1. 군 론

- Contents -

1. 군 론

1.1. 군과 부분군 1.2. 순환군

1.3. 잉여류와 라그랑지의 정리 1.4. 준동형사상과 동형사상 1.5. 잉여군과 동형정리 1.6. 치환군

1.7. 직적과 유한생성가환군 1.8. Sylow의 정리

2. 환

2.1. 환과 체의 도입

2.2. 환준동형사상과 환동형사상 2.3. 상체(혹은 분수체)와 환의 표수 2.4. 아이디얼과 잉여환

2.5. 극대아이디얼과 소아이디얼 2.6. 다항식환과 인수분해 2.7. 주아이디얼정역 2.8. 유일분해정역 2.9. 유클리드정역

3. 체론

3.1. 대수적확대체

3.2. 갈로아확대체와 대수적덮개 3.3. 기하적작도

Ⅰ.기출문제

2000년시행기출(상군의 정의)

곱셈군 G와 G의 정규부분군(nomal subgroup) N이 주어져 있다. 집합 G/N = { gN∣g∈G}에 연산 ( g₁N)(g₂N)=g₁g₂N이 주어져 있을 때, 이 연산은 잘 정의된 연산(well-defined operation)이고, 군을 이루고 있음을 증명하시오. (5점)

1996년시행기출(원소의 위수)

군 G의 원소 a, b가 다음 조건을 만족하고 있다.

a³= e, aba^{- 1}= b²(단 e : G의 항등원) b가 항등원이 아닐 때 b의 위수(order)를 구하라.

1999년시행기출(가환군)

군 G의 임의의 원소 g에 대하여 g^{- 1}= g이면 G는 가환군 (commutative group)임을 보이시오.(5점)

1996년시행모의시험기출(정규부분군)

군준동형사상(group-homomorphism) φ : G → H의 핵(kernel)은 G 의 정규부분군임(nomal subgroup)을 보여라.(3점)

1997년시행기출(이데알의 정의)

가환환 R의멱영원(nilpotent)의 집합이 J = {a ∈R | a^m= 0, m∈ℤ⁺} 일 때, J가 R의 이데알(ideal)임을 증명하여라.(6점)

1999년시행기출(정역과 체의 정의)

유한인 정역(finite integral domain)은 체(field)임을 증명하시오.(5점)

1999년시행추가임용기출(주이데알 정역)

F가 체일 때, F[ x]의 모든 이데알(ideal)은 주이데알(principal ideal) 임을 증명하시오.(5점)

1999년시행추가임용기출(유한확대체,대수적확대체)

E가 체 F위에서 유한확대체(finite extension field)이면 대수적확대체 (algebraic extension field)임을 증명하여라.(5점)

1996년시행기출(작도가능성과 갈로아의 확대체이론)

눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용한 작도가 불가능한 3대 작도문제를 쓰고(2 점), 작도 불가능한 이유를 Galois이론과 관련하여 설명하시오.(3점)

2001년시행기출(확대체와 기약다항식)

체(field) F 위의 기약 다항식(irreducible polynomial)

f( x) = a_nxⁿ+a_{n - 1}x^{n - 1}+…+ a₁x +a₀∈ F[ x]

(단, a_n= 0)에 대하여 f( x)의 한 개의 근(root)을 포함하는 F의 확대체/ (extension field)가 존재함을 보이시오. (5점)

2002년시행기출(극대이데알과 기약다항식)

체(field) F 위의 다항식환 F [ x]에서 p( x)∈F [ x]가 기약다항식 (irreducible polynomial)이면 p( x)로 생성된 이데알 < p( x) >는 극대 이 데알(maximal ideal)임을 증명하시오. (5점)

2003년시행기출(순환군과 동형사상)

무한 순환군(infinite cyclic group) G에 대하여 σ : G → G를 아래와 같이 정의할 때, 다음 물음에 답하시오. [총 5점]

σ ( g ) = g^{- 1} ( 단, g ^{- 1}는 g의 역원) (1) σ가 동형사상(isomorphism)임을 보이시오. (2점)

(2) G에서 G로의 동형사상은 항등사상(identity map)과 σ 뿐임을 보이시 오.(3점)

2004년시행기출(대수적확대체)

체 K 는 체 F 의 대수적 확대체(algebraic extension field)로서

[ K：F] = 10 (즉, [ K：F] = dim_FK = 10)이다. F 위의 기약다항식 (irreducible polynomial) f ( x)의 차수(degree)가 3일 때, f ( x)의 어떤 근 도 K 에 포함되지 않음을 보이시오. [4점]

김 현 웅 전공수학

http://cafe.daum.net/hwmath

2006학년도 중등교원임용시험대비 문제풀이반

핵심내용정리(현대대수학) 구평회 임용고시학원 예비교사닷컴

구평회임용고시학원․서울(노량진) 02-812-5700․대구(동성로) 053-426-0078․부산(서면) 051-808-0565

2004년시행기출

환 준동형사상(ring homomorphism)

f : ℤ → ℤ/3ℤ ⊕ ℤ/5ℤ ⊕ ℤ/7ℤ는 다음과 같이 정의된다.

f ( x) = ( x + 3ℤ, x + 5ℤ, x + 7ℤ) f 의 핵(kernel)을 구하시오.

Ⅱ.내용정리

※괄호안에 적당한 말을 연필로 쓰고 아래의 정답을 확인하세요.

1. 군론(Group theory)

1.1. 군과 부분군(Group, subgroup)

정 의 1

(1)집합 S( /= φ)에 대하여

* : S × S → S ⇔ * : S상의 이항연산(Binary operation) (2) G : 이항연산 *를 가진 집합(따라서 G는 *에 대하여 닫혀있다.) s.t. (ⅰ) ∀x, y, z ∈ G

( x * y) * z = x * ( y * z)(즉 *는 결합적(Associative)이다.) (ⅱ) ∃e ∈ G s.t. ∀x∈G, x *e = e*x = x

(즉 G는 항등원(Identity) e를 갖는다.) (ⅲ) ∀x∈G, ∃x'∈G s.t. x*x' = x' *x = e (즉 G의 임의의 원소는 역원(Inverse)을 갖는다.)

⇔ < G, *> : 군(Group)

(3) < G, *> : 군 s.t. ∀x,y ∈ G, x*y = y*x (즉 교환법칙(Commutative)을 만족한다.)

