2017. 08. 제 56권, 제 3호, 235-255. August. 2017, Vol. 56, No. 3, 235-255.
235
한국, 일본, 홍콩, 핀란드, 싱가포르 초등 수학 교과서의 합동과 대칭에 대한 비교․분석
1)
방정숙(한국교원대학교) 김유경(수원상촌초등학교)
Ⅰ. 서론
수학 교과서는 학교 교육을 통해서 구체적으로 무엇 을 어떻게 가르치느냐를 보여주는 도구로, 교육 목표를 달성하기 위한 중요한 교수․학습 자료이다(유재혁, 이 대현, 2013). 즉 교육과정이 교수학적 실제로 향하는 중 간 단계로서 수업과의 관계에 있어서는 교육과정보다 더 밀접한 연계성을 지니며, 수업을 계획하고 실행하는데 있어 파급력이 높다고 할 수 있다. 이에 수학 교과서를 비교․분석하는 것은 수학 교육의 단면을 살펴보는 것이 라 할 수 있다.
또한 최근 교육과정의 개정과 관련하여 교과서 개편 작업이 활발히 이루어짐에 따라 다른 나라의 수학과 교 육과정 및 수학 교과서와 비교․분석하는 연구가 많이 행해지고 있다. 최근 7년간 초등수학교육 연구 동향을 분석한 김유경과 방정숙(2017)의 연구에 따르면, 외국 교 육과정 및 교과서 분석 연구가 이전 5년간(2005년～2010 년) 행해진 연구(하수현, 방정숙, 주미경, 2010)에 비해 그 수가 18편에서 36.5편으로, 전체 연구물의 4.7%에서 6.1%로 늘어났다. 이는 국제간 교류가 빈번해짐에 따라 외국의 수학교육에 대한 관심이 많아졌으며 이러한 연구 를 토대로 우리나라 수학과 교육과정 및 교과서 개발에 시사점을 제공하고자 하기 때문이다. 특히 한국, 일본, 홍콩, 핀란드, 싱가포르는 수학 평가가 주영역이었던 PISA 20121)와 최근 행해진 PISA 2015에서 높은 인지적
* 접수일(2017년 4월 5일), 수정일(1차: 2017년 5월 25일, 2차:
2017년 7월 24일), 게재확정일(2017년 8월 16일)
* ZDM분류 : U22
* MSC2000분류 : 97U20, 97D10
* 주제어 : 합동, 대칭, 수학 교과서 비교
교신저자
성취를 보인 국가로 이들 나라의 수학 교과서 구성을 살 펴보는 것은 더욱 의미가 있다고 할 수 있다.
한편, 본 연구와 같이 도형 영역을 중심으로 한국의 수학 교과서와 다른 나라의 수학 교과서를 비교․분석한 선행 연구(손민경, 류희수, 2014; 유재혁, 이대현, 2013;
최근배, 김해규, 2005)를 살펴보면, 대부분 해당 국가의 한 교과서 시리즈를 대상으로 전반적인 교과서 구성을 비교․분석하는 경향이 있었다. 하지만 다른 나라의 교 과서에 대한 관심을 넘어서, 구체적인 지도 내용에 대해 어떠한 과제와 활동을 사용하여 가르치는지를 살펴보고, 이에 대한 시사점을 제안하기 위해서는 한 가지 주제에 대해 여러 나라의 수학 교과서를 비교․분석할 필요가 있다.
특히 합동과 대칭은 입체도형 위주로 구성된 5～6학 년군에서 유일한 평면도형의 내용으로, 서로 밀접히 관 련되어 있으며 학생들에게 인지적으로 혼동을 일으키는 개념이다. 김수희(2009)에 따르면, 학생들은 합동과 대칭 의 의미를 대략적으로 이해하나 대응점을 정확하게 찾지 못하는 경향이 있으며, 합동인 도형을 선대칭도형처럼 대칭축을 기준으로 합한 도형으로 인식하는 오류, 뒤집 기 한 도형만을 합동인 도형으로 인식하거나 합동인 도 형이 아니라고 인식하는 오류, 선대칭도형과 점대칭도형 을 서로 혼동하는 오류, 대칭축을 중심으로 밀기한 도형 을 선대칭의 위치에 있는 도형으로 생각하는 오류, 점대 칭의 위치에 있는 도형을 선대칭의 위치에 있는 도형이 나 점대칭도형으로 생각하는 오류 등이 있었다. 이는 지
1) PISA 2012의 평균 점수를 기준으로 상위 10개국을 살펴보 면, 중국-상하이가 1위, 싱가포르는 2위, 중국-홍콩, 대만, 한국은 3～5위, 중국-마카오, 일본, 리히텐슈타인, 스위스는 6～9위를 차지하였으며, 핀란드는 10～15위에 있다(송미영, 임해미, 최혁준, 박혜영, 손수경, 2013).
각의 과정이나 논리적으로 추론하는 과정에서 합동과 대 칭에 대한 오개념이 존재하기 때문으로 이에 대한 철저 한 지도가 필요하다고 할 수 있다. 또한 2009 개정 교육 과정에 따른 수학 교과서(이하 2009 교과서)에서는 선대 칭의 위치에 있는 도형과 점대칭의 위치에 있는 도형에 대한 내용이 지도 내용에서 제외되었고 ‘합동과 대칭’이 라는 하나의 단원으로 통합되었다(교육부, 2015a). 현재 개발 중인 2015 개정 교육과정에 따른 수학 교과서에서 도 학습량 경감의 방향에 따라 지도 내용 및 제시 방식 의 변화가 예상되고 있다. 이에 본 연구에서는 도형 영 역의 다른 주제와 관련하여 합동과 대칭의 지도 시기 및 순서가 어떠한지, 합동과 대칭을 지도하기 위한 내용은 무엇인지, 합동과 대칭을 지도하기 위해 교과서의 활동 은 어떻게 구성되는지, 한국, 일본, 홍콩, 핀란드, 싱가포 르의 수학 교과서를 비교․분석하고 이를 토대로 교과서 개발에 대한 시사점을 제공하고자 하였다.
Ⅱ. 이론적 배경
1. 도형 영역을 중심으로 한 수학 교과서 국제비교
교육과정의 개정에 따라 도형 영역을 중심으로 우리 나라 수학 교과서와 외국의 수학 교과서를 비교․분석한 선행 연구를 살펴보면 다음과 같다. 우선 제7차 교육과 정의 수학 교과서(이하 7차 교과서)와 비교․분석한 연 구의 예를 살펴보면, 미국의 Harcourt Math 교과서를 분석한 최근배, 김해규(2005), 싱가포르의 수학 교과서를 분석한 최병훈, 방정숙, 송근영, 황현미, 구미진, 이성미 (2006)가 있다. 최근배와 김해규(2005)는 제7차 수학과 교육과정과 미국수학교사협의회(National Council of Teachers Mathematics [NCTM], 2000)에서 제시하는 도 형 영역의 목표를 비교하고, 교과서를 중심으로 지도 내 용을 살펴보았다. 그 결과 기본 도형의 용어를 도입하는 데 있어 한국은 약속하기로부터 도입하나 미국은 다양한 모형의 분류활동을 통해 용어를 도입하는 차이가 있었 다. 또한 공간감각과 관련하여 대칭이 우리나라보다 일 찍 학습되며 회전대칭, 닮음, 테셀레이션, 프랙탈 등이 제시되는 것을 근거로 이들 내용의 도입에 대해서도 제 안하였다. 최병훈 외(2006)에서는 한국과 싱가포르의 수
학 교과서를 비교․분석하였는데, 한국은 학년별로 단원 전개 방식에 통일성이 있으며 블록 학습 형태로 학습이 이루어져 후속 학기나 학년에서는 이전 학습과 겹치지 않게 지도하지만 싱가포르는 학습 주제별로 자유로운 구 성을 취하며 배운 내용을 적절히 복습하는 형태로 교과 서가 구성되어 있었다.
