11 Z 4, pp. 1175∼1184

 11 Z 4, pp. 1175∼1184

] K

¡t  T  ö n ÚP ] K ¡ ø p ©; c" e U P c l À W ¥ # a \“ Ô Û; c 6 ” X ¢ : 0z ºÆ U Ø T A 0: DSDMù p § T “ Ó Þ” X ¢



§ ŽS ê sU  U ê sX N ËÅ k Ä ] K ¡ ø p ©  7 `õ u § ú n ÞÅ k È® Žz º

T

Š û Br ) · T # Ü ‡ Ú

"

fÖ  ¦ @ /† < Ɠ §  # 3 @ /† < Æ Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ õ , " fÖ  ¦ 151-742

(2010¸   8 Z 4 16{ 9  ~ à Î6 £ §, 2010¸   10 Z 4 4{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2010¸   11 Z 4 15{ 9  > F  S X ‰& ñ )

Ó ü

t o † < Æ_ þ v \ " f † < ÆÒ q t[ þ t s  ´ ú §“ É r # Q 9¹ ¡ §`  ¦   “ ¦ e ”    H  כ “ É r ² D G ? /ü @& h Ü ¼– Ð / B N: Ÿ x ) a ‰ & ³ © œs  . s \   



 Ó ü t o † < Æ_ þ v  © œ\ 
 
  H † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ › ¸ ô  Ç ´ ú §“ É r ƒ  ½ ¨[ þ t s  e ” # Q M ® o  . Õ ª Q
 s  Qô  Ç ƒ  ½ ¨[ þ t

\

" f ƒ  ½ ¨ [ þ t s   6   x   H î # Q 9¹ ¡ §ï s    H 6   x # Q ^ ‰> & h Ü ¼– Ð & ñ _ ÷ &t  3 l w % i Ü ¼ 9, † < ÆÒ q t# Q 9¹ ¡ § _  ì 

r$ 3   õ \  ¦ : Ÿ x ½ + Ë& h Ü ¼– Ð & ñ o  “ ¦  7 H _ ½ + É Ã º e ”   H ~ ½ ÓZ O  ¢ ¸ô  Ç p f  ¨ ô  Ç z  ´& ñ s  .   " f, ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f

 

H Ä º‚  & h Ü ¼– Ð î† < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o † < Æ_ þ v \ " f  â + « >   H # Q 9¹ ¡ §ï \  @ /ô  Ç 6   x # Q\  ¦ ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð & ñ _  “ ¦  

%

i  . ¢ ¸ô  Ç, † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ § \  › ' a ô  Ç › ' aº    « Ñ[ þ t`  ¦ à º| 9  “ ¦ ì  r$ 3  # Œ  € Œ •ô  Ç # Œ Q t  # Q 9¹ ¡ § _  Ä

»+ þ A[ þ t õ  " é ¶ “  [ þ t`  ¦ ì  r À Ó % i “ ¦ s    õ [ þ t`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð † < ÆÒ q t_  Ó ü t o † < Æ_ þ v # Q 9¹ ¡ §`  ¦ : Ÿ x ½ + Ë& h s  9 r y Œ •& h  Ü

¼– Ð ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ”   H • ¸½ ¨“   DSDM`  ¦ > hµ 1 Ï % i  . = å Q Ü ¼– Ð  Õ ª| ½ Ót  ~ ½ Ó& ñ d ”  † < Æ_ þ v \ " f ô  Ç @ /† < Æ" é ¶Ò q ts 

 â

+ « >ô  Ç # Q 9¹ ¡ § _   Y V\  ¦ DSDM Ü ¼– Ð ì  r$ 3  % i “ ¦ Õ ª   õ \  ¦ ] jr  % i  .

Ù þ

˜d ” # Q: † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §, DSDM,  Õ ª| ½ Ót î ß – ~ ½ Ó& ñ d ” 

New Understanding about ðStudent Difficultyñ in Learning Physics: Focusing on A Case of Student Difficulty in Learning Lagrange’ Equation via DSDM

Seunghee Lee · Gyoungho Lee ^∗

Department of Physics Education, Seoul National University, Seoul 151-742 (Received 16 August, 2010 : revised 4 October, 2010 : accepted 15 November, 2010)

Although many researchers have used the term ðstudent difficultyñ in their studies, there is little research on well-elaborated definition about what student difficulty is. In this study, we began to define the terminology ðstudent difficultyñ based on our literature review. After that, we developed a tool, DSDM (Diagram of Student Difficulty in Mechanics) that can express different kinds of student difficulty, the sources of each difficulty and the degree of each difficulty that faced in their learning all together. We also applied DSDM in order to analyze a graduate student’s difficulties in learning îLagrange’s equationï and to show how the types, sources, and degree of the student’s difficulties are represented all together in the diagram, as an integrated form.

PACS numbers: 01.40.Fk

Keywords: Student difficulty, DSDM, Lagrange’s equation

∗

E-mail: [email protected]

-1175-

I. " e  ] Ø

1980¸  @ / œ íì ø Í Ò'  Ó ü t o  “ §¹ ¢ ¤ \ " f ð∼\  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t _

 s K (Student understanding of...)ñ ¢ ¸  H ð∼ \  @ /ô  Ç

†

< ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ §(Student difficulties with...)ñ – Ð r  Œ • 



 H ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H[ þ t s  1 p x  © œ l  r  Œ • % i “ ¦ 1 l x r @ /\  1 p x  © œ  l

 r  Œ •ô  Ç † < ÆÒ q t_  š ¸> h¥ Æ \  › ' a ô  Ç ƒ  ½ ¨ü < † < Êa  Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤

ƒ

 ½ ¨_  ×  æd ”  Å Ò] j ÷ &# Q M ® o  . : £ ¤ y , McDermott [1]  H ð š ¸> h¥ Æ (misconception)ñs    H 6   x # Q  H î > h¥ Æ ïs    H 6   x

#

Q > h¥ Æ & h  # Q 9¹ ¡ §(conceptual difficulties) ë ß –`  ¦ _ p ô  Ç



  H * '€ © œÛ ¼\  ¦ Å Ò# Q ] jô  Ç& h s  e ”  “ ¦ ˜ Ѐ Œ ¤ . Æ Ò : r õ 

&

ñ \ " f_  # Q 9¹ ¡ §(reasoning difficulties)  t \  ¦ Ÿ í F ‹ c   H _

p \ " f 𚠸> h¥ Æ ñs ê ø Í 6   x # Q_   6   x @ /’   ð† < ÆÒ q t_  # Q 9

¹

¡ §(student difficulty)ñ s    H 6   x # Q ´ ú §“ É r ƒ  ½ ¨ [ þ t \  _  K

" f  6   x ÷ &# Q4 R M ® o  .  8Ô  ¦ # Q, š ¸ ½ ™ ƒ  ½ ¨õ & ñ `  ¦ : Ÿ x # Œ

×

 æ1 p x x 9  @ /† < Æ Ã ºï  r _  Ó ü t o ? /6   x \  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ § õ

 Õ ª " é ¶ “  [ þ t s  µ 1 ß) €t l  r  Œ • % i Ü ¼ 9, s  Qô  Ç ƒ  ½ ¨ $ í õ \  l ì ø Í # Œ Ó ü t o † < Æ_ þ v _  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ F G4 Ÿ ¤ ½ + É Ã º e ”   H D h

–

Ðî  r “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ s 
 “ §Ã º~ ½ ÓZ O s  > hµ 1 Ï÷ &# Q š ¸“ ¦ e ”   [2].

Õ

ª Q
, s  Qô  Ç Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ á Ԗ ÐÕ ªÏ þ ›[ þ t s   f ”  t   H l 

@

/ë ß –
p u _  ´ òõ $ í `  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦ e ”  “ ¦  H ˜ Ðl  # Q§ >   [2].

†

< ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § \  @ /ô  Ç 7 á §  8 ^ o =$ ô  Ç › ¸ ü < s K \  ¦  „ ½ Ó Ü

¼– Ð ô  Ç á Ԗ ÐÕ ªÏ þ ›[ þ t s  > hµ 1 Ï÷ &# Q ô  Ç “ ¦ ‘ : r   [3]. ‘ : r

ƒ

 ½ ¨ [ þ t“ É r † < ÆÒ q t_  Ó ü t o † < Æ_ þ v # Q 9¹ ¡ § \  › ' a ô  Ç þ j   H _  ƒ  

½

¨ ë  H‰  ³[ þ t`  ¦ ì  r$ 3 K ‘ : r   õ  Æ Ò& h “   ƒ  ½ ¨ € 9 כ ¹ô  Ç   6

£

§ õ  ° ú  “ É r  Òì  r[ þ t`  ¦ µ 1 Ï|  >  ÷ &% 3  .

\

V\  ¦ [ þ t # Q, † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ § \  @ /ô  Ç ‚  ' Ÿ ƒ  ½ ¨\ " f   6

 

x ) a 6   x # Q\  ¦ ˜ Ѐ   ð> h¥ Æ & h “   # Q 9¹ ¡ §(conceptual diffi- culty)ñ [4–6] s 
 ðÆ Ò : r õ & ñ \ " f_  # Q 9¹ ¡ §(reasoning difficulty)ñ [7, 8] s  “ ¦ # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Ó\  ¦ " î r ô  Ç  â Ä º

•

¸ e ” % 3 t ë ß – @ / Òì  r“ É r ð † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ §(student diffi- culty)ñ s  “ ¦ { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð : Ÿ xg A # Œ  6   x % i   [9–16].



8Ô  ¦ # Q ‚  ' Ÿ ƒ  ½ ¨[ þ t \ " f › ¸   ) a † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ §“ É r  _ 

—

¸¿ º : £ ¤& ñ > h¥ Æ `  ¦ † < Æ_ þ v ½ + É M : † < ÆÒ q ts  t   H > h¥ Æ & h “  

#

Q 9¹ ¡ §, Æ Ò : r _  # Q 9¹ ¡ § õ  ° ú  “ É r ? /6   x \  › ' aº   ) a “  t & h “  

% ò

% i \ " f_  # Q 9¹ ¡ § \  ô  Ç& ñ ÷ &# Q e ” 6 £ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . Õ ª Q

 “  ç ß –“ É r  “ ¦ “ ¦, Ö ¼z “ ¦, ' Ÿ 1 l x   H ” > r F s Ù ¼– Ð [17], q

2 Ÿ ¤ Ó ü t o † < Æ\  @ /ô  Ç † < Æ_ þ v _   © œ S ! s  “ ¦  8 • ¸ † < ÆÒ q t s

  â + « >   H # Q 9¹ ¡ §“ É r “  t & h  % ò % i \ " f ÷  r ë ß –  m   & ñ _

& h  % ò % i , ' Ÿ 1 l x& h  % ò % i \ " f_  # Q 9¹ ¡ § • ¸ e ” `  ¦ à º e ”  “ ¦

‘

: r  . s \  @ /ô  Ç 7 á §  8 ½ ¨^ ‰& h “   „ à ÐÒ  os  € 9 כ ¹  “ ¦ ‘ : r  .

