New Physics: Sae Mulli,
Vol. 69, No. 10, October 2019, pp. 993 ∼1008 http://dx.doi.org/10.3938/NPSM.69.993
A Short Introduction to Kitaev Magnetism: An Electronic Structure Perspective
Heung-Sik Kim ∗
Department of Physics, Kangwon National University, Chuncheon 24311, Korea (Received 22 August 2019 : revised 17 September 2019 : accepted 17 September 2019)
In this short review, we will introduce Kitaev magnetism in two- or three-dimensional magnetic materials based on an electronic structure and materials physics perspective. Specifically, the focus will be on the significance of spin-orbit coupling and anisotropic magnetic exchange interactions in devising the Kitaev exchange interaction. First, the quantum mechanical aspects of magnetism on the lattice geometry will be addressed, then, the effects of spin-orbit coupling and the resulting Jackeli-Khaliullin mechanism will be discussed. An introduction to Kitaev’s exactly solvable model and its solution will be discussed later. Finally, we will review currently studied Kitaev candidates, the history of researches and various trials to realize Kitaev magnetism and measure the predicted Majorana mode.
PACS numbers: 75.10.Jm, 75.30.Gw, 75.47.Lx
Keywords: Kitaev magnetism, Spin-orbit coupling, Magnetic frustration, Spin liquid
키타에프 자성에 대한 간략한 소개 : 전자구조계산 연구자의 관점에서
김흥식 ∗
강원대학교 물리학과, 춘천 24311, 대한민국
(2019년 8월 22일 받음, 2019년 9월 17일 수정본 받음, 2019년 9월 17일 게재 확정)
본 리뷰에서는 2차원 및 3차원 자성체에서 나타나는 키타에프 (Kitaev) 자성에 대한 제일원리 전자구 조계산 및 물성물리적 관점에서의 간략한 소개를 하고자 한다. 특별히 본 논문에서는 키타에프 자성을 실현하기 위한 결정상 물리계에서의 스핀-오비탈 결합의 중요성 및 이를 통해 발생하는 비등방적인 자성 상호작용에 대한 소개를 중점적으로 다룰 예정이다. 우선 결정구조 위에서의 양자역학적 효과에 의한 자성의 발생, 스핀-오비탈 (Orbital) 결합 및 Jackeli-Khaliullin 메커니즘에 대한 소개를 마친 뒤, 키타에프 자성 모델 및 이의 정확한 풀이 방법과 그 해에 대한 간략한 소개를 할 것이다. 그리고 2009년 이후로 제안되어 온 해당 자성을 가질 수 있는 후보 물질들 및 실물질에서의 키타에프 자성 연구 및 실험적으로 키타에프 자성에 의해 발생하는 스핀 액상 및 마요라나 (Majorana) 페르미온 (Fermion) 을 관찰하기 위한 시도들에 대한 역사를 소개한다. 마지막으로 키타에프 자성을 구현하기 위한 방법들을 제일원리 전자구조계산 방법론의 관점 하에서 소개하는 한 편 이에 대한 최신의 이론 및 실험 연구들을 소개하며 본 리뷰를 마무리하고자 한다.
PACS numbers: 75.10.Jm, 75.30.Gw, 75.47.Lx
Keywords: 키타에프 자성, 스핀-오비탈 결합, 자성 쩔쩔맴, 스핀 액상
∗ E-mail: [email protected]
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I. 서 론
인류가 산화철과 같은 강자성체(ferromagnet)로부터 자 성을 관찰한 것과, 이의 근원에 대한 철학적인 논의를 시도 한 것 및 이를 항해에 사용하고자 한 시도는 기원 전 그리스 시대까지 거슬러 올라간다 [1]. 자성에 대한 보다 깊은 이 해는, 19세기 말 앙페르 (Ampere), 외르스테드 (Oersted), 페러데이 (Faraday) 등에 의해 전기 및 자기장에 대한 많은 실험적인 발견이 이루어진 후, 그리고 전기 및 자기에 관한 이론이 맥스웰 (Maxwell)에 의해 성립 및 전자기 이론으로 통합된 후에야 이루어졌다고 할 수 있다 [2]. 그럼에도 불 구하고, 앞서 말한 산화철과 같은 자성 물질에서 발견되는 자성의 원인에 대한 이해는 20세기 중반 양자역학 및 고 체물리학의 성립 및 발전이 있기 전까지 이루어지지 못했 으며, 이는 물질의 자성의 기본 단위인 전자의 스핀 (spin) 및 이러한 스핀들 사이의 상호작용이 근본적으로 양자역학 하에서만 설명이 가능했기 때문이다 [3].
