Numerical Study of Flow through Turbine Cascades and Heat Transfer on Shroud with/without Tip Clearance

碩士學位論文

말단간극에 따른 터빈 익렬 내부 유동 및 슈라우드에서의 열전달에 대한 수치해석적 연구

Numerical Study of Flow through Turbine Cascades and Heat Transfer on Shroud with/without Tip Clearance

國 民 大 學 校 自 動 車 工 學 專 門 大 學 院 엔진 및 공조 시스템 專攻

楊 昇 容

2 001

말단간극에 따른 터빈 익렬 내부 유동 및 슈라우드에서의 열전달에 대한 수치해석적 연구

지도교수 명 현 국

이 논문을 석사학위 청구논문으로 제출함.

2001년 11월 28일

국민대 학교 자동 차공학 전문대 학원 엔진 및 공조 시스템 전공

양 승 용

2 001

양승용의

석사학위 청구논문을 인준함.

2001년 12월 26일

심사위원장 ꄫ

심 사 위 원 ꄫ

심 사 위 원 ꄫ

국민대 학교 자동 차공학 전문대 학원

목 차

국 문 요 약

···

iv

Nomenclature

···

v

List of figures and tables

···

xi

I. 서론 1.1 연구 배경 및 목적

···

1

1.2 연구 내용

···

3

Figure

···

4

II. 지배 방정식 및 수치해석 방법 2.1 지배 방정식 2.1.1 좌표계 선택

···

5

2.1.2 일반좌표계를 적용한 지배 방정식 2.1.2.1 층류유동에 대한 식

···

7

2.1.2.2 난류유동에 대한 식

···

8

2.2 수치해석 방법 2.2.1 지배 방정식의 이산화 2.2.1.1 연속 방정식

···

11

2.2.1.2 스칼라 방정식

···

11

2.2.1.3 운동량 방정식

···

13

2.2.1.4 이산화 과정

···

15

2.2.1.5 연속 방정식의 이산화 과정

···

17

2.2.1.6 스칼라 방정식의 이산화 과정

···

18

2.2.1.7 운동량 방정식의 이산화 과정

···

22

2.2.1.8 최종적 이산화 방정식의 형태

···

23

2.2.2 격자와 변수 배열 그리고 압력장의 계산 2.2.2.1 격자와 변수 배열

···

26

2.2.2.2 Checkerboard 압력장의 해결

···

29

2.2.2.3 압력장의 계산(SIMPLE)

···

29

2.2.3 경계조건 2.2.3.1 입구 경계조건

···

34

2.2.3.2 출구 경계조건

···

35

2.2.3.3 Cyclic 경계조건

···

35

2.2.3.4 벽 경계조건

···

36

Table

···

40

Figures

···

41

III. 적용 및 결과 분석 3.1 말단간극에 따는 터빈 익렬 내부 유동 3.1.1 말단간극을 포함하지 않는 터빈 익렬 내부 유동 3.1.1.1 해석모델 및 경계조건

···

47

3.1.1.2 결과 및 고찰

···

49

3.1.2 말단간극을 포함하는 터빈 익렬 내부 유동 3.1.2.1 해석모델 및 경계조건

···

54

3.1.2.2 결과 및 고찰

···

54 3.2. 말단간극에 따른 터빈 익렬의 슈라우드에서의 열전달 특성

3.2.1 말단간극을 포함하지 않는 터빈 익렬의 슈라우드에서의 열전달 특성

3.2.1.1 해석모델 및 경계조건

···

61

3.2.1.2 결과 및 고찰

···

62

3.2.2 말단간극을 포함하는 터빈 익렬의 슈라우드에서의 열전달 특성 3.2.2.1 해석모델 및 경계조건

···

63

3.2.2.2 결과 및 고찰

···

63

Table

···

65

Figures

···

66

IV. 결론

···

101

참고문헌

···

103

Abstract

···

105

부록 A. Blade data

···

106

B. 나프탈렌 승화법을 이용한 물질전달과 열전달의 상사

^···

107

C. 저 레이놀즈 수 k- ε 난류 모델

···

110

국문요약

가스터빈 엔진에서 블레이드 통로의 2차유동과 말단간극의 누설유동은 공력 성능의 저하는 물론, 이로 유발되는 복잡한 유동이 일어나는 부분에 서 고온의 연소가스와 접촉하게 되어, 심한 열적 부하를 받게 된다. 따라서 블레이드 통로 및 간극에서 발생하는 유동 특성과 열전달에 대한 이해는 터빈의 최적 설계 및 냉각 방법 등에 관한 중요한 자료가 된다.

본 연구에서는 이러한 터빈 블레이드의 통로와 간극에서 발생하는 유동 특성과 슈라우드에서의 열전달 특성을 고찰하기 위한 방법으로 수치해석 방법을 사용하였다. 여기에는 유한체적법과 SIMPLE(Semi-Implicit Method for Linked Equations) 해법에 기초하고 일반좌표계를 채택하고 있는, 연구실에서 개발중인 MOSA3D 코드를 유동 특성 연구에 사용하였 으며, 또한 MOSA3D의 적합성을 검증하고, 열전달 특성에 대한 연구를 위 하여, 상용 코드인 STAR-CD와도 병행하여 수행하였다.

시뮬레이션 결과, MOSA3D는 블레이드 통로에서 일반적으로 발생하는 선단말굽와류, 통로와류 등의 2차유동을 잘 나타내었으며, STAR-CD의 결 과와도 상당히 유사하였다. 또한 말단간극 주위에서 발생하는 누설와류뿐 만 아니라, 간극 내에서 형성되는 와류도 잘 나타내었다. 다만, 열전달 특 성 연구에서 벽법칙을 사용한 난류모델을 채택하여 얻어진 슈라우드상에서 의 열전달 계수 분포는 신뢰하기 어려운 결과를 나타내었기 때문에, 벽법 칙을 사용하지 않은 저 레이놀즈 수 k - ε 난류 모델을 STAR-CD상에서 적용하여 열전달 특성에 대한 연구를 진행하였다. 이로 얻어진 결과는 벽 법칙을 사용하여도 문제가 없는 유동해석에서 나타났던 와류 형성 영역에 서, 이 와류의 영향으로 열전달 계수 분포가 커지는 현상을 전혀 반영하지 못한다는 것을 제외한다면, 어느 정도 활용할 가치가 있는 결과들이었다.

