Journal for History of Mathematics Vol. 26 No. 5-6 (Nov. 2013), 355–370
Harriot’s Symbolism and the Theory of Equation
해리엇의 기호주의와 방정식론
KYE Young Hee
계영희SHIN Kyunghee
신경희Thomas Harriot has been introduced in middle school textbooks as a great mathe- matician who created the sign of inequality. This study is about Harriot’s symbol- ism and the theory of equation. Harriot made symbols of mathematical concepts and operations and used the algebraic visual representation which were combi- nations of symbols. He also stated solving equations in numbers, canonical, and by reduction. His epoch-making inventions of algebraic equation using notation of operation and letters are similar to recent mathematical representation. This study which reveals Harriot’s contribution to general and structural approach of mathe- matical solution shows many developments of algebra in 16th and 17th centuries from Viete to Harriot and from Harriot to Descartes.
Keywords: Harriot’s symbolism, theory of equation, Viete; 해리엇의 기호주의, 방 정식론, 비에테.
MSC: 00A35, 01A45, 0803, 11D09 ZDM: A33, H33, H34
1 서론
대부분의 제 7차 개정 중학교 2학년 교과서는 부등식 단원에서 토마스 해리엇 (Thomas Harriot, 1560–1621) 의 수학사적 업적과 그에 관한 짧은 글을 담고 있다. 부등호 기호를 처음 사용한 수학자로 소개하고 있지만 실은 방정식과 근에 관련된 대수학 업적을 논하 는 것이 해리엇을 보다 정확하게 평가하는 일이 될 것이다.
해리엇은 실질적인 영국의 최초의 대수학자로서 방정식의 풀이와 부등호 등 대수적 기호를 도입하였다. 당시로는 잘 받아들여지지 않았던 음수 근과 복소수 근까지 포용하 는 혁신적인 시각을 갖고 있었다 [7, 1, 10, 11, 12, 14].
해리엇에 관한 수학자와 역사가들의 평가로 당시 그의 학문과 그가 후세에 끼친 영 향을 가늠할 수 있다. 실베스터 (Sylvester) 는 해석학에 대수를 접목시킨 위대한 수학
본 논문은 고신대학교 2012학년도 교내연구비에 의하여 조성되었음.
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Harriot’s Symbolism and the Theory of Equation자로, 셀트맨 (Seltman), 파우벨 (Fauvel), 굴딩 (Goulding) 등은 영국 대수학의 아버지 로 찬사를 아끼지 않았고 뉴턴 이전 영국의 가장 위대한 수리과학자라고 하였다. 챔프맨 (Chapman) 은 측량과 제도, 천문학 등 자연과학에 공헌한 능력을 가진 해리엇을 예술적 직관이 뛰어난 갈릴레이에 비교하여 영국의 갈릴레이라 하였고, 그의 평생 후견인이었던 월터 롤리 (Walter Raleigh) 경은 그의 수학적 재능이 마법사와 같다고 했다 [9, 4, 10].
불행하게도 해리엇은 생전에 수학에 관한 아무런 저서도 남기지 않았다. 그가 죽은 후 10년이 지난 1631년에 워너 (Warner) 를 비롯한 동료들에 의해서 책『해석학 실제 (Artis Analyticae Praxis)』가 출판되었다. 하지만 이 책의 편집 과정에서 정착되지 않은 당시 의 수학 개념들이 해리엇의 의도대로 정리되지 않았는데 그러한 사실들이 이후 그의 필사본과 비교하는 과정에서 발견되었다. 이는 해리엇 사후 수학자들이 편집과정에서 해리엇의 수학적 내용이 잘못되었다고 판단하여 임의로 수정한 결과로 보인다. 그러한 탓에 수학사를 다루는 여러 문헌에서 해리엇에 대한 평가가 다양하게 나타나고 있다. 음 수를 받아들이지 않았다거나 복소수근도 의미 없는 수라고 생각하였다는 내용들이 그것 이다. 최근의 연구들은 양쪽을 비교하면서 해리엇의 필사본을 우선시하여 그를 재평가하 고 있다 [2, 11, 12, 13, 6]. 스테달 (Stedall) 은 2003년 해리엇의『해석학 실제』를 번역한 이래 2007년 개정판을 내놓았다. 그의 번역은 그동안 논란이 되어왔던 동료들에 의해 만들어진 책을 넘어서 해리엇의 필사본을 순서대로 정리하여 해리엇이 의도했으리라고 짐작되는 가장 가까운 수학적 의미를 손상하지 않은 번역본으로 평가되고 있다. 기존의 논문들이 해리엇의 일생을 다루거나 해리엇이 수학의 후세에 끼친 영향 [9, 4, 10] 혹은 자연과학에의 업적 등을 다루었으나 [5, 8, 7] 스테달의 저서『The Great Invention of Algebra』는 해리엇의 수학 그 자체를 소상하게 적고 있다.
