(1)1 지수와 로그 2 지수함수와 로그함수

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(1)1 지수와 로그 2 지수함수와 로그함수. 지수는 고대 그리스의 아르키메데스를 비롯한 여러 수학자들이 그 표기법을 고안하여 수 정해 왔고, 로그는 세기 영국의 수학자 네이피어가 큰 수를 쉽게 계산할 수 있는 도구로 고 안하여 현재에 이르렀다. 이후 지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계가 있음이 밝혀졌다. 지수함수는 빠르게 증가하는 인구 증가 현상 등을, 로그함수는 자극에 따라 인간이 감각을 느끼는 정도 등을 나타내는 데 활용된다.. ●. 출처 Eves, H., 『수학사』. 아르키메데스 (Archimedes, B.C. 287?~B.C. 212?). ●. 네이피어 (Napier, J., 1550~1617).

(2) 학습 목표. •지수와 로그의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다. •상용로그를 이해하고, 이를 활용할 수 있다. •지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다... 이 단원을 시작하며 나의 학습 계획을 세우고, 학습해 가면서 나만의 포트폴리오를 만들어 보세요.. 학습 계획. 예습과 복습을 꼭 하겠다.. 포트폴리오. 학습 내용 정리 공책. 모둠 발표 자료집. 수학 관련 기사 모음집.

(3) 지수와 로그. NEWS 층간 소음 기준, 어느 정도?. 50 dB 아이들 뛰는 소리. 40 dB 어른의 발뒤꿈치 소리. 60 dB 의자 끄는 소리. 이웃이 함께 사는 아파트에서는 층간 소음을 줄이기 위해 입주민들의 주의와 배려가 필요하다. 층간 소음은 소음의 단위인 E#(데시벨)로 측정하는데, 우리나라의 층간 소음 기준은 주간 E#, 야간 E# 이다. 어른의 발뒤꿈치 소리가 E#, 의자 끄는 소리가 E# 정도이다. 소리를 내는 힘과 데시벨은 지수 와 로그로 나타낼 수 있다.. 출처 •우에노 겐지, 와다 스미오, 『과학을 발전시킨 수학의 세계 지수・로그・벡터』 •『동아일보』, 2016. 7. 4.. 준비 학습 ●지수법칙 자신 있음 복습 필요. ●제곱근. 1 다음 식을 간단히 하시오. ⑴ A@A. ⑵ BA A@ BA A. ⑶ BACA A. ⑷ BABA. 2 다음 수의 제곱근을 구하시오.. 자신 있음 복습 필요. 10 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. ⑴. ⑵ . ⑶. ⑷ A.

(4) 거듭제곱과 거듭제곱근 학습 목표 •거듭제곱과 거듭제곱근의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.. 개념. 1. ×॔ᲃŘţ×॔ᲃŘɣᯛ௧ྛᨮᯣʳ". 생각 열기. 별들이 수천억 개씩 모여 있는 거대한 집단을 은하라고 한다. 태양계가 속해 있는 우리 은하에는 태양을 포함하여 수천억 개의 별들이 있다. 우리 은하와 개의 외부 은하에 각각 약 개의 별이 있다고 할 때, 개의 은하에 있는 별의 개수를 의 거듭제곱을 이용하여 나타내 보자... 출처 두산백과사전 두피디아, 2016. 배웠어요!. 중1. 은 ‘의 제곱’ 은 ‘의 세제곱’ 은 ‘의 네제곱’ ⋮ O은 ‘의 O제곱’이라고 읽는다.. B가 실수이고, O이 양의 정수일 때 B를 O번 곱한 것을 B의 지수. O제곱이라 하고, 이것을 기호로 BO으로 나타낸다.. B. O. 이때 B, BA, BA, BA, U 을 통틀어 B의 거듭제곱이라 하고 B 에. O. 밑. 서 B를 거듭제곱의 밑, O을 거듭제곱의 지수라고 함을 중학교에 서 배웠다.. 중학교에서 배운 지수법칙을 정리하면 다음과 같다.. B, C가 임의의 실수이고, N, O이 양의 정수일 때 N O N

(5) O 1. B B B. N O NO 2. B B. O O O 3. BC B C. BA 4. [A] CA 단, C

(6) . O. BNO NO. N O 5. B B 9A NO 단, B

(7) . T . NO. BON. 1. 지수와 로그 │ 11.

(8) 문제. 1. 다음 식을 간단히 하시오.A(단, B

(9) , C

(10) ). ⑴ BACA@BCA. ⑵ BACABACA. ⑶ BCA A@[A]A. ⑷ BACA A BAC A. 제곱하여 실수 B가 되는 수, 즉 YAB를 만족시키는 수 Y를 B의 제곱근이라고 하고, 세제곱하여 실수 B가 되는 수, 즉 YAB를 만족시키는 수 Y를 B의 세제곱근이라고 한다. 일반적으로 O이 이상의 정수일 때, O제곱하여 실수 B가 Y의 O제곱. 되는 수, 즉. O. Y B. YOB 를 만족시키는 수 Y를 B의 O제곱근이라고 한다.. B의 O제곱근. 또, B의 제곱근, B의 세제곱근, B의 네제곱근, U 을 통틀어 B의 거듭제곱근이라고 한다.. 실수 B의 O제곱근은 복소수의 범위에서 O개가 존재함이 알려져 있다. 하지만 여기 에서는 실수 B의 거듭제곱근을 실수의 범위에서만 생각하기로 한다.. 예제. 1. 다음 거듭제곱근 중 실수인 것을 구하시오.. ⑴ 의 세제곱근 B의 O제곱근을 Y라고 하 면 YOB임을 이용하여 Y 의 값을 구한 후 Y가 실수 인 것을 고른다.. 풀이. ⑵ 의 네제곱근. ⑴ 의 세제곱근을 Y라고 하면 YA이므로 YA

(11) , Y

(12) YAY

(13) Y 또는 YJ 따라서 의 세제곱근 중 실수인 것은 이다. ⑵ 의 네제곱근을 Y라고 하면 YA이므로 YA, Y

(14) Y YA

(15) Y 또는 Y J 따라서 의 네제곱근 중 실수인 것은 이다. ⑴ ⑵ . 문제. 2. 다음 거듭제곱근 중 실수인 것을 구하시오.. ⑴ 의 세제곱근. 12 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. ⑵ 의 네제곱근.

