ⅲ. 시간가치의 두 번째 부분 : 옵션의 기초자산을 매매함으로써 발생하는 현금흐름과 관련 된 시간가치. 콜 매입은 프리미엄 지불만으로 만기에 기초자산을 보유할 권리를 가지지 만, 현물매입하는 데 소요되는 자금을 지불하지 않으므로 이에 해당하는 이자비용이 절 감됨. 이것이 콜옵션 시간가치가 외가격보다 내가격에서 큰 이유임. 그리고 풋 매입은 만기에 기초자산을 매도할 권리를 가지지만, 매도자금을 수수하지 못하므로 이에 대한 이자소득을 포기하게 됨. 이러한 음(-)의 시간가치는 풋옵션이 내가격으로 갈수록 크게 나타나고, 외가격으로 갈수록 작아짐.
옵션가치 옵션가치
시간가치 시간가치
OTM X ITM S ITM X OTM S 만기 전 유럽형 콜옵션 가치 만기 전 유럽형 풋옵션 가치
ⅳ. 옵션 시간가치의 특성
① 옵션의 시간가치는 등가격을 중심으로 정확히 좌우 대칭이 아님.
② 시간가치의 두 번째 부분은 콜옵션에서는 양(+)의 값을 갖고 풋옵션에서는 음(-)의 값을 가지므로 콜옵션의 시간가치가 풋옵션에 비해 약간 큼.
③ 풋옵션의 경우 깊은 내가격(deep ITM)으로 갈수록 양(+)의 값을 갖는 시간가치의 첫 번째 부분은 점점 작아지고 음(-)의 값을 갖는 두 번째 부분의 절대치는 점점 커 져서 전체 시간가치가 음(-)으로 나타남.
ⅴ. 조기권리행사가 가능한 미국형 옵션의 가치 : 일반적으로 옵션을 조기에 행사하는 것은 합리적이지 못한데, 이는 옵션을 조기에 행사함으로써 내재가치만 획득하고 시간가치를 포기하는 것이기 때문임. 따라서 옵션을 조기에 행사하기보다는 반대매매가 더 이익이 됨. 단, 시간가치가 음(-)일 때는 만기 이전에 권리를 행사할 수 있는 미국식 옵션의 가 치가 유럽식 옵션보다 큰데, 이는 미국식 옵션 보유자는 시간가치가 음이 되기 전에 옵 션을 행사함으로써 음(-)의 시간가치가 되는 것을 피할 수 있기 때문임.
옵션가치
미국형 풋옵션 유럽형 풋옵션
X S 미국형 풋옵션과 유럽형 풋옵션의 가치
9.2 옵션가격에 영향을 미치는 요인들
(1) 기초자산 가격 및 옵션의 행사가격
ⅰ. 기초자산 가격
① 콜옵션 : 기초자산 가격이 상승하면 옵션 행사에 따른 이익이 증가하여 콜옵션의 가 격은 상승함.
② 풋옵션 : 기초자산 가격이 상승하면 옵션 행사에 따른 이익이 감소하여 콜옵션의 가 격은 하락함.
ⅱ. 행사가격 : 옵션의 내재가치는 기초자산 가격과 행사가격의 차이에 의해 결정됨.
① 콜옵션 : 행사가격이 현물가격에 비해 낮을수록 프리미엄이 상승함.
② 풋옵션 : 행사가격이 현물가격에 비해 높을수록 프리미엄이 상승함.
ⅲ. 델타(delta, Δ) : 기초자산 가격이 한 단위 변할 때의 옵션가격의 변화분으로서, 수학적 으로는 옵션 가격 P에 대한 기초자산 가격 S의 편미분으로 정의됨. 즉 델타는 옵션 가 치곡선의 기울기임.
delta(Δ) =∂P
∂S
① 기초자산의 가격이 증가하면 콜옵션의 가격도 같이 증가하므로 델타가 양(+)의 값 을 갖고, 풋옵션의 가격은 감소하므로 델타가 음(-)의 값으로 나타남.
