근궤적법

근궤적법

학습목표

1. 근궤적이란 무엇인가?

2. 근궤적 그리는 법 익히기

1. 서 론

• Closed-loop system의 과도응답특성은 폐루프 극점에 좌우됨.

System parameter의 변화에 대한 폐루프극점의 자취를 s평면에 그린 것이 근궤적(root-locus) 임.

• 근궤적법: Evans에 의해 개발

Walter R. Evans, “Control System Synthesis by Root Locus Method”, AIEE Transaction, v.

69, pp. 66-69, 1950

- 근궤적으로부터 특성근을 도해적 방법으로 간단히 구할 수 있다.

- 근궤적으로부터 특성근이 파라미터의 변화에 따라 어떻게 변하는지를 이해할 수 있다.

- 근궤적법은 Linear system, SISO에 이용 가능

근궤적법

2. 근궤적

각도조건과 크기조건 만족: 특성근(폐루프극점) 각도조건 만족: 근궤적

(root-locus 상에서 K값은 크기조건 이용하여 구함) )

( ) ( 1

) ( )

( ) (

s H s G

s G s

R s C

  : 폐루프 전달함수 G(s)H(s) : 개루프 전달함수

1 ) ( ) (s H s  G

 , 2 , 1 , 0 ), 2 1 ( 180 ) ( )

(    

G s H s k k

특성방정식: 1+G(s)H(s) = 0 또는 G(s)H(s)= -1 각도조건 :

크기조건 :

근궤적 )이면 2 1 ( 180 ) ( )

(s H s k

G   

 에서 임의의 s

n m

p s p s

z s z s s K H s

G  



 





1

) 1

( ) (

궤적 극점의 폐루프

변할때 0 로

가 :

K  근궤적

) ( ) (

) ( ) ) (

( ) (

1 1

n m

p s p s

z s z s s K H s G

Let  



 





, ) 0 ( ) (

) ( ) 1 (

: . .

1

1 







 

n n

p s p s

z s z s eq K

ch 



) (

) (

) ( )

(s H s _{1 n 1 n}

G        

  

zeros loop open z

poles loop open p

i i







 :

:

예:

개루프전달함수 : ch. eq.:

) 1 ) (

( )

(  

s s s K H s G

0

) 0 1

1 (   ²  

  s s K

s s

K 근궤적은? 일때

0 :  K

Sol: s_1,20.50.5 14K

4 1 17 1

? 에서의 2 5 . 0 크기조건 :

만족 근궤적상에서 ,

180 ) ( 각도조건 :

2 5 . 0

2 1





 













 





























s K s GH K

K j

s GH

j s





커짐 overshoot) (i.e.,

n oscillatio 크질수록

가

stable 에서 0

근궤적으로부터

K K



3. 근궤적 그리는 법

) 0 ( ) (

) ( ) 1 (

) ( ) ( 1 : eq.

ch.

1

1 







 





n m

p s p s

z s z s s K

H s

G 



zeros loop - open :

poles loop - open :

function transfer loop

- open : ) ( ) (

i i

-z

-p

s H s G

즉, 특성방정식 1+G(s)H(s) = 0을 구하고 원하는 parameter K 에 대해

의 형태로 만든다.

0 1

1

1 







 

) p (s ) p (s

) z (s ) z K(s

n m





(i) 실수축에 대해서 대칭

∵ ch. eq.의 계수가 실수이므로.

(ii) root loci (branch)의 수 = n

∵ n개의 closed-loop pole이 존재하므로.

(iii) 모든 branch는 (K=0)에서 시작해서 (K=∞)에서 끝남. n>m일 때 n-m branch는 점근선을 따라서 무한대로 감

-pi -z_i



 

























 





 

) (

) or (

0 ) ( , If

0 ) ( , 0 If

) 0 (

) 1 (

i i i i i i

z s

p s

z s K

p s K

p s

z K s



(iv) 실수축 상에서의 근궤적

홀수개의 개루프극점과 개루프영점이 그 점의 오른 쪽에 있으면, 그 점을 포함하는 구간은 근궤적의 일 부분임

 켤레복소수의 개루프극점과 영점은 각도 기여가 없음

m n

k

a 

180(12 )



1 lim

lim ) ( ) (

lim   _ 











 n s nm

m

s

s s

K s

s Ks H s

 G

) 2 1 ( 180 )

( )

(nmsnm _a   k







m n

z

p_{i i}

a 













 



 







 

 



 1

1

) (

) ) (

( )

( _n

i n

m i m

s p s

s z s s K H s G

) 1

( ¹ 





 

 

^m _{i i} ^{n m} 

n p z s

s

K

K s

z p

s^nm⁽

 

,  













 





 

m n

z s p

s As

m n

z p

m n

z p

s

i i

a m

n i i a

a







 



 















 



 

 

이므로 상에서 실수축





 (v) 점근선(asymptote)

(s→ ∞ 일 때, 즉 s가 원점으로부터 멀리 떨어져 있을 때)

(vi) 이탈점(break-away point), 복귀점(break-in point) 점

0인 이고 0

1

1   







  K

ds dK ) z (s ) z (s

) p (s ) p -(s K

m n





이탈점과 복귀점은 근궤적을 따라 K가 증가하다가 감소 또는 감소하다가 증가하는 점이다.

이탈점 복귀점은 실수축에 있거나 복소평면상에 pair로 존재함

(vii) pole에서의 출발각도, zero에서의 도착각도

   

 

   

 





























































180

180에서

출발각도 : 에서

1 2

1

1 1

1 1

n m

p p p

p

z p z

p GH

p

(viii) 허수축과 만나는 점의 s 및 K :

푼다 . 연립하여 을

허수부) 0 (

실수부) 0, (

에서 0 허수부 ) ( 실수부 ) ( 즉 ,

푼다 . 을 eq.

ch.

대입하여 를











j j

s 

ⓛ

or ② Routh stabilitycriterion 이용



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근궤적의 실예