(16) 실수 B의 O제곱근 중 실수인 것은 방정식 YOB의 실근이므로 함수 ZYO의 그래 프와 직선 ZB의 교점의 Y좌표와 같다.. 함수 ZYO의 그래프를 이용하여 O이 홀수인지, 짝수인지에 따라 실수 B의 O제곱근 중 실수인 것을 구해 보자.. ❶ O이 홀수일 때 함수 GA가 정의역의 모든 실수 Y에서 G Y G Y. 이면 그 함수의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.. Y가 임의의 실수일 때, Y OYO이므로 함수. Z. ZYO의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 원점에 대하여 대. ZB. 칭이다. 이때 이 그래프와 직선 ZB의 교점은 실수 B의 0 AB. 값에 관계없이 항상 개이다. Z. ZY. ZY. 따라서 B의 O제곱근 중 실수인 것은 오직 하나뿐이고,. ZY. 이것을 기호로. Y. ZY. AhB. Y. 0. 와 같이 나타낸다.. ❷ O이 짝수일 때 함수 GA가 정의역의 모든 실수 Y에서 G Y G Y. 이면 그 함수의 그래프는 Z축에 대하여 대칭이다.. Y가 임의의 실수일 때, YOy이고 Y OYO이므. ZB B. 에 대하여 대칭이다. 이때 이 그래프와 직선 ZB의 AB. 0. ZY ZY ZY Y. Y. AB. ZB B. 진다.. Z. ZY. 로 함수 ZYO의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 Z축. 교점의 개수는 실수 B의 값에 따라 다음과 같이 달라. 0. Z. B이면 교점은 개이고, 그 두 교점의 Y좌표는 각각 양수와 음수이다. 따라서 B의 O제곱근 중 실수인 것은 양수인 것과 음수인 것이 개씩 있으며, 이것을 각각 기호로. AB는 ‘O제곱근 B’라고 읽 는다. 또, AB는 간단히 B 로 나타낸다.. AB, AB 와 같이 나타낸다. B이면 교점은 개이고, 그 교점의 Y좌표는 이다. 따라서 B의 O제곱근 중 실수인 것은 하나뿐이다. 즉, A이다. B이면 교점이 없으므로 B의 O제곱근 중 실수인 것은 없다. 1. 지수와 로그 │ 13.

(17) 앞의 내용을 정리하면 다음과 같다. 실수 B의 O제곱근 중 실수인 것 O이 이상의 정수일 때. 보기. B. B. B. O이 홀수. AB. . AB. O이 짝수. AB, AB. . 없다.. ⑴ 의 세제곱근 중 실수인 것은 이므로 A이다. 의 세제곱근 중 실수인 것은 이므로 A이다. ⑵ 의 네제곱근 중 실수인 것은 , 이므로 A, A이다. 의 네제곱근 중 실수인 것은 없다.. 문제. 개념. 3. 2. 다음을 간단히 하시오.. ⑴ AA. ⑵ A. ⑶ A. ⑷ A. ×॔ᲃŘɣᨷ‫ۻ‬ᨛ਋ᖘḯᯛᯯ᮫ʳ" B이고 O이 이상의 정수일 때, AAB는 O제곱하면 B가 되는 양수이므로 AB OB 이다. 지수법칙을 이용하여 거듭제곱근의 성질을 알아보자.. B, C이고 O이 이상의 정수일 때, ABAAC O AB O AC OBC 이다. B, C일 때 @BCBC A BAACABC ABAACABC ⋮. 이때 B, C이므로 AB, AC이고 ABAAC이다. 따라서 ABAAC는 BC의 양의 O제곱근이므로 ABAACABC 이다.. 14 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수.

(18) 또한, B이고 N, O이 이상의 정수일 때, \ AB N^O AB NO\ AB O^NBN 이다. 이때 B이므로 AAB이고 AB N이다. AB N은 B의 O제곱근의 N제곱이고, AÃ B NA은 B의 N제곱의 O제곱근이다.. 따라서 AB N은 BN의 양의 O제곱근이므로 AB NAÃBN>A 이다.. 문제. 4. Ax ÃA B>AxAAABAÃxAAB>A. B, C이고 N, O이 이상의 정수일 때, 다음이 성립함을 보이시오.. ⑴. AB |AA A C. ⑵ xA ÃA B>AxAAAB. Q 거듭제곱근의 성질 O. BOCOBC는 B, C이면 성 립하지 않나요?. A 예를 들어 B, C이면 @ J@J 이지만 Ã @ > 이니까 @

(19) Ã @ > 즉, 거듭제곱근의 성질 이 성립하지 않아요.. 예제. 2. 거듭제곱근에서는 다음 성질이 성립한다. 거듭제곱근의 성질 B, C이고, N, O이 이상의 정수일 때 AB. . 1. ABAACABC. 2. AC |A. N N 3. AB AÃB >A. 4. Ax ÃA B>AxAA A B. 다음 식을 간단히 하시오.. A A. ⑴ A@A. ⑵. ⑶ A A. ⑷ A`ÃÂAA. 풀이. ⑴ A @AA@AÃA>A A A ⑵. A meAAAÃA>A A A A. ⑶ A AAÃA>AAÃA>A A A ⑷ AA`aÃÂA AAÃA>A A A ⑴ ⑵ ⑶ ⑷. 1. 지수와 로그 │ 15.