② 콜옵션과 풋옵션 모두 깊은 외가격 상태에서는 델타가 0으로 접근함.
③ 등가격 근처에서 콜옵션의 델타는 0.5, 풋옵션의 델타는 -0.5가 됨.
④ 내가격으로 갈수록 콜옵션의 델타는 1, 풋옵션의 델타는 -1에 수렴함.
옵션가치 옵션가치 콜옵션 가치곡선 풋옵션 가치곡선
OTM X ITM S ITM X OTM S Δ Δ S 1 0
0.5 -0.5
0
-1
X S
유럽형 콜옵션의 Δ 유럽형 풋옵션의 Δ
ⅳ. 감마(gamma, Γ) : 기초자산의 가격이 1단위 변할 때 옵션 delta의 변화분으로서, 수학 적으로 감마는 옵션가격을 기초자산으로 2차 편미분한 값으로 정의됨. 그러므로 델타가 옵션가격의 기초자산 가격변동에 대한 리스크를 보여준다면, 감마는 델타리스크가 변하 는 속도를 측정하는 척도임. 기초자산의 가격이 상승하면 Δ가 상승하고 하락하면 Δ도 하락하므로, Γ는 항상 양(+)의 값임.
gamma(Γ) = ∂
delta =∂2P
∂S ∂S2
X S 기초자산 가격에 따른 감마(Γ)의 변화 (2) 잔존기간
ⅰ. 잔존기간과 옵션의 가치 : 옵션의 시간가치는 잔존기간이 길수록 증가하는데, 이는 만기 까지의 기간이 길수록 기초자산의 변동가능성이 크기 때문임.
ⅱ. 세타(theta, θ) : 시간가치가 잠식(time decay)되는 속도를 보여주는 척도로서, 옵션가 치 P를 만기까지의 잔존기간 t로 편미분한 값에 음(-)의 부호를 붙인 값으로 정의됨.
내가격과 외가격 옵션은 원래 시간가치가 작기 때문에 시간가치의 잠식이 크지 않으나, 등가격 옵션은 시간가치가 높아서 시간가치의 잠식효과도 크게 일어남. 유럽형 풋옵션 의 경우는 음의 시간가치를 가지는 경우에는 예외적으로 세타의 부호가 반대로 나타남.
theta(θ) =-∂P
∂t
(3) 기초자산의 가격변동성
ⅰ. 기초자산의 변동성(volatility)과 옵션의 가치 : 기초자산의 변동성이란 시간의 변화에 따른 가격변동의 정도이며, 통계학적으로 기초자산 가격의 표준편차(standard deviation) σS로 측정함. 기초자산의 가격변동성이 커질수록 옵션의 가격은 높아짐.
ⅱ. 베가(vega, υ) : 변동성이 1% 변할 때 옵션가격이 변화하는 정도를 나타내는 척도이며, 콜옵션과 풋옵션 모두 베가는 양(+)의 값으로 나타남. 베가는 감마의 경우처럼 등가격 부근에서 높고 내가격이나 외가격으로 갈수록 낮아져서 종모양으로 나타남. 이는 옵션 이 깊은 외가격이나 내가격일 때는 기초자산의 변동가능성이 높더라도 반대의 상황으로 전개될 가능성이 낮기 때문임. 또한 옵션만기일에 가까워질수록 베가는 감소하는데, 만 기일이 다가올수록 외가격이나 등가격이 내가격으로 바뀌거나 내가격이 외가격으로 전 환될 가능성이 점점 작아지기 때문임.
vega(υ) =∂P
∂σS
X S 기초자산 가격에 따른 베가(υ)의 변화 (4) 이자율
ⅰ. 이자율과 옵션의 가치 : 이자율이 옵션 가격에 미치는 영향은 시간가치의 두 번째 부분 과 관련됨. 이자율이 상승하면 보유비용이 드는 기초자산의 대체역할을 하는 콜옵션의 가치는 상승하고 반대로 풋옵션의 가치는 하락함. 이 외에 기초자산의 가격이 이자율 변동과 관련되는 경우가 있음. 예를 들어 주가와 금리가 반대방향으로 움직이는 경우에 이자율이 상승하면 주가가 하락하여 주가지수 또는 개별주식 콜옵션의 가격은 하락하고 풋옵션의 가격은 상승하게 됨. 이와 같이 이자율이 옵션가치에 미치는 영향이 서로 다 른 방향으로 나타나기 때문에 순효과의 방향은 두 효과의 크고 작음에 따라 결정됨.