해리엇은 당시 최고의 수학자로 일컬어졌던 비에타
1)의 영향을 받았다. 해리엇을 알기 위해서 본 논문에서는 먼저 비에타 대수학을 살펴보고 비에타 수학과의 연결경로와 해리엇 의 대수기호가 어떻게 비에타 기호와 차별될 수 있는지 비교한다. 해리엇의 필사본과 밀접한
『Great Invention of Algebra』를 중심으로 그의 기호표기의 일반성과 방정식의 분류 및 그 풀이 과정을 살피고 논할 것이다.
2 해리엇과 토폴리 (Torporley) 그리고 비에타
해리엇의 필사본에는 ‘토폴리에게서 전달받은 비에타 정리’ 라고 이름 붙여진 메모들이 많이 발견된다. 특히 비에타 대수는 해리엇에게 지대한 영향을 주었음을 여러 정황에서 알 수 있다. 그렇다면 비에타 수학이 어떻게 해리엇에게 전달되었을까?
1) 프랑스 수학자 François Viète(1540–1603) 의 라틴어 표현이 Vieta이다.
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해리엇의 옥스퍼드 대학 4년 후배였던 나타니엘 토폴리 (Nathaniel Torporley, 1564–
1632) 는 비에타의 서기로 취업을 하게 되고 이 직책을 이용하여 얻은 수학을 해리엇에게 비교적 자세하게 전달할 수 있게 된다 [11]. 해리엇은 토폴리를 대단히 신임하였다. 실제로 자신의 사후 필사본을 정리하여 책으로 출판하는 일을 해주기 원했으나 토폴리는 비에타와 의 관계 때문에 주저했던 것으로 보인다 [10]. 혹은 당시 정치적으로 혼란스러웠던 후견인 들과의 관계에서 자유롭지 못했을 수도 있다. 결국 필사본을 정리하여 책으로 출판한 것은 사후 10년, 워너 등 그의 동료들에 의해 출판되었다.
수학사에서 대수학의 아버지라고 일컬어지는 비에타는 프랑스는 물론 유럽대륙에서 이미 수학적 명성을 얻고 있었다. 당시 그는 스스로 ‘프랑스의 아폴로니우스’ 라 할 정도로 자신의 학문에 대단한 긍지를 가지고 있었고 그의 수학성과도 널리 알려져 있었다.
먼저 비에타 대수를 살펴보자. 16세기 후반과 17세기에 걸쳐 유럽 대륙의 교과서에는 2차와 3차 때로는 4차 방정식이 등장한다. 이 때 방정식의 계수는 양수만을 취급하였고 따라서 같은 차수의 방정식이 여러 종류로 표현되었다. 특별한 방정식이 여러 개 주어지고 그 때마다 비슷하지만 다른 풀이를 제시하였다. 기본적으로 산술보다 진보적인 대수가 등장하였고 숫자 대신에 기호가 사용되기 시작하였다. 초기에는 1차와 2차, 3차 방정식의 근으로 R, Z, C가 각각 쓰였다. 하지만 이에 대한 일반화나 어떠한 수학적 구조 혹은 그에 대한 통찰을 가지고 있지는 않았던 것으로 보인다. 여기에 비에타는 보다 균형 있고 구조적 인 변환에 착수하게 된다. A, E, I, ... 등 모음을 미지수로 표현하고 기지의 양 혹은 주어진 양은 B, C, D, ... 등 자음으로 표현하였다. 주어진 평면을 ‘B plane’, 주어진 입체를 ‘Z solid’
로 나타내었다. 어찌 보면 이는 기호라기보다는 말로 나타낸 것 같지만 일반적인 방정식을 나타내는 데에는 완전히 진일보한 것이었다. 그는 방정식의 근 뿐만이 아니라 방정식의 구조도 파악하였다. 비례 개념을 사용하였고 봄벨리와 함께 디오판투스 산술을 대수에 접목하였다. 뿐만 아니라 직선과 평면, 입체 등 기하적 대상에 대하여도 기호를 사용하여 대수적으로 표현하였다 [3, 11, 12]. 이는 그 누구도 상상해 본 적이 없는 것이었다. 고전적인 기하를 대수적 방법으로 다루는 것이었고 기존의 기하정리는 대수적 방법을 이용한 새로운 정리로 변환되었다. 비에타는 새로운 수학의 장을 열었던 것이다.
수학에서 문제를 해결한다는 것은 그 문제를 대수로 표현할 수 있고, 이는 방정식으로 만들고 그의 근을 구할 수 있다는 것을 의미하였다. 비에타는 이러한 방정식을 해결하는 이론적이고 실제적인 논문을 발표하였다.
1590년대에 쓰여진 이러한 논문은 토폴리를 통하여 출판되기 전에 일부 자료가 해리엇
에게 전달되었을 것으로 추정된다 [12]. 해리엇은 이 내용을 자세하게 공부하였고 자신의
기호를 사용하여 이 모든 것을 다시 적어나갔다. 여기서 중요한 것은 단순히 비에타 것을
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Harriot’s Symbolism and the Theory of Equation독특한 아이디어를 발전시켰다. 방정식의 근을 구하고 구조를 연구했으며 처음부터 끝까지 연결성을 갖추려고 노력하였다. 하지만 이것을 생전에 책으로 출판하지는 못하였다. 모든 일에 정확하고 빈틈없는 성격에 좀 더 완벽한 결과물을 기다리다가 끝내 책으로 완성하지 못한 것을 동료 로워 (Lower) 는 해리엇을 ‘위대한 대수학의 발명가’ 라고 하면서 매우 애석 해하였다.
