I . 삼각비
...2
II . 원의 성질
...17
III . 통계
...33
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연산
정답과 해설
중학 수학 3
-2
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Ⅰ . 삼각비
1 삼각비의 뜻
1 ⑴①;5$;②;5#;③;3$;
⑵①;1!7%;②;1¥7;③:Á8°:
⑶①;4#;② '7 4 ③3'7
7 ④'7
4 ⑤;4#;⑥'7 3
⑷① '7 5 ②3'2
5 ③'¶14 6 ④3'2
5 ⑤'7
5 ⑥3'¶14 7 2 ⑴7,625,25
①;2¦¶5;②;2@5$;③;2¶¦4;④;2@5$;⑤;2¦¶5;⑥:ª7¢:
⑵①;3@;② '5 3 ③2'5
5 ④'5
3 ⑤;3@;⑥'5 2
⑶①;5@;② '¶21
5 ③2'¶21 21 ④'¶21
5 ⑤;5@;⑥'¶21 2 A
B C
17
8 15 p.8 ~ p.9 01 삼각비의 뜻
1 ⑴①sin A= BCÓ ABÓ=;5$;
⑴②cos A= ACÓ ABÓ=;5#;
⑴③tan A= BCÓ ACÓ=;3$;
⑵①sin B= ACÓ ABÓ=;1!7%;
⑴②cos B= BCÓ ABÓ=;1¥7;
⑴③tan B= ACÓ BCÓ=:Á8°:
⑶ ①sin A= BCÓ
ABÓ=;4#;
②cos A= ACÓ
ABÓ= '7 4
③tan A= BCÓ
ACÓ= 3 '7
③tan A=3'7 7
⑷ ④sin B= ACÓ
ABÓ= '7 4
⑤cos B= BCÓ
ABÓ=;4#;
⑥tan B= ACÓ
BCÓ= '7 3
A
B
C 4 3
7 기준각
A
B C
4
3
7 기준각
⑷ ①sin A= BCÓ
ABÓ= '7 5
②cos A= ACÓ
ABÓ=3'2 5
③tan A= BCÓ
ACÓ= '7 3'2
③tan A= '1§4 6
⑷ ④sin B= ACÓ
ABÓ=3'2 5
⑤cos B= BCÓ
ABÓ= '7 5
⑥tan B= ACÓ
BCÓ =3'2 '7
③tan A=3'1§4 7
2 ⑴ABÓ="Ã24Û`+ 7 Û`="Ã625 = 25
⑷ ①sin A=;2¶¦5;
②cos A=;2@5$;
③tan A=;2¶¦4;
⑷ ④sin B=;2@5$;
⑤cos B=;2¶¦5;
⑥tan B=:ª7¢:
⑵ACÓ="Ã3Û`-2Û`='5이므로
⑷ ①sin A=;3@;
②cos A= '5
3
③tan A= 2
'5=2'5 5
⑷ ④sin B= '5
3
⑤cos B=;3@;
⑥tan B= '5
2
⑶ACÓ="Ã5Û`-2Û`='¶21이므로
⑷ ①sin A=;5@;
②cos A= '2§1 5
③tan A= 2
'¶21=2'2§1 21
A
B
C 5
3 2
7 기준각
A
B C
5 3 2
7 기준각
A
B
C 7 24
25
A
B 7 C 25 24
A
B
C
3 2
5 A
B C
2 3
5
A
B
C 5 2
21
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1 ⑴6,6,2'7⑵x=8,y=6⑶x=2,y=3
⑷x=2,y=4'2⑸x=3'5,y=6⑹x=6,y=2'1§3 2 ⑴2①2,'1§3② 2'¶13
13
⑵ ⑶
① '7 4 ②3'7
7 ①2'2 3 ②2'2
⑷ ⑸
①2'6
7 ②2'6
5 ①2'5 5 ②'5
5
⑹ ⑺
①;3@;② '5
2 ① '3 3 ②'2
2 3 ⑴;5#;⑵2+3'5⑶0⑷;3@;
A
B
C
4 3
A B
1 C 3
A
B
C 7
5 A
B
1 C 2
5
A
B
C 3
A 6 C
B 3
p.10 ~ p.12 02 삼각비의 값
1 ⑵sin A=;1Ó0;=;5$;이므로x=8
∴y="Ã10Û`-8Û`='3§6=6
⑶tan A= x '5=2'5
5 이므로x=2
∴y="Ã('5)Û`+2Û`='9=3
⑷sin A=;6{;=;3!;이므로x=2
∴y="Ã6Û`-2Û`='3§2=4'2
⑸cos A=;9{;= '5
3 이므로x=3'5
∴y="Ã9Û`-(3'5)Û`='3§6=6
⑹tan A=;[$;=;3@;이므로x=6
∴y="Ã6Û`+4Û`='5§2=2'1§3
2 ⑴②sin A= BCÓ ABÓ= 2
'13=2'¶13 13
⑵주어진삼각비의값을만족하는가
A
B
C
4 3
장간단한직각삼각형ABC는오른 쪽그림과같다.
⑵이때ACÓ="Ã4Û`-3Û`='7이므로
⑵①cos A= '7 4
⑵②tan A= 3 '7=3'7
7
⑶주어진삼각비의값을만족하는가장간단한
A B
1 C 3
직각삼각형ABC는오른쪽그림과같다.
⑵이때BCÓ="Ã3Û`-1Û`=2'2이므로
⑵①sin A=2'2 3
⑵②tan A=2'2
⑷주어진삼각비의값을만족하는가
A
B
C 7
5
장간단한직각삼각형ABC는오 른쪽그림과같다.
⑵이때BCÓ="Ã7Û`-5Û`=2'6이므로
⑵①sin A=2'6 7
⑵②tan A=2'6 5
⑸주어진삼각비의값을만족하는가장간
A
B
1 C 2
단한직각삼각형ABC는오른쪽그림 과같다.
⑵이때ABÓ="Ã1Û`+2Û`='5이므로
⑵①sin A= 2 '5=2'5
5
⑵②cos A= 1 '5= '5
5
⑹주어진 삼각비의 값을 만족하는
A
B
C
3 5
가장간단한직각삼각형ABC는
오른쪽그림과같다.
⑵이때 ACÓ="Ã3Û`-('5)Û`=2이므 로
⑵①cos A=;3@;
⑵②tan A= '5 2
⑷ ④sin B= '2§1
5
⑤cos B=;5@;
⑥tan B= '2§1
2
A
B C
2
5 21
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⑺주어진삼각비의값을만족하는
A C
B 3
6
가장간단한직각삼각형ABC
는오른쪽그림과같다.
⑵이때BCÓ="Ã3Û`-('6)Û`='3이 므로
⑵①sin A= '3 3
⑵②tan A= '3 '6= 1
'2= '2 2
3 ⑴∠C=90ù,sin A=;5#;이므로오
A
B
C 5 3
⑵른쪽그림과같이직각삼각형
ABC를그릴수있다.
⑵이때ACÓ="Ã5Û`-3Û`=4이므로
⑵cos A=;5$;,tan A=;4#;
⑵∴cos A_tan A=;5$;_;4#;=;5#;
⑵∠C=90ù,tan A= '5
2 이므로오
A
B
2 C 5
⑵른쪽그림과같이직각삼각형ABC
를그릴수있다.
⑵이때ABÓ="Ã2Û`+('5)Û`=3이므로
⑵sin A= '5
3 ,cos A=;3@;
⑵∴sin A+cos A=2+'5 3
⑶∠C=90ù,cos A=;7#;이므로오른쪽그
A B
C 7
3
⑵림과같이직각삼각형ABC를그릴수있 다.
⑵이때BCÓ="Ã7Û`-3Û`=2'1§0이므로
⑵sin A=2'1§0
7 ,tan A=2'1§0 3
⑵∴7 sin A-3 tan A=7_2'1§0
7 -3_2'1§0 3
⑵∴7 sin A+3 tan A=2'1§0-2'1§0=0
⑷∠C=90ù,cos A=;3@;이므로오른쪽
A
B
2 C
⑵그림과같이직각삼각형ABC를그릴 3
수있다.
