대한수학교육학회지 <학교수학> 제 13 권 제 3 호 Journal of Korea Society of Educational Studies in Mathematics School Mathematics Vol.13, No.3 363-384. Sep. 2011
고등학교 확률 통계 영역에서 스프레드시트 활용에 대한 연구 1)
이 종 학 *
Ⅰ. 서론
학교 수학은 수학적 지식을 전개하는 일반적 인 방법인 연역적 형태와 함께 실제적인 상황 에서 관찰과 유추를 통해서 수학적 개념을 발 견하고 지식을 구성하는 발견적 형태로 학생들 에게 제공되어야 한다. 교과서에 나오는 정의, 정리를 이론적으로 전개하고 논리적으로 증명 하며, 이에 따른 연습 문제를 해결하는 방식으 로 수학을 학습하는 것을 학교 수학이 지닌 형 식적․연역적인 형태라고 한다면, 발견적․형 성적인 형태로 수학을 한다는 것은 수학적 사 실에 대해서 관찰하고 추측하며 탐구하고 시행
착오를 거치면서 개념을 구성하고, 현실 문제 를 해결하며 의사소통하는 과정에서 수학적으 로 추론하는 경험을 통해 수학적 사고를 신장 하는 것이다.
학교 수학이 지닌 두 가지 형태에 대해서 Freudenthal(1991)은 활동 중인 수학과 결과로서 의 수학으로 구분하면서, 정의, 정리, 증명 등 의 형식적이고 연역적인 형태로의 수학 지도를 닫힌 지식 체계에 따른 반교수학적 전도라고 말한다. 또한 Brousseau(1997)는 수학 지식이 태 동되고 전개되었던 역사적 상황에 대한 분석을 통해 학생들에게 형식화된 수학적 지식을 발견 적 형태의 지식으로 제공함으로써, 학생들이 수학적 지식을 발견하고 재구성하는 경험을 하 도록 해야 한다고 주장한다. 물론 Brousseau의
* 대전송촌고등학교 (mathro@hanmail.net)
1) 본 연구는 2011년 이종학의 박사학위논문 일부를 요약한 것임.
학교 수학에서 발견적․형성적 측면을 강조할 수 있는 교수학적 도구로 스프레드 시트의 활용에 대한 실증적인 분석이 필요하다는 인식하에 본 연구는 확률․통계 영역에서 스프레드시트를 활용할 수 있는 구체적인 방안에 대해서 알아보고, 이에 따라 확률․통계 영역에서 스프레드시트를 활용한 교수․학습 자료를 실제로 개발 하기 위한 목적으로 수행되었다. 문헌 연구를 통해 확률․통계 영역의 개념과 내용 중에서 스프레드시트를 활용한 학습경로를 구성했으며, 교수 실험에서 드러난 문제 점을 보완하여 8차시 분량의 스프레드시트를 활용한 교수․학습 자료를 개발하였다.
교수 실험에 참여한 학생들은「정보사회와 컴퓨터」과목의 정규 단원에서 스프레드 시트의 다양한 기능을 익혔고, 스프레드시트의 셀 기능과 수학함수, 통계함수의 기능 을 사용할 수 있었다. 교수 실험 과정에서 스프레드시트를 활용한 교수․학습 자료 는 학생들이 확률․통계적 상황의 여러 측면을 직관적으로 탐구하는 것을 가능하게 하였으며, 확률․통계적 추론을 경험하고 수학적 사고를 구성하는 데 긍정적인 역할 을 하였다. 이 결과는 교실 수업에서 스프레드시트를 활용한 교수․학습 자료가 확 률․통계적 상황과 상호 작용하는 기회를 제공할 수 있음을 시사한다.
주장과 같이 역사적으로 오랜 기간을 거쳐 형 성된 수학적 지식의 발생 및 발전, 정교화된 과정을 교실 수업에서 있는 그대로 재현해야 할 필요는 없겠지만, 학교 수학이 지닌 발견 적․형성적인 측면에서 학생들이 수학을 발견 하고 재발명하는 활동을 교실 수업에서 실제로 경험해 볼 수 있도록 하는 것은 의미 있는 교 수학적 활동이다.
신동선․류희찬(1998)은 컴퓨터를 활용한 교 실 수업은 학생들이 직접적인 참여자로써 수학 을 발견하고 재발명하는 활동을 수행하게 할 수 있다고 주장한다. 부연하여 그들은 교실 수 업에서 컴퓨터의 활용이 학생들에게 수학 학습 에 대한 적극적인 동기를 부여하고, 컴퓨터를 활용한 실제 활동을 통해 학생들이 수학적 지 식을 구성할 수 있는 형성적인 측면을 조장하 며, 컴퓨터를 활용하여 수학적 상황을 탐구하 고 발견하는 과정에서 학생들이 수학을 추론하 고 재발명하는 수학화를 경험하게 할 수 있다 고 말한다. 또한 우정호(2000)는 컴퓨터가 수식 을 입력하거나 함수 기능을 이용하여 복잡한 값들을 자동으로 계산할 수 있기 때문에 대용 량의 자료를 탐색하고 처리하거나 자료의 패턴 을 추론하고 발견하는 활동을 주로 하는 확 률․통계 교육에 이용될 수 있다고 주장한다.
그리고 Garfield(2000)는 학교 수학에서 확률․
통계 개념의 효율적인 이해와 발견적 형태의 교수․학습을 위해서 스프레드시트의 활용이 권장되어야 한다고 말한다.
Maxara & Biehler(2004)는 학교 수학의 다양 한 분야에서 스프레드시트가 긍정적인 역할을 수행할 수 있다고 주장한다. 그리고 몇몇 선행 연구(김지곤, 1999: Piotr, 2001; 고옥주, 2001:
김선호, 2001: Maxara & Biehler, 2004: 문소영, 2005: 이광상, 2005; 손홍찬, 2006)들은 대수, 함 수, 문자와 식 등의 수학 분야에서 스프레드시
트의 활용을 통해 학생들의 수학적 사고 능력 을 향상시킬 수 있다고 밝혔다. 이에 본 연구 는 확률․통계 영역에서 발견적․형성적 측면 을 강조하는 교수학적 도구로 스프레드시트의 활용에 대한 연구가 필요하다는 인식하에 확 률․통계 영역에서 스프레드시트를 구체적으로 활용할 수 있는 실증적인 방안을 알아보고, 확 률․통계 영역의 스프레드시트를 활용한 교수․
학습 자료를 실제로 개발해보고자 한다.
Ⅱ. 이론적 배경
1. 수학 교육에서 스프레드시트의 활용
우리나라는 모든 초․중․고등학교에서 전자
교과서를 사용하는 온라인 수업을 2015년까지
활성화할 예정이다. 또한 이를 위해 태블릿 컴
퓨터, 스마트 TV, 교육용 콘텐츠와 같은 IT기
술을 접목한 다양한 공학적 도구를 교육 분야
의 교수․학습 기기로 도입하려 하고 있다(교
육과학기술부, 2011). 이와 같이 공학의 발달과
다양한 교육용 콘텐츠들의 개발은 수학교육 분
야에서도 교수․학습의 형태에 변화를 가져오
는 계기가 되었다. NCT M(2000)은 복잡한 계
산, 그래프 표현, 관계 파악 등의 수학적 활동
에서 모든 학생들이 계산기와 컴퓨터를 활용할
수 있어야 한다고 주장하면서 수학교육에서 공
학적 도구의 역할을 강조한다. 또한 우리나라
도 제 6차 교육과정(1992)부터 계산기와 컴퓨터
를 수학교육을 위한 교수․학습 도구로 활용할
것을 권장하고 있으며, 2007 개정 수학과 교육
과정(2007)에서는 컴퓨터나 탐구형 소프트웨어
와 같은 공학적 도구의 활용을 다음과 같이 강
조하고 있다.
「계산 능력 배양을 목표로 하지 않는 경우의 복잡한 계산 수행, 수학적 개념․원리․법칙의 이해, 문제해결력 향상 등을 위하여 계산기, 컴 퓨터, 교육용 소프트웨어 등의 공학적 도구와 다양한 교구를 확보하여 활용할 수 있다(교육인 적자원부, 2007).」
공학적 도구로 수학 교육에 활용되는 탐구형 소프트웨어는 수학을 학습하면서 학습자가 복 잡한 계산과 알고리즘 위주의 학습에서 벗어나 수학 개념의 본질을 탐구하고 이해할 수 있도 록 도와주는 역할을 수행할 수 있다(신동선, 류 희찬, 1998). 또한 수학 교과에서 활용되는 탐 구형 소프트웨어 중에서 교실 현장의 접근성이 가장 용이한 소프트웨어로 김원경 이종학(2011) 은 학교 현장에 대부분 보급되어 있는 윈도우 를 기반으로 하는 Microsoft Excel을 들고 있다.
