Selecting a mother wavelet for univariate wavelet analysis of time series data
Lee, HyunwookaㆍLee, JinwookbㆍYoo, Chulsangc*
aM.D Candidate, Department of Civil, Environmental and Architectural Engineering, Korea University, Seoul, Korea
bPh.D Candidate, Department of Civil, Environmental and Architectural Engineering, Korea University, Seoul, Korea
cProfessor, Department of Civil, Environmental and Architectural Engineering, Korea University, Seoul, Korea
Paper number: 19-023
Received: 24 April 2019; Revised: 19 August 2019 / 22 August 2019; Accepted: 22 August 2019
Abstract
This study evaluated the effect of a mother wavelet in the wavelet analysis of various times series made by combining white noise and/or sine function. The result derived is also applied to short-memory arctic oscillation index (AOI) and long-memory southern oscillation index (SOI). This study, different from previous studies evaluating one or two mother wavelets, considers a total of four generally-used mother wavelets, Bump, Morlet, Paul, and Mexican Hat. Summarizing the results is as follows. First, the Bump mother wavelet is found to have some limitations to represent the unstationary behavior of the periodic components. Its application results are more or less the same as the spectrum analysis. On the other hand, the Morlet and Paul mother wavelets are found to represent the non-stationary behavior of the periodic components. Finally, the Mexican Hat mother wavelet is found to be too complicated to interpret. Additionally, it is also found that the application result of Paul mother wavelet can be inconsistent for some specific time series. As a result, the Morlet mother wavelet seems to be the most stable one for general applications, which is also assured by the recent trend that the Morlet mother wavelet is most frequently used in the wavelet analysis research.
Keywords: Wavelet analysis, Mother wavelet, Arctic oscillation, Southern oscillation
시계열 자료의 단변량 웨이블릿 분석을 위한 모 웨이블릿의 선정
이현욱aㆍ이진욱bㆍ유철상c*
a고려대학교 건축사회환경공학과 석사과정, b고려대학교 건축사회환경공학과 박사과정, c고려대학교 건축사회환경공학과 교수
요 지
본 연구에서는 모 웨이블릿(mother wavelet)이 웨이블릿 분석에 미치는 영향을 파악하기 위해 먼저 백색잡음과 사인함수를 다양하게 결합한 시 계열의 분석을 수행하고 그 결과를 각각 단기기억특성과 장기기억특성을 보이는 북극진동지수(AOI)와 남방진동지수(SOI)에 대한 적용하였다. 본 연구에서는 기존 연구가 하나 또는 두 개의 모 웨이블릿 평가에 제한된 것과는 달리 총 4가지의 웨이블릿에 대한 비교·평가를 수행하였다. 본 연구 에서 선정한 웨이블릿은 기존 연구에 많이 사용된 바 있는 총 4가지의 모 웨이블릿(Bump, Morlet, Paul, Mexican Hat)이다. 그 결과는 다음과 같 다. 먼저, Bump 모 웨이블릿을 적용한 결과는 주기성분의 비정상성을 나타내는데 한계가 있는 것으로 확인되었다. 그 결과는 스펙트럼 분석결과 와 매우 유사한 수준인 것으로 나타났다. 이에 반해 Morlet과 Paul 모 웨이블릿은 주기성분의 비정상성을 상대적으로 잘 나타내 주는 것으로 확인 되었다. 마지막으로 Mexican Hat 모 웨이블릿의 경우에는 그 결과의 해석이 까다로운 것으로 나타났다. 추가로, Paul 모 웨이블릿의 적용 결과가 시계열에 따라 일관적이지 않게 나타날 수 있음도 확인하였다. 결과적으로 Morlet 모 웨이블릿은 본 연구에서 고려한 모 웨이블릿 중 그 적용상 안 정성이 가장 높은 것으로 확인되었으며, 이러한 결과는 최근 웨이블릿 관련 연구에서 Morlet 모 웨이블릿이 가장 많이 사용되는 추세와도 일치하 는 것이다.
핵심용어: 웨이블릿 분석, 모 웨이블릿, 북극진동, 남방진동
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*Corresponding Author. Tel: +82-2-3290-3321 E-mail: [email protected] (C. Yoo)
1. 서 론
시계열 자료는 경향성, 주기성 등 비정상성인 특성을 포함 하는 경우가 많다. 이러한 특성은 자기상관도, 스펙트럼 등 다 양한 방법으로 분석된다. 특히 스펙트럼 분석은 일반적으로 시 계열 자료가 가지는 주기성을 파악하는 경우 사용된다. 잘 알려 진 것처럼 스펙트럼 분석은 푸리에 변환(Fourier Transform;
FT)에 기초하고 있으며, 이는 시계열 자료를 시간 영역(time domain)에서 주파수 영역(frequency domain)으로 변형시키 는 역할을 한다. 그러나 스펙트럼에 나타난 시계열의 특성은 시 계열 전체를 대표하는 것으로 더 이상 시간영역의 정보를 포함하 고 있지 못하다는 한계를 갖는다. 이를 보완할 목적으로 제시된 것이 시간-주파수 분석(time-frequency analysis)이다(Smith et al., 1998). 그러나 시간-주파수 분석도 고정된 주파수 범위 밖의 성분에 대해서는 해석이 어렵다는 단점을 지니고 있다. 이런 문 제점을 해결할 수 있는 방법이 바로 웨이블릿 분석(wavelet analysis)이다(Misiti et al., 2013; Meyers and Jones, 1993).
