논문 2012-50-4-22
복소수 SVM을 이용한 목표물 식별 알고리즘
( Target Classification Algorithm Using Complex-valued Support Vector Machine )
강 윤 정*, 이 재 일*, 배 진 호**, 이 종 현***
( Youn Joung Kang, Jaeil Lee, Jinho Bae, and Chong Hyun Lee )
요 약
본 논문에서는 정지하고 있는 배경에서 움직이는 목표물을 식별하기 위해 PDR(pulse doppler radar)을 이용하여 수집한 복 소수 신호를 처리하는 복소수 SVM(support vector machine)을 제안한다. SVM은 패턴인식 분야에서 널리 이용되나 분류에 이용되는 특징이 대부분 실수 데이터이다. 제안된 복소수 SVM은 실수 데이터, 허수 데이터 정보와 실수부와 허수부 사이의 교차 정보를 모두 이용하여 이동하는 목표물의 분류를 수행한다. 복소수 SVM을 설계하기 위해 최적화 조건 적용 시 실수축 과 허수축에 대한 슬랙변수를 고려하였고, 복소수 데이터에 대한 KKT(Karush-Kuhn-Tucker) 조건을 이용하였다. 또한 복소 수 거리를 이용한 RBF(radial basis function)를 커널함수로 적용하였다. 제안된 복소수 SVM의 성능을 평가하기 위해 PDR 센 서로 수집된 복소 데이터를 기존의 SVM과 복소수 SVM을 이용하여 분류한 결과 기존의 SVM에 비해 복소수 SVM의 식별 결과가 개와 사람 각각 , 향상되었다.
Abstract
In this paper, we propose a complex-valued support vector machine (SVM) classifier which process the complex valued signal measured by pulse doppler radar (PDR) to identify moving targets from the background. SVM is widely applied in the field of pattern recognition, but features which used to classify are almost real valued data. Proposed complex-valued SVM can classify the moving target using real valued data, imaginary valued data, and cross-information data. To design complex-valued SVM, we consider slack variables of real and complex axis, and use the KKT (Karush-Kuhn-Tucker) conditions for complex data. Also we apply radial basis function (RBF) as a kernel function which use a distance of complex values. To evaluate the performance of the complex-valued SVM, complex valued data from PDR were classified using real-valued SVM and complex-valued SVM. The proposed complex-valued SVM classification was improved compared to real-valued SVM for dog and human, respectively , , have been improved.
Keywords: SVM, Complex-valued SVM, Classifier, Machine learning
Ⅰ. 서 론
최근 공격탐지 및 감시, 경계에 대한 요구가 늘어나 면서 레이더를 이용한 목표물 탐지에 대한 관심이 높
* 학생회원, ** 정회원, 제주대학교 해양시스템공학과 (Department of Ocean System Engineering, Jeju National University)
※ 이 논문은 2013학년도 제주대학교 학술진흥연구비 지원사업에 의하여 연구되었음
접수일자: 2013년2월16일, 수정완료일: 2013년3월18일
아지고 있다. 특히 감시정찰 영역에서 표적을 탐지하기 위한 연구가 활발히 진행 중이다. 감시정찰 영역에서 표적을 탐지하기 위해서는 센서 탐지영역에 존재하는 지형클러터(clutter)로부터 이동하는 표적만을 검출대 상으로 선정해야 한다. 따라서 이동 표적의 움직임에 따른 도플러 효과를 이용한 PDR(pulse doppler radar) 을 이용하여 감시 정찰을 수행하는 감시 센서망 구축 에 관한 연구가 주목받고 있다.[1] 이동하는 표적이 검 출된 후 공격 위험도를 따지기 위해 표적의 정체(사람,
동물)를 식별하기 위한 SVM(support vector machine) 알고리즘에 대한 다양한 연구가 진행되었다.[2] 지금까 지 진행된 연구로는 SVM의 최적화시 오분류와 관계 되는 파라미터 의 변화에 따른 분류 성능의 변화, 비 선형 데이터를 분류하기 위한 고차원 공간 확장을 위 한 커널함수(kernel function)인 RBF(radial basis function), 다항함수(polynomial function)의 변수에 따 른 성능의 향상에 대한 연구가 있다.[3∼4] 또 SVM과 ANN(artificial neural network), HMM(hidden markov model)등의 패턴인식 알고리즘의 병합에 대한 연구도 진행 중이다.[6∼8] 선행된 연구들은 실수 데이터를 이용 하여 분류를 수행한다. 그러나 PDR 센서로 취득되는 데이터는 복소수 형태로 기존의 SVM을 이용하여 분 류기를 설계할 경우 허수 데이터의 정보와 실수부와 허수부 사이의 교차 정보를 잃게 된다. 따라서 본 논문 에서는 기존의 SVM에서 무시되는 허수 데이터 정보, 실수부와 허수부 사이의 교차 정보를 고려하는 SVM 을 제안한다. 기존의 SVM과 제안된 SVM을 구분하기 위해 기존의 SVM은 실수 SVM(real-valued SVM), 제안된 SVM은 복소수 SVM(complex-valued SVM)이 라 한다. 실수 SVM과 복소수 SVM의 성능을 비교하 기 위해 PDR 센서로 취득되는 데이터를 바탕으로 분 류 성능을 비교한다. PDR 센서를 이용하여 수집된 데 이터를 실수 SVM과 복소수 SVM으로 분류한 결과 복 소수 SVM의 성능이 더 향상됨을 보였다.