계산, 통계, 차트, 자료 관리를 수행할 수 있도 록 고안된 스프레드시트 프로그램인 Excel은 교실 접근성, 수학 교육에 활용할 수 있는 다 양한 기능, 사용의 용이성 등으로 인하여 수학 교육 분야에서 공학적 도구로서의 긍정적인 효 과에 대해서 폭넓은 논의가 있어 왔다. 이에 대해 Masalski(1990)는 교실 수업에서 스프레드 시트의 교육적 의의를 다음과 같이 제시한다.
「첫째, 스프레드시트는 셀 기능을 이용해 귀납 적으로 수학적 규칙을 탐구할 수 있는 표를 쉽 게 만들 수 있다. 그리고 이를 통해 문제해결에 서″만일 …이면, …어떻게 될까?″라는 형태의 수학적 의문에 대한 답을 추론하는 과정에 도 움을 줄 수 있다.
둘째, 알고리즘을 추측하는 과정에서 스프레드 시트는 학생의 통찰력을 증대시킬 수 있다.
셋째, 스프레드시트는 복잡한 계산을 자동으로 처 리해주어 학생들이 수학적 내용이 지닌 본질 자 체에 집중할 수 있게 해 준다(Masalski, 1990).」
교수학적 도구로서 스프레드가 지니는 가장
큰 장점은 자동화와 시각화 기능을 들 수 있 다. 스프레드시트에서 자동화는 표․그래프나 복잡한 계산을 간단하게 처리할 수 있는 기능 이다. 또한 스프레드시트의 시각화는 대상의 패 턴, 구조, 규칙성을 파악하고자 수학적 대상과 사실, 수학적 탐구의 과정을 표와 그래프 또는 수치적인 결과로 나타내는 기능이다. 한편 스프 레드시트의 또 다른 기능으로 셀에 다른 값을 입력하면 참조한 셀의 값이 자동으로 변하고, 참조한 셀로 구성한 표와 그래프가 동시에 변 하는 셀 참조 기능이 있다. 이와 같은 스프레드 시트가 지닌 다양하고 역동적인 기능들은 학생 들의 흥미를 유발하여 수학 활동에 적극적인 참여를 유도할 뿐만 아니라, 추상적인 수학 내 용을 시각적이고 직관적으로 탐구하며, 수학 지 식을 보다 깊이 이해하도록 할 수 있다.
교실 수업에서 스프레드시트의 활용을 통해 Piotr(2001)는 수학적 개념을 구성하고 긍정적인 태도를 함양할 수 있다고 주장한다. 또한 이광 상(2005)은 스프레드시트를 활용한 수업에서 학 생들이 귀납적인 관찰을 통해 일반적인 규칙을 발견하려는 성향을 보였으며, 스프레드시트를 활용한 활동은 지필 수업을 보완하는 탐구 학 습 형태로 진행할 수 있다고 말한다.
2. 확률․통계 교육에서 스프레드시트의 활용
학교 수학에서 확률․통계 영역은 문제 상황
에 대해서 확률․통계적 도구를 사용하여 수학
적으로 추론하는 방법을 학습하는 분야이다. 이
에 중학교 교육과정의 확률․통계 영역은 경우
의 수를 이용한 간단한 확률의 계산, 대푯값과
산포도, 상관관계 등을 주요한 내용으로 하고,
고등학교 교육과정은 순열․조합을 이용한 확
률의 계산, 확률분포, 통계적 추정 등의 내용을
구분 수학 미적분과 통계 기본 적분과 통계
내용
Ⅷ. 순열과 조합 1. 순열과 조합 (1) 경우의 수 (2) 순열과 조합
Ⅳ. 확률 1. 조합
(1) 중복조합 (2) 이항정리 2. 확률
(1) 확률의 뜻 (2) 확률의 계산 3. 조건부확률
(1) 조건부확률 (2) 사건의 독립과 종속
Ⅴ. 통계 1. 확률분포
(1) 이산확률변수와 확률분포 (2) 이항분포
(3) 연속확률변수와 확률분포 (4) 정규분포
2. 통계적 추정 (1) 모집단과 표본 (2) 모평균의 추정
Ⅲ. 확률 1. 조합
(1) 중복조합 (2) 이항정리 2. 확률의 뜻과 활용
(1) 시행과 사건 (2) 확률의 뜻 (3) 확률의 기본 성질
3. 조건부확률
(1) 조건부 확률 (2) 사건의 독립
Ⅳ. 통계 1. 확률분포
(1) 이산확률변수의 확률분포 (2) 이항분포
(3) 연속확률변수의 확률분포 (4) 정규분포
2. 통계적 추정
(1) 표본평균 (2) 모평균의 추정 (3) 모비율의 추정
<표 Ⅱ—1> 일반계 고등학교 확률․통계 단원의 내용 체계
<표 Ⅱ—1>과 같이 다루고 있다.
우정호(2000)는 학교 수학에서 확률․통계 단 원이 수학적 추론을 통해 개념의 의미를 이해하 고 탐구할 수 있는 내용으로 구성된 것이 아니 라 실제 상황과 관련이 없이 복잡한 계산만을 강조하는 인위적인 문제와 내용들로 이루어져 있다고 주장한다. 또한 우정호(2000)는 개념 학 습 위주의 전통적이고 형식적인 지도가 고등학 교의 확률․통계 교육에서 이루어져 왔다고 말 한다. 그리고 변지영(2005)은 학생들이 고등학교 수학의 여러 분야 중에서 확률․통계 영역을 가 장 어렵게 여기고 있으며 교사들 또한 가르치기 힘든 분야로 생각한다고 주장하면서, 그 이유로 고등학교에서 확률․통계 영역의 수업이 실생활 의 확률․통계적 개념과 내용을 실험을 통해 추 론하는 활동이나 현실 문제를 해결하고자 실제 적인 자료를 수집․비교․분석하는 자료 탐색적 활동을 수행하지 못하고 있기 때문이라고 말한 다. 따라서 학생들이 현실적인 문제 상황에 대 해서 확률․통계적 도구를 사용하여 추론하고
이를 통해 수학적으로 사고하는 능력을 신장시 키기 위해서는 학교 수학의 확률․통계 영역은 교수 방법적인 측면에서의 변화를 필요로 한다.
이에 Ben-Zvi & Garfield(2004)는 확률․통계 영 역에서 역동적인 실험 활동이 가능하도록 컴퓨 터를 활용한 수업을 실시해야 한다고 주장한다.
또한 변지영(2005)은 확률․통계 영역에서 자료 탐색적 활동과 공학을 활용한 수업을 수행하는 것이 필요하다고 주장한다. 그리고 김원경․이종 학(2011)은 확률․통계 영역에서 공학적 도구인 스프레드시트를 활용한 자료 탐색적 활동과 실험 활동은 학생들에게 확률․통계 영역의 내용을 스 스로 탐색하고, 개념과 원리를 실제적으로 구성 하는 경험을 제공할 수 있다고 주장한다.
교수학적으로 여러 가지 장점이 있지만 교실
수업에 스프레드시트를 실제로 활용할 때 주의
해야 할 점이 있다. 스프레드시트 자료를 활용
한 교수․학습 상황에서 확률․통계적 내용의
추상성, 자료의 적절성, 처리해야 할 많은 정보
의 양은 학생들에게 인지적 어려움을 초래할
수 있고, 학습자가 스프레드시트 자료를 해석하 고 조작하면서 수학적 능력을 얻는 것이 아니라 도구로서 사용되는 컴퓨터에 대해서 관심을 갖 는 현상이 일어날 수 있다. 그렇지만 교실 수업 에서 적절하게 구성된 교수학적 도구로써 스프 레드시트의 활용은 기존의 수학 교실과 지필 환 경에서는 다루기 힘들었던 수학적 개념과 내용 들을 다양한 방법으로 학습할 수 있는 기회를 제공할 뿐만 아니라 심도 있게 탐구할 수 있도 록 하는 긍정적인 효과가 크다고 할 수 있다.
