소한 차이는, 교량의 가장자리 경간에 시공되는 숏(short) 캔틸레버 긴장재의 정착단 손실에 의 해 발생한다. 최종적으로 세그먼트를 시공한 후의 변위는 중앙 경간이 가장자리 경간보다 더 커진다. 시공이 완료 되고 27년이 지나면 중앙 경간에서 처짐이 발생하여 교 대와 캔틸레버가 만나는 부분의 변위와 비슷해지는 것을 확인 할 수 있다.
쉘 모델과 보 모델의 중요한 차이는 첫째, 보와 쉘은 거 더 단면에서 지점마다의 변위가 서로 같지 않다는 것이 다. 보의 경우는 변형 후에도 단면의 변화가 없으나, 쉘의 경우는 변형 후 원래의 단면을 유지하지 못하기 때문이다.
Fig. 13(a) 프레임 요소와 쉘 요소의 힘 손실률; 캔틸레버 텐던
Fig. 13(b) 프레임 요소와 쉘 요소의 힘 손실률; 연속 텐던
Fig. 14(a) 쉘 모델에서의 전단응력; 상부 슬래브
Fig. 14(b) 쉘 모델에서의 전단응력; 하부 슬래브
둘째, 쉘 모델의 평균 변위는 보 모델에 비하여 더 작은 변위를 발생시킨다는 것이다. 쉘 요소는 프레임 요소와 달리 횡 방향으로 텐던을 배치 할 수 있어 횡 방향 텐던에 의해 변위가 적게 발생 하게 된다. 또한 프레임 요소는 단 면을 한 점에서 해석을 하기 때문에 여러 개의 쉘로 분할 하여 여러 위치에서의 변위를 해석한 쉘 요소보다 크게 나 타나게 된다. 그러나 상부 슬래브 중심에서의 변위는 프 레임 요소에서의 변위 보다 큰 값을 나타낸다. 그 이유는 다음과 같다. (a) 보가 휨을 나타내는 동안, 쉘 변형은 면 내와 휨 거동의 조합을 하며, (b) 쉘 모델의 복부(web)는 거의 수직재이고, 평면/면내 모드에서 대부분 휨으로써 변형하기 때문이다. (c) 복부는 전단 변형에 대해 주로 반
응을 보인다. 따라서 전단 강성도를 전체 단면적에 대해 서 계산을 하는 보와는 달리, 쉘에서는 상․하부 슬래브가 매우 중요한 영역이 된다.
긴장재의 힘 손실은 시공 27년 후의 손실률을 각 텐던 별로 비교하여 Fig. 13에 나타내었다. 프리스트레싱 힘의 손실은 프레임과 쉘 모델에서 비슷한 값을 나타내었다.
시공 27년 후의 전단응력은 Fig. 14에 나타내었다. 쉘 모델은 프레임과 달리 각 요소에서의 전단 응력이 단일한 값을 나타내지 않는 것을 알 수 있다. 따라서 프레임 요소 에서 해석할 수 없는 임의의 단면에서의 응력분포를 알 수 있다.
3. 결 론
3차원 해석에 의한 PSC 교량의 시공 중 해석을 위하여 가정된 변형률에 의한 PSC 쉘 요소를 개발하였다. 이 쉘 요소는 잠김 문제를 해결하여 일반 교량 구조물에 적용할 수 있게 개발되었다. 프레임 요소를 이용한 PSC 박스 교 량의 시공단계 설계는 오직 중앙에서의 단면 변형만 알 수 있으나 본 쉘 요소에 의한 결과는 단면의 위치마다 변 형을 알 수가 있어 효과적으로 긴장력을 제어할 수 있다.
그리고 곡선교 같은 경우는 국부적인 부반력을 계산 할 수 있으므로 교좌 장치 선정에 사용할 수 있다. 향후 이 요소를 이용하여 PSC 교량의 3차원 시공 중 해석을 보다 더 심도 있게 연구할 수 있어서 단면 감소 등 경제적인 설 계에 활용할 수 있을 것으로 생각된다.
감사의 글
이 연구는 건설교통부 한국건설기술평가원의 건설기술 혁신연구개발사업(06건설혁신D05) 지원에 의하여 이루 어졌으며, 저자들은 이에 감사를 드립니다.
참고문헌
1. 곽효경, “철근콘크리트와 프리스트레스트 콘크리트 보의 시간 의존적 거동해석”, 대한토목학회 논문집, Vol. 14, No. 1, 1994, pp.1-12.
2. 김기두, 한성천, “대체변형률 쉘 요소를 이용한 적층 복합판 및 쉘의 점탄성적 후좌굴 해석”, 대한토목학회 논문집, 제23 권 제2-A호, 2003, pp.259-270.
3. 박찬민, 강영진, “시공단계를 고려한 곡선 변단면 프리스트레 스크 콘크리트 박스거더교량의 해석”, 대한토목학회논문집, 제 14권 1호, 1994, pp.71-81.
4. 이재석, 최규천, “PSC 뼈대의 3차원 비선형 해석을 위한 화 이버 모델 요소”, 한국전산구조공학회 가을 학술발표회 논문 집, 2003, pp.195-201.
5. Ahmad S., Irons B. M. and Zienkiewicz O.C. 5 “Analysis of Thick and Thin Shell Structures by Curved Finite Elements”, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 2, 1970,
pp.419-451.