(20) 문제. 5. 예제. 3. 다음 식을 간단히 하시오.. A A . ⑴ A@A. ⑵. ⑶ A A. ⑷ AÃAA. 다음 식을 간단히 하시오.. ⑴ AA

(21) A 풀이. ⑵ A@AÃA. ⑴ AA

(22) AAAÃ@A

(23) A. . AAÃÂAA@A

(24) A. . AA

(25) AAA ⑵ A@AÃAAÃÂAA@AA`ÃÂAA. . AAAA ⑴ AA ⑵ AA. 문제. 6. 다음 식을 간단히 하시오.. ⑴ A A@A. 생각과 표현. ⑵ A@A

(26) A`ÃA. 문제 해결. 추론. 창의・융합. 지아는 거듭제곱근의 성질을 이용하여 Ã A>A을 오른쪽과 같이 간단히 하였다. 잘못된 부분을 찾아 바르게 고쳐 보자.. 16 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. . . 의사소통.

(27) 지수의 확장과 지수법칙 학습 목표 •지수가 유리수, 실수까지 확장될 수 있음을 이해한다. •지수법칙을 이해하고, 이를 이용하여 식을 간단히 나타낼 수 있다.. 개념. 1. ḧᙿ෣ᱼᙿʳḧ⪼ᰌ⦿ᩓࠫḧᙿჼ⋀ᯛᖘฤ⧇ʳ" ჼ⋀ᯛᖘฤ⧇ʳ". 생각 열기. 나노 과학 기술은 초소형 로봇이 인체 안에서 수술을 하거나 원자나 분자를 조립해서 새로운 기능을 가진 물질을 만드는 데 활용된다. ‘나노 크기의 로봇’이라는 뜻의 나노봇 (OBOPCPU)은 그 크기가 머리카락 두께의 t수준에 불과하다고 한다. 여기서 나노는 매우 작은 것을 나타내기 위해 기준 단위 앞에 붙여 사용하는 접두어이다. N를 ON로 나타내면 을지 지 NA ON이다. 이때 ON를 N로 어떻게 표현하면 좋을지 생각해 보자. (단, 길이를 나타내는 단위인 ON는 ‘나노미터’라고 읽는다.) 다.) 출처 내셔널지오그래픽, 『세상을 바꾸는 생각의 책』. 지금까지는 지수가 양의 정수일 때만 다루었는데, 이제 지수가 또는 음의 정수일 때로 지수의 범위를 확장해 보자. 먼저 B

(28) 이고 N, O이 양의 정수일 때, 지수법칙 BNBOBN

(29) O. UU ㉠. 이 성립한다. N일 때에도 ㉠이 성립한다고 하면 BBOB

(30) OBO이므로 B 이다. 또, NO (O은 양의 정수)일 때에도 ㉠이 성립한다고 하면 BOBOBO

(31) OB이므로 BO. BA. 이다. 1. 지수와 로그 │ 17.

(32) 따라서 지수가 또는 음의 정수일 때, 다음과 같이 정의한다. 또는 음의 정수인 지수 B

(33) 이고, O이 양의 정수일 때 O. O이 양의 정수일 때 이지만 과 O은 정의하지 않는다.. B, BO. 보기. 문제. 1. BA. ⑴ A, A. , A Å A A. ⑵ A. 다음 값을 구하시오.. ⑴ A. ⑵ A. ⑶ A. ⑷ [Å]. . 지수가 또는 음의 정수일 때에도 지수법칙이 성립하는지 알아보자.. B

(34) 이고 N, O이 음의 정수일 때, NQ, OR Q, R는 양의 정수 로 놓으면 BNBOBQBR. @ B|A BA BQ

(35) R. B Q

(36) R B Q

(37) R BN

(38) O QR B QR B @BQR BQR. BN O BQ R[. R ] R B|A [ ] QAA B BQR. BQRB Q R BNO 이다. 즉,. BB@ B

(39) B. BNBOBN

(40) O, BN OBNO 이 성립한다.. B B@B. 이 지수법칙은 지수가 일 때에도 성립한다.. 문제. 2. 18 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. B

(41) , C

(42) 이고 N, O이 음의 정수일 때, 다음이 성립함을 보이시오.. ⑴ BNBOBNO. ⑵ BC OBOCO.

