∫ dxdydxydy =+ 1 −−=⋅ρ⋅ ),TT(hAdtdTcV π+= 121010 )/tcos(T Please state clearly all the solving steps in detail!!!

Please state clearly all the solving steps in detail!!!

1. A storage cylindrical tank (V=2m³) is insulated with asbestos. Liquid (c_p=2.5kJ/kg/K, ρ=900 kg/m³) is charged initially at T=95 ^o

where the heat transfer area (A) is A=1 m

C into the tank and allowed to mature over 5 days. Calculate the temperature profile of liquid with respect to time (t), considering heat loss from the tank to the atmosphere. Here, the overall heat transfer coefficient (h) is h=150 kJ/m2/K/hr. The problem is described as follows:

2

1) 이 문제를 변수분리법으로 풀 수 없는 이유를 적고, 적분인자법으로 푸는 방법을 상세히 기술하세요 (10).

.

2) 적분인자법으로 이 문제의 해를 구하세요 (10).

3) 5일 후 탱크의 온도를 계산한 후, 앞에서 구한 해를 그래프로 그리고, 이 문제를 분석하세요 (10).

2. A tubular chemical reactor (L=1 m, A=0.5 m²) is employed to carry out a first-order elementary chemical reaction (r=dC_A/dt = -kC_A, k=0.2 s^-1) where a component A is converted to a product B (30 points). If the feed velocity is u (=0.05 m/s), the feed concentration of A is C₀ (=700 kg/m³), and the diffusivity of component A is assumed to be constant at D (=2.7×10^-2 m²/s), determine the concentration of A as a function of length (0≤x≤L) along the reactor. It may be assumed that there is no volume change during the reaction (V is constant), and that steady state conditions (dC_A/dt = 0) are established. The two boundary conditions (BC) are i) C_A=C₀ at x=0, and dC_A/dx = 0 at x=L. Solve the 2^nd-order 1^st-degree linear ODE, draw a graph of C_A

1) 이 문제를 수학적으로 표현할 수 있는 편미방식을 만들고, 각 항들을 설명한 후, 정상상태 상미방식으로 표현하세요 (10).

(x) and explain the graph.

2) complementary function 을 사용하여 2 차 선형 상미방의 해를 구하는 방법을 자세히 기술하세요 (10).

3) 위 1)에서 만든 2 차 선형 상미방의 해를 2)에서 설명한 방법으로 구하세요 (5).

4) 위 3)에서 구한 해를 그래프로 대략적으로 그리고, 이 문제를 분석하세요 (5).

3. Solve the following 2^nd-order ODE (10).

단,

sinh ( ay ) b

y a a

dy = +

+

∫

2 2 −¹

1 1

이고, a 는 상수이고, b 는 적분상수이다. 또한, 주어진 상미분방정식은

≥ 0 dx

dy

_{을 만}

족한다. 2개의 경계 조건은 y(0) = 0 와

= 2 at y = 1 dx

dy

.

1) 상기의 2차 상미방을 p-substitution method 2 로 풀 수 있는 방법을 자세히 기술하세요 (5) 2) p-substitution method 2 을 이용하여 주어진 상미방의 해를 구하세요 (5).

4.

1) 수업내용 (난이도, 교재의 적절성 등), 2) 수업방법 (질문, 판서, 빔프로젝트 사용 등) 본 과목에 있어서 담당교수가 보완해야 할 사항을 다음 항목에 대하여 적어 주세요 (5)

3) 수업태도 (강의시간엄수, 수업에 임하는 담당교수의 자세 등), 4) 과제 운영 방식, 5) 기타 요구사항

), T T ( dt hA

c dT

V ⋅ ρ ⋅

_p

= − −

_a

T

_a

= 10 + 10 cos( π t / 12 )

2 2

2

1 



 



= 

+ dx

dy dx

y

y d

1. 1. A storage cylindrical tank (V=2m³) is insulated with asbestos. Liquid (c_p=2.5kJ/kg/K, ρ=900 kg/m³) is charged initially at T=95 ^o

where the heat transfer area (A) is A=1 m

C into the tank and allowed to mature over 5 days. Calculate the temperature profile of liquid with respect to time (t), considering heat loss from the tank to the atmosphere. Here, the overall heat transfer coefficient (h) is h=150 kJ/m2/K/hr. The problem is described as follows:

2

1) 이 문제를 변수분리법으로 풀 수 없는 이유를 적고, 적분인자법으로 푸는 방법을 상세히 기술하세요 (10).