양자역학적 자성의 놀라운 점은, 자성을 구성하는 전자 의 스핀 등 기본 구성 요소들이 고정된 실체가 아닌, 다른 구성요소들과의 양자역학적 얽힘 (entanglement) 을 통해 완전히 다른 객체로 변화할 수 있다는 점이다. 쉬운 예제로 두 S = ¯h/2 (앞으로 ¯ h = 1 로 놓음) 스핀들 사이의 교환 상호작용 (exchange interaction)에 의한 자성을 띠지 않는
‘홑겹 상태 (singlet state)’ 형성이 있다. 보다 흥미로운 예 로, 이러한 홑겹 상태들이 결정상 물질 내에서 정렬된 상태 를 유지하는 ‘홑겹 결합 고체 상태 (valence bond solid)’ [4]
및, 보다 유명한 예로 P. W. Anderson이 구리 산화물의 고온 초전도성을 설명하기 위해 도입한 홑겹 경합 쌍들의 양 자역학적 요동에 의해 발생하는 ‘공명 홑겹 결합 (resonant valence bond)’ 상태가 있다 [5,6]. 이 중 후자는, 비록 고온 초전도성의 해답은 아닌 것으로 밝혀졌지만, 소위 말하는
‘양자 스핀 액상 (quantum spin liquid)’ 상태의 첫번째 이 론적 제안으로, 이후 양자 자성이라는 새로운 분야의 시발 점이 되어 수많은 후속 연구를 불러 일으켰다 [7]. 양자 스핀 액상에서는 전자의 전하 이동 없이 스핀의 쌍생성 및 쌍소 멸만이 양자 요동에 의해 발생하며, 따라서 전자의 전하와 스핀이 분리되는 소위 전자의 ‘쪼개짐 (fractionalization)’
이 발생한다 이론적으로 제안되어왔다. 이처럼 고전적인 자성과는 매우 다른 양자역학적 자성을 이해하기 위한 수 많은 이론 및 실험 연구들이 있어 왔으며, 최근 들어서는 이러한 양자 액상과 위상 물질 (topological matter) 과의 연관성 때문에 더욱 많은 주목을 받고 있는 상황이다 [8,9].
양자 스핀 액상에 대한 가장 대표적인 연구 분야로, ‘키타 에프 스핀 액상 (Kitaev spin liquid)’을 빼놓을 수 없다. 이
i
j k
l K z
z i z l
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K x x i x
j
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K y y i y k
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hiji2↵
K ↵ ↵ i ↵
j
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Fig. 1. (Color online) An illustration of Kitaev’s exactly solvable model on a two-dimensional honeycomb lattice.
Red, green, blue colors on each nearest-neighbor bond between lattice points represent anisotropic Ising-like ex- change interactions coupling z, x, and y components of adjacent (pseudo)spin-1/2 moments, respectively.
는 칼텍의 Alexei Kitaev에 의해 2 2006년에 제안된 자성 모 델 및 이의 해석적 정확한 풀이를 그 시발점으로 하고 있다.