또한 2007 개정 교육과정에 따른 수학 교과서(이하 2007 교과서)와 비교․분석한 연구의 예를 살펴보면, 핀 란드의 수학 교과서를 분석한 조연옥(2013), 중국의 수학 교과서를 분석한 유재혁, 이대현(2013), 도형의 합동과 관련하여 미국의 ‘Every Mathematics’(이하 EM) 교과서 를 분석한 손민경, 류희수(2014)가 있다. 우선 조연옥 (2013)에 따르면, 핀란드 교과서는 대체적으로 한 학기 당 4～5개의 단원으로 구성되고 차시의 수도 한국보다 훨씬 적으며 여러 주제를 조금씩 반복적으로 다룬다. 지 도 내용의 도입시기와 관련해서도 수직과 평행, 평행선 과 대각선, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모, 입체도형의 구 성 요소, 도형의 대칭 등 우리나라보다 더 빨리 도입하 고 있는 내용이 많다. 내용 전개 방식 또한 한국의 교과 서는 먼저 개념이나 원리를 발견할 수 있는 활동을 제시 하여 이를 통해 찾아낸 개념이나 원리를 약속하고 적용 하는 순서로 구성하고 있는 반면에, 핀란드 교과서는 개 념이나 원리를 먼저 제시한 후 다양한 문제를 통하여 학 생들이 직관적으로 이해하고 습득할 수 있도록 구성하고 있다. 이 밖에도 핀란드 교과서는 개념에 대한 다양한 예시, 실생활과 관련한 다양한 문제, 과정 중심의 문제 등의 특징이 있다.
다음으로 유재혁과 이대현(2013)에서는 우리나라와 중국의 도형 영역 교육과정에 대한 전반적인 분석을 실 시하고, 교과서의 단원 구성, 차시 전개 방식, 지도 내용 에 대한 도입 시기, 활동 제시 방법 등을 살펴보았다. 중 국의 수학과 교육과정은 ‘수와 대수’, ‘공간과 도형’, ‘통 계와 확률’, ‘실천과 종합응용’의 4개 내용 영역으로 구성 되어 있으며 이 중 ‘공간과 도형’에서 지도하는 내용은
‘도형’, ‘측정’, ‘도형과 변환’, ‘도형과 위치’로 폭넓게 제 시하고 있다. 이는 학년군별로 도형 영역의 지도 내용을 구체적으로 제시하는 한국의 수학과 교육과정과 다르다 고 할 수 있다. 교과서의 단원 구성에 있어서도 한국의 경우 체계적인 형식을 갖추고 있는데 반해 중국은 형식
보다는 실천 활동 및 문제해결력에 초점을 두고 문장제 형태의 실생활 문제를 한국의 교과서보다 많이 제시하고 있다. 또한 손민경과 류희수(2014)는 도형의 합동과 관련 하여 미국의 EM 교과서를 비교․분석하였다. 합동인 도 형의 정의, 합동인 도형의 성질, 합동인 도형 그리기, 합 동인 도형의 활용, 도구 사용으로 나누어 교과서 차시 구성 및 내용 전개 방법을 살펴보았다. 이에 합동을 정 의하는데 있어 선분, 각 등의 기본 도형의 합동을 강조 할 필요가 있고 합동의 활용과 관련하여 테셀레이션의 도입을 제안하였다.
한편 2009 교과서와 관련하여 외국의 교육과정 및 교 과서를 비교․분석한 연구의 예를 살펴보면, 방정숙, 이 지영, 이상미, 박영은, 김수경, 최인영, 선우진(2015)의 연 구가 있다. 이 연구에서는 지금까지 살펴본 연구와 달리 여러 나라의 수학과 교육과정 및 교과서를 비교․분석하 였는데, 구체적으로 한국, 중국, 일본, 미국의 교과서에 제시된 지도 내용을 학년별로 살펴보고 공통점과 차이점 을 분석하였다. 이 중 본 연구와 관련이 있는 합동과 대 칭에 대한 결과를 살펴보면, 중국은 초등학교에서 합동 을 지도하지 않는데 반해 일본은 한국과 유사한 내용을 지도한다. 또한 NCTM(2000)에 따르면 미국은 3～5학년 에서 합동을 지도하였으나, ‘수학과 공통 핵심 규준 (Common Core State Standards for Mathematics [CCSSM])’에서는 8학년으로 도입 시기를 늦추었고, 회 전, 반사, 평행이동 등 변환을 이용하여 합동을 지도한다 (Common Core State Standards Initiative, 2010). 도형 의 대칭과 관련해서도 중국은 관찰, 조작, 실습 등을 통 해 대칭축에 대한 기초적인 인식에 초점을 두고 모눈종 이에 간단한 선대칭도형을 그리는 것을 학습하지만 점대 칭도형은 지도하지 않는다. 반면에, 한국, 일본, 미국은 선대칭도형과 더불어 점대칭도형도 지도하며 특히 미국 은 도형이나 무늬에서 대칭을 확인하고, 변환을 이용하 여 선대칭과 점대칭을 조사하며, 선대칭도형을 그리는 활동을 실시한다.
위의 내용을 요약해보면, 도형 영역과 관련하여 다른 나라의 수학 교과서를 비교․분석한 경우, 한국 이외 1 개국의 수학 교과서를 비교한 경우가 대부분이었으나 최 근 들어 여러 나라의 수학 교과서를 함께 비교하는 연구 가 진행되고 있다. 또한 교과서의 외형적인 구성을 넘어
하나의 주제에 대해 지도 내용 및 전개 방법을 상세히 분석하는 연구가 등장하고 있다. 이는 지도 내용, 도입 시기, 교과서 구성, 활동 제시 방법 등에 대해 국가별로 서로 다른 입장을 취하는 경우, 여러 나라의 교과서 비 교․분석 결과를 토대로 경향성을 파악하고, 비판적 관 점에서 다른 나라의 사례를 분석하며, 우리나라 교과서 에 반영할 수 있는 정보를 제공해 주기 때문이다. 하지 만 선행연구들은 도형 영역 전체에 대한 교과서 비교․
분석이 주를 이루고 있기 때문에, ‘합동과 대칭’의 교과 서 구성에 대한 아이디어를 찾기에는 제한적이다. 이에 본 연구에서는 한국, 일본, 홍콩, 핀란드, 싱가포르의 수 학 교과서를 합동과 대칭의 지도 시기, 지도 내용, 활동 구성 방법의 관점에서 상세히 비교․분석하고 이를 토대 로 시사점을 제공하고자 한다.
2. 교육과정 개정에 따른 한국 교과서의 합동과 대칭
‘합동과 대칭’은 교육과정 개정과 관련하여 변화가 많 은 내용 중의 하나이다. 우선 제7차 수학과 교육과정 이 후로 지도 시기 및 순서를 살펴보면 다음과 같다. 7차 교과서에서는 합동과 대칭이 ‘도형의 합동’, ‘도형의 대 칭’이라는 두 개의 단원으로 5학년 2학기에 제시되었다 (교육부, 2002a). 이후 2007 교과서에서는 ‘도형의 합동’
은 5학년 1학기, ‘도형의 대칭’은 5학년 2학기로 구성되 었다(교육과학기술부, 2011a, 2011b). 이어 2009 교과서 에서는 ‘합동과 대칭’으로 통합되어 5학년 2학기에 제시 된다(교육부, 2015a). 이에 5학년에서 지도하는 또 다른 도형 관련 내용인 직육면체와 지도 순서가 바뀌는 현상 이 계속적으로 나타났다. 7차 교과서에서는 직육면체에 대한 학습이 합동과 대칭 이전인 5학년 1학기에 제시되 었고 2007 교과서에서는 도형의 합동 이후, 도형의 대칭 이전에 제시되었는데, 2009 교과서에서는 다시 합동과 대칭 이전으로 구성되어 있다. 그러나 교육과정 및 교과 서 편성과 관련하여 합동과 대칭의 지도 순서를 변경하 게 된 근거를 제시하고 있지는 않다(한국과학창의재단, 2015). 이 밖에도 도형 영역의 다른 내용과의 관련성을 고려하여 지도 시기를 논의할 필요가 있다. 이에 외국의 교과서 사례를 비교․분석하여 교과서 개편에 참고할 수 있는 기초 자료를 제공하고자 한다.
