Light Bending by a Temperature Gradient

Light Bending by a Temperature Gradient

Jin Young Kim ^∗ · Tae koon Lee

Department of Physics, Gunsan National University, Gunsan 573-701, Korea (Received 13 September 2013 : revised 11 October 2013 : accepted 12 November 2013)

Because classical electrodynamics is linear, the vacuum is unique and trivial. In a classical vacuum, the speed of light is constant. In quantum electrodynamics, the vacuum expectation value of the electromagnetic current can be non-zero due to non-charge-like sources, like electric fields, magnetic fields, gravitational fields, temperature fields, etc. We consider the velocity shift of light due to the vacuum polarization effect of quantum electrodynamics when the temperature is finite.

The speed of light in this non-trivial vacuum is different from that in a trivial vacuum at zero temperature. This means that the index of refraction is not one. We set up a model to find the trajectory and the bending angle of a light ray when the index of refraction has a gradient. We compute the bending angles when the gradient is spherically symmetric and when it is cylindrically symmetric. For a magnetized neutron star, We compare that bending angle with the bending angles caused by gravitation and electromagnetic field.

PACS numbers: 12.20.Fv, 41.20.Jb, 95.30.-k

Keywords: Finite temperature, Non-trivial QED vacuum, Index of refraction, Light bending

Æ

X Øy ¢ M ù n ÚM ; c 8 ý” X ¢ ö m Í8 ý ò i @# aÇ k È



™ » . > * å  ^∗ · T ? # Ò

ç 

H í ß –@ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , ç  H í ß – 573-701

(2013¸   9 Z 4 13{ 9  ~ à Î6 £ §, 2013¸   10 Z 4 11{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2013¸   11 Z 4 12{ 9  > F  S X ‰& ñ )

“

¦„  & h “   „   l  s  : r“ É r ‚  + þ As Ù ¼– Ð ”  / B N“ É r Ä »{ 9  “ ¦ Œ % ; # Œ y n C_  5 Å q • ¸  H { 9 & ñ “ ¦ f ” ”  ô  Ç . € ª œ



„  l % i † < Æ& h Ü ¼– Ѝ  H „  l  © œ,  l  © œ, ×  æ§ 4  © œ, “ : r • ¸ 1 p x õ  ° ú  s   € ª œô  Ç q „   & h    H" é ¶ \  _ K  „   l  â

ì2 £ § _  ”  / B N l @ /° ú כs  % ò s  ÷ &t  · ú §`  ¦ à º e ” # Q ”  / B N s  Œ % ; t  · ú §>  | ¨ c à º e ”  . Ä »ô  Çô  Ç “ : r • ¸\  _ K  Ò q t l

  H € ª œ „  l % i † < Æ& h  ”  / B N¼ # F G ´ òõ \  _ K  ”  / B N s  Œ % ; t  · ú §“ É r  â Ä º y n C_  5 Å q§ 4 “ É r Œ % ;ô  Ç ”  / B N \ " f_  y n

C_  5 Å q§ 4 õ   Ø Ô>  ÷ &“ ¦ Ï ã J] X Ò  ¦ s  1s   m  . ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H “ : r • ¸l Ö  ¦ l \  _ K  Ï ã J] X Ò  ¦ s  ƒ  5 Å q& h  Ü

¼– Ð      H / B N ç ß –`  ¦ ”  ' Ÿ    H y n C_   ⠖ Ðü < 6 f# Qt   H y Œ •• ¸\  ¦ l   F  g † < ÆÜ ¼– Ð > í ß –   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ — ¸+ þ A o

% i  . “ : r • ¸l Ö  ¦ l  ½ ¨@ /g A“    â Ä ºü < " é ¶: Ÿ x @ /g A“    â Ä º y n Cs  6 f# Qt   H y Œ •• ¸[ þ t`  ¦ ½ ¨ % i  .   o  ) a

× 

æ$ í  Z > \  & h 6   x # Œ ×  æ§ 4 \  _ K  6 f# Qt   H y Œ •• ¸ x 9  „   l  © œ\  _ K  Ï ã L # Qt   H  â Ä ºü < q “ §K  ˜ Ѐ Œ ¤



.

PACS numbers: 12.20.Fv, 41.20.Jb, 95.30.-k

Keywords: Ä »ô  Ǔ : r • ¸, Œ % ; t  · ú §“ É r € ª œ „  l % i † < Æ ”  / B N, Ï ã J] X Ò  ¦, y n C_  Ï ã L # Qf ” 

∗

E-mail: [email protected] 1202

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License

(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any

medium, provided the original work is properly cited.

I. " e  ] Ø

“

¦„  „   l † < Æ\ " f ”  / B N“ É r „   \  ¦ ™   Ó ü t| 9 s  \ O   H  כ Ü

¼– Ð & ñ _   ) a  . “ ¦„  „   l  s  : r“ É r ‚  + þ As Ù ¼– Ð ”  / B N“ É r Ä

»{ 9  “ ¦ Œ % ; # Œ (trivial) y n C“ É r f ” ”  ô  Ç . € ª œ „  l % i † < Æ

\

" f ”  / B N“ É r ü @ ҄    \ O 6 £ § Ü ¼– Ð & ñ _ ÷ &  H X < ü @ ҄   



 H \ O Ü ¼
 „   l  © œ, ×  æ§ 4  © œ, “ : r • ¸ 1 p x õ  ° ú  s  q „   & h 



 H" é ¶ (non-charge-like source) \  _ K  „   l â ì2 £ § _  ”  / B N l

@ /° ú כ (vacuum expectation value)s  % ò s  ÷ &t  · ú §`  ¦ à º e ”