(43) 지수가 정수일 때, 다음 지수법칙이 성립한다. 지수가 정수일 때의 지수법칙 B

(44) , C

(45) 이고, N, O이 정수일 때 N O N

(46) O 1. B B B N O NO 3. B B. 보기. N O NO 2. B B B O O O 4. BC B C. ⑴ A@

(47) Å ⑵ ⑶ @ . A. ⑷ @ @Å@ÅÅ. 문제. 3. 이야기 속 수학. 다음 식을 간단히 하시오.A(단, B

(48) , C

(49) ). ⑴ A@A. ⑵ A A. ⑶ BA CA A. ⑷ BABA A. 기준 단위에 붙이는 접두어. 길이, 질량, 데이터 양 등을 수치로 나타낼 때에는 단위를 사용한다. 지수를 이용하여 큰 수나 작은 수를 간단히 표현하 는 것과 같이 어떤 기준이 되는 단위에 접두어를 붙이면 더 큰 단위나 더 작은 단위로 간단히 표현할 수 있다. 예를 들어 기준이 되는 단위를 정하고 그것의 배이면 데 시(EFDJ), 배이면 센티(DFOUJ), 배이면 밀리(NJMMJ), 배이면 데카(EFDB), A 배이면 킬로(LJMP) 등을 기준 단위 앞에 접두어로 사용하면 된다. 이때 접두어를 축약하여 기호 로 나타낼 수 있는데 데시는 E, 센티는 D, 밀리는 N, 데카는 EB, 킬로는 L로 나타낸다. 우리가 흔히 아는 센티미터(DN), 밀리미터(NN), 킬로미터(LN)도 이 규칙에 따른 것이다. 출처 한국표준과학연구원, 2016. 수. 접두어. 기호. . 데시 EFDJ. E. . 센티 DFOUJ. D. . 밀리 NJMMJ. N. . 마이크로 NJDSP. μ. . 나노 OBOP. O. . 피코 QJDP. Q. . 데카 EFDB. EB B. . 헥토 IFDUP. I. . 킬로 LJMP. L. . 메가 NFHB. .. . . 기가 HJHB. (. . 테라 UFSB. 5. . . 1. 지수와 로그 │ 19.

(50) 개념. 2. ḧᙿ෣ᮇณᙿʳḧ⪼ᰌ⦿ᩓࠫḧᙿჼ⋀ᯛᖘฤ⧇ʳ" 지수가 유리수일 때로 지수의 범위를 확장해 보자. B이고 N, O이 정수일 때, 지수법칙 BN OBNO 이 성립한다. 지수가 유리수일 때에도 이 지수법칙이 성립한다고 하면 N, O Oy 이 정수일 때 M,. B OB. M,@O. BN. 이다. 지수가 유리수인 경우는 B인 조건이 필요하다. 예를 들어 B이면. M,. 그런데 B이므로 B 이다. M,. 즉, B 은 BN의 양의 O제곱근이므로. >. A. M,. B AÃBN>. 이지만 Ã >> A >ÃA> 이므로 >

(51) Ã > > A > 이다.. 이 성립한다. 따라서 지수가 유리수일 때, 다음과 같이 정의한다. 유리수인 지수 B이고, N, O Oy 이 정수일 때 M,. B AhBN MÅ . MÅ B일 때, B 은 O제곱하 여 B가 되는 수, 즉 B의 O 제곱근이다.. 특히, B AB. ⑴ ÅA. 보기. ⑵ !AÄAAAAÄAA. 문제. 4. 다음에서 근호를 사용하여 나타낸 것은 지수를 사용하여 나타내고, 지수를 사용하여 나타낸 것은 근호를 사용하여 나타내시오. (단, B). ⑴ AÄBAA ⑶B. 문제. 5. Ä. ⑷ B. 다음 값을 구하시오. Å. 20 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. ⑵ AÄBA. . ⑴. ⑵. ⑶ . ⑷ .

(52) 지수가 유리수일 때에도 지수법칙이 성립하는지 알아보자.. B이고 S, T가 유리수일 때, SM,, TP/ N, O, Q, R는 정수, Oy, Ry 로 놓으면 N. Q. NR. OQ. BSBTB O B R B OR B OR. ORÄBNRAORÄBOQAOAÄBNRBOQAOAÄBNR

(53) OQA B. NR

(54) OQ OR N. N. Q. B O

(55) R BS

(56) T Q. Q. BS T B O R AÃBN> R An AÃBN>A Q AnAÃ BNA Q>AOAÄBNQA NQ. N. Q. B OR B O @ R BST 이다. 즉, BSBTBS

(57) T, BS TBST 이 성립한다.. 문제. 6. B, C이고 S, T가 유리수일 때, 다음이 성립함을 보이시오.. ⑴ BSBTBST. ⑵ BC SBSCS. 지수가 유리수일 때에도 다음 지수법칙이 성립한다. 지수가 유리수일 때의 지수법칙 B, C이고, S, T가 유리수일 때 S T S

(58) T 1. B B B S T ST 3. B B. 보기. 문제. 7. S T ST 2. B B B S S S 4. BC B C. ⑴ Å@!Å

(59) !A. ⑵ A. ⑶ Å Å@A. ⑷ Å@Å Å @ Å A@A. 다음 식을 간단히 하시오. Å. ⑴. . @. Å . ⑶ . Å. ⑵ Å. . Å. ⑷ @ 1. 지수와 로그 │ 21.

(60) 예제. 1. B, C일 때, 다음 식을 간단히 하고 지수를 사용하여 나타내시오.. ⑵ AÄaBACAA@AÄaBCAAAAÄaBA ACAA. ⑴ nÃB. 풀이. ⑴ nÃB@\ BÅ Å^Å . [Å]A. B. Å. B. ⑵ A ÄaBACAA@AÄaBCAAAA ÄaBA ACAA BACA Å@ BCA Å BC Å Å. Å !. Å. B C @B C B C B. Å

(61) Å. Å

(62) !Å. C. Å. B AC Å. C. ⑴ BÅ ⑵ CÅ. 문제. 8. B, C일 때, 다음 식을 간단히 하고 지수를 사용하여 나타내시오.. ⑵ ÄaBACA@AÄaBACAAÄaBACAA. ⑴ ÃBBA. 문제 해결. 생각과 표현. 추론. 창의・융합. . 의사소통. 다음은 승연이와 민수가 \ A^ 을 간단히 한 것이다. 누구의 답이 옳은지 말하고, 그 까닭을 설명해 보자.. 간단히 했더니 이야. . 어? 난 이 나왔는데 ….. 누구의 답이 옳은 것일까?. . \ A^ A \ A^ A@ A A 승연. 22 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. 민수.