지도 내용 측면에서 살펴보면, 교육과정의 개정에 따 라 학습량 경감과 교육내용의 정선이 이루어졌다. 7차
교과서에서는 ‘도형의 합동’ 단원에서 합동인 도형 알아 보기, 합동인 도형 만들기, 합동인 도형의 성질 알아보 기, 세 변의 길이가 주어졌을 때, 두 변의 길이와 끼인각 이 주어졌을 때, 한 변의 길이와 양 끝 각이 주어졌을 때라는 3가지 유형의 합동인 삼각형 그리기를 제시하였 다(교육부, 2002a). ‘도형의 대칭’ 단원에서도 선대칭도형 알아보기, 선대칭도형의 성질 알아보기, 선대칭도형 그리 기, 선대칭의 위치에 있는 도형과 그 도형의 성질을 알 고 그리기, 점대칭도형 알아보기, 점대칭도형의 성질을 알고 그리기, 점대칭의 위치에 있는 도형과 그 도형의 성질을 알고 그리기의 내용을 제시하였다. 그러나 대칭 의 종류별로 한 차시에서 다루는 지도 내용에 차이가 있 으며 교과서 분량에도 차이가 있다. 구체적으로 선대칭 도형의 경우 도형에 대한 이해와 성질 탐색, 그리기의 내용을 각각의 차시로 제시하였지만, 점대칭도형은 성질 탐색과 그리기를 하나의 차시에서 통합하여 지도하고, 선대칭(점대칭)의 위치에 있는 도형의 경우에는 도형에 대한 이해, 성질 탐색, 그리기의 내용을 모두 한 차시에 서 다루었다.
이후 2007 교과서에서는 ‘도형의 합동’ 단원에서 합동 인 도형 만들기 차시가 제외되었고 ‘도형의 대칭’ 단원에 서도 내용이 정선되고 주제별 교과서 구성에 통일성을 갖추었다. 예를 들어 7차 교과서에서는 한 차시에서 지 도해야 할 내용을 교과서에 [그림 1]처럼 분리하여 제시 하여 혼동을 주는데 반해(교육부, 2002a), 2007 교과서에 서는 교과서 구성과 지도서에 제시된 한 차시 분량의 지 도 내용을 일치하도록 구성하였다(교육과학기술부, 2011b). 또한 지도 내용이 유사함에도 불구하고 차시 구 성에 있어 통일성이 없었던 부분도 2007 교과서에서는
‘대칭인 도형의 이해’ 한 차시, ‘대칭인 도형의 성질 탐색 및 그리기’ 한 차시로 일관성 있게 개정하였다. 이에 결 과적으로 2007 교과서에서는 ‘도형의 합동’ 단원에서 합 동인 도형의 의미, 합동인 도형의 성질, 합동인 삼각형 그리기(1), (2), (3)을 제시하고 ‘도형의 대칭’ 단원에서는 선대칭도형, 선대칭도형의 성질과 그리기, 선대칭의 위치 에 있는 도형, 선대칭의 위치에 있는 도형의 성질과 그 리기, 점대칭도형, 점대칭도형의 성질과 그리기, 점대칭 의 위치에 있는 도형, 점대칭의 위치에 있는 도형의 성 질과 그리기의 내용을 구성하였다(교육과학기술부, 2011a, 2011b).
이어 2009 교과서에서는 선대칭의 위치에 있는 도형 과 점대칭의 위치에 있는 도형이 지도 내용에서 제외되
[그림 1] 교과서 구성과 교사용지도서의 불일치 (교육부, 2002a p.78, p.80; 2002b, p.182 )
[Fig. 1] Inconsistent configuration of the textbook and teachers’ manual(Ministry of Education, 2002a p.78, p.80;
2002b, p.182)
었다(교육부, 2015a). 학습량 경감의 방침에 따라 삭제 및 경감할 내용을 추출하는 과정에서 선대칭의 위치에 있는 도형과 점대칭의 위치에 있는 도형의 내용은 중․
고등학교의 필수 선행개념이 아니고 이후 학습에서 활용 빈도가 낮으며 불필요하게 학생들에게 선대칭도형, 점대 칭도형 등과 관련하여 혼동을 주므로 삭제하였다(황선욱 외, 2011). 이에 2009 교과서에서는 합동인 도형의 의미, 합동인 도형의 성질, 합동인 삼각형 그리기(1), (2), (3), 선대칭도형과 성질 알기, 점대칭도형과 성질 알기의 내 용으로 합동과 대칭 단원을 구성하였다.
교과서 활동 구성의 측면을 살펴보면, 합동과 대칭의 개념 지도를 위해 사용된 도형의 종류, 조작자료, 설명방 식 등 대체로 유사한 측면이 있으나 학습량 경감의 방침 에 따라 관련된 내용이 통합되면서 변화가 있었다. 특히 학습량이 많았던 7차 교과서에서는 합동인 도형을 만들 어 보는 차시가 별도로 존재하고 색종이, 가위, 풀 등 준 비물이 구체적으로 제시되며 본뜨기, 겹쳐보기, 만들기 등 구체적 조작활동의 비중이 높았다(교육부, 2002a). 이 에 반해 2007 교과서에서는 구체적 조작활동의 비중이
줄어들고 수학적 의사소통을 유도하는 질문들이 제시되 었다. 예를 들어 “왜 모양과 크기가 같다고 생각하는지 말해보시오”(교육과학기술부, 2011a, p.68), “생각을 확인 할 수 있는 방법을 이야기 해 보시오”(p.68), “위의 활동 으로 알게 된 점을 이야기해 보시오”(p.49) 등 활동의 의 미에 대해서 의사소통하도록 구성하였다. 2009 교과서에 서는 본뜨기, 겹치기, 만들기, 각도재기, 길이재기 등의 활동도 실시하고 “합동인 삼각형을 그리는 방법을 이야 기 해 보시오”(교육부, 2015a p.52)와 같이 수학적 의사 소통도 이루어지지만 학습량 경감으로 인해 꼭 필요한 활동과 질문들이 제시되고 있다. 또한 활동을 시작하기 에 앞서 생각열기 단계에서 수학의 유용성 및 수학 학습 의 필요성을 인식할 수 있도록 수학 내용이 포함된 스토 리텔링이 제시되고 있다.
이처럼 합동과 대칭 단원은 학습량 경감이라는 교육 과정 개정의 방침에 따라 지도 시기 및 내용에 변화가 있었고 교육과정에서 강조하는 사항 등이 반영되어 활동 구성에도 변화가 있었다. 이에 외국의 교과서 분석을 통 해 합동과 대칭을 지도하는 적절한 시기 및 필수적인 지 도 내용을 살펴볼 필요가 있다. 또한 활동 구성에 있어 서도 활동 중심, 수학적 의사소통의 강조, 스토리텔링과 같은 일반적인 지도법 이외에 합동과 대칭을 지도하는데 있어 사용할 수 있는 맥락, 도구, 방식 등 구체적인 방법 에 대한 시사점을 제공하고자 한다.