본 논문의 구성은 다음과 같다. Ⅱ장에서는 복소수 SVM 알고리즘에 대해 설명한다. Ⅲ장에서는 분류기의 훈련과 성능 평가를 위해 PDR을 이용하여 취득한 데이 터의 특징벡터 추출에 대해 설명한다. Ⅳ장에서는 실수 SVM과 복소수 SVM을 이용한 분류 결과를 비교하고, 마지막으로 Ⅴ장에서 본 논문을 끝맺는다.
Ⅱ. 복소수 SVM(Complex-valued SVM)
SVM은 벡터 공간에서 임의의 비선형 경계를 찾아 두 개의 집합을 분류하는 알고리즘으로 두 집합의 경계 가 되는 공간을 연속적으로 연결하면 하나의 초월평면 (hyper plane)이 완성된다. 두개의 집합을 이상적으로 나누는 초월평면은 무수히 많이 존재할 수 있으나, 두 집합을 나누는 경계의 폭이 가장 큰 초월평면은 수학적 으로 하나만 결정되며, SVM은 이러한 최적의 초월평
그림 1. 복소평면에서의 임의의 데이터에 대한 슬랙변 수
Fig. 1. Slack variables for complex-valued sample data.
면을 찾는 알고리즘이다.
PDR을 이용하여 취득되는 데이터는 복소수 형태로 기존의 SVM 알고리즘을 이용하면 취득되는 복소수 데 이터 중 실수 데이터만 이용하여 처리하게 되는데, 이 때 허수 데이터와 실수부와 허수부 사이의 교차 정보가 무시된다. 기존의 SVM에서 무시되었던 허수 데이터와 실수부와 허수부 사이의 교차정보를 활용하기 위해서는 복소평면에서 수행 가능한 새로운 SVM이 필요하다.
복소수 SVM에 대한 수식적 전개는 다음과 같다.
데이터가 선형적으로 분리 가능한 집합인 를 분류 색인 ± 로 분류하는 경우 데이터를 분류하는 최 적화된 초월평면은 (1)의 식으로 표현된다.
∙
(1)
이 때 학습 벡터 중 ∙ 을 만족하는
를 지지벡터(support vector)라 하고, 가중치벡터()와 바이어스()는 학습에 의해 구해지는 이차 계획법의 해 로 구할 수 있다. SVM 알고리즘은 두 집합의 지지벡터 사이의 거리가 최대가 되는 초월평면을 찾는 것으로 복 소평면에서 초월평면의 경계폭을 최대로 하기 위한 조 건은 식(2)와 같은 목적함수와 제약함수로 표현된다.[5]
min
∥∥
(2)
≤ ≥
≤ ≥
여기서 와 는 그림 1과 같이 각각 실수부와 허수부 에서 오분류를 일으키는 경우를 고려하는 슬랙변수 (slack variable)이다. 상수 는 오분류와 성능 간의 상 충관계를 나타내는 비용으로 값이 커지면 오분류 오 차가 감소하는 대신 두 집합을 나누는 경계의 폭이 작 아진다. 값이 작아지면 오분류 오차가 증가하는 대신 두 집합을 나누는 경계의 폭이 커지고 또한 가 최대 화되어 풀이의 복잡도가 낮아진다. 의 적절한 값은 전통적으로 교차검증으로 결정한다. 이 경우, 라그랑지 안 함수는 식(3)과 같이 표현된다.