웨이블릿 분석의 사례는 여러 학문분야에서 매우 다양하 다. 수문학 또는 기상학 분야에서도 많은 사례를 찾아볼 수 있 다. 예를 들어, Nakken (1999)은 1911년부터 1996년까지의 호주 Peak Hill 지역의 강수량 자료를 웨이블릿 분석하여 주기 성의 변화를 살펴보았다. 특히, 1911년부터 1935년 사이에는 4년에서 2.5년 주기의 큰 변화를 확인하였고, 이후로는 2년 주기가 나타났으며 1990년대에 다시 2.5년 주기가 나타났다.
Kailas and Narasimha (2000)는 1870년부터 1990년까지의 인도 우기의 연 강수량 자료를 웨이블릿 분석하여 가뭄 또는 홍수가 발생한 해에 10 ~ 100년 주기가 뚜렷하게 나타났다는 것을 발견하였다. Echer et al. (2008)는 1894년부터 1995년까 지의 남부 브라질의 연 강수량을 웨이블릿 분석하였다. 기존의 스팩트럼 분석에서는 발견하지 못한 1915-1920, 1930-1945 년의 기간 동안 4 ~ 6년의 주기가 강하게 나타나는 것을 발견하 였다. Labat et al. (2005)는 SOI 자료를 웨이블릿 분석하여 1870 ~ 1920, 1965 ~ 2000년 사이에 2 ~ 7년 주기가 잘 나타나 고 있다는 것을 확인하기도 하였다. 국내에서도 Park (2017)이 남한지역에 대한 표준강수지수 및 팔머가뭄지수를 웨이블릿 분석하여 가뭄의 주요 주기가 8 ~ 10개월, 2 ~ 3년, 6 ~ 7년 등 다양하게 혼재되어 있다는 것을 확인하였다. Lee and Yoo (2019)는 AOI 자료의 웨이블릿 분석을 통해 특히 17년의 장주 기가 80년대에 강하게 나타났었다는 것을 확인하기도 하였다.
웨이블릿 분석에서 적절한 모 웨이블릿의 선택은 매우 중 요하다(Farge, 1992). 그러나 공교롭게도 모 웨이블릿을 어떤 방식으로 선정해야 하는지의 근거는 명확하지 않다(Ryu et
al., 2012). 그러나 일부 연구에서는 사용한 모 웨이블릿에 대 한 평가를 언급하고 있고, 또한 일부 연구에서는 두 개의 모 웨이블릿을 적용하고 비교 평가한 결과를 보고하기도 하였 다. 예를 들어, Torrence and Webster (1999)는 Tropical Biennial Oscillation (TBO) 자료 분석에 Morlet 모 웨이블릿 을 적용하였으나 어떤 명확한 결과도 도출할 수 없었다. 그들 은 TBO가 상당히 불규칙적인 자료이어서 Morlet 모 웨이블 릿이 적절한 선택이 아닐 수 있다는 가능성을 언급하였다.
Jung et al. (1999)는 서울지역 강수량의 웨이블릿 분석에 Morlet, Mexican Hat, Paul 모 웨이블릿을 적용하였으며, 그 결과로 Mexican Hat 모 웨이블릿을 적용한 경우에 시간영역 에서의 분해능이 가장 좋았으며, Morlet 모 웨이블릿을 적용 한 경우는 고주파 영역에서의 분해능이 뛰어나다는 점을 확인 하였다. Mi et al. (2005)는 중국 북부의 둥링 산지(Dongling Mountain Region)에 대한 심슨 다양성 지수(Simpsons Diversity Index) 자료의 분석에 Morlet과 Mexican Hat 모 웨 이블릿을 적용하고 Morlet 모 웨이블릿을 적용한 경우에는 분 명한 주기가 나타나지 않았다고 보고하였다. Jevrejeva et al.
(2003)은 Morlet 웨이블릿을 적용하여 북극진동(AO)과 북 대서양진동(NAO)을 분석하였다. 이들은 Morlet 웨이블릿 이 시간 및 주파수를 모두 정확히 국지화시킨다는 장점이 있 다는 것을 언급하면서도, Paul 모 웨이블릿이 시간을 국지화 하는 데는 더욱 뛰어나다는 언급을 추가하기도 하였다. Kuo et al. (2010)은 대만 강수량 자료에 대한 웨이블릿 분석에서 Mexican Hat 모 웨이블릿이 Morlet 모 웨이블릿에 비해 시간 영역을 잘 국지화시키지 못하며 또한 정확도도 떨어지는 문제 가 있다는 것을 지적하였다. 그러나 이러한 보고들에도 불구 하고 최근의 연구에서는 대부분 Morlet 모 웨이블릿이 특별한 언급 없이 많이 사용되고 있다.
본 연구는 웨이블릿 분석에 있어 모 웨이블릿의 영향을 파 악해 보고자 하는 것을 목적으로 한다. 이를 위해 백색잡음 및 사인곡선을 이용하여 모 웨이블릿의 영향이 분석결과에 어떻 게 반영되는지를 우선적으로 평가해 보고자 한다. 여기서 백 색잡음은 어떤 특성도 포함하지 않은 시계열 분석에 있어 모 웨이블릿을 특성이 어떻게 나타나는지를 확인하기 위해 고려 되었다. 이에 반해 사인곡선은 주기성과 장기기억특성이 분석 결과에 어떻게 반영되는지를 확인하기 위해 고려되었다. 추가 로 단기기억특성이 강한 북극진동지수와 장기기억특성이 강 한 남방진동지수를 분석하여 백색잡음과 사인곡선의 분석결 과가 이들 자료의 분석결과에도 그대로 나타나는지를 확인하 였다. 이러한 분석결과를 토대로 본 연구에서는 분석 대상 시 계열의 특성에 따라 적절한 모 웨이블릿을 제시해 보고자 한다.