3 해리엇의 대수기호
해리엇 수학의 특징 중의 하나는 기호 표현이다. 산술표 등 시각적으로 감지될 수 있는 형 태의 기호를 사용하였다. 또 하나는 이들 기호의 조합을 체계적으로 사용하고 있는 것이다.
이것은 그의 산술과 기하, 대수에 공통으로 나타난다. 해리엇의 기호주의에 대한 연구[12]
에서는 그가 아메리칸 인디언의 최대 어족인 알곤킨 (Algonquin) 어족의 문자에서 영감을 받았으리라고 추측한다. 당시는 영국이 신대륙에 대한 탐험이 한창일 때였고 해리엇은 이 탐험대가 데려온 알곤킨 인디언들의 대화에서 그들이 사용하는 언어의 소리를 연구하였고
2)실제로 이 흔적들은 해리엇의 필사본에 나타나 있다. 모든 소리는 자신만의 독특한 특징을 가지고 있고 기본적이고 단순한 규칙에 의해 적당한 기호로 탄생될 수 있다. 해리엇이 알 곤킨 표음 문자로 수학을 표현했을 때에는 훌륭한 표음 대수로 재탄생되어 있었다. 그는 새로운 아이디어를 기호로 표현하는 탁월한 능력을 가지고 있었다. 즉 해리엇의 외면적 수학의 특징은 적당한 기호의 창조와 이의 적극적 사용이라 할 수 있는데 수학의 개념과 연산을 시각적으로 표현하고 이 기호들의 훌륭한 조합 기술은 당시 수학을 새로운 단계로 올려놓는 계기가 된다. 그는 수학을 전개하는 데 말을 거의 사용하지 않았다. 말로 설명하는 대신 시각적으로 상황을 연결할 수 있도록 기호를 사용하였다. 부호를 두 세 개씩 연결하고 위 아래로 둥근 선을 그어 나름대로 각각의 의미를 표현하였다. 약간의 차이가 있지만 18 개의 기호를 만들었고 그의 수학 곳곳에 이를 사용하고 있다.
대수기호
현재 중등교과서에 해리엇이 소개되는 가장 큰 이유는 그가 부등호 ‘ < ’ 와 ‘ > ’ 를 처음 고안해서 사용하였기 때문이다. 실제 그의 필사본에는 ‘ < ’ 와 ‘ > ’ 대신 와 이 사용되고 있다. 현재의 것보다 길고 약간 구부러져 있는 것도 특징이다. 또한 한 쪽 끝에는 등호와 마찬가지로 짧게 세로줄이 나있다. 등호는 처음에는 요즘의 등호 사이에 세로로 두 개의 줄을 그어 기호 ‘ ’ 를 사용하였지만 후에는 이 세로 줄이 사라지게 된다. 오늘날의 등호 ‘ = ’ 은 레코드 (Robert Recorde) 의 1557년『지혜의 숫돌 (The whetstone of witte)』
2) 실제로 해리엇은 자신의 후견인 롤리경의 신대륙탐험대의 일원으로 버지니아에 2년 동안 거주한 적이 있고 이의 보고서를 상세하게 기록한 바 있다.
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2) 실제로 해리 엇은 자신의 후견인 롤리경의 신대륙탐 험대의 일원으로 버지니아에 년 동안 거주한 적이 있 고 2 이의 보고서 를 상세하게 기록한 바 있 다.
Figure 1. The equality sign introduced by Harriot; 해리엇이 처음 사용했던 등호
에 처음 등장한 이래 해리엇도 이를 사용하였다. 또한 숫자와 문자의 곱은 ‘ , ’ 를 사용하였다.
해리엇은 구체적인 문제를 제시하고 해결하는 과정에서 여러 가지 기호를 사용하고 있다.
서로 다른 속도를 갖는 두 물체의 낙하하는 상대 속도를 구하는 문제에서 해리엇은 납과 밀랍을 예로 들고 있다. 납의 부피를 a, 밀랍은 8a, 공기의 부피는 b 라고 두었다. 적당한 무게를 가진 납이 거리 f 만큼 떨어져 있고 같은 무게의 밀랍이 거리 g 만큼 떨어져 있을 때 다음 관계식이 성립한다. 해리엇은 필사본에 이 관계를 다음과 같이 나타내고 있다 [12].
b − a · b − 8 , a : f · g 이는 현대적 표현으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
(b − a) : (b − 8a) = f : g 계속되는 전개에서 필사본은 다음과 같이 적고 있다.
bf − 8 , fa = bg − ga bf − bg = 8 , fa − ga 8 , f − g · f − g : b · a 이의 현대적 표현은 다음과 같다.
(8f − g) : (f − g) = b : a
그는 적당한 조작으로 a : b 혹은 f : g 를 계산했고, 특별한 값에 대응되는 f 혹은 g 값을 산출하기도 하였다. 현대 대수학에서 미지수를 흔히 x 로 표기하지만 해리엇의 필사본에는 거의 a 를 사용하고 있다. 나머지 문자들의 순서는 별로 개의하지 않고 있음을 확인할 수 있다.