⇔ < G, *> : 아벨군(Abelian group) 혹은 가환군(Commutative group) (4)군 < G, *>, H ( /= ∅)⊂ G에 대하여

< H, *> : 군 ⇔ H ≤ G ( H는 G의 부분군(Subgroup)) (5)군 G의 항등원 e에 대하여

{e } ≤ G

이 때 {e }를 G의 자명부분군(trivial subgroup)이라 한다.

(6)군 G와 x∈G에 대하여

xⁿ≡

{

(즉 a⁰≡e)

NOTE

(1)반군(Semi-group)은 결합법칙을 만족하는 이항연산을 가진 집합 (2)이항연산 *의 공역은 S이므로 *연산의 결과는 S에 있다.

즉 S는 이항연산 *에 대하여 닫혀있다.(Closed)

따라서 이항연산의 정의에 닫혀있다는 의미는 포함되어 있다.

(3)(좌항등원, 좌역원) ⇔(우항등원, 우역원) ⇔(항등원, 역원) (4) *( a,b) = a*b

(5) 특별한 경우를 제외하고 연산 *는 생략하고 G는 군을 나타내기로 한 다.

NOTE (군과 반군의 예)

(1) < ℕ, +> : 반군, < ℤ, +> : 아벨군 (2) ℤ_n : +에 대한 군, ℤ_n : ⋅에 대한 반군 (3) M2(ℝ) =

{(

) |

}

GL₂( ℝ) =

{(

) |

}

SL₂(ℝ) =

{(

) |

}

이를 일반화하여

M_n( ℝ) = {A | A : 실수성분을 가진 n차 정방행렬 }, GL_n( ℝ) = {A∈M_n(ℝ) | det( A) /= 0 },

SL_n( ℝ) = {A∈M_n(ℝ) | det( A) = 1 }

라 정의하면 행렬의 덧셈연산 +, 곱셈연산․에 대하여 < Mn( ℝ), +>는 가 환군, < GLn( ℝ), ․ >( n차 일반선형군(General linear group)),

< SL_n( ℝ), ․ >( n차 특수선형군(Special linear group))은 비가환군이다.

또한 < SLn( ℝ), ․ > ≤ < GL_n( ℝ), ․ >

(4) S_n= {σ : {1, 2, …, n } → {1, 2, …, n } 전단사 함수 }은 함수의 합성 ∘에 대하여 < S_n, ⋅ > : 비가환군( n차 대칭군)

정 리 1

(1) x, y ∈ G, m,n ∈ ℤ에 대하여

x^mxⁿ=x^{m + n}, (x^m)ⁿ= x^mn, (xy)ⁿ= ( y^{- 1}x^{- 1})^{- n} (2) H( ≠∅) ⊂ G일 때 다음은 동치이다.

(ⅰ) H ≤ G

(ⅱ) x,y ∈ H ⇒ xy ∈ H, x^{- 1}∈ H (ⅲ) x,y ∈H ⇒ xy^{- 1}∈H

(3) H( ≠∅) ⊂ G, H가 유한집합일 때 H ≤ G ⇔(¹⁾ )

NOTE

f : A → B (잘 정의된) 함수

⇔(ⅰ) ∀x∈A, ∃y ∈B, s.t. f( x) = y(함수값의 존재성) (ⅱ) x₁= x₂ ⇒ f( x₁) = f( x₂)(함수값의 유일성)

⇔ f ⊂ A × B s.t.

(ⅰ) ∀x∈A, ∃y∈B s.t. ( x, y) ∈f

(ⅱ) ( x₁, y₁) ∈f, ( x₂, y₂) ∈f, x₁ = x₂ ⇒ y₁= y₂

NOTE

(1) C(a) = {x∈G |xa = ax } : a의 중심화군(Centralizer) (2) C( G)(혹은 Z( G)) ≡∩ a∈GC( a)( ≤ G)

= {x∈G | xa = ax ( ∀a∈G) } : G의 중심(center)

1.2. 순환군(Cyclic groups)

정 의 2

(1) S ⊂ G에 대하여

(ⅰ) < S > ≡(²⁾ ) : S에 의해 생성되는 G의 부분군, 이 때 S를 G의 생성원(generators)이라 한다.

(ⅱ) G : 유한생성군(finitely generated group)

⇔ ∃S : 유한집합( ⊂G) s.t. G =< S >

특히 S = {a₁, a₂, …, a_n}일 때 < S > ≡ < a₁, a₂, …, a_n>라 쓴다.

(2) G : 순환군(Cyclic group)(혹은 순회군)

1) ∀x, y∈H, xy∈H

2) ∩ {H | S ⊂ H ≤ G })( ≤G

⇔ ∃a∈G s.t. G =< a >

(즉, 한 원소에 의해 생성되는 G의 부분군) (3) G가 군일 때

(ⅰ) G의 위수(Order)( = |G |) ≡

{

a의 위수(Order) ≡| < a > |

=(³⁾ ) a의 위수를 ord( a)혹은 |a |라 쓰기로 한다.

NOTE

(1) < S >는 S를 포함하는 가장 작은 G의 부분군이다.

(즉 S를 포함하는 G의 임의의 부분군 H는 < S >를 포함한다.) (2)(ⅰ) a∈G에 대하여 < a > = {aⁿ|n∈ℤ }

(ⅱ) φ /= S ⊂ G일 때

< S > = {s^e₁¹s^e₂²…s^e_nⁿ | s₁, s₂, …, s_n∈S, e₁, e₂, …,e_n∈ℤ }

정 리 2

(1) H ≤ G, G : 순환군 ⇒ H :(⁴⁾ ) (즉 순환군의 부분군은 순환군이다.)

(2) G는 유한군일 때 a∈G에 대하여 aⁿ= e이면 ord( a) |(⁵⁾ ) (3)모든 순환군은 (⁶⁾ )이다.

NOTE

소수 p에 대하여 a^p= e, a /= e이면 ord( a) =(⁷⁾ )

1.3. 잉여류(Coset)와 라그랑지(Lagrange)의 정리

정 의 3

H ≤ G, a∈G에 대하여

(1) aH ≡ {ah |h∈H } : H의 a를 포함하는 좌잉여류(Left coset) Ha ≡ {ha |h∈H } : H의 a를 포함하는 우잉여류(Right coset) (2) [ G : H ] ≡| {aH | a∈G }|

= | {Ha | a∈G }| : H의 G에서의 지수(Index) (즉 [ G : H ]는 H의 좌(우)잉여류의 개수이다.)