해석적으로 정확한 해를 얻을 수 있는 강한 상호작용 (strong correlation) 을 갖는 모델은 흔치 않으며, 놀랍게도 키타에 프의 모델의 바닥 상태는 오류에 둔감한 (faule-tolerant) 위 상학적 양자 연산을 (topological quanrtum computation) 수행할 수 있는 비-아벨리안 애니온 (non-abelian anyon) 기본 들뜸 (elementary excitation) 상태를 가질 수 있음이 모두 2006년의 키타에프의 논문에 의해 밝혀졌다 [10].
키타에프의 모델은 2차원 벌집격자 (honeycomb lattice) 위에서 다음과 같이 정의된다. (Fig. 1 참조)
H K = ∑
⟨ij⟩∈α
K α σ i α σ j α (1)
여기에서 σ α i (α = x, y, z) 는 벌집격자 위의 각 격자점에 위치한 스핀 S = 1/2 또는 전체 각운동량 (total angular momentum) J ≡ L + S = 1/2 모먼트 연산자의 성분들이 며, ⟨ij⟩은 가장 가까운 이웃 i, j 를 뜻한다. α는 i ↔ j 가 가 질 수 있는 벌집격자 위의 3가지 다른 방향을 나타내며, K α
는 서로 다른 방향으로의 원자간 자성 상호작용의 크기를 뜻한다. 해당 모델이 실제 물질에서 발현될 수 있는 방법 및 그 해의 성질에 대해서는 각각 섹션 III 및 IV을 참고하기 바란다.
2 “One thing we know about Alexei Kitaev, is that he always has
an answer. In this case it was the Kitaev model.” Gil Rafael,
2015년 Arnold Sommerfeld School 강의노트에서.
A Short Introduction to Kitaev Magnetism: An Electronic Structure Perspective – Heung-Sik Kim 995
키타에프가 처음 해당 모델을 제안했을 때 특정한 물질 또는 물리계를 염두에 두었는지는 알려져 있지 않으나, 해당 모델의 형태가 실제 자성체에서 주로 나타나는 자성 상호작 용의 형태와는 많이 다르기 때문에 (이에 대한 설명은 섹션 II 참고) 이는 제안 후 한동안은 양자 연산 연구를 위한 이론 적인 도구로서만 사용되었을 듯 하다. 하지만 자연계의 놀라 운 점은 (또는 인간의 상상력은), 실제 존재할 것 같지 않은 이론 모델 또한 어떻게든 구현 방법을 찾아낸다는 것으로, 키타에프 모델의 경우 역시 제안된지 3년만인 2009년 독일 막스플랑크 연구소의 George Jackeli와 Giniyat Khaliullin 의 공동연구에 의해 실제 물질에서 발현 가능하다는 것이 발견되었다 [11, 12]. 오래 지나지 않아 Jackeli-Khaliullin 에 의해 제안된 구조를 가진 물질들인 α-Na 2 IrO 3 [13–16]
α, β, γ-Li 2 IrO 3 [17–20] 그리고 α-RuCl 3 등의 [21–24] 물질 들에서 키타에프 자성에 대한 증거들이 속속 실험적으로 보고되기 시작하였으며, 이 분야는 최근 강상관 응집물질 물리 및 양자 자성 연구의 가장 뜨거운 주제로 자리잡았다.
최근 10년 사이에 있었던 또다른 혁명적인 발견이었던 위상 절연체 및 각종 위상 물질의 이론적 예측 및 실험적 증명과 더불어 [25, 26], 키타에프 자성 연구는 이론 연구에 의해 시작되어 성공적으로 확인된 매우 드문 분야라 할 수 있다.