 . ë ß –{ 9  „   ÷ &  H y n Cs  s  Qô  Ç „   l â ì2 £ § õ    ½ + Ë 



 H  â Ä º y n C" é ¶Þ  ¦ › ¸| s     >  ÷ &# Q y n C_  5 Å q§ 4  (ν)“ É r  8 s

 © œ Œ % ;ô  Ç ”  / B N \ " f_  y n C_  5 Å q§ 4  (c)ü <  Ø Ô . y n C_  5 Å q

§

4 \    s  (ν 6= c) { 9 # Q
  H Œ % ; t  · ú §“ É r (non-trivial)

”

 / B N“ É r l   F  g † < Æ& h Ü ¼– Ð Ó ü t| 9 _  ” > r F \  ¦ _ p  “ ¦ Ï ã J] X Ò  ¦

–

Ð l Õ ü t| ¨ c à º e ” 6 £ §`  ¦ _ p ô  Ç .

l

  F  g † < Æ& h Ü ¼– Ð Ï ã J] X Ò  ¦ s  ƒ  5 Å q& h Ü ¼– Ð      H ¨ 8 Š â \ 

"

f y n C_   ⠖ Ѝ  H Ï ã L # Q| 9  à º e ”  . ƒ  ½ ¨”  “ É r ‚  ' Ÿ ƒ  ½ ¨\ " f ü

@ Ò_  „  l  © œõ   l  © œ\  _ K  ”  / B N s  € ª œ „  l % i † < Æ& h  Ü

¼– Ð Œ % ; t  · ú §>  ÷ &  H  â Ä º y n Cs  6 f  H y Œ •• ¸\  ¦ > í ß – % i 



 [1–3]. # Œl " f  H € ª œ „  l % i † < Æ& h  ”  / B N s  Ä »ô  Çô  Ç “ : r • ¸

\

 _ K  Œ % ; t  · ú §>  ÷ &  H  â Ä º\  ¦ “ ¦ 9ô  Ç . “ : r • ¸\  _  K

 Ï ã J] X Ò  ¦ s  ƒ  5 Å q& h Ü ¼– Ð      H / B N ç ß –\ " f y n C_  C & h õ  6

f# Qt   H y Œ •• ¸\  ¦ l   F  g † < ÆÜ ¼– Ð > í ß –   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ — ¸+ þ A o

% i  . “ : r • ¸l Ö  ¦ l  ½ ¨@ /g A“    â Ä ºü < " é ¶: Ÿ x @ /g A“    â Ä

º y n Cs  6 f# Qt   H y Œ •• ¸[ þ t`  ¦ ½ ¨ # Œ ×  æ§ 4 \  _ K  6 f# Qt 



 H y Œ •• ¸ x 9  „   l  © œ\  _ K  Ï ã L # Qt   H y Œ •• ¸ü < q “ § ì  r$ 3  ô

 Ç .

‘

: r  7 Hë  H _  ½ ¨$ í “ É r  A ü < ° ú   . II] X \ " f  H š ¸{ 9  Q-  s

H $ ™! QÕ ª  Œ •6   x [4, 5] \  l œ íô  Ç q ‚  + þ A´ òõ \  _ K  y n C_  5

Å q§ 4    o\  ¦ „  l  © œs 
  l  © œs      { 9 ì ø Í& h “   Œ % ; t 

· ú

§“ É r ”  / B N \  S X ‰  © œ # Œ & h 6   x   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ™ è> hô  Ç Ê ê “ ¦“ : r õ

 $ “ : r \ " f_  y n C_  5 Å q§ 4 s  “ : r • ¸\  _ ” > r   H   H  & h “   /

B Nd ” `  ¦ l Õ ü t ô  Ç . III] X \ " f  H “ : r • ¸l Ö  ¦ l  s  © œ& h Ü ¼– Ð

½

¨@ /g A“    â Ä ºü < " é ¶: Ÿ x @ /g A“   ¿ º  â Ä º\  @ /K  l   F  g † < Æ\  l

œ íô  Ç C & h ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– РÒ'  C & h õ  Ï ã L # Qt   H y Œ •• ¸\  ¦ >  í

ß –ô  Ç .  t } Œ •Ü ¼– Ð IV] X \ " f  H “ : r • ¸l Ö  ¦ l \  _ K  6 f



 H y Œ •• ¸\  ¦ ×  æ§ 4  x 9  „   l  © œ\  _ K  6 f  H y Œ •• ¸ü < q “ § 

% i  .