정 리 3

(1)라그랑지(Lagrange)의 정리

H ≤ G, G는 유한군 ⇒(⁸⁾ ) 특히 |G | = |H | [G : H]

(2) K ≤ H ≤ G, [G : H], [H : K] < ∞

⇒ [ G : K ] =(⁹⁾ )

3)

{

5) n 6) 가환군 7) p

8) |H |는 |G |를 나눈다.

9) [ G :H ][ H :K ]

NOTE

|G |는 소수이면 G는 {e }와 G 이외의 부분군을 갖지 않는다.

1.4. 준동형사상

과 동형사상

정 의 4

두 개의 군 < G, *>, < G', *'>에 대하여

(1) f : G → G' s.t. x, y∈G, (¹⁰⁾ )

⇔ f : 준동형사상(Homomorphism)

특히 f( x) = e( ∀x∈G)일 때 f는 준동형사상이 되고 이를 자명준동형 사상(trivial hommorphism), 그렇지 않은 준동형사상을 비자명준동형사상 (nontrivial hommorphism) 이라 한다.

(2) f : G → G' (¹¹⁾ )이고 (¹²⁾ )

⇔ f : 동형사상(Isomorphism)

(3) ∃f : G → G' (¹³⁾ )사상 ⇔ G ≅ G' 이 때 G와 G'은 동형(Isomorphic)이라 한다.

(4) f : G → G' 가 준동형사상일 때

Ker( f) ≡ {x∈G | f( x) = e_G'} = f^{- 1}( {e_G'}) : f의 핵(Kernel)

정 리 4

f : G → G' 준동형사상이고 e_G, e_G'는 각각 G, G'의 항등원일때 (1) f( e_G)=(¹⁴⁾ )

(2) f( a^{- 1}) =(¹⁵⁾ )( ∀a∈G) (3) H ≤ G ⇒ f( H) ≤ G' (4) K ≤ G'⇒ f^{- 1}(K) ≤ G

(5) a₁, a₂, …, a_n∈G ⇒ f( a₁a₂… a_n) = f( a₁)f(a₂)…f( a_n) (6) ∀n∈(¹⁶⁾ ), a∈G ⇒ f( aⁿ) = (f(a))ⁿ

(7) f : 1-1 ⇔ Ker( f) =(¹⁷⁾ )

NOTE

(1) G ≅ G'을 증명하려면 동형사상(Isomorphism)을 구성하여야 한다.

(2) G /≅ G'을 증명하려면

(ⅰ) G ≅ G'라고 가정하여 모순됨을 보이거나, (ⅱ)서로 공유하지 않는 대수적 성질

예를 들어 가환, 순환군, 위수, …을 찾으면 된다.

NOTE

f : < ℤ_m, +> → < ℤ_n, +>로의 준동형사상일 때 (1) ( m , n) = 1 ⇒ n ∣f( 1)(즉 f( 1) = 0)

(2) ( m, n) = d ⇒ n/d ∣f( 1)

10) f(x*y) = f(x)*'f( y) 11) 준동형사상

12) 전단사(bijection) 13) 동형

14) e G'

15) f(a)^{- 1} 16) ℤ 17) {eG}

1.5. 잉여군과 동형정리

정 의 5

(1) H, K ⊂ G에 대하여 H K ≡ {hk | h∈H, k∈K } (2) N ⊲ G ( N : G의 정규부분군(Normal subgroup))

⇔ N ≤ G s.t. (¹⁸⁾ )

⇔ N ≤ G s.t. (¹⁹⁾ )

⇔ N ≤ G s.t. aNa^{- 1}⊂ N ( ∀a∈G)

⇔ N ≤ G s.t. aNa^{- 1}⊃ N ( ∀a∈G)

⇔ N ≤ G s.t. ( a N)( bN) = abN (∀a,b∈G) (3) N ◁ G 일 때 aN⋅bN = ab N이라 정의하면

< G/N ≡ {aN |a∈G }, ⋅ >는 ⋅에 대한 군이 되고 이 군을 N에 관한 G의 상군(Quotient group) 혹은 잉여군(Factor group)이라 한다.

(4) G : 단순군(simple group)

⇔ ( H ◁ G ⇒ H = {e }혹은 H = G)

( G가 {e }, G 이외의 정규부분군을 갖지 않는다.)

NOTE

위수가 소수인 군은 단순군이다.

NOTE (상군에서의 연산법칙) (1) {e }, G ◁ G

(2)아벨군의 모든 부분군은 정규부분군이다.

(3) N ◁ G, a, b ∈ G, e : G의 항등원일 때 (ⅰ) a N = b N ⇔ ab^{- 1}∈ N

(ⅱ) e N = N e = N

(ⅲ) a N e N = e N a N = a N

(ⅳ) a N a^{- 1}N = a^{- 1}N a N = e N = N (ⅴ) (a N)^{- 1}= a^{- 1}N

정 리 5

(1) f : G → G'준동형사상 Ker f ◁ G (’97 모의시험) (2) C( G) ◁ G

정 리 6 (군동형정리) (1)제1동형정리

f : G → G ' 준동형사상 ⇒(²⁰⁾ ) (2)제2동형정리

H ≤ G, N ◁ G ⇒ ( HN) /N ≅ H/( H ∩N) (3)제3동형정리

H, K ◁ G, K ≤ H

⇒ G/H ≅ ( G/K)/( H/ K)

1.6. 치환군(Permutation groups)

정 의 6 A≠∅에 대하여

18) aN = Na ( ∀a∈G) 19) aNa^{- 1}= N ( ∀a∈G) 20) G/Kerf ≅ f( G)

(1)함수의 합성 ∘에 대하여 < SA≡ {σ : A → A 전단사함수 }, ∘ >는 군이 되고 σ∈S_A을 A의 치환(Permutation)이라 한다.