⑵이때BCÓ="Ã3Û`-2Û`='5이므로
⑵sin A= '5
3 ,tan A='5 2
⑵∴sin AÖtan A= '5 3 Ö'5
2
⑵∴sin AÖtan A= '5 3 _ 2
'5=;3@;
1 ⑴2'6⑵ 2'6
7 ⑶;7%;⑷2'6 5
2 E,D⑴EDÓ,ABÓ⑵AEÓ,ACÓ⑶ADÓ,BCÓ
3 ⑴ABC⑵ABC⑶AEÓ,ACÓ⑷EDÓ,ABÓ⑸ADÓ,BCÓ 4 ⑴5⑵∠ACB⑶;5$;⑷;5#;⑸;3$;
5 ⑴①;1!3@;②;1°3;③:Á5ª:⑵;5#;⑶;1@7#;⑷;5!;
6 ⑴DBÓ,DCÓ⑵ABÓ,BCÓ⑶ABÓ,DBÓ,BDÓ
7 ⑴∠ACB⑵∠ABC⑶;1°3;⑷;1!3@;⑸;1°2;⑹;1!3@;
⑺;1°3;⑻:Á5ª:
8 ⑴;2@0&;⑵'3⑶;1@7#;
9 ⑴10⑵∠ADB⑶;5&;
10 ;5#;
p.13 ~ p.15 03 직각삼각형의 닮음을 이용한 삼각비의 값
1 ⑴△ABC에서
⑴BCÓ="Ã7Û`-5Û`=2'6
⑵△DAE»△BAC이므로
⑴DEÓ ADÓ= BCÓ
ABÓ= 2'6 7
⑶AEÓ ADÓ= ACÓ
ABÓ=;7%;
⑷DEÓ AEÓ= BCÓ
ACÓ=2'6 5
4 ⑴△ABC에서
x A
B C
D
E 4 3
⑴BCÓ="Ã4Û`+3Û`=5
⑵△ABC와△EBD에서
⑴∠B는공통,
⑴∠BAC=∠BED=90ù이므로
⑴△ABC»△EBD(AA닮음)
⑴∴∠ACB=∠EDB=∠x
⑶sin x=sin(∠ACB)= ABÓ BCÓ=;5$;
⑷cos x=cos(∠ACB)= ACÓ BCÓ =;5#;
⑸tan x=tan(∠ACB)= ABÓ ACÓ=;3$;
5 ⑴△ABC»△EBD(AA닮음)
x
A
B E C
12D
⑴이므로 5
⑴∠BCA=∠BDE=∠x
⑴이때△ABC에서
⑴BCÓ="Ã12Û`+5Û`=13이므로
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⑴①sin x=sin(∠BCA)= ABÓ BCÓ =;1!3@;
⑴②cos x=cos(∠BCA)= ACÓ BCÓ=;1°3;
⑴③tan x=tan(∠BCA)= ABÓ ACÓ=:Á5ª:
⑵△ABC»△EDC(AA닮음)
x A
B C
D
E
6 8
⑴이므로
⑴∠ABC=∠EDC=∠x
⑴이때△ABC에서
⑴BCÓ="Ã6Û`+8Û`=10이므로
⑴cos x=cos(∠ABC)= ABÓ
BCÓ=;1§¤0;=;5#;
⑶△ABC»△EDC(AA닮음)
x A
B C
D
E 8
17
⑴이므로
⑴∠ABC=∠EDC=∠x
⑴이때△ABC에서
⑴ACÓ="Ã17Û`-8Û`=15이므로
⑴cos x= ABÓ
BCÓ =;1¥7;,sinx= ACÓBCÓ=;1!7%;
⑴∴cos x+sin x=;1¥7;+;1!7%;=;1@7#;
⑷△ABC»△EBD(AA닮음)이
C x
B
A E
9 D
므로 15
⑴∠BDE=∠BCA=∠x
⑴이때△EBD에서
⑴BEÓ="Ã15Û`-9Û`=12이므로
⑴sin x= BEÓ
BDÓ=;1!5@;=;5$;,
⑴cos x= DEÓ
BDÓ=;1»5;=;5#;
⑴∴sin x-cos x=;5$;-;5#;=;5!;
7 ⑴△ABC와△HBA에서
x y A
B H C
5 12
13
⑴∠B는공통,
⑴∠BAC=∠BHA=90ù
⑴이므로
⑴△ABC»△HBA(AA닮음)
⑴∴∠ACB=∠HAB=∠x
⑵△ABC와△HAC에서
⑴∠C는공통,∠BAC=∠AHC=90ù이므로
⑴△ABC»△HAC(AA닮음)
⑴∴∠ABC=∠HAC=∠y
⑶sin x=sin(∠ACB)= ABÓ BCÓ =;1°3;
⑷cos x=cos(∠ACB)= ACÓ BCÓ=;1!3@;
⑸tan x=tan(∠ACB)= ABÓ ACÓ=;1°2;
⑹sin y=sin(∠ABC)= ACÓ BCÓ =;1!3@;
⑺cos y=cos(∠ABC)= ABÓ BCÓ =;1°3;
⑻tan y=tan(∠ABC)= ACÓ ABÓ=:Á5ª:
8 ⑴△HBA»△ABC(AA닮음)
x y
A
B H C
5
⑴이므로 3
⑴∠ACB=∠HAB=∠x
⑴이때△ABC에서
⑴ACÓ="Ã5Û`-3Û`=4이므로
⑴tan x= ABÓ
ACÓ=;4#;,cos y= ABÓBCÓ =;5#;
⑴∴tan x+cos y=;4#;+;5#;=;2@0&;
⑵△ABH»△CAH(AA닮음)
x y 3 A
B H C
⑴이므로 1
⑴∠ACH=∠BAH=∠x,
⑴∠ABH=∠CAH=∠y
⑴이때△ABC에서
⑴BCÓ="Ã1Û`+('3)Û`=2이므로
⑴cos x= ACÓ BCÓ= '3
2 ,sin y=ACÓ BCÓ= '3
2
⑴∴cos x+sin y= '3 2 +'3
2 ='3
⑶△ABH»△CAH(AA닮음)
x y A
B H C
15
17
⑴이므로
⑴∠ACH=∠BAH=∠x,
⑴∠ABH=∠CAH=∠y
⑴이때△ABC에서
⑴ABÓ="Ã17Û`-15Û`=8이므로
⑴sin x= ABÓ
BCÓ =;1¥7;,sin y= ACÓBCÓ =;1!7%;
⑴∴sin x+sin y=;1¥7;+;1!7%;=;1@7#;
9 ⑴ABCD에서
x A
B H
C D
8
⑴BDÓ="Ã8Û`+6Û`=10 6
⑵△ABD»△HBA(AA닮음)
⑴이므로
⑴∠ADB=∠HAB=∠x
⑶sin x= ABÓ
BDÓ=;1§¤0;=;5#;,
⑴cos x= ADÓ
BDÓ =;1¥0;=;5$;
⑴∴sin x+cos x=;5#;+;5$;=;5&;
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1 ⑴AOÓ=2,BOÓ=8,ABÓ=2'1§7
⑵4'1§7
17 ⑶'1§7 17 ⑷4 2 - '1§3
13 3 ⑴;2!;,2,;2!;⑵2
4 3 5 ;5!;
p.16 04 직선의 방정식과 삼각비의 값
1 ⑴y=4x+8의그래프의x절편은-2,y절편은8이므로
⑴AOÓ=2,BOÓ=8
⑴△BAO에서ABÓ="Ã2Û`+8Û`=2'1§7
⑵sin a= BOÓ ABÓ= 8
2'1§7=4'1§7 17
⑶cos a= AOÓ ABÓ= 2
2'1§7= '1§7 17
⑷tan a= BOÓ
AOÓ=;2*;=4
2 y=;3@;x+4의그래프의x절편은-6,y절편은4이므로
AOÓ=6,BOÓ=4
△BAO에서ABÓ="Ã6Û`+4Û`=2'1§3
즉sin a= 4
2'1§3=2'1§3
13 ,cos a= 6
2'1§3=3'1§3 13
∴sin a-cos a=2'1§3
13 -3'1§3
13 =-'1§3 13 3 ⑵4x-2y+12=0에서y=2x+6
⑵∴tan a=(기울기)=2 4 3x-y+4=0에서y=3x+4
∴tan a=(기울기)=3
5 2x-10y+8=0에서y=;5!;x+;5$;
∴tan a=(기울기)=;5!;
1 2
⑴1,'3, '3
3 ⑴ '3
3
⑵'2,'3, '6
3 ⑵ '6
3 3 '6
3 4 5'¶2929
x H
D
F
1 3
2
x A
E G
2 2 3
2 2 p.17 05 입체도형에서 삼각비의 값
2 ⑴sin x= AEÓ AGÓ= 2
2'3= '3 3
⑵cos x= EGÓ AGÓ=2'2
2'3= '6 3 3 FHÓ="Ã5Û`+5Û`=5'2(cm)
x B
F H 5 cm