¿

º   P :– Ð l ” > r ƒ  ½ ¨\ " f  H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ t y Œ •   H Å Ò^ ‰

 ¸ ú ˜
 
 e ” t  · ú §   H  כ s  . “ §  Ø Ôu   H  כ õ 

†

< ÆÒ q ts  C Ä º  H  כ  s \  s  e ”    H  כ “ É r s p  ¸ ú ˜ · ú ˜



9”    z  ´s   [18]. Õ ª Q
 l ” > r ƒ  ½ ¨\ " f  H s  ¿ º t 

\

 @ /ô  Ç ½ ¨ì  r s  — ¸  ñô  Ç  â Ä º ´ ú §“ É r  כ s   z  ´s  . “  d ”  Å

Ò^ ‰\  @ / # Œ “ ¦ 9K ˜ Ð . î† < ÆÒ q ts  # Q§ >  .ï“ ¦ Ö ¼‚  ´ M : Õ

ª # Q 9¹ ¡ §“ É r ¾ º t y Œ •   H  כ “  ? White [19]  H  © œ S ! 

\

 @ /K  Ò q ty Œ •½ + É M : z  ´] j © œ S ! (real context)õ  “  d ”  ) a  © œ S !

(perceived context), Õ ªo “ ¦  © œ S ! _  Ì  o› ' a& h  8 £ ¤€  õ  Å Ò

› '

a& h  8 £ ¤€  `  ¦ ½ ¨ì  r   H  כ s  ×  æ כ ¹† < Ê`  ¦ t & h  % i  . # Q 9

¹

¡

§`  ¦  7 H _ ½ + É M :\ • ¸, “  d ”  Å Ò^ ‰\  ¦ ì  r" î y  ½ ¨ì  r ½ + É € 9 כ ¹

e ”

 “ ¦ ‘ : r  . # Q 9¹ ¡ § s    H  © œI   H > hZ >  † < ÆÒ q ts  † < Æ_ þ v  © œ S !

\ " f t y Œ •ô  Ç  © œI s  9, s  כ “ É r ƒ  ½ ¨  “  d ”    H † < Æ Ò q

t_  # Q 9¹ ¡ § õ  s  e ” `  ¦ à º e ”  . Õ ªo “ ¦ s  Qô  Ç  s

 ×  æ כ ¹ô  Ç s Ä »  H   ² D G † < Æ_ þ v ½ + É M :, † < ÆÒ q t\ >  z  ´] j& h  % ò

†

¾ Ó`  ¦ p u   H  כ “ É r † < ÆÒ q ts  t y Œ • “ ¦ e ”   H # Q 9¹ ¡ § s l  M : ë

 H s  . 7 £ ¤, ð † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §ñ“ É r † < ÆÒ q ts  t y Œ •½ + É M :ë ß – † < ÆÒ q t

?

/ Ò\ " f # Q 9¹ ¡ § _   © œI – Ð ” > r F ô  Ç .

†

< ÆÒ q t[ þ t _  F  g † < Ɔ < Æ_ þ v \ " f_  # Q 9¹ ¡ § \  › ' a ô  Ç ô  Ç t  ½ ¨

^

‰& h “   \ V [15]\  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ð .

ð † < ÆÒ q t[ þ t“ É r 7 á x7 á x îE $ ™Ý ¼ï €   îl   F  g † < Æïõ  ƒ    r v 

“

¦ îç ß –[ O   © œu ï  H î  1 l x F  g † < Æïõ  ƒ    r v   H  כ % ƒ

!

3  
_   © œ S ! õ  
_  — ¸4 S q`  ¦ î “ ¦& ñ & h “   › ' a > ï

–

Ð “  d ”  “ ¦ e ”   H  כ ° ú   .ñ s

 כ “ É r ì  r" î ƒ  ½ ¨  ¹ 1 Ô  · p † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § s  . Õ ª



 X < õ ƒ   † < ÆÒ q ts  s  כ `  ¦  ’  _  # Q 9¹ ¡ § Ü ¼– Ð t y Œ •`  ¦ 

“

¦ e ”   H t \  @ /K " f  H ƒ  ½ ¨  õ \ 
 
 e ” t  · ú § . 7 £ ¤, 0

A_   Y V  H † < ÆÒ q t_   Œ ™F & h “   # Q 9¹ ¡ §{ 9  à º  H e ” t ë ß – ƒ  

½

¨  Ò q ty Œ •   H † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § õ  † < ÆÒ q ts  t y Œ •   H  

’

 _  # Q 9¹ ¡ § s  { 9 u  t  · ú §`  ¦ à º e ”  . : £ ¤& ñ Ó ü t o  > h¥ Æ  _

 † < Æ_ þ v \ " f † < ÆÒ q t[ þ t s  t y Œ • “ ¦ e ”   H # Q 9¹ ¡ § s  Á º% Á “   t

    H  כ “ É r † < ÆÒ q t[ þ t _  † < Æ_ þ v  © œI \  ¦ ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð  € Œ •½ + É Ã

º e ”   H ×  æ כ ¹ô  Ç & ñ ˜ Ð [20] s l \  s \  @ /ô  Ç " î S X ‰ ô  Ç & ñ _

ü < s K  s À Ò# Q4 R ô  Ç “ ¦ ‘ : r  .

[

j   P :– Ð l ” > r ƒ  ½ ¨\ " f  6   x   H ð † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §ñ s 



  H 6   x # Q „  ë  H& h “   6   x # Q– Ð" f & ñ _ ÷ &t  3 l w “ ¦ { 9 ì ø Í

&

h Ü ¼– Ð  6   x   H { 9  © œ 6   x # Q_  à ºï  r \  QÓ ü t “ ¦ e ”    H & h  s

 .  z  ´ { 9 ì ø Í& h s “ ¦ > h F ‹ c& h “   " fÕ ü t“ É r 7 á x7 á x Ä »6   x ½ + É M :

 e ” t ë ß – Ó ü t o  t d ” õ  † < Æ_ þ v \  › ' a ô  Ç s  : r õ  ƒ  ½ ¨\  ¦ µ 1 τ   r

v l  0 AK " f  H 7 á §  8 % 3 x 9 ô  Ç s  : r& h  “ ¦¹ 1 Ïõ  s \  ¦ : Ÿ x ô  Ç

¸ ú

˜ & ñ _   ) a 6   x # Q_  µ 1 ϲ ú ˜s  € 9 כ ¹   [21]. s  Qô  Ç ë  H ] j_  d ”

“ É r ‚  ' Ÿ ƒ  ½ ¨ ŠҖ Ð † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ § _  l Õ ü t \  u Ä º 5

g Õ ª # Q 9¹ ¡ § s €  \  ” > r F    H " é ¶ “  õ  õ & ñ \  @ /ô  Ç ì  r$ 3 

`

 ¦ ] jr  t  3 l w # Œ s  : r& h Ü ¼– Е ¸ B Ä º p f  ¨ ô  Ç Ã ºï  r \  e ”

   H t & h  [22]õ • ¸ › ' aº  s   ) a  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .



 " f ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H 0 A\ " f ] jr ô  Ç l ” > r ƒ  ½ ¨_  ] j ô

 Ç& h `  ¦ F G4 Ÿ ¤ “ ¦ † < ÆÒ q t_  Ó ü t o  † < Æ_ þ v \ " f  â + « >   H # Q 9

¹

¡

§ \  @ /ô  Ç ˜ Ð  U  ·“ É r s K \  ¦ 0 A # Œ  6 £ § õ  ° ú  “ É r ½ ¨^ ‰& h 

“

  ƒ  ½ ¨? /6   x`  ¦ ”  ' Ÿ  % i  .

' Í

P :, Ó ü t o  † < Æ_ þ v õ & ñ \ " f
 
  H ð † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §ñ

`

 ¦ # Q 9¹ ¡ § _   € ª œô  Ç € ª œ © œõ  Õ ª " é ¶ “  `  ¦ “ ¦ 9 # Œ D h\  v > 

&

ñ _  % i  .

Ñ ü

t P :, † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o † < Æ_ þ v \ " f  â + « >   H # Q 9¹ ¡ § õ  Õ ª

"

é

¶ “  , # Q 9¹ ¡ § _  & ñ • ¸ 1 p x`  ¦ 7 á x ½ + Ë “ ¦ ½ ¨› ¸ o # Œ : Ÿ x ½ + Ë& h 

“

  s K \  ¦ • ¸Ö  ¦ à º e ”   H • ¸½ ¨– Ð DSDM(Diagram of Stu- dent Difficulties in Mechanics)`  ¦ > hµ 1 Ï % i  .

!

Ó P :– Ѝ  H DSDM`  ¦ & h 6   x # Œ  Õ ª| ½ Ót  ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ † < Æ_ þ v

  H @ /† < Æ" é ¶Ò q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ì  r$ 3  “ ¦ Õ ª   õ \  ¦  7 H _ † < Ê Ü

¼– Ð+ ‹ DSDM_   Ö ¸6   x 0 p x$ í `  ¦ · ú ˜ ˜ Ѐ Œ ¤ .