.

변수 분리법으로 풀기 위해서는 독립변수 (t) 는 독립변수끼리 종속변수 (T) 는 종속변수끼리 분리가 가능해야 한다. 하지 만 이 문제는 상수인

a

c V

hA

p

ρ =

라고 치환할 경우,

aT a a cos( t / ) dt

dT = − + 10 + 10 ⋅ π 12

로 되고, 두 변수를 분리할

수가 없다. 따라서, 적분인자법을 이용해야 한다. 적분인자법을 사용할 수 있는 기본 ODE 형태는

Py Q ( x ) dx

dy + =

^로

서, 주어진 미방은 이 형태를 갖고 있다. 적분인자법은 주어진 미방의 양변에 적분인자인 R(x) 함수를 곱한다. 즉,

) x ( RQ dx RPy

R dy + =

(1)

함수 Ry 를 x 로 미분하면,

dx y dR dx R dy dx

) Ry (

d = +

⁽²⁾

(1)식과 (2) 식을 비교하면, (1)식의 좌변은 (2)식의 우변과 같은 형태를 갖고 있으므로,

= ∫

= e

Pdx

R dx RP dR

(3)

이고, (2)식의 좌변은 (1) 식의 우변과 동일하므로,

R RQdx C y R

C RQdx Ry

dx RQ ) Ry ( d

+

=

+

=

=

∫

∫

1

(4)

위 식에서 C 는 적분상수이다. (4)식에 (3)에서 구한 R 을 대입하면, 이 상미방을 풀 수 있다.

2) 적분인자법으로 이 문제의 해를 구하세요 (10).

적분인자법으로 이 문제를 푸세요 (10).

문제에서 주어진 미방을

a 0. 0333

c V

hA

p

=

ρ =

^,

12 π = b = ⁰ . ²⁶¹⁸

로 간단히 하여 정리하면,

) bt cos(

( a dt aT

dT + = 10 1 +

이다. 즉, P=a, Q=10a(1+cos(bt) 이다. 따라서, 적분인자 R 은

adt at

e e R = ∫ =

이다. 구하고자 하는 공정내 온도 T 는

), T T ( dt hA

c dT

V ⋅ ρ ⋅

_p

= − −

_a

T

_a

= 10 + 10 cos( π t / 12 )

at at

at

at at

at

Ce dt ) bt cos(

e e a a

Ce dt )]

bt cos(

[ e e a ) t ( T

−

−

−

−

+

⋅ +

=

+ +

⋅

=

∫

∫

10 10

1 10

(5)

(5) 식 우변의 두번째 항을 부분적분을 통하여 적분해야 한다. 이 두번째항을 부분적분을 하면,

( )

2

2

b

a

) bt sin(

b ) bt cos(

a dt e

) bt cos(

e

at at

+

= +

∫

⁽⁶⁾

(6)식을 (5)식에 대입하면,

( )

at

b Ce a

) bt sin(

b ) bt cos(

a a a

) t (

T +

⁻

+ + +

= 10

_{2 2}

10

⁽⁷⁾

적분상수 C 를 구하기 위하여 초기조건인 T=95 at t=0 을 대입하면,

507 10 94

10 95

10 10 95 0

2 2

2 2 2

2

b . a a a C

b C a a a )

( T

+ =

−

−

=

+ + +

=

=

따라서,

T ( t ) = 0 . 333 + 0 . 1595 cos( 0 . 2618 t ) + 1 . 2529 sin( 0 . 2618 t ) + 94 . 5 e

^−at

3) 5일 후 탱크의 온도를 계산한 후, 앞에서 구한 해를 그래프로 그리고, 이 문제를 분석하세요 (10).

(7) 식의 초기값, T(0) = 95 ^oC 이고, 최종값 T(∞)=10a ± 10a × (a²+b²)^-0.5 이다. 5 일후는 120 시간으로서 T(120) = 0.7181 ^oC 이다. 즉, 다음과 같은 그래프가 될 것이다.

초기에 95 ^oC 이었던 탱크 내 온도는 외부 열손실에 의하여 점점 감소하다가, 5 일후에는 약 영상 1 ^o

C 까지 떨어질 것이다. 열전달 계수 (h) 와 열전달면적 (A) 가 클수록 온도가 급격히 떨어질 것이며, 결국 외부온도의 변화에 따라 탱크의 온도도 변하게 될 것이다.