cm 5 2
5 3cm
BHÓ="Ã(5'2)Û`+5Û`=5'3(cm)
∴cos x= FHÓ BHÓ=5'2
5'3= '6 3 4 EGÓ="Ã3Û`+4Û`=5`(cm)
x A
E G
2 cm
5 cm 29cm
AGÓ="Ã5Û`+2Û`='2§9`(cm)
∴cos x= EGÓ AGÓ= 5
'2§9
∴cos x=5'2§9 29
1 ⑴2,'3⑵'2,1⑶2,'3
2 ⑴1+'3
2 ⑵;2#;⑶0⑷1⑸;2#;⑹ 3'3 2 ⑺'2
4
⑻ '3
2 ⑼;3!;⑽1
3 ⑴2'3⑵-2⑶2⑷1⑸- 3'3
4 ⑹1⑺3'3 4
⑻;2!;⑼'2+1⑽3'2 4
4 ⑴60ù⑵60ù⑶30ù⑷45ù⑸45ù
5 ⑴20ù⑵60ù⑶20ù 6 sin x= '32 ,cos x=;2!;
삼각비A 30ù 45ù 60ù
sin A ;2!; '2
2 '3
2
cos A '3
2 '2
2 ;2!;
tan A '3
3 1 '3
p.18 ~ p.20 06 30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값 ⑴ 10 ABCD에서
x A
B H
C D
9
12
BDÓ="Ã9Û`+12Û`=15
△ABD»△HBA(AA닮음)
이므로∠ADB=∠HAB=∠x
∴sinx= ABÓ
BDÓ=;1»5;=;5#;
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2 ⑴sin 30ù+cos 30ù=;2!;+ '3
2 =1+'3 2
⑵cos 60ù+tan 45ù=;2!;+1=;2#;
⑶cos 45ù-sin 45ù= '2 2 -'2
2 =0
⑷sin 30ù+cos 60ù=;2!;+;2!;=1
⑸cos 30ù_tan 60ù= '3
2 _'3=;2#;
⑹tan 60ù+sin 60ù='3+ '3 2 =3'3
2
⑺sin 30ù_cos 45ù=;2!;_ '2 2 ='2
4
⑻tan 45ù_cos 30ù=1_ '3 2 ='3
2
⑼tan 30ùÖtan 60ù= '3
3 Ö'3='3 3 _ 1
'3=;3!;
⑽cosÛ` 30ù+sinÛ` 30ù={ '3
2 }2`+{;2!;}2`=;4#;+;4!;=1
3 ⑴(주어진식)='3+ '3
2 Ö;2!;='3+'3 2 _2
⑴(주어진식)='3+'3=2'3
⑵(주어진식)=2_;2!;-'3_1_'3=1-3=-2
⑶(주어진식)=;2!;Ö '3
2 _'3+1
⑵(주어진식)=;2!;_ 2
'3_'3+1
⑵(주어진식)=1+1=2
⑷(주어진식)=;2!;_'3Ö '3
2 =;2!;_'3_ 2 '3=1
⑸(주어진식)={;2!;}2`_'3- '3 2 Ö{'2
2 }2`
⑵(주어진식)=;4!;_'3- '3 2 _2
⑵(주어진식)= '3
4 -'3=-3'3 4
⑹(주어진식)= '3 2 Ö'3
3 -'3 2 _'3
3
⑵(주어진식)= '3 2 _ 3
'3- '3 2 _'3
3
⑵(주어진식)=;2#;-;2!;=1
⑺(주어진식)= '3
2 _1+'3 2 _;2!;
⑺(주어진식)= '3 2 +'3
4 =3'3 4
⑻(주어진식)={ '3
2 +;2!;}Ö('3+1)
⑺(주어진식)= '3+1
2 _ 1
'3+1=;2!;
⑼(주어진식)=4_ '2
2 _;2!;+'3_'3
3 ='2+1
⑽(주어진식)=2_ '3 2 _'2
2 _1_'3 2 =3'2
4
4 ⑴sin 60ù= '3
2 ∴∠A=60ù
⑵cos 60ù=;2!; ∴∠A=60ù
⑶tan 30ù= '3
3 ∴∠A=30ù
⑷sin 45ù= '2
2 ∴∠A=45ù
⑸tan 45ù=1 ∴∠A=45ù
5 ⑵cos 60ù=;2!;이므로2x-60ù=60ù
⑵2x=120ù ∴x=60ù
⑶cos 30ù= '3
2 이므로2x-10ù=30ù
⑵2x=40ù ∴x=20ù
6 tan 45ù=1이므로x-15ù=45ù,x=60ù
∴sin x=sin 60ù= '3 2 ,
∴cos x=cos 60ù=;2!;
1 ⑴x=8,y=4'3⑵x='3,y=2'3⑶x=5'2,y=5
⑷x=3'2,y=3'2⑸x=20,y=10'3
⑹x=6,y=6'3⑺x=5'3,y=5
⑻x=7,y=7'2⑼x=6'3,y=3'3 2 ⑴➊2,2,2➋2,2,2'3
⑵4'2⑶3'3⑷6+6'3 3 ⑴➊'3,'3,'3➋'3,2
⑵8'3
3 ⑶6⑷'3
p.21 ~ p.22 07 30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값 ⑵
1 ⑴sin 30ù=;[$;에서;2!;=;[$;
⑴∴x=8
⑴tan 30ù=;]$;에서 '3 3 =;]$;
⑴∴y=4'3
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⑴다른풀이x의값을구한후y의값은피타고라스정리를이 용하여구할수도있다.
⑴△ABC에서y="ÃxÛ`-4Û`="Ã8Û`-4Û`=4'3
⑵tan 30ù=;3{;에서 '3 3 =;3{;
⑴∴x='3
⑴cos 30ù=;]#;에서 '3 2 =;]#;
⑴∴y=2'3
⑶cos 45ù=;[%;에서 '2 2 =;[%;
⑴∴x=5'2
⑴tan 45ù=;5};에서1=;5};
⑴∴y=5
⑷sin 45ù=;6{;에서 '2 2 =;6{;
⑴∴x=3'2
⑴cos 45ù=;6};에서 '2 2 =;6};
⑴∴y=3'2
⑸cos 60ù=:Á[¼:에서;2!;=:Á[¼:
⑴∴x=20
⑴tan 60ù=;1Õ0;에서'3=;1Õ0;
⑴∴y=10'3
⑹cos 60ù=;1Ó2;에서;2!;=;1Ó2;
⑴∴x=6
⑴sin 60ù=;1Õ2;에서 '3 2 =;1Õ2;
⑴∴y=6'3
⑺cos 30ù=;1Ó0;에서 '3 2 =;1Ó0;
⑴∴x=5'3
⑴sin 30ù=;1Õ0;에서;2!;=;1Õ0;
⑴∴y=5
⑻tan 45ù=;[&;에서1=;[&;
⑴∴x=7
⑴sin 45ù=;]&;에서 '2 2 =;]&;
⑴∴y=7'2
⑼sin 60ù=;[(;에서 '3 2 =;[(;
⑴∴x=6'3
⑴tan 60ù=;](;에서'3=;](;
⑴∴y=3'3
2 ⑴➊△AHC에서tan 45ù= AHÓ 2 이므로
⑴➊1=AHÓ
2 ∴AHÓ= 2
⑴➋△ABH에서tan 30ù= AHÓx = 2 x 이므로
⑴➊'3 3 =
2
x ∴x= 2'3
⑵△ABH에서
45∞ 30∞
A
B H C
4 x
⑴sin 45ù= AHÓ4 이므로
⑴'2 2 =AHÓ
4 ∴AHÓ=2'2
⑴△AHC에서sin 30ù= AHÓx =2'2 x 이므로
⑴;2!;=2'2
x ∴x=4'2
⑶△AHC에서 A
B 30∞ H 45∞ C
x 3
⑴tan 45ù= AHÓ3 이므로
⑴1=AHÓ
3 ∴AHÓ=3
⑴△ABH에서
⑴tan 30ù= AHÓx =;[#;이므로
⑴'3
3 =;[#; ∴x=3'3
⑷△AHC에서
45∞ 30∞
A
B H C
12
x
⑴cos 30ù= CHÓ12 이므로
⑴'3 2 =CHÓ
12 ∴CHÓ=6'3
⑴sin 30ù= AHÓ12 이므로
⑴;2!;= AHÓ12 ∴AHÓ=6
⑴△ABH에서tan 45ù= AHÓ BHÓ= 6
BHÓ이므로