기호 ‘
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’ 는 곱셈기호로 사용하였다. 예를 들어 (a + b)(a − c) = aa + ba − ca − bc의 곱을 다음과 같이 표현하고 있다.
이는 요즘의 세로곱셈에서 쓰이고 있는 기호와 비슷하다. 해리엇의 기호는 비에타의 기호
와 여러모로 비교되고 있다. 해리엇은 미지수를 모음으로 기지수를 자음으로 사용하였던
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Figure 2. Harriot’s notations of the product of three terms(left) and inequality(center) ; 왼쪽은 세 식의 곱, 가운데 기호는 부등호이다
비에타의 아이디어를 자신의 방정식 풀이과정에 사용하였다. 하지만 비에타가 사용하였던 대문자 A, B, C, · · · 등을 소문자 a, b, c, · · · 등으로 바꾸어 사용하였다.
Table 1은 비에타와 해리엇의 방정식 표현을 비교한 것이다. 이는 해리엇의 필사본 중에 서 16장에 걸쳐 집필한 내용의 일부와 비에타의 고차방정식의 풀이 중 일부분을 토폴리가 비교해놓은 것이다. 해리엇은 자신의 방정식 전개에서 비에타의 책에서 가져온 것은 이를 명시하였고 방법도 같은 것과 자신이 독립적으로 푼 것을 어느 정도는 구별해 놓았다. 왼 쪽은 해리엇의 방정식 표현이고 오른쪽은 비에타 것이다. 각 번호는 실제 필사본과 책의 것이고 5개를 제외한 양 쪽의 방정식이 같은 것임을 확인할 수 있다.
표현에 있어 비에타는 1차를 N , 2차를 Q, 3차를 C 로 쓰고 4차는 QQ 로 나타내고 있다.
무엇보다 가장 혁신적인 것은 해리엇의 대수 기호 사용이다. a와 b의 곱을 ab 로 표현한 것이
해리엇의 방정식 비에타의 방정식
a.1) aa + 24a = 2356
a.2) aa + 7a = 60750 1 1Q + 7Nequals 60750
a.3) aa + 762a = 22120 a.4) aaa + 35a = 2932
a.5) aaa + 30a = 14356197 2 1C + 30Nequals 14356197 a.6) aaa + 95400a = 1819459 95400N + 1Cequals 1819459 a.7) aaa + 30aa = 86220288 3 1C + 30Qequals 86220288 a.8) aaa + 10000aa = 5773824 10000Q + 1Cequals 5773824 a.9) aaaa + 10000a = 355776 4 1QQ + 1000N equals 355776
100000N + 1QQequals 2731776 a.10) aaaa + 100000a = 2731776
aaaa + 300aaa = 4478976
a.11) aaaa + 10aaa = 470016 5 1QQ + 1Cequals 470016
a.12) aaaa + 200aa + 100a = 449376 6 1QQ + 200Q + 100Nequals 449376 Table 1. Comparison of Harriot and Vieta on equation; 해리엇과 비에타의 방정식 표현비교
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Figure 3. Harriot’s notation of equation ; 해리엇의 방정식 표기
다. 즉 a 와 a 의 곱은 aa 가 되는 것이다. 따라서 현재의 a
2은 aa 로, a
3은 aaa 로 표현하였다.
비록 현재와 같이 지수 사용은 하지 않았지만 해리엇의 대수기호 사용은 탁월했음을 알 수 있다.
3)해리엇은 a, aa, aaa, · · · 등으로 차수를 일반화하고 있는데 이는 해리엇 수학의 진 가를 발견할 수 있는 대목이다. 차수를 표현하기 위한 새로운 문자 선택을 고민하지 않아도 되고 일일이 문자를 기억할 필요가 없게 된 것이다. 문자와 차수에 구애되지 않고 방정식 이론에만 집중할 수 있게 된 것이다.
4)이 아이디어는 데카르트에게 이어졌다. 데카르트는 해리엇의 표기를 지수를 사용하여 발전시켰다. Figure 3과 4는 그림은 해리엇과 데카르트의 방정식 표현을 비교한 것이다 [11].
Figure 4. Descartes’ notation of equation ; 데카르트의 방정식 표기
기하를 대수로
비에타 수학을 심도 있게 연구하고 있었던 1600년경 해리엇은 대수기호를 기하에 접목하기 시작하였다. 유클리드의『원론』제 2권의 명제들을 대수적 표현으로 다시 진술하였는데 유클리드 14개의 명제들을 네 장의 필사본에 담고 있다 [12]. 다음은『원론』제 2권의 명제 1로 ‘두 선분 A 와 BC 로 이루어진 직사각형의 넓이는 한 변을 여러 토막으로 잘라 만든 직사각형들의 넓이의 합과 같다’ 이다. 유클리드는 Figure 5에서 사각형 BGHC 의 넓이는
3) 1620년 토폴리는 해리엇의 aaaa 를 aIV로 간단히 표현했으나, 불행히도 해리엇의 필사본을 편집했던 워너 등의 출판본에는 더 이상 간단한 표기법이 발견되지 않았다.