2. A tubular chemical reactor (L=1 m, A=0.5 m²) is employed to carry out a first-order elementary chemical reaction (r=dC_A/dt = -kC_A, k=0.2 s^-1) where a component A is converted to a product B (30 points). If the feed velocity is u (=0.05 m/s), the feed concentration of A is C₀ (=700 kg/m³), and the diffusivity of component A is assumed to be constant at D (=2.7×10^-2 m²/s), determine the concentration of A as a function of length (0≤x≤L) along the reactor. It may be assumed that there is no volume change during the reaction (V is constant), and that steady state conditions (dC_A/dt = 0) are established. The two boundary conditions (BC) are i) C_A=C₀ at x=0, and dC_A/dx = 0 at x=L. Solve the 2^nd-order 1^st-degree linear ODE, draw a graph of C_A

1) 이 문제를 수학적으로 표현할 수 있는 편미방식을 만들고, 각 항들을 설명한 후, 정상상태 상미방식으로 표현하세요 (10).

(x) and explain the graph.

주어진 문제를 편미분식으로 만들면,

A A A

A

kC

x D C x u C t

C −

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ =

∂

2 2

(1)

이다. 주어진 식의 왼쪽부터 각각 축적항, 대류항, 확산항 그리고, 반응항이라 부른다. 축적항은 시간변화에 따른 농도의 변화를 의미하며, 대류항은 속도 u 에 따라 움직이는 농도를 뜻한다. 확산항은 확산계수 D 와 함께 농도의 확산 현상을 설명한다. 마지막으로 반응항은 반응에 의하여 농도 A 가 소멸되는 현상을 표현하고 있다.

이식은 비정상상태식으로, 문제에서는 정상상태로 간주하도록 하고 있으므로, (1)식은 다음과 같이 간단히 표현된다.

A A

A

kC

x D C x

u C −

∂ + ∂

∂

− ∂

=

² ₂

0

⁽²⁾

2) complementary function 을 사용하여 2 차 선형 상미방의 해를 구하는 방법을 자세히 기술하세요 (10).

2 차 선형 상미방의 기본 형태는

2

0

2

+ =

∂ + ∂

∂

∂

A A

A

RC

x Q C x

P C

⁽³⁾

이다. 만일 CA = A_me^mx 라고 정의하고, 이 식의 1 차, 2 차미분식을 (3)식에 대입하면,

2

+ Qm + R = 0

Pm

⁽⁴⁾

이라는 2 차 방정식이 도출되고, 이 2 차방정식을 auxiliary equation 이라고 한다. 이 식의 근의 형태에 따라 3 가지 다른 2 차 선형미방의 해가 존재한다.

i) 두개의 서로 다른 실근 m1 과 m2 mx mx A

( x ) A e A e C =

₁ ¹

+

₂ ²

:

ii) 두개의 서로 다른 허근m1± m2^j:

C

_A

( x ) = A

₁

e

^m1x

+ A

₂

e

^m2x

= e

^m1x

[ A

₁

cos( m

₂

x ) + iA

₂

sin( m

₂

x ) ]

iii) 중근 m:

C

_A

( x ) = ( Cx + D ) e

^mx

상기의 각 해들은 2 개의 적분상수를 포함하고 있으며, 이들 적분상수는 2 개의 경계조건을 통하여 구한다.

3) 위 1)에서 만든 2 차 선형 상미방의 해를 2)에서 설명한 방법으로 구하세요 (5).

주어진 식(2)와 기본형 식 (3) 을 비교하면, P=D, Q=-u, R=-k 임을 알 수 있다. 따라서 auxiliary equation 은

2

− um − k = 0 Dm

이고, 근의 공식에 따라 2 개의 근은

9489 1 8008

2 3

2

4

. or D .

kD

* u

m = u ± + = −

⁽⁵⁾

그런데, u, k, 그리고 D 가 모두 양수이므로 2 개의 실근을 갖는다. 따라서 이 문제의 2 차 미방의 해는

x m x m A

( x ) A e A e

C =

₁ ¹

+

₂ ^{2 (6)}

이고, m1=3.8008, m2

x=0, C

=-1.9489 이다. 식(6) 에서 나타나는 2 개의 적분상수는 문제에서 주어진 2 개의 경계조건

A(0) = 700 kg/m3 

700 = A

1

+ A

2

x=1, dC_A^{/dx = 0 }

0 = m

₁

A

₁

e

^m1

+ m

₂

A

₂

e

^{m2 (7)}

식(7) 은 다음과 같은 행렬로 표현할 수 있다.