특히 Sn≡S {1, 2, …, n }(즉 Sn= {σ : {1, 2, …, n } → {1, 2, …, n } | σ : 전단사함수 })라 두고 < S_n, ∘ >을 n차 대칭군(Symmetric group)이 라 한다. 이 때 σ =

(

)

(2) σ = ( a1, a₂, …, a_n)

⇔ σ∈S_A s.t. (ⅰ) a₁, …, a_n∈A, a_i≠a_j ( ∀i ≠j)에 대하여 a1 σ

→a₂ σ

→a₃ σ

→… σ

→a_n σ

→a₁ (ⅱ) ∀x∈A\ {a₁, a₂, …, a_n}, σ( x) = x

이 때 σ를 n-주기치환( n-cycle)(혹은 순환치환, 순회치환)이라하고 특히 2-주기치환을 호환(Transposition)이라 한다.

NOTE

n-주기치환 σ = ( a₁, a₂, …, a_n)의 위수는 ord( σ) = n, 특히 호환 τ = (a₁, a₂)의 위수는 ord( τ) = 2이다.

정 리 7

(1) σ,τ∈S_n에 대하여 σ,τ : 서로소 ⇒ στ = τσ (2) (i1, i₂, …, i_r) = ( i₁, i_r)(i₁, i_{r - 1})…( i₁, i₃)( i₁, i₂)

정 의 7

A_n≡ {σ∈S_n | σ:(²¹⁾ )수개의 호환의 곱(우치환(even permutation) B_n≡ {σ∈S_n | σ:(²²⁾ )수개의 호환의 곱(기치환(odd permutation)) 이 때 An은 Sn의 부분군이 되고 이를 n차 교대군(alternating group) 이라 한다.

정 리 8

(1)우치환 ∘우치환 =(²³⁾ )치환 ( ∵짝 +짝 =짝) 우치환 ∘기치환 =(²⁴⁾ )치환 ( ∵짝 +홀 =홀) 기치환 ∘우치환 =(²⁵⁾ )치환 ( ∵홀 +짝 =홀) 기치환 ∘기치환 =(²⁶⁾ )치환 ( ∵홀 +홀 =짝) (2)항등치환 =(²⁷⁾ )치환

( ∵)항등치환은 id = (1,2)(1,2)이므로 두 개(짝수)의 호환의 곱으로 나 타나므로 명백히 우치환이다.

(3) 우치환^{- 1}=(²⁸⁾ )치환 기치환^{- 1}=(²⁹⁾ )치환

NOTE

σ₁, …, σ_n : 서로소인 치환 ⇒ |σ1…σ_n| =(³⁰⁾ )

21) 짝 22) 홀 23) 우 24) 기 25) 기 26) 우 27) 우 28) 우 29) 기

30) lcm( |σ1|, …, |σ_n|)

정 리 9

(1) An∪ B_n= S_n, An∩ B_n= ∅

(2) |S_n| = n!, |A_n| = |B_n| (따라서 |A_n| = |B_n| = |S_n| /2 = n! /2) (3) An◁ S_n

정 리 10

(1) n ≥ 3 ⇒ S_n은 아벨군이 아니다.

(2) n ≥ 2, n /= 4 ⇒ A_n은 단순군이다.

정 리 11

(1) Inn( G) = {ϕa| a∈G }, Aut( G) = {f : G → G 동형사상 } (단 ϕ_a : G → G, ϕ_a(x) = axa^{- 1})일 때

(³¹⁾ ) ≤(³²⁾ ) ≤ SG

(2) Cayley의 정리

임의의 군 G 는 S_G의 한 부분군과 동형이다.

1.7. 직 적( D i r e c t p r o d u c t ) 과유 한생성가환군 ( F i n i t e l y generated abelian group)

정 의 8

(1)군 G₁, G₂, (a₁, a₂), ( b₁, b₂) ∈G₁×G₂,

( a₁, a₂)⋅( b₁, b₂) ≡( a₁b₁, a₂b₂)라 정의할 때 < G₁×G₂, ⋅ >는 하나의 군이 되고 이 군을 G₁, G₂의 외직적 (External direct product)이 라 한다. 특히 G₁, G₂가 가환인 연산( +)을 가진 경우 G₁×G₂를 G₁⊕G₂ 라 쓰고 G1, G2의 직합(Direct sum)이라 한다.

(2)군 G와 N₁, N₂◁ G에 대하여

G : N₁, N₂의 내직적(Internal direct product)

⇔ ∀g∈G, g =(³³⁾ )( g1∈N₁, g2∈N₂)의 꼴의 (³⁴⁾ )한 표현 을 갖는다.

⇔ (ⅰ) G =(³⁵⁾ )(표현의 존재성) (ⅱ) N1∩N₂= (³⁶⁾ ) (표현의 유일성)

이 때 G( = N₁, N₂의 내직적) ≅ N₁×N₂( = N₁, N₂의 외직적)이다.

(3) G : 분해가능(Decomposible)

⇔ ∃H, K ⊲ G s.t .(³⁷⁾ )

⇔ ∃H, K ⊲ G s.t. (³⁸⁾ )

⇔ ∃G₁, G₂ : 군 s.t. (³⁹⁾ ) 그렇지 않으면 G를 분해불가능(Indecomposible)이라 한다.

(

)

⇔ G ≅ H × K ⇒ H = {e }혹은 K = {e }

31) Inn( G) 32) Aut( G) 33) g₁g₂ 34) 유일 35) N1N₂ 36) {e }

37) G : H와 K의 내직적, |H | /= 1, |K | /= 1 38) G ≅ H × K, |H | /= 1, |K | /= 1

39) G ≅ G1× G₂, |G1| /= 1, |G₂| /= 1

NOTE

(1)군의 직적에 사용된 용어 내, 외는 단순히 성분군을 직적군의 부분군으 로 간주할 수 있느냐, 없느냐에 따라 각각 사용된다. 통칭 직적이라 부른 다.

(2)같은 방법으로 셋 이상의 군의 직적도 정의할 수 있다.

NOTE

위수가 같은 두 순환군은 동형이다.

따라서 위수가 n인 순환군 G는 (⁴⁰⁾ )과 동형이고 임의의 무한 순환 군은 (⁴¹⁾ )와 동형이다.

