6-5 탄성계수와 전단탄성계수와의 관계

(1)

6-5 탄성계수와 전단탄성계수와의 관계



 + +

 =

 

 + +

= +

′ = +

′ = (1 ε ) 1 σ (1 ν) 1 τ (1 ν)

Oa E Oa E

Oa a

a Oa a

O _x



 − +

=

−

′ =

−

′= (1 ε ) 1 τ (1 ν)

Oc E Oc

c c Oc c

O _y

) 1 ( 1

) 1

(

) 1

( 2

tan 4

tan τ ν

τ ν ε

γ ε π

+ +

+

= − +

= −

′

= ′



 

 −

′ =

′

E E Oa

Oc a

O c c O

a O

x y

1 2 1 2

tan 2 tan 4

1

tan 2 tan 4

2

tan 4 γ

γ γ

π γ γ π

π

+

≈ − +

= −



 

 −

(

ν

)

τ τ

γ γ τ

ν γ τ

τ ν τ ν γ

γ

+

=

= + +

+

= − +

−

2 1 , 2

2, ) 1 ( ,

) 1 ( 1

1 2 1 2

E G G

E E

E

) 1

(

2 + ν

=

∴ E

G

(6-11)

(6-12)

< 그림 6-9 >

(6-13) Ex) 철강의 경우

E = 2.1 × 10⁴kgf/mm², υ = 0.3 ⇒ G = 0.8 × 10⁴kgf/mm²

(2)

[예제 6-4] 예제 6-1과 같은 응력상태에서 모어의 원을 작도하고, 주응력과 최대 전단응력을 구하라.

1) (σ^x,-τxy)를 σ – τ 좌표상에 점 A로 정한다.

2) y면 응력상태 (-σ_y,τ_xy)를 점 B로 정한다.

3) 선분 AB를 그어 모어원의 중심 O₁을 구한다.

MPa

OO ^x ^y 20

2 10 50

1 +2 = − =

=

σ σ

MPa

E

O₁ = 50−20 = 30

AE = 40 MPa ^R = ^AO

₁

= ( ) ³⁰

²

+ ⁽ ⁴⁰ ⁾

²

= ⁵⁰ ^MPa

MPa

C O OO

OC ₁ ₁ 20 50 70

1 = = + = + =

σ

MPa D

O OO

OD ₁ ₁ 20 50 30

2 = = − = − = −

σ

3 4 30 2 40

tan

1

=

= O E AE

θ

n 2

θ

_n = 53.1^

θ

_n = 26.6^ 주응력)

최대전단응력) 주응력과 수직을 이루는 O₁G가 된다.즉, O₁G=60MPa, 이때, 수직응력은 σ=OO₁=20MPa 이 된다.

풀이

(3)

[예제 6-5] 일반적으로 연성재료는 전단에 약하고 취성재료는 인장에 약하다. 취성 재료의 원형 단면봉을 비틀었을 때 축과 45° 방향으로 파단면이 생긴다.

그 이유를 알아보라.

1) σ – τ 좌표면에 x면의 응력상태 (0,τ_xy)를 점 A로 정한다.

2) y면의 응력상태 (0,-τ_xy)를 점 B로 정한다.

3) AB를 지름으로 하는 원을 그리면 (b)처럼 모어의 응력원이다.

4) 주응력 σ₁=τ_xy, σ₂=-τ_xy, σ₁과σ₂는 점 A에서 90°, 따라서 A에서 σ₁

쪽으로, (c)처럼 x축에서 45° 방향에 σ₁이 있다. 취성재료는 인장에

약하므로 σ₁의 방향으로 σ₁ 이 커지면 파단이 생긴다.

따라서 그림 (d)의 점선에 따라 파단면이 생긴다.

풀이

(4)

6-6 얇은 원통 및 구형의 압력용기

(1) 내압을 받는 원통형 압력용기

< 그림 6-10 얇은 원통의 응력 >

내압을 받는 원통의 경우, 축 대칭으로 균일하게 팽창하므로 전단응력은 없고 사각형 요소에는

원주방향응력

σ₁과 축방향응력 σ₂ 모두 인장응력 으로 그림 (b)와 같이 있게 된다.

• 원주방향응력 σ₁

1) 그림(c)와 같이 FBD 작성 2) 평형방정식 적용

t pr t

pr A

S =

= ×

=

₂

1 σ

1

∑ ^P

ⁿ

⁼ ⁰ ^: ^S ^⋅ ^d ^θ ⁼ ^prd ^θ ^∴ ^S ⁼ ^pr

(6-14)

sin d 2 θ

S ⋅ θ θ

d d S

S ⋅ ≈ ⋅

× sin 2

여기서, n방향분력= , dθ 는 미량이므로

2

(5)

앞에서 구한 σ₁은 다음과 같은 방법으로도 구할 수 있다.

< 그림 6-11 >

FBD에서 z축에 관한 힘의 평형을 고려하면,

0 ) 2 ( )

2 ( :

0

₁

− =

∑ ^F

^z

= ^σ ^tdx ^p ^rdx

t pr t

r r p A

P

2 2

2

1

2

=

= ⋅

= π

σ π

2

1

2 σ

σ =

앞의 그림(d)에서 힘의 평형관계를 고려하면,

즉,

따라서 고압으로 작동되는 원통형 보일러나 압력용기의 설계에서 반드시 원주방향의 응력이 축방향 응력의 2배가 되도록 제작하게 된다.