(63) 개념. 3. ḧᙿ෣ᝋᙿʳḧ⪼ᰌ⦿ᩓࠫḧᙿჼ⋀ᯛᖘฤ⧇ʳ" 지수가 실수일 때로 지수의 범위를 확장해 보자.. 지수가 무리수일 때, 예를 들어 은 어떻게 정의할 수 있는지 알아보자. . U 이므로 , ., ., ., ., ., U 과 같이 에 한없이 가까워지는 유리수를 지수로 갖는 수 , , , , , , U 은 어떤 일정한 수에 한없이 가까워진다는 것이 알려져 있다. 이때 이 일정한 수를 으로 정의한다. 이와 같은 방법으로 Y가 임의의 무리수일 때 Y을 정의할 수 있다. 같은 방법으로 B이고, Y가 임의의 실수일 때 BY을 정의할 수 있다.. 지수가 실수일 때에도 다음 지수법칙이 성립한다는 것이 알려져 있다. 지수가 실수일 때의 지수법칙 B, C이고, Y, Z가 실수일 때 Y Z Y

(64) Z 1. B B B Y Z YZ 3. B B. 보기. 문제. 9. Y Z YZ 2. B B B Y Y Y 4. BC B C. ⑴ @

(65) . ⑵ . ⑶ @A. ⑷ @ @. 다음 식을 간단히 하시오.. ⑴ @ . ⑶ . 생각과 표현. ⑵

(66) . . ⑷ @ . 문제 해결. 추론. 창의・융합. 의사소통. 지수를 자연수로부터 정수, 유리수, 실수까지 확장할 때, 지수법칙이 성립하려면 밑의 조건이 각각 어떻게 달 라지는지 말하여 보자.. 1. 지수와 로그 │ 23.

(67) 로그의 뜻과 성질 학습 목표 •로그의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.. 개념. 1. ೃɟ௧ྛᨮᯣʳ". 생각 열기. 다음 대화를 보고, Y을 만족시키는 Y의 값이 존재하는지 생각해 보자. Y를 만족시키는 Y의 값은 이야.. Y를 만족시키는 Y의 값은 야.. Y을 만족시키는 Y의 값은 이지. 그러면 Y을 만족시키는 Y의 값은 무엇일까?. 위의 생각 열기에서 Y, Y, Y, U을 만족시키는 Y의 값은 각각 , , , U으로 하나씩만 존재함을 알 수 있다. 하지만 Y을 만족시키는 Y의 값은 쉽게 알 수 없다. 이제 BY/을 만족시키는 실수 Y를 알아보자. B, B

(68) 이고, /이 양수일 때 BY/ 을 만족시키는 실수 Y는 오직 하나 존재한다. 이 수 Y를 밑이 B인 /의 로그라고 하며, 이것을 기호로 MPH는 MPHBSJUIN의 약자 이다.. YMPHBA/ 과 같이 나타낸다. 이때 /을 MPHBA/의 진수라고 한다.. 24 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. 진수. MPHBA/ 밑.

(69) Q MPHBA/에서 B

(70) 인. 앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.. 조건이 왜 필요한가요?. A A, A인데, 이. 로그의 정의. 것을 로그로 표현하 면 MPHA,. B, B

(71) , /일 때 BY/11YMPHbA/. MPHA이 되어 밑 이 인 로그의 값이 하나로 정해지지 않 기 때문이에요. 보기. 문제. 1. ⑵ MPHmAÅ11Å. ⑴ A11MPHfA. 다음 등식을 로그를 사용하여 나타내시오.. ⑵ [Å]AÅ. ⑴ A. 문제. 2. 다음 등식을 BY/ 꼴로 나타내시오.. ⑴ MPHsA. 예제. 1. ⑵ MPHÅA. 다음 값을 구하시오.. ⑴ MPHmA. 풀이. ⑵ MPHA. ⑴ MPHmAY로 놓으면 Y이므로 YA에서 Y 따라서 MPHmA이다. ⑵ MPHmAY로 놓으면 Y이므로 YA에서 Y 따라서 MPHmA이다. ⑴ ⑵ . 문제. 3. 다음 값을 구하시오.. ⑴ MPHfA. ⑵ MPHÅA 1. 지수와 로그 │ 25.

(72) 개념. 2. ೃɟᨷ‫ۻ‬ᨛ਋ᖘḯᯛᯯ᮫ʳ" 로그의 정의와 지수법칙을 이용하여 로그의 성질을 알아보자.. B, B

(73) 일 때, B, BB이므로 . MPHbA, MPHbAB. 이다. 또, ., /일 때, MPHbA.Q, MPHbA/R라고 하면 BQ., BR/ 이다. 이때 ./BQBRBQ

(74) R이므로 MPHbA./Q

(75) RMPHbA.

(76) MPHbA/ 이다.. 문제. 4. B, B

(77) , ., /일 때, 다음이 성립함을 보이시오.. ⑴ MPHbA. . MPHbA.MPHbA/ /. ⑵ MPHbA.LLAMPHbA. (단, L는 실수). 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 로그의 성질 B, B

(78) , ., /일 때. 보기. 1. MPHbA, MPHbAB. 2. MPHbA./MPHbA.

(79) MPHbA/. . 3. MPHbA / MPHbA.MPHbA/. L 4. MPHbA. LAMPHbA. (단, L는 실수). ⑴ MPHmA, MPHmA ⑵ MPHfAMPHfA @ MPHfA

(80) MPHfA

(81) MPHfA ⑶ MPHmA!MPHmAMPHmAMPHmA ⑷ MPHeAMPHeAAAMPHeA. 문제. 5. 다음 값을 구하시오.. ⑴ MPHsA. 26 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. ⑵ MPHfA.