⑴1= 6
BHÓ ∴BHÓ=6
⑴∴x=BHÓ+CHÓ=6+6'3
3 ⑴➊△BCD에서tan 45ù= BCÓ '3 이므로
⑴➊1=BCÓ
'3 ∴BCÓ='3
⑴➋△ABC에서sin 60ù= BCÓx 이므로
⑴➊'3 2 = '3
x ∴x= 2
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1 ⑴BCÓ⑵ABÓ⑶DEÓ⑷ABÓ⑸BCÓ⑹ABÓ⑺BCÓ 2 ⑴◯⑵×⑶◯⑷×⑸◯
3 ⑴0.8480⑵0.5299⑶1.6003⑷0.5299⑸0.8480 4 ⑴①0.6018②0.7986③0.7536④0.7986
⑵①0.7431②0.6691③1.1106④0.7431 5 ⑴◯⑵◯⑶×⑷×
p.23 ~ p.24 08 예각의 삼각비의 값
1 ⑵cos x= ABÓ
ACÓ= ABÓ1 =ABÓ
⑶tan x= DEÓ
ADÓ= DEÓ1 =DEÓ
⑵△BCD에서
4 2 x
45∞
60∞
A
B C
D
⑴sin 45ù= BCÓ 4'2이므로
⑴'2 2 =BCÓ
4'2 ∴BCÓ=4
⑴△ABC에서
⑴sin 60ù= BCÓx =;[$;이므로
⑴'3
2 =;[$; ∴x=8'3 3
⑶△ABC에서
2 3
45∞
60∞
A
B C
D
x
⑴tan 60ù= BCÓ 2'3이므로
⑴'3= BCÓ2'3 ∴BCÓ=6
⑶△BCD에서
⑶tan 45ù= BCÓx =;[^;이므로
⑶1=;[^; ∴x=6
⑷△BCD에서
45∞
60∞
A
B
3
C D
x
⑶tan 45ù= BCÓ3 이므로
⑶1=BCÓ
3 ∴BCÓ=3
⑶△ABC에서
⑶tan 60ù= BCÓx =;[#;이므로
⑶'3=;[#; ∴x='3
⑷sin y= ABÓ
ACÓ= ABÓ1 =ABÓ
⑸cos y= BCÓ
ACÓ= BCÓ1 =BCÓ
⑹∠z=∠y이므로sin z=sin y=ABÓ
⑺∠z=∠y이므로cos z=cos y=BCÓ
2 ⑵cos x= ABÓ
ACÓ= ABÓ1 =ABÓ
⑷tan x= DEÓ
ADÓ= DEÓ1 =DEÓ
⑸∠z=∠y이므로cos z=cos y=BCÓ
3 ⑵cos 58ù= OBÓ
OAÓ= 0.52991 =0.5299
⑶tan 58ù= CDÓ
ODÓ= 1.60031 =1.6003
⑷△AOB에서
⑷∠OAB=90ù-58ù=32ù
⑷∴sin 32ù= OBÓ
OAÓ= 0.52991 =0.5299
⑸cos 32ù= ABÓ
OAÓ= 0.84801 =0.8480
4 ⑴①sin 37ù= ABÓ
OAÓ= 0.60181 =0.6018
⑷②cos 37ù= OBÓ
OAÓ= 0.79861 =0.7986
⑷③tan 37ù= CDÓ
ODÓ= 0.75361 =0.7536
⑷④△AOB에서
⑷④∠OAB=90ù-37ù=53ù
⑷④∴sin 53ù= OBÓ
OAÓ= 0.79861 =0.7986
⑵①sin 48ù= ABÓ
OAÓ= 0.74311 =0.7431
⑷②cos 48ù= OBÓ
OAÓ= 0.66911 =0.6691
⑷③tan 48ù= CDÓ
ODÓ= 1.11061 =1.1106
⑷④△AOB에서
⑷④∠OAB=90ù-48ù=42ù
⑷④∴cos 42ù= ABÓ
OAÓ= 0.74311 =0.7431
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1 ⑴1⑵1⑶0⑷1⑸0⑹-;2!;⑺- '3
6 ⑻5-2'6 2 ⑴=⑵=⑶>⑷>⑸<⑹<⑺<⑻<⑼>
3 ⑴◯⑵×⑶◯⑷◯⑸×
4 ㉠,㉢,㉤,㉡,㉣
p.25 ~ p.26 09 0ù와 90ù의 삼각비의 값
1 ⑴0.7193⑵0.1908⑶0.9781⑷0.2079
⑸1.0355⑹5.1446 2 ⑴14⑵16⑶17 3 80
p.27 10 삼각비의 표
1 ⑴(주어진식)=1-0=1
⑵(주어진식)=1+0=1
⑶(주어진식)=(0+0)Ö1=0
⑷(주어진식)=1_;2!;+1_;2!;=;2!;+;2!;=1
⑸(주어진식)=0_ '2 2 -'2
2 _0=0
⑹(주어진식)=0_1- '3 2 _'3
3 =-;2!;
⑺(주어진식)=1_ '3 3 -'3
2 _1=-'36
⑻(주어진식)=1_{2_ '2 2 -'3}2`
⑻(주어진식)=('2-'3)Û`=5-2'6
2 ⑴cos 30ù= '3
2 ,sin 60ù='3
2 이므로cos 30ù=sin 60ù
⑵sin 45ù= '2
2 ,cos 45ù='2
2 이므로sin 45ù=cos 45ù
⑶sin 90ù=1,cos 90ù=0이므로sin 90ù>cos 90ù
⑷0ùÉxÉ90ù인범위에서x의값이증가하면cos x의값은
감소하므로cos 25ù>cos 30ù
⑸0ùÉxÉ90ù인범위에서x의값이증가하면sin x의값은
증가하므로sin 50ù<sin 55ù
⑹0ùÉx<90ù인범위에서x의값이증가하면tan x의값은
증가하므로tan 20ù<tan 40ù
⑺0<cos 65ù<1,tan 45ù=1이므로cos 65ù<tan45ù
⑻sin 25ù<sin 45ù,cos 45ù<cos 25ù이고
⑻sin 45ù=cos 45ù이므로sin 25ù<cos 25ù
⑼sin 45ù<sin 50ù,cos 50ù<cos 45ù이고
⑻sin 45ù=cos 45ù이므로sin 50ù>cos 50ù
1
2
⑴sin 14ù=0.2419 ∴x=14
⑵tan 16ù=0.2867 ∴x=16
⑶cos 17ù=0.9563 ∴x=17 3
sin 41ù=0.6561 ∴x=41
cos 39ù=0.7771 ∴y=39
∴x+y=41+39=80
각도 sin cos tan
39ù 0.6293 0.7771 0.8098
40ù 0.6428 0.7660 0.8391
41ù 0.6561 0.7547 0.8693
각도 sin cos tan
11ù 0.1908 0.9816 0.1944
12ù 0.2079 0.9781 0.2126
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
44ù 0.6947 0.7193 0.9657
45ù 0.7071 0.7071 1.0000
46ù 0.7193 0.6947 1.0355
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
78ù 0.9781 0.2079 4.7046
79ù 0.9816 0.1908 5.1446
⑵
⑶
⑴ ⑸
⑷
⑹
각도 sin cos tan
14ù 0.2419 0.9703 0.2493
15ù 0.2588 0.9659 0.2679
16ù 0.2756 0.9613 0.2867
17ù 0.2924 0.9563 0.3057
⑴
⑵
⑶
5 ⑶tan 61ù= CDÓ
ODÓ= CDÓ1 =CDÓ
⑷△AOB에서
⑷∠OAB=90ù-61ù=29ù
⑷∴cos 29ù= ABÓ
OAÓ= 0.87461 =0.8746
3 ⑵A의값이커지면cos A의값은작아진다.
⑸tan A의최댓값은알수없다.
4 ㉠sin 0ù=0㉡cos 0ù=1㉣tan 50ù>1(=tan 45ù)
0<㉢cos 80ù< '2
2 <㉤sin 80ù<1
따라서삼각비의값을작은것부터차례대로쓰면㉠,㉢,㉤,
㉡,㉣이다.