II. – ¥” X ¢ Æ X Øy ¢; c" e8 ý ö m Í8 ý ç g Ë ¿ Q <’ Ò ×I í ÄÊ Ý ò i >± n Ç õ t Ú

ü

@ Ò_  „   l  © œ\  _ K  ”  / B N s  Œ % ; t  · ú §“ É r  â Ä º y n C _

 5 Å q§ 4    o  H š ¸{ 9  Q- s H $ ™! QÕ ª_  Ä »´ ò Œ •6   x \  l œ í 

#

Œ Bialynicka-Birulaü < Bialynicki-Birula\  _ K  ½ ¨K & ’ 



 [6]. ü @Â Ò „  l  © œs 
  l  © œs      { 9 ì ø Í& h “   q „   

&

h

   H" é ¶ \  _ ô  Ç Œ % ; t  · ú §“ É r ”  / B N \ " f_  y n C_  5 Å q§ 4    o

¢

¸ô  Ç € ª œ „  l % i † < Æ& h “   ˜ Ð& ñ `  ¦ : Ÿ x K  ½ ¨½ + É Ã º e ”  . Dit- trich ü < Gies [7–9]  H Ä »´ ò Œ •6   x] X   H (effective action ap- proach) \  l œ í # Œ { 9 ì ø Í& h “   Œ % ; t  · ú §“ É r € ª œ „  l % i 

†

< Æ ”  / B N 5 Å q`  ¦ ”  ' Ÿ    H y n C_  5 Å q§ 4    o\  ¦ l Õ ü t   H { 9 ì ø Í

&

h “   / B Nd ” `  ¦ Ä »• ¸ % i  . Õ ª   õ \  _  €   e ” _ _  ç  H{ 9  ô

 Ç Œ % ; t  · ú §“ É r ”  / B N \ " f_  y n C" é ¶Þ  ¦ › ¸|  (light cone con- dition)“ É r  A ü < ° ú  s  l Õ ü t| ¨ c à º e ”  .

κ ² = Q < T ^µν > κ _µ κ _ν (1)

#

Œl " f < T ^µν >  H \  -t -î  r1 l x | ¾ Ó J $ ™" f (energy- momentum tensor) _  Œ % ; t  · ú §“ É r ”  / B N \ " f_  ”  / B N l @ /

° ú

כs “ ¦ Q  H Ä »´ ò Œ •6   x„    (effective action charge)  Ô  ¦ o

 9 Ä »´ ò Œ •6   x _  B > h  à º\  _ ” > r   H € ª œs  . s  y n C" é ¶ Þ

 ¦ › ¸| `  ¦ €  •ô  Ç ü @ ҄   l  © œ C  â \ " f_  y n C_  5 Å q§ 4    o

\

 @ /K  & h 6   x ô  Ç   õ   H š ¸{ 9  Q- s H $ ™! QÕ ª_   Õ ª| ½ Ót  î

ß – (Euler-Heisenberg lagrangian)Ü ¼– Ð [6]\ " f ½ ¨ô  Ç   õ  ü

< ¢ - a„  y  { 9 u ô  Ç .

0

A_  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð { 9 ì ø Í& h “   Œ % ; t  · ú §“ É r ”  / B N \ " f_  y n C _

 5 Å q§ 4    o\  ¦ ½ ¨ l  0 AK  : £ ¤& ñ ô  Ç ý a³ ð> \  ¦ ¸ ú š“ ¦  A  ü

< ° ú  “ É r   à º\  ¦ • ¸{ 9   .

κ ^µ = κ ^µ

|κ| =  κ ⁰

|κ| , b κ



= (υ, b κ) (2)

#

Œl " f υ  H 0 A © œ5 Å q • ¸ (phase velocity)– Ð υ ≡ κ ⁰ /|κ| – Ð & ñ _

  ) a  . d ”  (1)`  ¦ d ” (2)\  • ¸{ 9 ô  Ç D h   à º– Ð
 ? /€     6

£

§ õ  ° ú  s  j þ t à º e ”   H X <

υ ² = 1 − Q < T ^µν > κ µ κ ν , (3)

—

¸Ž  H „   ~ ½ ӆ ¾ Ó\  @ /ô  Ç ¨ î ç  H`  ¦ 2 [ €    A ü < ° ú  “ É r d ” `  ¦

% 3

  H  .

υ ² = 1 − Q



1

3 < T ⁰⁰ > + ¹ ₃ < T ^α _α >



1 + Q < T ⁰⁰ > (4)

˜

Ð& ñ † ½ Ó Q < T ⁰⁰ >   Å Ò  Œ •“ É r  â Ä º (Q < T ⁰⁰ > 1), Q < T ^α α >  H  s `›    Œ •Ü ¼Ù ¼– Ð 0 A_  d ” “ É r   H  & h Ü ¼– Ð   6

£

§ õ  ° ú  s  j þ t à º e ”  .

υ ² = 1 − 4

3 Q < T ⁰⁰ >= 1 − 4

3 Qυ (5)

#

Œl " f υ  H Œ % ; t  · ú §“ É r ”  / B N _  \  -t x 9 • ¸\  ¦
  · p .

Ä

»ô  Ǔ : r • ¸\ " f_  € ª œ „  l % i † < Æ\  0 A_  ~ ½ ÓZ O `  ¦ & h 6   x 

€

  y n C_  5 Å q§ 4    o  H “ : r • ¸\  ¦ Ÿ í† < Ê   H : £ ¤ à º† < Êà º[ þ t _  & h  ì

 r+ þ AÜ ¼– Ð ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ”  . Ä »ô  Ǔ : r • ¸ € ª œ „  l % i † < Æ\ " f

“

: r • ¸_  ß ¼l \  ¦ ½ ¨ì  r   H  ƒ  & h “     à º  H „   _  | 9 | ¾ Ó m s  . 1 -“ ¦o  à ºï  r (one-loop level) \ " f y n C_  ¨ î ç  H5 Å q

§ 4

“ É r [7]  Å Ò ± ú “ É r (T  m) “ : r • ¸ F G ô  Ç\ " f  H   H  & h Ü ¼

–

Ð  6 £ § õ  ° ú  s  Å Ò# Qt “ ¦ υ low = 1 − 44π ²

2025 α ² T ⁴

m ⁴ , (6)



Å Ò Z  }“ É r “ : r • ¸ (T  m) F G ô  Ç\ " f  H  6 £ § õ  ° ú  s  Å Ò# Q

”

  .