ⅱ. 로우(rho, ρ) : 이자율에 대한 옵션가격의 민감도를 보여주는 척도. 그러나 금리변화에 따른 옵션 가격의 탄력성이 매우 낮으므로 로우의 상대적 중요도도 낮음.
(5) 배당금
* 배당금과 옵션의 가치 : 개별주식 또는 주가지수 옵션의 경우에는 배당금이 옵션의 가치 에 영향을 미침. 배당락에 의해 주가 또는 주가지수가 하락하면 관련 콜옵션의 가치는 떨어지고, 반대로 풋옵션의 가치는 상승함.
9.3 옵션가격의 범위와 풋-콜 패러티
S : 현재 시점의 기초자산 가격 X : 옵션의 행사가격 t : 만기까지 남은 기간 σ : 기초자산의 가격변동성 ST : 만기 시점 T의 기초자산 가격
r : 만기가 T인 무위험 이자율(연율) c : 유럽형 콜옵션의 가격
C : 미국형 콜옵션의 가격 p : 유럽형 풋옵션의 가격 P : 미국형 풋옵션의 가격 D : 현재로부터 만기까지 기초자산으로부터 발생하는 현금흐름의 현재가치
(1) 콜옵션 가격의 범위
ⅰ. 콜옵션의 상한 : 콜옵션은 보유자에게 기초자산을 행사가격에 매입할 수 있는 권리를
부여한 것이므로 어떤 경우에도 콜옵션의 가격은 기초자산의 가격을 상회할 수 없음.
만약 콜옵션의 가격이 기초자산의 가격을 상회한다면, 기초자산을 매입하고 콜옵션을 매도함으로써 차익거래이익이 발생함. 따라서
c≤S, C≤S
ⅱ. 콜옵션의 하한 : 프리미엄 c의 유럽형 콜옵션을 매입하고 Xe-rt 금액의 무위험채권을 매입하는 포트폴리오 A와 기초자산을 매입하는 포트폴리오 B의 만기시 투자성과는
포트폴리오 투자금액 투자성과
ST<X ST≥X A
B
c+Xe-rt S
X ST
ST ST
즉 포트폴리오 A의 투자성과는 어떤 경우에도 B보다 낮지 않음. 따라서 차익거래이익 이 발생하지 않기 위해서는 A의 투자금액이 적어도 B의 경우보다 작지 않아야 함. 즉, c+Xe-rt≥S ⇔ c≥S-Xe-rt
∴ c≥max(0, S-Xe-rt)
현금흐름이 없는 기초자산에 대한 미국형 콜옵션은 조기에 행사될 필요가 없으므로 사 실상 유럽형 콜옵션과 동일함. 따라서 미국형 콜옵션의 하한도
C≥max(0, S-Xe-rt)
기초자산으로부터 현금흐름이 발생하는 경우에는 포트폴리오 B의 투자금액이 S-D가 되므로 유럽형 콜옵션의 하한은
c≥max(0, S-D-Xe-rt)
그러나 현금흐름이 발생하는 기초자산에 대한 미국형 콜옵션은 만기 전에 조기행사될 가능성이 있으므로 하한이 달라질 수 있음.