(82) 예제. 2. 다음 식을 간단히 하시오.. ⑵ AMPHmA

(83) ÅAMPHmAMPHmA. ⑴ MPHmAAMPHmA. 풀이. ⑴ MPHmAAMPHmAMPHmAMPHmA AMPHmAMPHmA . MPHmA>MPHmA. . . ⑵ AMPHmA

(84) ÅAMPHmAMPHmAMPHmA A

(85) MPHmAÅMPHmA MPHmA

(86) MPHmAMPHmA MPHmA. @ MPHmA . ⑴ ⑵. 문제. 6. 예제. 3. 다음 식을 간단히 하시오.. ⑴ MPHsA

(87) MPHsAÅ. ⑵ MPHfAÅMPHfA. ⑶ MPHA

(88) MPHAMPHmA. ⑷ AMPHAMPHeAAMPHeA. MPHsAB, MPHsAC라고 할 때, 다음을 B, C를 사용하여 나타내시오.. ⑴ MPHsA. 풀이. ⑵ MPHsAd. ⑴ MPHsAMPHsA A@ MPHsAA

(89) MPHsA AMPHsA

(90) MPHsAB

(91) C ⑵ MPHsAdMPHsAMPHsA @ MPHsA MPHsA

(92) MPHsA. MPHsAMPHsACB ⑴ B

(93) C ⑵ CB. 문제. 7. MPHAB, MPHAC라고 할 때, 다음을 B, C를 사용하여 나타내시오.. ⑴ MPHA. ⑵ MPHA 1. 지수와 로그 │ 27.

(94) B, B

(95) , C일 때, MPHb C를 밑이 D D, D

(96) 인 로그로 바꾸는 방법을 알아 보자. YMPHbAC, ZMPHcAB라고 하면 CBY, BDZ이므로 CBY DZ YDYZ 이다. YZMPHcAC이므로 MPHbAC@MPHcABMPHcAC 이다. MPHcAB

(97) 이므로 양변을 MPHcAB로 나누면 다음이 성립한다. MPHbAC. MPHcAC MPHc`B. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 로그의 밑의 변환 B, B

(98) , C, D, D

(99) 일 때 MPHbAC. MPHBAC. MPHCAB. MPHBxAAACO. 보기. O AMPHBAC N. 문제. 8. MPHcAC MPHc`B. ⑴ MPHmA. MPHsA MPHsA MPHsA. ⑵ MPHA. MPHmA MPHmAA AMPHmA MPHmA AMPHmA MPHmAA. 다음 식을 간단히 하시오.. ⑴ MPHmA@MPHA. ⑵ MPHA@MPHA@MPHfA. 문제 해결. 생각과 표현. 추론. 창의・융합. 의사소통. 민호와 승연이는 로그의 성질을 이용하여 다음과 같이 식을 간단히 하였다. 잘못된 곳을 찾아 바르게 고쳐 보자. 민호: MPHA

(100) MPHA. 민호. 28 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. 승연: MPHA@MPHA. MPHA

(101) . MPHA @ . MPHA. MPHA 승연.

(102) 상용로그 학습 목표 •상용로그를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.. 개념. 1. ᔨᬐೃɟ௧ྛᨮᯣʳ". 생각 열기. 년 월 경북 경주시 남남서쪽 LN 지역에서 리히터. 리히터 규모 규. 규모 의 지진이 발생하였다. 지진의 세기를 나타내는 대표. 0~2.9. 단위인 리히터 규모 .은 지진이 발생한 곳의 지표로부터. 지진계로만 탐지가 가능하 며 대부분의 사람이 진동 을 느끼지 못한다.. LN 떨어진 곳의 지진계에 기록된 지진파의 최대 진폭을. 2 3. * μN라고 할 때, 4. .MPHA* 로 정의한다. 즉, 리히터 규모 .은 밑이 인 최대 진폭의 로그이다. 리히터 규모가 에서 으로 증가하면 최대 진폭은 몇 배 증가하는지 말하여 보자. (단, μN는 ‘마이크로미터’라고 읽는다.) 출처 기상청, 2016. 3~4.9 방 안의 물건들이 건들이 흔들리는 것을 관찰할 할 수 있다 있다.. 5~5.9 좁은 지역에 걸쳐 부실하 게 지어진 건물에 심한 손상을 입힌다.. 5 6. 6~6 6.9 9. 7~8.9. 7. 수백 LN 지역에 걸쳐 심한 피해를 준다.. 최대 LN 지역에 걸쳐 건물을 파괴한다.. 8. 9 이상. 9. 수천 LN 지역을 완전히 파괴한다.. 출처 Lutgens, F. K., Tarbuck, E. J., 『지구시스템의 이해』. 일상생활에서는 의 거듭 제곱으로 나타낸 수를 주로 사용하므로 로그의 계산에 서도 밑이 인 상용로그를 사용하는 것이 편리하다.. MPHA, MPHA, MPHA와 같이 밑이 인 로그를 상용로그라고 하며, 양수 /의 상용로그 MPHA/은 보통 밑 을 생략하여. . MPHA/. 과 같이 나타낸다.. 의 거듭제곱 꼴로 나타낸 수의 상용로그의 값은 로그의 성질을 이용하여 쉽게 구할 수 있다.. 보기. ⑴ MPHAMPHAAAMPHA ⑵ MPHAMPHAÅÅAMPHAÅ. 1. 지수와 로그 │ 29.