υ high = 1 − 121π ²

8100 c 1 α ² + O  m ² T ²



(7)

#

Œl " f c 1 “ É r  A _  & h ì  r Ü ¼– Ð
 
  H ° ú כs  .

c 1 = Z 00

0

dp p d dp

 1 p

d dp

 1

p e ^−p 1 − e ^−p 1 + e ^−p



= 0.123747 . . . (8) Ä

»ô  Ǔ : r • ¸\  _ ô  Ç Œ % ; t  · ú §“ É r ”  / B N \ " f_  5 Å q§ 4   s   H $ 

“

: r \ " f T ⁴ \  q Y V # Œ 7 £ x    “ ¦“ : r \ " f  © œÃ º\  ] X   H

  H + þ AI s  .

€

ª œ „  l % i † < Æ\ " f “ : r • ¸\  -t  „   _  | 9 | ¾ Ó\  -t  ü

< ° ú   t   H e ” > “ : r • ¸  H T c = mc ² /κ _B – Ð @ /| Ä Ì 5.94 × 10 ⁹ K s  . T  m“   F G ô  Ç\ " f  H „    s ü @\  3 $ß ¼ü <

° ú

 “ É r   É r ` …Ø Ôp “ : r[ þ t _  Š © œÒ q t$ í s  ”  / B N¼ # F G \  l # Œ½ + É  כ s

Ù ¼– Ð € ª œ „  l % i † < Æs  & h 6   x ÷ &t  · ú §`  ¦  כ s  . …  ;^ ‰ Å Ò 0

A ¢ ¸  H t  © œ_  z  ´+ « >z  ´õ  ° ú  s  Ä ºo  › ' a d ”  e ”   H “ : r • ¸ # 3  0

A  H — ¸¿ º T  m“   % ò % i \  5 Å q ô  Ç . s  % ò % i \ " f ‚  • ¸ 

†

½ Ó_  Ï ã J] X Ò  ¦“ É r d ”  (6)Ü ¼– РÒ'   6 £ § õ  ° ú  s  j þ t à º e ”  .

n = 1

ν = 1 + 44π ² 2025 α ² T ⁴

m ⁴ (9)



ƒ  é ß –0 A (natural unit)– Ð
  · p 0 A_  d ” \  Ó ü t o  © œÃ º [

þ

t`  ¦ 4 Ÿ ¤" é ¶ # Œ ² D G ] jé ß –0 A>  (SI)– Ð
 ? /€   „   _  | 9 | ¾ Ó m“ É r e ” > “ : r • ¸ T c – Ð @ /^ ‰ | ¨ c  כ s  .

III. Æ X Øy ¢M ù n ÚM ; c 8 ý” X ¢ ö m Í8 ý  àX ì ÄÊ Ý ò i

@# aU À W ¥ P c l

Ï

ã J] X Ò  ¦ s  ç  H{ 9  t  · ú §  H / B M \ " f y n C“ É r Ï ã L # Q4 R ”  ' Ÿ ½ + É Ã

º e ”   H X < Õ ª Ï ã L # Qf ” “ É r l   F  g † < ÆÜ ¼– Ð > í ß – | ¨ c à º e ”  . Ï ã J ] X

Ò  ¦ s  ƒ  5 Å q& h Ü ¼– Ð      H ¨ 8 Š â \ " f y n C_   ⠖ Ѝ  H  A  ü

< ° ú  “ É r p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð
 è ­ q à º e ”   [1].

dυ ds = 1

m (υ × ∇n) × υ (10)

#

Œl " f s  H F  g  _  C & h `  ¦
 ? /  H B > h  à º– Ð ds =

|dr| s “ ¦ υ = dr/ds s  . d ”  (6)\ " fü < ° ú  s  Ä »ô  Çô  Ç “ : r

•

¸\  _ ô  Ç Ï ã J] X Ò  ¦ _  ˜ Ð& ñ s   Å Ò  Œ •`  ¦ M :  H C & h ~ ½ Ó& ñ d ” 

“ É

r   H  & h Ü ¼– Ð  6 £ § õ  ° ú  s  j þ t à º e ”  .

dυ

ds = (υ ₀ × ∇n) × υ ₀ (11)

#

Œl " f υ 0   H { 9     H F  g  _  œ íl ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦
 ? /  H é ß – 0

A 7 ˜' s  . F  g   x = −∞\ " f +x~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ”  ' Ÿ  



 H  â Ä º\  ¦ “ ¦ 9 €   υ=(1,0,0)s  . Ï ã J] X Ò  ¦ _  l Ö  ¦ l \  ¦

∇n = (η ₁ , η ₂ , η ₃ ) – Ð & ñ _  €   C & h ~ ½ Ó& ñ d ” _  y Œ • $ í ì  r“ É r

‚

 • ¸ à º\ " f ds = dxs Ù ¼– Ð  6 £ § õ  ° ú   .

d ² y

dx ² = η 2 , d ² z

dx ² = η 3 (12) Ï

ã J] X Ò  ¦ s  ý a³ ð_  † < Êà º– Ð Å Ò# Qt €   0 A_  d ” \ " f y n C_  C 

&

h õ  Ï ã L # Qt   H y Œ •• ¸\  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”  . y n Cs  Ï ã L # Qt >    H E $

™Ý ¼_    H" é ¶ Ü ¼– Ð “ : r • ¸l Ö  ¦ l  é ß –í  H >  ½ ¨@ /g A“    â Ä º ü

< " é ¶: Ÿ x @ /g A+ þ A“   ¿ º t   â Ä º\  & h 6   x ô  Ç . €  $  ½ ¨@ /g A

“

   â Ä º\  ¦ “ ¦ 9  .