II. Ž ì ŏ Œ Ê ÝX N Ë õ m Í U ê s0 n É

1. Ž ì ŏ Œ Ê ÝX N Ë

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H ƒ  5 Å q& h  í  H¨ 8 Š õ & ñ `  ¦    † < ÆÒ q t_  # Q 9

¹

¡ §, † < ÆÒ q t_  | 9 ë  H õ  > h¥ Æ \  › ' a ô  Ç ‚  ' Ÿ  ƒ  ½ ¨[ þ t`  ¦ › ¸  ì  r$ 3 

  H ë  H‰  ³ƒ  ½ ¨\  ¦ z  ´r  “ ¦ ‚  ' Ÿ  ƒ  ½ ¨[ þ t \ " f † < ÆÒ q t_  # Q



9¹ ¡ §`  ¦ › ¸ ½ + É Ã º e ”   H ~ ½ ÓZ O [ þ t`  ¦ „ à ÐÒ  o % i  (Fig. 1. ‚ à Ð

›

¸).  6 £ § Ü ¼– Ð 2004¸  • ¸\  % i † < Æà º\ O `  ¦ à ºy © œô  Ç † < ÆÂ Ò Ò q t[ þ t

`

 ¦ @ / © œÜ ¼– Ð  Y V\  ¦ à º| 9  “ ¦ ì  r$ 3    H l œ íƒ  ½ ¨\  ¦ z  ´ r

 % i  . s    l œ íƒ  ½ ¨\  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð K " f ‘ : r ƒ  ½ ¨\  ¦ ”   '

Ÿ  % i  . €  $ , † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ D h\  v >  & ñ _  % i Ü ¼ 9 Ñ

ü

t P :– Ð † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “   ì  r À Ó d  ¦`  ¦ > hµ 1 Ï % i  . [ j



 P :– Ð † < Æ_ þ v õ & ñ \ " f_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ”   H • ¸½ ¨“   DSDM`  ¦ > hµ 1 Ï % i  . = å Q Ü ¼– Ð s  [ j t    õ \  ¦ & h 6   x 

#

Œ 2005¸  • ¸ 1† < Æl  % i † < Æà º\ O `  ¦ à ºy © œô  Ç @ /† < Æ" é ¶Ò q t[ þ t`  ¦ @ /



© œÜ ¼– Ð  Y Vƒ  ½ ¨\  ¦ z  ´r  % i  . à ºy © œ † < ÆÒ q t“ É r 8 ú x 10" î s 

%

3 Ü ¼ 9, “ §f ”   â § 4 s  3¸  \ " f 15¸   t  s 
  H ‰ & ³ f ”

 “ § [ þ t õ  † < Æ Òa % ¦\ O  Ê ê  – Ð @ /† < Æ" é ¶ \  { 9 † < Æô  Ç † < ÆÒ q t\  s

Ø Ôl  t   € ª œô  Ç C  â `  ¦ ”   † < ÆÒ q t[ þ t s  ‚ à Ð# Œ % i  .

y

© œ_   H ‘ : r ƒ  ½ ¨  ×  æ ô  Ç " î s  ´ ú    ”  ' Ÿ  % i Ü ¼ 9 Å Ò 1 r 3 r ç ß – y © œ_ – Ð ”  ' Ÿ ÷ &% 3  . † < ÆÒ q t[ þ t“ É r B Å Ò Å Òç ß –˜ Г ¦" f\  ¦



Œ

•$ í # Œ ] jØ  ¦ % i   H X < Å Òç ß –˜ Г ¦" f_  $ í & h  ì ø Í% ò q Ö  ¦“ É r 20& h Ü ¼– Ð („  ^ ‰ & h à º 100& h  ë ß –& h ) Z  } >  Õ þ ˜& ñ # Œ † < ÆÒ q t[ þ t s

 $ í z  ´y   Œ •$ í • ¸2 Ÿ ¤ Ä »• ¸ % i  . ‘ : r  Y V ƒ  ½ ¨_  Å Ò] j

“

   Õ ª| ½ Ót î ß – ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r 2 Å Ò\    5 g" f  À Ò# Q & ’  .

s

 © œ_  ƒ  5 Å q& h  í  H¨ 8 Š õ & ñ \ " f  € Œ •  ) a † < Æ ҆ < ÆÒ q t x 9  @ /

†

< Æ" é ¶Ò q t[ þ t s    “ ¦ e ”   H ’  Õ ª| ½ Ót  ~ ½ Ó& ñ d ”  † < Æ_ þ v  © œ_  # Q 9

¹

¡ §’ \  @ /ô  Ç „  ^ ‰& h “   ì  r$ 3   õ   H Z > • ¸_   7 Hë  H [23] \ " f



[ jy  ˜ Г ¦ % i  . ô  Ǽ # , ‘ : r  7 Hë  H \ " f  H † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §

\

 @ /ô  Ç  6 £ § õ  ° ú  “ É r s  : r& h , ~ ½ ÓZ O  : r& h  8 £ ¤€  \  œ í& h `  ¦ ´ ú 

Fig. 1. The research procedure.

Æ

Ò% 3  ; (1) † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § \  @ /ô  Ç & ñ _ , (2) † < ÆÒ q t_  # Q 9

¹

¡

§ _  " é ¶ “  \  @ /ô  Ç ì  r À Ód  ¦ > hµ 1 Ï, (3) † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § õ  Õ ª

"

é

¶ “  `  ¦ : Ÿ x ½ + Ë& h Ü ¼– Ð & ñ o  “ ¦ r y Œ •& h Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ” 



 H DSDM _  > hµ 1 Ï x 9  & h 6   x 0 p x$ í „ à ÐÒ  o.

2. ] K ¡t  ô p §8 ý # a \“ Ô Û  º  U ê s0 n É

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ › ¸  l  0 AK " f   H

@

/³ ð& h “   • ¸½ ¨  H ð Å Òç ß –˜ Г ¦" f(Weekly Report)ñ [24] s 



. Å Òç ß –˜ Г ¦" fê ø Í ô  Ç Å Ò\  ô  ǁ  m ”  † < ÆÒ q t[ þ t s  à º\ O  x 9  † < Æ _

þ

v õ & ñ \  @ /K " f  A _  [ j t  \ P  2 ; | 9 ë  H \  @ /K " f ² ú š

  H ½ ¨› ¸ o  ) a $ V , s  :

(1) ô  Ç Å Ò 1 l x î ß – ? / C î  r  כ “ É r Á º% Á “  , (Õ ªo “ ¦ Õ ª כ

`

 ¦ # Qb  G>  C  ° ?  H ?)

(2)
\ >  ì  r" î >  z Œ ™ e ” t  · ú §“ É r | 9 ë  H“ É r Á º% Á “  ?

(3) ë ß –€  • ? / “ §Ã º €  ,
_  † < ÆÒ q t[ þ t s  s  > h¥ Æ `  ¦ s  K

Ù þ ¡  H t  · ú ˜ ˜ Ðl  0 AK " f # Q‹ "  | 9 ë  H`  ¦  ’ x  H ?

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð, „  + þ A& h “   Ó ü t o ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ >    H † < Ɠ § r  +

«

>“ É r † < ÆÒ q t_  Ò q ty Œ •`  ¦ ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð × ¼ Q? /  H X <\   H ô  Ç> 

 e ”   [25].   " f ´ ú §“ É r ƒ  ½ ¨ [ þ t“ É r õ † < Ɔ < Æ_ þ v õ & ñ \ 

"

f † < ÆÒ q t_  Ò q ty Œ •s 
 # Q 9¹ ¡ §`  ¦ › ¸  l  0 Aô  Ç ~ ½ Óî ß –Ü ¼– Ð d ”

8 £ x€  { Œ ™s 
 l   # Œ Q t  ¨ î ~ ½ Óî ß – 1 p x`  ¦ > hµ 1 Ï  

 s 6   x # Œ M ® o  . Etkina [24]  H † < ÆÒ q t[ þ t s  ~ 1 >   6   x

½

+ É Ã º e ” • ¸2 Ÿ ¤ l ‘ : r& h “   | 9 ë  H + þ Ad ” Ü ¼– Ð ½ ¨$ í  ) a Å Òç ß –˜ Г ¦

"

f(Weekly Report)\  ¦ “ ¦î ß – % i  . % ƒ6 £ § \  Õ ª .  H Å Òç ß –

˜

Г ¦" f_  | 9 ë  H[ þ t`  ¦  ’  _  y © œ_ \  ¦ à º& ñ l  0 AK   6   x

 9“ ¦ >  S \ ‰Ù þ ¡% 3   H X <, Å Òç ß –˜ Г ¦" f\  ¦ ~ à Î ‘ : r ' Í Å Ò\  Õ ª



. † < ÆÒ q t[ þ t s  ½ + É    \ V © œÙ þ ¡~   | 9 ë  H õ  Y UŸ íà Ô\  z  ´] j

–

Ð & h ˜ 2 ³ | 9 ë  H s  „  ) €  Ø Ô   H  כ `  ¦ µ 1 Ï|  “ ¦ s  • ¸½ ¨

Fig. 2. Revised weekly report.

_

 ×  æ כ ¹$ í `  ¦ L :{ Œ —>  ÷ &% 3  . ë ß –€  • Å Òç ß –˜ Г ¦" f \ O % 3  8



€   Õ ª .  H  ’  _  † < ÆÒ q t[ þ t _  s K & ñ • ¸\  ¦ õ @ /¨ î Ù þ ¡`  ¦



 “ ¦ ˜ Ѐ  " f “ §  ×  æd ” _  Ò q ty Œ •õ  † < ÆÒ q t { 9  © œ\ " f_  Ò q t y

Œ

•s   © œ{ © œy   \  ¦ à º e ” 6 £ §`  ¦  â + « > >  ÷ &% 3  “ ¦ ˜ Г ¦ 

%

i  . Å Òç ß –˜ Г ¦" f  H l ” > r _  €  { Œ ™s 
 > h¥ Æ  _ …Û ¼à Ôü < ° ú  

“ É

r “ ¦„  & h “   ~ ½ ÓZ O _  ¨ î \ " f  H µ 1 Ï|  t  3 l wÙ þ ¡~   † < ÆÒ q t

†

< Æ_ þ v õ  › ' aº   ) a D h– Ðî  r 7 á x À Ó_  & ñ ˜ Ð\  ¦ % 3   H X < • ¸¹ ¡ §`  ¦ ×  ¦ Ã

º e ”  ; † < ÆÒ q t[ þ t s  “  d ”    H d ” 8 £ x& h “   # Q 9¹ ¡ § [26], † < ÆÒ q t _

 “  t & h , & ñ _ & h , B j “  t & h “   8 £ ¤€  \ " f_   “ ¦ü < † < Æ _

þ

v  © œ_  # Q 9¹ ¡ § [24].

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H Å Òç ß –˜ Г ¦" f_  s  Qô  Ç  © œ& h `  ¦ ¶ ú ˜ 9" f † < Æ Ò q

t[ þ t s  t y Œ •   H # Q 9¹ ¡ §`  ¦  € Œ • l  0 Aô  Ç • ¸½ ¨– Ð Å Òç ß –

˜

Г ¦" f\  ¦  6   x >  ÷ &% 3  . Õ ªo “ ¦ : £ ¤ y , Å Òç ß –˜ Г ¦" f_ 

¿

º   P : | 9 ë  H ð
\ >  ì  r" î >  z Œ ™ e ” t  · ú §“ É r | 9 ë  H“ É r Á

º% Á “  ?ñ   H | 9 ë  H _  @ /² ú š\  : £ ¤Z > ô  Ç › ' a d ” `  ¦ ¿ º% 3  .