2. 웨이블릿(Wavelet) 분석
2.1 푸리에 분석과 웨이블릿 분석
웨이블릿 변환(wavelet transforms)은 특수한 함수의 집합 으로 구성되어 기존 웨이블릿 신호의 분석을 위해 사용되는 방법이다. 이 변환은 푸리에 변환에서 변형된 방법으로 기존 의 푸리에 변환에서는 신호를 사인과 코사인 함수를 이용하여 변환하였다. 이와 달리 웨이블릿 변환에서는 특정한 기저 함 수(base function)를 이용하여 기존의 시계열 자료를 주파수 로 바꾸는 변환이다. 웨이블릿 변환에서는 특수한 함수를 모 함수라고 하며 이를 기저 함수로 하여 천이, 확대 및 축소 과정 을 통해 주파수를 구성한다. 웨이블릿은 사인파와 코사인파 를 기저 함수로 하여 파형을 분석한 푸리에 변환에서 기초하 여 산정하였다.
푸리에 변환은 사인과 코사인 함수를 기저 함수로 하며 웨 이블릿 변환과 달리 국소적인 변화보다는 주기성을 분석하는 경우 유용하다. 푸리에 변환을 통해 시간과 연관된 신호에 대 해 특정한 주파수 신호를 추출할 수 있다. 푸리에 변환의 특징 은 시간 관련 정보를 주파수로 바꾸었기 때문에 특정 시점의 정보를 얻는 것은 어렵다.
웨이블릿 분석은 푸리에 변환을 이용한 분석과 마찬가지 로 기저 함수를 이용하는 방법이다. 그러나 푸리에 분석과는 달리 웨이블릿 분석에서는 창의 크기를 조절하는 규모(scale) 가 중요한 역할을 한다. 즉, 웨이블릿 변환에서는 규모가 큰 창을 통해 신호의 전반적인 특성을 분석하며 작은 창을 통해 국지적인 특성을 분석할 수 있다. 즉, 웨이블릿 분석에서는 푸 리에 분석과 달리 신호의 불연속적인 지점을 식별하는 데 유 용하다. 이는 푸리에 분석과 달리 웨이블릿이 신호를 세세하 게 분석하는 것이 아닌 신호의 변화되는 부분을 잘 나타낼 수 있기 때문이다(Fig. 1 참조).
웨이블릿 분석에서는 기저 함수를 모 웨이블릿이라 하며 두 가지 방법을 이용하여 주파수로 변환한다. 모 웨이블릿을 규모변환(scaling)과 전이(transition)를 통해 기존의 신호를 분석한다. Eq. (1)은 웨이블릿 함수의 기본적인 공식이다.
Wab a
xt
t ba
dt (1)Eq. (1)에서 a와 b는 매개변수로 기저 함수를 조정하여 기존 의 신호를 주파수로 바꿀 수 있다. a는 규모 매개변수(scale parameter)로 웨이블릿 기저 함수의 크기를 조정하며, b는 위 치 매개변수(location parameter)로 기저 함수의 시간축상의 위치를 변경해 웨이블릿의 기저 함수를 이동시킨다. W (a, b)
는 연속 웨이블릿의 변환된 함수이며, x (t)는 입력 신호이고 Ψ는 모 웨이블릿 함수이다.
2.2 모 웨이블릿의 종류 및 특성
웨이블릿 분석은 이산 웨이블릿 분석과 연속 웨이블릿 분 석으로 나누며, 그 차이는 규모 매개변수가 이산적이냐 연속 적이냐 하는 것에 따른다. 먼저, 이산 웨이블릿 변환(Discrete Wavelet Transform)은 웨이블릿의 규모 매개변수를 덜 조밀 하게 이산화하여 나타나는 것을 의미한다. 이산 웨이블릿 변 환에 사용되는 모 웨이블릿의 종류는 Haar, Daubechies, Gauss 등이 있다. 이 중에서 Haar 모 웨이블릿이 대표적이며 장점은 간단한 함수이므로 급격한 변화 혹은 계단 형태의 자 료에 사용하면 결과를 얻기 쉽지만 부드러운 변화를 나타내는 것은 어렵다. 또한, Daubechies 웨이블릿은 최근 널리 사용되 는 웨이블릿으로 특히 신호의 자기 유사성, 프랙탈 문제, 신호 의 불연속성을 해결하는데 널리 사용되고 있다(Chan and Shen, 2005). Gauss 웨이블릿은 Morlet 웨이블릿을 포함하는 모 웨이블릿으로 Morlet 웨이블릿과 유사한 특성을 가진다.
연속 웨이블릿 변환(Continuous Wavelet Transform)은 규모 매개변수를 미세하게 이산화한 후 모 웨이블릿을 적용하 는 방법이다. 연속 웨이블릿 변환에서는 모 웨이블릿 기저함 수 값이 실수 혹은 복소수 값이냐에 따라 다른 모 웨이블릿을
(a) Fourier transform
(b) Wavelet transform
Fig. 1. Conceptual difference between wavelet transform and Fourier transform
사용한다. 스펙트럼 분석을 하는 경우 Morlet 웨이블릿을 사용 하며 시계열의 시간 영역에서 경향을 파악하는 경우 Mexican Hat 웨이블릿 분석을 사용한다(Baliunas et al., 1997). 마찬가 지로, Morlet은 주파수 해석을 하는 경우 사용하고 Paul은 시 간 영역을 해석하는 경우 이용한다(De Moortel et al., 2004).