Ⅲ. 연구 방법
1. 연구 설계
본 연구의 목적은 확률․통계 영역에서 스프 레드시트의 활용 방안을 알아보고, 스프레드시 트를 활용한 교수․학습 자료를 실제로 개발하 는 것이다. 일반적으로 교수․학습 자료를 개발 하는 개발 연구는 연구의 과정에서 이루어진 예 비 설계 단계, 교수 실험 단계, 회고 분석 단계 에 대해서 기술함으로써 결과를 정당화하는 연 구 방법이다.
본 연구의 예비 설계 단계에서는 고등학교 확률․통계 영역의 교육과정을 분석하고, 이를
예비 설계 단계
․ 스프레드시트에 대한 교수학적 분석
․통계 내용에 대한 역사적 분석
․가설 학습경로
사고 실험 사고 실험 ⋯
교수 실험 교수 실험 ⋯
․ 통계적 능력
회고 분석 단계
교수 실험 단계
<그림 Ⅲ—1> 연구의 개요
기초로 교수․학습 자료가 충족시켜야 할 사항 을 탐색하여 학습 목표, 학습 경로, 수업 활동 계획으로 구성된 가설 학습경로를 개발하였다.
교수 실험 단계에서는 학생들의 학습 실태에 대한 다양한 자료를 수집하여 실제 학습경로를 재개발하였다. 회고 분석 단계에서는 예비설계 단계에서 구성한 가설 학습경로와 교수실험 과 정에서 드러난 문제점을 보완한 실제 학습경로 와의 비교․분석을 통해 확률․통계 영역에서 스프레드시트를 활용한 교수․학습 자료로 재 구성하였다. 개발연구에 기반하여 진행한 본 연 구의 방법론적 틀은 <그림 Ⅲ—1>과 같다.
2. 연구 절차
가. 예비 설계 단계
신보미(2007)는 가설 학습경로는 학습목표, 수
업 활동 과제 계획, 예견된 학습 경로로 구성된
다고 말하면서, 일련의 사고 실험을 거쳐 설정된
가설 학습경로는 초기추측, 시뮬레이션 실행, 분
석, 이론화 단계를 따라 실제 수업상황으로 구체
화된다고 주장한다. 본 연구의 예비 설계 단계에
서는 고등학교 교육과정 상의 확률․통계 영역
과 스프레드시트에 대한 교수학적 분석을 통해
확률․통계 단원에서 스프레드시트의 활용이 가
능한 학습 주제를 선정하고 체계화한 가설 학습
경로를 구성하였다. 가설 학습경로는 확률․통계 영역의 교육과정과 역사적 내용, 스프레드시트의 활용 방안 등의 문헌 검토와 사고 실험을 통한 정교화 과정, 그리고 전문가의 조언을 거쳐 확 률․통계 영역에서 다루어져야 할 개념과 내용 들을 계열화하는 방식으로 구성하였다.
신동선․류희찬(1998)은 학교 현장의 확률․통 계 교육에서 주로 이루어지는 산술적 풀이법의 대안으로 컴퓨터를 활용할 것을 주장하면서, 대 푯값, 자료 분석, 이항분포, 중심극한정리와 같은 내용들에서 컴퓨터가 활용될 수 있다고 말한다.
김용균(1999)은 확률․통계에서 스프레드시트를 활용할 수 있는 내용으로 평균, 표준편차, 분산, 이항분포, 정규분포, 큰수의 법칙, 중심극한 정리 를 제시한다. 우정호(2002)는 확률․통계 영역에 서 확률, 기댓값, 분산, 자료 분석, 난수표, 큰수 의 법칙, 표본추출, 통계적 추정 등의 내용들은 컴퓨터의 활용이 필요하다고 주장한다. 박종수 (2003)는 소프트웨어로 다루어져야 할 확률․통 계 영역의 수학적 내용들로 대푯값을 활용한 자 료의 정리와 요약, 큰수의 법칙, 확률변수, 표본 추출과 통계적 추정 등을 말한다. 또한 변지영 (2005)은 학생들이 확률․통계에서 어려워하는 내용은 탐색적 자료 분석, 대푯값의 정확한 의미 와 상황에 따른 적용, 큰수의 법칙, 연속확률변수 의 도입, 이항분포의 정규분포로의 근사, 표본 추 출, 표본평균의 분포라고 주장한다. 그리고 교과 부(2011)는 미래형 교육과정의 고등학교 수학교 과 과목인 ‘확률과 통계’에서 계산 능력 배양을 목표로 하지 않는 경우 공학적 도구를 활용한 구 체적인 조작 활동을 실시할 것을 권장하면서, 확 률분포, 통계적 추정의 중영역에서는 공학적 도 구를 활용하여 실생활 자료를 처리하는 활동을 교수․학습상의 유의점으로 제시한다. 본 연구에 서는 스프레드시트 자료로 개발할 확률․통계 영 역의 학습 내용을 문헌 연구(신동선, 류희찬,
순 학습 주제
1 심프슨의 역설과 생일 문제
2 페테르부르크 게임을 통한 기댓값 개념의 이해 3 큰수의 법칙
4 분포의 모양에 따른 중앙값, 최빈값, 평균의 관계
5 연속확률변수와 확률분포
6 이항분포와 이항분포의 정규분포로의 근사 7 표본추출의 편향
8 표본평균의 분포 (중심극한정리) 9 정규 분포의 필요성
10 상관과 인과의 관계
<표 Ⅲ—1> 가설 학습경로의 학습 주제
1998; 김용균, 1999; 우정호, 2002; 박종수, 2003;
변지영, 2005)와 정교화 과정, 수학교육 전문가의 조언을 거쳐 <표 Ⅲ—1>과 같이 구성하였다.
본 연구에서는 스프레드시트를 활용한 교수․학 습 자료의 개발 방향을 다음과 같이 설정하였다.
첫째, 확률․통계 영역의 지식과 관련하여 자 연스런 동기를 부여할 수 있는 상황이 되도록 구 성한다.
둘째, 스프레드시트 자료를 다루는데 필요한 컴퓨터의 기능적 지식은 지금까지 배운 것으로 충분하도록 한다.
셋째, 스프레드시트 자료를 만든 함수식이나 그래프의 원시 프로그램을 간단하고 수정이 쉽 도록 개발하고, 학생이 직접 조작할 수 있도록 한다.
넷째, 통계적 개념, 아이디어, 구조가 풍부하 고 수평적 수학화와 수직적 수학화가 모두 일 어날 수 있는 상황을 포함한다.
다섯째, 스프레드시트의 기능보다는 통계적
사고의 과정을 보여주고 통찰을 할 수 있도록
구성한다.
나. 교수 실험 단계
교수 실험 단계는 예비 설계 단계에서 구체 화된 가설 학습경로를 수정․보완하기 위해 교 실 수업에서 나타난 학생들의 스프레드시트 활 용에 대한 자료를 수집하였다. 교수 실험 단계 에서 수집한 자료를 통해 가설 학습경로를 수 정하며 검증할 수 있었다.
교수 실험은 연구대상 학생들이 재학하고 있 는 고등학교의 컴퓨터실에서「미적분과 통계 기 본」과목을 학습하는 정규 교과 시간 중에 실 시하였다. 교수 실험은 Excel의 기본적인 기능 을 익히는 시간과 실제 교수․학습 활동으로
차시에 걸쳐 실시하였고, 수업의 전 과정을 녹 취하였다. 실험에 참여한 일반계 고등학교 인문 계열 학년 A반 학생들은「정보사회와 컴퓨터」
과목의 정규 단원에서 Excel의 다양한 기능을 학습했으며, Excel의 셀 기능과 수학 함수, 통계 함수의 기능을 사용할 수 있었다. 실험 수업은 일주일에 두 시간씩 주에 걸쳐 진행하였고, 실 험 수업의 자료는 확률․통계 영역의 개념과 문제들로 구성한 가설 학습경로를 활용했으며, 교수 실험 과정에서 드러난 문제점을 보완하여 회고 분석 단계에서 차시 분량의 스프레드시 트를 활용한 교수․학습 자료를 개발하였다. 가 설 학습경로의 차시 학습 주제 중에서 상관 과 인과관계에 대한 자료는 고등학교 확률․통 계 영역의 교육과정 내용이 아니므로 교육과정 과의 연계를 위해서 제외하였다. 그리고 표본을 임의 추출하는 방법에 대한 스프레드시트 자료 에서 단순 임의추출은 표본평균의 분포에 대한 스프레드시트 자료에 통합하여 표본평균, 표본 표준편차와 함께 다루도록 구성하였다.