Õ

ª Q
 # Q‹ "  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r M :M :– Ð 1   | 9 ë  H • ¸ # Q 9¹ ¡ § \  @ / K

" f “ § ü < _  ™ è: Ÿ x  9  H  Òì  r Ü ¼– Ð  6   x l • ¸ Ù þ ¡“ ¦ s

 ¢ ¸ô  Ç † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § \  ì ø Í% ò % i  .

ô

 Ǽ # , ‘ : r ƒ  ½ ¨ [ þ t“ É r 2 Y V\    • 2 ;  Y Vƒ  ½ ¨\  ¦  • 2 ; Ê

ê\  7 á §  8  € ª œô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ § õ  Õ ª & ñ • ¸\  ¦ · ú ˜l  0

AK " f Å Òç ß –˜ Г ¦" f\   A ü < ° ú  “ É r † ½ Ó3 l q`  ¦ Æ Ò # Œ Å Ò ç

ß –˜ Г ¦" f\  ¦ à º& ñ # Œ  6   x % i   (Fig. 2. ‚ à Л ¸).

[ Æ Ò  ) a | 9 ë  H]

3 . s    Å Ò Ã º\ O ? /6   x`  ¦ † < Æ_ þ v ½ + É M : ? / t y Œ •ô  Ç(Ö ¼

Š 

) # Q 9¹ ¡ §[ þ t“ É r Á º% Á “  ?

t

y Œ •ô  Ç — ¸Ž  H 7 á x À Ó_  # Q 9¹ ¡ § \      ñ\  ¦ · ¡ ­ # Œ # î § > =d ”  Ü

¼– Ð
\ P  # Œ 0 p x ô  Ç  © œ[ jy  l Õ ü t “ ¦, Õ ª y Œ •y Œ •_ 

#

Q 9¹ ¡ §    ? / t y Œ •ô  Ç # Q 9¹ ¡ § _  & ñ • ¸\  ¦ o & à Ô '

‘ • ¸(5. B Ä º ß ¼ , 4. ß ¼ , 3. ˜ Ð: Ÿ x s  , 2.  Œ • , 1. B Ä º  Œ • )– Ð ³ ðr K ˜ Ð .

†

< ÆÒ q t[ þ t“ É r B Å Ò  Z 4, à º à º\ O s  = å Q è ß – Ê ê, Õ ª Å Ò\  C î  r

?

/6   x \  @ /K " f F K כ ¹{ 9 \  Å Òç ß –˜ Г ¦" f\  ¦ t €  \   Œ •$ í # Œ ]

jØ  ¦ % i  . 6 £ x ² ú š ì  r | ¾ ӓ É r @ / Òì  r 1   ë  H † ½ ӓ É r €  • A4 1` …

s

t  & ñ • ¸, 2   ë  H † ½ ӓ É r €  • A4 1/2 1` …s t , 3   ë  H † ½ ӓ É r

€



• A4 1/2 s  _  ì  r | ¾ Ós % 3  . z  ´] j– Ð Å Òç ß –˜ Г ¦" f\  ¦ ~ à Î



˜ Ѐ Œ ¤`  ¦ M :, † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ §“ É r (2)   ë  H † ½ Ó\  | 9 ×  æ& h Ü ¼

–

Ð × ¼ Qz Œ ¤t ë ß –, (1)   ë  H † ½ Ó\ " f• ¸ ˜ Г ¦" f ? /6   x`  ¦ & ñ o  

€

 " f [ þ t% 3 ~   _ ë  H& h `  ¦ ³ ðr ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t s  { 9 Â Ò e ” % 3  . Õ ª o

“ ¦ (2)   ë  H † ½ Ó\ " f † < ÆÒ q t[ þ t“ É r é ß –t  ? /6   x õ  › ' aº   ) a > h¥ Æ 

&

h , Æ Ò : r õ & ñ õ  › ' aº   ) a # Q 9¹ ¡ § ü @\ • ¸  € ª œô  Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦

 ? /% 3  .

†

< Æl  ×  æ ç ß –\  î
_  % i † < Æ s  l ï   H \ [ js \  ¦ õ ] j– Ð

?

/Å Ò% 3  .
_  % i † < Æ s  l   H † < ÆÒ q t[ þ t s  % i † < Æ † < Æ_ þ v õ  › ' a º

 K " f ¨ î ™ è\  t “ ¦ e ”   H Ò q ty Œ •[ þ t`  ¦ : £ ¤Z > ô  Ç + þ Ad ”  \ O s 



Ä »\  v >  l Õ ü t ½ + É Ã º e ” • ¸2 Ÿ ¤ % i  . s \  ¦ : Ÿ x # Œ % i † < Æ õ  3

l

q _  ×  æ כ ¹$ í s 
 _ p , % i † < Æ õ 3 l q \  @ /ô  Ç ‘ : r“  _  I • ¸, % i 

†

< Æ † < Æ_ þ v \ " f_  # Q 9¹ ¡ §, % i † < Æ Ã º\ O \  @ /ô  Ç _ |  1 p x † < ÆÒ q t[ þ t _

  € ª œô  Ç Ò q ty Œ •[ þ t s  × ¼ Qz Œ ¤ . s X O >  Å Òç ß –˜ Г ¦" fü < î
 _

 % i † < Æ s  l ï\ " f µ 1 Ï|  ) a † < ÆÒ q t[ þ t s  t y Œ •   H # Q 9¹ ¡ §

`

 ¦ t “ ¦ > h“   €  { Œ ™`  ¦ z  ´r  % i  . þ j7 á x& h Ü ¼– Ð Õ ª   õ  [

þ

t`  ¦ # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Ó, " é ¶ “  , & ñ • ¸ 1 p x Ü ¼– Ð ì  r$ 3  # Œ DSDM Ü

¼– Ð
 ? /% 3  .

3. ] K ¡t  8 ý # a \“ Ô Û Ä Z ØV Ä U ê s0 n É

Á þ

š “ » j ˜ + # a b  ¸ x j Sê  > & P „ 7  §  · Ä

º‚   ë  H‰  ³ › ¸ \  ¦ : Ÿ x # Œ ƒ  ½ ¨ [ þ t \  _ K  µ 1 Ï|  ) a Ó

ü

t o † < Æ_ þ v \ " f † < ÆÒ q t[ þ t s   â + « >   H  € ª œô  Ç # Q 9¹ ¡ § õ  Õ ª

"

é

¶ “  \  @ /ô  Ç \ V[ þ t`  ¦ › ¸  % i  . \ V\  ¦ [ þ t€   Clement [27]   H Ó ü t o † < Æ_ þ v \ " f  Òv 9 y   H # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  Ü ¼– Ð Ó ü t

| 9

(material)_  Æ Ò © œ$ í , ë  H ] j Û  ¦ s \  כ ¹½ ¨÷ &  H  7 H o & h  & ñ S X

‰$ í , כ ¹½ ¨÷ &  H Æ Ò : r + þ AI _  4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í , כ ¹½ ¨÷ &  H à º† < Æ& h  l

Õ ü t, ‘ : r| 9 & h Ü ¼– Ð # Q 9î  r > h¥ Æ & h  œ íî ß –(conceptual primi- tives)1 p x`  ¦ [ þ t% 3  .  6 £ § Ü ¼– Ð † < ÆÒ q t[ þ t _  † < Æ_ þ v õ   € ª œô  Ç Ð  o

| Ã

Ì& h  כ ¹“  [ þ t _  › ' a > \  ¦ ³ ð‰ & ³   H context map [28] \ " f ]

jr   ) a כ ¹™ è[ þ t`  ¦ “ ¦ 9 % i  . 7 £ ¤, † < Æ_ þ v \  › ' aº   ) a { 9 ì ø Í& h 

“

  0 p x§ 4 [ þ t, ‰ & ³F _  Å Ò] j
 ë  H ] j[ þ t õ  › ' aº  ô  Ç ‚  t d ” , õ  

 â

+ « >,  ïÛ ¼_  : £ ¤& ñ ô  Ç ? /6   x Å Ò] j\  @ /ô  Ç < É ª p , 1 l x l , s   ï Û

¼\  ¦ [ þ t Ü ¼€  " f 3 l q& h , ¸ ú ˜ t  3 l w ½ + É  כ \  @ /ô  Ç ¿ º 9¹ ¡ §, ? /

 # Qb  G>  C 0 > ë ß –   H \  @ /ô  Ç { 9 ì ø Í& h “   ’  ¥ Æ , ¾ º

 † < Æ_ þ v`  ¦ î ß –? /K Å Ò# Q ë ß –   H , : £ ¤& ñ ô  Ç ? /6   x s 
 > h

¥ Æ

\  @ /ô  Ç : £ ¤f ç ,  ïÛ ¼_  ½ ¨› ¸, + þ Ad ” , † < Æ_ þ v \  כ ¹½ ¨÷ & 
 l

@ /÷ &  H r ç ß –_  € ª œ, s   ïÛ ¼\ " f “ §Ã º ~ ½ ÓZ O , “ §z  ´ ¨ 8 Š â , :

£ ¤& ñ ô  Ç 7 á x À Ó_  Û ¼à ÔY UÛ ¼(workload), “ §z  ´\ " f (R / Û`  ¦ s 

Fig. 3. The structure of creating student difficulty.

6  

x ô  Ç)¸ n q ] j_  x × ¼Ñ þ ˜, r + « >_  : £ ¤f ç (+ þ Ad ” , è ß –s • ¸), D h– Ðî  r

¸ n

q ] j ~ ½ Ód ” \  @ /ô  Ç l @ /,  җ ¸_  l @ / 1 p x s  .

‚

 ' Ÿ  ƒ  ½ ¨ ì  r$ 3 `  ¦ : Ÿ x K  ¹ 1 Ô  · p † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § \  › ' a ô  Ç



« Ñ[ þ t õ  ‘ : r ƒ  ½ ¨ [ þ t _  ƒ  ½ ¨\ " f Å Òç ß –˜ Г ¦" f, €  { Œ ™, î
 _

 % i † < Æ s  l ï 1 p x`  ¦ : Ÿ x # Œ µ 1 Ï| ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ § \ V r

[ þ t“ É r Õ ªµ 1 ÏÒ q t " é ¶ “  s   € ª œ % i  . ‘ : r ƒ  ½ ¨ [ þ t“ É r † < ÆÒ q t [

þ

t _  # Q 9¹ ¡ § s  µ 1 ÏÒ q tô  Ç " é ¶ “  “ É r Ó ü t o “ §Ã º† < Æ_ þ v s  { 9 # Q
  H

„

 ^ ‰& h “    © œ S !  5 Å q \ " f “ ¦ 9÷ &# Q ô  Ç “ ¦ ˜ Ѐ Œ ¤Ü ¼ 9 s \  ¦ ì

ø Í% ò ô  Ç ’† < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § " é ¶ “   ì  r$ 3 d  ¦’ s  Table 1s  .

î † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § " é ¶ “   ì  r$ 3 d  ¦ï“ É r Ä º‚  , Novak [17]_  “ §

¹

¢

¤ ½ ¨$ í  $ Á t  כ ¹™ è (“ § , † < ÆÒ q t, t d ” , ¨ î , Ð  o| à Ì)\ 

"

f  s n # Q\  ¦ % 3 # Q “ §¹ ¢ ¤ כ ¹™ è\  ¦ ½ ¨$ í % i  . Table 2\  ¦

˜

Ѐ   “ §¹ ¢ ¤ כ ¹™ è\ " f † < ÆÒ q ts   4 Re ”  . Õ ª s Ä »  H † < ÆÒ q ts 

#

Q 9¹ ¡ §“  d ” _  Å Ò^ ‰ ÷ &# Q   É r “ §¹ ¢ ¤ כ ¹™ è\  @ /ô  Ç ¨ î  (<  ʓ É r l @ /ü < ‰ & ³z  ´õ _  s  “  d ” )\  ¦ : Ÿ x # Œ # Q 9¹ ¡ §`  ¦

 â

+ « >ô  Ç “ ¦ ˜ Ðl  M :ë  H s  . 7 £ ¤, Table 2 \ " f ] jr ô  Ç “ §¹ ¢ ¤ כ

¹™ è[ þ t“ É r † < ÆÒ q ts  “  d ”    H  כ s  9   " f s  כ ¹™ è[ þ t“ É r s

p  † < ÆÒ q t_  כ ¹™ è († < ÆÒ q ts  “  d ” /t “ ¦ e ”   H t d ” / â + « >)

\

 Ÿ í† < Ê÷ &  H  כ s  “ ¦ ^  ¦ à º e ”   (7 á §  8  [ jô  Ç s K \  ¦ 0

AK " f  H Fig. 3 ‚ à Л ¸).

¢

¸ô  Ç, % ò % i  Òì  r“ É r “  t & h (Cognitive), & ñ _ 

&

h (Affective), ' Ÿ 1 l x& h (Acting) % ò % i _  [ j t – Ð


¾

º% 3  . · ú ¡_  ¿ º t  % ò % i “   “  t & h , & ñ _ & h  % ò % i “ É r Bloom _  “ §¹ ¢ ¤3 l q ³ ð ì  r À Ó\   | à Û . [ j   P : % ò % i “ É r ' Ÿ  1

l x& h  % ò % i s  . † < Æ_ þ v`  ¦   H 1 l x î ß – > h“  “ É r  “ ¦ “ ¦, Ö ¼ z

“ ¦, ' Ÿ ô  Ç   H & h \ " f † < Æ_ þ v“ É r „  “    & h s  9, 4 Ÿ ¤ ½ + Ë& h s 

“

¦, : Ÿ x ½ + Ë& h “    Ö ¸1 l x s  “ ¦ ½ + É Ã º e ”   [17]. : £ ¤ y , î' Ÿ † < Ê ï õ  › ' aº  ÷ &  H % ò % i “ É r ' Ÿ 1 l x& h  % ò % i \  ì  r À Ó | ¨ c à º e ”   H X <, s

ü < ° ú  “ É r % ò % i \  5 Å q   H  Ö ¸1 l x _  ½ ¨^ ‰& h “   \ V– Ѝ  H S \ ‰1 p q, 1

l

x  o, í  H6 £ x, à º' Ÿ , Ÿ íÂ Ò 1 p x _   € ª œô  Ç  Ö ¸1 l x`  ¦ [ þ t à º e ”   [29]. ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H † < ÆÒ q t_  Ó ü t o † < Æ_ þ v \ " f_  # Q 9¹ ¡ § õ 

› '

aº   ) a  € ª œô  Ç ' Ÿ 1 l x& h  כ ¹™ è[ þ t ™ è[ þ t s  ” > r F ô  Ç “ ¦ ˜ Г ¦ s

ü < ° ú  “ É r כ ¹™ è[ þ t s  Ÿ í† < ʝ ) a ' Ÿ 1 l x& h  % ò % i `  ¦  © œ& ñ % i  .



 " f, — ¸¿ º 2t  » ¡ ¤, 7 £ ¤ % ò % i õ  “ §¹ ¢ ¤ כ ¹™ è– Ð s À Ò# Q”   ì

 r À Ó d  ¦`  ¦ s 6   x # Œ 12t  # 3 ŠҖ Ð † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § " é ¶ “  

\

 @ /ô  Ç ì  r À Ó 0 p x % i  (Table 1 ‚ à Л ¸). Table 1_  [ j Â

Ò † ½ Ó[ þ t( [ jÂ Ò " é ¶ “  [ þ t)“ É r † < ÆÒ q t_   « і РÒ'  Æ ÒØ  ¦ ) a \ V r

[ þ t s l  M :ë  H \  y Œ • † ½ Ó3 l qZ > – Ð 1 l qw n & h s  9 @ /³ ð& h “   — ¸

Ž

 H \ V[ þ t`  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç “ ¦  H ^  ¦ à º \ O  .



6 £ §“ É r † < ÆÒ q ts  t y Œ •ô  Ç ? /6   x(Knowledge Content) \  › ' a º

  ) a “  t & h (Cognitive) % ò % i _  # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “   ×  æ \ " f ‚   t

d ” _   Ò7 á ¤ õ  õ † < Æ(Ó ü t o )_  ‘ : r$ í \  @ /ô  Ç z  ´] j  Y V\  ¦ ì  r À

Óô  Ç \ Vr s  .

I‚  t d ” : à º† < Æ& h  t d ” _   Ò7 á ¤, > h¥ Æ & h  t d ” _   Ò7 á ¤, õ 



 š ¸> h¥ Æ  ™ èÄ »  â + « >, Ð  o| à Ì& h  t d ” _   Ò7 á ¤

ð  ì  rZ O `  ¦ à º† < Æ& h Ü ¼– Ð „  > h   H õ & ñ s  s K  î ß –

 )

a  . s   H Ó ü t o à º† < Æ\  › ' a ô  Ç   É r ë  H‰  ³[ þ t`  ¦ ˜ Г ¦ /

B

N  Ò\  ¦ K   ½ + É  כ ° ú  _ þ v m  . ñ(à º† < Æ& h  t d ” _  Â Ò 7

á ¤)

ð é ß –" é ¶ Z > – Ð  © œ “ ¦  Ù þ ¡~    Òì  r`  ¦ [ þ t  €   é ß –ƒ   9 © œ



Õ ª| ½ Ót î ß – é ß –" é ¶ s  . Õ ª Q
  Õ ª| ½ Ót î ß –, K x 9 ž Ð m

î ß –s  # Q 9 ° ?~   >   m    – Ð potentials  ] j{ 9 

#

Q 9 ° ? . 6 © œ / B N  ҽ + É M : l ‘ : r& h  > h¥ Æ “ É r ¸ ú š€ Œ ¤t ë ß –

#

Œ Q t   © œ S !  \ " f_  potential energy  H • ¸Á º t

 y Œ ™`  ¦ ¸ ú št  3 l w % i  ñ(> h¥ Æ & h  t d ” _   Ò7 á ¤) ð   Õ ª Qm    Õ ª| ½ Ót  s Ê ê\ • ¸ s    >  s     

½

¨
 s    >  s     ½ ¨
 s  & ñ • ¸  H · ú ˜ ’ x  H X < Õ ª



Qm    ã ¶ t   H · ú ˜ ’ x  H X <... - $ “ ¦ ³ ð‰ & ³K   ÷ &
.

 ã

¶ t   H · ú ˜ ’ x  H X <  = Õ ªX O >  • ¸{ 9 `  ¦ Ù þ ¡  H t   H — ¸Ø Ô

 ’

x   H  t . Õ ª   \  @ /ô  Ç S X ‰ ’  s  \ O  “ ¦ ´ ú ˜..K 

•

¸ ÷ &  H | ? ñ(Ð  o| à Ì& h  t d ” _   Ò7 á ¤)

ð€  { Œ ™  ˜ Ё © œ“ É r \ O  ... ƒ  m  s K ô  Ç  כ \  @ / ô

 Ç ˜ Ё © œs   = \ O # Qכ ¹? # Q  =
€  .. ? / % i † < Æ Ã º\ O 

`

 ¦ 1 p s     ? / ¸ ú ˜3 l w s K  “ ¦ e ” % 3 ½ ¨
.. ô  Ç¿ º



  e ” % 3 # Q. + « :.. ? / s    ¸ ú ˜3 l w · ú ˜“ ¦ e ” % 3 ½ ¨
   H.

Õ

ªA " f s    Ò q ty Œ •s  × ¼  H   .ñ(õ   š ¸> h¥ Æ  ™ èÄ »

 â + « >)

Iõ † < Æ(Ó ü t o )_  ‘ : r$ í : % i † < Æ t d ” _  à ºf ” & h  ½ ¨› ¸, ? /6   x õ

 ë  H ] j Û  ¦ s _  ƒ     Ò7 á ¤

ð% i † < Æs ê ø Í õ 3 l q  ^ ‰  -Á º j Ë µ[ þ t >  Ö ¼ ”   . % i 

†

< Æs  # Q 9î  r  כ “ É r { 9 é ß –  -Á º
 V , “ É r 6 £ x6   x # 3 0 A

t

d ” _  ½ ¨› ¸ à º¨ î & h s   m “ ¦ à ºf ” & h s    H X <

\

 l “     H 1 p w  . z  ´( כ ? /6   x`  ¦ / B N  ÒK • ¸ ë  H ] j

î

ß – Û  ¦ o   H  â Ä º ) ‡ ô  ÇX <, 7 £ ¤ ? /6   x`  ¦ ë  H ] j t 

ƒ

    l  0 AK " f  H 
\  ¦ Ø Ôu €   þ j™ è Ñ ü t, ! Ó `  ¦ s

K  “ ¦ e ” # Q ë ß – ô  Ç .ñ

Table 1. A framework for analyzing student difficulty.

