수학 영역

(1)

1 12

2014학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 ^(A형)

제 2 교시

1

1.

^1. × ^^



의 값은? [2점]

①  ② ^ ③ 

④ ^ ⑤ 

2.

^2.두 행렬 

 

^{ }  , 

 

^{ }  에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은? [2점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

3.

^3.첫째항이 이고, 공차가 인 등차수열



^



^{에 대하여 }의 값은?

[2점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

4.

^4.다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 의 개수는? [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

(2)

2

^{수학 영역(A형)}

2 12

5.

^5.행렬 ^



 ^{  }



에 대하여 ^ 일 때, 실수 의 값은?

[3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

6.

^6.정의역이     ≤  ≤ 인 함수    ×^

^^{에 대하여}

의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때, 

 의 값은? [3점]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 



7.

^7.로그부등식 log_  ≤   log_  를 만족시키는 정수 의 개수는? [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

(3)

3

수학 영역(A형)

3 12

8.

^8.두 실수 , 에 대하여 두 행렬 ^



 ^{  }



, ^

 

^{ }  가

^{ }^  를 만족시킬 때,   의 값은? (단, ^{는 단위행렬} 이다.) [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

9.

^9.

  



  ^

  



^   일 때, 자연수 의 값은? [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

10.

^10.수열



^



의 첫째항부터 제 항까지의 합 _이 _ ^  일 때, _

_

의 값은? [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

(4)

4

4 12

11.

^11.지수부등식 ^× ^{  }≤  × ^{  }을 만족시키는 자연수 의 개수는? [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

12.

^12.^log^^×^

^log^^^{의 값은? [3점]}

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

(5)

5

수학 영역(A형)

5 12 [13 ~ 14] 그림은 함수   log_,   log



의 그래프이다.

13번과 14번의 두 물음에 답하시오.



  log_



O 

  log





13.

^13.함수   log_의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향 으로  만큼 평행이동시킨 그래프가 함수   log



 의 그래프와 점   에서 만날 때,   의 값은? [3점]

① 

 ②  ③ 



④  ⑤ 



14.

^14.보다 큰 자연수 에 대하여 직선   이 두 함수   log_,

  log



의 그래프와 만나는 점의 좌표를 각각 _, _이라 하자.

_≤  ≤ _을 만족시키는 정수 의 개수를 _이라 할 때,

  



_의 값은? [4점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

(6)

6

6 12

15.

^15.네 실수 , , , 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) ^^  (나) ^ ^

  

이때, 

  

 의 값은? (단,   ,   ) [4점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

16.

^16.초원지역에서의 풍속은 지표면으로부터의 높이에 따라 변한다.

어느 초원지역에서 지표면의 거친 정도를 나타내는 값을 (m), 지형지물의 평균 높이를 (m), 지표면으로부터의 높이를 (m)라 할 때, 풍속 (m초)는 다음 식을 만족시킨다고 한다.

   log^

  

 (단,     이고 는 상수이다.) 지표면의 거친 정도를 나타내는 값이  m이고 지형지물의

평균 높이가  m인 어느 초원지역에서 지표면으로부터의 높이가

 m일 때의 풍속을 _, 지표면으로부터의 높이가  m일 때의 풍속을 __{라 할 때, }

_

_

의 값은? [4점]

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



(7)

7

수학 영역(A형)

7 12

17.



^



행렬 의 모든 성분의 합은? [4점]

①   ②   ③ 

④  ⑤ 

18.

^18.그림과 같이 두 곡선   ^,   

× ^이 직선   과 만나 는 두 점을 각각 A, B라 하고, 직선   와 만나는 두 점을 각각 C , D라 하자. 점 B에서 직선   에 내린 수선의 발을 E라 할 때, 사각형 ACDB의 넓이를 _, 삼각형 BDE의 넓이를 _라 하자.

_

_

의 값은? [4점]

A









O

B

C D E

  ^   

× ^

_

_

① log_ ② 

log_ ③ log_

④ 

log_ ⑤ log_

(8)

8

8 12

19.