(103) 문제. 1. 다음 값을 구하시오.. ⑴ MPHA. ⑵ MPHA.. ⑶ MPHA. ⑷ MPHA. 상용로그의 값은 상용로그표를 이용하여 구할 수 있다. 상용로그표는 의 간격. . . U. U. U. U. U. . . . . . . . U. U. U. U. U. 예를 들어 상용로그표에서. U. 것이다.. . U. 여 소수 넷째 자리까지 나타낸. . U. 의 상용로그의 값을 반올림하. . . U. 으로 에서 까지의 수 상용로그표에 있는 값은 반 올림하여 구한 것이지만 편 의상 등호를 사용하여 나타 낸다.. . 수. . MPHA의 값을 구하려면 상용로그표에서 는 를 간단히 나타낸 것 이다.. 의 가로줄과 의 세로줄이 만나는 곳의 수 를 찾으면 된다. 즉, MPHA 이다. 참고. 계산기에서. 2. ,. .. ,. 3. ,. 6. 을 차례로 누른 후. log. 를 누르면 MPHA. 의 값을 구할 수 있다.. 문제. 2. 상용로그표는 쪽, 쪽 에 있다.. 상용로그표를 이용하여 다음 값을 구하시오.. ⑴ MPHA. ⑵ MPHA. 로그의 성질과 상용로그표를 이용하면 에서 까지의 범위를 벗어난 수의 상 용로그의 값을 구할 수 있다. 예를 들어 상용로그표에서 MPHA이므로 MPHAMPHA A@

(104) MPHA MPHAMPHA @

(105) MPHA

(106) 와 같이 구할 수 있다.. 문제. 3. 상용로그표를 이용하여 다음 값을 구하시오.. ⑴ MPHA. 30 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. ⑵ MPHA.

(107) 상용로그를 이용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.. 예제. 1. 어느 산유국에서 산유량을 매년 씩 증가시킬 때, 산유량이 올해 산유량의 배가 되는 것은 약 몇 년 후인지 구하시오. (단, MPHA, MPHA으로 계산한다.). O년 후의 산유량을 구한 후 주어진 조건을 이용하 여 O에 대한 방정식을 만 든다.. 풀이. 올해 산유량을 B라고 하면 년 후 산유량은 B

(108) , 년 후 산유량은 B

(109) A, 년 후 산유량은 B

(110) A, U 이므로 O년 후의 산유량은 B

(111) OB@O O년 후의 산유량이 올해 산유량의 배가 된다면 B@OB, 즉 O 이 식의 양변에 상용로그를 취하면 OAMPHAMPHA O. MPHA MPHA . 따라서 산유량이 올해 산유량의 배가 되는 것은 약 년 후이다.. 속 생활. 문제. 4. 8NA는 NA의 넓이당 8의 에너지를 가지고 있 는 소리의 세기를 말한다.. 이야기 속 수학. 약 년 후. 소리의 크기는 E#(데시벨)로 나타내는데, 소리의 세기가 *A8NA 인 소리의 크기를 AMPHA. * E# . 이라고 하자. AE#인 소리의 세기는 AE#인 소리의 세기의 몇 배인지 구하시오.. 로그자를 이용한 편리한 계산. Y 로그자는 계산기가 보편화되지 못했던 시기에 곱셈과 나눗셈 로그자 을 편리하게 하는 데 사용되었다. 오른쪽 그림과 같이 눈금 이 새겨진 점으로부터의 거리가 MPHAY Yy 인 곳에 눈금 Y를 새 일반 자 MPHAY 긴 자를 ‘로그자’라고 한다. 계산을 하기 위해서는 두 개의 로그자가 필요하다. MPHAMPHA

(112) MPHA 예를 들어 @를 로그자를 사용하여 계산해 보자. 오른쪽 그림에서 아래 자의 눈금 을 위의 자의 눈금 에 맞추고, 아래 자의 눈금 에 대응하는 위의 자의 눈금 을 MPHA MPHA 읽는다. 즉, 은 @를 계산한 결과이다. 출처 Eves, H., 『수학사』. 1. 지수와 로그 │ 31.

(113) 자신감을 키우는. 지수와 로그. 바탕 다지기 1 실수 B의 O제곱근 중 실수인 것. 01. O이 이상의 정수일 때 B. B. B. O이 홀수. AB. . AB. O이 짝수. AB, AB. . 없다.. 다음 식에서 근호를 사용한 것은 지수를 사용하 여 나타내고, 지수를 사용한 것은 근호를 사용하 여 나타내시오.. ⑵ AÃA>. ⑴ AÃAA> Å. ⑶ [Å]. 2 거듭제곱근의 성질. . ⑷ !. B, C이고, N, O이 이상의 정수일 때 ⑴ ABAACABC. ⑵ . ⑶ AB NAÃÂBNA. AB mA AC. ⑷ xAÃABNAB. 3 지수의 확장. ⑴ B

(114) 이고, O이 양의 정수일 때 B, BO. BO. 02. ⑵ B이고 N, O Oy 이 정수일 때. 다음 식을 간단히 하시오. . ⑴ @AÃÂAAA. . ⑵ A AÅ. M,. B AÃÂBN 4 지수법칙. B, C이고, Y, Z가 실수일 때 ⑴ BYBZBY

(115) Z. ⑵ BYBZBYZ. ⑶ BY ZBYZ. ⑷ BC YBYCY. 5 로그의 정의. B, B

(116) , /일 때. 03. BY/ 11 YMPHbA/ 6 로그의 성질. 다음 값을 구하시오.. ⑴ MPHsA. ⑵ MPHÅA. ⑶ MPHeAA. ⑷ MPHA. B, B

(117) , ., /일 때 ⑴ MPHbA, MPHbAB ⑵ MPHbA./MPHbA.