Bump 웨이블릿 분석은 띠의 형태를 하고 있으며 그러므로 Morlet 웨이블릿보다 주파수를 국지적으로 분석하는 데 더 적 합하다(Jiang and Suter, 2017).
본 연구에서는 4가지 모 웨이블릿(Morlet, Paul, Bump, Maxican Hat)을 사용하였다. 위의 4가지의 모 웨이블릿의 선 정은 Dyllon and Xiao (2018)의 연구에서 선정한 모 웨이블릿 을 참조하였다. 위의 연구에서는 4가지 모 웨이블릿에 따른 웨이블릿 분석결과를 이용하여 기존의 시계열에서 발견하기 어려웠던 특성(event)을 찾을 수 있음을 밝혔다. 모 웨이블릿 에 따라 결과가 달라지는 것도 볼 수 있었다.
먼저, Morlet 모 웨이블릿은 Eq. (2)로 표현된다.
(2)
Eq. (2)에서 η는 무차원 시간 매개변수(non-dimensional parameter)이며, m은 모 웨이블릿을 결정하는 파수(wave
number)로 6을 표준(default)으로 한다. 또한, Paul 모 웨이블 릿과 Bump 모 웨이블릿도 각각 Eqs. (3) and (4)로 표현된다.
(3)
exp
(4)Paul 모 웨이블릿에서 m은 모 웨이블릿을 결정하는 파수로 4를 표준으로 사용한다. Bump 모 웨이블릿에서 μ와 σ는 각 각 평균과 표준편차를 나타낸다. X[]는 모 웨이블릿의 범위입 니다. 마지막으로 Mexican Hat 모 웨이블릿은 Eq. (5)와 같이 표현된다.
(5)
Eq. (5)에서 Γ()는 감마 함수(gamma function)이다. m은 모 웨이블릿을 결정하는 파수로 2를 표준으로 사용한다. 이들 4개의 모 웨이블릿의 형태는 Fig. 2와 같다.
(a) Bump (b) Morlet
(c) Paul (d) Mexican Hat
Fig. 2. Shapes of various mother wavelets
3. 대상자료
3.1 북극진동지수(AOI)
북극진동(Arctic Oscillation)은 북극의 공기단의 차가운 소용돌이가 약 수십 일에서 수십 년을 주기로 강약을 되풀이 하는 현상을 뜻한다. 북극진동은 극관(polar cap) 지역과 중위 도 지역 사이에 상반되는 지표의 기압 변동이 특징이다. 즉, 극 지역에서 해면의 기압이 높게 형성되면 중위도에서는 낮아 지고, 반대로 극지방에서 해면의 기압이 낮게 형성되면 중위 도에서는 기압이 높게 형성되는 현상이다. 따라서 극지방과 중위도 지역에서의 해면의 기압은 반대의 위상을 가지고 진동 하고 있다.
북극진동지수(Arctic Oscillation Index; AOI)는 북극 상공 에 자리한 반영구적인 저기압 중심의 상대적인 강도를 나타낸 다. AOI가 양수인 경우, 즉 북극 상공의 소용돌이의 세력이 강화되는 시기에 제트기류는 북극 근처의 상공에서 올가미와 같은 역할을 하며 북극의 냉기류를 극지방 근처에 가두어 둔 다. 반대로 AOI가 음의 수치를 보이면 북극의 냉기류를 잡아 두는 북극 상공의 소용돌이의 세력이 약해지며 북극의 차가운 기류가 북반구 전반에 남하하게 된다.
AOI는 북반구 60도 이상 고위도의 해변기압과 중위도의 해면기압의 차이를 이용하여 계산한다(Thompson and Wallace, 1998). 일반적으로 NCEP/NCAR의 재해석 자료가 이용되 며, 월평균을 이용하여 계절 주기가 제거된 자료가 이용된다.
EOF 분석의 적용을 위해 공분산 행렬을 구하는 과정에서는 일정한 면적가중치를 적용하기 위하여 격자화한 자료에 위도 의 코사인 제곱근을 곱해준다. EOF 분석을 통해서 대기 순환 의 주요 원격패턴을 구분할 수 있으며, 첫 번째 EOF의 분산 설명력을 가지고 AOI를 정의한다. 북극진동은 겨울철 동안 에 가장 큰 분산을 가지기 때문에 AOI는 특히 겨울철의 특성 에 영향을 받는다. 최종적으로 구축된 시계열을 지표 기간의 시계열 분산으로 나누어 표준화한다.
본 연구에서는 Thompson and Wallace (1998)의 정의를 토 대로 AOI를 분석하여 관리하는 NCEP (National Center for Environmental Prediction, http://www.cpc.ncep.noaa.gov) 의 자료 중 1961년부터 2016년까지의 월 단위 AOI를 수집하 여 이용하였다. Fig. 3은 본 연구에서 사용한 월 단위 AOI의
시계열 그림을 나타낸다. 이 그림에서 볼 수 있는 것처럼 AOI 는 1970년 중반부터 10년간 음(-)의 값을 꾸준하게 가졌으며, 이후 급격하게 상승하여 1990년대에 기록적으로 큰 값을 기 록하기도 하였다. 그러나 2000년대에 들어서면서 다시 기록 적으로 작은 값을 기록하는 것과 같이 불규칙적인 변동특성을 보여준다. 2009년에는 연 평균값으로 –1.043의 역대 최솟값 을 기록하기도 하였다.