교실 수업에서 스프레드시트 자료의 소극적 활용은 교수․학습 과정에서 구성해야 하는 통 계적 지식을 스프레드시트 자료에서 확인하는 것이고, 적극적 활용 측면으로 학생이 통계적
지식과 관련한 스프레드시트 자료를 스스로 구 성하거나 이를 구성할 수 없는 경우에 교수․
학습 도구로 제시된 스프레드시트 자료의 다양 한 조작을 통해 통계적 지식을 귀납적으로 정 당화하는 것이다. 손홍찬(2006)은 교실 수업에 서 스프레드시트 자료의 활용을 통해 학생들은 귀납적 정당화를 이룰 수 있다고 말하며, 교실 수업에서 스프레드시트 자료는 수학적 내용의 도입 초기에 학생들이 귀납적 추측과 발견을 경험하고, 기존 지식을 보다 깊이 이해하고 새 로운 수학적 개념을 획득하는 데 중요한 역할 을 한다고 주장한다.
교수․학습 과정에서 스프레드시트 자료를 활 용하여 학생들은 통계적 지식을 구성할 수 있 다. 학생들은 지필환경에서 복잡한 계산과 고정 된 수식과 통계 그림 등으로 인하여 구체화하 기 어려운 통계적 지식들을 스프레드시트 환경 에서는 다양한 예를 생성하고 표와 그래프를 활용하여 탐색할 수 있다. 또한 임의 추출한 표 본 자료나 수식에 의해 계산된 값들의 패턴을 발견하기 위해서 셀 참조 기능을 이용하여 셀 의 수식을 변화하면서 학생들은 자료가 지닌 규칙을 찾을 수 있으며, 이를 통계적으로 설명 하면서 통계 모델로서 스프레드시트 자료가 가 지는 의미를 이해할 수 있다. 교수 실험 단계에 서 스프레드시트의 활용과 관련하여 나타난 몇 가지 에피소드를 예시하면 다음과 같다.
[에피소드 1] 스프레드시트의 활용에서 대수적 관점의 변화
(1.1)교사: 자, 오늘 공부할 엑셀 파일은 생일 문 제를 구하는 거예요. 모두 엑셀 파일 을 실행시켜 보았죠?
(1.2)학생: 네...
(1.3)교사: 그러면 활동지의
번 문제를 해결해 봅시다. 엑셀 파일의 셀에서 수들이 변하는데, 그 수가 의미하는 게 무엇인가 하는 게
번 문제입니다. 우선 첫 번째 열에 있는
은 뭐를 의미할 까요?(1.4)수연: 사람 수요
(1.5)교사: 그렇지, 그러면 두 번째 셀에 있는
을 구하게 되어 있으면서 곱 하기를 여러 번 하게 되어 있네요. 셀 에 있는 수식대로 구하면 생일이 같은 사람을 구할 수 있을까요?(1.6)수연: 아니요, 이 식은 생일이 모두 다를 확 률을 구한 거예요.
(1.7)교사: 왜
인 셀의 확률이 생일이 모두 다를 확률일까?(1.8)수연: 분자의 연속된 곱이
년을 하루씩 줄여간 거예요.(1.9)교사: 마지막으로
명 중에서 적어도 두 명 이상의 생일이 같을 확률
은 왜
에서 두 번째 셀의 값을 빼야 할까요?(1.10)수연: 적어도란 말이 있으면 직접 구하는 것보다 여사건으로 구하는 것이 편 해요.
(1.11)교사: 그렇죠, 셀에 입력된 수식을 정확히 파악해야지만 생일 문제를 해결할 수 있어. 그렇다면 스프레드시트의 표와 그래프를 보고 추론해 봅시다.
이
%이상이 되려면 몇 명이상이 어야 할까요?(1.12)수연: 표에 나와요.
명일 때 생일이 같 은 사람이 있을 확률이
%이상이 에요.스프레드시트는 학생들이 대수 표현을 신속하 게 하고 정확한 풀이를 할 수 있도록 하면서 알 고리즘에 의한 대수적 풀이가 아닌 문자에 대입 하는 값의 변화에서 나타나는 패턴을 인식하는 것을 가능하게 하였다. 그 결과 지필로 행해졌던 학생들의 대수적 조작의 초점이 스프레드시트를 통해 대수 자료의 해석에 대한 관심으로 이동하 는 것을 파악할 수 있었다(1.3, 1.12). 그렇지만 이러한 탐구 활동이 가능하기 위해서 학생들은 스프레드시트 자료에 따라 기본적으로 셀에 입력
된 수식이나 함수식이 의미하는 바가 무엇인지를 파악할 수 있어야 했는데 학생들은 수업 활동을 통해 스프레드시트의 셀에 입력한 수식이 의미하 는 바를 알 수 있었다(1.6). 또한 학생들은 수식 을 입력할 때 수식이 문제의 맥락을 어떻게 반영 하고 있는지를 파악할 수 있었다(1.8).
[에피소드 2] 스프레드시트에서 그래프의 표현 방식과 추론
(2.1)태인:
번과
번은 어떻게 하는 거죠?(2.2)교사:
,
를 변화시켜보면서 정규분포 그 래프의 모양을 파악하고 표현해 보는 거야(2.3)지윤: 그럼 아무거나 넣어 보면 되는 거예요?
(2.4)교사: 단,
번인 엑셀의 첫 열은 정규분포 의 확률밀도함수식으로 계산한 값이 고,
번은 엑셀에 있는 정규분포 함 수를 불러서 계산한 값이야(2.5)태인: 그렇다면
번과
번은 똑같이 나오 는 거 아닌가요?(2.6)교사: 평균과 표준편차를 같게 하면 값과 그 래프의 모양이 같아지겠지. 자 그럼 엑 셀의
번과
번을 다르게 입력해 볼 까?
번에 평균은
, 표준편차는
으로 해 보자. 정규분포의 모양이 변하겠지?(2.7)지윤: 평균과 표준편차가 다른데도 그래프 의 모양이 안 변하는데....
(2.8)교사: 화면의 그래프에서 바뀐 게 있는데, 뭐가 바뀐 걸까?
(2.9)태인: 아! 그래프의 모양은 변하지 않고 화 면에 나타난
축과
축의 범위가 변 하고 있어요. 그렇다면 엑셀의 설정에 서
축과
축의 범위를 바꾸면 평균 과 표준편차에 따라 변하는 그래프를 표현할 수 있어요.스프레드시트의 그래프 기능을 사용하여 정
규분포를 표현하는 활동에서 정규분포의 그래프
는 평균이 커지면 오른쪽으로 이동하고, 표준편
차가 커지면 그래프의 모양이 넓게 퍼진다는 인 식과는 다르게 스프레드시트로 표현한 그래프 는 항상 같은 크기와 형태를 지닌 그래프였다.
다시 말해 스프레드시트의 차트 기능에서 설정 을 바꾸지 않는다면 스프레드시트는 자동적으 로 범위를 계산해 평균과 표준편차가 바뀌어도 정규분포의 그래프의 모양은 변하지 않는 그래 프를 그려주었다. 몇몇 학생들은 정규분포의 평 균과 표준편차가 바뀌어도 그래프의 모양은 변 하지 않는 사실에 의문을 가졌는데(2.7), 스프레 드시트 활동을 통해 학생들은 표현한 그래프의 범위가 바뀌면서 그래프의 모양이 바뀌고 있다 는 것을 파악할 수 있었다(2.9).
[에피소드 3] 스프레드시트의 계산 기능
(3.1)교사: 표 안에 넣을 확률을 다 구했어요.(3.2)학생: 네.
(3.3)교사: 자, 다 구했죠. 근데 여러분이 구한 표에 뭔가 문제가 있어. 어떤 문제가 있을까?... 찾아볼까요.
(3.4)은진: 표를 보면 남녀 인원수가 달라요.
(3.5)지윤: 확률의 합이
이 넘었어요.(3.6)교사: 확률의 합은
이 맞아, 그런데 가로줄 의 학과별로 남․여 학생 수에 대한 확률은 전사건이므로 확률의 합이
이 나와야 하지만, 세로줄의 확률은 전사건이 아니니까
이 나오지 않겠 지?(3.7)영현: 아. 그럼 여학생이랑 남학생이랑 비 교하는 거예요.