국내 물리학 연구와 관련하여 키타에프 자성에 대한 연 구는 뜻깊은 의미를 가지는데, 이는 바로 2009년의 Jackeli- Khaliullin의 발견이 2008년 국내 연구진에 의해 국내에서 발견 및 설명된 소위 J eff = 1/2 유사 스핀 자성에 매우 강하게 의존하고 있었다는 사실이다 [27,28]. 후술할 바와 같이, 해당 연구는 2005년의 위상절연체 발견과 더불어 무 거운 원소에서 강하게 나타나는 상대론적 스핀-오비탈 결합 (relativistic spin-orbit coupling) 의 중요성을 응집물리학 계에 깊이 각인시켰으며, 이로부터 시작된 키타에프 자성에 대한 연구는 5d-전이금속 산화물에서 나타날 수 있는 고온 초전도체 연구와 더불어 [29–32] 강상관 응집물질물리 연 구의 중요 주제로서 자리잡았다. 해당 주제에 대한 리뷰 논 문은 이미 다수 출판되었으나 [33–35], 놀랍게도 한국에서 시작되었다고 할 수 있는 주제임에도 불구하고 동 주제에 대한 국문 소개 자료는 아직까지는 충분하지 않은 상황이 다 3
본 리뷰에서는 키타에프 자성의 근원 및 이의 결과, 또한 후보 물질군들과 이의 최근 연구 결과들에 대한 간략한 소 개를 다루고자 한다. 이 중에서도, 필자가 중점적으로 연구 해왔던 자성에서의 스핀-궤도 결합 및 이로 인해 발생하는
3 스핀 액상 및 강상관 위상 물질 상태에 대한 국문 소개는 다음을 참 고하시오 : 문은국, ” 위상물질에서의 상호작용에 의한 새로운 현상”, 물리학과 첨단기술, 제 25권 5호 (2016).
스핀-오비탈 얽힘의 영향 및 결과를 중점적으로 서술하고 자 한다. 특별히, 해당 분야에 관심이 있거나 연구를 시작 하고자 하는 대학원생을 주된 독자로 삼고자 하며, 따라서 자세하고 심도 있는 설명보다는 분야에 대한 개괄적인 소개 및 정성적 이해를 목표로 한다. 보다 깊은 논의 및 자세한 연구 진행 상황에 대해서는 본 리뷰에서 인용하는 다른 리뷰 [33–35], 및 연구 논문들을 참고하기 바란다. 섹션 II에서 는 자성의 양자역학적 설명에 대한 간략한 소개 및 원소의 스핀-오비탈 결합이 어떻게 자성의 비등방성을 이끌어내 는지에 대한 설명을 다루며, 뒤이은 섹션 III에서는 실제 물질에서의 키타에프 자성을 이끌어낼 수 있는 방법에 대한 Jackeli-Khaliullin의 논의롤 소개한다. 이후 섹션 IV에서는 키타에프 자성 모델 및 이의 해의 성질을 간략히 소개하며,
섹션 V에서는 현재 키타에프 자성 물질 후보로 연구되고
있는 물질들 및 현재 진행상황에 대한 소개를 하고자 한다.
마지막으로 섹션 VI에서는 키타에프 자성 이외에 발생할 수 있는 또 다른 스핀 액상 상태, 그리고 전자구조계산 연구의 관점에서 키타에프 자성을 보다 강하게 이끌어낼 수 있는 방안을 논의하며 본 리뷰를 마무리하고자 한다.
II. 자성의 양자역학적 효과에 대한 기본적인 소개
1. 하이젠베르크 자성 모델 - 가장 기본적인 자성 모 델의 예
학부생 수준, 특별히 2학년 전자기학을 배운 수준에서 고체 상태의 물질에서 발견되는 자성에 대해 가질 수 있는 오해로 다음 두 가지를 들 수 있을 것이다 ; 1) ‘물질 내부 에는 자성을 유발하는 전하의 소용돌이가 존재할 것이다’, 2) ‘물질의 자성은 전하의 소용돌이 사이의 자기 쌍극자 상호작용에 의해 유발될 것이다.’ 특정 현상 및 영역에서는 이러한 생각이 사실이라고 할 수 있을 것이나, 원자 크기 수 준의 미시적 세계에서 발생하는 자성은 이러한 해석으로는 설명될 수 없음은 이제 잘 알려진 사실이다. 보다 구체적으 로, 원자 수준의 미시 세계에서의 자성을 구성하는 2가지의 필수 요소로 다음을 들 수 있다 :
• 자성의 구성 단위 : 전자가 가지는 ‘스핀 및 오비탈 각운동량 S, L, J ≡ L + S,
• 전자들 사이에 발생하는 ‘파울리 배타 원리 (Pauli
exclusion principle).’
