우석대학교 에너지전기공학과

(1)

공업수학 I

강의 (14)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(2)

(퀴즈5 검토)  변위와 경로의 차이점  경로: 실제로 움직여간 거리로 크기만 있음 (스칼라)  변위: 물체가 이동한 직선거리로 크기와 방향이 있음 (벡터)  𝐴 (3, 4) 의 위치벡터  𝐴 = 3𝑖 + 4𝑗 반드시 문자 위에 벡터 화살표 표시:

𝑖 𝑉𝑠. 𝑖

 좌표에 벡터 그림 (1)

𝑥

축과

𝑦

축에 성분표시 (2) 벡터를 화살표로 표시 퀴즈검토 A A 1 2 변위 경로1 경로2 3 4 𝑦 𝑥 𝐴 (3, 4) 0 벡터가 아님

(3)

(지난 시간 주요내용 복습) 3-3-2. 두 벡터 사이 각 θ 에 따른 스칼라적의 변화  𝐴 와

𝐵

가 평행 (즉,

𝜃 = 0

°) 일 때:

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵 ∙ cos 0

°

= 𝐴𝐵

 𝐴 와

𝐵

가 직각 (즉,

𝜃 = 90

° ) 일 때:

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵 ∙ cos 90

°

= 0

 기본벡터

𝑖 , 𝑗 , 𝑘

의 스칼라적  사이각 𝜃 = 0°_{일 때:}

_{𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑘 = 1}

 사이각 𝜃 = 90° 일 때:

𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 𝑖 = 0

※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

두 벡터의 내적 (1)

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵 ∙ cos 𝜃

(2)

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴

_𝑥

𝑖 + 𝐴

_𝑦

𝑗 + 𝐴

_𝑧

𝑘 ∙ 𝐵

_𝑥

𝑖 + 𝐵

_𝑦

𝑗 + 𝐵

_𝑧

𝑘 = 𝐴

_𝑥

𝐵

_𝑥

+ 𝐴

_𝑦

𝐵

_𝑦

+ 𝐴

_𝑧

𝐵

_𝑧 3-3-3. 스칼라적 (or 내적)의 성질 (1)

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴

𝐴

𝐵

𝑂 θ 복습

(4)

예제) 다음의 두 벡터가 서로 직교하는지 검토하고, 직교하지 않는 경우 사이각을 구하라.  두 벡터가 직교하기 위한 필요충분 조건 1)

𝐴 = 4𝑖 + 𝑗 & 𝐵 = −2𝑖 + 8𝑗

 𝐴 ∙ 𝐵 = 4𝑖 + 𝑗 ∙ −2𝑖 + 8𝑗 = 4 × (−2) + 1 × 8 = 0 ∴ 두 벡터

𝐴 , 𝐵

는 직교함 (두 벡터의 사이각

= 90

° ) 2)

𝐶 = 2𝑖 + 𝑗 & 𝐷 = 𝑖 + 𝑗



𝐶 ∙ 𝐷 = 2𝑖 + 𝑗 ∙ 𝑖 + 𝑗 = 2 × 1 + 1 × 1 = 3

∴ 두 벡터

𝐶 , 𝐷

는 직교하지 않음.  두 벡터

𝐶

와

𝐷 의 크기:

𝐶 = 2

2

+ 1

2

= 5 & 𝐷 = 1

2

+ 1

2

= 2

 스칼라적의 정의: 𝐶 ∙ 𝐷 = 𝐶𝐷 cos θ cos θ =𝐶 ∙𝐷 𝐶𝐷

=

3 5× 2

=

3 10 3-3. 벡터의 곱 내적

= 0

(5)

3-3-4. 스칼라적의 응용  스칼라적은 물리적 현상에서 변위방향의 유효성분을 나타내는데 응용됨.  아래 그림에서 지점 0 에 위치한 물체에 일정한 힘

𝐹

가 작용하여

𝑙

만큼 이동하였다면,  이동거리 𝑙 은 벡터

𝑜𝑟

스칼라  이때 한 일은?  일: 물체에 힘을 작용하여 일정한 거리만큼 이동시킬 때 필요한 에너지 일

=

작용한 힘

×

거리 일의 단위:

1 J = 1𝑘𝑔 × 1𝑚/𝑠

2

× 1𝑚 = 1𝑁 ∙ 𝑚

 물체에 작용한 힘: 물체의 이동방향으로 작용한 힘 이동방향

(𝑙)

에 작용한 힘

𝐹

의 유효성분:  그러므로 이때 한 일 (𝑊) = 작용한 힘

×

거리:

𝑊 = 𝐹 cos θ × 𝑙

𝑙 𝐹 𝑂 θ 𝐹 cos θ ℓ 3-3. 벡터의 곱 벡터

𝑙

물체 𝑙 θ 𝐹 𝑙

𝐹 cos θ

1𝑁

(6)