Ⅲ. 연구 방법
1. 분석 대상
한국은 국정교과서 체제이므로 현재 사용 중인 2009 교과서(교육부, 2015a)를 중심으로 분석하고, 교과서 개 편 과정에서 어떻게 변화되어 왔는지를 살펴볼 필요가 있는 경우 2007 교과서(교육과학기술부, 2011a, 2011b)와 7차 교과서(교육부, 2002a)를 참고적으로 살펴보았다. 외 국의 경우는 검정 교과서를 사용하기에 수학 교과서 비 교․분석 과정에서 일관성을 확보할 수 있도록 최근 교 육과정에 따라 국가별로 승인된 교과서들 중 활용도가 높아 교육과정 및 교과서 국제비교 선행 연구에서 사용 하였던 교과서를 선택하였다([표 1] 참고).
국가 출판사 교과서 학년-
학기
한국
교육부 2009 교과서 5-2 교육과학기
술부 2007 교과서 5-1, 5-2
교육부 7차 교과서 5-2
일본 東京書籍 新しい算數 5-1, 6-1 홍콩 Pan
Lolyds
Effective steps to
mathematics 4-2, 5-2 핀란
드
WSOY in Finland
LASKUTAITO in
English 3-1, 5-1 싱가
포르
Marshall Cavenish Education
Shaping Maths 4-2 [표 1] 분석 대상 교과서
[Table 1] Textbooks for analysis
한편, ‘합동과 대칭’의 경우 2009 교과서에서는 5학년 2학기에 제시되지만 다른 나라의 교과서에서는 관련 내 용이 여러 학년에 걸쳐 제시되어 있어 [표 1]의 학년과 학기를 주로 분석하되, 다른 학년, 학기의 교과서도 살펴 보았다. 특히 합동과 대칭을 지도하는 시기에 대해 논의 가 이루어지기 위해서는 도형 영역의 다른 수학 내용과 의 관련성을 살펴보아야 하므로 각 국가의 3～6학년 수 학 교과서도 참고하였다.
2. 분석 내용
본 연구의 분석 내용은 크게 세 가지이다([표 2] 참 고). 첫째, 합동과 대칭을 언제 지도하는지, 도형 영역의 다른 수학 내용과의 관련성을 토대로 지도 시기 및 순서 를 살펴보았다. 합동과 대칭의 개념은 입체도형의 학습, 테셀레이션, 평면도형의 이동 등 도형 영역의 다른 내용 과 밀접한 관련이 있으므로 3～6학년에서 지도하고 있는 내용을 지도 시기 및 순서의 관점에서 전후 관계를 살펴 보았다.
[표 2] 세부 분석 내용
[Table 2] Detailed contents for analysis
분석 내용 세부 분석 내용
지도 시기 및 순서
- 국가별로 학기별 도형 영역의 주요 지도 내용 정리
- 주요 지도 내용의 지도 시기 및 순서 비교․분석
지도 내용
- 합동과 대칭 관련 단원의 차시별 지 도 내용 분석
- 관련 단원 외에 제시된 지도 내용 분 석
활동 구성
- 개념 및 성질 탐구, 도형 그리기, 개념 의 활용으로 나누어 활동 구성 분석 - 사용된 맥락, 도구, 제시된 자료의 다
양성 등 특징 파악
둘째, 합동과 대칭 관련 지도 내용을 살펴보았다. 한 국의 경우, ‘합동과 대칭’ 단원이 존재하지만, 외국의 경 우, 초등에서 명시적으로 가르치는 나라도 있고 다른 내 용에 포함되어 지도하는 나라도 있다. 이에 우선적으로 관련 단원에 제시된 차시별 주요 내용을 분석하였고, 관 련 단원이 없는 경우, 다른 단원에서 부분적으로 제시된 내용도 살펴보았다. 이는 학습량 경감의 교육과정 개정 의 방향에 따라, ‘합동과 대칭’ 단원의 필수적인 지도 내 용을 추출하고, 통합 또는 삭제되는 내용의 경우 다른 단원과 연계하여 지도할 방법을 모색하는데 있어 의미가 있다고 할 수 있다.
셋째, 합동과 대칭을 가르치기 위한 교과서의 활동 구성 방법을 살펴보았다. 현행 2009 교과서에서는 합동 과 대칭이 한 단원으로 통합되어 있으나 각각의 차시에 서 독립적으로 지도되는 경향이 있다. 이에 우선 합동의 활동 구성, 대칭의 활동 구성으로 나누고, 세부 지도 내 용이라 할 수 있는 개념 및 성질 탐구, 도형 그리기, 개 념의 활용 등으로 나누어 활동 구성의 특징을 사용된 맥 락, 도구, 제시된 자료의 다양성의 측면에서 살펴보았다.
Ⅳ. 결과 분석 및 논의
1. 합동과 대칭의 지도 시기 및 순서
합동과 대칭의 지도 시기 및 순서를 분석하기 위해 국가별로 3～6학년에서 학습하고 있는 도형 영역의 지도 내용을 순서대로 나열하면 [표 3]과 같다. 우선 한국의 경우 2009 교과서를 중심으로 살펴보면, 앞에서 언급하 였듯이 학습량 경감의 교과서 개편 방향에 따라 ‘도형의 합동’과 ‘도형의 대칭’이 하나의 단원으로 통합되었고, 이 로 인해 직육면체 단원과 합동의 지도 순서가 바뀌게 되 었다. 이에 합동과 ‘직육면체’ 단원의 지도 내용 사이의 관련성을 토대로 지도 순서를 생각해보면 다음과 같다.
직육면체 단원에서는 직육면체와 정육면체의 정의, 성질, 겨냥도와 전개도에 대해서 학습하는데, 도형을 정 의하는데 있어 직육면체를 “직사각형 모양의 면 6개로 둘러싸인 도형”(교육부, 2015b, p.41)으로 정의한다. 또한 직육면체의 성질을 탐색하는데 있어서도 합동의 성질은 포함하지 않고 마주보는 면은 평행이고, 만나는 면은 수 직인 관계에 있음을 강조한다(교육부, 2015b, pp.46-47).
반면에, 6학년 1학기의 ‘각기둥과 각뿔’ 단원에서는 각기 둥의 정의, 성질, 전개도로 학습 내용이 유사하지만 “위 아래에 있는 면이 서로 평행하고 합동인 다각형으로 이 루어진 도형은 어느 것입니까?”(교육부, 2015c, p.13),
“합동인 두 밑면의 대응하는 꼭짓점을 이은 모서리의 길 이는 각기둥의 높이와 같습니다.”(교육부, 2015c, p.17)와 같이 합동과 관련하여 설명이 이루어진다. ‘각기둥과 각 뿔’ 단원에서는 밑면의 합동 여부가 각기둥과 각뿔을 분 류하는 가장 큰 특징이기 때문에 합동을 생략하고는 지 도가 어렵다. 하지만 직육면체와 정육면체는 마주보는 면이 합동인 것이 여러 성질 중 하나로 이에 대한 언급 을 생략한 것이라 추측해 볼 수 있다. 그러나 마주보는 면이 평행인 것과 더불어 합동이라는 성질은 직육면체에 서 면 사이의 관계를 더욱 풍부하게 할 뿐만 아니라, 합 동인 도형을 그리며 직육면체의 전개도를 학습하는데 있 어 도움을 줄 수 있다고 생각된다.