본 연구에서 사용한 AOI의 기본적인 특성은 Table 1과 같 다. 전체기간에 대한 평균값은 –0.068 표준편차는 1.030으 로 나타난다. 사실 AOI는 ‘0’을 중심으로 움직이는 지수는 아 니다. 음의 편차를 보인다는 것은 북극 기온이 평년보다 올라 가면 중위도로 한파가 내려오는 것을 의미하며, 이러한 현상 이 본래 북극진동의 일반적인 패턴이다. 따라서 겨울철의 AOI 값은 대체적으로 (-)의 큰 값을 가진다. 또한, AOI의 평균 값에 비해 표준편차가 매우 크다는 것에 유의할 필요가 있다.
3.2 남방진동지수(SOI)
남방진동(Southern Oscillation, SO)이라는 개념은 Walker (1932)에 의해 최초로 도입되었다. Walker (1932)는 열대 태 평양의 동부와 서부의 해면기압차가 주기적으로 증가하고 감 소하는 것을 확인하였으며 이를 SO라 정의하였다. SO 현상 을 최초로 전 지구 기후변동 과정의 일환으로 받아들인 것은 Bjerknes (1969)이다. Bjerknes (1969)가 북서태평양에서 관 측된 1957-1958년, 1963-1964년, 1965-1966년 겨울의 이상
Fig. 3. Time series of monthly arctic oscillation index (AOI(1)) and its 12 month moving average (AOI(12))
Table 1. Monthly means and standard deviations of AOI data used in this study (1961-2016)
Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Annual
Mean -0.357 -0.352 -0.039 0.148 0.094 0.043 -0.131 -0.102 0.017 -0.053 0.036 -0.117 -0.068 STDV 1.544 1.477 1.327 0.831 0.664 0.588 0.451 0.549 0.576 0.828 0.931 1.375 1.030
수온의 원인이 SO에 기인하는 것을 규명한 이후, 엘니뇨/라니 냐(El Nino/La Nina) 현상의 주기적 특성을 분석하거나 이 현 상이 기후시스템에 미치는 영향을 파악하기 위한 연구가 본격 적으로 시작되었다. 우리나라에서는 한반도의 기후변화 현 상을 규명하기 위하여 엘니뇨/라니냐와 SO에 관한 연구가 시 작되었다(Ahn et al,, 1997; Kang, 1998).
SO를 정량화하며 만든 지수들은 다양하다. 그중 대표적인 지수로 남반지동지수 SOI (Southern Oscillation Index)와 엘 리뇨/남방진동지수(ENSO)를 들 수 있다. 먼저 SOI 지수는 월 별로 표준화된 타히티의 기압에서 다윈의 기압을 뺀 것이다 (Troup, 1965). ENSO 지수는 SOI 지수와 적도 태평양의 표면 수온(Sea Surface Temperature, SST)를 결합하여 만든 지수 이다(Ropelewski and Halpert, 1986). 이 외에도 OLR (Outgoing Longwave Radiation), ONI (Oceanic Nino Index) 등 다양한 지수가 있다. 본 연구에서는 기압, 해수면 온도, 그리 고 강수량과 연관성이 좋다고 알려진 SOI 지수를 이용하였다.
본 연구에서는 1961년부터 2016년까지의 월 단위 SOI를 수 집하였다. SOI 자료는 미국 상무부 산하의 National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA)에서 수집하였다.
월 단위자료를 수집하여 1월부터 12월까지의 자료를 평균하 여 연 단위자료를 만들어 연구에 사용하였다. Fig. 4는 SOI 월 단위 자료를 나타낸 그림이다. 1980년대는 음의 값이 크게 나 타냈으며 2000년대 이후로는 양의 값이 크게 나타나는 것을 확인할 수 있었다. 최근에는 약 10여년 중에 가장 큰 음의 값을 가지는 것을 확인할 수 있었다.
본 연구에서 사용한 SOI의 기본적인 특성을 정리하면 Table 2와 같다. 전체기간에 대한 평균은 0.092 표준편차는 0.913으로 나타난다. AOI는 ‘0’을 중심으로 움직이는 지수가 아니며, 양의 편차이므로 해수의 냉각 단계인 라니냐가 본래 남방진동의 일반적인 패턴이다. 따라서 12월의 SOI 값은 (-) 의 값을 가진다. 추가로 SOI의 평균값에 비해 표준편차가 매 우 크다는 것에 유의할 필요가 있다.
4. 분석결과
4.1 백색잡음과 사인곡선을 이용한 모 웨이블릿의 영향 평가
본 연구에서는 먼저 모 웨이블릿에 따른 웨이블릿 분석결 과가 어떻게 달라지는지를 판단하기 위해 Fig. 5와 같은 백색 잡음(white noise) 시계열과 사인곡선에 백색잡음을 더한 시 계열을 각각 준비하였다. 백색잡음의 경우 범위를 3에서 –3 사이의 값으로, 표준편차는 1로 설정하였고 평균은 0이다, 사 인곡선은 sin으로 설정하였으며, 여기에 추가로
sin, sin을 더한 곡선도 고려하였다.
백색잡음에 본 연구에서 고려하는 4가지의 모 웨이블릿을 기저함수로 적용한 결과는 Fig. 6과 같다. 먼저 그림을 보면 y축은 주기(period)를 의미하고 x축은 단위시간을 나타낸다.
단변량 웨이블릿 분석에서 고려한 주기는 400 단위시간까지 이며 이는 기존 자료가 1000 단위시간이었으며 그 이후로는 크게 유의한 결과가 나오지 않으므로 이러한 주기 범위를 결 정하였다. 위의 그림에서 강한 주기성일수록 빨간색을 가지 며 약한 주기성일수록 파란색을 보인다.