(6-15)

(6-16) t

= pr

∴

σ

₁ (6-14)

(6)

t pr

z

2 4 4

)

( τ

_max

= σ

¹

− σ

²

= σ

¹

=

t pr t

pr

y

x

, ( ) 2 4

2 ) 2

( τ

_max

= σ

¹

= τ

_max

= σ

²

=

t pr 2 2

1

max

= =

∴ τ σ

z축에 작용하는 세 번째 주응력은 평면응력이므로 σ₃=0 이다.

평면내의 최대전단응력은 요소가 z축을 중심으로 46° 회전할 때 발생한다.

x와 y 축에 대해서 46° 회전하여 구한 최대전단응력은 다음과 같다.

따라서 최대전단응력은

1) 원통형 용기의 외면에서의 응력상태

< 참고 2 > 원통형 압력용기에서의 응력

(7)

t p pr t

pr = = −

=

₂ ₃

1

,

, σ 2 σ

σ

t pr p

p t

pr p

z y

x , ( ) 2 4

2 4

) 2 (

2 , 2

) 2

(

τ

_max =

σ

¹ + = +

τ

_max =

σ

² + = +

τ

_max =

σ

¹ −

σ

² =

2) 원통형 용기의 내면에서의 응력상태

참고 3에는 응력상태가 나타나 있고, 그 수직응력들은

각 축에 대하여 46° 회전하여 구한 세 개의 최대전단응력은

위의 응력에서 (τ_max)_x가 가장 크다. 그러나 r/t가 충분히 크면 p/2항을 무시할 수 있다. 위의 응력관계를 모어원 으로 나타내면 좌측 그림과 같고, 평면내의 최대전단응 력은 AB/2가 되고 최대전단응력은 OA/2가 된다.

< 참고 3 > 원통형 압력용기에서의 응력

< 참고 4 >

(8)

(2) 구형의 압력용기

(6-17)

<그림 6-12(b)>와 (b)로부터 FBD에서 수평방향의 힘의 평형을 취하면 다음을 얻는다.

따라서 구형 압력용기는 원통형 압력용기보다 2배의 큰 힘을 견딜 수 있으므로, 고압형 가스 저장고, LNG수송선에는 구형의 용기가 널리 사용되고 있다.

(6-18)

<그림 6-12> 구형의 압력용기

0 )

( )

2 ( :

0

₂

−

²

=

∑ ^P

^x

= ^σ ^π ^rt ^p ^π ^r

(9)

구형 용기의 외면에서는 주응력이 같기 때문에 모어원에서는 한 점으로 된다. 따라서 평면내 의 최대전단응력은 0 이다. 그러나 요소가 3차 원이고 세 번째 주응력이 0 이라는 사실로부터 그림 6-16과 같은 모어원으로 되고 최대전단 응력은 다음 식과 같이 된다.

< 참고 5 >

t

pr 4 2

1 max

= σ = τ

2 4

2

1 max

p t

pr

p = +

= σ + τ

용기 내면에서는 압축응력p(σ₃=-p)가 작용하므로 평면내의 최대전단응력은 0 이 지만 평면 외의 (x축, 혹은 y축에 대한 45° 회전하여 구한) 최대전단응력은 다음 식으로 표현된다.

r/t가 상당히 크면 p/2항은 무시할 수 있고 위 식과 동일하게 된다.

(10)

(3) 얇은 원통이 회전하는 경우

< 그림 6-13 얇은 원통의 회전 >

( f : 원심력, ω : 각속도, γ : 비중량, g : 중력가속도 )

ω

2

γ r g f = t

2 2

2

1

v

r g g t

fr γ ω γ

σ = = =

g n r 900

2 2 2 1

σ = γπ

γ σ

_al

v = g ⋅

γ

σ π

^al

g n = 30r ⋅

(6-19)

(6-20)

sec) / 60 (

2πn rad ω =

sec) / 30rn(cm r

v = ⋅ω = π

(6-21)

& (6-22)

(11)

(4) 외압을 받는 얇은 원통

< 그림 6-14 얇은 원통의 압궤형태 >

외압 p의 크기가 커지면 σ의 값이 비록 탄성한계 이하일지라도 탄성변형을 일으켜 일부는 회복되지만 나머지는 남아서 그림 6-14과 같은 형태로 원형 이 찌그러지는 좌굴(buckling) 현상이 생긴다. 이러한 얇은 원통의 좌굴을

압궤(collapse) 라 하며,이 때의 외압의 한계값은 압궤압력(p

_k

)라 한다.

(6-22)

단, t : 원통 두께(cm), l = 원통 길이(cm), D : 원통 지름(cm) p_k : 압궤 압력(kgf/cm²), υ : 푸아송의 비

(12)

3

1 3

8 



 





= −

D t p

_k

E

ν

) 6 (

700 , 5

19 . 2

D lD l

p

_k

= t <

(Unwin-Morley의 식)

(Fair-Bairn의 식)

p_k를 구하는 방법은 여기서는 생략하고 결과식만 소개한다.

(13)

 얇은 원통 및 구형의 압력용기의 실제 적용 예

< LNG 수송선 -고압용>

< 탱크로리 -저압용>

6-5 탄성계수와 전단탄성계수와의 관계