다만, 두 번째 구성 요소인 파울리 배타 원리는 첫번째 성 질인, 전자가 가지는 (¯ h 에 대한) 반-정수배 스핀 각운동량 에서 유발된다 할 수 있으며, 이는 양자장론의 스핀-통계 정리에서 증명된다 [36].
가장 간단한 미시적 자성의 예로, s-오비탈만을 가지는 원자들로 이루어진 격자구조 위에 원자 수와 같은 전자들이 올라앉아 있을 때 발생할 수 있는 ‘하이젠베르크 자성 교환 상호작용 (Heisenberg magnetic exchange interaction)’을 예로 들 수 있다. 격자구조 내 전자의 운동에너지의 크기로 결정되는, i, j 번째 원자들간의 전자간 건너뜀 상수 t ij 에 비해서, 개별 원자들 내부에서 작용하는 전자간 쿨롱 밀침 힘의 크기 U 가 훨씬 큰 상황을 생각해보자 ( |t ij | ≫ U).
이러한 상황에서는 전자간 밀침힘 U 에 의해 전하의 이동이 봉쇄되는, 소위 말하는 ‘모트 절연체 (Mott insulator)’ [37]
상태가 발생하게 되며, 이 때 각 원자에 위치한 전자들간의 자성 교환 상호작용 J 및 이로 표현되는 해밀토니안을 다 음과 같이 쓸 수 있다.
H = ∑
i,j
H ij ≡ ∑
i,j
J ij S i · S j (2)
여기에서 J ij 는 i, j 번째 원자 위에 위치한 전자의 스핀 모 먼트 S i , S j 사이의 자성 교환 상호작용을 나타내며, 이는 대략 i, j 번째 원자들간의 건너뜀 상수 t ij 및 쿨롱 밀침 힘 U 의 함수로 다음과 같이 쓰인다 (Fig. 2 참조).
J ij = t ij t ji
U . (3)
이는, 전자가 i 번째 자리에서 j 번째 자리로 건너뛰어 (t ij ) 바닥상태보다 U 만큼 높은 ‘가상의 들뜸 상태 (virtually excited state)’에 도달한 후, 들뜸상태를 유지하기 위한 에 너지를 지불할 능력이 없어 다시 원래 자리로 되돌아오는 (t ji ) 과정을 거친 것으로 이해할 수 있다. 모델을 극단적으 로 단순화하여, 가장 가까운 원자들 (격자점) 사이의 전자의 건너뜀만이 허용되며, 모든 건너뜀상수 t ij 는 t로 똑같다고 가정하자. 이 때 우리의 자성 모델 해밀토니안은 다음과 같아진다.
J ij = t ij t ji
U . (4)
이는, 전자가 i 번째 자리에서 j 번째 자리로 건너뛰어 (t ij ) 바닥상태보다 U 만큼 높은 ‘가상의 들뜸 상태 (virtually excited state)’에 도달한 후, 들뜸상태를 유지하기 위한 에 너지를 지불할 능력이 없어 다시 원래 자리로 되돌아오는 (t ji ) 과정을 거친 것으로 이해할 수 있다. 모델을 극단적으 로 단순화하여, 가장 가까운 원자들 (격자점) 사이의 전자의
Fig. 2. (Color online) An illustration of two-dimensional square lattice, electrons with spin moments located on it, and the hopping and virtual excitation processes. When the on-site Coulomb repulsion U is much larger than the hopping integrals t ij and t ji ≡ t ∗ ij between i, j-th sites, then the electron at site i cannot hop to site j, and only virtual excitations to site j are allowed.
건너뜀만이 허용되며, 모든 건너뜀상수 t ij 는 t로 똑간다고 가정하자. 이 때 우리의 자성 모델 해밀토니안은 다음과 같아진다.