먼저, Fig. 6을 보면 Bump 웨이블릿 분석결과에서 전체 기간 동안 어떤 특정 주기특성도 보이지 않았다. 반면에 나 머지 세 모 웨이블릿에서는 불규칙적인 주기성분의 출현이 나타나기도 한다. 특정 시점에 강한 주기성분의 출현이 보 이기도 하지만 이는 백색잡음의 효과로 판단된다. Morlet 모 웨이블릿을 적용한 경우나, Paul, Mexican Hat 모 웨이블 릿을 이용하는 경우에도 약하기는 하지만 주기 성분의 발현 이 나타난다. 그러나 이러한 특성도 자료가 가지고 있는 특 성은 아님을 명심할 필요가 있다. 즉, 특별한 의미를 두어야
Fig. 4. Time series of monthly southern oscillation index (SOI(1)) and its 12 month moving average (SOI(12))
Table 2. Monthly means and standard deviations of SOI data used in this study (1961-2016)
Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Annual
Mean 0.223 0.285 0.125 0.120 0.115 0.004 0.088 0.052 0.006 0.009 0.087 -0.008 0.092 STDV 1.267 1.081 0.811 0.648 0.613 0.792 0.757 0.927 0.886 0.889 1.076 1.210 0.913
하는 것은 아니며, 향후 다른 시계열에 대한 웨이블릿 분석 에서도 그 결과를 해석할 때 유의해야 할 점이다. 전체적으 로 보면 Bump 모 웨이블릿을 이용하는 경우가 가장 정확한 결과를 보이는 것처럼 보이나 이는 오히려 웨이블릿 분석의
장점이 부각되지 않은 결과로도 판단할 수 있다. 비록 백색 잡음에 대한 분석결과이지만 비정상적인 주기성이나 경계 조건의 영향 등이 웨이블릿 분석결과에 어느 정도 나타나야 하는 것이 필요하다.
(a) White noise (b) WN + sin (200,10)
(c) WN + sin (200,10)+sin (100,10) (d) WN + sin (200,10)+ sin (100,5) Fig. 5. Time series used in this study based on white noise and sinusoidal functions, sin (period, amplitude)
(a) Bump (b) Morlet
(c) Paul (d) Mexican Hat
Fig. 6. Wavelet analysis of various mother wavelets for white noise
다음으로, 사인곡선에 백색잡음을 더한 시계열에 본 연구 에서 고려하는 4가지 모 웨이블릿을 적용한 결과는 Fig. 7과 같다. 참고로 사인곡선은 200 단위시간의 주기성을 가지고 있 으므로 이 특성이 웨이블릿 분석결과에서도 잘 나타나야 한 다. 먼저, Bump 모 웨이블릿을 이용한 경우에서는 200에서만 이 아주 뚜렷하게 나타나는 것을 볼 수 있다. 그러나 이 결과는 백색잡음의 효과나 양 끝 단 경계조건이 거의 반영되지 않아 웨이블릿 분석의 장점을 잘 반영하는 결과로 보기는 어렵다.
이에 반해 Morlet이나 Paul 모 웨이블릿을 사용한 경우에는 백색잡음의 효과도 어느 정도 반영되고 또한 경계조건의 효과 도 반영되어 있다고 판단할 수 있다. 그러나 두 모 웨이블릿의 경우 백색잡음의 반영 정도는 크게 다른 것으로 나타난다.
Paul의 경우가 더 큰 것으로 나타나나, 어는 정도가 적절한 것 인지는 판단하기 힘들다.
마지막으로 Mexican Hat 모 웨이블릿을 사용한 경우는 200의 주기성분이 파악되지 않는 이상한 결과가 표출되었다.
그러나 이는 Mexican Hat 웨이블릿 분석이 가지는 특성이기 도 하다. 즉, 주기성을 가지는 원 자료의 극대와 극소점마다 강한 상관이 부각되어 분석결과에 나타나게 된다(Zhou and Adeli, 2003). Fig. 7(d)에서도 살펴볼 수 있듯이 극대 및 극소 에서는 강한 양의 상관관계가 나타나며 극대와 극소의 중간점 에서는 상관관계가 나타나지 않는 것이다. 그러나 분석결과
에 나타나는 주기성분이 실제 주기에 1/4에 불과한 것은 추가 로 확인해야 할 내용이다.
이상의 결과를 종합하면 Bump 모 웨이블릿을 사용한 경우 의 분석결과는 자료의 특성을 가장 잘 반영하는 것으로 확인 된다. 그러나 문제는 Bump 모 웨이블릿이 웨이블릿 분석의 장점, 즉 주요 주기성분의 비정상적 거동특성을 전혀 보여주 지 못한다는 것이다. Bump 모 웨이블릿은 파형이 단조롭고 peak도 하나뿐인 형태이므로 전체적인 특성을 부각시키는 형 태로 결과를 주게 된다. 이는 결과적으로 보면 기존 스펙트럼 분석 결과와도 매우 유사한 경우이다. 이에 반해 Morlet 또는 Paul 모 웨이블릿의 경우에는 자료의 특성과 웨이블릿 분석의 장점을 모두 잘 보여주고 있다고 판단할 수 있다. Mexican Hat 모 웨이블릿의 경우에는 그 결과를 해석하는데 보다 많은 지 식과 경험이 필요함을 짐작할 수 있다.