(3.8)교사: A학과는 남학생이 합격할 확률이 높 아, 여학생이 합격할 확률이 높아?
(3.9)태인: 여학생이요.
(3.10)교사: B학과는 남학생이 합격할 확률이 높 아, 여학생이 합격할 확률이 높아?
(3.11)태인: 여학생이요.
(3.12)교사: 전체는 남․여 학생 중에서 어디가 합격할 확률이 높아?
(3.13)영현: 어, 남학생이네?
(3.14)교사: 그렇지, 누가 한번 정리해 볼래?
(3.15)영현: A․B학과 모두 여학생이 합격할 확 률이 높은데, 두 학과를 합치면 전체 는 남학생이 합격할 확률이 높아요.
(3.16)교사: 왜 이런 일이 생길까?
(3.17)영현: 표에서 두 학과와 전체에 대한 추이 율이 성립하지 않아요.
Simpson 역설의 예를 찾기 위해서는 적당한 수에 대한 반복적인 나눗셈 계산을 통해 수식 을 만족하는 값을 찾아서 대입해야 하는데, 학 생들은 반복적인 계산을 스프레드시트를 활용 한 셀 참조 기능과 자동화를 통해 간단히 해결 하면서 수의 변화에 따른 확률과 Simpson의 역 설에 대한 탐구에 더욱 초점을 맞출 수 있었다 (3.2). 스프레드시트 자료는 매개 변수 값의 변 화에 따른 전체적인 변화 효과를 시각적으로 관찰할 수 있는 장점으로 인해서 통계적 활동 을 수행하기에 적합했다(3.4), (3.7). 또한 스프레 드시트는 다량의 계산을 신속히 처리하고 그래 프와 표로 결과를 바로 시각화할 수 있어 교실 수업에서 학생들이 지엽적인 문제보다는 확률 통계적 내용의 전체적인 맥락에 초점을 맞추어 활동을 진행할 수 있었다(3.17).
[에피소드 4] 스프레드시트 자료의 해석
(4.1)교사: 자, 오늘 공부할 엑셀 파일은 페테르부르크 게임에서 기댓값을 구하고, 그 기댓값에 대해서 이 게임의 참가여부 를 여러분이 결정하는 겁니다. 기댓값 을 구했나요?
(4.2)지윤: 기댓값을 못 구하겠어요.
(4.3)교사: 기댓값의 정의가 무엇이죠?
(4.4)영현: 각각 확률을 구하고, 그 때 상금을 곱 하여 모두 더하면 돼요.
(4.5)교사: 그러면 엑셀 파일을 실행시켜 보았죠?
의 거듭제곱인 B열이 상금이고, C 열은 무엇을 의미할까요?(4.6)지윤: 그때의 확률이에요.
(4.7)교사: D열은 시행마다의 기댓값이겠죠, 그
러면 E열은 뭘까요?
(4.8)영현: B열은 상금, C열은 확률, D열은 각 시 행의 기댓값이잖아. 그리고 E열은 각 시행의 기댓값 합이야.
(4.9)지윤: 그러면 E열은 전체의 기댓값이겠네. 그 런데 시행을 할수록 기댓값이 늘어나 긴 하는데, 상금이 증가하는 것보다 는 작네.
(4.10)영현: 그건 확률이 줄어들기 때문이야.
실험 수업에서 학생들은 스스로 변수와 셀의 변화에 따른 반복적인 계산 결과와 시각적으로 추 론이 가능한 다량의 데이터를 생성하여 셀에 입력 한 값의 의미를 이해하고 수학적 탐구와 문제 해 결에 접근할 수 있었다(4.6). 또한 학생들은 스프 레드시트 자료에서 수식을 입력한 전체 셀의 순차 적 변화를 통해 각각의 셀과 시트, 그리고 전체적 으로 자료가 내포하고 있는 통계적 개념을 직관적 으로 자연스럽게 파악할 수 있었다(4.8, 4.9).
번호 학습 주제 내용
1 확률적 상황 ․생일 문제:
명 중에 생일이 같을 확률
구하기
․Simpson의 역설
2 기댓값 ․페테르부르크 게임: 현실 상황에 맞는 기댓값의 적용
․주관적인 기댓값
3 큰수의 법칙 ․시행의 횟수가 충분히 클 때, 통계적 확률은 수학적 확률에 가까워짐을 이해할 수 있도록 한다
4 분포의 모양에 따른 중앙값,
최빈값, 평균의 관계 ․특이값이 존재하는 분포에서의 대푯값
․상황에 따른 대푯값의 적용 ․치우친 분포에서의 대푯값
5 연속확률변수와 확률분포 ․계급의 크기가 작아질 때, 계급의 개수, 계급의 도수, 계급의 확률이 어 떻게 변할까?
․계급의 크기가 작아져도 확률의 합이 1이 되는 이유는?
6 이항분포와 이항분포의
정규분포로의 근사 ․이항분포와 정규 근사에 의한 확률 값의 차이.
․
～ 에서
과
에 따른 그래프의 변화
7 표본평균의 분포 (중심극한 정리)
․표본추출과 표본추출의 편향
․확률변수
가
에서
사이의 자연수(또는
에서
사이의 자연수)인 확률분포에서
개의 숫자를 임의로 복원 추출하였을 때, 표본평균의 히 스토그램 그리기.
․
,
과
,
사이의 관계 구하기.
8 정규 분포의 이해 ․
의 그래프
․
～(
)에서
의 변화에 따른 그래프의 변화
<표 Ⅲ—2> 스프레드시트를 활용한 교수․학습 자료
다. 회고 분석 단계
회고 분석 단계에서는 가설 학습경로를 활용하 여 실시한 교수 실험에서 드러난 자료의 문제점 을 수정․보완하여 확률․통계 영역에서 스프레드 시트를 활용하는 교수․학습 자료를 <표 Ⅲ—2>
같이 구성하였다.
스프레드시트는 특성상 빠른 계산과 시각화
를 수반한다. 따라서 학생들이 마우스를 클릭
하는 단순한 작업으로 교수․학습 자료를 구성
하는 것은 통계적 지식의 즉각적인 확인에 불
과할 따름으로 진정한 통계적 사고의 계발에
도움이 되지 못한다. 스프레드시트 자료는 기
존의 절차적 지식을 묻는 문제보다 학생이 스
프레드시트를 통해 스스로 탐구하고, 다시 한
번 더 스프레드시트를 통해 반성할 수 있는 상
황으로 구성되었을 때 보다 탐구적인 교수․학
습 활동을 수행하게 할 수 있다. 따라서 스프
레드시트를 활용하는 교수․학습 자료는 단순 한 절차적 지식만으로 해결되지 않고, 수학적 상황에 숨겨져 있는 통계적 법칙이나 사실을 그래프를 통해 이해하고 귀납적으로 유추하며, 상황에 따라서는 비형식적인 정당화의 기회를 제공할 수 있어야 한다. 회고 분석 단계에서 스 프레드시트 자료 구성의 주안점은 다음과 같다.
첫째, 학생들이 스프레드시트의 화면상에 나 타난 수치나 그래프를 맥락이 없는 무형의 개 별 자료들을 모아놓은 것으로 인식하기보다는 전체적인 형태를 가진 맥락으로 파악할 수 있 도록 구성한다.
둘째, 확률․통계적 방법으로 스프레드시트 를 활용하여 수학적 결과를 이끌어 낼 수 있도 록 자료를 구성한다.
셋째, 그 차시에 학습할 확률․통계 내용을 스프레드시트 자료의 도입 부분에 제시한다.
넷째, 스프레드시트 자료마다 여백을 주어 학생 스스로가 도출한 결론을 작성할 수 있도 록 한다. 또한 스프레드시트의 활용에서 어려 웠던 점이나 문제 해결과 관련한 자신의 식이 나 방법을 반성할 수 있도록 구성한다.