P P P P

P P P

% ò

% i 

“

§¹ ¢ ¤ כ ¹™ è ? /6   x t d ” (K) “ § (T) ¨ î (E) Ð  o| à Ì(C)

“

 t & h (Co)

– ‚  t d ” (> h¥ Æ & h , à º† < Æ& h ,

– “ § _  › ' aº   ? /6   x t d ”  – ¨ î  ? /6   x à ºï  r Ð 

o| à Ì& h  t d ”  1 p x) – “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ – Æ Ò : r0 p x§ 4  – à º\ O  « Ñ

– õ † < Æ(Ó ü t o )_  ‘ : r$ í ( “ §õ " f, µ 1 ϳ ð  « Ñ1 p x) – “  d ”  : r& h  ’  ¥ Æ 

&

ñ _ & h (Af)

– 1 l x l (< É ª p , † < Æ_ þ v3 l q& h ) – à º\ O ì  r 0 Al (1 l x « ц < ÆÒ q tõ _  y Œ ™& ñ & h  “ §À Ó) – Ô  ¦ î ß – – “ § _  I • ¸ – $ í & h \  @ /ô  Ç – “ §z  ´¨ 8 Š â _  ì  r 0 Al (ß ¼l ,  © œq ) – u ü < I • ¸ (\ P & ñ , “ : r& ñ , y Œ ™& ñ s { 9 ) Û ¼à ÔY UÛ ¼ –  ïÛ ¼\  @ /ô  Ç Û ¼à ÔY UÛ ¼

– ’  ¥ Æ  ( à º\ O € ª œ_   Ò{ Œ ™ 1 p x) '

Ÿ 1 l x& h (Ac) – ” ¸§ 4  – x × ¼Ñ þ ˜ – r + « > ï  r q • ¸ – Ø  ¦$ 3  – † < Æ_ þ v „  | Ä Ì, ~ ½ ÓZ O  – “ §Ã º„  | Ä Ì, ~ ½ ÓZ O  – õ ] jà º' Ÿ  & ñ • ¸ – † < Æ_ þ v r ç ß –

III. Ž ì ŏ Œ+ s ÇÊ Ý

1. ] K ¡t  8 ý # a \“ Ô Û: ” Ò Þ’ ½, Ì ¦ Rß Ã Å § ŽP w Š X N Ëy ¢

†

< Æ_ þ v ½ + É M : † < Æ_ þ v Å Ò^ ‰“   † < ÆÒ q tõ  ? /6   x t d ” , “ § , ¨ î , Ð 

o| Ã Ì ç ß –\   H  © œ  ñ Œ •6   x s  { 9 # Q
“ ¦ † < ÆÒ q t“ É r ? /6   x, “ § , ¨ 8 Š

 â

, ¨ î \  @ /ô  Ç l @ /\  ¦ + þ A$ í >   ) a  . s  M : † < ÆÒ q t_  l 

@

/ à ºï  r“ É r “ §  כ ¹½ ¨   H l @ / à ºï  r õ  s  e ” `  ¦ à º e ”

  (Fig. 3. ‚ à Л ¸). † < ÆÒ q ts  ? /6   x t d ” , “ § , ¨ î , Ð  o| à Ì

\

 @ /K " f t   H l @ /à ºï  r õ  Õ ª כ [ þ t _  ‰ & ³F  à ºï  r s  { 9  u

 t  · ú § " f s (Gap) Ò q tl >  ÷ &€   Õ ª t y Œ •  ) a  s

(perceived gap) " é ¶ “  s  ÷ &# Q" f   ² D G † < ÆÒ q t[ þ t“ É r # Q 9

¹

¡

§`  ¦ Ö ¼z   H d ” o & h   © œI \  s Ø Ô>   ) a  .

†

< ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ §“ É r ¢ ¸   É r # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ± ú ¢  H " é ¶ “  s  ÷ &

l

• ¸ ô  Ç . Õ ª QÙ ¼– Ð † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ F G4 Ÿ ¤ l  0 AK " f



 H µ 1 Ï|  ) a # Q 9¹ ¡ § Õ ª  ^ ‰÷  r ë ß –  m   Õ ª כ [ þ t õ  ƒ  › ' a ÷ &

#

Q e ”   H „  ^ ‰\  ¦  € Œ • “ ¦ F G4 Ÿ ¤ K  ô  Ç . # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  

\

" f † < ÆÒ q t כ ¹™ è  H ] jü @ % i  . Õ ª s Ä »  H · ú ¡ ] X \ " f [ O 

"

î ô  Ç  כ % ƒ! 3  ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f “ ¦ 9   H — ¸Ž  H # Q 9¹ ¡ §“ É r † < ÆÒ q t s

 t y Œ •   H  כ s “ ¦ s   H † < ÆÒ q ts  t “ ¦ e ”   H ? /& h  כ ¹™ è [

þ

t õ _   © œ  ñ Œ •6   x Ü ¼– Ð { 9 # Q
  H  כ s Ù ¼– Ð — ¸Ž  H # Q 9¹ ¡ § _  + þ

A$ í \  † < ÆÒ q t כ ¹™ è  H  1 l x& h Ü ¼– Ð Ÿ í† < ʝ ) a  “ ¦ ˜ Ðl  M :ë  H s

 .

s

 © œ_  õ & ñ `  ¦ : Ÿ x # Œ, ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H î † < ÆÒ q t_  # Q 9

¹

¡ §(student difficulty)ï s ê ø Í, ? /6   x, “ § , ¨ î , Ð  o| à ÌÜ ¼– Ð

½

¨$ í ÷ &  H “ §¹ ¢ ¤ כ ¹™ èü < † < ÆÒ q t ç ß –_   © œ  ñ Œ •6   x _  › ' a > \ " f

†

< ÆÒ q ts  t y Œ •   H, ? /6   x, “ § , ¨ î , Ð  o| à Ì_  ‰ & ³F  à ºï  r õ

 Õ ª כ [ þ t \  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t_  l @ / à ºï  r ç ß –_  s (perceived gap) – Ð Ò q t|   îd ” o & h   © œI ï– Ð & ñ _  % i  . ¢ ¸ô  Ç Õ ª t y Œ •

 )

a s (perceived gap) 9 þ t à º2 Ÿ ¤ † < ÆÒ q ts  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ Ö ¼z 



 H & ñ • ¸• ¸ & t Ù ¼– Ð † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § _  & ñ • ¸  H t y Œ •  ) a  s

(perceived gap)_  † < Êà º– Ð ^  ¦ à º e ”  .   ² D G Fig. 5  H † < Æ _ þ

v  © œ S ! \ " f † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § s  # Qb  G>  Õ ªo “ ¦ \ O  
 y © œ

>  Ò q t$ í ÷ &t   H t \  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H # Q 9¹ ¡ § Ò q t$ í ½ ¨› ¸\  › ' a ô

 Ç  כ s  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  . ¢ ¸ô  Ç s  Õ ªa Ë >`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð † < ÆÒ q t _

 # Q 9¹ ¡ §`  ¦ 7 á §  8 ì  r" î >  [ O " î ½ + É Ã º e ” `  ¦  כ s  .

\

V\  ¦ [ þ t€  ,  Õ ª| ½ Ót  ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ C Ä ºl  „  \    ì  rZ O s 



  H  כ `  ¦ C Ä º  H X < # Q‹ "  † < ÆÒ q ts  ð  ì  rZ O `  ¦ s 6   x K " f ë  H ]

j\  ¦ É Ò  H >   -Á º # Q§ >  ñ”   H # Q 9¹ ¡ §`  ¦   ñ™ è % i  

“

¦  . Õ ª! 3  Õ ª " é ¶ “  s  Á º% Á s 
    H | 9 ë  H \ " f ðà º\ O  r

ç ß –\   -Á º s  : r& h “    כ ë ß – K " f ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ l  0 Aô  Ç 0 p x§ 4 

`

 ¦ v 0 >Šҍ  H \ V] j Û  ¦ s   Ò7 á ¤  .ñ “ ¦ @ /² ú š`  ¦ Ù þ ¡ “ ¦

& ñ  . s  כ `  ¦ ‘ : r ƒ  ½ ¨_  # Q 9¹ ¡ § _  & ñ _ – Ð [ O " î €   î “ §   -Á º s  : r& h “   à º\ O ë ß – ô  Ç .ï  H  כ s  ‰ & ³F  † < ÆÒ q t s

 t y Œ • “ ¦ e ”   H à º\ O  © œ S ! (Ð  o| à Ì)_  ‰ & ³F   © œI s  . Õ ª o

“ ¦ † < ÆÒ q ts  l @ /   H  כ “ É r îÛ  æ  Òô  Ç \ V] j Û  ¦ s  [ þ t # Qe ” 



 H à º\ O ïs  . ‰ & ³F  à ºï  r õ  l @ / à ºï  r _  s    ² D G    ì

 rZ O Ü ¼– Ð ë  H ] j\  ¦ É Ò  H X <\  @ /ô  Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ë ß –[ þ t # Q Í Ç x“ ¦



 ì  rZ O `  ¦ C Ä º€  " f   “ ¦ e ”   H # Q 9¹ ¡ §“ É r ¢ ¸   É r # Q 9¹ ¡ §

`

 ¦ Ò q t$ í   H X < % ò † ¾ Ó`  ¦ ×  ¦ à º e ”  “ ¦ ^  ¦ à º e ”  .

2. ] K ¡t  8 ý # a \“ Ô Û ” Ò Þ’ ½, Ì ¦ Rß Ã Å, X N Ëy ¢õ u § ƒ »”  ô À W ¥ DSDM (Diagram of Student Difficulties in Mechanics) 4

®  o

‘

: r ƒ  ½ ¨ [ þ t“ É r Å Òç ß –˜ Г ¦" f\  ˜ Г ¦  ) a † < ÆÒ q t[ þ t _  x × ¼ Ñ þ

˜`  ¦ & ñ o    H õ & ñ \ " f Ä » ô  Ç # Q 9¹ ¡ § z o  Ó ü  # Q" f Y > 

>

h_  ë  H é ß –Ü ¼– Ð
¾ º# Q ³ ð\  ¦ ë ß –[ þ t  
 / å J – Ð כ ¹€  •`  ¦   H X

< ´ ú §“ É r # Q 9¹ ¡ §`  ¦  â + « > % i  . ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð, # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À

Ó\  ¦ q 2 Ÿ © # Œ,  = # Q 90 >   H t  \ O  
 # Q 9¹ ¡ §`  ¦ Ö ¼z 



 H t \  @ /ô  Ç X <s ' \  ¦ 7 á x ½ + Ë& h Ü ¼– Ð ì  r$ 3  “ ¦ & ñ o  l 

#

Q 9 ° ? . ¢ ¸ô  Ç, B    # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ì  r À Ó   H ~ ½ ÓZ O s  e ” r & h  s

 9 { 9 & ñ ô  Ç ^ ‰>  \ O   H  כ • ¸  z  ´s % 3  .   " f † < ÆÒ q t [

þ

t _  # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Óü < " é ¶ “  õ  & ñ • ¸\  ¦ : Ÿ x ½ + Ë “ ¦ r y Œ •& h 

Fig. 4. The DSDM structure representing student diffi- culty.