H = J ∑
⟨i,j⟩
S i · S j (J ≡ t 2 /U ) (5)
여기에서 인덱스 i, j 는 (1차원 이상의) 공간에 속한 격자 점들의 좌표를 나타내며, ∑
⟨i,j⟩ 은 격자점 i, j 가 가장 가 까운 이웃일 때만 합 연산을 수행한다는 뜻이다. 간단한 설명을 위해 위 예에서는 자성 모먼트 S는 전자의 스핀 ¯ h/2 만을 고려했으나, 일반적으로는 S 는 이보다 큰 값을 가질 수 있으며, 이 때 위 모델을 S 에 대한 ’ 하이젠베르크 자성 해밀토니안 (magnetic Heisenberg Hamiltonian)’ 이라 한 다. 이는 강한 전자간 밀쳐냄에 의해 국소화된 전자들이 존재하는 상황에서의 가장 간단한 자성에 대한 모델이라고 할 수 있다. 4
4 이외에도, 자유롭게 격자 위를 돌아다니는 전자들 사이에 발생하는 ’
스토너 자성 (Stoner magnetism)’, 자유롭게 돌아다니는 전자와 격자
점에 국소화된 자성 모먼트가 공존할 때 벌어지는 ’RKKY 상호작용’,
서로 다른 전하를 띠고 있는 원자 사이에 발생하는 ’이중 교환 (double
exchange) 자성 모델’ 등 수많은 자성 상호작용이 존재한다.
A Short Introduction to Kitaev Magnetism: An Electronic Structure Perspective – Heung-Sik Kim 997
2. 비등방적 자성 및 스핀-오비탈 결합의 역할
위에서 얻은 하이젠베르크 자성 모델은, 우리가 학부 고 학년 통계물리를 통해 배웠던 ‘이징 모델 (Ising model)’ 과 같은 보다 간단해 보이는 자성 모델과는 다른 형태를 띠고 있다. 위 하이젠베르크 모델에 자성 모먼트들이 특정 방 향을 선호하도록 강력한 에너지 페널티 함수를 주게 되면 (예를 들어 ∆ H Ising ∝ −I ∑
i (S z i ) 2 , I ≫ |J| > 0 을 가정) 하이젠베르크 자성 모델이 이징 모델로 수렴해 감을 알 수 있다. 이러한 자성의 ‘비등방성 (anisotropy)’ 은 위 하이젠 베르크 모델에는 전혀 고려되어있지 않는데, 해당 모델의 성질에 대한 논의에 자성 모먼트들의 공간적 방향에 대한 정보가 전혀 필요하지 않았음을 생각한다면 이는 당연한 결과라 할 수 있다.
조금 다른 방향에서 자성의 비등방성에 대한 논의를 진 행해 보도록 하자. 위 식 (5)에서, 격자구조 내 가장 가까운 이웃인 i, j 번째 원자들 사이의 자성 상호작용인 H ij 를 살 펴보도록 하자. 자성 모먼트 연산자 S i,j 를 3차원 공간 내 벡터 (S i,j x , S i,j y , S i,j z ) 로서 쓸 수 있음을 생각한다면, H ij 는 다음과 같이 표현될 수 있다.
H ij = (S i x , S i y , S i z ) ·
J 0 0 0 J 0 0 0 J
·
S j x S y j S j z
(6)
위 항을 살펴보면 이상한 사실을 발견할 수 있는데, 만약 i, j 번째 자성 모먼트를 포함, 격자구조 전체의 자성 모먼트 를 임의의 방향에 대해 임의의 각도만큼 회전시키는 연산 R(n, θ) ≡ e −iθn· ∑ i S i 을 적용하더라도 H ij 는 전혀 변하지 않는다는 점이다. 즉 해당 모델은 격자점들에 위치한 모든 자성 모먼트에 대한 연속적 회전 대칭성 (global continuous rotation symmetry)를 가지며, 이는 분명히 격자 구조가 가 질 수 있는 불연속적 회전대칭성(discrete rotation symme- try) 보다 높다. 결정계 물질들 및 모델의 물성은 노이만의 원리(Neumann’s principle)에 따라 해당 계가 가지는 대칭 성을 따라야 한다는 사실에 비추어 생각하면 이는 이상한 결과라고 할 수 있다.