(2) 풋옵션 가격의 범위
ⅰ. 풋옵션의 상한 : 풋옵션은 보유자에게 기초자산을 행사가격에 매도할 수 있는 권리를 부여한 것이므로 어떤 경우에도 풋옵션 가격은 행사가격을 상회할 수 없음. 만약 p>X 또는 P>X라면, 옵션을 매도하고 무위험채권에 투자함으로써 p-X 또는 P-X 만큼의 차 익거래이익이 발생함. 따라서
p≤X, P≤X
ⅱ. 풋옵션의 하한 : 프리미엄 p의 유럽형 풋옵션을 매입하고 기초자산을 매입하는 포트폴 리오 A와 무위험채권 Xe-rt을 매입하는 포트폴리오 B의 만기시 투자성과는
포트폴리오 투자금액 투자성과
ST<X ST≥X A
B
p+S Xe-rt
X X
ST X
이 결과에 따르면 포트폴리오 A의 투자성과는 어떤 경우에도 B보다 낮지 않음. 따라서
차익거래 이익이 발생하지 않기 위해서는 포트폴리오 A의 투자금액이 적어도 포트폴리 오 B의 투자금액보다 작지 않아야 함. 즉,
p+S≥Xe-rt ⇔ p≥Xe-rt-S ∴ p≥max(0, Xe-rt-S)
미국형 풋옵션은 기초자산으로부터 현금흐름이 없는 경우라도 조기행사를 통해 음(-)의 시간가치를 피할 수 있으므로 항상 내재가치보다 큼. 즉,
P≥X-S
기초자산으로부터 현금흐름이 발생하는 경우에는 포트폴리오 A의 투자금액이 p+S-D 가 되므로 유럽형 풋옵션의 하한은
p≥max(0, Xe-rt-S+D)
그러나 현금흐름이 발생하는 기초자산에 대한 미국형 풋옵션은 조기행사여부를 판단하 기 어렵기 때문에 풋옵션의 가격범위를 정하는 것이 쉽지 않음.
(3) 풋-콜 패러티
ⅰ. 풋-콜 패러티(put-call parity) : 유럽형 콜옵션을 매입하고 Xe-rt에 해당하는 금액의 무 위험채권을 매입하는 포트폴리오 A와 유럽형 풋옵션을 매입하고 기초자산을 매입하는 포트폴리오 B의 만기시 투자성과는
포트폴리오 투자금액 투자성과
ST>X ST≤X A
B
c+Xe-rt p+S
ST
ST
X X
결과적으로 만기시점의 두 포트폴리오는 max(ST, X)라는 동일한 가치를 가짐. 그리고 이 포트폴리오의 옵션은 유럽형이기 때문에 만기일 이전에 권리를 행사할 수 없음. 그 러므로 차익거래이익이 발생하지 않기 위해서는 현재시점에서 두 포트폴리오의 투자액 은 동일해야 함. 즉 풋-콜 패러티라고 불리는 다음의 등식이 성립함.
c+Xe-rt=p+S
기초자산으로부터 현금흐름이 발생하는 경우에는 포트폴리오 B의 투자금액이 p+S-D 가 되므로 다음의 같은 풋-콜 패러티가 성립함.
c+Xe-rt=p+S-D
ⅱ. 선물옵션의 풋-콜 패러티 : 옵션의 기초자산이 선물계약인 선물옵션의 경우에는 선물보 유비용모형으로부터의 관계식 F=Sert를 이용하여 풋-콜 패러티를 변형할 수 있음. 공식 에 S에 Fe-rt를 대입하면
c+Xe-rt=p+Fe-rt
이를 정리하면 다음의 선물옵션 풋-콜 패러티 공식이 유도됨.
c-p=(F-X)e-rt
ⅲ. 풋-콜 패러티의 활용
① 행사가격과 만기가 동일한 유럽형 콜옵션과 풋옵션 중에서 어느 한 옵션의 이론가격
이 결정되면, 나머지 한 옵션의 이론가격은 풋-콜 패러티로 구할 수 있음.
② 풋-콜 패러티는 기초자산, 콜옵션, 풋옵션 및 무위험채권으로 구성된 포트폴리오간 의 관계식임. 따라서 이 중에서 어떤 증권도 나머지 증권을 이용하여 동일한 수익 (payoff) 구조를 합성할 수 있음.
③ 만일 시장에서 풋-콜 패러티가 성립하지 않을 때는 차익거래가 가능함.