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1 ⑴① 10
cos 35ù ②10 tan 35ù⑵5 tan 43ù, 5 cos 43ù
⑶6 cos 55ù,6 sin 55ù⑷ 15
cos 32ù ,15 tan 32ù 2 ⑴①0.28,28②0.96,96⑵3.9,9.2⑶19.4
3 2.7`m 4 80`m
5 ⑴1.7m⑵8.4m⑶10.1 6 3(6'3+1)`m
7 ⑴6.36m⑵10.2m⑶16.56 8 6'3m 9 ⑴50'3
3 m⑵50m⑶50{'3 3 +1}m 10 20('3-1)`m
p.30 ~ p.32 11 직각삼각형에서 변의 길이 구하기
2 삼각비의 활용
1 ⑵tan 43ù=;5{;이므로x=5 tan 43ù
⑵cos 43ù=;]%;이므로y= 5 cos 43ù
⑶cos 55ù=;6{;이므로x=6 cos 55ù
⑵sin 55ù=;;6};이므로y=6 sin 55ù
⑷cos 32ù=:Á[°:이므로x= 15cos 32ù
⑵tan 32ù=;1Õ5;이므로y=15 tan 32ù
2 ⑵sin 23ù=;1Ó0;이므로x=10 sin 23ù=10_0.39=3.9
⑵cos 23ù=;1Õ0;이므로y=10 cos 23ù=10_0.92=9.2
⑶tan 44ù=;2Ó0;이므로x=20 tan 44ù=20_0.97=19.4
3 ACÓ=3 sin 65ù=3_0.9=2.7`(m)
4 BCÓ=200 sin 24ù=200_0.4=80`(m)
5 ⑴BHÓ=(대환이의눈높이)=1.7`m
⑵tan 40ù= CBÓ
ABÓ= CBÓ10 이므로
⑵CBÓ=10 tan 40ù=10_0.84=8.4`(m)
⑶(나무의높이)=CBÓ+BHÓ=8.4+1.7=10.1`(m)
6 BHÓ=(등대의높이)=3`m
tan 30ù= CBÓ
ABÓ= CBÓ54 이므로
CBÓ=54 tan 30ù=54_ '33 =18'3`(m)
∴CHÓ=CBÓ+BHÓ=18'3+3
=3(6'3+1)`(m)
7 ⑴ABÓ=12 sin 32ù=12_0.53=6.36`(m)
⑵ACÓ=12 cos 32ù=12_0.85=10.2`(m)
⑶(쓰러지기전의나무의높이)
⑶=ABÓ+ACÓ=6.36+10.2=16.56`(m)
8 ABÓ=6 tan 30ù=6_ '33 =2'3`(m)
ACÓ= 6
cos 30ù =6Ö'3
2 =4'3`(m)
∴(부러지기전의나무의높이)
∴=ABÓ+ACÓ=2'3+4'3=6'3`(m) 9 ⑴AHÓ=DCÓ=50`m이므로
30∞
45∞ H
A
C B
D 50 m
⑵△ABH에서
⑵BHÓ=50 tan 30ù=50_ '33
⑵BHÓ= 50'3 3 `(m)
⑵△ACH에서
⑵CHÓ=50 tan 45ù=50_1=50`(m)
⑶(㉯건물의높이)=BCÓ=BHÓ+CHÓ
⑶(㉯건물의높이)= 50'3
3 +50=50{'3
3 +1}`(m)
10 △DBC에서
30∞
15∞
A
B C
D 20 m
BCÓ= 20
tan 30ù =20Ö'3 3
BCÓ=20'3`(m)
△ABC에서
ACÓ=20'3tan45ù=20'3_1
BCÓ=20'3`(m)
∴ADÓ=ACÓ-DCÓ
=20'3-20=20('3-1)`(m)
1 ⑴❶5,5'3,2'3❷2'3,5,BHÓ,'3§7
⑵'2§1⑶5'2⑷2'1§3⑸'7 2 ⑴➊30,4'2➋30,4'2,8'2
⑵4'3⑶5('2+'6)⑷10(1+'3)⑸4(1+'3) 3 20'1§0`m 4 5'2§1`m
5 28.2`m 6 50(1+'3)`m p.33 ~ p.35 12 일반 삼각형에서 변의 길이 구하기
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1 ⑴➊△AHC에서
⑴➊AHÓ=10 sin 30ù=10_;2!;= 5
⑴➊CHÓ=10 cos 30ù=10_ '32 = 5'3
⑴➊BHÓ=BCÓ-CHÓ=7'3-5'3= 2'3
⑴➋△ABH에서
⑴➊x="ÃAHÓÛ`+ BHÓ Û`="Ã5Û`+(2'3)Û`= '¶37
⑵오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A
60∞
A
B H C
x
5
에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 4
H라하면
⑴△ABH에서
⑴AHÓ=4 sin 60ù=4_ '32 =2'3
⑴BHÓ=4 cos 60ù=4_;2!;=2
⑴이때CHÓ=BCÓ-BHÓ=5-2=3이므로
⑴△AHC에서
⑴x="ÃAHÓ Û`+CHÓ Û`="Ã(2'3)Û`+3Û`
='21
⑶오른쪽그림과같이꼭짓점A
H 45∞
A
B C
6 x
7 2
에서BCÓ에내린수선의발을
H라하면△ABH에서
⑴AHÓ=6 sin 45ù
⑴AH=6_ '2 2 =3'2
⑴BHÓ=6 cos 45ù=6_ '22 =3'2
⑴이때CHÓ=BCÓ-BHÓ=7'2-3'2=4'2이므로
⑴△AHC에서
⑴x="ÃAHÓ Û`+CHÓ Û`="Ã(3'2)Û``+(4'2)Û`
='50=5'2
⑷오른쪽그림과같이꼭짓점B에서
60∞ H A
B C
x 6 8
ACÓ에내린수선의발을H라하면
⑴△ABH에서
⑴BHÓ=6 sin 60ù=6_ '32 =3'3
⑴AHÓ=6 cos 60ù=6_;2!;=3
⑴이때CHÓ=ACÓ-AHÓ=8-3=5이므로
⑴△BCH에서
⑴x="ÃBHÓ Û`+CHÓ Û`="Ã(3'3)Û`+5Û`
='52=2'13
⑸오른쪽그림과같이꼭짓
3 3 30∞
A
B H C
4 x
점A에서BCÓ에내린수 선의발을H라하면
⑴△ABH에서
⑴AHÓ=4 sin 30ù=4_;2!;=2
⑴BHÓ=4 cos 30ù=4_ '32 =2'3
⑴이때CHÓ=BCÓ-BHÓ=3'3-2'3='3이므로
⑴△AHC에서
⑴x="ÃAHÓ Û`+CHÓ Û`="Ã2Û`+('3)Û`='7
2 ⑴➊△ABC에서
⑴➊∠A=180ù-(45ù+105ù)= 30 ù
⑴➊△BCH에서
⑴➊CHÓ=8 sin 45ù=8_ '22 = 4'2
⑴➋△AHC에서
⑴➊x= 4'2
sin 30ù =4'2Ö;2!;=4'2_2= 8'2
⑵△ABC에서
60∞
45∞ 75∞
A
B H
C x
6 2
⑴∠A=180ù-(45ù+75ù)=60ù
⑴오른쪽그림과같이꼭짓점C에 서ABÓ에내린수선의발을H라
하면
⑴△BCH에서
⑴CHÓ=6'2 sin 45ù=6'2_ '2 2 =6
⑴△AHC에서
⑴x= 6
sin 60ù =6Ö'3
2 =6_ 2 '3=4'3
⑶△ABC에서
30∞ H A
B 10 2 105∞ 45∞ C x
⑴∠C=180ù-(30ù+105ù)=45ù
⑴오른쪽그림과같이꼭짓점A에
서BCÓ에내린수선의발을H라
하면
⑴△ABH에서
⑴AHÓ=10'2 sin 30ù=10'2_;2!;=5'2
⑴BHÓ=10'2 cos 30ù=10'2_ '3 2 =5'6
⑴△AHC에서
⑴CHÓ= AHÓtan 45ù =AHÓ 1 =5'2
⑴∴x=BHÓ+CHÓ=5'6+5'2=5('2+'6)
⑷△ABC에서
H 60∞
A
B 45∞ C
20 75∞
x
⑴∠B=180ù-(75ù+45ù)=60ù
⑴오른쪽그림과같이꼭짓점A에 서BCÓ에내린수선의발을H라
하면
⑴△ABH에서
⑴AHÓ=20 sin 60ù=20_ '32 =10'3
⑴BHÓ=20 cos 60ù=20_;2!;=10