Nomenclatur e

a

coefficients in the discretised equations

A

coefficient matrix ; area

b axial chord length

b

parts of discretised transformation factors β, defined in Eq. (2.39)

B

coefficients in transformed differential equations, defined in Eq. (2.30)

C chord length

C

coefficients in the turbulence model ; source term in the discretised equations

C

_p constant-pressure specific heat

C

_ps static pressure coefficient

C

_pt total pressure loss coefficient

D

coefficients in the discretised equations, defined in Eq. (2.51)

E

constant in wall functions

f

linear interpolation factors

f

spatially constant base vectors

F

mass fluxes through a cell face

G

rate of production of turbulent kinetic energy

h

convective heat transfer coefficient

H

operator in discretised momentum equations, defined in Eq. (2.73)

I

flux through a cell face ; turbulent intensity

J

Jacobian of coordinate transformation

k

kinetic energy of turbulence ; conductivity

l

characteristic length scale in flow boundary

L

large number ; characteristic length

m

mass fraction, dimensionless

̇

m

naphthalene mass flux per unit area

n

normal direction ; vector component of a unit normal vector

n

a unit normal vector

Nu

Nusselt number

p

pressure

p pitch of cascade

P

pressure

Pr

Prandtl number

q

flux vector

Q

coefficients in pressure terms, defined in Eq. (2.73)

R

radius of curvature ; gas constant for naphthalene ; additional term of RNG k - ε turbulence model, defined in Table 2.1

Re

Reynolds number

s

volumetric source

S

integrated volumetric source

Sc

Schmidt number for naphthalene in air

St

Stanton number

Sh

Sherwood number

t

clearance gap distance

T

stress tensor ; temperature ; wall shear force TCL blade tip clearance

u

Cartesian velocity component

u

velocity vector for Cartesian coordinate system

U

velocity ; covariant velocity component (normal to cell faces)

v

vapor

v

velocity vector

V

volume ; velocity

x

Cartesian coordinates

x, y, z

Cartesian coordinates

Greek letter s

α under-relaxation parameter

β coordinate transformation factors, defined in Eq. (2.3) β1 blade inlet angle

β2 blade outlet angle Γ diffusivity coefficient

δ difference ; Kronecker's delta δτ time duration

δz sublimating depth of naphthalene ; nodal distance, defined from Fig. 3.11 ε rate of dissipation of turbulent kinetic energy

κ Von karman's constant

λ coefficients in Eq. (2.88) and (2.89) μ viscosity

ω differential operator in transformed momentum equations, defined in Eq. (2.33)∼(2.35)

τ anisotropic part of the stress tensor ; shear stress ; time, dimensionless

φ scalar quantity ρ density

σ Prandtl/Schmidt number

θ angle between grid lines ; temperature, dimensionless

ψ angle between coordinate lines of the arbitrary and Cartesian coordinate systems

η arbitrary coordinates

Subscripts

ax

axial

c

general cell face location

C

constant part of the linearized source term

e

free-stream

e,w,n,s,t,b location of cell face

E,W,N,S,T,B location of neighbour node point

eff

effective

i, j, k

coordinate direction ; tensor indices

in

inlet

l, m, n

tensor indices

L

Leakage flow

m

mass transfer ; average ;

neighbour nodes surrounding the central node P

P

location of the central node ;

dependant variable part of the linearized source term

naph

naphthalene

p

pressure side

ref

reference

s

static ; suction side

t

total ; turbulent

w

wall

+ pressure side - suction side

∞ free-stream

∥ parallel

Super scripts

C

convection

D

diffusion

DC

normal-derivative diffusion term

DN

cross-derivative diffusion term

+ normalized quantities in wall functions mean ; linearly interpolated ; time averaging

'

fluctuating component ; correction

* predictor stage

** corrector stage

List of figur es and tables

Fig. 1.1 Vortex patterns described in the literature (a) Vortex pattern described by Langston^[2]

(b) Vortex pattern by Goldstein and Spores^[3]

Fig. 2.1 Control volume in general curvilinear coordinate system Fig. 2.2 Cell surrounding computational node P

Fig. 2.3 Two-dimensional presentation of some basic geometrical quantities Fig. 2.4 Details of labeling scheme at e, n and t cell-faces

Fig. 2.5 Computational molecules for three-dimensional grids

Fig. 2.6 Grid arrangement with nodes in the center of control volumes Fig. 2.7 Geometrical representation of coefficients β

for a simple two-dimensional case Fig. 2.8 Outlet boundary

Fig. 2.9 Cyclic boundary Fig. 2.10 Wall boundary

Fig. 3.1 Turbine blade arrangement

Fig. 3.2 Schematic diagram of boundary condition Fig. 3.3 119×34 H-grid system for x-y plane

Fig. 3.4 (a) Flow field in the 0.6% span for cascades without TCL (vel., streamlines, static pressure coeff. ; MOSA3D) (b) Flow field in the 13% span for cascades without TCL (c) Flow field in the 50% span for cascades without TCL Fig. 3.5 Flow field in the 0.6% span for cascades without TCL

(vel., streamlines, static pressure coeff. ; STAR-CD) Fig. 3.6 Static pressure coefficient distributions on blade surfaces

from MOSA3D code

Fig. 3.7 Definition of secondary velocity vector

Fig. 3.8 Total pressure loss coefficient distributions and

secondary flow velocity vectors along the axial direction for cascades without tip clearance from MOSA3D ; (a) x= 0.07 Cax and (b) x= 0.4 Cax

(c) x= 0.57 Cax and (d) x= 0.89 Cax

(e) x= 0.97 Cax and (f) x= 1.1 Cax

Fig. 3.9 Total pressure loss coefficient distributions and

secondary flow velocity vectors along the axial direction for cascades without tip clearance from STAR-CD ; (a) x= 0.97 Cax and (b) x= 1.1 Cax

Fig. 3.10 Particle trace through the passage for cascades without tip clearance (STAR-CD)

Fig. 3.11 (a) Flow field in the 97% span for 1.41% tip clearance (vel., streamlines, static pressure coeff. ; MOSA3D) (b) Flow field in the 98.3% span for 1.41% tip clearance (c) Flow field in the 98.9% span for 1.41% tip clearance (d) Flow field in the 99.4% span for 1.41% tip clearance (e) Flow field in the 99.9% span for 1.41% tip clearance Fig. 3.12 Flow field in the 98.9% span for 1.41% tip clearance

(vel., streamlines, static pressure coeff. ; STAR-CD) Fig. 3.13 Velocity vectors and static pressure coefficient distribution

zoomed in Fig. 3.11 (d)

Fig. 3.14 Static pressure coefficient distributions on blade surfaces for 1.41% tip clearance from MOSA3D code

Fig. 3.15 Secondary flow velocity vectors and total pressure loss coefficient distributions along the axial distribution for 1.41% tip clearance

from MOSA3D ; (a) x= 0.07Cax

(b) x= 0.4Cax

(c) x= 0.57Cax

(d) x= 0.89Cax

(e) x= 0.97Cax

Fig. 3.16 Secondary flow velocity vectors and total pressure loss coefficient distributions along the axial distribution for 1.41% tip clearance from STAR-CD ; x= 0.97Cax

