1.3 1.3 1.3
1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 조건부확률 1.3 조건부확률
교재 : 사범대생을 위한 확률과 통계, 장세경 지음, 경문사, 2012
1.3.1 조건부확률의 뜻과 성질
정의 19
확률이 이 아닌 두 사건 와 에 대하여 사건 가 발생했다는 조건 아래 사건 가 발생할 확률을 사건 가 일어났을 때의 사건 의 조건부확률이라고 한다.
기호 :
∩
참고. 조건부확률 는 사건 를 새로운 표본공간으로 생각하였을 때, 사건 ∩가 발생할 확 률이다.
예제 42. 두 기계 과 을 이용하여 제품을 생산하는 어떤 공장이 있다. 이 공장의 제품 중에서 기계에서 생산한 불량품은 9%이고 기계에서 생산한 불량품은 5%라고 한다. 불 량품 중에서 한 개를 선택할 때, 이 제품이 기계의 제품일 확률을 구하시오.
풀이. 불량품일 사건 = , 기계에서 생산한 불량품일 사건 =
예제 43. 어떤 회사의 주가가 금요일에 상승할 확률은 0.7이다. 그리고 금요일에 상승하고 그다음 주 월요일에 상승할 확률은 0.3이라고 한다. 어떤 특정한 금요일에 그 회사의 주가가 올랐다는 조건 아래에서 그다음 주 월요일에 다시 주가가 상승할 확률을 구하시오.
풀이. 금요일에 주가가 상승할 사건 = , 그다음 주 월요일에 주가가 상승할 사건 =
예제 44. 어떤 공장에서 생산한 전구를 1000시간 이상 사용할 확률은 0.8이고 1000시간 사용 후 350시간 이상 더 사용할 확률은 0.32라고 한다. 이 공장에서 생산한 전구를 1000 시간 이상 사용했다는 조건 아래에서 350시간 이상을 사용할 확률을 구하시오.
풀이. 전구의 수명이 1000시간 이상일 사건 = , 1000시간 사용 후 350시간 이상일 사건 =
정리 10
표본공간 의 세 사건 , , 에 대하여 다음이 성립한다. (단, ≠ , ≠ ) (1) ≤ ≤ (2)
(3) ∅ (4) (5) ∪ ∩
(6) ∩ ∅이면 ∪ (7) 개의 사건 , ⋯, 이 상호배반사건이면
증명.
정리 11 확률의 곱셈정리 I
표본공간 의 두 사건 , 에 대하여, , 일 때, 다음이 성립한다.
∩ ⋅ ⋅
참고. 확률의 곱셈정리 I은 세 개 이상의 사건에 대해서도 성립한다.
∩∩ ⋯ ∩
⋅⋅∩ ⋯ ∩∩ ⋯ ∩
예제 45. 어떤 단체의 회원 중에 40%가 남성이고 그 중 20%가 대학생이다. 이 단체에서 한 명의 회원을 선발할 때, 그 사람이 대학생인 남성일 확률을 구하시오.
풀이. 선발된 사람이 남성일 사건 = , 대학생일 사건 =
예제 46. 어떤 주머니에 3개의 당첨 제비가 포함된 총 10개의 제비가 들어 있다. 갑과 을 이 순서대로 1개씩 제비를 뽑을 때, 을이 당첨 제비를 뽑을 확률을 구하시오. (단, 뽑은 제비 는 다시 넣지 않는다.)
풀이. 갑이 당첨 제비를 뽑을 사건 = , 을이 당첨 제비를 뽑을 사건을 ∩ ∩
예제 47. 어떤 바구니에 10개의 검은 공과 5개의 흰 공이 들어 있다. 임의로 한 개의 공 을 꺼내어 색을 확인하고 나온 공과 같은 색의 공을 2개 더하여 주머니에 넣는 조작을 3회 반복할 때, 3회 모두 흰 공이 나올 확률을 구하시오.
풀이. 첫 번째 공이 흰 공일 사건 = , 두 번째 공이 흰 공일 사건 = 세 번째 공이 흰 공일 사건 =
정의 20
표본공간 의 개의 사건 , , ⋯, 이 다음의 조건을 만족할 때, 표본공간 의 분할이라 고 한다.
(1) ∩ ∅ (단 ≠ ) (상호배반) (2)
정리 12 전확률의 법칙
개의 사건 , , ⋯, 이 표본공간 의 분할일 때, 사건 의 확률은 이거나 다음이 성 립한다.
∩
⋅
증명. ∩∪∩∪ ⋯ ∪∩이고 ∩ ∅ ≠ 이므로
예제 48. 지수의 필통에는 볼펜 3자루와 형광펜 4자루가 들어 있고 동백이의 필통에는 볼 펜 4자루와 형광펜 3자루가 들어 있다. 한 필통에서 펜을 한 자루 꺼낼 때, 그 펜이 형광펜 일 확률을 구하시오.
풀이. 지수의 필통에서 펜을 꺼내는 사건 = , 동백이의 필통에서 펜을 꺼내는 사건 = 형광펜을 꺼내는 사건 =
예제 49. 어떤 소프트볼 팀에는 각각 승률이 0.4, 0.6, 0.8인 3명의 투수 갑, 을, 병이 있 다. 이 투수들이 10게임 중 각각 2게임, 3게임, 5게임에 출전한다고 할 때, 이 팀이 우승할 확률을 구하시오.