한편, 도형의 이동은 7차 교과서에서 ‘도형 움직이기’, 2007 교과서에서 ‘평면도형의 이동’으로 별도의 단원에서 지도하던 것이 2009 교과서부터는 3학년 1학기 ‘평면도 형’ 단원 내로 포함되었다. 즉 동일 학기에서 학습하던 두 단원의 내용을 평면도형이라는 동일한 주제로 통합하 였다. 그러나 도형의 이동 내에 포함되어 있는 밀기, 뒤 집기, 돌리기, 규칙적인 무늬 꾸미기 학습은 선분, 각, 직
[표 3] 지도 순서에 따른 교과서 비교 분석
[Table 3] Comparative analysis of textbooks in terms of the order of teaching main topics 학년-학기
국가 3-1 3-2 4-1 4-2 5-1 5-2 6-1 6-2
한 국
7차 교과
서
평면도형, 도형
움직이기 도형 각도,
삼각형
수직과 평행, 사각형과 도형만들
기
직육면체
도형의 합동, 도형의
대칭
각기둥과 각뿔, 쌓기나무
입체도형, 원과 원기둥
2007 교과 서
평면도형, 평면도형의
이동 원 각도,
삼각형
수직과 평행, 사각형과 다각형(테 셀레이션)
도형의 합동, 직육면체
와 정육면체
도형의 대칭
각기둥과 각뿔, 여러 가지
입체도형
원기둥과 원뿔
2009 교과 서
평면도형 (도형의
이동 포함) 원 각도와
삼각형
수직과 평행,
다각형 직육면체 합동과
대칭 각기둥과
각뿔
쌓기나무, 원기둥․
원뿔․구
일본 원, 구 삼각형
(삼각형 그리기)
각도(삼각 형 그리기)
수직, 평행, 사각형
직육면체 합동
각도, 테셀레이
션, 정다각형, 각기둥과 원기둥
대칭
홍콩 평행,
수직선, 평행사변형
각,
삼각형 사각형
대칭(선대 칭도형), 테셀레이
션
각도
3-D(직육 면체,각기 둥,각뿔, 원기둥, 원뿔) 회전대칭
3-D(겨냥 도, 전개도,
단면, 각뿔 만들기)
핀란드
입체도형, 평면도형 (선분,직선,
각,수직,평 행,사각형) 대칭(선대 칭도형)
각도, 삼각형, 사각형, 원, 좌표, 입체도형
의 구성요소
원, 각도, 대칭과
합동, 도형의
닮음
다각형, 입체도형, 입체도형 그리기, 직육면체
싱가포르 각, 수직,
평행
각도, 수직, 평행, 사각형
대칭(선대 칭도형), 테셀레이
션
각도 구하기, 삼각형 (삼각형 그리기), 사각형
입체도형 겨냥도, 전개도
각도 구하기
※ 밑줄 친 내용은 2009 교과서 합동과 대칭 단원에서 가르치는 내용과 관련된 내용임.
각삼각형, 정사각형 등 기본적인 평면도형의 학습과도 관련되지만 합동 또는 대칭과 밀접하게 관련된다. 그러 나 지도 시기가 3학년 1학기와 5학년 2학기로 시간적인 간격이 크고, 밀기, 뒤집기, 돌리기와 연계하여 합동과 대칭을 지도하지는 않는다.
합동과 대칭에 관한 외국의 교과서 지도 순서를 살펴 보면 다음과 같다. 합동에 대해 초등학교에서 명시적으 로 학습하고 있는 나라는 일본과 핀란드이다. 우선 일본 은 합동을 학습하기 이전에 직육면체에 대해서 학습하고 합동, 각도, 테셀레이션, 정다각형, 각기둥과 원기둥, 대 칭 순서로 학습이 이루어진다. 각도, 삼각형, 다각형 등 평면도형에 대한 학습 이후에 입체도형에 대한 학습이 이루어지는 한국과 달리 입체도형과 평면도형의 학습이 골고루 나타난다고 볼 수 있다. 이로 인해 직육면체의 학습은 합동에 대한 학습 이전에 나타나며 한국처럼 합 동 개념을 포함하지 않고 지도한다. 한편 테셀레이션은 합동인 도형을 겹치지 않게 배열하는 것으로, 4학년에서 테셀레이션을 가르치는 홍콩, 싱가포르와 달리 일본에서 는 합동을 학습한 후, 5학년 2학기에서 각도, 정다각형에 대한 학습과 더불어 행해진다.
핀란드는 합동을 대칭과 함께 지도하는데, 선대칭의 위치에 있는 도형과 점대칭의 위치에 있는 도형을 학습 하고 대칭된 상처럼 같은 모양과 같은 크기를 가진 도형 을 합동이라고 정의한다. 즉 핀란드에서는 한국의 2009 교과서처럼 합동과 대칭을 한 단원에서 가르치지만, 합 동을 대칭보다 먼저 학습하지는 않는다. 또한 합동과 입 체도형 사이의 관련성을 살펴보면, 3학년 1학기에 구, 원 기둥, 직육면체, 원뿔 등의 입체도형을 학습하지만 예를 통해 외연적으로 정의하고 직관적인 학습이 이루어져 합 동과 관련짓지 않는다. 반면에 6학년 1학기에는 “두 밑 면이 서로 평행하고 합동인 다각형으로 된 입체도 형”(Ilmavirta, Koivisto, Salonen, Sintonen, &
Uus-Leponiemi, 2012a, p.116)과 같이 합동의 개념을 포 함하여 설명한다.
한편, 대칭과 관련하여 일본은 6학년 1학기에 선대칭 도형과 점대칭도형에 대한 학습이 함께 이루어진다. 이 에 반해 홍콩은 4학년 2학기 ‘대칭’ 단원에서 선대칭도형 을 학습하고 심화학습으로 5학년 2학기에 회전대칭을 학 습한다. 핀란드도 3학년 1학기에 선대칭도형을 지도하고
점대칭도형의 경우는 명시적으로 지도하고 있지는 않으 나 대신에 [그림 2]처럼 선대칭과 점대칭이 동시에 되는 도형을 활용하여 지도한다. 이후 5학년 1학기에는 선대 칭의 위치에 있는 도형, 점대칭의 위치에 있는 도형, 도 형의 닮음 등의 학습을 실시한다. 싱가포르도 4학년 2학 기 ‘대칭’ 단원에서 선대칭도형에 대해 학습이 이루어진 다. 이처럼 한국과 일본은 한 단원에서 선대칭도형과 점 대칭도형을 함께 다루지만 다른 나라의 경우는 선대칭도 형을 중심으로 대칭을 지도하고 대칭의 종류별로 지도 시기에 차이가 있다. 선대칭도형과 같이 비교적 쉬운 내 용의 경우는 3～4학년에서 지도되나 회전대칭, 선대칭 (점대칭)의 위치에 있는 도형 등은 5～6학년에서 학습된 다.
[그림 2] 핀란드 교과서에 제시된 대칭 문제(Ilmavirta, Rikala, Sintonen, Uus-Leponiemi, & Uus-Leponiemi, 2012, p.159) [Fig. 2] Symmetry problem in a Finland textbook(Ilmavirta, Rikala, Sintonen, Uus-Leponiemi, & Uus-Leponiemi, 2012, p.159)
특히 대칭과 관련이 있는 밀기, 뒤집기, 돌리기와 같 은 도형의 이동은 한국의 경우, 3학년 1학기 ‘평면도형’
에서 지도되고 고등학교에서 평행이동과 대칭이동이 지 도되나(교육부, 2015d), 일본, 홍콩, 핀란드, 싱가포르의 경우, 초등 수준에서는 다루지 않고 평행이동, 대칭이동, 회전이동과 관련하여 중학교에서 지도한다(방정숙 외, 2015; 윤정민, 2009; 조연옥, 2013).