(118) MPHbA/ ⑶ MPHbA. . MPHbA.MPHbA/ /. ⑷ MPHbA.LLAMPHbA. (단, L는 실수) 7 로그의 밑의 변환. B, B

(119) , C, D, D

(120) 일 때 MPHcAC MPHbAC MPHcAB. 32 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수. 04. 다음 식을 간단히 하시오.. ⑴ MPHA

(121) MPHA. ⑵ MPHAMPHA.

(122) 정답 및 해설 159쪽. 기본 익히기. 05. 09. MPHYA Y 가 정의되도록 하는 정수 Y의 개수. 10. 다음 식을 간단히 하시오.. 를 구하시오.. 다음 거듭제곱근 중 실수인 것을 구하시오.. ⑴ 의 세제곱근 ⑵ 의 네제곱근. 06. 다음 식을 간단히 하시오.. ⑴ AÃ A>A

(123) AÃ A>A@AÃA . ⑵ @ A . ⑴ AMPHA

(124) MPHAMPHÅAA ⑵ MPHA

(125) MPHA. MPHeA. ⑶ MPHmA@MPHA ⑷ MPHA A@A@A@A@A. 07. MÅ. [Å] 이 자연수가 되도록 하는 정수 O의 값 을 모두 구하시오.. 08. BY일 때,. BYBY 의 값을 구하시오. BY

(126) BY (단, B이고, Y는 실수이다.). 11. B, C일 때, MPHA을 B, C를 사용하여 나타내시오.. 확인 학습 문제 │ 33.

(127) 자신감을 키우는. 12. 정답 및 해설 160쪽. 다음은 상용로그표를 이용하여 MPHA

(128) MPHA의 값을 구하는 과정이 다.. 16. 어느 회사의 매출액이 매년 일정한 비율로 증가 하여 년 만에 첫해 매출액의 배가 되었다. 년 동안 이 회사의 매출액이 매년 몇 씩 증가하. 안에 알맞은 수를 써넣으시오.. 였는지 구하시오. MPHA

(129) MPHA. (단, MPHA, MPHA으로 계산한다.). MPHA @

(130) MPHA @. .

(131) MPHA

(132) .

(133) MPHA.

(134) AMPHA. . 13. 이차방정식 YAY

(135) 의 두 근이 =, >일 때, MPHA=

(136) MPHA>의 값을 구하시오.. 생각 톡!톡!. 17. 유엔 기준에 따르면 초고령화 사회는 전체 인구 중 세 이상 고령 인구의 비율이 이상인 사회를 일컫는다. 년 우리나라의 총인구는 만 명이고, 세 이상 고령 인구는 만 명이었다. 다음 조건과 같이 인구가 증가할 때, 물음에 답하여 보자. (단, MPHA,. 실력 키우기. 14. MPHA, MPHA,. Y, Z일 때, :<Ä의 값을 구하. MPHA으로 계산한다.) 총인구수는 매년 전년도보다 씩 증. 시오.. 가하고, 세 이상 고령 인구수는 매년 전 년도보다 씩 증가한다.. ⑴ 세인 민영이는 자신이 초고령화 사회에 살게 될 것을 걱정하고 있다. 민영이가 초. 15. %. 오른쪽 그림과 같은 정육 면체 "#$%&'()의. ". 부피가 일 때, 정삼각 형 #&(의 한 변의 길이 를 구하시오.. $. &. 는지 판단하고, 그 까닭을 설명해 보자.. # ). ( '. 고령화 사회에 대비할 필요가 있는지 없 ⑵ 위의 조건에서 총인구수의 증가율을 바꾸 어 문제를 만들어 보고, 친구들과 바꾸어 풀어 보자. 출처 KOSIS 국가통계포털, 2015. 34 │Ⅰ. 지수함수와 로그함수.

(137) ●로그의 역사. 생각을 넓히는 수학. 창의. 융합. 망원경이 발명되면서 천문학, 항해술이 급속히 발달하 였고 이에 따라 큰 수의 복잡한 계산이 필요하게 되었다. 네이피어 /BQJFS, +., _ 는 큰 수의 계산을 보다 편리하고 빠르게 할 수 있는 방법으로 로그를 처음 도입하였다. 다음은 지아네 모둠이 네이피어의 로그를 조사한 내용을 발표한 자료의 일부이다.. 네이피어의 로그 네이피어의 로그 ". 네이피어 스코틀랜드 출신의 수학자로,. %. Y. $ '. Z. # &. 『놀라운 로그 법칙의 기술』. 선분 "#와 반직선 %&에서 점 $. 에서 처음으로 로그의 계산법을 설명하였다.. 와 점 '가 동시에 각각 점 "와 점 % 로부터 같은 속력으로 출발하여 각각 의 선을 따라 움직인다고 하자. 점 $ 는 항상 $#의 거리와 수치상으로 같 은 속력으로 움직이고, 점 '는 출발한 속력 그대로 움직인다. 이때 네이피 어는 %'를 $#의 로그로 정의했다.. “로그의 발명으로 천문학자들의 수명이 배로 연장되었다.”. %'Y, $#Z라고 할 때, Y와 Z 사이의 관계를 Y/BQAMPH Z라고 나타냈다.. 계산기나 컴퓨터가 발명되기 전까지 로그는 매우 큰 수의 계산을 하는 데 아주 유용한 도구였다. 출처 Eves, H., 『수학사』. 탐구. 로그의 역사와 관련이 있는 수학자를 찾아 그 수학자의 업적, 일화 등을 모둠별로 조사하여 발표해 보자.. 생각을 넓히는 수학│ 35.

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