Fig. 3.17 (a) Flow field in the 95.9% span for 2.85% tip clearance (vel., streamlines, static pressure coeff. ; MOSA3D) (b) Flow field in the 97.1% span for 2.85% tip clearance (c) Flow field in the 97.8% span for 2.85% tip clearance (d) Flow field in the 99.0% span for 2.85% tip clearance (e) Flow field in the 99.9% span for 2.85% tip clearance Fig. 3.18 Flow field in the 97.8% span for 2.85% tip clearance

(vel., streamlines, static pressure coeff. ; STAR-CD) Fig. 3.19 Static pressure coefficient distributions on blade surfaces

for 2.85% tip clearance from MOSA3D code

Fig. 3.20 Secondary flow velocity vectors and total pressure loss coefficient distributions along the axial distribution for 2.85% tip clearance from MOSA3D ;

(a) x= 0.07Cax

(b) x= 0.4Cax

(c) x= 0.57Cax

(d) x= 0.89Cax

(e) x= 1.1Cax

Fig. 3.21 Secondary flow velocity vectors and total pressure loss coefficient distributions along the axial distribution for 2.851% tip clearance from STAR-CD ; x= 1.1Cax

Fig. 3.22 Particle traces through the tip clearance (STAR-CD)

Fig. 3.23 Pattern for secondary and leakage flow through turbine cascades Fig. 3.24 Schematic diagram about heat transfer between freestream and shroud Fig. 3.25 Measured sherwood number distribution on shroud

for cascades without tip clearance (Rhee et al.^[1]) Fig. 3.26 Predicted Stanton number distribution on shroud

for cascades without tip clearance Fig. 3.27 Streamlines on near-wall cell of shroud.

From left to right : t=0% ; t=1.41% ; t=2.85%

Fig. 3.28 Static pressure coeff. distributions on near-wall cell of shroud.

From left to right : t=0% ; t=1.41% ; t=2.85%

Fig. 3.29 (a) Measured Sherwood number distribution on shroud for 1.41% tip clearance (Rhee et al.^[1])

(b) Measured Sherwood number distribution on shroud for 2.85% tip clearance (Rhee et al.^[1])

Fig. 3.30 (a) Predicted Stanton number distribution on shroud for 1.41% tip clearance

(b) Predicted Stanton number distribution on shroud for 2.85% tip clearance

Table 2.1 Values assigned to standard k - ε turbulence model coefficients Table 3.1 Cascade geometry data

Table A.1 Turbine blade geometry

Table C.1 Values assigned to low Reynolds number k - ε turbulence model coefficients

I. 서 론

1.1 연구 배경 및 목적

최근 국내에서 항공용, 발전용 및 산업용 가스터빈의 사용이 급증하면 서 이에 대한 연구의 필요성에 따라 많은 가스터빈 분야에서 연구가 진행 되고 있으며, 산업체에서도 항공용 가스터빈엔진의 면허 생산 및 소형산업 용 가스터빈 엔진(1.2kW)의 자체 개발과 더불어 국내 복합화력발전소 설 립의 수요급증에 따라 대형 발전용 가스터빈의 개발 및 생산을 계획하고 있다. 이를 위하여 터빈 블레이드(blade)의 최적 설계, 효율 및 내구성 향 상에 필수적인 터빈 익렬 내의 복잡한 유동 현상과 블레이드 말단(tip) 및 슈라우드(shroud)에서의 유동 및 열전달 특성은 중요한 문제이다. 설계의 유용한 자료로 이용될 수 있는, 유동 특성에 대한 연구는 과거부터 꾸준히 수행되어온 것이 사실이나, 열전달 특성은 측정상의 어려움 등으로 최근에 와서야 활발히 진행되고 있는 실정이다.

한편, 전산 유체 역학 분야에서 지난 30년간 격자 생성 방법, 난류 모델 링, 적절한 경계조건의 적용, 전후 데이터 처리 과정, 컴퓨터의 발전에 따 른 수치해석 방법의 개선 등 많은 발전이 이루어졌다. 수치해석을 이용한 계산 방법들은 유체 기계의 성능 예측, 분석 및 설계를 위한 효율적인 방 법을 제공할 뿐만 아니라, 개발 기간을 줄이는데 기여한다. 따라서 실험과 함께, CFD(computational fluid dynamics)는 공학자에게 복잡한 3차원의 유동 현상을 분석하여, 최적의 설계 자료를 제공할 수 있다. 실제 회전하는 압축기나 터빈에서는 상세한 측정이 어렵기 때문에 CFD로써 유용한 자료 를 얻는 것은 매우 중요하다.

Figure 1.1은 터빈으로 유입되는 주유동(primary flow)이, 두 블레이드 사이를 통과하면서 일으키는 복잡한 유동 현상을 잘 표현하고 있다. 입구 에서 유입되는 끝벽 경계층유동(endwall boundary layer flow)이 두 블레 이드로부터 형성된 유동 경로를 통과하면서 발생하는 2차유동(secondary

flow)과 블레이드 말단과 슈라우드 사이의 유한한 틈새를 통한, 압력면 (pressure side)과 흡입면(suction side) 사이의 압력차로 발생하는 누설유 동(leakage flow)에 의한 유동손실은 전체 유동손실의 대부분을 차지한다.

2차유동은 여러 복합적 작용에 의해 발생하나 주요한 원인은 다음과 같 다. 터빈으로 유입된 주유동은, 블레이드 형상에 의한 방향 전환(즉, 곡률로 유발된 회전)으로 구심력을 발생시키며, 점성 효과를 무시하고 곡률 반경 방향의 속도 변화가 없으며 비압축성 유동을 가정하면, 끝벽으로부터의 거 리에 관계없이 스팬(span) 방향으로 형성되는 유선들에서 곡률 반경 방향의 압력구배와 단위체적 당 구심력이 균형을 이루게 된다(

∂P / ∂n= ρU

²

/R

).

끝벽 경계층 내의 속도 차는 벽으로부터의 거리에 따라 단위 체적 당 구심 력의 변화를 유발하나, 압력구배는 이와는 관계없이 일정하여 경계층 내에 서, 앞에서 언급된 균형은 깨어진다. 따라서 역학적 균형을 유지하기 위해, 경계층 내에서 유선을 형성하는 곡률이 끝벽면으로 갈수록 작아지는 현상 이 나타나며, 이로 인해 주유동이 흡입면 쪽으로 이탈되는 cross-flow 현 상이 발생하게 된다.