2. 합동과 대칭의 지도 내용
합동과 대칭의 지도 내용에 대한 교과서 분석 결과는 [표 4]와 같다. 합동과 관련하여 2009 교과서에서는 합동 인 도형의 의미를 학습하고, 대응점을 찾고 대응변의 길 이, 대응각의 크기를 살펴봄으로써 합동인 도형의 성질
[표 4] 지도 내용에 따른 교과서 비교 분석
[Table 4] Comparative analysis of textbooks in terms of the topics to be taught 내용
국가 합동 대칭
한 국
7차 교과서
- 합동인 도형의 의미, 합동인 도형 만들기, 합 동인 도형의 성질, 합동인 삼각형 그리기 (SSS, SAS, ASA)
- 선대칭도형, 선대칭도형의 성질, 선대칭도형 그 리기
- 선대칭의 위치에 있는 도형과 성질 알고 그리 기
- 점대칭도형, 점대칭도형의 성질을 알고 그리기 - 점대칭의 위치에 있는 도형과 성질 알고 그리
기
2007 교과서
- 합동인 도형의 의미, 합동인 도형의 성질, 합 동인 삼각형 그리기(SSS, SAS, ASA)
- 선대칭도형, 선대칭도형의 성질과 그리기 - 점대칭도형, 점대칭도형의 성질과 그리기 - 선대칭의 위치에 있는 도형, 선대칭의 위치에
있는 도형의 성질과 그리기
- 점대칭의 위치에 있는 도형, 점대칭의 위치에 있는 도형의 성질과 그리기
- 테셀레이션(여러 가지 모양으로 덮기)
2009 교과서
- 합동인 도형의 의미, 합동인 도형의 성질, 합동인 삼각형 그리기(SSS, SAS, ASA) - 선대칭도형과 성질, 점대칭도형과 성질
일본
- 합동인 도형의 의미, 합동인 도형의 성질, 대 각선을 이용한 합동 탐구, 합동인 삼각형의 최소 조건, 평행사변형에 삼각형의 합동조건 적용
- 선대칭도형, 선대칭도형의 성질, 선대칭도형 그 리기
- 점대칭도형, 점대칭도형의 성질, 점대칭도형 그 리기
- 사각형 대칭 탐구, 삼각형 대칭 탐구, 정다각형 대칭 탐구
테셀레이션
- 다각형(삼각형, 사각형, 오각형, 육각형 등)의 내각의 크기 합, 사각형으로 테셀레이션 만 들기, 변형을 통한 테셀레이션 만들기 홍콩 - 테셀레이션이 가능한 도형 찾기
- 테셀레이션 그리기
- 선대칭도형과 그리기 - 회전대칭도형과 그리기 핀란드 - 합동의 의미
- 대칭과 합동의 관계 질문
- 선대칭의 위치에 있는 도형과 그리기 - 점대칭의 위치에 있는 도형과 그리기
싱가포르
- 테셀레이션에서 단위도형 확인하기 - 테셀레이션이 되는 이유 설명하기 - 단위도형으로 테셀레이션 만들기
- 테셀레이션 되는 도형과 그렇지 않은 도형 찾기
- 하나의 단위도형을 여러 가지 모양으로 테셀 레이션 만들기
- 생활 속에서 선대칭도형 알아보기 - 사각형에서 선대칭도형 알아보기 - 삼각형에서 선대칭도형 알아보기 - 선대칭도형이 되도록 그리기
※ 밑줄 친 내용은 2009 교과서에 제시되지 않은 내용임, 점선은 합동과 테셀레이션을 구분짓는 선임
을 파악하며, 합동인 삼각형을 그리는 세 가지 방법에 대해서 학습한다. 대칭은 선대칭도형과 성질, 선대칭도형 그리기의 내용이 통합 차시로 2차시 구성되어 있고, 점 대칭도형과 성질, 점대칭도형 그리기의 내용이 통합 차 시로 2차시 구성되어 있다.
이와 관련하여 외국의 사례를 살펴보면, 일본은 합동 과 대칭을 각각의 단원에서 비교적 상세하게 지도한다.
합동과 관련하여 우리나라처럼 합동인 도형의 의미, 합 동인 도형의 성질에 대해 학습하는 것 이외에 다양한 종 류의 사각형을 대각선으로 분할하여 두 도형이 합동인지 를 탐구하는 활동이 포함된다. 또한 합동인 삼각형을 그 리는 것에 대해서도 학습이 이루어지지만 합동인 삼각형 이 되기 위한 조건에 대해서 학습하고, 삼각형의 합동조 건을 활용하여 평행사변형 그리기를 지도한다. 이와 더 불어 테셀레이션도 별도의 단원에서 학습이 이루어진다.
삼각형, 사각형, 오각형 등 다각형의 내각의 크기 합에 대해서 우선 학습하고, [그림 3]과 같이 테셀레이션이 되 기 위해서는 한 꼭짓점에 모이는 각의 크기의 합이 360°
가 되어야 함을 학습한다. 또한 테셀레이션이 가능한 도 형인 평행사변형의 모양을 변형하여 새로운 테셀레이션 을 만드는 것에 대해서도 학습한다.
[그림 3] 테셀레이션의 원리와 만드는 방법(新しい算數 5 下, 2013a, pp.9-10)
[Fig. 3] Principle and method of constructing tessellation (新しい算數 5下, 2013a, pp.9-10)
대칭과 관련해서도 우리나라처럼 선대칭도형과 점대 칭도형에 대해서 학습하지만, [그림 4]처럼 추가적으로 다양한 유형의 삼각형, 사각형, 정다각형이 선대칭도형에 해당하는지, 점대칭도형에 해당하는지, 대칭축은 몇 개인 지 등 다각형의 대칭성에 대해 탐구하고 표로 정리하는 활동을 한다. 이는 합동과 대칭의 개념을 다각형에 적용 함으로써 합동과 대칭의 개념뿐만 아니라 다각형에 대한 이해를 공고히 한다고 할 수 있다.
[그림 4] 사각형의 대칭성 탐구(新しい算數 6上, 2013b, p.59) [Fig. 4] Investigating the symmetry of quadrilaterals(新しい 算數 6上, 2013b, p.59)
홍콩의 수학 교과서는 초등과정에서 합동의 개념, 성 질에 대해서 명시적으로 지도하고 있지는 않지만2) 합동 인 도형을 테셀레이션 하는 것에 대해서 학습한다. 대칭 과 관련해서도 선대칭도형과 대칭축을 기준으로 선대칭 도형을 그리는 것에 대해서 학습한다. 또한 회전대칭에 대해서 학습이 이루어지는데, [그림 5]와 같이 360°를 4 번, 2번, 3번, 6번으로 나누어 돌려 회전대칭도형을 그리 는 활동을 실시하고 있다.
2) 홍콩에서는 중학교 1학년 과정에서 도형의 대칭과 변환, 합 동과 닮음에 대해서 학습이 이루어진다(윤정민, 2009).
[그림 5] 회전대칭 지도 내용(Pan Lolyds, 2009a, p.51) [Fig. 5] Content of a rotational symmetry(Pan Lolyds, 2009a, p.51)
핀란드의 수학 교과서는 대칭을 통해서 합동에 대한 학습이 이루어지는데3), 선대칭의 위치에 있는 도형과 점 대칭의 위치에 있는 도형에 대해서 학습하고 대칭된 상 과 같이 모양과 크기가 같은 도형을 합동이라고 한다고 정의한다. 즉 주된 활동은 대칭축이나 대칭의 중심을 기 준으로 대칭된 상을 그리는 활동이 주가 되며, 합동과 관련해서는 합동의 개념을 정의하는 수준이다. 이 밖에 합동이면서 대칭이 되는 도형과 대칭이 되지 않는 도형 에 대한 문제를 통해 대칭과 합동의 관계를 파악한다.
