신호와 시스템

전기공학과

전태현 교수님 연속시간 신호의 수학적 표현

신호와 시스템

[ 2강 ]

다양한 물리적 신호의 수학적 표현 방법에 대해 학습한다.

함수의 스케일링 및 편이 성질에 대해 학습한다.

학습목표

1. 신호의 표현을 위한 수학적 함수

) (t

g

불연속점(discontinuity)

) ( lim )

( lim

0 0

t g t

g

t t t

t ^



) (t₀^ g

) (t₀^ g

t

연속 시간 함수 (continuous-time function) vs. 불연속 함수

독립변수 t 가 실수이고 모든 t 에 대하여 g(t)가 정의되어 있을 경우 → g(t) 는 연속 시간 함수임

불연속 함수는 어떤 한 점 t₀ 에 대하여 양의 방향에서 접근할 때와 음의 방향에서 접 근할 때의 값이 다른 경우가 발생하며 이 점 t₀ 를 불연속 점이라 함

1. 신호의 표현을 위한 수학적 함수

) cos(

) 2

cos(

) /

2 cos(

) (

0 0

0

























t A

tf A

T t A

t g

사인 함수와 복소 지수 함수

A: 함수의 진폭, T₀ : 기본 주기, f₀: 기본 주파수, ₀ : 함수의 각주파수 T₀ = 1/f₀

)]

sin(

) [cos(

)

( t Ae

Ae

t j

t

g 



  

A : 함수의 진폭, ₀ : 감쇠율 (damping rate)

1. 신호의 표현을 위한 수학적 함수















0 , 0

0 , 5 . 0

0 , 1 )

(

t t t t

u 1

5 . 0

) (t

u u(t)

t t

1 ) ( 2 0 , 1

0 , 0

0 , 1 )

sgn(  





















 u t

t t t

t 1

0

) sgn(t

1

) sgn(t

t t

















  ^tu d tu t

t t

t t ( ) ( )

0 , 0

0 ) ,

(

ramp   ₁

0 1 ) ( ramp t

t

단위 계단 함수 (unit-step function)

부호 함수 (signum function)

단위 램프 함수 (ramp function)

1. 신호의 표현을 위한 수학적 함수





 ^tu d t) ()  (

ramp

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 1

) ( u

 )

( u

) ( u





1 t

2 t

4 t

-2 -1 0 1 2 3 4 4

3 2 1

1 t

2

t t  4

t

단위 계단 함수와 단위 램프 함수의 관계

램프함수는 계단함수와 위 적분식의 관계에 있으며 여기서  는 계단함수의 독립변 수, t 는 램프함수의 독립변수를 의미함

시간 t 에서 램프함수의 값은 단위 계단함수의 인수  에 대하여 –∞에서 시작하여 t 까지 (t 를 이동하면서) 계단 함수 아래의 면적을 적분하여 구함을 의미

t<0 인 경우 적분값은 0 이 됨

적분의 결과값을 관찰하면 ramp(t)=tu(t) 와 동일함을 알 수 있음

1. 신호의 표현을 위한 수학적 함수

0 t )

(t ₁

3 t ) 3 (

4 t ⁴

1 t

 ) 1 (

2 

  t

2

단위 임펄스 함수 (unit-impulse function)

매우 짧은 시간에 단위 면적을 가지는 함수



  









0 , 0 ) (

2 1

2

1

t dt t

t

t t

t

t





임펄스 함수의 면적은 일반적으로 강도(strength) 혹은 가중치(weight) 라고 불리움 임펄스 함수가 1의 강도를 가질 때 단위 임펄스 함수라 함

임펄스 함수는 t=0 에서 정의되지 않기 때문에 그래프로 표현하기 어려움 : 일반적으로 강도의 세기를 화살표의 길이로 표현함

2. 함수의 스케일링 및 편이

t )

(t u

0

) ( 2 tu

t 0

t 1

0 1 ) ( g t

1 5 . 0 0 ) 2 ( g t

t

진폭 스케일링 (amplitude scaling)

함수에 상수를 곱하는 연산 : g(t) → Ag(t) 예) u(t) → 2u(t)

시간 스케일링 (time scaling)

함수에 독립변수에 상수 a 를 곱하는 연산 : g(t) → g(at) 예) g(t)=ramp(t) → g(2t)

2. 함수의 스케일링 및 편이

) (t u

0

) 5 (t u

5

) (t

u u( t )

0 0

시간 편이 (time-shifting)

t → t-t₀ 로의 변화는 모든 t 에 대하여 t-t₀ 의 함수 값을 현재 시간 t 로 가져오는 것을 의미함 : 시간 이동 (time-translation) 이라고도 불리움 예) u(t+5) : t₀=-5

시간 반전 (time-inversion)

t → -t 로의 변화 : 시간 스케일링의 특수한 예 (a=-1) 그래프를 세로축을 기준으로 대칭 변환하는 효과

예) u(-t) : a=-1

신호는 실제 물리적인 현상으로 정보를 담고 있으며 함수는 신호의 유용핚 수학적 표현 방법의 하나이다.

연속시간 임펄스 함수는 신호와 시스템을 해석하는데 필수적인 함수이지만 물리적으로 존재하지 않는 신호이다.

많은 시스템의 입력과 출력 신호의 관계는 스케일링과 편이의 조합으로 표현될 수 있다.

학습정리