^19.수열



^



^{은 } 이고,

^_{ }  ^{ }_   ^  ≥ 

을 만족시킨다. 다음은 일반항 _을 구하는 과정이다.

주어진 식에 의하여

^_{ } ^{ }_   

이다. _ ^_이라 하면

_ _ 가 ( ≥ ) 이고, _ 이므로

_ 나 ( ≥ ) 이다. 그러므로

_ 

^

 ×



^나



^{( ≥ )}

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때,   의 값은? [4점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

20.

^20.두 이차정사각행렬 , 가

  ,  

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, 는 단위행렬이다.) [4점]

보 기 ㄱ.  

ㄴ. 의 역행렬이 존재한다.

ㄷ. ^ ^

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(9)

9

수학 영역(A형)

9 12

21.

^21.그림과 같이 두 곡선   ^과   ^(  )에 대하여 축 위 의 점 C 를 지나고 축과 평행한 직선이 두 곡선과 만나는 점을 각 각 A, B라 하자.

자연수 에 대하여 CB  BA    을 만족시키는 의 값을

 이라 할 때,  ×  ×  × ⋯ ×    ^이다.

의 값은? (단, 점 C 의 좌표는 보다 크다.) [4점]

  ^   ^





A C

O  B

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

단답형

22.

^22.등차수열



^



^{에서 } , _ 일 때, _ _ _ _ _

의 값을 구하시오. [3점]

23.

^23., 에 대한 연립일차방정식



    ^ ^{ }



^



^{ }



^



가   ,    이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 의 값의 합을 구하시오. [3점]

(10)

10

10 12

24.

^24.지수방정식 ^{  }    × ^의 모든 실근의 합을 구하시오.

[3점]

25.

^25.모든 항이 양수인 등비수열



^



^{이 }_ , _ _ 을 만족시킬 때, 

  



_{ }의 값을 구하시오. [3점]

26.

^26.다음 순서도에서 인쇄되는 의 값을 구하시오. [4점]

끝

 ←    시작

 ←   

   

를 인쇄

 ← 

 ← 

예

아니오

(11)

11

수학 영역(A형)

11 12

27.

^27. ≤  ≤ 인 에 대하여 양수 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) log log_

(나) log의 가수와 log 

 의 가수가 같다.

의 모든 값의 곱이 ^^



일 때,   의 값을 구하시오.

(단, , 은 서로소인 자연수이다.) [4점]

28.

^28.그림과 같이 보다 큰 자연수 에 대하여 두 곡선   log_,

  log_

 가 직선   과 만나는 두 점을 각각 A, P_이라 하고,

축과 만나는 두 점을 각각 B, Q_이라 하자. 사각형 ABQ_P_의 넓이를 _이라 할 때, 

  



_의 값을 구하시오. [4점]





O



  log_

  log_



A P_

B Q_

_

(12)

12

12 12

29.

^29.그림과 같이 자연수 에 대하여 행에는 개, 행에는 개, ⋯,

행에는   개의 크기가 같은 원을 나열하고 그 안에 다음 규칙에 따라 숫자를 써 넣는다.

(가) 행의 원 안에는 을 써 넣는다.

(나)  ≥ 일 때, 행의 홀수 번째 놓인 원 안에는   을 써 넣는다. 행의 짝수 번째 놓인 원 안에는   행과

행에 놓인 원 중에서, 행의 짝수 번째 놓인 원과 접하는 세 원 안에 쓰인 수의 합을 써 넣는다.

 행 







 



  

     

 행

 행

 행

행부터 행까지 나열된 원 안에 써 넣은 모든 수의 합을  라 할 때, 

 의 값을 구하시오. [4점]

30.