정 리 12

(1)군 G와 N1, N2◁ G, N₁∩ N₂= {e }일 때

N₁N₂( 내직적) ≅ N₁× N₂(외직적) (2) e₁, e₂ : 각각 군 G₁, G₂의 항등원,

G₁= G₁× {e₂}, G₂= {e₁}×G₂

(ⅰ) G₁◁ G₁× G₂, G₂◁ G₁× G₂, G₁× G₂= G₁과 G₂의 내직적 (ⅱ) G₁× G₂≅ G₁× G₂

정 리 13 (유한생성가환군의 기본정리) G : 유한생성 가환군

⇔ G ≅ (⁴²⁾ ) ( ∃p1, …, p_n : 소수, ∃r₁, …, r_n∈ ℤ⁺)

여기서 소수 p_i( i = 1, 2, …, n)는 서로 다를 필요는 없고 ℤ인수들의 개수를 G의 Betti수라 한다.

1.8. Sylow의 정리

정 리 14 (1)제 1 Sylow정리

군 G가 소수 p에 대하여 |G | = pⁿm ( n ≥ 1), ( p, m) = 1일 때 (ⅰ) ∀k = 1, 2, …, n, ∃H ≤ G s.t. |H | =(⁴³⁾ )

(ⅱ) H ≤ G, |H | = p^k ( 1 ≤ k ≤ n - 1)

⇒ ∃K s.t. H ◁ K ≤ G, |K | =(⁴⁴⁾ )

이 때 G의 위수 pⁿ인 부분군 H를 G의 Sylow p-부분군이라 한다.

(2)제 2 Sylow정리 유한군 G에 대하여

H₁, H₂ : G의 Sylow p-부분군 ⇒ ∃g∈G s.t. H₁= g H₂g^{- 1} (3)제 3 Sylow정리

p | |G | ⇒ (⁴⁵⁾ ) (단 np : G의 Sylow p-부분군의 개수)

40) ℤ_n 41) ℤ 42) ℤ _{( p}

1)^r1×ℤ _{( p}

2)^r2×…×ℤ _{( p}

n)^rn×ℤ×…×ℤ 43) p^k

44) p^{k + 1}

45) np≡1( mod p), n_p| |G |

NOTE

H : G의 Sylow p-부분군일 때

(1) ∀g ∈G, gHg^{- 1} : G의 Sylow p-부분군

(2) np= 1(즉 G가 유일한 Sylow p-부분군을 가진다.) ⇒ H ◁ G

2. 환 론

2.1. 환과 체의 도입

정 의 9

(1) R : 두 이항연산 +, ⋅를 가진 집합으로서 (ⅰ) < R, +> : (⁴⁶⁾ )군

(ⅱ) < R, ․ > : (⁴⁷⁾ )군

(즉 R은 ⋅에 대하여 닫혀있고 결합법칙을 만족한다.) (ⅲ) ∀x, y, z∈R

x⋅( y + z) = xy + xz, ( x + y) ⋅z = xz + yz

(즉 R은 +, ⋅에 대하여 분배법칙(distributive law)을 만족한다.)

⇔ < R, +, ⋅ > : 환(ring)

(2)환 < R, +, ⋅ >, φ /= S ⊂ R에 대하여 S ≤ R

⇔ < S, +, ⋅ > : 환

⇔ ∀x, y∈S (ⅰ) x - y ∈S (ⅱ) xy ∈S

이 때 S를 R의 부분환(Subring)이라 한다.

(3)환 R에서 0, 1( /= 0)은 각각 +, ⋅에 대한 항등원을 -x, x^{- 1}은 각각 x( ∈R)의 +, ⋅에 대한 역원을 나타낸다.

(4) R : 환 s.t. ∀x, y∈R, xy = yx

⇔ R : 가환환(Commutative ring) (5) R : 환이고 1∈R

⇔ R : 단위원을 가진 환(ring with unity)

(6)단위원을 가진 환 R에 대하여 u ∈R s.t. ∃u^{- 1}∈R

⇔ u : 단원(unit) 혹은 가역원(invertible)

(7) U(R) ≡ {x∈R | x :가역원 }라 할 때 U( R)은 ⋅에 대하여 군이 되고 이를 R의 단원군(unit group)이라 한다.

NOTE

(1)위 예제의 r²= r ( ∀r∈R)을 만족하는 환 R(결과적으로 가환)을 Boole환(Boolean ring)이라 한다.

(2) R : Boole 환일 때 (ⅰ) R : 가환환 (ⅱ) 2r = 0( ∀r ∈R)

정 리 15

환 R과 ∀x, y∈R에 대하여 (1) 0 x = x 0 = 0

(2) x(-y) = (-x)y =-xy (3) ( -x)(-y) = xy

46) 아벨 47) 반

정 의 10

(1) a ∈R∖ {0 }에 대하여

a : R의 영인자(Zero divisior 혹은 Divisior of zero)

⇔ ∃x∈R∖ {0 } s.t. a x = x a = 0 (2) R : 환 s.t. (ⅰ) R : (⁴⁸⁾ ) (ⅱ) 1∈R

(ⅲ) R은 (⁴⁹⁾ )를 갖지 않는다.

(

)

⇔ ( a b = a c, a /= 0 ⇒ b = c)

⇔ R : 정역(Integral domain)

(3) < R ＼ {0 },․ > : 군 (즉 ⋅에 대한 항등원 , 역원이 있다.)

⇔ R : 나눗셈환(Division ring)

(4) F : (⁵⁰⁾ ) ⇔ F : 체(field)

NOTE

(1)정역은 일반적으로 ⋅에 대한 역원이 존재하지 않으므로 나눗셈환이 아니고, 나눗셈환은 일반적으로 ⋅에 대한 교환법칙이 성립하지 않으므로 정역 이 아니다. 따라서 정역 /⇒

/

⇐나눗셈환

(2)체 F는 +에 대하여 아벨군이고 F＼ {0 }는 ⋅에 대하여 아벨군이다.

(3)체

⇗

⇘

나눗셈환 정역

⇒

⇗

⇒

1을 가진환 가환환

⇘

⇗ 환

NOTE

두 유한집합 A, B에 대하여 A ⊂ B일 때 A = B ⇔ |A | = |B |

⇔ |A | ≥ |B |

⇔ ∃f : B → A 단사함수( ∵ |B | = |f( B) | ≤ |A |) ⇔ ∃g : A → B 전사함수( ∵ |A | ≥ |g( A) | = |B |) 그러나 A, B가 무한집합인 경우는 성립하지 않는다.

A = 2ℤ, B = ℤ라 할 때 |A | = |B |이지만 A /= B이다.