(스칼라적의 응용 1) 그림과 같이 한 물체가 힘

𝐹

에 의해 거리

𝑙

만큼 이동하였을 때의 일과 사이 각

𝜃

를 구하라.  물체와 평면 사이에 마찰력은 없는 것으로 가정.  힘과 거리(벡터량)는 다음과 같음

𝐹 = 2 3𝑖 + 2𝑗 𝑁 & 𝑙 = 2𝑖 (𝑚)

 힘 𝐹 에 의해 물체가

𝑙

만큼 이동하였을 때의 일: 두 벡터의 내적  𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑙 = 2 3𝑖 + 2𝑗 · 2𝑖 = 4 3  사이 각 𝜃  내적의 정의: 𝐹 ∙ 𝑙 = 𝐹𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 cos θ = 𝐹 ·𝑙 _𝐹·𝑙  𝐹 = 𝐹 =

2 3

2

+ 2

2

_{= 12 + 4 = 4}

 𝑙 = 𝑙 = 22

_{= 2}

∴ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =

𝐹 ·𝑙 𝐹·𝑙

=

4 3 4×2

=

3 2

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠

−1 3 2

= 30°

물체 𝑙 θ 𝐹 𝑙 3-3. 벡터의 곱

(7)

(스칼라적의 응용 2) 아래 그림과 같이 질량

100 𝑘𝑔

물체가 길이가

𝑙

인 직각삼각형 블록의 경사면을 따라 중력에 의해 아래까지 내려왔을 때 한 일을 구하라. (단, 중력가속도

𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠

2 )  물체의 무게 (중력에 의한 힘)  무게 = 질량

×

중력가속도

𝐹 = 100 𝑘𝑔 × 9.8 𝑚/𝑠

2

= 980 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠

2

= 980 𝑁

 물체의 무게는 블록 경사면에 수평으로 작용하는 힘과 수직으로 작용하는 힘으로 나누어짐:

𝐹 = 𝐹

_𝑥

+ 𝐹

_𝑦

 이중 경사면을 따라 작용하는 힘  경사면에 수직으로 작용하는 힘  일의 단위 및 정의  일의 정의 (1) 일

=

작용한 힘

×

거리 (2) 작용한 힘:

𝐹 cos 𝜃 &

이동거리:

𝑙

물체에 힘을 작용하여 일정한 거리만큼 이동시킬 때 필요한 에너지 θ 𝜃 980 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2 𝐹_𝑥 𝐹_𝑦 _𝐹

𝐹

_𝑥

= 𝐹 cos 𝜃

𝐹

_𝑦

= 𝐹 𝑠𝑖𝑛 𝜃

3-3. 벡터의 곱

(8)

(스칼라적의 응용 3) 한 물체가 점

𝐴(1, 2, −1)

에서 점

𝐵(5, 3, −4)

까지 힘

𝐹 = 𝑖 + 2𝑗 − 3𝑘

에 의해 이동되었을 때, 물체에 한 일과 두 벡터의 사이 각을 구하라.  점

𝐴

와

𝐵

의 위치벡터:

𝑂𝐴 = 𝑖 + 2𝑗 − 𝑘, 𝑂𝐵 = 5𝑖 + 3𝑗 − 4𝑘

 이동거리

𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 = 5𝑖 + 3𝑗 − 4𝑘 − 𝑖 + 2𝑗 − 𝑘 = 4𝑖 + 𝑗 − 3𝑘

 물체에 한 일:

𝐹 ∙ 𝐴𝐵

𝐹 ∙ 𝐴𝐵 = 𝑖 + 2𝑗 − 3𝑘 ∙ 4𝑖 + 𝑗 − 3𝑘 = 4 + 2 + 9 = 15

 사이 각 𝜃

𝐹 = 𝐹 = 1

2

_{+ 2}

2

_{+ −3}

2

_{= 1 + 4 + 9 = 14}

𝐿 = 𝐴𝐵 = 4

2

_{+ 1}

2

_{+ −3}

2

_{= 16 + 1 + 9 = 26}

𝑐𝑜𝑠 𝜃 =

𝐹 ·𝐴𝐵 𝐹·𝐿

=

15 14 26

=

15 364

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠

−1 15 364 𝑂 𝑥 𝑦 𝑧 𝐹 = 𝑖 + 2𝑗 − 3𝑘 𝐵(5, 3, −4) A(1, 2, −1) 3-3. 벡터의 곱 변위벡터

𝐴𝐵

(9)

3-3-5. 벡터적 (vector product)  벡터적 (or 외적)의 정의  두 벡터 𝐴 와

𝐵

의 벡터적은

𝐴 × 𝐵

로 표기하며, 그 결과는 크기와 방향을 갖는 벡터 량.  벡터적의 크기:

𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝜃

즉, 두 벡터

𝐴

와

𝐵

를 두 변으로 하는 평행사변형의 면적 ※

θ

는 두 벡터

𝐴

와

𝐵

의 사이 각  벡터적의 방향  두 벡터 𝐴 와

𝐵

가 이루는 평행사변형에 수직이며,

𝐴

에서

𝐵

로 회전하는 오른나사의 진행방향.  벡터적의 방향의 단위벡터를 𝑛 이라 하면: