Simulink를 이용한 액체로켓 엔진의 수학적 모델링
박순영*, 조원국**, 설우석***
A Mathematical Model of Liquid Rocket Engine Using Simulink
Soon-Young Park*, Won-kook Cho**, Woo-Seok Seol***
Abstract
In this study, a linearlized model of liquid rocket engine specifically for the gas- generator cycle one was developed to serve as a basic control model. A commercial software Simulink was used for the modeling. Using this tool we studied the throttling characteristic of engine around its nominal mode. To obtain the effect of the throttle valve design on the engine's control characteristic, we included mathematical model of the control valve with driving motor and the pressure stabilizer which installed on the gas-generator fed line to sustain the mixture ratio of the gas-generator.
초 록
본 연구에서는 가스발생기 사이클 엔진시스템의 제어특성을 검토하고, 제어기를 구성하 기 위한 해석의 일환으로 공칭 작동점 부근에서의 선형해석을 위한 Simulink 수학적 모델 을 구성하여, 엔진 스로틀링 과정에 대한 해석을 수행하였다. 스로틀 밸브의 특성이 엔진 동특성에 미치는 영향을 검토하기 위하여 추력제어밸브와 가스발생기 혼합비 유지를 위한 압력균형기(pressure stabilizer)의 모델, 그리고 제어밸브 구동용 모터의 수학적 모델을 포 함시켰다.
키워드 : 액체로켓 엔진 (liquid propellant rocket engine), 제어(control), 안정성(stability)
접수일(2008년12월18일), 수정일(1차 : 2009년 6월 5일, 2차 : 2009년 6월 17일, 게재 확정일 : 2009년 7월 1일)
* 발사체엔진그룹/[email protected] ** 발사체엔진그룹/[email protected]
*** 발사체엔진그룹/[email protected]
1. 서 론
엔진시스템은 연소기, 가스발생기, 터보펌프, 각종 배관 및 밸브로 구성되며, 이들의 압력․유 량․파워 균형을 유지하며 작동하는 것을 정상상 태 작동점(nominal mode)라 한다. 이들 구성품 각각의 수학적 모델은 비선형 특성을 내포하고
있으며, 시동과정해석이나 정상상태에서 많이 벗 어나는 작동점을 모사할 경우는 비선형 모델의 해석이 필요하다.
해외의 경우 M. Summerfield1나 L. Crocco2 등은 주파수 도메인에서 액체로켓 엔진의 모델을 구성하고, 이로부터 저주파 불안정성에 대한 연 구를 주로 수행하였다. 또한 Y. C. Lee 등3은 가
스발생기 사이클 액체로켓 엔진의 피드백 회로에 서의 안정성과 제어로직을 검토한바 있다. 하지 만, 이들의 경우 제어밸브의 모터나 압력안정기 와 같은 하드웨어 모델이 빠져있다.
이에 본 연구에서는 가스발생기 사이클 액체 로켓 엔진의 제어특성을 검토하고, 제어기를 구 성하기 위한 해석의 일환으로 정상상태 작동점 부근에서의 수학적 모델을 구성하였으며, 특히 제어밸브의 구동 모터와 압력안정기 등의 모델을 추가하였다.
2. 본 론
2.1 엔진시스템 구성품의 수학적 모델 가스발생기 사이클 액체로켓 엔진의 구성은 그림 1과 같으며, 일정한 추력을 발생하기 위하 여 연소압을 측정하여 가스발생기 산화제 공급 유량을 조절하는 추력제어밸브와, 가스발생기 혼 합비를 일정하게 유지시켜주기 위한 압력안정기 를 가스발생기 연료 공급라인에 설치한다. 이러 한 엔진을 구성하는 각 구성품의 수학적 모델을 다음과 같이 구성하였다.