2차유동을 종류별로 간략히 분류하면, 첫째 입구 경계층유동이 박리선 을 따라 블레이드 선단(leading edge)에서 분리된 뒤, 다시 다른 블레이드 쪽(suction side)으로 하강하면서 rolling-up 현상을 유발하여 나타나는 선 단말굽와류(leading edge horseshoe vortex)로, 이는 다시 선단말굽와류의 압력면 다리(pressure side leg of horseshoe vortex)와 흡입면 다리 (suction side leg of horseshoe vortex)로 구분되며 전자는 끝벽 근처의 저 운동량 영역을 통과하면서 통로와류로 강화되며, 후자는 블레이드 선단과 끝벽의 접합부를 따라 이동하여 끝벽 박리선을 만나 상승하게 되며, 통로 와류의 크기와 위치에 따라 그 크기와 위치가 영향을 받는다. 둘째, 위에서 언급한 2차유동의 주요한 원인으로 발생하게 되는 통로와류(passage vortex)를 들 수 있으며, 이는 압력면에서 흡입면으로 향하여 중간 스팬 (mid-span)쪽으로 상승하는 패턴을 보인다. 셋째, 블레이드 압력면과 흡입

면 근처에서 끝벽으로 향하는 강한 하향유동(downwash flow)이 끝벽과 평행하게 방향 전환을 하다가, 압력면과 흡입면 끝벽이 만나는 모서리에서 각각 발생하는 압력면 모서리와류(pressure-side corner vortex)와 흡입면 모서리와류(suction-side corner vortex)를 들 수 있으며, 이 모서리와류들 은 통로와류가 끝벽으로부터 분리되는 영역에서 발생한다. 결과적으로 터 빈 익렬 내의 유동은 여러 와류들에 의한 2차유동과 하류에서의 이 와류들 의 혼합, 블레이드 말단간극으로 인한 누설유동으로 발생하는 3차원 점성 유동 현상을 나타낸다. 이러한 와류들은 유동손실로 인한 공력 손실 및 국 부적인 열전달 계수를 크게 변화시켜, 블레이드 내구성에 좋지 않은 영향 을 미치게 된다. 따라서 수치해석을 통한 유동 및 열전달 특성에 대한 예 측은 실험 및 설계 단계에서 많은 자료를 제시하게 될 것이다.

1.2 연구내용

본 연구에서는 터빈의 말단 각극을 포함하지 않은 경우와 포함한 경우 각각에 대해 내부 유동 및 슈라우드에서의 열전달 특성을 수치해석 하였 다. 이를 위하여 연구실에서 개발중인 MOSA3D 코드와 상용코드인 STAR-CD를 이용하였으며, MOSA3D의 적합성을 검증, 특히 최근 Cyclic 경계조건과 심하게 굽은 곡관에 대한 유동장 계산시 수렴성 확보를 위하여 개발된 알고리듬에 대한 검증을 병행하였다. 세부적으로 MOSA3D에서 채 택하고 있는 지배 방정식과 일반좌표계를 적용한 이산화과정, 격자계 및 압력항 처리방법, 경계조건 등을 II장에서 소개하고, III장에서 Rhee 등^[1]에 의해 측정된 열전달 특성에 관한 연구를 토대로, 이들이 수행하지 못한 유 동장 해석을 수치해석 하였다. 또한 열전달 특성에 관하여서는 측정된 결 과와 예측 결과에 대한 비교를 수행하였다.

(a) Vortex pattern described by Langston^[2]

(b) Vortex Pattern described by Goldstein and Spores^[3]

Fig. 1.1 Vortex patter ns descr ibed in the liter atur e

II. 지배 방정식 및 수치해석 방법

본 연구는 연구실에서 개발되고 있는 MOSA3D와 STAR-CD를 함께 사용하였다. 상용 코드인 STAR-CD는 내부의 프로그램 알고리듬을 알 수 없으며, 제한적으로 매뉴얼을 통하여 이를 짐작할 수 있을 뿐이다. 그러나 MOSA3D는 STAR-CD와의 비교를 위하여 격자와 결과 파일을 공유할 수 있도록 개발되고, 꾸준히 결과를 비교하며 테스트되어, 상당히 일치하는 결 과들을 보여 왔다. 따라서, MOSA3D가 채택하고 있는 지배 방정식의 구조 와 계산상의 기법들은 상당 부분 일치하는 것으로 판단되며, 그들에 대한 이해를 통해 STAR-CD의 내부 구조 이해에도 접근할 수 있을 것으로 생 각한다. 이를 위하여 MOSA3D의 개발을 위하여 도입한, 일반좌표계로의 좌표변환에 대한 개념, 그에 따른 지배방정식 그리고 Peric^[4]에 의한 이산 화 기법 등을 살펴보기로 한다.

2.1 지배 방정식

2.1.1 좌표계 선택

직교좌표계를 적용하여 일반적 유동의 해를 얻는 것은 상당히 제한적 형상에만 국한되며 대부분의 유동 현상들의 경계는 곡선은 물론, 3차원 곡 면으로 구성되는 것이 보통이다. 따라서 형상을 구성하는 선이 일정한 좌 표계 η_j(이하 일반좌표계)를 구성하는 선(좌표축)을 따라가는 구조화된 격 자계와 결합하여 사용된다면, 직교좌표계의 단점을 극복할 수 있어, 복잡한 경계면을 갖는 유동 현상도 수치해석이 가능하게 되며, MOSA3D 또한 이 러한 좌표계를 도입하고 있다.

일반좌표계는 변환 x_i= x_i( η_j)에 의해 정의되며, 여기서 i 및 j=1, 2, 3이며, Jacobian J는 다음과 같이 정의된다.

J = det (

^∂x∂ηij

)

⁼

︳

︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳

︳

︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳

∂x₁

∂η₁

∂x₁

∂η₂

∂x₁

∂η₃

∂x₂

∂η₁

∂x₂

∂η₂

∂x₂

∂η₃

∂x₃

∂η₁

∂x₃

∂η₂

∂x₃

∂η₃

( 2.1)

이러한 좌표 변환을 적용하기 위해, Cartesian 좌표계에 대한 도함수를 일 반좌표계로 변환할 필요가 있다.

∂φ

∂x_i = ∂φ

∂η_j

∂η_j

∂x_i = ∂φ

∂η_j β_ij

J

( 2.2)

여기서, β_ij는 좌표변환

x

_i= x_i( η_j)의 Jacobian에서 ∂x_i/∂η_j의 여인자 (cofactor)를 나타내며, 다음과 같이 정의된다.