정 리 16

(1)유한인 정역은 (⁵¹⁾ )이다.(’99 기출) (2)유한인 나눗셈환은 (⁵²⁾ )이다.

48) 가환 49) 영인자 50) 가환 나눗셈환 51) 체

52) 체

NOTE

환 ℤn에서 m /= 0일 때

(1) m : ℤ_n의 영인자 ⇔ ( m, n) /= 1 (2) m : ℤn의 단원(가역원) ⇔ ( m, n) = 1

NOTE

ℤ_p는 1을 가진 가환환, 위의 보기에서 영인자를 갖지 않으므로 정역이 됨을 알 수 있고 유한인 정역은 체이므로 ℤp는 체가 된다.

또한 ℚ, ℝ, ℂ도 체이다.

2.2. 환준동형사상(ring-homomorphism)과 환동형사상 (ring -isomorphism)

정 의 11 환 R, R'에 대하여

(1) f : R → R' s.t. ∀x,y∈R

(ⅰ)(⁵³⁾ ) (ⅱ)(⁵⁴⁾ )

⇔ f : 환준동형사상(ring-homomorphism) Ker f ≡f^{- 1}( { 0})

(2) f : R → R' 환준동형사상이고 전단사

⇔ f : 환동형사상(ring-isomorphism) (3) ∃f : R → R' 환동형사상 ⇔ R ≅ R'

정 리 17

f : R → R' 환준동형사상일 때

(1) f(0) = 0' ( 0, 0': 각각 R, R'의 +에 대한 항등원) (2) f(-x) =-f( x) ( ∀x∈R)

(3) A ≤ R ⇒ f( A) ≤ R' (4) B ≤ R' ⇒ f^{- 1}(B) ≤ R

(5) a ∈R에 대하여 (ⅰ) f( na) = nf( a)( n ∈ (⁵⁵⁾ )), (ⅱ) f( aⁿ) = f( a)ⁿ( n ∈ (⁵⁶⁾ )) (6) f : 1 - 1 ⇔ Ker ( f) =(⁵⁷⁾ )

(7) f : 전사인 준동형사상, 1, 1' : 각각 R, R '의 단위원일 때 f( 1) = 1'

2.3. 상체(혹은 분수체(Field of quotients))와 환의 표수 (characteristic)

정 의 12

(1) R, R' : 환, ∃f : R → R'단사준동형사상

⇔ R은 R'에 매장된다.( R can be embedded in R') 이 때 R ≅ f( R)이다.

(2) D : 정역, S = {(a, b) | a, b∈D, b /= 0 }일 때

(ⅰ) (a, b), (c, d) ∈S에 대하여 ad = bc ⇔ (a, b)∼(c, d)라 정의하면

53) f(x+y) = f( x)+f(y) 54) f(xy) = f(x)f(y) 55) ℤ

56) ℤ⁺ 57) { 0}

∼는 S에서 하나의 동치관계이고

(ⅱ) ( a, b)∈S에 대하여 (a, b)의 동치류를 ( a, b) = a

b 라 두면

Q =

{

|

}

대하여 체를 이루고 D는 Q에 매장된다. 이러한 체 < Q, +, ⋅ >를 D의 분수체(Field of quotients)(혹은 상체)라 한다.

정 의 13 환 R 에 대하여

char( R)

≡

{

NOTE

환의 표수는 대수적 성질이다. (즉 R₁≅ R₂ ⇒ charR₁= charR₂)

정 리 18

(1) R이 단위원을 갖는 환일 때

char( R) =

{

NOTE

(1) char( ℤm×ℤ_n) = lcm( m , n) (2) R = {0 } ⇔ char( R) = 1

정 리 19

(1)모든 정역은 적당한 체에 매장된다.

(2)모든 체에는 ℤp또는 ℚ에 매장된다.

(즉 모든 체는 ℤ_p또는 ℚ와 동형인 부분체를 포함한다.)

NOTE

주어진 환이 정역인지를 환의 표수에 의해 알 수 있다.

예를 들어 char( ℤ₆) = min {n∈ℤ⁺|n․1 = 0 } = 6, 6은 소수가 아니므 로 ℤ₆은 정역이 아니다.

2.4. 아이디얼과 잉여환

정 의 14

(1) I ◁ R (이 때 I 를 환 R의 아이디얼(ideal))

⇔ φ /= I ⊂ R s.t. ∀a, b ∈I, ∀r ∈ R (ⅰ)(⁵⁸⁾ )

(ⅱ)(⁵⁹⁾ )

⇔ I ≤ R s.t. ( ∀r ∈ R, r I ⊂ I, I r ⊂ I)

(2) I ◁ R일 때 < R/I = {a + I | a∈R }, +, ⋅ >는 환이 되고 이를 I 에 관한 R의 상환(quotient ring) 혹은 잉여환(factor ring)이라 한다.

58) a - b ∈I 59) ar, ra ∈I

NOTE

(1) I가 R의 아이디얼이고 a+I, b+I ∈R/I( a, b ∈ R) 일 때 (ⅰ) a + I = b + I ⇔ a - b ∈ I

(ⅱ) (a+I ) +(b+I ) = ( a+b)+I, ( a+I )(b+I ) = ab+I, (ⅲ) I ( = 0 + I) : R/I의 +에 대한 항등원( =영원)

( ∵ ∀a∈R, (a+I)+I = I+(a+I) = a+I )

(ⅳ) R이 단위원 1을 가진 환일 때 1 + I : R/I의 단위원 ( ∵ (a+I)(1 +I) = (1 + I)( a+I) = a+I, ∀a ∈ R) (ⅴ) - ( a + I) = ( - a)+ I, (a + I)^{- 1} = a^{- 1}+ I (2)군, 부분군, 정규부분군, 잉여군, 순환부분군 ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 환, 부분환, 아이디얼, 잉여환, 주아이디얼

정 리 20

(1)아이디얼 ⇒ /

⇐ 부분환 (2)제 1 동형정리

f : R → R '가 준동형사상일 때 (ⅰ) Ker f ◁ R

(ⅱ) R/Ker f ≅ f( R)

2.5. 극대아이디얼

과 소아이디얼

정 의 15

(1) M : R의 극대아이디얼(maximal ideal of R)

⇔ M ◁ R ( M /= R) s.t. (⁶⁰⁾ )

(즉 M을 완전히 포함하는 R의 진부분아이디얼이 존재하지 않는다.)