Fuel Oxidizer
C.C G.G
TCV
PS
MRCV TDS
M
M
A/D converter Amp
D/A converter ε
Pset
Pcc Controller
U
그림 1. 기계식 regulator - 가스발생기 혼합비 안정기 모터 구동 제어 밸브 - 추력제어 밸브, 혼합비
제어 밸브
2.1.1 연소기
연소기에서의 동특성을 고려했을 때 다음이 성립함을 알 수 있다.
단, 아랫첨자 는 산화제를, 는 연료를, 는 노즐로 분사되는 연소가스를, 는 연소실 내 의 연소가스를 의미한다.
윗 식에 정상상태에서의 정특성을 고려하면, 식(1)과 같이 된다.
(1)
연소가스를 이상기체라 가정하고, 연소온도 ()와 기체상수() 및 비열비()를 일정하 다고 가정하면 에 대하여 다음이 성립함을 알 수 있다.
(2)
연소기의 연소압은 노즐 관계식으로부터 다음 과 같이 계산될 수 있다.
≡
(3)
여기서, 는 연소기의 효율을 의미하여 일반적으로 0.97~0.98이 된다. 마찬가지로 위의 차분식은 가 상수라는 가정하에서 성립한다.
식 (3)과 (2)를 식 (1)에 대입하면,
84․한국항공우주연구원
(4)
가 된다. 여기서 로 생각할 수 있다. 단,
는 공칭 작동점에서의 연소압을 의 미한다. 곧, 이 되고 식 (4)는 연소압 의 증분에 대한 식으로 정리할 수 있다.
(5) 이식을 각 변수의 정상상태 값을 기준으로 무 차원화하면 다음과 같다.
식 (3)에서 알 수 있듯이 이므로 윗 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
(6)
단,
(7)
이다.
연소기에 공급된 추진제는 증발과 화학 반응 에 소요되는 시간 등으로 인하여 어느 정도 시간 지연을 두고 연소되며, 이를 점화지연시간() 이라 한다. LOx+Kerosene 연소실의 경우 이 점 화지연시간은 대략 0.03 sec 이내로, 이를 고려하 면 다음과 같다.
우선,
라 하고 식 (6)의 우변을 대체하면 다음과 같다.
(8) 만약 점화지연시간이 연소시간에 비하여 상당 히 작다면, 를 Taylor 전개할 수 있다.
⋯
윗 식을 라플라스 변환한 후, 초기조건 0을 대 입하면 다음과 같다.
× ⋯
이를 이용하여 식 (8)을 라플라스 변환하면 식 (9)를 얻을 수 있다.
(9)
그림 2는 식 (9)를 Simulink상에서 구현한 것 이다.
그림 2. Block diagram of CC
2.1.2 연소기 분사기(Injector)
연소실로 추진제를 공급하는 분사기의 경우 단위 분사기에 대하여 식 (10)이 성립한다.
(10)여기서, 아랫첨자 는 분사기 입구를 의미하 고, 는 분사기의 loss coefficient를 의미한다.
분사기의 총 수를 라 하면 다음이 성립함을
알 수 있다.
이로부터 다음을 얻을 수 있다.
이를 공칭 작동점의 값을 이용하여 무차원화 한 후 라플라스 변환하면,
(11) 이 성립한다.
마찬가지로 연료에 대해서도 다음이 성립한다.
(12)
그림 3은 식 (12)를 Simulink상에서 구현한 것 이다.
그림 3. Block diagram of CC injector
2.1.3 가스발생기
연소기와 마찬가지로 점화지연시간( )를 고 려하면 다음이 성립함을 알 수 있다.
(13) 연소기와는 달리 연료 과농 연소를 하는 가스 발생기의 경우 연소온도가 터빈 블레이드에 미치 는 영향이 심각하므로, 가스발생기 내의 연소온 도를 일정하다고 가정하는 것에는 무리가 있다.
일반적으로 가스발생기 연소온도는 다음 식과 같 이 가스발생기로 공급되는 추진제 혼합비의 함수 임이 알려져 있다.
(14)
단, 를 의미한다.