4) 사실 이러한 표현은 해리엇이 처음은 아니다. 1544년 Stifel은 3A 와 9B 의 곱을 27AB 로 나타낸 바 있다.
이때는 서로 다른 문자의 곱은 있었지만 같은 문자의 곱으로 2차나 3차 이상을 표현하지는 않았다. 당시 봄
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Figure 5. The diagram shown in Proposition 1 of Euclid II ; 유클리드『원론』제 2권 명제1 그림
내부 세 개의 사각형 넓이의 합과 같음을 기하적으로 보이고 있는 반면에 해리엇은 같은 명제를 일체의 그림 없이 다음과 같은 대수식으로 만들었다.
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마찬가지로 Figure 6은『원론』제 2권 명제 2의 ‘정사각형의 넓이는 임의의 한 변을 토막 내서 만들어지는 두 직사각형의 넓이와 같다’ 의 그림이며 다음은 그에 해당하는 해리엇의 대수식이다.
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역시 이 식에 대한 어떠한 그림도 없이 기하명제를 간단히 대수식으로 진술하고 있다.
이와 같이 기하를 대수기호를 사용하여 표현한 또 하나의 예는 유클리드의『원론』제 6 권의 명제 13은 ‘두 선분의 길이에 대한 비례중항을 구하라’ 는 명제이다.『원론』은 두 선분 을 한 직선 위에 이어서 놓고 그 길이의 합을 지름으로 하는 반원을 그려 명제를 증명하고 있다. Figure 7에서 두 선분 AB, BC 가 두 선분이라고 하고 각 ADC 는 직각임을 이용하여 비례중항이 DB 임을 보인다. 한편 비에타는 1593년 발행한 저서『실전기하 (Effectionum
벨리나 스테빈은 카르다노 등과 같이 현재의 6x3+ 3x2을 ‘6 3⃝ plus 3 2⃝’ 로 나타내었다.
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Figure 6. The diagram shown in Proposition 2 of Euclid II ; 유클리드『원론』제 2권 명제2 그림
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Figure 7. The diagram shown in Proposition 13 of Euclid VI ; 유클리드『원론』제 6권 명제13 그림
geometricarum)』 에서『원론』 에서와 같이 Figure 8의 그림을 제시하고 주어진 조건으로부 터 지름 BC 를 구성하는 과정과 그림의 BF , DF , F C 가 같은 비례 관계에 있음을 설명하고 있다. 같은 명제에 대한 해리엇의 접근은 대수적이다. 먼저 비례중항과 외항들 사이의 차가 주어지고 외항을 구한다고 하자. 비례중항을 d 라 하고 외항들 사이의 차를 b 라 하자. 양 쪽 외항 중 하나의 값을 a 라 하면 두 값은 a −b와 a+b가 된다. 이 때 이차 방정식 aa±ba = dd 의 해는 a =
√
bb+4dd
4
±
b2가 된다. 이 과정을 해리엇은 나름대로 언어설명을 곁들이고 있는 데 그의 필사본 대부분이 이러한 언어설명이 없는 것에 비하면 사뭇 이례적이라 할 수 있다.
4 해리엇의 방정식론
해리엇의 필사본에서 방정식 부분은 크게 세 장으로 나누어져 있다. 산술방정식 (Equations in numbers) 과 일반형 방정식 (Generation of canonical equation) 그리고 공식에 의한 방정식 (Equations by reduction)이 그것이다. 해리엇은 방정식의 미지수를 문자 로 가정하 고 차수에 따라 이를 반복하여 곱으로 나타내고 있다. 해리엇은 여러 곳에서 이것은 ‘비에타
±
±
5) 해리엇 의 필사본 방정식 첫장 산 술방정식 번호
인 문제이다 .(Stedall, 2007a)
Figure 8. Vieta’s Proposition corresponding to Proposition 13 of Euclid VI ;『원론』제 6권 명제 13에 해당하는 비에타 그림
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Harriot’s Symbolism and the Theory of Equation문제’ 라든가 ‘비에타 방법’ 이라는 설명을 함으로써 자신이 직접 만든 문제와 구별을 분명히 하고 있다. 혹은 ‘비에타의 방법을 약간 바꾸어서’ 라는 표현과 함께 나름대로 자신의 문제를 해결하고 있다.
산술방정식
산술방정식은 상수 계수를 갖는 방정식으로 2차에서 4차까지의 방정식과 그의 해법을 다루고 있다. 해리엇은 상수 계수를 d, 미지수를 a 로 하는 2차 방정식에 1차항 계수 d = 24, 우변 상수항이 2356 인 방정식
5)을 다음과 같이 가정법을 사용하여 해결하고 있다.
aa + da = xz aa + 24a = 2356 38 + 24 = 2356 38 38
일단 이 방정식의 해 a = 38 을 먼저 제시하고 풀이는 그 다음에 이어진다.