β11 =

(

^{∂x∂η22 ∂η∂x33- ∂x∂η23 ∂x∂η32}

)

β₂₁ =-

(

^{∂x∂η12 ∂η∂x33- ∂x∂η13 ∂x∂η32}

)

β₃₁ =

(

^{∂x∂η12 ∂η∂x32- ∂x∂η13 ∂x∂η22}

)

β₁₂ =-

(

^{∂x∂η21 ∂η∂x33 - ∂x∂η31 ∂x∂η23}

)

β₂₂ =

(

^{∂x∂η11 ∂η∂x33 - ∂x∂η31 ∂x∂η13}

)

^{( 2.3)}

β₃₂ =-

(

^{∂x∂η11 ∂η∂x32 - ∂x∂η21 ∂x∂η13}

)

β₁₃ =

(

^{∂x∂η21 ∂η∂x23- ∂x∂η31 ∂x∂η22}

)

β₂₃ =-

(

^{∂x∂η11 ∂η∂x23- ∂x∂η31 ∂x∂η12}

)

β₃₃ =

(

^{∂x∂η11 ∂η∂x22- ∂x∂η21 ∂x∂η12}

)

Figure 2.1은 일반좌표계 ( η₁,η₂,η₃)에서의 미소 검사체적을 나타내며, 기하학적 의미를 간단한 예를 통하여 생각해 보자.

Cartesian 좌표계에서 속도 벡터가

u = ( u

₁, u₂, u₃)으로 주어졌을 때, η₁ 이 일정한 면을 통과하는 미소유량은 다음 식으로 표현된다.

ρ u ⋅ n dA = ( u₁, u₂, u₃)⋅( b₁₁, b₂₁, b₃₁)

= ρ( u₁

b

₁₁+ u₂

b

₂₁+ u₃

b

₃₁) ( 2.4)

여기서 b₁₁, b₂₁, b₃₁은 각각 η₁이 일정한 면이 x_i( i = 1, 2, 3)에 수직한 평면으로 투영된 미소면적을 의미하며,

b

₁₁= β₁₁δη₂δη₃, b₂₁= β₂₁δη₂δη₃,

b

₃₁= β₃₁δη₂δη₃ 으로 정의된다.

2.1.2 일반좌표계를 적용한 지배 방정식

2.1.2.1 층류유동에 대한 식

정상상태, 비압축성, 아음속 유동을 가정하면 일반좌표계에서 질량, 운 동량, 스칼라 양의 수송을 표현하는 미분 방정식은 다음과 같이 간략히 나 타낼 수 있으며,

1

J

∂

∂η_j ( ρ u_mβ_mj) = s^m ( 2.5) 1

J

∂

∂η_j [ ( ρu_m

u

_i- T_mi)β_mj] = s^u_i ( 2.6) 1

J

∂

∂η_j [ ( ρu_mφ - q_m)β_mj] = s^φ ( 2.7)

응력 텐서와 플럭스 벡터는 다음과 같이 정의된다.

T

_mi =- pδ_mi+ τ_mi=- pδ_mi+ μ

J (

^{∂u∂ηni βmn+ ∂u∂ηml βil}

)

^{( 2.8)}

q

m = Γ_φ

J

∂φ

∂η_n βmn ( 2.9)

여기서 δ_mi는 kronecker의 delta이며, τ_mi는 응력 텐서의 비등방성을 나타 내는 부분이다.

2.1.2.2 난류유동에 대한 식

시간 평균 개념을 도입하여, 식 (2.5)∼(2.7)의 종속 변수 ( φ)를 시간평 균량 ( φ)과 변동량 ( φ ')의 합으로 치환하여 시간 평균을 취하면 다음과 같이 나타내어진다.

1

J

∂

∂η_j ( ρ u_mβ_mj) = s^m ( 2.10) 1

J

∂

∂η_j

[ {

^{ρ um}

^u

^{i- ( Tmi- ρ u'm}

^{u '}

ⁱ⁾

}

^βmj

]

^{= sui ( 2.11)}

1

J

∂

∂η_j

[ {

^{ρ um φ - ( qm- ρ u 'm φ')}

}

^βmj

]

^{= sφ ( 2.12)}

변동량의 섭동으로 인하여 유동을 방해하는 의미의 레이놀즈 응력 - ρ u '_m

u '

_i 및 스칼라의 섭동으로 인한 확산 ρ u'_m φ ' 등의 부가 항이 시간 평균 방정식에 더해진다. 이 항을 결정하기 위해 미분 방정식을 세우 게 되면 고차의 난류 상관관계 항들이 생성되기 때문에 방정식의 수보다 미지수의 수가 많아져 닫힘문제(closure problem)가 발생한다. 이들 방정식 들을 닫기 위해 생성된 추가적 항들을 평균량들에 관계시키거나 추가적 식 들을 가정하는 것은 필수적이며, 이러한 이유로 다양한 난류 모델들이 존 재한다.

가장 널리 사용되고 있는 k- ε 난류 모델은 Bousinesq(1877)의 와점성 개념에 기초를 두고 있으며, 레이놀즈 응력과 난류 스칼라 플럭스를 다음 과 같이 표현한다.

- ρ u '_m

u '

_i = μ_t

J (

^{∂ u∂ηni βmn+ ∂ u∂ηlm βil}

)

^{- 23}

^kδ

^{mi= τtmi- pkδmi ( 2.13)}

- ρ u '_mφ ' = Γ^t_φ

J

∂ φ

∂η_n β_mn ( 2.14)

여기서 난류 점성 μ_t와 난류 열확산계수 Γ^t_φ는 다음과 같이 정의되며,

μ_t = C_μρ

k

²

ε ( 2.15)

Γ^t_φ = μt

σ^t_φ ( 2.16)

난류 수직 응력 성분 ²

3

kδ

_ij 는 압력과 결합된다. 여기서 k는 난류 운동 에너지를 의미하며 ε은 난류 에너지의 소산율을 의미한다. 이들은 다음과 같이 정의된다.

k =

1

2

u'

_i

u '

_i ( 2.17)

ε =μ ρ

1

J

²

(

^{∂ u'∂ηni βjn}

)

^⋅

(

^{∂ u '∂ηni βjn}

)

^{( 2.18)}

C

_μ와 σ^t_φ는 실험적 상수이며, 잘 정립된 난류유동의 상세한 측정값과 관 련되어 유도된다(Launder & Spalding^[5]).

난류 점성 μ_t의 정의 식 (2.15)에 나타난 k와 ε의 값은 경험과 가정으 로 운동량 방정식으로부터 유도된다(Hanjalic, 1970). 스칼라 방정식 (2.7)에 서 φ를

k와 ε으로, Γ

_φ에 대해 μ_t

σ_k 와 μ_t

σ_ε 으로 치환하였을 때,

k와 ε

에 대한 방정식의 좌변과 같다. 개별 생성항은 다음 형식을 취한다.

S

^k = G - ρε ( 2.19)

S

^ε = ε

k

( C₁

G + C

₃

G

_B) - C₂ρε²

k

- ρR ( 2.20)

여기서

C

₁, C₂, C₃는 실험적 계수이며,

G

_B는 부력에 의한 생성항으로, 부력을 고려하지 않을 경우 C₃는 0이다(Table 2.1). G는 난류 운동에너지 의 생성율이며, 다음과 같이 정의된다.