이러한 결과는 두 개의 사인 곡선을 결합한 시계열의 웨이 블릿 분석에서도 확인할 수 있다. Fig. 8을 보면 Bump 웨이블 릿은 두 개의 사인곡선의 주기성분이 정확하게 나타났으며 Morlet에서도 확인할 수 있는 것을 볼 수 있었다. 반면에 Paul 웨이블릿은 주기가 섞여서 두 사인곡선의 정확한 주기를 확인 하기 어려웠다. Fig. 9를 보면 Fig. 8과 유사한 결과가 나타났으 며 진폭을 절반으로 한 100주기의 사인함수의 경우 주기성분 이 Fig. 8에 비해 약하게 나타나는 것을 확인할 수 있었다.
(a) Bump (b) Morlet
(c) Paul (d) Mexican Hat
Fig. 7. Wavelet analysis of various mother wavelets for sin (200,10) along with white noise
4.2 AOI와 SOI 자료의 분석
본 연구에서는 전 절의 분석과 동일하게 AOI와 SOI 자료를 분석하였다. 두 자료가 상이한 특성을 보이고 있어 그 결과도 크게 다를 것으로 추측된다. 즉, AOI는 단기기억의 특성을 보
이고 있으며, 백색잡음 보다 근접한 특성을 보이고 있다. 이에 반해 SOI는 장기기억의 특성을 가지고 있다. 주기성도 상 대적으로 뚜렷하다. Fig. 10은 적용된 모 웨이블릿에 따른 AOI외 SOI의 웨이블릿 분석결과를 비교한 것이다. 참고로,
(a) Bump (b) Morlet
(c) Paul (d) Mexican Hat
Fig. 8. Wavelet analysis of various mother wavelets for sin (200,10) + sin (100,10) along with noise
(a) Bump (b) Morlet
(c) Paul (d) Mexican Hat
Fig. 9. Wavelet analysis of various mother wavelets for sin (200,10)+sin (100,5) along with white noise
Fig. 10의 그림은 상대적인 비교를 위한 목적이므로 colorbar 에 숫자를 표기하지 않았다. 모든 그림에서 같은 색은 같은 수 준을 나타낸다.
먼저 Bump 모 웨이블릿의 적용 결과를 보면 AOI에서는 유의하지는 않지만 대략 8년과 18년 정도의 주기성이 보인다.
이에 반해 SOI의 경우에는 뚜렷하게 11-12년 정도의 주기성
이 나타난다. 두 결과 모두 각 자료의 특성을 잘 나타내는 것으 로 이해할 수 있다. 그러나 이 결과는 웨이블릿 분석의 목적에 는 잘 부합되지 않는다. 웨이블릿 분석은 이러한 주기성의 비 정상적 변동을 보기 위함이기 때문이다.
두 번째로, Morlet 모 웨이블릿을 적용한 결과를 살펴보면 AOI의 경우에는 15-20년 정도의 주기성이 전체적으로 강하
(a) AOI (Bump) (b) SOI (Bump)
(c) AOI (Morlet) (d) SOI (Morlet)
(e) AOI (Paul) (f) SOI (Paul)
(g) AOI (Mexican Hat) (h) SOI (Mexican Hat)
Fig. 10. Wavelet analysis of various mother wavelets for AOI and SOI
게 나타나며, 특히 1980년 전후로는 아주 강했음을 보여주고 있다. 그러나 최근으로 들어와서는 그 영향력이 감소하여 전 체적으로는 백색잡음과 같은 거동을 보이고 있다는 것을 파악 할 수 있다. 이에 반해 SOI의 경우는 11-12년 정도의 주기가 1980년대 이후 강하게 나타나 그 거동이 상당히 규칙적일 것 을 예상할 수 있다. 25-30년 정도의 주기성도 꾸준히 나타나는 것을 볼 수 있으나 큰 의미를 두기에는 약한 정도로 판단된다.
Paul 모 웨이블릿을 적용한 결과는 앞의 백색잡음이나 사 인곡선의 분석사례와 비교해 보면 의외의 결과이다. 앞의 경 우에서는 Morlet 모 웨이블릿의 결과와 유사했으나 이번 결과 는 오히려 Mexican Hat 모 웨이블릿의 적용결과와 유사하다.
AOI의 경우에 나타나는 특정 시기의 특정 주기(예를 들어, 1990년대의 10년 주기)에도 큰 의미를 부여하기는 어려울 것 으로 판단된다. SOI의 분석결과는 10년 주기와 25-30년 주기 의 경향을 Morlet 모 웨이블릿의 적용 결과와 유사하게 보여 주고 있기는 하나, 상대적으로 강하고 불규칙적이다.
마지막으로, Mexican Hat 모 웨이블릿을 적용한 경우에는 AOI나 SOI의 분석결과가 유사한 것으로 나타난다. 따라서 주 어진 결과를 가지고 AOI와 SOI의 특성을 구분하여 설명하기 는 쉽지 않은 문제가 발생한다.
이상의 결과를 종합해 보면, 먼저, AOI나 SOI의 분석결과 에 나타난 모 웨이블릿의 영향은 앞서 수행한 백색잡음과 사 인곡선의 분석결과와 유사한 것으로 나타난다. 가장 큰 차이 가 있다면 Paul 모 웨이블릿을 이용한 결과의 차이일 것이다.
전체적으로 보면, Bump 모 웨이블릿을 적용하는 경우에는 웨 이블릿 분석의 장점을 파악하기 어렵다는 단점이 있다. Paul 모 웨이블릿이나 Mexican Hat 모 웨이블릿을 적용하는 경우 에는 그 해석이 상대적으로 모호할 수 있다는 단점이 있다. 이 에 반해 Morlet 모 웨이블릿을 적용한 결과는 원 자료의 특성 도 잘 나타나고 또한 웨이블릿 분석의 목적에도 잘 부합한다 는 것을 확인할 수 있다.
