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이상(특이) 적분 Improper Integrals
함수의 정적분이 정의되기 위해서는 주어진 함수의 정의역이 ‘유계 폐구간’이고 치역도 유 계인 ‘유계 함수’이어야 한다. 여기서는 이 두 조건을 만족하지 않는 두 가지 형태의 함수에 대 한 적분을 극한을 써서 정의한다.
1.1 특이 적분
유형 I 정의역이 무한구간인 경우: 의 정의역이 ∞ ∞ or ∞∞일 때, 오른쪽의 극한이 존재하면, 각각
∞ → ∞lim
∞ → ∞lim
∞ ∞ →∞ → ∞lim
로 정의한다.
유형 II 유계가 아닌 함수인 경우: 경계점에서 ±∞을 가질 때와 내점에서 ±∞을 가질 때로 나누어 보면, 에서 정의된 함수 가 임의의 ∈ 에 대해 에서 적분가능 하고
lim
→
가 존재할 때, 에서 의 특이적분은
lim
→
로 정의하고,
라고 쓴다. 마찬가지로, 의 정의역이 일 때, 오른쪽의 극한이 존재 하면,
lim
→
로 정의한다. 내점 에서 ±∞을 가질 때, 즉 ±∞일 때는
lim
→
lim
→
1.2 보기 (1)
∞ → ∞lim
→ ∞lim
→ ∞lim
(2)
∞ → ∞lim
→ ∞lim
(3)
∞ → ∞lim
→ ∞lim
ln ln ∞- 2 -
(4)
∞ lim
→∞
lim
→∞
(5)
∞∞
∞
∞ (6)
sec lim
→
sec ∞(7)
lim
→
sin
(8)
:발산 (주의.
ln
ln 가 아니다.)
(9)
ln (10)
1.3 보기
∞ 가 수렴하기 위한 의 값을 구하시오.풀이: 일 때는 발산하므로 ≠일 때를 생각하자.
일 때
∞ (수렴)하고 일 때는 발산한다.1.4 연습문제 (1)
가 수렴하기 위한 p의 값을 구하시오.(2)
가 발산함을 보이시오.(3)
가 발산함을 보이시오.(4)
∞ 임을 보이시오.(5)
임을 보이시오.- 3 -
1.5 비교 정리
인 에 대해 ≦ ≦ 인 두 연속함수 와 에 대해 (1)
∞ 가 수렴하면,
∞ 도 수렴한다.(2)
∞ 가 발산하면,
∞ 도 발산한다.1.6 보기 다음이 성립함을 설명하시오.
(1)
∞ 는 수렴한다.풀이: 구간 ∞ 에서 이므로 이다. 또한 자연지수 함수 는 증가함수이므로 구간 ∞ 에서 가 성립한다.
∞
∞ 에서
유한하고
∞ ≤
∞ 이므로
∞ 는 수렴한다.Note.
∞
가 성립하지만 중적분에서 계산가능 하다.(2)
∞ 는 발산한다.풀이: 일 때
이고
∞ 는 발산하므로.1.7 연습문제 ∞ 에서 정의된 함수
의 그래프를 축을 중심으로 돌려서 생기는
곡면을 Gabriel 경적기라고 한다.
(1) Gabriel 경적기의 부피:
∞ 임을 보이시오.(2) Gabriel 경적기의 겉넓이:
∞
≥
∞ ∞임을 보이시오.