G = τ

^t_ij ∂ ui

∂x_j = μt

J

²

(

^{∂ u∂ηni βjn+ ∂ u∂ηmj βjm}

)(

^{∂ u∂ηnj βjn}

)

^{( 2.21)}

운동량과 스칼라 방정식 (2.11), (2.12)에 식 (2.13), (2.14)를 도입하면, 이 두 식은 μ와 Γ_φ가 다음과 같이 대체되어, 식 (2.6), (2.7)과 같이 간략 히 표현된다.

μ_eff = μ+ μ_t ( 2.22)

Γ_{φ, eff} = Γ_φ+ Γ^t_φ ( 2.23)

이는 층류와 난류 유동의 식이 같은 형태를 갖게되는 것으로, k- ε 난류 모델의 상당한 장점의 하나이며, 확산계수 Γ_φ만이 다르게 계산된다. 따라 서, 층류와 난류 유동에 대해, 식 (2.5)∼(2.7)이 질량, 운동량, 스칼라 양의 수송을 표현하는데 사용될 수 있다.

2.2 수치해석 방법

2.2.1 지배 방정식의 이산화

2.2.1.1 연속 방정식

연속방정식 (2.5)는 확장되었을 경우, 다음과 같이 나타낸다.

∂U₁

∂η₁ + ∂U₂

∂η₂ + ∂U₃

∂η₃ = s^m

J

( 2.24)

여기서 U_i는 다음과 같이 정의된다.

U

₁ = ρ( u₁β₁₁+ u₂β₂₁+ u₃β₃₁)

U

₂ = ρ( u₁β₁₂+ u₂β₂₂+ u₃β₃₂) ( 2.25)

U

₃ = ρ( u₁β₁₃+ u₂β₂₃+ u₃β₃₃)

U

_i에 대한 식 (2.25)의 우변에서 괄호 안의 표현은 η_j가 일정한 평면에 수직인 속도 성분에 관계된다.

2.2.1.2 스칼라 방정식

플럭스 벡터 q_m(식 (2.9))은 다음과 같이 확장될 수 있다.

q

₁ = 1

J

Γ_φ

[

^{∂η∂φ1 β11+ ∂η∂φ2 β12+ ∂η∂φ3 β13}

]

q

₂ = 1

J

Γ_φ

[

^{∂η∂φ1 β21+ ∂η∂φ2 β22+ ∂η∂φ3 β23}

]

^{( 2.26)}

q

₂ = 1

J

Γ_φ

[

^{∂η∂φ1 β31+ ∂η∂φ2 β32+ ∂η∂φ3 β33}

]

위 식을, 식 (2.25)을 참조하고 식 (2.7)에 대입하여, 다음 식을 얻는다.

∂

∂η_j

( ^U

^jφ-Γ

^J

^{φ ∂η∂φm}

^B

^mj

)

^{= Jsφ ( 2.27)}

확장된 표현으로,

∂

∂η₁

[ ^U

^{1φ -Γ}

^J

^φ

(

^∂η∂φ1

^B

^{11+ ∂η∂φ2}

^B

^{21+ ∂η∂φ3}

^B

³¹

) ]

⁺

∂

∂η₂

[ ^U

^{2φ -Γ}

^J

^φ

(

^∂η∂φ1

^B

^{12+ ∂η∂φ2}

^B

^{22+ ∂η∂φ3}

^B

³²

) ]

⁺

∂

∂η₃

[ ^U

^{3φ -Γ}

^J

^φ

(

^∂η∂φ1

^B

^{13+ ∂η∂φ2}

^B

^{23+ ∂η∂φ3}

^B

³³

) ]

^{= Jsφ ( 2.28)}

B는 β의 연속된 곱으로 표현되며,

B

_ji= β_kjβ_ki ( 2.29)

확장된 표현은 다음과 같다.

B

₁₁ = β₁₁β₁₁+ β₂₁β₂₁+ β₃₁β₃₁

B

₂₁ = B₁₂ = β₁₂β₁₁+ β₂₂β₂₁+ β₃₂β₃₁

B

₃₁ = B₁₃ = β₁₃β₁₁+ β₂₃β₂₁+ β₃₃β₃₁ ( 2.30)

B

₂₂ = β₁₂β₁₂+ β₂₂β₂₂+ β₃₂β₃₂

B

₃₂ = B₂₃ = β₁₃β₁₂+ β₂₃β₂₂+ β₃₃β₃₂

B

₃₃ = β₁₃β₁₃+ β₂₃β₂₃+ β₃₃β₃₃

2.2.1.3 운동량 방정식

응력 텐서(식 (2.8))는 다음과 같이 확장 될 수 있다.

T

₁₁

=-p+ 2μ

J ( ^{∂u ∂η}

¹¹

^β

¹¹

^{+ ∂u ∂η}

²¹

^β

¹²

^{+ ∂u ∂η}

³¹

^β

¹³

)

T

₁₂

= T

₂₁

= μ

J [( ^{∂u ∂η}

¹¹

^β

²¹

^{+ ∂u ∂η}

²¹

^β

²²

^{+ ∂u ∂η}

³¹

^β

²³

) ⁺ ( ^{∂η ∂u}

¹²

^β

¹¹

^{+ ∂η ∂u}

²²

^β

¹²

^{+ ∂u ∂η}

³²

^β

¹³

)]

T

₁₃

= T

₃₁

= μ

J [( ^{∂u ∂η}

¹¹

^β

³¹

^{+ ∂u ∂η}

²¹

^β

³²

^{+ ∂u ∂η}

³¹

^β

³³

) ⁺ ( ^{∂η ∂u}

¹³

^β

¹¹

^{+ ∂η ∂u}

²³

^β

¹²

^{+ ∂u ∂η}

³³

^β

¹³

)]

T

₂₂

=-p+ 2μ

J ( ^{∂u ∂η}

¹²

^β

²¹

^{+ ∂u ∂η}

²²

^β

²²

^{+ ∂u ∂η}

³²

^β

²³

)

T

₂₃

= T

₃₂

= μ

J [( ^{∂u ∂η}

¹²

^β

³¹

^{+ ∂u ∂η}

²²

^β

³²

^{+ ∂u ∂η}

³²

^β

³³

) ⁺ ( ^{∂η ∂u}

¹³

^β

²¹

^{+ ∂η ∂u}

²³

^β

²²

^{+ ∂u ∂η}

³³

^β

²³

)]

T

₃₃

=-p+ 2μ

J ( ^{∂u ∂η}

¹³

^β

³¹

^{+ ∂u ∂η}

²³

^β

³²

^{+ ∂u ∂η}

³³

^β

³³

)

^{( 2.31)}

이상의 식들을 참조하여, 운동량 방정식 (2.6)의 간결한 형태는 다음과 같 이 쓸 수 있다.