 

 



= 

 

 



 



 



= 

 

 





 

 



= 

 

 



 



 





−

698.86 1.1409 e

m e m A

A

A A e m e m

m m

m m

0 700 1

1

0 700 1

1

1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

(9)

따라서 이 미분방정식의 해는

x . x

.

A

( x ) . e . e

C = 1 1409

³⁸⁰⁰⁸

+ 698 9

^{−1949 (10)}

4) 위 3)에서 구한 해를 그래프로 대략적으로 그리고, 이 문제를 분석하세요 (5).

식(10) 의 초기값은 700 kg/m³ 이고, 최종값은 CA(L) =159.6 이므로, 다음과 같은 그래프가 그려질 것이다.

이 문제는 유체가 흐르고 있는 어떤 관형반응기에서 1 차 화학반응이 일어나고, 확산이 일어날 때, 정상상태 (dCA

이 2 차 선형 미분방정식의 해는 complementary function 으로 표현할 수 있으며, auxiliary equation 의 두 근이 실근이므로, 2 개 지수함수의 합으로 나타낼 수 있다.

/dt=0) 농도를 구하는 것이다. 이 문제는 관형반응기의 길이 x에 대한 성분 A 농도의 2 차 선형 미분방정식으로 표현된다.

반응기의 거리에 따라서 입구에서는 유입농도인 700 kg/m³ 을 유지하고, 거리가 증가하면서 그 농도는 확산과 반응으로 점점 감소하다가, 출구쪽의 농도는 약 160 kg/m³

이 된다. 만일 반응기의 길이를 늘리면, 더 많은 반응이 일어나고, 더 낮은 농도로 성분 A 가 유출될 것이다.

3. Solve the following 2^nd-order ODE.

단,

sinh ( ay ) b

y a a

dy = +

+

∫

2 2 −¹

1 1

이고, a 는 상수이고, b 는 적분상수이다. 또한, 주어진 상미분방정식은

≥ 0 dx

dy

_{을 만}

족한다. 2개의 경계 조건은 y(0) = 0 와

= 2 at y = 1 dx

dy

.

1) 상기의 2차 상미방을 p-substitution method 2 로 풀 수 있는 방법을 자세히 기술하세요 (5)

dy/dx = p 라고 정의하면, d²y/dx² = dp/dx 이다. 그런데, 주어진 식은 y 가 식상에 표현되어 있으므로, 다음과 같 이 2차미분식을 다르게 표현할 수 있다.

dy p dp dx dy dy dp dx dp x

y

d = = =

∂

²

2

(1)

주어진 식에 식(1) 을 대입하여 정리하면,

y dp dy p

p dy p py dp

dy p py dp

− =

−

=

= +

1

1 1

2

2 2

(2)

식 (2) 의 양변에 적분을 취하면 p 를 구할 수 있고, 다시 p 를 x 로 적분하여 해를 구한다.

2) p-substitution method 2 을 이용하여 주어진 상미방의 해를 구하세요 (5).

식(2) 의 양변에 적분을 취하면,

1 1 1

2 1 1 1 2 1 1

2 2 2 2 2

2 1 2

2 2

+

±

=

+

=

−

=

−

=

= +

− =

∫

∫

∫

y a p

y a p

) p ( ay

) p ln(

t dt a

ln y ln

y dp dy p

p

/ (3)

하지만, p≥0 이므로,

p = a

²

y

²

+ 1

이다. dy/dx = p 이므로,

∫ ₊

= + =

+

=

1 1

1

2 2 2 2

2 2

y a x dy

dx y

a dy

y dx a

dy

(4)

(4) 식의 우변의 적분은 문제에서 주어져 있으므로,

2 2

2

1 



 



= 

+ dx

dy dx

y

y d

a e ) e

b ax sinh(

y a

) b ax sinh(

ay

b ax ay sinh

b ay sinh ax

b ax b ax

2 1

1 1

+

−

−

−

−

= −

−

=

−

=

−

= +

=

(5)

첫번째 경계조건을 대입하면,

= 0

=

−

b e

e

^{b b} ₍₆₎

두번째 경계조건을 (3) 식에 대입하면,

3 3

2 1

2 2

±

=

=

= +

±

= a a

a p

(7)

하지만, 적분상수 ln(a) 에서 a 는 양수이어야 하므로,

a = 3

이다. 따라서, 주어진 미분방정식의 해는

) x sinh(

y 3

3

= 1

⁽⁸⁾

이다.