⇔ M ◁ R ( M /= R) s.t. (⁶¹⁾ ) (2)가환환 R에 대하여

P : R의 소아이디얼(Prime ideal)

⇔ P ◁ R ( P /= R) s.t. (⁶²⁾ )

정 리 21

R이 단위원을 가진 가환환, I ⊲ R일 때 (1) I : R의 극대아이디얼 ⇔ R/I :(⁶³⁾ ) (2) I : R의 소아이디얼 ⇔ R/I : (⁶⁴⁾ ) (3) I : R의 극대아이디얼 ⇒

/

⇐ I : R의 소아이디얼

NOTE

R이 단위원을 가진 가환환일 때 위의 정리에 의해 다음이 동치임을 알 수 있다.

(1) R : 체,

(2) {0 } : R의 (⁶⁵⁾ )아이디얼, (3) {0 }와 R이외의 아이디얼은 없다.

60) /∃I, M ⊂ /

=I ◁ /

=R

61) M ⊂ I ◁R ⇒ I = M 혹은 I = R 62) ab∈P ⇒ a∈P 혹은 b∈P

63) 체 64) 정역 65) 극대

NOTE

(1) gcd (a,b)= d ⇒ aℤ+bℤ = dℤ gcd ( a,b) = 1 ⇒ aℤ + bℤ = ℤ (즉 ∀n∈ℤ, ∃x,y∈ℤ s.t. n = ax +by)

(2) pℤ는 ℤ의 극대아이디얼이고 소아이디얼이다.(단 p : 소수)

2.6. 다항식환과 인수분해(Factorization)

정 의 16 (1)환 R에 대하여

< R[ x]= {f( x) | f( x) = a₀+ a₁x + … + a_nxⁿ, a_i∈R }, +, ⋅ >을 R 위의 다항식환(Polynomial ring)이라 한다.

(2)체 F와 상수 아닌 다항식 f( x) ∈F[ x]에 대하여

∃g( x), h( x) ∈F[ x] s.t. f( x) =g( x)h( x),

deg (g( x) ), deg ( h ( x)) > 0

⇔ f( x) : F[ x]에서 가약(reducible) 그렇지 않으면 F[x]에서 기약(irreducible)

NOTE

f( x) = a₀+ a₁x + … + a_nxⁿ ∈R[ x](a_n = 0/ )⇔ deg ( f( x)) = n

정 리 22 (다항식 환에 대한 호제법)

f( x) = a_nxⁿ+ a_{n - 1}x^{n - 1}+ … + a₀ ∈F[ x]( a_n = 0),/

g( x) = b_mx^m+ b_{m - 1}x^{m - 1}+ … + b₀∈F[ x]( b_m = 0. m > 0)/ 일 때 ∃1 q( x), ∃1 r( x) ∈F[ x] s.t.

f( x) = g( x)q( x) + r( x), deg ( r( x)) < deg ( g( x) )

정 리 23

(1) f( x) ∈ℤ[ x]에 대하여

(ⅰ) f(x) : ℚ[x]에서 가약(혹은 기약)

⇔ f( x) :(⁶⁶⁾ )에서 가약(혹은 기약)

(ⅱ) f( x) = a_nxⁿ+ … + a₁x + a₀( a_n= 0, n ≥ 1), f( b/a) = 0( a,/ b는 서로소인 정수) ⇒ a | a_n, b | a0

특히 a_n= 1 ⇒ α ∈ℤ, _{α | a0}

(2) D : 정역, f( x) ∈D[ x], g( x) ∈D[ x]일 때

(ⅰ) deg ( f( x) ) ≥ 2일 때 D에서 근이 존재하면 f( x)는 가약다항식이다.

(ⅱ) D가 체이고 deg ( f( x)) =(⁶⁷⁾ )혹은 (⁶⁸⁾ )일 때 f( x) : D [ x]에서 가약 ⇔ ∃α ∈D s.t. f(α) = 0 (ⅲ) f( x) /= 0, g( x) /= 0

⇒ deg ( f( x) g( x)) = deg ( f( x)) + deg ( g( x))

66) ℤ[ x]

67) 2 68) 3

정 리 24

(1)Eisenstein 판정법

f( x) = a₀+ a₁x + … + a_nxⁿ∈ℤ[ x],

∃p : 소수 s.t. (⁶⁹⁾ )이면 f( x) : ℚ[ x]에서 기약

(2)원주등분다항식(Cyclotomic polynomial)의 기약성(Gauss) p : 소수 ⇒ x^{p - 1}+x^{p - 2}+…+x +1는 ℚ[ x]에서 기약

2.7. 주아이디얼정역(PID)

정 의 17

(1) R : 단위원을 가진 가환환일 때

(ⅰ) < a >( ≡Ra = aR) ◁ R( a∈R)을 a에 의해 생성된 주아이디얼 (Principal ideal generated by a)이라 한다.

(ⅱ) I ◁ R s.t. (⁷⁰⁾ )

⇔ I : R의 주아이디얼(Principal ideal of R) (2) D : PID(주아이디얼정역(Principal ideal domain))

⇔ D : 정역 s.t. (⁷¹⁾ ) (즉 D의 모든 아이디얼이 주아이디얼)

정 리 25 체 F에 대하여 (1) F : PID

(2) F[x] : PID (1998년시행추가임용시험기출)

정 리 26 (2002년시행기출)

f( x)∈F[ x]이고 < f( x)> /= {0 }에 대하여

< f(x) > : (⁷²⁾ )아이디얼 ⇔ f(x) : F[x]에서 기약

2.8. 유일분해정역(UFD)

정 의 18 정역 D에 대하여

(1) a |b( a는 b를 나눈다.(divides))(혹은 a는 b의 인수(factor))

⇔ ∃k∈D s.t. b = ak

(2) a,b : D에서의 동반원(associates)

⇔ a,b∈D s.t.(⁷³⁾ )

⇔ a | b, b | a

⇔ < a > =< b >

(3) p∈D s.t. (ⅰ) p /= 0, p는 (⁷⁴⁾ )

(ⅱ) p = ab ⇒ a : (⁷⁵⁾ )혹은 b : (⁷⁶⁾ )

⇔ p : D의 기약원(irreducible)

(4) p∈D s.t. (ⅰ) p /= 0, p는 (⁷⁷⁾ )

69)

(

)

70) 적당한 a∈R에 대하여 I =< a >

71) ∀I ◁ D, I : D의 주아이디얼 72) 극대

73) ∃u(∈D) : 가역원, a = bu 74) 가역원이 아니고

75) 가역원 76) 가역원

(ⅱ) p | ab ⇒(⁷⁸⁾ ) 혹은 (⁷⁹⁾ )

⇔ p : 소원 혹은 소수(prime)

(5) D : 정역 s.t. 가역원이 아닌 x∈D, x /= 0에 대하여 (ⅰ)(⁸⁰⁾ ) (ⅱ) x = p1…p_r, x =q1…q_s

( p_i,q_j : 기약원 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s)

⇒ r = s, p_i는 적당한 qj와 동반원이다.