1.  Œ6 È S Ë Æ X Øy ¢M ù n ÚM 

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð ½ ¨+ þ A“   …  ;^ ‰_  “ : r • ¸  H ×  æd ” Ü ¼– Ð ° ú  “ É r   o

\  e ”  8 • ¸ ° ú  t  · ú § . I € ª œ_  < É Ê& h Ü ¼– Ð · ú ˜ à º e ” 1 p w s

 ˜ Ð: Ÿ x _  Z >  ÷  r ë ß –  m   ×  æ$ í  Z > õ  ° ú  s  › ¸x 9 ô  Ç Z >  (compact star) \ " f• ¸ ³ ð€  “ : r • ¸  H  l  © œ´ òõ \  _ K    l

F G \ " f_  “ : r • ¸  l & h • ¸\ " f_  “ : r • ¸˜ Е ¸  8 Z  }  .

#

Œl " f  H “ : r • ¸ ì ø Ít 2 £ § \ ë ß – _ ” > r   H  כ Ü ¼– Ð é ß –í  H  oô  Ç s

 © œ& h “    â Ä º\  ¦ “ ¦ 9ô  Ç . ½ ¨@ /g A_  “ : r • ¸l Ö  ¦ l \  ¦  t

  H  â Ä º  H ´ ú §`  ¦ à º e ” t ë ß – ½ ¨+ þ A_  < É Ê ^ ‰\  _ ô  Ç 4 Ÿ ¤  \ 

"

f 4 Ÿ ¤  Ø  ¦§ 4  (radiation power)s  ì ø Í â \  › ' a > \ O s  { 9 & ñ ô

 Ç  â Ä º 7 £ ¤, e ” _ _  ì ø Í â r\ " f_  “ : r • ¸ Û ¼_ …ó ø Í_  Z O g Ë : L = 4πr ² ₀ σ T ₀ ⁴ = 4πr ² σ T ⁴ `  ¦ ë ß –7 á ¤   H  â Ä º\  ¦ “ ¦ 9 €  

T (r) = T ₀ r r ₀

r (13)

–

Ð j þ t à º e ”  . # Œl " f r 0 , T ₀   H Ó ü t ^ ‰ © œ_  e ” _ _  l ï  r& h 

\

 @ /ô  Ç ì ø Ít 2 £ § õ  “ : r • ¸\  ¦
  · p .

d ”

 (13)`  ¦ d ”  (9)\  @ /{ 9  €   Ï ã J] X Ò  ¦“ É r  6 £ § õ  ° ú  s  j þ t Ã

º e ” “ ¦

n = 1 + 44π ² 2025 α ² T ₀ ⁴

T _c ⁴ r ² ₀

r ² (14) { 9

    H F  g‚  _  ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ xy¨ î €  _  +x~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ¸ ú šÜ ¼€   y n

C_  C & h “ É r ‚  • ¸ à º\ " f  A _  p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð
  è

­ q à º e ”  .

y ⁰⁰ = d ² y

dx ² = − 88π ² 2025 α ² T ⁴

T ₀ ⁴ r ² ₀ y

r ⁴ (15)

{ 9

  F  g‚  _  Ø  æ[  t B > h  à º\  ¦ b – Ð ¸ ú š“ ¦ œ íl › ¸|  y(−∞) = b, y ⁰ (−∞) = 0`  ¦ s 6   x €   F  g‚  _  l Ö  ¦ l

ü < C & h \  @ /ô  Ç  6 £ § _  K \  ¦ % 3   H  .

y ⁰ (x) = − 44π ² 2025 α ² T ₀ ⁴

T _c ⁴ r ² ₀ b ²

 bx

b ² + x ² +arctan x b + π

2

 , (16)

y(x) = b



1 − 44π ² 2025 α ² T ₀ ⁴

T _c ⁴ r ₀ ² b ²

x b



arctan x b + π

2



(17) y n

C_  Ï ã L # Qt   H y Œ •• ¸  H y ⁰ (∞) = tan ϕ sph ' ϕ sph – РÒ' 



6 £ § õ  ° ú  s  ½ ¨K ”   .

ϕ _sph = − 44π ³ 2025 α ² T ₀ ⁴

T _c ⁴ r ² ₀

b ² (18)

#

Œl " f 6 £ §(-) _   Ҡ ñ  H y n Cs  Ó ü t ^ ‰_  ×  æd ” `  ¦ † ¾ ÓK  (“ : r • ¸

Z

 }“ É r A á ¤ Ü ¼– Ð) Ï ã L # Qf ” `  ¦ _ p ô  Ç .

