2차 상미분 방정식
-Inhomogeneous equation
풀이법-주기함수
Homogeneous solution - 우변이 0일 경우 t
dt x dx dt
x
d 5 4 cos2
2
t t
c c e c e
x 1 4 2 특별해
t xp sin2
10
1
t
t t
t t
dt t t d
dt d
2 cos
2 10sin 2 4
cos 10 10
2 1 10sin ) 4
2 10sin ( 1 4 ) 2 10sin ( 1 5 ) 2 10sin ( 1
2
이면
특수해의 추출-상수
5 3
2
2 x
dt dx dt
x d
3
5
xp
특수해의 추출-우변이 지수함수인 경우
ct ct
ke x
b D a D
ke dt abx
b dx dt a
x d
) )(
(
) (
2
ct
p Ae
x Trial solution
ab b
a c c x ke ab
b a c c A k
ke ab
b a c c Ae ab
Ae b
a c Ae c
Ae dt abx
b dx dt a
x d
ct p
ct ct
ct ct
ct
) (
) (
) )
( (
) (
) (
2 2
2 2
2
General solution at bt ect ab b
a c c e k
A e
A
x
)
2 (
2 1
특수해의 추출-우변이 지수함수인 경우
중근의 처리
에서
ct bt
at e
ab b
a c c e k
A e
A
x
)
2 (
2 1
인 경우 c
b a
ct bt
at e
ab b
a c c te k
A e
A
x
)
2 (
2 1
c b
a 인 경우
ct bt
at e
ab b
a c c te kt
A e
A
x
)
2 (
2 2
1
예제
e t
dt x dx dt
x
d 2
2 2
7 5
4
Homogeneous solution
를 대입
0 )
5 )(
1
( x
dt d dt
d 에서
t t
c Ae Be
x 5 Particular solution
t
p Ce
x 2
1 7
) 5 8 4 ( 5
8 4
5
4 2 2 2 2 2
2
2 x Ce Ce Ce Ce e C
dt dx dt
x
d t t t t t
t t
t p
c x Ae Be c
x
x 5 2 숙제 6, 문제중심학습 C급, 서윤한
강제조화진동자
t C F
Q dt
R dQ dt
Q
L d 2 cos '
2
우변을 복소수로 변환
t
Fei
c Q dt
R dQ dt
Q
L d 2 '
2
Trial solution Qp Aei't
L i R LC
L A F
F RC
i LC C A
Fe RC
i LC C Ae
C Ae RAe
i C LAe
Q dt
R dQ dt
Q
L d i t i t i t i t i t
1 ' '
) / 1 '
' 1 (
) 1 '
' 1 (
' 1
2 2
' 2
' '
' '
2 2
2
L R with LC
i e L
Qp F i t
1 ,
' '
/
0 '
2 0 2
강제조화진동자
Particular solution
Natural frequency of RLC circuit
Damping term
강제조화진동자
' ) ( ' tan
' )
' (
1 '
) '
(
' '
' '
/
2 0 2 1
2 2 2 2
0 2 2
2 2 2
0 2
2 0 2 2
0 2
where
L e F i
L F i
L
A F i
실수해의 추출
) '
cos(
' )
' ( ) 1
Re(
' )
' (
1
2 2 2 2
0 2
' 2
2 2 2
0 2
L t Q F
e L e
Q F
p
t i i p
강제조화진동자
해의 분석
' ) ( ' tan ,
' )
' (
1
2 0 2 1 2
2 2 2
0
2
L A F
공명현상:
A의 크기가 최대가 되는 지점
2 / '
0 ) 2
' 2 ( 2
0 ' 2 ' 2 ) '
( 2
) ' )
' '((
2 2 0 2 2
0 2
2 2 0 2
2 2 2 2
0 2
d
d
강제조화진동자
위상
' ) ( '
tan 2
0 2 1
0
' / '
' lim '
0 '
2 0 2
0 0 2
'
0 ' 0 lim '
0 '
2 0 ' 2
2 / '
' '
2 0 2
0
숙제 7, 문제중심학습 S급, 윤현수