Ü

¼– Ð ˜ Ð# Œ×  ¦ à º e ”   H • ¸½ ¨– Ð" f DSDM`  ¦ > hµ 1 Ï >  ÷ &% 3 



.

DSDM“ É r Diagram of Student Difficulty in Mechan- ics _  €  • – Ð, % i † < Æ † < Æ_ þ v \ " f † < ÆÒ q t[ þ t s  Ö ¼z   H # Q 9¹ ¡ § _  7

á

x À Óü < & ñ • ¸ Õ ªo “ ¦ y Œ •y Œ •_  # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Ó\  @ /ô  Ç " é ¶ “  

`

 ¦ Õ ªa Ë >Ü ¼– Ð ³ ð ‰ & ³ô  Ç î# Q 9¹ ¡ § ³ ð‰ & ³• ¸½ ¨ïs  . · ú ¡" f ™ è> h ô

 Ç † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § \  @ /ô  Ç D h– Ðî  r & ñ _ ü <, † < ÆÒ q t_  # Q 9

¹

¡ § " é ¶ “   ì  r À Ód  ¦ 1 p x`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð DSDM`  ¦  Œ •$ í ½ + É Ã º e ”   (Fig. 4. ‚ à Л ¸).

DSDM“ É r · ú ¡‚   † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § \  @ /ô  Ç & ñ _ \  ¦ ì ø Í% ò 

“

¦ e ” Ü ¼Ù ¼– Ð, Fig. 4_   © œ  ¾ ú   ‚  “ É r † < ÆÒ q ts  t y Œ • 



 H ? /6   x, “ § , ¨ î , Ð  o| à Ì\  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t_  l @ /à ºï  r`  ¦ _  p

ô  Ç . Õ ªo “ ¦ # Q 9¹ ¡ §`  ¦ Ö ¼z   H & ñ • ¸  H † < ÆÒ q ts   l ¨ î

' ‘ • ¸(B Ä º ß ¼ (5), ß ¼ (4), ˜ Ð: Ÿ x s  (3),  Œ • (2), B  Ä

º  Œ • (1))\  ¦  6   x # Œ ‚  × þ ˜ • ¸2 Ÿ ¤ % i  . † < ÆÒ q t_  l 

@

/ à ºï  r`  ¦ _ p    H  © œ  ¾ ú   ‚   î ß –A á ¤ Ü ¼– Ð † < ÆÒ q ts  t  y

Œ

•   H ? /6   x, “ § , ¨ î , Ð  o| à Ì_  ‰ & ³F  à ºï  r`  ¦
 ? /  H

‚

 s  5é ß –> – Ð ³ ðr   ) a  . Õ ªo “ ¦ † < ÆÒ q ts  t y Œ •   H l @ /à º ï

 r õ  ‰ & ³F à ºï  r _  s  † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  s  ÷ & 9 Õ

ª s _  & ñ • ¸ # Q 9¹ ¡ § _  & ñ • ¸\  ¦
  · p . \ V\  ¦ [ þ t # Q, Fig. 4 \ " f † < ÆÒ q ts  ‰ & ³F  t y Œ •   H à ºï  r s  Ï ã T“ É r & h ‚  Ü ¼– Ð

³

ðr ÷ &# Qe ”  . ‰ & ³F à ºï  r õ  l @ /à ºï  r õ _  t y Œ •  ) a s   H



rÒ  o  o¶ ú ˜³ ð U  ´s _  ß ¼l s  9 # Q 9¹ ¡ § _  & ñ • ¸  H 4 – Ð
 

? /# Q”   .

s

ü < ° ú  “ É r DSDM“ É r † < ÆÒ q t[ þ t s   Œ •$ í ô  Ç Å Òç ß –˜ Г ¦" fü <

€

 { Œ ™ r  † < ÆÒ q t[ þ t _  _ |  1 p x`  ¦ 7 á x ½ + Ë # Œ “ §Ã º \  _ K " f ë

ß –[ þ t # Q”   . Fig. 4\  ¦  5 g ë ß –[ þ t # Q”   DSDM (\ V\  ¦[ þ t # Q, Fig. 5. \  e ”   H @ /† < Æ" é ¶Ò q t L_  DSDM)% ƒ! 3  DSDMs   ™ è

Fig. 5. Graduate student L’s DSDM.

4

Ÿ

¤ ¸ ú šK  ˜ Ðs l   H t ë ß – † < ÆÒ q t[ þ t s  ¿ º Å Òç ß –\ " f ô  Ç ² ú ˜# Œ

\

 ¦  5 g C Ä º  H † < Æ_ þ v õ & ñ \ " f  â + « >   H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ô  Ç > h _

 Õ ªa Ë >\ 
 è ­ q à º e ”    H  כ “ É r ×  æ כ ¹ô  Ç _ p  e ”  “ ¦

‘

: r  . Ä º‚  , “ §Ã º   H † < ÆÒ q t[ þ t > h> h“  _  † < Æ_ þ v  © œ S ! `  ¦  

€

Œ

• l  6   x s ½ + É  כ s  9, † < ÆÒ q t[ þ t ç ß –_  q “ § r \ • ¸ # Œ Q

t   « Ñ[ þ t`  ¦ — ¸¿ º ` ˆ 5 gZ  ~ t  · ú §“ ¦• ¸  ú ª“ É r r ç ß –\  „  ^ ‰

&

h “   q “ § 0 p x ½ + É  כ s  . ‘ : r ƒ  ½ ¨ [ þ t“ É r ô  Ç Ó ü t o y © œ_ 

\

" f “ §Ã º  Ò q ty Œ •   H † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ § õ  † < ÆÒ q ts  t  y

Œ

•   H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ q “ §   H ~ ½ Óî ß –Ü ¼– Ð" f DSDM`  ¦  Ö ¸6   x 

%

i Ü ¼ 9, “ §Ã º ü < † < ÆÒ q t_  “  d ”  \  ¦ ì  r" î >  ¹ 1 Ô ? /  H X

< • ¸¹ ¡ §`  ¦ ~ à Γ É r   e ”   [30]. † < ÆÒ q t[ þ t ¢ ¸ô  Ç DSDM`  ¦ :

Ÿ

x # Œ  ’  _  † < Æ_ þ v õ & ñ  © œ_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ô  Ç è  H \   € Œ •½ + É Ã

º e ” `  ¦  כ s  9, ë ß –€  • † < ÆÒ q t Û ¼Û ¼– Ð DSDM`  ¦ f ” ] X   Œ •

$ í

K  ‘ : r  €    ’  _  † < Æ_ þ v`  ¦ ½ ¨› ¸ o “ ¦ ì ø Í$ í & h Ü ¼– Ð ÷ &

[

 t   ^  ¦ à º e ”   H a % ~“ É r l  r\  ¦ t >  | ¨ c  כ s  .

3. DSDM X ì Ä “ Ó Þ  7 `

s

 © œ_  õ & ñ `  ¦ : Ÿ x # Œ > hµ 1 Ï  ) a DSDM`  ¦ 2005¸   1† < Æl 

@

/† < Æ" é ¶Ò q t @ / © œ_  % i † < Æ Ã º\ O \ " f & h 6   x K  ˜ Ѐ Œ ¤ . Fig. 5  H



Õ ª| ½ Ót  ~ ½ Ó& ñ d ” \  @ /ô  Ç Ã º\ O  Ê ê ] jØ  ¦ ô  Ç Å Òç ß –˜ Г ¦" fü <

€

 { Œ ™\ " f ˜ Г ¦  ) a @ /† < Æ" é ¶Ò q t L_  # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Ó, # Q 9¹ ¡ § _

 " é ¶ “   Õ ªo “ ¦ # Q 9¹ ¡ § _  & ñ • ¸\  ¦ DSDM Ü ¼– Ð
  · p  כ s

 .

DSDM _  " é ¶  ¾ ú  A á ¤ \   H @ /† < Æ" é ¶Ò q t Ls  ”   # Q 9¹ ¡ § _  7

á

x À Ó\  ¦ ³ ðr  % i  . ¢ ¸ô  Ç " é ¶ î ß –\   H  ¾ ú  \  e ”   H y Œ •y Œ •_ 

#

Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Óü < › ' aº   ) a # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “   - o¶ ú ˜³ ð _ p 

  H t y Œ •  ) a s - _   © œ[ jô  Ç ? /6   x`  ¦ wl  — ¸€ ª œ_   Œ ™y Œ •+ þ A

Table 2. Classification of Graduate student L’s difficulties.

% ò

% i  # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Ó ? /6   x

“

 t  1. > h¥ Æ & h “   à º6   x   ì  rZ O ,  “  ë ß –_  þ j™ è Œ •6   x _  " é ¶ o \  ¦ …  ;…  ;y  s K  €  " f  Å # Qt  3 l w “ ¦ Õ ªz ª œ

~ Ã

Î [ þ t # Œ  Ù þ ¡~   & h s  # Q 9 ° ? .