2. Ì ¦ R—  Þ6 È S Ë Æ X Øy ¢M ù n ÚM 

"

é

¶: Ÿ x @ /g A_  “ : r • ¸ì  r Ÿ í  H …  ;^ ‰\ " f  H › ' a8 £ ¤ ÷ &l  # Q 9Ä º

 t  © œ_  z  ´+ « >z  ´\ " f |   " é ¶: Ÿ x+ þ A_  ä ¼ î  r Ó ü t ^ ‰
 e  ¦   Ý

¼ \  ¦ s 6   x # Œ ½ ¨‰ & ³| ¨ c à º e ” `  ¦  כ s  . · ú ¡\ " f “ ¦ 9ô  Ç

½

¨@ /g A_   â Ä ºü < Ä »  >  Á ºô  Çy  |   " é ¶: Ÿ x+ þ A_  < É Ê ^ ‰\  _

ô  Ç 4 Ÿ ¤  \ " f 4 Ÿ ¤  Ø  ¦§ 4  (radiation power)s  e ” _ _  " é ¶ :

Ÿ

x ì ø Í â ρ\ " f Û ¼_ …ó ø Í_  Z O g Ë : L = 2πρ 0 σT ₀ ⁴ = 2πρσT ⁴ `  ¦ ë

ß –7 á ¤   H  â Ä º, ì ø Ít 2 £ § \    É r “ : r • ¸ T (ρ)“ É r

T (ρ) = T ₀  ρ ₀ ρ



¹₄

(19)

–

Ð j þ t à º e ”  . # Œl " f ρ ⁰ , T 0   H e ” _  l ï  r& h \  @ /ô  Ç " é ¶: Ÿ x ì

ø Í â õ  “ : r • ¸\  ¦
  · p .

d ”

 (19)`  ¦ d ”  (9)\  @ /{ 9  €   Ï ã J] X Ò  ¦“ É r  6 £ § õ  ° ú   .

n = 1 + 44π ² 2025 α ² T ₀ ⁴

T _c ⁴ ρ 0

ρ (20)

"

é

¶: Ÿ x _  ×  æd ” `  ¦ z» ¡ ¤ Ü ¼– Ð ¸ ú š“ ¦ { 9     H F  g‚  _  ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ xy¨ î €  _  +x~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ¸ ú šÜ ¼€   (ρ = p

x ² + y ² ) l Ö  ¦ l ü <

C

& h “ É r  6 £ § d ” `  ¦ & h ì  r # Œ ½ ¨½ + É Ã º e ”  .

y ⁰⁰ = 44π ² 2025 α ² T ⁴

T ₀ ⁴ ρ ₀ y

(x ² + y ² )

³²

(21) { 9

  F  g‚  _  Ø  æ[  t B > h  à º\  ¦ b – Ð ¸ ú šÜ ¼€   œ íl › ¸|  y(−∞) = b, y ⁰ (−∞)=0`  ¦ s 6   x €   F  g‚  _  l Ö  ¦ l ü < C 

&

h \  @ /ô  Ç  6 £ § _  K \  ¦ % 3   H  .

y ⁰ (x) = − 44π ² 2025 α ² T ₀ ⁴

T _c ⁴ ρ ₀

b

 x

√ b ² + x ² + 1



, (22)

y(x) = b



1 − 44π ² 2025 α ² T ₀ ⁴

T _c ⁴ ρ 0

b ( p

b ² + x ² + x)



(23) d ”

 (22)– РÒ'  x = ∞`  ¦ @ /{ 9  # Œ Ï ã L # Qt   H y n C_  y Œ •• ¸\  ¦

½

¨ €    6 £ § õ  ° ú   .

ϕ _cyl = − 88π ³ 2025 α ² T ₀ ⁴

T _c ⁴ ρ ₀

b (24)

IV. + s Ç Â ] Ø

t

 © œ_  z  ´+ « >z  ´\ " f " é ¶: Ÿ x @ /g A_  “ : r • ¸l Ö  ¦ l \  ¦ ë ß –[ þ t # Q

?

/  H  â Ä ºs  
 ˜ Ð: Ÿ x _  Z > _  @ /l \  _ K  ë ß –[ þ t # Qt   H

½

¨@ /g A_  “ : r • ¸l Ö  ¦ l _   â Ä º T 0   H @ /| Ä Ì ∼ 10 ³ K Ü ¼– Ð € ª œ



„  l % i † < Æ_  e ” > “ : r • ¸ T ^c ∼ 10 ⁹ K \  q  €    Å Ò ± ú  .

“

: r • ¸l Ö  ¦ l \  _ K  Ï ã L # Qt   H y Œ •\  @ /ô  Ç d ”  (18)ü < (24)  H (T ₀ /T _c ) ⁴ \  q Y V Ù ¼– Ð   " f ‘ : r  7 Hë  H _  > í ß –   õ \  ¦ t 



© œ_  z  ´+ « >z  ´s 
 ˜ Ð: Ÿ x _  Z > \  & h 6   x # Œ › ' a ¹ 1 Ï l \   H Ï ã L

#

Qt   H y Œ •s   -Á º  Œ • . z  ´] j Ó ü t o > \  & h 6   x 0 p x # ŒÂ Ò\  ¦

*

‹
   É r B j& m 7 £ § \  _ K  Ï ã L # Qt   H y Œ •õ  q “ §K  ˜ Ð .

{ 9

ì ø Í © œ@ / : r \  _ K  > í ß –  ) a ×  æ§ 4 \  _ K  y n Cs  Ï ã L # Qt   H y

Œ

•_  ß ¼l   H  6 £ § õ  ° ú   .