이러한 결과는 특히 기존 De Moortel et al. (2004)의 연구와 대비된다. 이들의 연구에서는 Morlet 모 웨이블릿과 Paul 모 웨이블릿의 적용성을 비교하였으며, 전체적으로 Paul 모 웨 이블릿이 Morlet 모 웨이블릿보다 좋은 결과를 주는 것으로 결론하고 있다. 이와 반대로 연구에서는 총 4가지의 모 웨이블 릿에 대한 평가를 진행하였으며, 그 결과 Morlet 모 웨이블릿 이 가장 우수한 결과를 주는 것으로 판단하였다. 이러한 차이 는 사실 두 모 웨이블릿의 특성 차이에서 기인한다. 먼저, Morlet 모 웨이블릿이 주파수의 변화는 잘 찾아내지만 그 변 화 시점을 특정하는 데 약점이 있다. 따라서 웨이블릿 분석 결 과는 시간 축에서 뭉개지는 형태가 된다. 반대로 Paul 모 웨이
블릿의 경우는 주파수의 변화 시점은 잘 찾아내지만 변화한 주파수를 정확히 특정하지 못하는 약점이 있다. 결과적으로 웨이블릿 분석 결과는 주파수 축에서 뭉개지는 결과를 준다.
5. 결 론
본 연구에서는 웨이블릿 분석에 있어 모 웨이블릿의 영향 을 살펴보았다. 본 연구에서 고려한 모 웨이블릿은 웨이블릿 분 석에 가장 많이 사용되고 있는 Morlet, Mexican Hat, Paul, Bump 등이다. 모 웨이블릿의 영향을 파악하기 위한 기초분석으로 백 색잡음과 사인함수에 백색잡음을 더한 시계열에 대한 웨이블릿 분석을 수행하였고, 추가로 북극진동지수(AOI) 및 남방진동지 수(SOI)에 대한 분석을 수행하였다. AOI와 SOI 자료는 각각 단 기기억(short-memory)과 장기기억(long-memory)의 특성을 가지고 있으며, 또한 비정상적인 주기성을 가지고 있어 본 연구 의 목적에 부합한다고 판단하였다. AOI와 SOI 자료는 동일하게 1961년에서 2016년을 분석기간으로 하였다. 본 연구의 주요 결 과를 정리하면 다음과 같다.
먼저, 백색잡음에 대한 웨이블릿 분석결과를 보면, Bump 모 웨이블릿을 이용하는 경우가 가장 정확한 결과를 보이는 것으로 나타난다. Morlet 모 웨이블릿을 적용한 경우나, Paul, Mexican Hat 모 웨이블릿을 적용하는 경우에도 약하기는 하 지만 주기 성분의 발현이 나타난다. 이러한 특성은 물론 자료 가 가지고 있는 특성은 아니나, 이는 오히려 웨이블릿 분석의 특성으로 이해할 수도 있을 것이다.
두 번째로 사인함수에 백색잡음을 더한 시계열에 대한 분 석에서도 Bump 모 웨이블릿을 사용한 경우의 분석결과가 원 자료의 특성을 가장 잘 반영하는 것으로 나타났다. 그러나 Bump 모 웨이블릿이 웨이블릿 분석의 장점, 즉 주요 주기성 분의 비정상적 거동특성을 전혀 보여주지 못한다는 문제도 동시에 확인되었다. 이에 반해 Morlet 또는 Paul 모 웨이블릿 의 경우에는 자료의 특성과 웨이블릿 분석의 장점을 모두 잘 보여주고 있다고 판단할 수 있었다. Mexican Hat 모 웨이블릿 의 경우에는 그 결과를 해석이 까다로워 보다 많은 지식과 경 험이 필요함을 판단할 수 있었다.
마지막으로 AOI와 SOI에 대한 분석에서도 유사한 결론을 유도할 수 있었다. 즉, Bump 모 웨이블릿의 적용 결과는 웨이 블릿 분석의 목적에 잘 부합되지 않는 것으로 확인되었고, Mexican Hat 모 웨이블릿의 적용 결과도 역시 그 결과를 해석 이 매우 까다로움을 확인할 수 있었다. Morlet 모 웨이블릿의 적용 결과는 상당히 무난하여 분석이니 해석에 큰 무리가 없
음을 확인할 수 있었다. 마지막으로 Paul 모 웨이블릿을 적용 한 결과는 앞의 백색잡음이나 사인곡선의 분석사례와는 다르 게 오히려 Mexican Hat 모 웨이블릿의 적용결과와 유사하게 나타났다.
이상과 같은 결과는 웨이블릿 분석에서 Morlet 모 웨이블 릿이 상당히 안정적인 선택임을 확인해 준다. 이런 결과는 또 한 최근의 관련 연구에서 Morlet 모 웨이블릿이 주로 사용되 는 추세와도 일치하는 것이기도 하다. 최근 Dyllon and Xiao (2018)의 영국 런던 교통량자료 분석에서도 Bump, Morlet, Paul, Mexican Hat 모 웨이블릿 중 Morlet 모 웨이블릿이 가장 적절하다고 언급한 바 있다. 그러나 여전히 본 연구의 결과가 제한된 시계열의 분석을 통해 얻어진 것이라는 한계는 기억할 필요가 있다. 특히 웨이블릿 분석의 목적에 선택된 모 웨이블 릿이 최선인지는 반드시 판단해 보아야 한다. 본 연구에서 고 려하지 않은 다른 많은 모 웨이블릿에 대한 평가는 다음 연구 로 넘기기로 한다.
감사의 글
본 연구는 환경부/한국환경산업기술원의 지원으로 수행 되었음(과제번호 83079).
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