스프레드시트 자료는 학습 주제로 선정한 확 률․통계 내용과 관련하여 자연스런 동기를 부 여할 수 있는 상황이 되도록 구성하였다. 이를 위해 현실 상황의 확률․통계 자료를 상황의 소재로 활용했으며, 또한 스프레드시트 자료를 다루는데 확률․통계적 지식은 선수학습 내용 으로 가능하도록 하였다. 그리고 스프레드시트 자료의 함수식이나 그래프의 원시 프로그램을 되도록 이해가 가능하고 수정이 간단한 형태로 개발하여 학생이 직접 조작․수정할 수 있는 기회를 제공하였다. 스프레드시트 자료의 주제 들은 통계적 개념, 아이디어, 구조가 풍부하고, 스프레드시트의 기능보다는 통계적 내용에 대
한 귀납적 추론과 통찰을 구성하는데 적합하도 록 하였다
Ⅳ. 확률․통계에서 스프레드시트 활용에 대한 실제적 탐색
손홍찬(2006)은 교실 수업에서 스프레드시트 가 문제 해결, 의사소통, 협동, 지식 생성을 지 원하는 교수․학습 도구의 역할을 수행한다고 하면서, 스프레드시트를 활용한 활동은 귀납적 추측과 발견을 경험하고 사고에 대한 반성을 조장하여, 기존 지식을 보다 깊이 이해하며, 새 로운 수학적 개념을 획득하는 데 중요한 역할 을 한다고 주장한다. 이에 선행 연구(우정호, 2000; 변지영, 2005; 손홍찬, 2006; 김원경, 이종 학; 2011)를 통해 스프레드시트가 수학적 활동 에 활용되는 실제를 탐색해보면 다음과 같다.
1. 스프레드시트의 표와 그래프 기능
스프레드시트에서 자료를 그래프로 표현하는 차트 기능은 학습자의 관점에 맞추어 그래프를 조작하고 수정하는 활동을 용이하게 하여 역동 적인 자료 표현과 다양한 탐색의 도구가 될 수 있다. 그리고 스프레드시트는 수학적 내용을 수 식과 그에 따른 표와 그래프, 그리고 셀 참조 기능을 활용하여 통합적으로 표현할 수 있다.
[그림 Ⅳ—1]은 시행횟수가 커지면 통계적 확률
이 수학적 확률에 가까워지는 큰수의 법칙과 정
규 분포의 표와 그래프의 관계를 보여주는 스프
레드시트 자료이다. 스프레드시트가 제공하는 표
와 그래프, 셀 참조 기능은 [그림 Ⅳ—1]과 같이
자료의 패턴, 구조, 규칙성을 확인하고 관찰하는
활동을 가능하게 하며, 자료의 해석에서 특별한
영향을 주는 극단적인 자료를 직관적으로 확인
[그림 Ⅳ—1] 스프레드시트의 표와 그래프 하는 활동을 수행하게 할 수 있다.
또한 확률․통계 영역의 수업에서 스프레드 시트는 인위적으로 고안된 자료에 한정하지 않 고, 현실 상황에서 수집된 자료를 표와 그래프 를 통해 다룰 수 있게 함으로써 교수․학습 상 황을 실제와 가깝게 할 수 있다.
스프레드시트는 표현하는 방법을 변화시키면서 다양한 시각적 경험을 제공하는 것을 가능하게 한다. 스프레드시트에서 분석의 결과를 시각화하 는 표와 그래프는 그림이라는 수단을 통해서 자 료 사이의 관계나 경향을 간단한 시각적 형태로 표현하는 정보 전달의 도구라고 할 수 있다. 따라 서 스프레드시트 활동을 통해 표나 그래프에서 원하는 정보를 파악하는 능력을 구성하는 것은 학생들이 이후의 일상생활에서 접하는 다양한 자 료에서 추출하는 정보의 질과 양을 증가시킬 수 있는 기반이 된다.
2. 스프레드시트의 자동 계산 기능
스프레드시트의 자동 계산 기능은 [그림 Ⅳ—2]
와 같이 학생들에게 복잡한 계산에서 벗어나 확 률․통계의 본질을 의미 있게 탐구할 수 있는 기 회를 제공할 수 있다. [그림 Ⅳ—2]는 명 중에 생일이 같을 확률 을 구하는 스프레드시트 자료이다.
일반적으로 현실 상황의 확률․통계 문제들은
[그림 Ⅳ—2] 스프레드시트의 자동 계산 복잡한 계산을 포함하여 지필로 수행하기 어렵 고 많은 노력과 시간을 필요로 한다. 그렇지만 스프레드시트를 이용하면 복잡한 계산을 자동화 하여 처리할 수 있다. 또한 자동 계산한 값의 변 화하는 정도에 대한 예측을 통해 자료의 경향을 파악하고 결과를 추론하는 수학적 사고를 경험 할 수 있다.
3. 스프레드시트의 자료 탐색적 기능
귀납적 특성을 지닌 확률․통계 영역에서 학 생들은 실제 상황에서 자료의 의미를 이해하고 결과를 귀납적으로 추론하는 활동을 수행해야 한 다. [그림 Ⅳ—3]은 분포의 형태가 다른 개의 표 집 자료에 대하여 데이터분석을 실시한 스프레드 시트 자료이다.
[그림 Ⅳ—3] 스프레드시트의 자료 탐색적 기능
위의 그림과 같은 스프레드시트 자료는 평균,
표준편차 등의 대푯값과 산포의 계산뿐만 아니
라 입력된 자료를 관찰하고 분석하여 결과를 추
론하도록 할 수 있으며, 자료의 결과에서 분포 를 예측하고 확인하는 활동을 수행할 수 있다.
스프레드시트의 데이터 관리 기능, 자동 계산 기능, 함수 기능, 차트 기능 등은 확률․통계 교 육에서 다양한 수학적 표현을 가능하게 하고, 표현에 대한 시각적 예측에 대해서 즉각적인 피 드백을 제공함으로써 학생들의 수학적 추론 활 동에 도움을 줄 수 있으며, 이를 통해 확률․통 계 영역에서 자료 탐색적 활동을 수행하도록 할 수 있다.
4. 스프레드시트를 이용한 표본추출
문소영(2005)은 학생들이 어려워하는 통계적 내용으로 표본조사와 임의추출, 모집단과 표본 평균의 관계, 통계적 추정을 말한다. 이 내용들 은 통계학에서 중요하게 다루는 개념임에도 학 교 수학에서는 간단한 몇 가지 예를 제시하거 나 연역적 형태로 설명하는 방식으로 제시되고 있다. 학교 수학에서 표본 조사와 임의추출은 개수가 적은 자료에서 주사위를 던지거나 난수 를 생성하는 방법으로 제시되고 있고, 모집단 과 표본평균의 관계는 몇 가지 대표적인 유형 을 들어서 지필 환경에서만 설명하고 있으며, 모평균을 추정하는 과정은 연역적인 형태로만 전개하고 있다.
물론 학교 수학에서 다루는 모집단에서 각 대 상이 뽑힐 확률이 같도록 하여 임의로 표본을 추 출하는 단순 임의추출법은 모집단의 크기가 큰 경우에 실제적으로 모든 조사 대상의 리스트를 만들어야 하고, 난수를 생성해야 하는 등의 현실 적인 어려움이 따른다. 또한 모집단과 표본평균의 관계를 직관적으로 설명할 수 있는 교수 학습 자 료가 필요한 것도 사실이다. [그림 Ⅳ—4]는 각 나라의 평균수명을 모집단으로 하여 개 나라의 평균수명을 임의추출한 스프레드시트 자료이다.
[그림 Ⅳ—4] 스프레드시트를 이용한 표본추출 위의 그림과 같은 스프레드시트 자료는 학생 들이 임의추출이 필요한 이유를 이해하고 임의 추출 하는 방법을 시각적으로 파악할 수 있는 교수 학습 도구가 될 수 있다. 또한 이 스프레 드시트 자료는 모집단과 표본평균의 관계에 대 한 교수․학습 활동에서 표본의 개수를 달리하 면서 임의추출한 표본의 표본 평균․표준편차 와 모집단의 평균․표준편차를 비교할 수 있 다. 위의 스프레드시트 자료를 통해 학생들은 모집단과 표본에서 평균․표준편차의 관계를 좀 더 명확하게 파악할 수 있으며, 표본 평균 에서 모집단의 평균을 추정하는 통계적 타당성 과 추정 방법의 유용성을 탐색할 수 있다. 그 리고 [그림 Ⅳ—4]와 같은 스프레드시트 자료는 우연 현상의 반복적 적용을 통해 무작위성과 표본 분포에 대한 직관적 이해를 조장할 수 있 고, 학생들이 어려워하는 또 다른 확률·통계 개 념인 큰수의 법칙과 중심극한 정리에 대한 접 근을 용이하게 할 수 있다.