^30.그림과 같이 좌표평면 위의 한 점 A^{ }

과 곡선   log_ 위의 한 점 P



^{ log}



에 대하여 선분 AP 를 한 변으로 하는 정사각형 AQBP 가 있다. 점 Q의 좌표가   일 때, ^{ }의 값을 구하시오. (단,   ) [4점]

O



A P

Q B

  log_

 

※ 확인사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

(13)

13

수학 영역(A형)

13

2014학년도 11월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

• 2교시 수학 영역 • [A 형]

1 ③ 2 ③ 3 ④ 4 ② 5 ①

6 ④ 7 ④ 8 ① 9 ⑤ 10 ④

11 ② 12 ⑤ 13 ④ 14 ② 15 ②

16 ⑤ 17 ① 18 ③ 19 ③ 20 ⑤

21 ① 22 35 23 4 24 2 25 630

26 727 27 23 28 135 29 247 30 40

1. [정답] ③ [풀이]

[출제의도] 지수법칙을 활용하여 계산하기

 ×^^



  ×  

2. [정답] ③ [풀이]

[출제의도] 행렬의 뺄셈 계산하기



 

^{ }  

 

^{ }  

 

^{ } 

따라서 행렬 의 모든 성분의 합은 

3. [정답] ④ [풀이]

[출제의도] 등차수열의 일반항 이해하기

첫째항이 _^{이고, 공차가}인 등차수열의 일반항

_ _ 에서 _ ,   이다.

따라서 _     ×  

4. [정답] ② [풀이]

[출제의도] 그래프와 행렬의 관계 이해하기

그림과 같이 주어진 그래프의 꼭짓점을 A, B, C, D라 하고 그래프를 행렬로 나타내면 다음과 같다.

A

B

C

D

A B C D A

B C D





















 따라서 행렬의 성분 중 의 개수는 

[다른 풀이]

그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 의 개수는 그래프의 변의 개수의

배이므로  ×  

5. [정답] ① [풀이]

[출제의도] 행렬의 거듭제곱 이해하기

^



 ^{  }

 

 ^{  }





 

^{ }   

(단, 는 단위행렬이다.)

^^ 

따라서   

6. [정답] ④ [풀이]

[출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기 함수    ×



^





^^은

값이 증가함에 따라 함숫값이 감소하므로

   일 때, 최댓값  

  일 때, 최솟값   



따라서 

 



7. [정답] ④ [풀이]

[출제의도] 로그부등식 이해하기

로그의 진수 조건에 의해     ,     

∴    ⋯⋯^㉠

log_ ^≤ log_  log_  

log_ ^≤ log_4  

  ^≤   

^    ≤ 

     ≤ 

∴   ≤  ≤  ⋯⋯㉡

㉠, ㉡에서    ≤ 

   ≤ 을 만족시키는 정수 는 , , ⋯, 

따라서 정수 의 개수는 

8. [정답] ① [풀이]

[출제의도] 역행렬의 성질 이해하기

^{ }_{ }

  



 

^{ }  

 

     

∴   ,   

따라서         

9. [정답] ⑤ [풀이]

(14)

14

[출제의도]



의 뜻과 성질 이해하기

  



  

 ^_{  }



^ ^^^{ }

_{  }



^ ^{ }^^^{}^^_{  }



^ ^^^{ }

_{  }



^ ^^{ }^^{ }^^{ }^^{  }^

_{  }



^ ^{  }^

  × 

 

  ^ 

^    

    

따라서   ⁽∵ ^{은 자연수)}

10. [정답] ④ [풀이]

[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기

 ≥ 일 때,

___{  }

^ ^{  }   ×^{  }

__      이므로

_  ×^{  } ( ≥ ⁾

∴ _

_

  ×^

 ×^

 ^ 

11. [정답] ② [풀이]

[출제의도] 지수부등식 이해하기

^×^{  }≤  ×^{  }

^×^{  }≤  ×^{  }

^×^ ≤  ×^{  }

^≤ ^{  }

 ≤   

∴  ≤ 

 ≤ 를 만족시키는 자연수 는 , , ,  따라서 자연수 의 개수는 

12. [정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 로그의 성질 이해하기

^log^^ 라 하면 log_  log_^log^^  log_ ×log_  log_^log^^

그러므로   ^log^^ ^log^^

∴ ^log^^×



^





^log^^^{ }^log^^^{× }_^^log^log^^^^

 ^log^^ ^log^^ 



^log^^



^ ^ 

13. [정답] ④ [풀이]