∥∥
(3)
KKT(Karush-Kuhn-Tucker) 조건을 이용하여 최적 화하면 식(4)와 같은 형태로 표현되고 이때 가중치벡터 는 식(5)와 같다.
max
(4)여기서 ,
(5) 여기서 ∙는 복소공액 전치(complex conjugate transpose) 연산 이고, ∙는 복소공액(complex conjugate) 연산을 의미한다. 와 는 실수 성분과 허 수 성분이 모두 고려된 라그랑제 승수로 를 만족한다. 즉,
이다. 실수 SVM은 라그랑제 승수 의 조건 ( )과 비교하였을 때 가 분류 경계의 폭에 미치는 영향에 배 차이가 난다. 따라서 동일한 조 건으로 두 알고리즘의 성능을 비교할 경우 복소수 SVM의 는 실수 SVM의 보다 배 한 값을 사용하야 한다.
취득한 데이터가 선형적으로 분리가 불가능한 집합 인 경우 비선형 변환함수를 이용하여 고차원의 특징 공 간으로 사상시키면 선형분리가 가능해진다. 비선형 분
류 평면을 위해 원래의 벡터 공간을 다차원 공간으로 확장하여 선형분류를 할 수 있지만, 일반적으로 차원을 확장하게 되면 차원이 증가함에 따라 계산량 이 증가하 는 단점이 있다. 그러나 2차식 와 는 지지벡터와 입력벡터 간의 내적 만으로 계산이 가능하므로 커널함수를 사용하여 다차원 공간의 연산을 원공간 데 이터로 쉽게 계산할 수 있다. 커널함수로는 주로 다항 함수와 RBF가 쓰인다. 의 다차원 공간으로 변환된 벡터를 라 하고, 를 커널함수라 하면 다항함수 를 이용한 다차원 공간으로의 사상은 식(6)과 같다.
∙ (6) RBF를 이용한 다차원 공간으로의 사상은 식(7)과 같 이 표현된다.
∙
exp (7)
복소수 데이터를 처리하는데 있어 실수 데이터만을 이용하면 커널함수가 실수 간의 거리에 의존하는 반면, 복소수 데이터를 이용할 경우 복소 데이터 간의 거리에 의존한다. 본 연구에서는 선형 SVM을 비선형 SVM으 로 확장하기 위해 커널함수로 RBF를 이용하였다.
복소수 SVM에서 커널함수를 도입하는 경우 식(8)와 같다.[9]
max
(8)여기서
실수 SVM의 경우 목적함수와 가중치 벡터는 다음과 같다.[5]
max
(9)
여기서 이고, ∙는 벡터 의 전치(transpose) 연산이다.
복소수 SVM과 실수 SVM의 차이는 초월평면의 폭 을 최대로 하는 최적화 식에서의 오분류를 처리하는데 실수축과 허수축에 대한 두 개의 슬랙변수( )가 필요
하다는 것과, KKT 조건 적용 시 목적함수에 복소공액 전치를 이용하는 것이다. 또한 다차원 공간으로 사상시 키는 커널함수 사용 시 실수간의 거리가 아닌 복소수 거리를 사용하는 것이다.
Ⅲ. 목표물 분류 시스템
1. 목표물 분류
목표물이 이동하면 PDR 센서에 신호가 감지되고 PDR 센서에 입력되는 신호를 바탕으로 목표물을 분류 한다. 이때 분류기의 알고리즘은 실수 SVM 또는 복소 수 SVM이다. 분류 및 식별의 전체적인 구성은 그림 2 와 같다. 그림 2에서 전처리는 취득된 신호에 존재하는 배경 잡음을 제거하여 식별에 필요한 의미 있는 신호를 추출하기 위한 필터이다. 다음의 특징 추출 부분은 분 류하고자 하는 대상에서 취득된 신호에서 특징을 추출 하는 부분이다. 즉, 이동하는 목표물의 종류(사람, 동물) 을 구별할 수 있게 해주는 특징을 추출하는 부분이다.