∂

∂η_j

[ ^U

^j

^u

^{i- μ}

^J (

^∂η∂umi

^B

^{mj+ ∂η∂umk βimβkj}

)

^{+ pβij}

]

^{= Jsui ( 2.32)}

확장된 형태의 3개의 방정식은, Cartesian 속도 성분 u₁, u₂, u₃에 대해,

ω

_jk

= ∂u

_k

∂η

_m

β

_jm으로 두고 전개하면,

u

₁ - 성분 :

∂

∂η

₁

[

^U1u1

^{- μ}

^J

( ^{∂u ∂η}

^{11 B11}

^{+ ∂u ∂η}

^{21 B21}

^{+ ∂u ∂η}

^{31 B31}

^{+ β}

¹¹

^ω

¹¹

^{+ β}

²¹

^ω

¹²

^{+ β}

³¹

^ω

¹³

) ^{+ pβ}

¹¹

] ⁺

∂

∂η

2

[

^U2u1

^{- μ}

^J

( ^{∂u ∂η}

^{11 B12}

^{+ ∂u ∂η}

^{12 B22}

^{+ ∂u ∂η}

^{31 B32}

^{+ β}

¹²

^ω

¹¹

^{+ β}

²²

^ω

¹²

^{+ β}

³²

^ω

¹³

) ^{+ pβ}

¹²

] ⁺

∂

∂η

₃

[

^U3u1

^{- μ}

^J

( ^{∂u ∂η}

^11B13

^{+ ∂u ∂η}

^21B23

^{+ ∂η ∂u}

^31B33

^{+ β}

¹³

^ω

¹¹

^{+ β}

²³

^ω

¹²

^{+ β}

³³

^ω

¹³

) ^{+ pβ}

¹³

] ^{= JS}

^u1

ω

₁₁

= ∂ u

₁

∂ η

1

β

₁₁

+ ∂ u

₁

∂ η

2

β

₁₂

+ ∂ u

₁

∂ η

3

β

₁₃

ω

12

= ∂ u

₂

∂ η

₁

β

11

+ ∂ u

₂

∂ η

₂

β

12

+ ∂ u

₂

∂ η

₃

β

13

ω

₃₁

= ∂ u

₃

∂ η

₁

β

₁₁

+ ∂ u

₃

∂ η

₂

β

₁₂

+ ∂ u

₃

∂ η

₃

β

₁₃ ( 2.33)

u

₂ - 성분 :

∂

∂η

₁

[

^U1u2

^{- μ}

^J

( ^{∂u ∂η}

^{12 B11}

^{+ ∂u ∂η}

^{22 B21}

^{+ ∂u ∂η}

^{32 B31}

^{+ β}

¹¹

^ω

²¹

^{+ β}

²¹

^ω

²²

^{+ β}

³¹

^ω

²¹³

) ^{+ pβ}

²¹

] ⁺

∂

∂η

₂

[

^U2u2

^{- μ}

^J

( ^{∂u ∂η}

^{21 B12}

^{+ ∂u ∂η}

^{22 B22}

^{+ ∂u ∂η}

^{32 B32}

^{+ β}

¹²

^ω

²¹

^{+ β}

²²

^ω

²²

^{+ β}

³²

^ω

²³

) ^{+ pβ}

²²

] ⁺

∂

∂η

₃

[

^U3u2

^{- μ}

^J

( ^{∂u ∂η}

^12B13

^{+ ∂u ∂η}

^{22 B23}

^{+ ∂η ∂u}

^32B33

^{+ β}

¹³

^ω

¹²

^{+ β}

²³

^ω

²²

^{+ β}

³³

^ω

²³

) ^{+ pβ}

²³

] ^{= JS}

^u2

ω

21

= ∂ u

1

∂ η

₁

β

21

+ ∂ u

1

∂ η

₂

β

22

+ ∂ u

1

∂ η

₃

β

23

ω

₂₂

= ∂ u

₂

∂ η

1

β

₂₁

+ ∂ u

₂

∂ η

2

β

₂₂

+ ∂ u

₂

∂ η

3

β

₂₃

ω

₂₃

= ∂ u

₃

∂ η

1

β

₂₁

+ ∂ u

₃

∂ η

2

β

₂₂

+ ∂ u

₃

∂ η

3

β

₂₃ ( 2.34)

u

₃ - 성분 :

∂

∂η

₁

[

^U1u3

^{- μ}

^J

( ^{∂u ∂η}

^{13 B11}

^{+ ∂u ∂η}

^{32 B21}

^{+ ∂u ∂η}

^{33 B31}

^{+ β}

¹¹

^ω

³¹

^{+ β}

²¹

^ω

³²

^{+ β}

³¹

^ω

³³

) ^{+ pβ}

³¹

] ⁺

∂

∂η

₂

[

^U2u3

^{- μ}

^J

( ^{∂u ∂η}

^{13 B12}

^{+ ∂u ∂η}

^{32 B22}

^{+ ∂u ∂η}

^{33 B32}

^{+ β}

¹²

^ω

¹³

^{+ β}

²²

^ω

³²

^{+ β}

³²

^ω

³³

) ^{+ pβ}

³²

] ⁺

∂

∂η

₃

[

^U3u3

^{- μ}

^J

( ^{∂u ∂η}

^{13 B13}

^{+ ∂u ∂η}

^{23 B23}

^{+ ∂u ∂η}

^33B33

^{+ β}

¹³

^ω

³¹

^{+ β}

²³

^ω

³²

^{+ β}

³³

^ω

³³

) ^{+ pβ}

³³

] ^{= JS}

^u3

ω

₃₁

= ∂ u

₁

∂ η

₁

β

₃₁

+ ∂ u

₁

∂ η

₂

β

₃₂

+ ∂ u

₁

∂ η

₃

β

₃₃

ω

₃₂

= ∂ u

2

∂ η

₁

β

₃₁

+ ∂ u

2

∂ η

₂

β

₃₂

+ ∂ u

2

∂ η

₃

β

₃₃

ω

33

= ∂ u

3

∂ η

₁

β

31

+ ∂ u

3

∂ η

₂

β

32

+ ∂ u

3

∂ η

₃

β

33 ( 2.35)

2.2.1.4 이산화 과정

질량, 운동량, 스칼라 양에 대한 미분 방정식들을 앞에서 이산화가 적합 한, 확장된 형태로 나타내었다. 여기에서 채택된 유한 체적적 접근에서, 방 정식들은 유한한 수의 제어체적(이하 "cell"로 언급)으로 적분되어진다.