조금 더 구체적으로, Fig. 3는 강한 전자간 상호작용을 갖는 전이금속 화합물에서 흔히 나타나는 금속-음이온 8면 체 구조 (청색 원자 - 전이금속, 자주색 - 음이온) 및 이들이 모서리를 공유하며 연결되어 있는 경우를 보여주고 있다.
자성 모먼트가 전이금속 원자에 머무르며, 또한 두 전이금 속 사이의 중심점이 D 2h 점그룹 대칭성을 갖는 경우, 해당 대칭성은 두 자성 모먼트 사이의 자성 상호작용을 다음과 같은 형태로 강제함을 볼 수 있다 (Fig. 3 하단 참조).
H ij = (S i x , S i y , S i z ) ·
J Γ 0 Γ J 0 0 0 J + K
·
S j x S j y S j z
(7)
(a)
r
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r Ir Ir = p 2a
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r Ir Ir = 2a/ p 3
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Ir (d 5 ) t 2g
j eff =3/2 j eff =1/2
~2 λ SO /3 ~2 √2 t dd
3 X t 2g
15 els.
bonding non- bonding
anti- bonding
Ir
O a
λ SO > t dd (b) t dd ≫ λ SO
i j
x y z
I : S ˆ i $ S j
ˆ
m [001] : (S x , S y , S z ) i,j ! ( S x , S y , S z ) i,j
ˆ
m [1¯ 10] : (S x , S y , S z ) i,j ! ( S y , S x , S z ) i,j
ˆ
m [110] : (S x , S y , S z ) i $ (S y , S x , S z ) j
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Fig. 3. (Color online) Transition metal-anion local oc- tahedral geometry, where the two octahedra sharing an edge (blue sphere : transition metal ion, red sphere : anion). Lower part of the figure show generators of the D 2h point group and how they force transformation rules between neighboring magnetic sites. ˆ I is the spatial in- version, and ˆ m n (n = [001], [1¯ 10], [110]) are mirror planes perpendicular to n and including the i-j bond center.
여기에서 J, K, Γ 는 서로 다른 자성 상호작용을 뜻하며, 이들의 구체적 형태 및 물리적 의미는 후술하도록 한다. 두 자성 이온 사이의 대칭성이 D 2h 보다 낮을 경우 H ij 는 보다 많은 독립변수들에 의해 표현되어야 한다. 여기에서 주의할 점은, 하이젠베르크 자성 모델의 경우와는 달리 자성 모먼트 들의 x, y, z 방향 성분들은 결정구조에 의해 정의되는 좌표 계에 매여 있다는 점이다 (이 경우는 금속-음이온 8면체의 중심점에서 각 꼭지점을 잇는 세 직교 방향이다. Figure 3 참조). 다시 말해서, 이 모델은 하이젠베르크 모델과 달리 더 이상 자성 모먼트 전체에 대한 연속적 회전 대칭성을 갖지 못하며, 이는 위 상호작용 중 Γ, K 항 떄문이다.
상기한 대칭성에 의해 자성 상호작용의 형태를 강제하는
방법에서는 결정구조가 가지는 대칭성만이 고려 되었을 뿐,
그 어떤 근사법이나 가정도 포함하지 않았음을 생각한다면,
앞서 말한 하이젠베르크 모델을 유도하는 방법에서 고려
되지 못한 부분이 두 모델 사이의 차이를 주었으며, 구체
적으로 말하면 식 (7)에서 등장하는 K, Γ 항이 식 (6)에 나
타나지 않는 것은 하이젠베르크 모델을 유도하는 과정에서
고려되지 못한 부분 때문이라 짐작할 수 있다. 결론부터
말하자면, (7)에서 나타나는 자성의 비등방성 (K, Γ 항) 은
자성 모먼트가 머무르는 원자에 존재하는 ‘오비탈 자유도
(orbital degree of freedom)’ 및 이로부터 나타나는 상대론
적 스핀-오비탈 결합 때문이며, 스핀-오비탈 결합이 없을
경우 자성의 비등방성은 사라지게 된다.