여기서 와 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
이제 식 (14)를 공칭 작동점의 값들로 무차원 화 하면 다음과 같다.
(15)
단,
이다.
식 (15)를 간단히 하면 다음과 같다.
×
(16)
그림 4. Block diagram of GG
그림 4는 윗 식을 적분하여 가스발생기 압력 을 계산하는 것을 Simulink상에서 구현한 것이 다.
2.1.4 가스발생기 분사기
가스발생기의 분사기도 연소기의 분사기와 동 일한 관계식을 사용할 수 있다.
(17)
(18) 그림 5는 식 (18)을 Simulink상에서 구현한 것 이다.
그림 5. Block diagram of GG injector
2.1.5 펌프 토출압
펌프의 출구 압력의 크기를 라 할 때, 이는 펌프 후단 배관의 입구 압력과 동일하다.
일반적으로 펌프 출구 압력은 다음식과 같이 표현된다.
(19)
(20)
단, 는 펌프 특성을 나타내는 계수이
고, 은 터보펌프의 회전수, 은 펌프 토출유 량, 는 펌프 입구 압력을 의미한다. 그리고 윗 식은 펌프 내에 유체가 모두 채워져 있으며, 캐 비테이션이 없을 경우에 한정한다.
위의 식으로부터 다음과 같은 차분식을 얻을 수 있다.
이 식을 무차원화하면 다음과 같다.
단, 윗 첨자 는 공칭상태에서의 값을 의미하 고, 는 를 의미한다.
윗 식을 정리하면 다음과 같다.
(21)
(22) 그림 6은 식 (21) 또는 식 (22)를 Simulink상에 서 구현한 것이다.
그림 6. Block diagram of pump
2.1.6 터보펌프 회전수
터보펌프의 정상 작동점에서의 모멘트() 보 전식은 다음과 같다.
아랫첨자 는 터빈을 는 펌프를 의미한다.
터보펌프의 비정상상태에서의 운동 방정식은 다 음과 같다.
(23)
단, 는 터보펌프의 회전관성을 의미하며 는 터보펌프의 각속도(rad/s)를 의미한다. 이는 곧 식 (24)가 되며, 이 관계식에 의하여 터보펌프 의 회전수가 결정된다.
(24)
여기서,
(25)
단, 는 파워를 의미하며, 는 터빈의 입구와 출구의 압력비(pressure ratio)를 의미한다. 가스 발생기의 연소가스가 터빈을 작동시키기 때문에 식 (25)에서 다음이 성립한다.
,
,
,
일반적으로 터빈의 효율은 식 (26)과 같이 의 함수로 나타낼 수 있다.
(26)
그리고 식 (13)에서와 같이 는 식 (27)과 같이 표현될 수 있다.
(27)
따라서 식 (25)로부터 차분 관계식을 다음과 같이 얻을 수 있다.
(28)
더 나아가 펌프에 대해서는 다음의 관계가 만 족한다.
(29)
(30)
식 (30)을 선형화 한 후 차분방정식 다음과 같 이 쓸 수 있다.
(31)
식 (31)과 (28)을 식 (24)에 대입하고 공칭 작 동점의 값을 이용하여 무차원화하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
여기서,
≡
라 하면,
(32) 식 (32)를 라플라스 변환 하면,
(33) 가 된다.
그림 7은 식 (33)을 Simulink상에서 구현한 것 이다.
그림 7. Block diagram of Turbopump
2.1.7 추진제 공급 배관
1차원 배관의 모멘텀 관계식으로부터 다음의 관계가 성립한다.
(34)
배관의 길이를 이라고 할 때, 식 (34)를 배관 의 길이방향으로 적분하면,
이 된다. 단, 아래첨자 1은 입구를 2는 출구를 의 미한다. 이로부터 차분 관계식을 다음과 같이 구 할 수 있다.
이를 Taylor 전개하여 정상 작동점의 값들로 무차원화하면 식 (35)와 같다.