오른쪽 항의 2356 에서 a 는 두 자리 수를 가정할 수 있고 그 십의 자릿수를 b, 일의 자릿 수를 c 라고 하면
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이를 전개하면
- 10 -
이 되고
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로 바꿔 쓸 수 있다. 여기에서 해리엇은 가정법을 사용하는데 이 방법은 풀이 중간에 ‘비에 타의 방법과 같이’ 라는 표현을 함으로써 자신이 독창적으로 생각해낸 것이 아님을 분명히 하고 있다. 먼저 해의 십의 자릿수인 b 를 4 라고 가정한다.
5) 해리엇의 필사본 방정식 첫 장 산술방정식 번호 (a1) 인 문제이다 [11].
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앞의 자릿수의 일부인 bb + bd = 256 은 우변의 앞 세 자릿수 235 보다 크다. 그러므로 b = 4 인 경우는 성립하지 않는다. 대신에 b = 3 으로 바꾸어 같은 과정을 반복한다.
이 경우는 bb + bd = 162 이고 앞 세 자릿수 235 보다 작으므로 b = 3 을 택한다. 다음은 일의 자리 c 를 결정해야한다. 2bc + cd + cc = 2356 − 1620 = 736 을 만족하는 c 는 8 임을 쉽게 구할 수 있다. 이후로 3차와 4차 방정식 aaa + dda = xxz, aaa + daa = xxz 와 aaaa + daa = xxxz 의 계수가 주어진 형태의 방정식 풀이 역시 같은 가정법을 사용하여 전개되고 있다. 여기서의 특징은 차수에 상관없이 가정법에 의해 얻은 한 개의 양의 근만을 다루고 있는 점이다.
그 다음 절에서는 두 개의 근을 갖는 2차 방정식의 풀이 방법을 전개하고 있다. 문제는 다음과 같이 주어진다.
xz = da − aa
해리엇은 먼저 두 근이 다른 경우와 같은 경우로 나눈다. 두 근을 b 와 c 라고 하면 위 2차 방정식은 bc = ba + ca − aa로 쓸 수 있다고 하였고 구체적인 식의 변형 과정은 보여주지 않는다. 다만 양변에 b 와 c 를 각각 대입하여 식이 성립하는 것을 확인하고 있을 뿐이다.
이 경우 b + c = d 라 가정하고 bc = xz 이 됨을 확인한다. 현재의 근과 계수와의 관계를
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Harriot’s Symbolism and the Theory of Equation언급하고 있는 것이다. 여기서 b 를 작은 근, c 를 큰 근이라 하고 다음 부등식에서 두 근의 범위를 찾고 있다.
2b < b + c < 2c b < b + c
2 < c
그러므로 두 근 b, c 는 b <
d2< c 의 범위에 있다. 또한 bb < bc < cc 의 부등식에 근호를 씌워 b < √
xz < c 와 b <
2xzd< c 을 유도하고 있는데 결과를 먼저 그 다음에 확인과정을 보여 주고 있다.
그 다음은 위에서 언급한 근과 계수와의 관계를 이용하여 2차 방정식의 한 개의 근 b 를 알 고 나머지 근 c 를 구하는 식 d − b = c을 제시하고 이후 상수 계수가 주어진 2차 방정식에서 먼저 한 개의 근은 앞에서와 같이 가정법을 이용하여 구하고 두 번째 근을 구하고 있다. 이후 해리엇은 3차와 4차 방정식에 대해서도 근과 계수와의 관계와 3중근, 4중근 기호인 √
3,
√
4을 사용하여 근의 범위를 계수들로 표현하였고 2차에서와 마찬가지로 가정법을 이용한 근을 구하고 있다. 하지만 3차와 4차 방정식에서 모두 근은 두 개밖에 구하지 않았다.
일반형 방정식
일반형 방정식을 다루고 있는 장에서는 인수분해와 그의 전개식을 다루고 있다. 여기서 인 수분해라 함은 일차식의 곱을 의미하는데 문자는 양수만을 받아들이고 있다. 곱셈의 예로써
- 12 -
을 들고 있는데 문자의 음수를 허용한다면 두 번째와 세 번째는 하나의 식으로, 네 번째와 다섯 번째, 여섯 번째 역시 하나의 식으로 표현할 수 있을 것이다. 즉 해리엇이 이 부분에서는 문자의 음수를 별도로 취급하고 있음을 알 수 있다.
근을 구하는 과정은 식 (a − b)(a − c)(a − d)에 a = b, a = c, a = d를 대입하면 0이 됨을 보이고, 마찬가지로 (a − b)(a − c)(a + d)에 a = b, a = c를 대입해서 0이 된다고 하면서 a = d 를 대입하면 0 이 되지 않음을 실제 계산을 통해 보이고 있다. 다음 곱셈식을 보자.
- 12 -
여기에 a = d 라 하고 위 곱셈식을 전개한 식에 대입하면 0 을 만족하므로 a = d 가 근임을
보이고 있다.
KYE Young Hee & SHIN Kyunghee
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여기서 해리엇은 d = b+c 임을 가정한다면 다시 a = b+c 일 수밖에 없음을 보이면서 a = d 임을 다시 한 번 강조하고 있다. 이 경우에 d − c = b이므로 d > c이어야 함을 당연시하고 있다. 즉 문자 b가 양수임을 가정하고 있는 것이다. 만약 c > d일 때는 방정식의 일부 부호를 바꾸어
6)계산할 수 있다고 하였다. 맨 마지막 000 은 해리엇의 모든 식에 나타나는 것으로 하나의 방정식은 동차항만으로 표현하고 있음을 알 수 있는데 이 경우도 3차 항들만으로 이루어진 것을 강조한 것으로 보인다.