풀이. 갑이 출전하는 사건 = , 을이 출전하는 사건 = , 병이 출전하는 사건 = 우승하는 사건 =
정리 13 베이즈의 정리
개의 사건 , , ⋯, 이 표본공간 의 분할일 때, 사건 가 발생했다는 조건 아래 각 사건 의 조건부 확률은 0이 되거나 다음이 성립한다. (단, ⋯
∩
⋅
⋅
예제 50. 어떤 시험의 선다형 문제에서 학생은 정답을 알거나 추측한다. 학생이 정답을 알 고 있을 확률은 0.6이고 문제의 보기는 5개라고 한다. 한 학생이 답을 맞혔을 때, 그 학생이 답을 알고 있었을 확률을 구하시오.
풀이. 정답을 알고 있는 사건 = , 답을 추측한 사건 = , 정답을 맞히는 사건 =
예제 51. 어떤 금연교실에 참가하여 수료한 후 여성의 40%와 남성의 20%가 적어도 1년 동안 담배를 피우지 않았다. 금연에 성공한 이 사람들은 그 후에 금연성공 연회에 참석하는 데 만약 금연교실에 참가한 여성이 30%일 때, 금연성공 연회에 참석한 남성의 확률을 구하 시오.
풀이. 금연교실에 참가한 여성의 사건 = , 금연교실에 참가한 남성의 사건 = 금연성공 연회에 참석한 사건 =
예제 52. 남자의 5%, 여자의 0.25%가 색맹이라 할 때, 색맹인 사람을 무작위로 한 명 선 택한다. 다음의 경우에 선택한 사람이 남자일 확률을 구하시오.
(1) 남자의 수와 여자의 수의 비율이 똑같은 경우 (2) 남자의 수가 여자의 수의 2배인 경우
풀이. 남성이 뽑힐 사건 = , 여성이 뽑힐 사건 = , 색맹인 사람이 뽑힐 사건 =
1.3.2 사건의 독립과 종속
정의 21
표본공간 의 두 사건 , 에 대하여 일 때, 사건 와 는 서로 독립이라 하고, 독립이 아닌 두 사건 , 는 서로 종속이라고 한다.
정리 14 확률의 곱셈정리 II
표본공간 의 두 사건 , 가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은
∩ ⋅ (단, , ) 이다.
참고. 확률의 곱셈정리 II는 세 개 이상의 사건에 대해서도 성립한다.
∩∩ ⋯ ∩ ⋅ ⋯ 이다. (단, , ⋯ )
정리 15
표본공간 의 두 사건 , 에 대하여 다음이 성립한다.
(1) 또는 일 때, 두 사건 와 는 독립사건이다.
(2) , , 와 가 상호배반사건일 때, 두 사건 와 는 독립사건이 아니다.
(3) 두 사건 , 가 독립사건이면 또는 이다.
예제 53. 두 명의 농구선수가 한 번의 자유투에서 공을 넣을 확률은 각각 0.8, 0.7이다.
다음을 구하시오.
(1) 두 명의 선수가 모두 공을 넣을 확률 (2) 둘 중 한명의 선수가 공을 넣을 확률
풀이. 각 농구 선수가 한 번의 자유투에서 공을 넣을 사건 = ,
예제 54. 서울 지역의 60대 이상의 남성 중 60%는 고혈압, 20%는 고지혈증, 70%는 고 혈압 또는 고지혈증의 증세가 있다고 한다. 고혈압과 고지혈증은 독립인지 구하시오.
풀이. 고혈압인 사건 = , 고지혈증인 사건 =
예제 55. 어떤 중국집에서 손님이 탕수육을 주문할 확률은 0.5이고 탕수육을 주문한 사람 이 자장면을 주문할 확률은 0.8이다. 손님의 40%가 음식을 배달시킬 때, 손님이 탕수육과 자장면을 주문하여 배달시킬 확률을 구하시오.
풀이. 탕수육을 주문하는 사건 = , 자장면을 주문하는 사건 = , 배달시키는 사건 =
예제 56. 현준이는 작년 입시에서 , , , 대학교에 입학 원서를 제출하였다. , ,
대학교에 합격할 확률이 각각 0.8, 0.6, 0.5이고 대학교에 합격했을 때, 대학교에 합격할 확률이 0.9라고 한다. 현준이가 네 개의 대학교에 모두 합격할 확률을 구하시오.
풀이. 각 대학교에 합격할 사건 = , , ,
정리 16
표본공간 의 두 사건 , 가 서로 독립일 때 다음이 성립한다.
(1) 사건 , 는 서로 독립이다.
(2) 사건 , 는 서로 독립이다.
(3) 사건 , 는 서로 독립이다.
증명.
예제 57. 50개의 스위치로 연결된 회로가 있다. 각 스위치가 닫히지 않을 확률은 0.1로 동 일하다고 할 때 다음을 구하시오. (단, 각 스위치는 독립적으로 작동한다.)
(1) 병렬로 연결된 회로가 작동할 확률
(2) 직렬로 연결된 회로가 작동할 확률 (교재풀이 오타) 풀이. 각 스위치가 닫힐 사건 =