“

 t  2. à ºd ” 

ð Õ ªz ª œ # Q 9¹ ¡ § s  l ˜ Ð   H n ” n ” † < Ês  “ ¦   H >   s `›   z f › ’ xt  Õ ª   à ºd ” `  ¦ ? /

S X

‰ “  K " f s   6 £ § é ß –>  s    à ºd ” s  ` ˆ 5 gt “ ¦ Q\  ¦ @ /{ 9 K " f s    > 
“ : r    H  כ `  ¦

”

   S X ‰ “  Ù þ ¡% 3 Ü ¼€   Õ ªz ª œ } Œ ™\    o t  · ú §“ ¦  Å # Q° ú ˜ à º e ” % 3   H X < # Qe ©  à º \ O s   Å # Q  H



© œ S ! s |   t ë ß –  ã ¶  n ” n ” † < Ê s    S X ‰ “  K ˜ Ðt • ¸ · ú §“ ¦ > 5 Å q  Å # Q  ô  Ç   Hñ

“

 t  3. E B ô  Ç | 9 ë  H

ð r €  " f } Œ •..   H • ¸×  æ \  # Œl $ l  E B ô  Ç | 9 ë  H[ þ t s  @ Å s  & ’ `  ¦   ñ

ð Õ ªX O t  ÿ .  Ó ü t # Q˜ Ѝ  H t  — ¸Ø ԍ  H    & h & h  ? / # Œl \  < É ª p • ¸ \ O # Qt “ ¦ ô  ǂ à Рa % ¦  

˜

Ѐ   # Œl $ l \ " f | 9 ë  H s  @ Å s  t   H X < Õ ª | 9 ë  H s .. Õ ª | 9 ë  H \  @ /K " f ˆ Ã Ì › ' a d ” `  ¦ t “ ¦

  H >  # Q§ > l  ˜ Ð   H ÿ .  Ó ü t # Q˜ Ѝ  H t  — ¸Ø ԍ  H   . # Q‹ "  œ í& h Ü ¼– Ð Ó ü t # Q˜ Ѝ  H t  Õ ª> 

#

Q‹ "  _ p “  t ñ

“

 t  4. [ O " î _  s K 

ð    E l ô  Ç Õ ª  Òì  r..   ì  rZ O s  ] j{ 9  # Q 9 ° ?# Q š ¸{ 9  Q_  ~ ½ Ó& ñ d ”  ° ú  “ É r  â Ä º  H...ñ

ð  ... [ O " î \  @ /ô  Ç s K _  # Q 9¹ ¡ § s | ½ Ó > h¥ Æ  à º6   x _  # Q 9¹ ¡ § s | ½ Ó d  ¦  9כ ¹? à º6   x“ É r... # QÞ 5 x| 

?

/ % 3 t – Ð V , # Q  ÷ &m   # Q 9î  r  “ ¦ñ

ð[ O " î \  @ /ô  Ç s K   H?  ã ¶  ? /  9î  r  Òì  r`  ¦ Õ ª  | à Ðs  / å T # QÅ Òt  3 l wÙ þ ¡ 
 \ P d ” y  [ þ t Ü ¼ 9“ ¦

t  · ú §€ Œ ¤ 
ñ

ð€  { Œ ™ >>t F K • ¸   ì  rZ O \  @ /K " f   ì  rZ O s  - $
 E l K ˜ Ð “ ¦ €  ? x €  { Œ ™ >> — ¸Ø Ôt 

€

 { Œ ™ >> ô  Ç n • ¸? x €  { Œ ™ >> 6 £ x ô  Ç n • ¸ 3 l w K 

€

 { Œ ™ >>   ì  rZ O  % ò # Q– Е ¸ ]  t  כ ¹? x €  { Œ ™ >> 6 £ x ]  t   l % 3 \  z Œ ™  H >  \ O # Q €  { Œ ™ >>

-

$\  + ‹" 3 % 3  .. s       H? x €  { Œ ™ >> „  ) €..

€

 { Œ ™ >> Õ ª! 3   Õ ª| ½ Ót î ß – ½ + É M :   ì  rZ O s 
 M ® o   s |  · ú ˜ כ ¹? x €  { Œ ™ >> Õ ªX O t ñ

&

ñ _  5. t À ҆ < Ê ð t À ҆ < Ê`  ¦ Ö ¼z l  r  Œ • €   a % ¦ o “ ¦, | 9 ×  æ • ¸ î ß – ÷ &“ ¦ ƒ  ] j = å Q

  Ë ¨ñ

\

 + ‹V , % 3  . wl _  _ …¿ ºo  ¿ º   “    כ “ É r # Œ Q    ì ø Í 4

Ÿ

¤ ÷ &# Q
 è ß – # Q 9¹ ¡ §`  ¦ _ p ô  Ç . # Q 9¹ ¡ § _  & ñ • ¸  H

 כ

“ É r " é ¶  ¾ ú  \  Õ ª 9”   # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Ó  © œ (W 1— ¸~ à ÌÛ ¼)\  ¦ ß

¼>  K " f y © œ› ¸ % i  . ¢ ¸ô  Ç # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Óü < " é ¶ “  `  ¦ “   t

& h , & ñ _ & h , ' Ÿ 1 l x& h “   % ò % i  ×  æ # QÖ ¼ % ò % i s 
\     Ò 

o¾ ú ˜– Ð ~ 1 >  ½ ¨ì  r ½ + É Ã º e ” >  % i  .

Figure 5 _  DSDM`  ¦ ˜ Ѐ   î[ O " î _  s K _  # Q 9¹ ¡ §ï % ƒ

!

3  # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Ӎ  H “  t & h “   % ò % i s t ë ß – # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶

“

 “ É r & ñ _ & h , ' Ÿ 1 l x& h  % ò % i \ " f
 è ß –  â Ä º• ¸ e ” 6 £ §`  ¦ S X ‰

“

 ½ + É Ã º e ”  . Õ ªo “ ¦ î| 9 ×  æ _  # Q 9¹ ¡ §( t À ҆ < Ê)ïõ  ° ú  “ É r & ñ _

& h “   # Q 9¹ ¡ § _   â Ä º Õ ª " é ¶ “  s  “  t & h , ' Ÿ 1 l x& h “   כ ¹™ è

\

 e ”    H & h • ¸ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”  .

DSDM“ É r ô  Ç > h“  _  † < Æ_ þ v õ & ñ \ " f_  # Q 9¹ ¡ § õ  Õ ª " é ¶

“

 `  ¦ : Ÿ x ½ + Ë “ ¦ r y Œ • o  ) a & ñ ˜ Ж Ð ] j/ B N ô  Ç . ô  Ǽ # , † < ÆÒ q t_ 

#

Q 9¹ ¡ § \  › ' a ô  Ç ½ ¨^ ‰& h “   l Õ ü t s 
 † < ÆÒ q t_  ”  Õ ü t \ Vr  1 p x s

 € 9 כ ¹ô  Ç  â Ä º• ¸ e ” `  ¦ à º e ”   H X < s  Qô  Ç  « Ñ\  ¦ & ñ o ô  Ç

\

V Table 2(# Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Ó)õ  Table 3(# Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “   õ

 & ñ • ¸)\ 
 
 e ”  . \ V\  ¦ [ þ t # Q Table 2“ É r  Õ ª| ½ Ót 

~

½ Ó& ñ d ” `  ¦ † < Æ_ þ v ½ + É M : @ /† < Æ" é ¶Ò q t Ls  ˜ Г ¦ô  Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦ % ò

%

i , # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Ӗ Ð ì  r À Ó “ ¦ š ¸ É rA á ¤ = å Q \   H † < ÆÒ q ts  ”   Õ

ü

t ô  Ç ? /6   x`  ¦ \ Vr ô  Ç  כ s  .

Table 2 \ " f @ /† < Æ" é ¶Ò q t Ls  t y Œ •ô  Ç # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Ó ' Í



 P : î> h¥ Æ & h à º6   x _  # Q 9¹ ¡ §ï s “ ¦ s   H “  t & h “   # Q 9

¹

¡

§ \  5 Å q ô  Ç . ô  Ǽ # , s \  › ' a # Œ † < ÆÒ q t“ É r î  ì  rZ O ,  “  ë ß – _

 þ j™ è Œ •6   x _  " é ¶ o \  ¦ …  ;…  ;y  s K  €  " f  Å # Qt  3 l w

“ ¦ Õ ªz ª œ ~ à Î [ þ t # Œ  Ù þ ¡~   & h s  # Q 9 ° ? ï “ ¦ ”  Õ ü t 

% i  .

Table 3  H Table 2 \ " f
 è ß – y Œ •y Œ •_  # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Ó

\

 › ' aº   ) a # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  [ þ t õ  # Q 9¹ ¡ § _  & ñ • ¸\  ¦ ˜ Ð# Œï  r



. Table 3_  ¢ , aA á ¤ = å Q \   H Table 2 \ " f כ ¹€  •ô  Ç î# Q 9¹ ¡ § _  7

á

x À Óï\  ¦  r  ³ ðr  “ ¦ s # Q" f # Q 9¹ ¡ § _  7 á x À Óü < › ' aº  ô  Ç

#

Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “   ï× ¼, " é ¶ “   Õ ªo “ ¦ Õ ª ½ ¨^ ‰& h “   ? /6   x s  [ þ t

#

Qe ”  . \ V\  ¦ [ þ t€  , Table 3_  ' Í   P : ×  ¦ \ " f î> h¥ Æ & h “   Ã

º6   x _  # Q 9¹ ¡ §ï _  " é ¶ “  Ü ¼– Ð @ /† < Æ" é ¶Ò q t L“ É r ð Õ ªX O t  † < ÆÂ Ò M

:  H d ” • ¸ e ” >  C Ä º| 9  · ú §“ ¦ Õ ªz ª œ Õ ª   >  e ”  “ ¦  Å # Qy Œ ¤



 H X <...  Å # Qy Œ ¤  H t • ¸  z  ´“ É r l % 3 s  î ß –
 s M :  H Ò q t™ è Ù þ

¡ Ž  H   H X < s    s  : r& h “   Ñ þ ˜Õ ª î  r × ¼  H …  ;…  ;y  ˜ Ðt 

· ú

§“ ¦  Å # Qm  ñ  “ ¦ # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  `  ¦ ˜ Г ¦Ù þ ¡ . s  ? / 6

 

x`  ¦ כ ¹€  • €   # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  `  ¦ îÒ q t™ èô  Ç > h¥ Æ , 7 £ ¤ ‚  t  d ”

_   Ò7 á ¤ ×  æ \ " f > h¥ Æ & h  t d ” _   Ò7 á ¤ï s  “ ¦ ì  r$ 3 ½ + É Ã º e ”

 . Õ ªo “ ¦ s  # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  “ É r ? /6   x õ  › ' aº  ô  Ç “  t & h 

“

  % ò % i _  # Q 9¹ ¡ § s Ù ¼– Ð, “  t & h (cognitive)`  ¦ îCoï – Ð ? / 6

 

x t d ” (Content Knowledge)_  îKï\  ¦  " f Co-K– Ð # Q 9

¹

¡

§ _  " é ¶ “   ï× ¼\  ¦
 ? /% 3  (Table 1 ‚ à Л ¸). ¢ ¸ô  Ç Table 3 _  š ¸ É rA á ¤ = å Q \   H # Q 9¹ ¡ § _  & ñ • ¸\  ¦  l ¨ î ' ‘ • ¸ (1Â Ò '

 5 t  ×  æ \ " f ‚  × þ ˜)– Ð
 ? /% 3   H X <, î> h¥ Æ & h “   à º6   x _

 # Q 9¹ ¡ §ï _   â Ä º  H 3( ˜ Ð: Ÿ x) Ü ¼– Ð ³ ðr ÷ &% 3  .