하지만 다음 일차식의 곱으로 이루어진 4차식 (a − b)(a − c)(a − d)(a + f) = 0에서는 4개의 근 모두를 정확히 제시하고 있다. 먼저 a = b, a = c 그리고 a = d 를 대입하여 식이 성립함을 보이고 만약 b + c + d = f 임을 가정하면 a 의 3차 항 계수가 0 이 되고 bc + bd + cd = bf + cf + df 을 가정하면 2차 항의 계수가 0, 그리고 bcd = bcf + bdf + cdf 이면 1차 항의 계수가 0 이 됨을 보이고 있다. 이는 4차식의 근과 계수와의 관계를 미리 인지하고 위 세 개의 근 이외에 a = −f 도 4차식의 근임을 증명하고 있는 것이다. 이에 덧붙여서 d =
−b−c2+
√
−3bb−2bc−3cc4
, f =
b+c2± √
−3bb−2bc−3cc
4
을 유도하고 있는데 두 개의 근을 알면 나머지 근을 구할 수 있음을 보여주고 있다. 여기서 더욱 중요한 것은 근호근을 자유롭게 썼을 뿐 아니라 근호 속의 부호에 연연하지 않았는데 이는 복소수근을 받아들이고 있음을 알 수 있는 부분이다. 하지만 해리엇은 이 부호에 대하여 구체적으로 언급하고 있지는 않다. 이러한 이유로 이후 여러 연구에서 과연 해리엇이 복소수근을 정확히 인지하고 있었는가가 논쟁이 되고 있다 [10].
공식에 의한 방정식 풀기
이 부분은 해리엇의 방정식 중 세 번째 내용으로 방정식의 차수에 따른 부호의 변화와 근의 변화 등을 비교적 자세히 다루고 있다. 예를 들어 2차 방정식은 다음 4가지로 분류하고 있다.
xz = aa xz = +ba + aa xz = −ba + aa xz = +ba − aa
위 식에서 알 수 있듯이 b = 0 인 경우를 별도로 생각하였고 양수만을 취급한 것을 알 수
있다. 둘 다 음수인 경우가 없는 것은 만약 둘 다 음수 부호이면 좌변 역시 음수가 되어 성립
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Harriot’s Symbolism and the Theory of Equation하지 않는다고 생각하였다. 좌변은 상수항으로 항상 양수만을 대입하였다. 마찬가지로 3차 방정식은 14종류, 4차는 31종류를 부호에 따라 분류하고 이후 각각의 경우에 대하여 근을 구하는 과정을 보여주고 있다. 다음 상수계수를 갖는 방정식의 예를 보자.
8 = +2a + aa a = +2, −4 8 = −2a + aa a = +4, −2
972 = +21aa + aaa a = +6, −9, −18 972 = +21aa − aaa a = −6, +9, +18
위 2차 방정식의 일차항의 계수의 부호에 따라 두 근의 부호가 바뀐다. 아래 3차 방정식도 계수 부호에 따른 근의 변화를 보여주고 있다. 해리엇은 이후 4차 방정식까지 상수계수를 갖는 수십 개의 방정식의 예를 들고 있는데 실수 범위에서 그것도 편의상 정수근만을 구하고 있는 것이다. 3차 방정식의 두 근이 허수가 나오는 경우 실근 한 개만 구하고, 4차 방정식에서 허근이 있는 경우 실수 근 만을 제시하고 있다.
그 다음 단계로 계수가 문자인 다음 두 개의 기본적인 3차 방정식과 근을 제시하고 있다.
7)rrr − qqq = +3qra + aaa a = r − q
rrr + qqq = −3qra + aaa a = r + q
이것을 이용하여 좀 더 일반적인 형태의 방정식의 근을 구하고 있다. 예를 들어 a 에 관한 3 차 방정식 2ccc = +3bba + aaa 의 근은 위 첫 식을 이용하여 구하고 있다. 중간에 다른 매개 변수를 사용하지만 해리엇은 이 방정식의 근으로 다음을 유도했다.
a = √√
3bbbbbb + cccccc + ccc − bb
√√
3bbbbbb + cccccc + ccc
이중근과 삼중근을 동시에 쓰고 있지만 이 경우도 근호 안의 부호에 대해서 특별한 언급은 없다. 그 다음은 같은 유형의 상수계수 방정식 20 = 6a + aaa 을 제시하고 위 공식에 대입 하고 있다. 그 근은
a = √√
3108 + 10 − √√
3108 − 10
= ( √
3 + 1) − ( √ 3 − 1)
= 2
가 되는데 자세한 계산 과정은 생략되어 있다.
이 밖에도 계수의 대소에 따른 근의 변화와 한 개의 근으로부터 다른 근을 유도하는 방 법 등을 제시하고 있다. 이 과정에서 등비수열 관계에 있는 변수들로 방정식 및 부등식을 만들고 이들 간의 대소를 보여준다. 3차 방정식의 일반해를 다루는 것은 어려운 작업이다.