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⑴△AHC에서
⑴CHÓ= AHÓtan 45ù =AHÓ 1 =10'3
⑴∴x=BHÓ+CHÓ=10+10'3=10(1+'3)
⑸△ABC에서
60∞
75∞
A B
C
H x 45∞
8
⑴∠C=180ù-(60ù+75ù)=45ù
⑴오른쪽그림과같이꼭짓점B에서
ACÓ에내린수선의발을H라하면
⑴△ABH에서
⑴BHÓ=8 sin 60ù=8_ '32 =4'3
⑴AHÓ=8 cos 60ù=8_;2!;=4
⑴△BCH에서
⑴CHÓ= BHÓtan 45ù =BHÓ 1 =4'3
⑴∴x=AHÓ+CHÓ=4+4'3=4(1+'3)
3 오른쪽그림과같이꼭짓점
H
A 45∞ B
C 40 m
m 60 2
C에서 ABÓ에 내린 수선의
발을H라하면
△AHC에서
CHÓ=40 sin 45ù
CHÓ=40_ '2
2 =20'2`(m)
AHÓ=40 cos 45ù=40_ '22 =20'2`(m)
이때BHÓ=60'2-20'2=40'2`(m)이므로
△CHB에서
BCÓ="Ã(20'2)Û`+(40'2)Û`='4Ä000=20'10`(m) 4 오른쪽그림과같이꼭짓점A에서 A
B 60∞ H C
20 m
25 m
BCÓ에내린수선의발을H라하면
△ABH에서
AHÓ=20 sin 60ù
AHÓ=20_ '3
2 =10'3`(m)
BHÓ=20 cos 60ù=20_;2!;=10`(m)
이때CHÓ=25-10=15`(m)이므로
△AHC에서
ACÓ="Ã(10'3)Û`+15Û`='5¶25=5'2§1`(m) 5 △ABC에서
92∞
45∞ 43∞
20 m A
B H C
∠B=180ù-(92ù+43ù)
=45ù
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점
A에서BCÓ에내린수선의발 을H라하면
△AHC에서
CHÓ=20 cos 43ù=20_0.73Ó=14.6`(m)
AHÓ=20 sin 43ù=20_0.68=13.6`(m)
△ABH에서
BHÓ= AHÓtan 45ù =AHÓ
1 =13.6`(m)
∴BCÓ=BHÓ+CHÓ=13.6+14.6=28.2`(m) 6 △ABC에서
60∞
45∞
75∞
A
B C
H
100 m
∠A=180ù-(60ù+75ù)=45ù
오른쪽그림과같이꼭짓점C에서
ABÓ에내린수선의발을H라하면
CHÓ=100 sin 60ù
CHÓ=100_ '3
2 =50'3`(m)
BHÓ=100 cos 60ù=100_;2!;=50`(m)
△AHC에서
AHÓ= CHÓtan 45ù =CHÓ
1 =50'3`(m)
∴ABÓ=BHÓ+AHÓ=50+50'3=50(1+'3)`(m)
1 ⑴➊55,20,tan 55ù,tan 20ù
➋tan 55ù,tan 20ù,tan 55ù,tan 20ù, 100 tan 55ù+tan 20ù
⑵➊40,tan 40ù➋25,tan 25ù
➌tan 25ù,tan 40ù,tan 40ù,tan 25ù,
100 tan 40ù-tan 25ù 2 ⑴➊45,30,45,h,30, '3
3 h
➋h, '3 3 h,h,'3
3 h,30(3-'3)
⑵35(3-'3)⑶7('3-1)
3 15('3-1)m 4 90(3-'3)m 5 ⑴➊60,60,'3h➋45,45,h
➌h,'3h,'3h,h,25('3+1)
⑵30(3+'3)⑶10'3
6 5('3+1)`m 7 40m p.36 ~ p.38 13 삼각형의 높이 구하기
2 ⑵△ABH에서
70 45∞ 30∞
45∞ 60∞
A
B H C
h
⑵∠BAH=90ù-45ù=45ù
이므로
⑵BHÓ=h tan 45ù=h
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⑵△AHC에서
⑵∠CAH=90ù-60ù=30ù이므로
⑵CHÓ=h tan 30ù= '33 h
⑵이때BHÓ+CHÓ=BCÓ이므로
⑵h+ '3
3 h=70,3+'3 3 h=70
⑵∴h= 210
3+'3= 210(3-'3)
(3+'3)(3-'3)=35(3-'3)
⑶△ABH에서
45∞45∞
30∞
60∞
A
B H C
h
14
⑵∠BAH=90ù-45ù=45ù
⑵이므로
⑵BHÓ=h tan 45ù=h
⑵△AHC에서
⑵∠CAH=90ù-30ù=60ù이므로
⑵CHÓ=h tan 60ù='3h
⑵이때BHÓ+CHÓ=BCÓ이므로
⑵h+'3h=14,(1+'3)h=14
⑵∴h= 14
1+'3= 14('3-1)
('3+1)('3-1)=7('3-1)
3 AHÓ=h`m라하면
45∞
45∞
30∞
60∞
A
B H C
30 m
△ABH에서
∠BAH=45ù이므로
BHÓ=h tan 45ù=h`(m)
△AHC에서
∠CAH=60ù이므로
CHÓ=h tan 60ù='3h`(m)
이때BHÓ+CHÓ=BCÓ이므로
h+'3h=30,(1+'3)h=30
∴h= 30
1+'3= 30('3-1)
('3+1)('3-1)=15('3-1)
즉나무의높이는15('3-1)m이다.
4 AHÓ=h`m라하면
45∞
30∞45∞
B 60∞ H C
A
180 m
△ABH에서
∠BAH=30ù이므로
BHÓ=h tan 30ù= '33 h`(m)
△AHC에서
∠CAH=45ù이므로
CHÓ=h tan 45ù=h`(m)
이때BHÓ+CHÓ=BCÓ이므로
'3
3 h+h=180,'3+3
3 h=180
∴h= 540
3+'3= 540(3-'3)
(3+'3)(3-'3)=90(3-'3)
즉지면으로부터기구까지의높이는90(3-'3)`m이다.
5 ⑵△ABH에서
45∞ 60∞
A
B C H
h
60
45∞
⑵∠BAH=90ù-45ù=45ù이므로 30∞
⑵BHÓ=h tan 45ù=h
⑵△ACH에서
⑵∠CAH=90ù-60ù=30ù이므로
⑵CHÓ=h tan 30ù= '33 h
⑵이때BHÓ-CHÓ=BCÓ이므로
⑵h- '3
3 h=60,3-'3 3 h=60
⑵∴h= 180
3-'3= 180(3+'3)
(3-'3)(3+'3)=30(3+'3)
⑶△ABH에서
30∞ 60∞
60∞
30∞
A
B C H
h
20
⑵∠BAH=90ù-30ù=60ù이 므로
⑵BHÓ=htan60ù='3h
⑵△ACH에서
⑵∠CAH=90ù-60ù=30ù이므로
⑵CHÓ=h tan 30ù= '33 h
⑵이때BHÓ-CHÓ=BCÓ이므로
⑵'3h- '3
3 h=20,2'3 3 h=20
⑵∴h=20_ 3
2'3=10'3
6 AHÓ=h`m라하면
30∞ 45∞
45∞
60∞
A
B 10 m C H
△ABH에서
∠BAH=60ù이므로
BHÓ=h tan 60ù='3h`(m)
△ACH에서
∠CAH=45ù이므로
CHÓ=h tan 45ù=h`(m)
이때BHÓ-CHÓ=BCÓ이므로
'3h-h=10,('3-1)h=10
∴h= 10
'3-1= 10('3+1)
('3-1)('3+1)=5('3+1)
즉나무의높이는5('3+1)`m이다.
7 CHÓ=h`m라하면
45∞
45∞
50∞
40∞
A B H
C
8 m
△CAH에서
∠ACH=50ù이므로
AHÓ=h tan 50ù=1.2h`(m)
△CBH에서
∠BCH=45ù이므로
BHÓ=h tan 45ù=h`(m)
이때AHÓ-BHÓ=ABÓ이므로
1.2h-h=8,0.2h=8 ∴h=40
즉탑의높이는40`m이다.