6. Ali R. Khaloo, M. Kafimosavi, “Enhancement of Flexural Design of Horizontally Curved Prestressed Bridges”.
Journal of Bridge Engineering. Vol. 12, No. 5, 2007, pp.585-590.
7. A. Marı, E. Mirambell, I. Estrada, “Effects of Construction Process and Slab Prestressing on the Serviceability Behaviour of Composite Bridges”, Journal of Constructional Steel Research 59, 2003, pp.135-163.
8. Andelfinger U and Ramm E, “EAS-elements for two- dimensional, three dimensional, plate and shell structures and their equivalence to HR-elements”, Int. J. Numer.
Meth. Engng., Vol. 36, 1993, pp.1311-1337.
9. Bates D. N., “The Mechanics of Thin Walled Structures with Special Reference to Finite Rotations”, Ph. D. Thesis, Dept. of Civil Engineering, Imperial College. 1987.
10. Crisfield M.A, “On an approximate yield criterion for thin steel shell”. Internal report, Crowthorne, Berkshire TRR, 1974.
11. Dvorkin E. N. and Bathe K. J., “A Continuum Mechanics Based Four-Node Shell Element for General Non-Linear Analysis”, Eng. Comput., Vol. 1, 1984, pp.77-88.
12. Simo J. C. and Kennedy J. G., “On a Stress resultant geometrically exact shell model Part V: Nonlinear Plasticity:
Formulation and Integration Algorithm”, Compt. Methods Appli. Mech. Engrg., Vol. 96, 1992, pp.133-171.
13. Kebari H. and Cassel A. C., “A Stabilized 9-node Non-linear Shell Element”, Int. J. Num. Meth. Eng, 35, 1992, pp.37-61.
14. Kim K. D., Voyiadjis George Z., “Non-linear Finite Element Analysis of Composite Panels”, Composites Part B: Engineering, Vol. 30, Iss 4, 1999, pp.383-394.
15. Kim K.D., “Large Displacement of Elasto - Plastic Analysis of Stiffened Plates and Shells using Co- rotational 8-Node Assumed Strain Element”, Structural Engineering and Mechanics, An International Journal, Vol. 15, No. 2, 2003, pp.199-223.
16. Kim K. D., Lomboy G. R. and Han S. C., “A co- rotational 8-node assumed strain shell element for postbuckling analysis of laminated composite plates and shells”. Comput. Mech., Vol. 30, No. 4, 2003, pp.330- 342.
17. Kim K. D., Lomboy G. R. and Voyiadjis G. Z., “A 4-Node Assumed Strain Quasi-Conforming Shell Element with 6 D.O.F”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 58, Issue 14, 2003. December, pp.
2177-2200.
18. Kupfer, H. B. and Gerstle, K. H., “Behavior of Concrete Under Biaxial Stresses”, Journal of the Engineering Mschanics Division, ASCE, No. EM4, 1973. Agust.
19. Maekawa, K., Pimanmas, A., and Okamura, H, “Nonlinear Mechanics of Reinforced Concrete”, Spon Press, 2003.
20. Shi, G., and Voyiadjis, G. Z., “Geometrically Nonlinear Analysis of Plates by Assumed Strain Element with Explicit Tangent Stiffness Matrix”. Computers and Structures. Vol. 41, 1991, pp.757-763.
21. Songsak S., “Development of a Nonlinear Enhanced Assumed Strain Shell Element for Bridge Analysis”, doctor thesis, Konkuk University, Korea, 2008.
요 지
PSC 박스 교량의 시공 중 거동 특성을 고려하기 위하여 뼈대 요소를 이용한 시공단계의 설계가 수행되고 있다. 그러나 PSC 박스 교량 중 곡선 램프교 등의 경우는 교량의 외측 및 내측의 변위 및 응력 값이 현저히 다르다. 따라서 PSC 박스 교량의 텐던량 및 시공 중 긴장력이 외측 및 내측에서 다르게 산정되어야 함에도 불구하고 현실적으로는 계산이 불가능하여 같은 양의 텐던과 부적절한 긴장 력을 사용하고 있어 시공 중 항상 안전사고에 노출되고 있다. 이러한 단점을 해결하기 위하여 3차원 해석이 필수적으로 요구 되고 있 으며 본 연구에서는 PSC 박스 교량의 해석 기법에 필요한 가정된 변형률 PSC 쉘 요소를 제안하고자 한다. 본 쉘요소에 사용된 콘크 리트의 크리프 및 건조수축의 재료 모델은 ACI 코드를 사용하였으며, 이 모델을 이용하여 3차원 시공단계해석을 수행하고 그 결과를 뼈대 요소와 비교하였다.
핵심 용어 : 가정된 변형률 쉘 요소, PSC 교량, 3차원 시공단계 해석 22. J. C. Simo and J. G. Kennedy, “On a Stress resultant
geometrically exact shell model Part V: Nonlinear Plasticity:
Formulation and Integration Algorithm”, Compt. Methods Appli. Mech. Engrg. Vol. 96, 1992, pp.133-171.
23. XFINAS, Nonlinear structural dynamic analysis system, School of Civil Engineering, Konkuk University, 2009.
24. SAP2000, INTEGRATED SOFTWARE FOR STRUCTURAL ANALYSIS & DESIGN, /www.csiberkeley.com.
(접수일자 : 2009년 12월 4일) (1차수정일자 : 2010년 2월 10일) (심사완료일자 : 2010년 2월 18일)