본 논문에서 사용된 대표적인 특징은 LPC 계수(linear predictive coding coefficient)이다. 다음은 분류 알고리 즘으로 실수 SVM 또는 복소수 SVM을 이용하여 각 알고리즘의 성능을 비교한다.
그림 2. 목표물 분류 블록도
Fig. 2. Block diagram of the target classification.
2. 데이터 수집 시나리오
제안된 분류기의 성능을 검증하기 위해 PDR을 이용 하여 야외 환경에서 이동하는 목표물의 신호를 취득하
그림 3. 목표물 이동 경로
Fig. 3. Movement path of the targets.
였다. 목표물은 사람과 동물(개)로 제한하였다. 목표물 의 이동 경로는 그림 3과 같이 PDR 센서의 탐지영역을 수평으로 가로지르는 방향으로 이동하였다. 또한 센서 와의 거리는 센서에서 수직으로 2～10m 거리를 2m 간 격으로 하였으며 10번씩 반복 취득하였다.
3. 특징추출
그림 4는 이동하는 목표물이 사람이고, 센서에서 떨어 진 거리가 4m인 경우 PDR 센서에서 수집되는 데이터 이다. 목표물이 PDR 센서에 감지되면 I채널과 Q채널에서 각각 동위상(inphase) 성분과 직각(quadrature) 성분이 측정된다. 데이터 처리에 있어 실수 데이터를 대상으로 하면 동위상 성분만을 이용하게 되고, 복소수 데이터를 대상으로 하면 동위상 성분과 직각 성분을 모두 이용하 게 된다.
PDR 센서로 수집된 신호를 분류에 사용하기 위해서 도플러 신호의 스펙트로그램을 이용한다. 그림 5는 센 서에서 4m 떨어진 거리에서 사람이 이동했을 때의 스 펙트로그램이다. 그림 5의 (1)은 실수 데이터에 대한 스 펙트로그램이고, 그림 5의 (2)는 복소수 데이터에 대한 스펙트로그램이다. 잡음을 제거하기 위해 전처리 과정 에서 문턱값 –30㏈을 이용하였기 때문에 실수와 복소 수 데이터에 대한 스펙트로그램의 프래임(frame)의 수 가 다르다. 실수 데이터에 대한 스펙트로그램은 음의 주파수가 나올 수 없어 주파수 축에 대해 대칭을 이룬
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1
Time (Seconds)
Inphase component
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1
Time (Seconds)
Quadrature component
그림 4. PDR 센서로 수집되는 데이터 Fig. 4. Data from the PDR sensor.
(1)
(2)
그림 5. 스펙트로그램 (1)실수 (2)복소수
Fig. 5. Spectrogram. (1)Real value (2)Complex value
(1)
(2) 그림 6. 스펙트로그램 (1)사람 (2)개 Fig. 6. Spectrogram. (1)Human (2)Dog
다. 복소수 데이터에 대한 스펙트로그램은 주파수 축에 대해 대칭이 아닌 형태로 나타난다. 따라서 예상한데로 복소수 데이터에 대한 스펙트로그램이 실수 데이터에 대한 스펙트로그램보다 더 많은 정보를 나타낸다.
그림 6은 센서에서 4m 떨어진 거리에서 사람과 개가 이동했을 때의 복소수 데이터에 대한 스펙트로그램이 다. 일반적으로 스펙트로그램 기반 특징벡터는 시공간 의 많은 정보를 포함한다. 그러나 이는 분류를 위한 특 징벡터를 훈련시키고 성능을 테스트하는데 있어 매우 많은 차원의 특징 공간을 필요로 하게 되므로 데이터 처리 과정에서 많은 메모리 용량을 필요로 하게 된다.
따라서 본 논문에서는 분류기를 구성하는데 있어 이동 하는 목표물의 정보를 충분히 표현 할 수 있는 특징 성 분인 16차 LPC 계수를 이용한다. PDR로 수집되는 신 호가 복소수 형태이므로 LPC 계수 또한 복소수형태이 다. 실수 SVM 알고리즘을 이용할 경우 LPC 계수에서 실수 부분만 사용하게 되므로 허수와 교차정보는 무시 된다. 복소수 SVM 알고리즘을 이용할 경우 LPC 계수 의 전체 정보를 이용할 수 있다.