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1 ⑴5⑵20'3⑶12'3⑷27'2
2 ⑸27⑹7'3
⑺135,3'2⑻9'3
2 ⑼27⑽5'3⑾28⑿12'3 2 ⑴8⑵6'5⑶4⑷10⑸6⑹6
3 ⑴❶25'3
4 ❷75'3
4 ❸25'3⑵7'3`cmÛ`⑶49'3`cmÛ`
⑷85'3`cmÛ`⑸72'3`cmÛ`
p.39 ~ p.41 14 삼각형의 넓이 구하기
1 ⑴△ABC=;2!;_5_4_sin 30ù
⑴△ABC=;2!;_5_4_;2!;=5
⑵△ABC=;2!;_8_10_sin 60ù
⑵△ABC=;2!;_8_10_ '3 2 =20'3
⑶△ABC=;2!;_6_8_sin 60ù
⑵△ABC=;2!;_6_8_ '3 2 =12'3
⑷△ABC=;2!;_6_9_sin 45ù
⑵△ABC=;2!;_6_9_ '2
2 =27'2 2
⑸△ABC=;2!;_9_12_sin 30ù
⑵△ABC=;2!;_9_12_;2!;=27
⑹△ABC=;2!;_4_7_sin 60ù
⑵△ABC=;2!;_4_7_ '3 2 =7'3
⑻△ABC=;2!;_3_6_sin(180ù-120ù)
⑻△ABC=;2!;_3_6_ '3 2 =9'3
2
⑼△ABC=;2!;_9_12_sin(180ù-150ù)
⑻△ABC=;2!;_9_12_;2!;=27
⑽△ABC=;2!;_4_5_sin(180ù-120ù)
⑽△ABC=;2!;_4_5_ '3 2 =5'3
⑾△ABC=;2!;_7_8'2_sin(180ù-135ù)
⑽△ABC=;2!;_7_8'2_ '2 2 =28
⑿∠BCA=180ù-(25ù+35ù)=120ù이므로
⑿△ABC=;2!;_8_6_sin(180ù-120ù)
⑿∠BCA=;2!;_8_6_ '3 2 =12'3
2 ⑴△ABC=;2!;_10_x_sin(180ù-150ù)에서
⑴20=;2!;_10_x_;2!;
⑴20=;2%;x ∴x=8
⑵△ABC=;2!;_8'5_x_sin 30ù에서
⑴60=;2!;_8'5_x_;2!;
⑴60=2'5x ∴x=6'5
⑶△ABC=;2!;_x_6_sin(180ù-135ù)에서
⑴6'2=;2!;_x_6_ '2 2
⑴6'2=3'2
2 x ∴x=4
⑷△ABC=;2!;_x_12_sin 60ù에서
⑴30'3=;2!;_x_12_ '3 2
⑴30'3=3'3x ∴x=10
⑸△ABC=;2!;_x_10_sin(180ù-120ù)에서
⑴15'3=;2!;_x_10_ '3 2
⑴15'3=5'3
2 x ∴x=6
⑹△ABC=;2!;_x_16_sin(180ù-135ù)에서
⑴24'2=;2!;_x_16_ '2 2
⑴24'2=4'2x ∴x=6
3 ⑵오른쪽그림과같이ACÓ
60∞
150∞
A
C B
D 4 cm
2 cm
6 cm
cm 2 3
를그으면
⑴△ABC
⑴=;2!;_4_6_sin 60ù
⑴=;2!;_4_6_ '3 2
⑴=6'3`(cmÛ`)
⑴△ACD=;2!;_2_2'3_sin(180ù-150ù)
⑴△ACD=;2!;_2_2'3_;2!;
⑴△ACD='3`(cmÛ`)
⑴∴ABCD=△ABC+△ACD
⑴∴ABCD=6'3+'3
⑴∴ABCD=7'3`(cmÛ`)
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⑶오른쪽그림과같이BDÓ를 7 3cm
7 3cm 60∞
120∞
7 cm 7 cm A
B
C D
그으면
⑴△ABD
⑴=;2!;_7'3_7'3_sin 60ù
⑴=;2!;_7'3_7'3_ '3 2
⑴=147'3 4 `(cmÛ`)
⑴△BCD=;2!;_7_7_sin(180ù-120ù)
⑴△BCD=;2!;_7_7_ '3
2 =49'3 4 `(cmÛ`)
⑴∴ABCD=△ABD+△BCD
⑴∴ABCD=147'3
4 +49'3 4
⑴∴ABCD=196'3
4 =49'3`(cmÛ`)
⑷△ABC에서
60∞
30∞
A
B C
D
10 cm
20 cm
14 cm
⑷ACÓ=20_sin 60ù
⑷ACÓ=20_ '3 2
⑷ACÓ=10'3`(cm)
⑷이므로
⑷△ABC=;2!;_ABÓ_ACÓ
⑷△ABC=;2!;_10_10'3=50'3`(cmÛ`)
⑷△ACD=;2!;_10'3_14_sin 30ù
⑷△ABC=;2!;_10'3_14_;2!;=35'3`(cmÛ`)
⑷∴ABCD=△ABC+△ACD
⑷∴ABCD=50'3+35'3=85'3`(cmÛ`)
⑸△ABC에서
60∞ 45∞
A
B C
D
8 cm
16 cm
cm 10 2
⑷ACÓ=16_sin 60ù
⑷ACÓ=16_ '3 2
⑷ACÓ=8'3(cm)
⑷이므로
⑷△ABC=;2!;_ABÓ_ACÓ
⑷△ABC=;2!;_8_8'3=32'3`(cmÛ`)
⑷△ACD=;2!;_8'3_10'2_sin 45ù
⑷△ACD=;2!;_8'3_10'2_ '2
2 =40'3`(cmÛ`)
⑷∴ABCD=△ABC+△ACD
⑷∴ABCD=32'3+40'3=72'3`(cmÛ`)
1 ;2!;ab sin x,ab sin x
2 ⑴40'3`cmÛ`⑵21'2`cmÛ`⑶36`cmÛ`⑷15'6`cmÛ`
⑸6`cmÛ`⑹2'3`cmÛ`
3 ;2!;ab sin x
4 ⑴14'2`cmÛ`⑵15'3`cmÛ`⑶18'3`cmÛ`⑷30'3`cmÛ`
⑸63'2`cmÛ`⑹52'3`cmÛ`
p.42 ~ p.43 15 사각형의 넓이 구하기
2 ⑴ABCD=8_10_sin 60ù
⑴ABCD=8_10_ '3
2 =40'3`(cmÛ`)
⑵ABCD=6_7_sin 45ù
⑵ABCD=6_7_ '2
2 =21'2`(cmÛ`)
⑶ABCD=8_9_sin(180ù-150ù)
⑶ABCD=8_9_;2!;=36`(cmÛ`)
⑷ABCD=5_6'2_sin(180ù-120ù)
⑶ABCD=5_6'2_ '3
2 =15'6`(cmÛ`)
⑸ABCD=4_3_sin 30ù
⑸ABCD=4_3_;2!;=6`(cmÛ`)
⑹ABCD=2_2_sin(180ù-120ù)
⑶ABCD=2_2_ '3
2 =2'3`(cmÛ`)
4 ⑴ABCD=;2!;_8_7_sin45ù
⑴ABCD=;2!;_8_7_ '2
2 =14'2`(cmÛ`)
⑵ABCD=;2!;_10_6_sin 60ù
⑴ABCD=;2!;_10_6_ '3
2 =15'3`(cmÛ`)
⑶ABCD=;2!;_9_8_sin 60ù
⑴ABCD=;2!;_9_8_ '3
2 =18'3`(cmÛ`)
⑷ABCD=;2!;_12_10_sin(180ù-120ù)
⑴ABCD=;2!;_12_10_ '3
2 =30'3`(cmÛ`)
⑸ABCD=;2!;_14_18_sin(180ù-135ù)
⑴ABCD=;2!;_14_18_ '2
2 =63'2`(cmÛ`)
⑹ABCD=;2!;_13_16_sin(180ù-120ù)
⑴ABCD=;2!;_13_16_ '3
2 =52'3`(cmÛ`)
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Ⅱ . 원의 성질
1 원과 직선
1 ⑴ 68 ⑵ 9 ⑶ 70 ⑷ 11 ⑸ 55 ⑹ 5 ⑺ 160 ⑻ 4 ⑼ 45 2 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ×
3 ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ × 4 ⑴ 50, 50, 80, 80, 8 ⑵ 6 ⑶ 12
p.48 ~ p.49 01 부채꼴의 중심각의 크기와 호, 현의 길이 사이의 관계
1 ⑴ µAB=µ CD이므로 ∠AOB=∠COD=68ù ∴ x=68
⑵ ∠AOB=∠COD이므로 µ CD=µAB=9`cm ∴ x=9
⑶ ABÓ=CDÓ이므로 ∠COD=∠AOB=70ù ∴ x=70
⑷ ∠AOB=∠COD이므로 CDÓ=ABÓ=11 cm
∴ x=11
⑸ ABÓ=CDÓ이므로 ∠COD=∠AOB=55ù ∴ x=55
⑹ ∠AOB：∠COD=µAB：µ CD이므로
⑹ 30ù：90ù=x：15, 1：3=x：15
⑹ 3x=15 ∴ x=5
⑺ xù：40ù=8：2, x：40=4：1 ∴ x=160
⑻ 45ù：135ù=x：12, 1：3=x：12
⑹ 3x=12 ∴ x=4
⑼ 120ù：xù=8：3에서 8x=360 ∴ x=45
2 ⑴ 2∠AOB=∠COD이지만 중심각의 크기와 현의 길이는 정비례하지 않으므로 2ABÓ+CDÓ
⑶ ∠COD=60ù일 때만 성립한다.