ϕ _G = 4GM

bc ² (25)

y n

C“ É r ü @ ҄   l  © œ\  _ K " f• ¸ _ K  Ï ã L # Qt   H X < Õ ª y Œ •

“ É

r š ¸{ 9  Q- s H $ ™! QÕ ª_   Œ •6   x \  _ K  > í ß – | ¨ c à º e ”  . „  

^

‰ „    Q“   ½ ¨@ /g A_  „   ì  r Ÿ í\  ¦ ”   Ó ü t ^ ‰\  _ ô  Ç Ï

ã

L # Qt   H y Œ •“ É r  6 £ § õ  ° ú    [1].

ϕ _Q = − aα ² Q ² 640π ₀ ~c

 λ e

b

 ⁴

(26)

#

Œl " f a  H y n C_  ¼ # F  g — ¸× ¼\  _ ” > r   H ° ú כÜ ¼– Ð Ã ºf ” — ¸× ¼

\

 @ /K " f  H 14, à º¨ î — ¸× ¼\  @ /K " f  H 8 _  ° ú כ`  ¦ ° ú   H  .



l Š © œF G  _   l  © œ\  _ K  y n C_  Ï ã L # Qt   H y Œ •“ É r { 9 ì ø Í

&

h Ü ¼– Ð y n C_  ”  ' Ÿ ~ ½ ӆ ¾ Óõ   l  © œ_   © œ@ /& h “   ~ ½ ӆ ¾ Ó\  _ 

”

> r 
 @ /| Ä Ì& h “   ß ¼l  q “ §\  ¦ 0 AK  Ï ã L # Qt   H y Œ •s  þ j@ /

“

   â Ä º\  ¦ “ ¦ 9ô  Ç . s   H { 9   F  g s  Š © œF G  \  à ºf ” s “ ¦



F G`  ¦ t 
  H  â Ä º– Ð Ï ã L # Qt   H y Œ •• ¸  H  6 £ § õ  ° ú  s  Å Ò

#

Q”    [2].

ϕ B = − 41π 384

aα ²  0 c~

e ²

 B ₀ B c

2  r ₀ b

6 

(27)

#

Œl " f B ⁰   H ³ ð€  \ " f_   l  © œ_  [ jl s “ ¦ B ^c   H e ” > 



l  © œ B c = m ² c ² /e~(= 4.4 × 10 ⁹ T) s  . ë ß –{ 9   l  © œ

`

 ¦ ”   Ó ü t ^ ‰ 1 l x r \  ‘ : rë  H \ " f  7 H _ ô  Ç ½ ¨+ þ A_  é ß –í  H ô  Ç

“

: r • ¸ì  r Ÿ í\  ¦ ”   “ ¦ & ñ €   Ó ü t ^ ‰  s \ " f  H  l 



© œ\  _ ô  Ç Ï ã L # Qf ” s  “ : r • ¸l Ö  ¦ l \  _ ô  Ç Ï ã L # Qf ” `  ¦ · ú š• ¸

“ ¦ €   / B M \ " f  H ì ø Í@ /– Ð | ¨ c  כ s  .

Ï ã

L # Qt   H y Œ •[ þ t _  “ : r • ¸, „   ,  l  © œ x 9  Ø  æ[  t B > h  à º _

” > r$ í “ É r \  -t x 9 • ¸ Ï ã J] X Ò  ¦`  ¦ : Ÿ x K  (∇n ∝ ∇u) ì ø Í

% ò

÷ &# Q
 è ß –   õ s  . \ V\  ¦ [ þ t€    l  © œ\  _ ô  Ç \ 



-t  x 9 • ¸  H u ∝ B ² “  X < Š © œF G  _   â Ä º B ∝ 1/r ³ s Ù ¼

–

Ð ϕ ^B ∝ B ₀ ² /b ⁶ s “ ¦, ½ ¨+ þ A_  “ : r • ¸l Ö  ¦ l  e ”   H  â Ä º  H u ∝ T ⁴ ü < T ∝ 1/ √

r \ " f ϕ sph ∝ T ₀ ⁴ /b ² s  .

Ï ã

L # Qt   H y Œ •_  # Qa Ë > > í ß –`  ¦ 0 AK  ×  æ$ í  Z > _   â Ä º  0

p

x ô  Ç ° ú כ[ þ t`  ¦ 0 A\  & h 6   x K  ˜ Ð . ×  æ$ í  Z > “ É r y n C`  ¦ 6 f>  



 H y © œô  Ç ×  æ§ 4 `  ¦ t “ ¦ e ” `  ¦ ÷  r ë ß –  m    l  © œ`  ¦ t 

“

¦ e ” “ ¦ ³ ð€  “ : r • ¸ ¢ ¸ô  Ç ˜ Ð: Ÿ x _  Z > ˜ Ð   Å Ò Z  }   0 A\  ƒ   /

å

L ô  Ç [ j 7 á x À Ó_  Ï ã L # Qf ”  y Œ •• ¸\  ¦ # Qa Ë > # Œ q “ §K  ˜ Ðl  a % ~

“ É

r  â Ä ºs  . ×  æ$ í  Z > _  | 9 | ¾ ӓ É r @ /| Ä Ì I € ª œ| 9 | ¾ Óõ  ° ú  “ ¦, M ∼ M _sun = 2 × 10 ³⁰ kg, ì ø Ít 2 £ §“ É r @ /| Ä Ì r 0 ∼10 km s Ù ¼