해리엇은 문자계수를 갖는 다양한 3차와 4차방정식에 대하여 분류하고 각각의 경우에 근을 제시하는 데 많은 부분을 할애하면서 실제로 수를 대입하여 공식이 참임을 보이고 있다.
7) 근의 유도 과정은 생략된 채 제시한 근을 원 식에 대입하여 등호가 성립함을 확인하고 있다.
KYE Young Hee & SHIN Kyunghee
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5 결론
16세기는 이미 대수의 기본적인 기호가 사용되고 있었다. 수를 N 으로, 방정식의 근을 R 로 나타내었고 2차와 3차를 표현하는데 Z 와 C 를 사용하였다. 봄벨리는 차수를 숫자를 사용하 여 나타내었고 비에타는 선분의 길이를 문자로 나타내었다. 이는 스테빈과 후에 지라드까지 그대로 이어졌다. 하지만 이는 문자를 사용하여 간단히 나타내는 데에는 성공하였지만 3차 이상의 일반화를 표현하는 데에는 심각한 한계를 드러내었다. 여기에서 해리엇의 빛나는 통찰을 발견할 수 있다. 미지의 양을 표현하는 데 한 문자의 거듭제곱의 아이디어를 생각해 낸 것이었다. 기존의 2차와 3차를 표현하는 Z 와 C 대신에 aa 혹은 aaa 가 그것이다. 이는 aaaa, aaaaa 로 4차나 5차 등 구조적 일반화가 가능하다는 진일보한 수학적 성과로 위대한 역사적 순간으로 기록되어야 한다.
본 논문은 해리엇의 대수적 표기와 방정식의 근을 구하는 데 있어서 진일보한 중요한 업적을 살피고 수학사적 의미를 논하였다. 해리엇의 중요한 업적 중의 하나는 그 방법론 에 있다. 문제 상황을 적절한 기호와 식을 사용하여 표현하였다. 직접 고안한 연산 기호와 문자를 이용한 대수식은 현재의 수학적 표현에 아주 가깝다. 이는 이전까지의 수학자들이 언어로 기술하였던 문제 해법과는 전혀 다른 획기적으로 발전된 것이었다.
본 논문에서 연구자는 해리엇의 대수적 기호론과 방정식론에 대하여 다음과 같은 특징과 업적이 있음을 알 수 있었다.
첫째, 해리엇은 당시 문장으로 주어지고 문장으로 해결하는 수학적 표기법을 개혁하였 다. 적당한 수학적 기호를 창조하고 이를 적극적으로 사용한 결과, 수학의 개념과 연산을 시각적으로 표현할 수 있었고 이 기호들을 훌륭하게 조합하여 당시 수학내용에 대한 표현을 새로운 단계로 올려놓았다. 등호와 부등호 등 여러 가지 대수적 기호를 만들어 사용함으로써 수학적 해법에 대한 일반적이고 구조적인 접근을 가능하게 하였다.
둘째, 해리엇은 방정식의 근을 구하는 방법으로 가정법을 사용하고 있다. 처음 계수가 상수인 2차 산술방정식에서는 이 방법을 이용하여 한 개의 근만을 구하고 뒷부분에 가서야 근과 계수와의 관계를 이용하여 나머지 근까지 구하고 있다. 4차까지의 방정식을 다루고 있지만 방정식의 차수에 상관없이 근은 가정법과 근과 계수와의 관계를 이용하여 두 개의 근만을 구하고 있다. 여기에 세제곱근이나 네제곱근 기호를 사용한 근의 범위를 계수들과의 관계 속에서 제시하고 있다.
셋째, 해리엇은 연역적인 증명보다는 먼저 답이나 결과를 제시하고 그것을 역으로 대입 하여 명제가 옳음을 확인하는 전개방식을 취하고 있다.
넷째, 그는 방정식의 근을 구하는 과정에서 점진적인 전개방법을 취하고 있다. 방정식의
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Harriot’s Symbolism and the Theory of Equation삼중근 기호를 사용하여 근을 표현하고 있다. 이러한 이유 때문에 해리엇 수학의 앞부분만을 접했을 경우 방정식의 음수 근을 받아들이지 않았다거나 복소수 근을 받아들이지 않았을 것이라는 논쟁을 불러일으켰다고 유추할 수 있다.
다섯째, 토폴리로부터 비에타 수학을 전달받았던 해리엇은 많은 내용을 그대로 혹은 응용 하여 필사본에 수록하였다. 단순 모방을 벗어나서 연구결과를 자신의 수학에 접목하였으며 독특한 대수기호와 방정식의 해법을 발명하고 사용하였다.
비에타 수학의 영향을 받은 해리엇은 이처럼 많은 업적을 남기며 월리스 (Wallis) 등 영국 의 수학발전에 지대한 영향을 주었고, 후에 월리스의 저서『Arithmetica infinitorum』은 뉴턴에게 강한 수학적 영감을 주어 미분적분학의 위대한 업적을 가능케 하는 토대가 되었던 것이다.
참고 문헌
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