Ⅳ. 실 험
본 논문에서 제안한 복소수 SVM의 성능 평가를 위 해 실수 SVM과 복소수 SVM을 이용한 분류기의 식별 결과를 비교한다. 목표물 식별을 위한 특징벡터는 PDR 로 취득한 신호의 16차수 LPC 계수를 이용하였다. 각 분류기의 초월평면을 결정하기 위한 훈련용으로 총 데
(1)
(2) 그림 7. 각 SVM의 훈련결과
(1)실수 SVM, (2)복소수 SVM Fig. 7. Training result for each SVM.
(1)real-valued SVM (2)complex-valued SVM
이터의 를 이용하였고, 나머지 데이터는 분류기의 성능 평가를 위해 사용하였다. SVM 파라미터는 실수 SVM은 , 복소수 SVM은 을 사용 하고, 커널함수로는 인 RBF를 사용하였다.
그림 7은 각각의 분류기를 설계한 후 설계에 이용된 데이터의 모든 특징벡터에 대한 판별결과이다. 그림 7 의 (1)에서 왼쪽 영역은 개가 이동하는 경우의 실험 데 이터의 특징벡터로 초월평면(흑색 선) 위로 분포하는 특징벡터는 개로 판별된 것이고, 초월평면 아래로 분포 하는 특징벡터는 사람으로 판별된 것이다. 그림 7의 (1) 에서 오른쪽 영역은 사람이 이동하는 경우의 실험 데이 터의 특징벡터로 초월평면 아래로 분포하는 특징벡터는 사람으로 판별된 것이고, 초월평면 위로 분포하는 특징 벡터는 개로 판별된 것이다. 실험 데이터가 개인데 사 람으로 판별된 것과 실험 데이터가 사람인데 개로 판별 된 것을 오분류라 정의하고, 이 오분류된 특징벡터를 분류기 성능을 평가하는 지표로 한다. 오분류 된 특징 벡터의 수가 적을수록 분류기의 성능이 좋다. 그림 7의 (1), (2)는 각 분류기의 훈련 결과로 실수만을 이용하여 설계된 실수 SVM에 비해 복소수 SVM의 훈련결과에 서 오분류 된 특징벡터의 수가 줄었음을 확인할 수 있 다. 즉, 복소수 SVM을 이용한 분류기가 실수 SVM을 이용한 분류기 보다 성능이 향상되었다.
두 가지 분류기에 대한 분류 결과는 표 1과 같다. 표 1에서 실수 값만을 이용하여 설계된 실수 SVM의 인식 률은 개와 사람 각각 , 이다. 복소수 값을 이 용하여 복소수 SVM으로 설계된 분류기의 경우 개와 사람의 인식률은 동일하게 이다. 즉, 실수 SVM에
실수 SVM의 분류 결과
목표물 분류 결과
Total 인식률 Dog Human (%)
Dog 35 15 50 70
Human 16 34 50 68
복소수 SVM의 분류 결과
목표물 분류 결과
Total 인식률 Dog Human (%)
Dog 39 11 50 78
Human 11 39 50 78
표 1. SVM 분류 결과 (실수 SVM, 복소수 SVM) Table 1. SVM performance.
(Real-valued SVM, Complex-valued SVM)
비해 복소수 SVM으로 설계된 분류기의 인식률이 개와 사람 모두에서 각각 , 개선되었다.
Ⅴ. 결 론
PDR 센서에서 취득되는 데이터는 복소수 형태로 실 수 SVM 알고리즘을 이용한 분류기는 실수 값만을 이 용하여 분류기를 설계하기 때문에 허수 값의 정보와 실 수부와 허수부 사이의 교차 정보를 잃게 된다. 따라서 본 논문에서는 실수 SVM 분류기에서 무시되었던 복소 수 정보를 포함하여 분류하는 복소수 SVM 알고리즘을 제안한다. 제안된 복소수 SVM의 핵심은 실수 및 허수 정보를 모두 이용하는 거리 척도를 사용하는 것이다.
제안된 복소수 SVM의 성능을 비교하기 위해 분류 목 표물이 개와 사람인 경우를 대상으로 성능 검증을 하였 다. 동일한 조건하에서 실수 SVM을 사용할 경우 개와 사람의 인식률을 각각 , 을 얻었고, 복소수 SVM의 경우 개와 사람 각각 , 의 인식률을 얻었음으로 제안된 복소수 SVM이 향상된 분류 성능을 나타냄을 확인하였다.