5. 스프레드시트를 활용한 추론 활동
교실 수업에 스프레드시트를 도입할 때 우려
되는 부정적 측면은 스프레드시트가 학생들에
게 수학적 활동에 대한 통찰을 제공하지 못하
면서 입력한 결과만을 그대로 출력하는 것이
다. 교수 학습 과정에서 스프레드시트가 지닌
긍정적인 측면은 수학적 과정의 각 단계를 표
와 그래프 등으로 제시하여 자료의 변화를 파 악할 수 있으며, 이를 통해 발견적 형태의 수 학적 활동을 전개할 수 있다는 것이다. 다음의 예는 자료의 패턴을 파악하는 활동에서 학생들 이 스프레드시트를 활용하여 논리적인 추론과 수학적 탐구를 수행할 수 있음을 보여준다. 아 래는 통계적 추정 단원의 전형적인 문제이다.
「주식과 채권에 투자한 사람들이 거둔 수익률 을 각각
,
라 할 때, ∼
,
∼
이다. 주식과 채권에 투자한 사람들의 수익과 손해 가능성을 추론하시오.」다음 [그림 Ⅳ—5]는 스프레드시트로 나타낸 주식과 채권의 수익률에 대한 함수와 누적함수 의 그래프이다.
[그림 Ⅳ—5] 주식과 채권의 수익률 비교 위의 그림에서 주식과 채권의 수익률을 표와 그래프를 통해 비교했을 때, %의 수익률을 기준으로 보면 주식은 대략 %의 투자자가 존 재하고, 채권은 거의 존재하지 않음을 알 수 있 다. 반면에 %의 수익률을 기준으로 할 때 주 식은 대략 %의 투자자가 존재하고, 채권은 거 의 존재하지 않는다. 표와 그래프를 통해 자료의 패턴을 파악함으로써 학생들은 주식 투자자의 경우는 수익을 얻을 수 있는 가능성이 크지만 손해를 볼 가능성도 크다는 것과 반면에 채권의 경우는 많은 수익을 얻을 가능성과 손해를 볼 가능성이 거의 없고, 따라서 학생들은 스프레드
시트를 활용하여 주식의 수익률보다 채권이 수 익률이 보다 더 안정적임을 시각적으로 파악하 고 통계적으로 추론할 수 있다.
6. 스프레드시트를 통한 반성 활동
[그림 Ⅳ—6]은 정규분포함수에서 축의 범위 를 크게 주어 함수의 그래프를 표현한 스프레드 시트 자료이다.
[그림 Ⅳ-6] 그래프의 모양과 범위
스프레드시트의 차트 기능으로 화면 위에 나
타나는 그래프는 학생이 구성한 확률․통계적
개념에 대한 절대적 반영이 아니라 컴퓨터가
그려주는 하나의 주관적 대상이다. 따라서 스프
레드시트를 활용할 때 학생들은 화면에 나타난
표나 그래프를 다시 재해석해야만 한다. 일반적
으로 정규분포의 그래프에서 평균이 커지면 그
래프가 오른쪽에 위치하고 표준편차가 커지면
그래프의 모양이 넓게 퍼진다. 그렇지만 평균과
표준편차가 다른 두 정규분포를 스프레드시트
로 표현할 때, [그림 Ⅳ-6]과 같이 정규분포의
그래프의 모양이 변하지 않는 경우가 있다. 이
와 같은 경우는 스프레드시트가 그래프의 모양
을 바꾸지 않고, 차트의 범위를 바꾸면서 정규
분포를 표현하기 때문에 발생하는 현상이다. 그
렇지만 이러한 현상에 대한 탐구를 통해, 학생
들은 스프레드시트 조작 활동에 대한 반성의
과정이 필요함을 인식할 수 있고, 또한 자신의
수학적 사고와 출력 결과에 대한 반성 활동을 수행할 수 있다.
Ⅴ. 교수․학습 자료의 실제
손홍찬(2006)은 스프레드시트 자료는 학생 상 호간, 교사와 학생, 컴퓨터와 학생 사이에 활발 한 상호작용이 이루어지도록 조장할 수 있다고 주장한다. 또한 Baker & Sugden(2003)은 교수 중 심으로 개발된 대부분의 멀티미디어 매체 하에 서 대상인 학생은 수동적 역할을 하지만, 스프 레드시트는 구성주의적 학습 환경을 제공한다고 말한다. 개발된 스프레드시트 자료는 교수․학 습 상황에서 활발한 상호작용을 조장하고 학생 이 스스로 조작하고 탐구하는 구성주의적 상황 을 제공할 수 있다. 또한 이와 함께 개발된 스 프레드시트 자료는 교실 수업에서 확률․통계 영역의 개념과 내용들이 가진 귀납적이고 실험 적인 특성을 드러나게 하여 이에 대한 탐구활동 이 이루어지게 하면서, 확률․통계 지식을 기반 으로 하는 실생활 소재에서 학생들의 흥미를 유 발하고, 스프레드시트를 통한 구체적 조작 활동 에 활용할 수 있다. 다음은 개발한 스프레드시 트 자료를 각 학습 주제별로 제시한 것이다.
1. 확률적 상황
확률적 상황에서는 생일 문제와 Simpson의 역설과 관련한 스프레드시트 자료를 개발하였 다. 명 중에 적어도 두 명 이상의 생일이 같 을 확률 을 구하는 생일 문제는 확률의 곱셈정리와 여사건의 확률에 대한 개념을 이해 하기 위한 문제이다. 생일 문제에 대한 스프레 드시트 자료를 통해 학생들은 셀에 입력한 수 식을 올바르게 해석하는 능력과 그래프를 통해
[그림 Ⅴ—1] 생일 문제의 스프레드시트 자료 분석하는 능력을 구성할 수 있다.
생일 문제에 대한 스프레드시트 자료는 날 수와 사람 수를 학생이 임의로 설정할 수 있는데, 이 기 능을 통해 다양한 날 수에 대해서 생일이 같을 확 률을 구할 수 있다. 또한 학생들이 같은 사람 수에 대해서 날 수가 작을수록 생일이 같은 확률이 빠르 게 에 접근하는 것을 시각적으로 탐색할 수 있도 록 그래프를 구성하였다. 그리고 스프레드시트 자 료의 각 셀에서 은 사람의 수( A)를,
은 생일이 같을 확률( BB— AB) 을,
은 생일이 다를 확률( — B)을 나타 내도록 하였다. 학생들은 하나의 스프레드시트 자 료에서 이 변함에 따라 셀에 입력한 수식의 변화 형태에 대한 추론을 통해 문제 상황이 내포하고 있 는 확률․통계적 상황을 시각적으로 파악할 수 있 었다.
Simpson의 역설은 소집단에서 자료가 나타내는 확률적 현상이 직관과는 다르게 모집단에 추이적 으로 적용되지 않는 현상을 말한다. 수식으로 표 현하면
,
이어도
일 수 있음을 보여주는 Simpson의 역설은 자료로
부터 통계적 추론을 하는 과정에서 수학적 타당
성에 근거하지 않고 믿음에 기반을 두는 인과 관
계에 따른 추론이 타당하지 못한 결과를 가져올
수 있음을 보여주는 것이다. Simpson의 역설과 같
은 패러독스가 존재하지만 통계 자료로부터 모집
단을 인과적으로 추정하는 사고 활동은 중요한
[그림 Ⅴ—2] Simpson의 역설에 대한 자료 통계적 사고라고 할 수 있다. Simpson의 역설에 대한 스프레드시트 자료는 [그림 Ⅴ—2]와 같이 셀 참조 기능을 활용하여 학생이 셀에 숫자를 입 력하면 함수식과 셀 참조 기능을 통해 올바른 확 률을 계산할 수 있도록 개발하였다.
2. 기댓값
기댓값에서는 페테르부르크 게임과 관련된 스 프레드시트 자료를 개발하였다. Nicholas Bernoulli 가 제시한 페테르부르크 게임의 문제는 다음과 같다.
「앞면과 뒷면이 나오는 정도가 같은 공정한 동 전을 사용하여 앞면이 나올 때까지 무한히 계속 해서 던지는 게임에서 첫 번째 뒷면이 나오면 원, 두 번째 뒷면이 나오면 원과 같은 규칙으로
번째에서 뒷면이 나오면
만큼의 금액을 A가 받는다고 할 때, A의 기댓값은 얼마인가?」페테르부르크 게임은 게임에 참가하기 위한 비용이 게임의 기댓값과 같아야 하는데, 게임에 서 이길 때 받을 수 있는 기댓값이 ∞라고 해서
∞ 의 돈을 지불하고 게임에 참가할 사람이 있을 수 있겠는가를 탐구하는 문제이다. 페테르부르크 게임의 스프레드시트 자료는 [그림 Ⅴ—3]와 같 이 기댓값을 실제로 계산해 보도록 개발하였다.