–

Ð ×  æ§ 4 \  _ K  Ï ã L # Qt   H y Œ •_  Ø  æ[  t B > h  à º_ ” > r$ í “ É r @ /

| Ä

Ì ϕ G ∼ 10 ⁻¹ (r ₀ /b) s  . @ / Òì  r _  ×  æ$ í  Z > “ É r  l  © œ

`

 ¦ t   H X < ³ ð€  \ " f_  ° ú כ“ É r @ /| Ä Ì B 0 = 10 ⁴ ∼ 10 ⁹ T _ 

#

3 0 A\  e ”  . Ó ü t : r ³ ð€   l  © œ_  [ jl  e ” > ° ú כ 4.4×10 ⁹ T`  ¦  Å   H  $ 3 Z >  (magnetar)• ¸ e ” Ü ¼
 d ”  (27)_  > í ß –

“ É

r €  •ô  Ç  © œ   H  _  š ¸{ 9  Q- s H $ ™! QÕ ª_   Õ ª| ½ Ót î ß –\  _

K  > í ß –  ) a   õ s Ù ¼– Ð B 0 ∼ 10 ⁸ T  t  Ä »´ ò   

&

ñ “ ¦ (B ⁰ /B c ) ∼ 10 ⁻¹ `  ¦ @ /{ 9  # Œ # Qa Ë > €    l  © œ

\

 _ K  Ï ã L # Qt   H y Œ •_  ô  Ç>   H ϕ B ≤ 10 ⁻⁵ (r ₀ /b) ⁶ s  .

×

 æ$ í  Z > _  ³ ð€  “ : r • ¸  H @ /| Ä Ì T 0 ≤ 10 ⁶ K – Ð · ú ˜ 94 R e ” 



 [10–12]. ³ ð€  \ " f “ : r • ¸\  _ ô  Ç < É Ê ^ ‰4 Ÿ ¤  _  \  -t 



 H T ₀ ⁴ \  q Y Vô  Ç . ×  æ$ í  Z > “ É r y © œô  Ç ×  æ§ 4 Ü ¼– Ð @ /l  \ O  Ü

¼Ù ¼– Ð r > r ⁰ “   / B M \ " f_  Ó ü t ^ ‰\  _ K  Ò q tl   H “ : r • ¸  H

&

ñ _  | ¨ c à º \ O Ü ¼
 ³ ð€  \ " f 4 Ÿ ¤  \  _ K  ~ ½ ÓØ  ¦ ) a F  g  

\

 _ ô  Ç \  -t x 9 • ¸  H r > r 0 “   / B M \ " f  H  B$ 3 | ¨ c  כ s 



. d ”  (5)_  5 Å q§ 4    o  H \  -t x 9 • ¸\  _ ô  Ç  כ s Ù ¼– Ð s

  B$ 3 ÷ &  H \  -t x 9 • ¸\  @ /6 £ x ÷ &  H Ä »´ ò“ : r • ¸  H   H  & h  Ü

¼– Ð T ⁴ \  q Y Vô  Ç “ ¦ & ñ “ ¦ ‘ : rë  H _  > í ß –  õ \  ¦ & h  6

 

x K  ˜ Ð . d ”  (17)\  (T 0 /T _c ) ∼ 10 ⁻³ `  ¦ @ /{ 9  €     H  

&

h Ü ¼– Ð ϕ ^sph ≤ 10 ⁻¹⁷ (r 0 /b) ² s  . @ /| Ä Ì Ø  æ[  t B > h  à º

b < 10 ³ r 0 – Ð …  ;^ ‰  s  t 
  H  â Ä º\   H  l  © œ\  _

ô  Ç Ï ã L # Qf ” s  Ä º[ j “ ¦ b < 10 ³ r 0 s  © œ_  €   / B M \ " f  H

“

: r • ¸\  _ ô  Ç Ï ã L # Qf ” s  Ä º[ j½ + É  כ Ü ¼– Ð \ V © œ÷ &
 ¿ º  â Ä º

—

¸¿ º ×  æ§ 4 \  _ ô  Ç Ï ã L # Qf ” õ  q “ § €   F G y   Œ • .

P

c p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2012¸  • ¸ & ñ Â Ò (“ §¹ ¢ ¤ õ † < Æl Õ ü t  Ò)_  F " é ¶ Ü ¼

–

Ð ô  Dz D Gƒ  ½ ¨F é ß –_  l œ íƒ  ½ ¨ \ O  t " é ¶`  ¦ ~ à Î  à º' Ÿ  ) a  כ e ”

 (12A12840581).

REFERENCES

[1] J. Y. Kim and T. Lee, Mod. Phys. Lett. A 26, 1481 (2011).

[2] J. Y. Kim and T. Lee, J. Cosmol. Astropart. Phys.

11, 017 (2011).

[3] J. Y. Kim and T. Lee, New Phys.: Sae Mulli 62, 1176 (2012).

[4] W. Heisenberg and H. Euler, Z. Phys. 98, 714 (1936).

[5] J. S. Schwinger, Phys. Rev. 82, 664 (1951).

[6] Z. Bialynicka-Birula and I. Bialynicki-Birula, Phys.

Rev. D 2, 2341 (1970).

[7] H. Gies and W. Dittrich, Phys. Lett. B 431, 420 (1998).

[8] W. Dittrich and H. Gies, Phys. Rev. D 58, 025004 (1998).

[9] H. Gies, Phys. Rev. D 60, 105033 (1999).

[10] D. Page, Astrophys. J. 442, 273 (1995).

[11] D. Page and A. Sarmiento, Astrophys. J. 473, 1067 (1996).

[12] A. Y. Potekhin, V. Urpin and G. Chabrier, Astron.

Astrophys. 443, 1025 (2005).