Gauss의 이론¹⁾을 사용해, 체적 적분 항은 계산 cell(Fig. 2.2)의 여섯 면에 관한 면 적분으로 전환될 수 있다.

I = ⌠

⌡

V

div f dV = ⌠ ⌡

Ae

fe dA - ⌠

⌡

Aw

fw dA + ⌠

⌡

An

fn dA - ⌠

⌡

As

fs dA + ⌠

⌡

At

ft dA - ⌠

⌡

Ab

fb dA

( 2.36) 예로, f_e는 cell의 경계면 e에 수직한 f의 성분이며, A_e는 그 cell 경계면 의 면적이다. 식 (2.36)에 이어, cell의 중심(이하 "node"로 언급) P를 둘러 싼 제어체적 δV_P에 관해 적분된, 수송 방정식 (2.24), (2.28), (2.33), (2.34), (2.35)는 다음과 같은 일반형식으로 쓸 수 있다.

I

_e- I_w+ I_n- I_s+ I_t- I_b= ⌠⌡_δV

sdV

( 2.37)

여기서 여섯 개의 cell 경계면에 관한 면 적분은 I_e, I_w, I_n, I_s, I_t, I_b로 표현된다. 이 항들 각각은 별개의 두 부분으로 구성된다(대류에 기여하는

I

^C와 확산에 기여하는 I^D). 각각에 관한 상세한 논의에 앞서, 계수 β를 이해하기 위해, η₃가 일정한 면의 2차원 투영에 대한 기본적인 기하학적 양이 관찰될 것이다. Figure 2.3에서 이해를 쉽게 하기 위해, 앞으로 사용 하게 될 기본적 기하 양의 도식적 표현을 나타내었다.

1) 또한 Ostrogradsky 이론으로 알려짐.

⌠⌡Vdiv f dV = ⌠⌡A

f⋅ n dA

여기서 A는 체적 V를 둘러싼 면이며 n 은 그 면의 바깥을 향해 수직이다.

Figure 2.4는 이 연구에서 사용된 표현과 함께 일반적 3차원 cell의 세 개의 cell 경계면(e, n, t)을 나타낸다. Cell 체적들이 접한 경계면상의 특 정 위치에서 Cartesian 좌표와의 차이 및 격자에 대해 필요한 기하학적 정 보는 다음과 같이 표현될 수 있다(Fig. 2.3).

( δx₁)_1e= x_1E- x_1P ; ( δx₁)_2e= ( x_1n- x_1s)_e ; ( δx₁)_3e= ( x_1t- x_1b)_e ( δx₁)_1n= ( x_1e- x_1w)_n ; ( δx₁)_2n= x_1N- x_1P ; ( δx₁)_1n= ( x_1t- x_1b)_n ( δx₁)_1t= ( x_1e- x_1w)_t ; ( δx₁)_2t= ( x_1n- x_1s)_t ; ( δx₁)_3t= x_1T- x_1P

( 2.38) 여기서, ( δx_i)_{j e}는 cell의 경계면 e에서 임의의 좌표 η_j와 대응되는 Cartesian 좌표 x_i에서의 증분을 표현한다. 유사한 표현이 cell의 경계면

w, s, b에 대해서도 적용되며, 다른 좌표에 관해서도 마찬가지다. Cell 꼭지

점들을 연결하는 직선의 선분으로 정의된 계산 cell들과 더불어, 식 (2.38) 에서의 차는 cell을 구성하는 꼭지점들의 Cartesian 좌표 값들이 알려진다 면, 쉽게 계산될 수 있다.

이제 계수 β_ji는 다음과 같이 표현될 수 있다.

β₁₁≃ 1

δη₂δη₃[ ( δ x₂)₂( δ x₃)₃- ( δx₂)₃( δ x₃)₂] = 1 δη₂δη₃

b

₁₁ β₂₁≃ 1

δη₂δη₃[ ( δ x₁)₃( δ x₃)₂- ( δx₁)₂( δ x₃)₃] = 1 δη₂δη₃

b

₂₁ β₃₁≃ 1

δη₂δη₃[ ( δ x₁)₂( δ x₂)₃- ( δx₁)₃( δ x₂)₂] = 1 δη₂δη₃

b

₃₁ β₁₂≃ 1

δη₁δη₃[ ( δ x₃)₁( δ x₂)₃- ( δx₃)₃( δ x₂)₁] = 1 δη₁δη₃

b

₁₂ β₂₂≃ 1

δη₁δη₃[ ( δ x₁)₁( δ x₃)₃- ( δx₁)₃( δ x₃)₁] = 1 δη₁δη₃

b

₂₂

β₃₂≃ 1

δη₁δη₃[ ( δ x₁)₃( δ x₂)₁- ( δx₁)₁( δ x₂)₃] = 1 δη₁δη₃

b

₃₂ β₁₃≃ 1

δη₁δη₂[ ( δ x₂)₁( δ x₃)₂- ( δx₂)₂( δ x₃)₁] = 1 δη₁δη₂

b

₁₃ β₂₃≃ 1

δη₁δη₂[ ( δ x₁)₂( δ x₃)₁- ( δx₁)₁( δ x₃)₂] = 1 δη₁δη₂

b

₂₃ β₃₃≃ 1

δη₁δη₂[ ( δx₁)₁( δ x₂)₂- ( δ x₁)₂( δx₂)₁] = 1 δη₁δη₂

b

₃₃

( 2.39) 여기서, δη₁, δη₂, δη₃는 각각 좌표축 η₁, η₂, η₃을 따라 격자간격을 표현하며, 여기서 실제 값들은 실체가 없고, 전환된 공간( η₁, η₂, η₃)에서 모든 격자 간격은 1과 같다할 수 있다. 그러나, 물리적 공간에서 차분적 체 적이 Jdη₁

dη

₂

dη

₃= dV으로 표현되는 것은 중요하다. 그러므로

Jδη

₁δη₂δη₃≃δV ( 2.40)

은 계산 cell의 실제 체적을 표현한다. 이러한 이유가 이산화된 방정식의 최종 형태에서 좌표 전환의 소멸을 가져올 것이다. 여기서 명심해야 할 또 하나는 9개의 β가 모든 6개 면에서 필요하다는 것이다.

2.2.1.5 연속 방정식의 이산화 과정

대류 항들만을 포함하는 연속 방정식 (2.24)의 좌변에 Gauss 이론을 적 용하고, I^C_e만을 확장하여 살펴보자.

I

^C_e= ⌠⌡_Ae( U₁

dA)

_e≃F_1e= ( U₁δη₂δη₃)_e= ρ_e( u₁

b

₁₁+ u₂

b

₂₁+ u₃

b

₃₁)_e

( 2.41) 이것은 cell 경계면 e를 통한 질량 유량을 표현한다. 여기서 주목해야 할