싱가포르의 수학 교과서는 홍콩처럼 합동에 대하여 초등과정에서 명시적으로 다루지 않고4) 합동의 개념을 함의하는 테셀레이션 학습이 이루어진다. 하지만 홍콩의 교과서와 달리 학생들이 테셀레이션을 할 수 있도록 단 계적이고 세부적인 내용을 지도하고 있다. 우선 테셀레 이션에서 단위 도형을 찾아보고, 모눈종이 위에 단위도 형을 나열하여 테셀레이션을 만들어 보며, 테셀레이션 되는 도형과 그렇지 않은 도형을 찾는 활동을 한다. 또 한 같은 단위 도형을 여러 가지 방법으로 덮을 수 있음 을 안내하고, 단위도형을 확장하여 다양한 모양으로 테 셀레이션을 만드는 활동을 한다. 대칭은 선대칭도형만을 다루고 있으나 생활 속 물건과 다양한 모양의 사각형과 삼각형이 선대칭도형인지를 알아보는 활동을 한다. 이후 비정형 도형의 일부분을 제시하고 선대칭도형이 되도록 3) 핀란드의 수학과 교육과정에서는 기하영역의 3～5학년 주요 내용으로 대칭, 합동, 닮음과 축적 등을 포함하고 있으며 6～9학년에서도 닮은 도형과 합동, 합동의 묘사: 대칭, 회전, 변환의 내용을 포함한다(조연옥,2013).
4) 싱가포르는 중학교 2학년에서 도형의 합동과 닮음에 대해 학습이 이루어진다(서동엽, 2016).
그리는 활동을 한다. 우리나라 교과서처럼 대응점, 대응 변, 대응각 등 선대칭도형의 성질에 대해 탐색하고 일반 화하는 과정은 제시되고 있지 않지만 다양한 사례를 통 해 선대칭도형의 개념 및 성질을 직관적으로 이해시키고 대칭축을 기준으로 선대칭도형이 되도록 그리는 활동을 실시한다.
위의 내용을 지도 내용별로 정리해보면, 도형의 합동 에 대해 지도하는 나라는 한국과 일본이 있고, 핀란드는 합동의 개념을 탐구하는 수준이며, 홍콩과 싱가포르는 합동에 대해 초등학교에서 명시적으로 다루지 않는다.
하지만 일본의 경우 합동인 삼각형을 그리는데 필요한 조건을 탐색하고, 합동 개념을 다각형에 적용하는 활동 을 실시하는데, 이 점은 우리나라와 다르다고 할 수 있 다. 이 밖에 합동의 개념을 함의하고 있는 테셀레이션을 지도하고 있는 나라는 홍콩, 일본, 싱가포르가 있다. 한 국은 2007 교과서에서 ‘여러 가지 모양으로 덮을 수 있 어요’의 내용이 지도되었다. 그러나 기본적인 삼각형, 사 각형으로 겹치지 않고 덮는 활동을 하는 것일 뿐, 테셀 레이션의 원리나 테셀레이션을 만드는 방법에 대해서는 심도 있게 지도하지 않았다. 그리고 2009 교과서에서는 이와 관련한 내용 또한 삭제되었다. 이에 반해 홍콩은 심화학습으로 테셀레이션이 되는 도형을 찾고 그리는 것 을 학습하며, 일본은 테셀레이션을 만드는 원리 및 방법 을 체계적으로 학습한다. 이에 더 나아가 싱가포르는 하 나의 단위도형으로 여러 가지 테셀레이션을 만들어 보는 것도 학습한다. 이처럼 합동과 관련하여 합동의 개념, 합 동인 삼각형을 그리는 절차, 합동인 도형을 활용한 테셀 레이션에 이르기까지 나라별로 지도하는 내용에 차이가 있다.
도형의 대칭은 한국, 일본, 홍콩, 핀란드, 싱가포르 5 개국 모두에서 학습이 이루어진다. 이 중 선대칭도형에 대해서만 학습하는 나라는 싱가포르이고, 선대칭도형과 점대칭도형에 대해서 학습하는 나라는 한국과 일본이다.
그러나 일본은 삼각형, 사각형 등 다양한 다각형이 선대 칭도형에 해당하는지, 점대칭도형에 해당하는지를 탐구 하는 활동을 포함하고 있다. 이 밖에 홍콩은 점대칭을 포함한 회전대칭에 대해서도 학습이 이루어지고, 핀란드 는 선대칭의 위치에 있는 도형, 점대칭의 위치에 있는 도형까지도 학습이 이루어진다. 즉, 선대칭도형은 5개국
[표 5] 합동의 지도 내용에 따른 교과서의 활동 구성 비교 분석
[Table 5] Comparative analysis of textbooks in terms of construction of activities to teach congruence 내용
국가 합동의 개념 및 성질 탐구 합동인 도형 그리기 합동의 활용
한국
- 생활 속 이야기로 도입 - 다각형, 모눈종이 활용
- 구체적 조작활동(본뜨기, 포개기, 만들기, 길이재기, 각도재기 등) - 합동인 도형 성질 탐구
- 삼각형을 그리는 절차 강조 - 삼각형의 합동조건별로 별도의
차시 구성(3차시)
일본
- 생활 속 테셀레이션으로 도입 - 다각형, 모눈종이, 실물(CD 등) - 합동인 도형 성질 탐구
- 합동인 삼각형의 결정조건 탐색 - 삼각형 그리는 절차 제시 - 평행사변형 그리기로 확장
- 대각선을 이용한 다각형의 합 동 탐구
- 내각의 크기 합과 연계한 테셀 레이션 원리 학습
- 평행사변형을 변환하여 테셀레 이션 만들기
핀란드
- 대칭을 통한 합동 정의 - 비정형도형 활용
- 성질탐구 생략, 개념→문제해결 - 합동과 대칭의 관계 탐구 문제
홍콩 - 규칙과 연계한 테셀레이션
- 점종이, 비정형도형 활용
싱가 포르
- 테셀레이션을 위한 단계적지도 - 단위도형을 이동시키며 테셀레
이션 만드는 조작활동 실시 - 비정형도형, 점종이 활용
※점선은 합동과 테셀레이션을 구분짓는 선임 모두에서 지도하고, 한국의 2009 교과서에서 삭제된 내
용인 선대칭(점대칭)의 위치에 있는 도형은 핀란드에서 만 지도하고 있다. 이는 한국의 교육과정 변경 내용이 국제적인 흐름에 특별히 위배된다고 할 수는 없으나 지 도 내용의 변화로 인해 공간감각 계발에 문제가 생기지 않도록 주의를 기울일 필요가 있다.
3. 합동과 대칭의 활동 구성
합동의 활동 구성을 크게 합동의 개념 및 성질 탐구, 합동인 도형 그리기, 합동의 활용으로 나누어 지도 내용 별로 살펴보면 [표 5]와 같다. 첫째, 합동의 개념 및 성
질 탐구에 대해 살펴보면, 한국과 일본은 거의 유사하게 지도된다. 한국은 교과서, 공책 등 생활 주변에서 모양과 크기가 같은 물건을 찾는 이야기가 제시되고 일본은 보 도블럭의 테셀레이션 모양을 통해 합동을 도입한다. 이 후 주어진 도형과 완전히 겹쳐지는 도형을 찾기 위해 모 눈종이를 활용하고, 한국의 경우 본뜨기, 포개기, 길이재 기, 각도재기 등 구체적 조작활동을 통해 합동의 개념 및 성질에 대해 탐구한다. 이에 반해, 핀란드는 대칭과의 관련성을 통해 합동을 도입한다. 원래의 도형과 대칭된 도형을 비교하여 모양과 크기가 같은 경우 합동이라고 정의하고, 기본 다각형보다는 비정형도형을 사용하여 합 동을 지도한다. 또한 [그림 6]과 같이 합동이지만 대칭이
되지 않는 도형 등 대칭과 합동 사이의 관계에 대해 탐 구하는 문제가 제시된다. 이는 개념 정의, 성질 탐색 순 서로 지도하는 한국, 일본의 경우와는 다르지만, 성질 탐 구 대신 서로 혼동되는 개념을 연결하여 생각하는 문제 를 제시함으로써 개념에 대한 이해를 공고히 한다고 볼 수 있다.