위의 스프레드시트 자료의 셀에서 C, D, E 열에 있는 첫 행의 수식을 파악하면 C열은 동전을 번
[그림 Ⅴ—3] 페테르부르크 게임 자료 던졌을 때, 번 모두 뒷면이 나올 확률( ^
A ), D열은 번의 회수에 따른 각각의 기댓값 으로 상금과 확률의 곱( BC), E열은 기댓 값의 번째 누적 합(=SUMD D)을 나타 낸다.
스프레드시트에서의 자동화 기능은 복잡한 계산이나 그래프를 간단하게 처리할 수 있는 기능으로, 복잡한 계산이 필요한 문제들을 다룰 때와 기술 통계가 필요한 상황에서 유용하게 사용할 수 있다. 그렇지만 스프레드시트의 자동 화 기능을 활용한 수학적 탐구 활동이 가능하 기 위해서 학생들은 스프레드시트 자료에 따라 셀에 입력된 수식이나 함수식이 의미하는 바가 무엇이고, 그 수식이나 함수식이 문제 상황과 어떻게 연관되는지를 기본적으로 알아야 한다.
또한 학생이 스스로 수식을 입력하고자 할 때, 전체적인 프로그램을 해석하여 입력한 수식이 문제의 맥락을 제대로 반영하고 있는지를 확인 할 수 있어야 한다.
3. 큰수의 법칙
표본을 무한히 많이 추출할 때 표본평균이 모
평균에 수렴한다는 것을 의미하는 큰수의 법칙
은 상대도수의 극한으로 정의된 통계적 확률에
이론적 정당성을 부여하는 정리이다. 큰수의 법
칙에 대한 스프레드시트 자료는 [그림 Ⅴ—4]와
같이 에 값을 입력하면서 확률을 계산해
[그림 Ⅴ—4] 큰수의 법칙에 대한 자료 보도록 하는 자료와 함께 가 변할 때 표와 그래프를 통해 확률이 에 수렴하는 경향을 파 악할 수 있도록 하는 자료를 개발하였다.
4. 분포의 모양에 따른 중앙값, 최빈값, 평 균의 관계
좌․우 비대칭 분포와 정규 분포의 그래프를 파악하며, 분포에서 평균, 최빈값, 중앙값의 위치 를 찾고, 찾은 위치를 분포의 모양으로 설명하는 스프레드시트 자료를 [그림 Ⅴ—5]과 같이 개발 하였다.
[그림 Ⅴ—5] 분포의 모양과 대푯값에 대한 스프레드시트 자료
위의 스프레드시트 자료를 통해 학생들은 분 포의 개략적인 형태는 어떠한가, 이러한 분포를 나타내는 자료는 무엇인가, 뾰족한 정도의 차이 가 있는가, 좌우 대칭적인 구조를 가지지 못하 는 이유는 무엇인가, 정점이 몇 개인가 등의 분 포의 전체적인 형태를 탐구할 수 있다.
5. 연속확률변수와 확률분포
통계 자료는 성별, 혈액형 등과 같은 범주형 자료와 키, 몸무게, 가슴둘레 등과 같은 수치형 자료로 구분하며, 수치형 자료 중에서 높이, 시 간 등과 같이 어떤 구간의 실수 값을 취하는 변수를 연속확률변수라고 한다. 7차 교육과정의 선택 과목인「확률과 통계」에서는 밀도 도수 를 이용하여 연속확률변수를 도입하고 있다. 밀 도 도수로 연속확률변수를 도입하는 방법은 히 스토그램에서 도수를 늘리면서 계급의 폭을 좁 게 하고, 도수분포다각형을 그리는 과정에서 만 들어지는 매끈한 곡선이 모집단의 분포를 나타 내는 연속확률변수의 확률분포가 됨을 직관적 으로 보이는 것이다. 스프레드시트에서 시각화 는 대상, 사실 또는 과정을 수치적인 결과나 그 래프로 보여주는 것으로 학생들에게 자료의 변 화, 패턴, 구조를 파악할 수 있는 기회를 제공 할 수 있다. 이에 연속확률분포의 스프레드시트 자료는 계급의 폭을 좁게 하면서 도수분포다각 형을 그리는 과정을 시각적으로 파악할 수 있 도록 [그림 Ⅴ—6]과 같이 구성하였다.
[그림 Ⅴ—6] 연속확률분포의 스프레드시트 자료
6. 이항분포와 이항분포의 정규분포로의 근사
이항분포의 정규분포로의 근사에 대한 스프
[그림 Ⅴ—7] 이항분포의 정규분포로의 근사에 대한 스프레드시트 자료
레드시트 자료는 [그림 Ⅴ—7]과 같이 이항 분 포의 모수 이 클 때 이항 분포의 확률의 근 삿값을 실제로 계산해 보고, 계산 결과를 그래 프로 제시하도록 하였다. 또한
～
에 서 의 값을 변화시키면서 이항분포의 그래 프를 그리고, 와 의 값이 모두 보 다 클 때와 어느 한 값이 작을 때의 그래프의 모양을 비교하고, 어느 경우에 정규분포로 근 사하는지를 알아보고자 하였다. 이 스프레드시 트 자료에서 제시한 시각적 표현과 통찰에 의 해 학생들은 이항분포의 정규분포화라는 통계 적 지식을 정당화할 수 있다.
7. 표본평균의 분포(중심극한 정리)
평균이 이고 분산이 인 모집단에서 크기
인 표본을 복원추출 할 때 표본평균
는 근 사적으로
을 따른다. 이와 같은 중심
[그림 Ⅴ—8] 임의 추출에 대한 자료
극한 정리는 교과서에서 증명이 없이 몇 개의 예와 정리를 직접 기술하여 제시하므로 학생들 에게 이해되기 어려운 통계 내용이다. 중심극한 정리에 대한 스프레드시트 자료는 [그림 Ⅴ—8]
과 같다.
이 자료는 모집단의 확률변수
가 에서 사이의 자연수를 취하는 확률분포에서 개의 숫 자를 임의로 복원 추출할 때 표본평균의 확률분 포 그래프와 에서 또는 사이의 자연수를 복원 추출할 때의 표본평균의 확률분포 그래프 를 스프레드시트의 셀 참조 기능을 이용해 제시 하고, 이를 통해 학생들이 모평균과 표본평균의 분포를 비교하도록 하였다. 또한 [그림 Ⅴ—9]와 같이 모집단에서 표본 추출한 표본의 평균, 중앙 값, 표준편차와 모집단의 평균, 중앙값, 표준편차 를 비교하도록 하였다.
[그림 Ⅴ—9] 표본평균의 분포에 대한 자료
8. 정규분포의 이해
정규분포는 연속확률변수의 분포 중에서 대
표적인 분포이고, 실제 시행이나 관찰에서 나타
나는 많은 확률변수들이 정규분포를 이루고 있
기 때문에 다양한 분야에서 기본 확률모형으로
유용하게 사용된다. 또한 정규분포는 고등학교
수학에서 통계적 추측에 대한 이론을 전개할 때
기본적으로 가정되는 확률분포이다. 정규분포에
대한 스프레드시트 자료는 [그림 Ⅴ—10]과 같
이 정규분포의 그래프를 이해하고, 평균과 표준
[그림 Ⅴ—10] 정규분포에 대한 자료 편차의 변화에 따른 정규분포의 성질을 시각적 으로 파악할 수 있도록 하였다. 또한 표준화를 통해 정규분포를 따르는 확률변수의 확률을 실 제로 계산할 수 있도록 하였다.
이와 같은 스프레드시트 활동은 직관적으로 추론이 가능한 다량의 자료와 그래프를 생성하 여 수학적 탐구와 문제 해결을 가능하도록 할 수 있다. 또한 학생들이 지루한 숫자 계산에서 벗어나 수학 문제 자체에 집중할 수 있게 도와 주며, 의미 있는 수학의 응용을 깊이 탐구하도 록 도와 줄 수 있다.
Ⅵ. 결 론