⑷ 2∠AOB=∠COD이지만 중심각의 크기와 삼각형의 넓 이는 정비례하지 않으므로 2△AOB+△COD
3 ⑶ 중심각의 크기와 현의 길이는 정비례하지 않는다.
⑷ 중심각의 크기가 같으면 현의 길이는 같다.
4 ⑵ OCÓ∥BDÓ이므로
C
36∞
O 2 cm
x cm
A B
D
⑹ ∠AOC=∠OBD=36ù
⑹ (동위각)
⑹ ODÓ를 그으면
⑹ △OBD에서
⑹ OBÓ=ODÓ이므로
⑹ ∠ODB=∠OBD=36ù
⑹ ∴ ∠DOB=180ù-(36ù+36ù)=108ù
⑹ 이때 ∠AOC：∠DOB=µAC：µ BD이므로
⑹ 36ù：108ù=2：x
⑹ 1：3=2：x ∴ x=6
1 ⑴ 3.5 ⑵ 4 ⑶ 5
2 ⑴ ➊ 2'5 ➋ 2'5, 2'5, 4'5, 4'5 ⑵ 16 ⑶ 8'2 ⑷ 3 ⑸ 4'5 3 ⑴ 4'3 ⑵ 4 ⑶ 10'3 4 ⑴ ➊ r-4, 8 ➋ r-4, 10, 10
⑵ :Á2°: cm ⑶ 17 cm ⑷ 5 cm ⑸ :ª3°: cm ⑹ :Á2£: cm ⑺ :°4£: cm
5 ⑴ ➋ r-8 ➌ r-8, r-8, 13, 13 ⑵ 10 cm ⑶ ;1*0(; cm ⑷ 6 cm ⑸ 15`cm 6 ⑴ ➊ 10 ➋ 5 ➌ = ➍ 5, 5'3, 10'3, 10'3 ⑵ 4'3 ⑶ 2'3
p.50 ~ p.53 02 원의 중심과 현의 수직이등분선
1 ⑴ OMÓ⊥ABÓ이므로 AMÓ=BMÓ=3.5 cm
⑵ ∴ x=3.5
⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로
⑵ BMÓ=AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_8=4 (cm)
⑵ ∴ x=4
⑶ OMÓ⊥ABÓ이므로
⑵ ABÓ=2AMÓ=2_2.5=5 (cm)
⑵ ∴ x=5
2 ⑵ △OAM에서 AMÓ="Ã10Û`-6Û`='6§4=8`(cm)
⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로 ABÓ=2AMÓ=2_8=16 (cm)
⑵ ∴ x=16
⑶ △OAM에서 AMÓ="Ã6Û`-2Û`='3§2=4'2`(cm)
⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로 ABÓ=2AMÓ=2_4'2=8'2 (cm)
⑵ ∴ x=8'2
⑶ ABÓ∥CDÓ이므로
O
A 45∞ B
C D
6 cm x cm
⑹ ∠ODC=∠DOB=45ù(엇각)
⑹ OCÓ를 그으면
⑹ △ODC에서
⑹ OCÓ=ODÓ이므로
⑹ ∠OCD=∠ODC=45ù
⑹ ∴ ∠COD=180ù-(45ù+45ù)=90ù
⑹ 이때 ∠COD：∠DOB=µ CD：µ BD이므로
⑹ 90ù：45ù=x：6
⑹ 2：1=x：6 ∴ x=12
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⑷ OMÓ⊥ABÓ이므로 AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_8=4 (cm)
⑵ △OAM에서 OMÓ="Ã5Û`-4Û`='9=3`(cm)
⑵ ∴ x=3
⑸ OMÓ⊥ABÓ이므로 AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_16=8 (cm)
⑵ △OAM에서 OAÓ="Ã4Û`+8Û`='8§0=4'5 (cm)
⑵ ∴ x=4'5
3 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면
O
A M B
C 4 cm
2 cm x cm 4 cm
⑵ OAÓ=OCÓ=4`cm
⑵ △OAM에서
⑵ AMÓ="Ã4Û`-2Û`='12=2'3 (cm)
⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로
⑵ ABÓ=2AMÓ=2_2'3=4'3 (cm)
⑵ ∴ x=4'3
⑵ 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면
O
A B
M 5 cmx cm C
⑵ OAÓ=OCÓ=5`cm 6 cm
⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로
⑵ AMÓ=;2!;ABÓ=;2!;_6=3 (cm)
⑵ △OAM에서
⑵ OMÓ="Ã5Û`-3Û`='1§6=4 (cm)
⑵ ∴ x=4
⑶ 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면
A O
B C
10 cm Mx cm
⑵ OAÓ=OCÓ=10`cm
⑵ OMÓ=;2!; OCÓ=;2!;_10=5`(cm)
⑵ △OAM에서
⑵ AMÓ="Ã10Û`-5Û`='7§5=5'3`(cm)
⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로
⑵ ABÓ=2AMÓ=2_5'3=10'3 (cm)
⑵ ∴ x=10'3
4 ⑵ OMÓ⊥ABÓ이므로
O
A M B
C 3 cm
6 cm
⑵ AMÓ=BMÓ=6`cm
⑵ 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
⑵ OAÓ=OCÓ=r`cm,
⑵ OMÓ=(r-3)`cm이므로
⑵ △OAM에서
⑵ rÛ`=6Û`+(r-3)Û`, rÛ`=36+rÛ`-6r+9
⑵ 6r=45 ∴ r=:Á2°:
⑵ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 :Á2°: cm이다.
⑶ OMÓ⊥ABÓ이므로
O
A B
M C 8 cm
2 cm
⑵ AMÓ=BMÓ=8 cm
⑵ 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
⑵ OAÓ=OCÓ=r cm,
⑵ OMÓ=(r-2) cm이므로
⑵ △OAM에서
⑵ rÛ`=8Û`+(r-2)Û` , rÛ`=64+rÛ`-4r+4
⑵ 4r=68 ∴ r=17
⑵ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 17 cm이다.
⑷ OMÓ⊥ABÓ이므로
O
A B
M C 3 cm
1 cm
⑵ BMÓ=AMÓ=3 cm
⑵ 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
⑵ OBÓ=OCÓ=r cm,
⑵ OMÓ=(r-1) cm이므로
⑵ △OMB에서
⑵ rÛ`=(r-1)Û`+3Û` , rÛ`=rÛ`-2r+1+9
⑵ 2r=10 ∴ r=5
⑵ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 5 cm이다.
⑸ OMÓ⊥ABÓ이므로
O
A M B
C 6 cm 16 cm
⑵ BMÓ=;2!;ABÓ=;2!;_16=8`(cm)
⑵ 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
⑵ OBÓ=OCÓ=r cm,
⑵ OMÓ=(r-6) cm이므로
⑵ △OMB에서
⑵ rÛ`=(r-6)Û`+8Û`, rÛ`=rÛ`-12r+36+64
⑵ 12r=100 ∴ r=:ª3°:
⑵ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 :ª3°:`cm이다.
⑹ OMÓ⊥ABÓ이므로
A M B
C O
12 cm 4 cm
⑵ AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_12=6 (cm)
⑵ 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 긋고,
⑵ 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
⑵ OAÓ=OCÓ=r cm,
⑵ OMÓ=(r-4) cm이므로
⑵ △OAM에서
⑵ rÛ`=6Û`+(r-4)Û` , rÛ`=36+rÛ`-8r+16
⑵ 8r=52 ∴ r=:Á2£:
⑵ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 :Á2£: cm이다.