[그림 6] 대칭과 합동의 관련성 탐구(Ilmavirta, et al., 2012b, p.124)
[Fig. 6] Connection between symmetry and congruence (Ilmavirta, et al., 2012b, p.124)
둘째, 합동인 도형을 그리는 것과 관련하여 한국은 삼각형에 대해 3차시에 걸쳐 자세히 학습하는데 반해, 핀란드는 합동인 도형을 그리는 것과 관련하여 구체적인 학습이 이루어지지 않는다. 그리고 일본은 절차에 비중 을 두어 제시하기 보다는 어떠한 조건이 제시되어야 합 동인 삼각형을 그릴 수 있는지에 대해 탐색한다. 예를 들어 [그림 7]은 세 변의 길이와 세 각의 크기가 모두 제시된 삼각형과 합동인 삼각형을 그리는데, 밑변을 그 린 후, 어떠한 조건이 더 필요한지에 대해 생각하도록 한다. 이는 다른 유형의 삼각형 합동조건에 대해서도 유 사한 방식으로 제시되고 있다. 이후 3가지 유형의 합동 인 삼각형을 그리는 절차를 요약해서 제시하고, 이를 확 장하여 합동인 평행사변형을 그리는데 활용하도록 한다.
그러나 한국은 합동인 삼각형을 결정하는 조건에 대한 탐색 없이 그리는 방법에 대해 탐색하고 삼각형을 그리 도록 한다. 이는 도형의 합동보다는 삼각형에 대해 학습 하는 것으로, 직선, 각, 원 등을 그리는 것은 해당 단원 에서 학습하는 만큼 교과서 구성의 일관성도 다소 떨어 진다.
[그림 7] 합동인 삼각형을 결정하는 조건 탐색(新しい算 數 5上, 2013c, p.65)
[Fig. 7] Conditions of triangles to be congruent(新しい算 數 5上, 2013c, p.65)
한편, 우리나라의 경우에도 7차 교과서에서는 [그림 8]처럼 합동인 삼각형을 결정하는 조건에 대해 탐색하는 내용이 합동인 삼각형을 그리는 매차시마다 포함되어 있 었다. 하지만 학습량 경감의 방침에 따라 2007 교과서에 서는 이와 관련한 내용이 탐구활동에서 간단히 다뤄지 고, 2009 교과서에서는 완전히 사라져 삼각형을 그리는 것에 중점을 두게 된 것으로 유추된다. 하지만 삼각형의 작도나 삼각형의 합동조건에 대한 학습은 교육과정에서 제시하는 초등의 성취기준5)을 벗어난 내용으로(교육부, 5) 2015 개정 수학과 교육과정에서는 합동과 관련한 성취기준 으로 “[6수02-01] 구체적인 조작 활동을 통하여 도형의 합동 의 의미를 알고, 합동인 도형을 찾을 수 있다, [6수02-02] 합
2015d; 장혜원, 강태석, 임미인, 2016), 3차시씩 할당하여 지도하는 것은 재고할 필요가 있다고 여겨진다. 또한 초 등에서도 합동인 도형을 그리는 학습이 필요하다면 선분 이나 각을 옮기는 수준으로, 일본이나 싱가포르처럼 각 도나 삼각형 단원에서 학습하는 것이 더 효율적일 수 있 을 것으로 여겨진다6).
[그림 8] 7차 교과서에 제시된 합동인 삼각형 결정 조건 (교육부, 2002a, p.44)
[Fig. 8] Conditions of triangles to be congruent in the textbook developed under the 7th national curriculum (Ministry of Education, 2002a, p.44)
셋째, 합동의 활용에 대해 살펴보면, 한국은 합동의 개념 및 절차를 활용한 내용이 별반 없다. 문제해결, 체 험마당, 놀이마당 등도 대칭과 관련한 활동이 대부분이 다. 하지만 일본은 사다리꼴, 평행사변형, 마름모 등을 대각선으로 나누어 합동에 대해서 탐구한다. 이는 마주 보는 변의 길이, 각의 크기와 관련한 사각형의 성질과
동인 두 도형에서 대응점, 대응변, 대응각을 각각 찾고, 그 성질을 이해한다, [9수04-03] 삼각형을 작도할 수 있다, [9수 04-04] 삼각형의 합동 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 합동인지 판별할 수 있다”를 제시하고 있다(교육 부, 2015d, p.23, p.33).
6) 일본은 3학년 2학기 삼각형 단원에서 세 변의 길이가 주어 진 경우, 삼각형을 그리는 방법을 제시하고, 한 변의 길이와 끼인각이 주어진 경우, 두 변의 길이와 양 끝 각이 주어진 경우 삼각형을 그리는 방법은 4학년 1학기 각도 단원에서 안내한다(新しい算數 3下, 2013d; 新しい算數 4上, 2013e).
싱가포르 또한 5학년 2학기 삼각형 단원에서 각도기와 자를 이용하여 삼각형을 그리는 것에 대해 학습한다(Collars, Lee, Hoe, Leng, & Seng, 2008a).
합동을 연결지음으로써 다각형에 대한 이해 및 합동에 대한 이해를 공고히 한다고 할 수 있다. 또한 합동 단원 의 도입 그림으로 제시한 테셀레이션을 별도의 단원에서 학습함으로써 심도 있는 학습으로 진행한다. 특히 테셀 레이션이 되려면 한 꼭짓점에서 만나는 각의 크기의 합 이 360°가 되어야 하므로 삼각형, 사각형, 정다각형의 내 각의 크기의 합에 대해 지도한다. 또한 평행사변형을 변 형한 후 평행 이동을 통해 새로운 테셀레이션을 만드는 것을 제시한다. 이는 한국의 경우 ‘각도와 삼각형’ 단원 에서 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합에 대해 학습 하고, ‘평면도형’에서 밀기 변환을 학습하며, ‘다각형’ 단 원에서 다각형을 겹치지 않고 덮는 테셀레이션에 대해서 학습하는 것과는 차이가 있다. 테셀레이션을 만들기 위 해서는 다각형을 겹치지 않고 덮는 활동의 제시가 아니 라 각도, 변환 등의 학습이 필요하므로 개념의 활용 측 면에서 관련된 수학 내용을 모아서 지도하는 점은 우리 나라 교과서 구성에 시사하는 바가 있다고 할 수 있다.
이 밖에 홍콩과 싱가포르는 합동의 개념 및 합동인 도형 을 그리는 절차에 대해서 명시적으로 가르치고 있지 않 지만 합동의 활용에 해당하는 테셀레이션에 대해서는 지 도하고 있다. 특히 싱가포르는 테셀레이션이 가능한 단 위 도형을 찾고 테셀레이션을 만드는 활동을 하는 것 이 외에, 하나의 단위 도형으로 여러 가지 모양의 테셀레이 션을 만드는 활동도 실시하고 있다.
다음으로, 도형의 대칭과 관련하여 교과서 활동 구성 의 특징을 살펴보면 [표 6]과 같다. 우선 한국과 일본은 한 단원 내에서 선대칭도형과 점대칭도형을 지도하므로 선대칭도형을 중심으로 대칭을 지도하고 있는 나라와, 개념을 도입하고 정의하는 방식에 있어 차이가 있다. 한 국은 ‘합동과 대칭’의 단원명에서 처음으로 대칭이라는 용어가 사용되는데, 대칭에 대한 정의나 선대칭 및 점대 칭과의 관련성은 제시되지 않은 채, 각각의 차시에서 선 대칭도형과 점대칭도형에 대한 설명이 이루어진다(교육 부, 2015a; 장혜원 외, 2016). 일본 역시 대칭을 명확하게 정의하지는 않으나 도입에 있어 [그림 9]와 같이 두 가 지 유형의 대칭의 예를 제시하고 D와 N이 어떠한 대칭 에 해당하는지 질문함으로써 선대칭과 점대칭을 포함하 는 개념이 대칭임을 직관적으로 인식시킨다. 이에 반해 싱가포르, 핀란드, 홍콩은 대칭인 도형을 두 부분으로 정