[출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기

함수   log_의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로

 만큼 평행이동시킨 그래프가 함수   log



의 그래프와 만나므로 log_      log_

log_   log_   log_^   log_

^    

∴    또는    

로그의 진수 조건에 의해   

∴   ^,    따라서     

14. [정답] ② [풀이]

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 추론하기 log



 ≤  ≤ log_을 만족시키는 정수 의 개수 _은

ⅰ) ^≤   ^ 일 때,    , , 이므로 _ _ 

ⅱ) ^≤   ^ 일 때,    ,  , , , 이므로 _ _ _ _ 

ⅲ) ^≤   ^^{일 때,}   ^, , ⋯^,^이므로 _ _ ⋯  _ 

ⅳ)   ^^{일 때,}   ^, , ⋯^,^이므로 _ 

∴ _{  }



^ ^^  ×  ×  ×   

15. [정답] ② [풀이]

[출제의도] 지수법칙 이해하기

(나)의 ^  에서   ^^



이므로 ^ ^^



^

  에서   ^{ }^



이므로 ^ ^{ }^



^^

  



 ^^



×^{ }^



 ^×^   ×^^

  × (∵ (가)에서 ^^ )  ^

따라서 

  

  

(15)

15

수학 영역(A형)

15

16. [정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기

_ log



^

  



^{ log }

 log^

_ log



^

  



^{ log }

 log^

따라서 _

_

 log^

log^

 log

log

 



17. [정답] ① [풀이]

[출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 문제해결하기

따라서 행렬 의 모든 성분의 합은  

18. [정답] ③ [풀이]

[출제의도] 지수함수를 활용하여 문제해결하기

  

×^ ^log^^^



×^ ^{  log}^^이므로

  

×^^{의 그래프는}  ^^{의 그래프를}

^{축의 방향으로}log_만큼 평행이동한 것이다.

그러므로 사각형 ACDB는 평행사변형이고

AB log_이다.

_  ×log_  log_ B 이라 하면   

×^이므로 B^log 

그러므로 E^log 

D  ^{라 하면}  

×^^이므로D^log 

__{ }



× DE×  

×^log  log_^{×  }

∴ _

_

 

log_

 log_

19. [정답] ③ [풀이]

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여 추론하기 주어진 식의 양변을 ^으로 나누면

^_{  } ^{  }_   ⋯⋯㉠ 이다. ㉠의 양변에 를 곱하면

^{  }_{  }  ^_  

이고 _ ^_이라 하면

_{  } _   ( ≥ ⁾ 이고, _  ×_ 이므로

_ __{  }^{  }



^{  }

    × 

 

  

 ^  ( ≥ ) 이다. 그러므로

_ ^

 ×



^^^{ }



⁽^{ ≥ }⁾

이다.

∴   ,  ^  따라서       

20. [정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 추론하기 ㄱ.  이므로   

   ^

    ^

∴  (참) ㄴ. ㄱ에서 

 

 ^

^ (단, 는 영행렬이다.) ^  

   

 

 이므로 의 역행렬이 존재한다. (참) ㄷ.  에서 

^ ^ ^^ ^ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. [정답] ① [풀이]

[출제의도] 지수함수를 활용하여 문제해결하기 점 C의 좌표를  로 놓으면 점 A의 좌표는

^log ^{이고, 점}^B^{의 좌표는}^log ^이다.