참 고 문 헌
[1] 이재일, 이주형, 현종우, 이종현, 배진호, 팽동국, 조정삼, 강태인, 이노복, “PDR 센서를 이용한 USN 기반의 감시경보 시스템,” 전자공학회논문지, 제48권 TC편, 제12호, 54-61쪽, 2011년 12월 [2] Youngwook Kim, Hao Ling, “Human activity
classification based on micro-doppler signatures using a support vector machine,” IEEE Trans.
Geosci. Remote Sens., Vol. 47, no. 5, pp.
1328-1337, May 2009.
[3] Michael Glen Andersom, "Design of multiple frequency continuous wave radar hardware and micro-doppler based detection and classification algorithms," Ph.D. dissertation, Univ. Texas, Austin, pp. 136-156, May 2008.
[4] 임정수, 송지현, 장준혁, “SVM 미세조정을 통한 음석/음악 분류 성능향상,” 전자공학회논문지, 제48 권 SP편, 제2호, 141-148쪽, 2011년 3월
[5] Manel Martinez-Ramon, Christos Christodouloui,
"Support vector machines for antenna array processing and electromagnetics," Morgan &
Claypool, pp. 33-42, 2006.
[6] Yasemin Altun, Ioannis Tsochantaridis, Thomas
저 자 소 개 강 윤 정(학생회원)
2006년 한국과학기술원(KAIST) 전기 및 전자공학과 학사 졸업.
2012년∼현재 제주대학교 해양시 스템공학과 석사 과정.
<주관심분야 : 통계학적 신호처리, 패턴인식, UWB 무선 전송 기술>
이 재 일(학생회원)
2009년 제주대학교 해양산업공학 전공 학사 졸업.
2011년 제주대학교 해양정보 시스템공학과 석사 졸업.
2011년∼현재 제주대학교 해양 시스템공학과 박사과정.
<주관심분야 : 통계학적 신호처리, 센서 신호처 리, Parametric Array, 수중통신>
이 종 현(정회원) - 교신저자 1985년 한양대학교 전자공학과 학사 졸업.
1987년 Michigan Technological University 석사 졸업.
2002년 한국과학기술원(KAIST) 전기 및 전자공학과 박사 졸업.
1990년∼1995년 한국전자통신연구원 선임연구원.
2000년∼2002년 ㈜KM Telecom 연구소장.
2003년∼2006년 서경대학교 전자공학과 전임강사 2006년∼현재 제주대학교 해양시스템공학과 부교수.
<주관심분야 : 통계학적 신호처리, 적응 배열 시 스템, 수중 및 이동 통신, UWB 무선전송기술>
배 진 호(정회원)
1993년 아주대학교 전자공학과 학사 졸업.
1996년 한국과학기술원(KAIST) 정보통신공학과
석사 졸업.
2001년 한국과학기술원(KAIST) 전자전산학과 박사 졸업.
1993년∼2002년 ㈜대양전기공업 실장.
2002년∼2002년 한국과학기술원(KAIST) BK21 초빙교수.
2006년∼2007년 Texas A&M 방문교수.
2002년∼현재 제주대학교 해양시스템공학과 부교수.
<주관심분야 : 광신호처리 및 통신, 레이다 및 소 나 신호처리, 항해 시스템>
Hofmann, “Hidden markov support vector machines,” International conference on machine learning, pp. 3-10, Washington DC, USA, August 2003.
[7] Ibrahim Onaran, N. Firat Ince, A. Enis Cetin, Aviva Abosch, “A hybrid SVM/HMM based system for the state detection of individual finger movements from multichannel ECoG signals,” International IEEE EMBS conference on neural engineering, pp. 457-460, Cancun, Mexico, May 2011.
[8] Dong-Hyuck Seo, Tae-Seong Roh, Dong-Whan Choi, “Defect diagnostics of gas turbine engine using hybrid SVM-ANN with module system in off-design condition,” Journal of mechanical science and technology, Vol. 23, No. 3, pp.
677-685, 2009.
[9] J.L.Rojo-Alvarez, M. Martinez-Ramon, A. R.
Figueiras- Vidal, A.Garcia-Armada, A.Artes -Rodriguez, “A robust support vector algorithm for nonparametric spectral analysis,” IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 52, No.
1, pp. 155-164, January 2004.