(여기서 pi와 qj는 1-1대응관계에 있다.)

⇔ D : UFD(유일분해정역)

정 리 27

(1)UFD에서 ꀫ임의의 정역에서 소원 ⇔ (⁸¹⁾ ) ꀬUFD에서

(2) D : UFD ⇒ D[ x] : UFD (3) PID ⇒

/

⇐ UFD

NOTE

(3)의 역명제의 반례는 ℤ[ x]이다.(즉 ℤ[x]는 UFD이지만 PID는 아니 다.)

2.9. 유클리드정역(Euclidean Domain)

정 의 19 정역 D에 대하여

∃ν : D＼ {0 } → ℤ⁺₀, ℤ⁺₀ = {n∈ℤ | n≥0 } s.t.

(ⅰ)(⁸²⁾ ) (ⅱ)(⁸³⁾ )

⇔ D : 유클리드정역(ED)

이 때 ν를 D의 유클리드부치(Euclidean valuation)라 한다.

정 리 28

모든 유클리드정역은 PID이다.(즉 ED ⇒ PID)

NOTE

체 ⇒ ED ⇒(⁸⁴⁾ ) ⇒ UFD

77) 가역원이 아니고 78) p | a

79) p | b

80) ∃p1,…,p_r : D의 기약원 s.t. p1…p_r= x 81) 기약원

82) a,b ∈D, b /= 0 ⇒ ∃q, r∈D, a = bq + r (단 r = 0 혹은 ν( r) < ν(b))

83) ∀a,b ∈D＼ {0 }, ν(a) ≤ ν(ab) 84) PID

3. 체론(Field theory)

3.1. 대수적 확대체(Algebraic extension field)

정 의 20

(1) K를 F의 확대체(Extension field))

⇔ F ≤ K

⇔ F : K의 부분체(subfield)

(2) F ≤ K 일 때 K는 F 위의 벡터공간이고 dim_FK≡[ K : F]를 K의 F 위의 차수(Degree)라 하고

[ K : F] < ∞ 일 때 K를 F의 유한확대체(Finite extension field), 그렇지 않으면 무한확대체(Infinite extension field)

(3) F ≤ E, α, α₁, …, α_n∈E, F(α) ≡ ∩ {K | F ∪ {α } ⊂ K ≤ E }

= {f( α)( g(α))^{- 1}| f( x), g( x) ∈ F[x], g(α) /= 0 } (즉 α와 F를 포함하는 E의 최소의 부분체)

F(α₁, …, α_n) ≡ ∩ {K | F ∪ {α₁, …, α_n} ⊂ K ≤ E } (즉 α₁, …, α_n와 F를 포함하는 최소의 체)

(4) F ≤ K 일 때

α( ∈ K) : F 위에서 대수적(Algebraic)

⇔ ∃f( x)∈F[ x] s.t.(⁸⁵⁾ )( ⇔ f( x) /= 0) 그렇지 않으면 F 위에서 초월적(Transendental)

(5) K : F의 대수적 확대체(Algebraic extension field)

⇔ F ≤ K s.t. ∀α∈K, α :F 위에서 (⁸⁶⁾ ) (6) K :F의 단순확대체(Simple extension field)

⇔ F ≤ K s.t. (⁸⁷⁾ )

NOTE

위의 F(α)와 다항식환 R[ x] = {a0+ a₁x + … + a_nxⁿ| a_i∈R }를 구별하자.

정 리 29

(1)유한확대체 ⇒ 대수적확대체(’99추가임용)

(2) L은 F의유한확대체, F ≤ K ≤ L ⇒ [L :F] = [L :K ][ K :F ]

NOTE

F ≤ E일 때 [ E : F] = 1 ⇔ E = F

정 의 21

F ≤ K, α( ∈K)가 F 위에서 대수적일 때

∃₁p( x) ∈F[ x] s.t.(ⅰ)(⁸⁸⁾ )

(ⅱ)(⁸⁹⁾ ) (ⅲ)(⁹⁰⁾ )

(ⅳ)(⁹¹⁾ )

이 때 p(x)≡irr(α,F)를 F 위에서 α에 관한 기약다항식(Irreduciable

85) f(α) = 0, deg f( x) ≥ 1 86) 대수적

87) ∃α∈K, K = F( α) 88) p(α) = 0

89) p(x) : F[x]에서 기약 90) p(x) /≡0

91) p(x)의 최고차의 계수 = 1( ⇔모닉(monic) 다항식)

polynomial)혹은 최소다항식(Minimal polynomial)이라 한다. deg ( α, F)

≡ deg p( x)를 F 위에서 α의 차수(degree of α over F)라 한다.

정 리 30

deg ( α, F) = [ F ( α) : F]

NOTE

그러나 irr( 2, ℝ) = x - 2이므로 deg ( 2, ℝ) = 1

3.2. 갈로아확대체(Galois extension field)와 대수적덮개 (Algebraic closure)

정 의 23

(1) ∀f( x)∈F[x], (⁹²⁾ )

⇔ F : 대수적으로 닫혀있다.(Algebraically closed) 혹은 F를 대수적폐체(Algebraically closed field)라 한다.

(2) K :F의 (⁹³⁾ )

⇔ K ≡ F : F의 대수적 덮개(Algrbraic closure) (혹은 대수적 폐포)

92) f( x) : F[x]에서 1차식의 곱으로 인수분해가능 93) 대수적확대체이고 대수적으로 닫혀있다.