(16)

16

CB  BA    이므로

BA  × CB

log_  log_  ×log_

log_  log_

   log_ log_

 log

log× log

log log_

그러므로     ^{  }

∴ ××× ⋯ ×

       ⋯   ^^

 ×   

 ^

따라서   

22. [정답] 35 [풀이]

[출제의도] 등차수열의 합 이해하기

등차수열



^



^{의 첫째항을}^, 공차를 ^{라 하면}

_ _    ⋯⋯ ㉠

_ _    ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 _ ,   

∴ _ _ _ _ _  

 × ×    ×

∴   ^또는  

따라서 모든 실수 의 값의 합은 

24. [정답] 2 [풀이]

[출제의도] 지수방정식 이해하기

^   (  )라 하면 주어진 방정식은

^     

      

  

또는   

^  

 또는 ^ 

    또는    따라서 모든 실근의 합은 

25. [정답] 630 [풀이]

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

__



^



^^{ }^이므로

_  ⋯⋯㉠

_ _  _ _^ _  ^  ⋯⋯㉡

㉠, ㉡에서   ^  그러므로 ^ 

∴ _{  }



^ ^^{  }^{ }^^{ }^^{ }^^{ }^^{ }^^{ }^

 

^ 

_



^^ 



   

 ×^ 

 

26. [정답] 727 [풀이]

[출제의도] 알고리즘과 순서도를 활용하여 추론하기

 

 

  ×    

  ×    

  ×    

  ×    

따라서 인쇄되는 의 값은 

27. [정답] 23 [풀이]

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수 성질 이해하기

 ≤  ≤ ^이므로 ≤ log_ ≤  (가)에서  ≤ log≤ 

(나)에서 log_{ log }



   log은 정수이고

 ≤  log≤ 

log  , , ⋯,  log , 

, ⋯^, 



∴  , ^^



, ⋯, ^^



의 모든 값의 곱은

 ×^^



×^^



× ⋯ ×^^



 ^^

 

 ⋯  



 ^^



따라서    

28. [정답] 135 [풀이]

[출제의도]



의 성질을 활용하여 문제해결하기 A , B 이라 하면

  log_,   log_이므로

(17)

17

수학 영역(A형)

17

A , B 

P__ , Q__ 이라 하면

  log_

_

,   log_

_ 이므로 P_ , Q_ 

그러므로 AP_  , BQ_  

__{ }



×



^^AP BQ_



^×

 

×   ×  

 

∴ _{  }



^ ^^^{ }_{  }



^ ^{ }

 _{  }



^ ^{   × }^{ ×}_ ^{ }

29. [정답] 247 [풀이]

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 문제해결하기

 ≥ 일 때,

행의 홀수 번째 놓인 원 안에는  이 개,

행의 짝수 번째 놓인 원 안에는

 ×   이  개 쓰여 있다.

행의 모든 수의 합을 _이라 하면

_     

 ^   ( ≥ )

_ 이므로

_ ^   ( ≥ )

∴ _{  }



^ ^^^^{  }^

 _{  }



^ ^^^{ }_{  }



^ ^_{  }



^ ^

  × 

 × ×

  × 

 ×

  ×

 

따라서 

  

30. [정답] 40 [풀이]

[출제의도] 로그함수를 활용하여 문제해결하기 점 A에서 내린 수선의 발을 점 C, 점 B에서 내린 수선의 발을 점 D^{라 하자.}

O



A P

Q B

  log_

 C D 

AQ  QB^,∠CAQ  ∠DQB^,∠CQA  ∠DBQ 이므로 삼각형 ACQ^{와 삼각형}QDB^{는 합동이다.}

AC  QD 

, CQ  DB  ^이므로 B



  

   



선분 AB의 중점과 선분 PQ의 중점이 일치하므로

   

   , ∴   





    log_, ∴   log_

 



∴     

 log_

 



 log_

따라서 ^{  } 

수학 영역

수학 영역 (A형)

1

1.

2.

 

 

3.





4.

2

5.





6.

7.

3

8.





 

9.

10.





4

11.

12.

5

13.

14.

6

15.

16.

7

17.





















18.

8

19.









20.

9

21.

단답형

22.





23.











10

24.

25.





26.

11

27.

28.

12

29.

30.



수학 영역 ^(A형)