3. 스핀-오비탈 결합 및 스핀-오비탈 얽힘 자성 모먼트
고전적인 관점에서 보면, 원자핵 주변을 돌고 있는 전자 는 전류 및 이에 의한 자기장을 만들어내며, 전자가 갖고 있는 스핀은 자기장과 제만 (Zeeman) 상호작용을 하게 된 다. 간단한 고전적 궤도 모델을 통해 이의 세기를 계산할 수 있으며, 이의 효과는 다음과 같이 나타난다.
H SOC ≡ λL · S (8)
여기에서 λ는 원자 번호 Z 의 4제곱에 비례하는 값이며, 해 당 식은 놀랍게도 상대론적 디락 방정식을 통해서도 1/2의 계수 차이만 제외하면 똑같이 유도될 수 있다 5 . 따라서 이를 상대론적 스핀-오비탈 결합이라고 부르며, 원자 번호가 큰 무거운 원자일수록 (또는 전자들의 고전적인 속력이 빠른) 원자핵 근처에 머무르는 전자일수록 강한 스핀-오비탈 결 합을 갖게 된다.
식 (8) 의 형태에서 볼 수 있듯, 스핀-오비탈 결합에 의해 전자의 스핀은 전자가 갖고 있는 오비탈 각운동량 모먼트 L 과 같은 방향을 가리키려 한다. 그리고 전자의 오비탈 각운 동량 L은 전자와 자성 이온을 감싸고 있는 음이온과의 쿨롱 상호작용에 의해, 다시 말해 자성 이온에 작용하는 ‘결정장 (crystal field)’ 에 의해 제어될 수 있다. 따라서, 자성 이온 또는 이를 감싸고 있는 원자들의 스핀-오비탈 상호작용이 충분히 강하면, 해당 물질의 자성 비등방성은 자성 원자를 감싸고 있는 원자의 배열 및 이에 의한 결정장의 효과에 의해 결정되며, 이에 의한 비등방성에는 앞서 말한 이징 자성을 유발하는 ‘단일 이온 자성 비등방성 (single-ion magnetic anisotropy)’과 또한 식 (7)에서 보여지는 것과 같은 비등방 자성 상호작용이 있다.
보다 구체적으로 스핀-오비탈 상호작용이 어떻게 자성 비 등방성을 유발하는지를 알아보기 위해서, 먼저 입방 결정장 하에서 전이금속의 d-오비탈 자유도가 어떻게 변화하는지를 살펴보도록 하자. Figure 4 (a)와 (b)는 음이온의 정8면체 로 둘러싸인 전이금속 및 여기에 위치한 d-오비탈이 결정장 하에서 보다 낮은 축퇴도를 가지는 t 2g 및 e g 오비탈들로 갈 라지는지를 보여주고 있다. 산화물의 경우 t 2g 와 e g 오비탈 사이의 에너지 차를 결정하는 입방 결정장의 크기는 보통 1 2 eV이며, 이는 전이금속 산화물이 가질 수 있는 스핀-오비 탈 결합의 최대 세기인 대략 0.5 eV보다 크다. 따라서 t 2g 및 e g 각각의 상태들은 스핀-오비탈 결합에 의해 서로 섞이지 않는 분리된 상태들로 고려하더라도 큰 문제는 없으며, 특히
5 해당 유도 과정에 대해서는 다음 책을 참고하시오 : R. Martin, Elec- tronic structure: basic theory and practical methods, Cambridge, 2004.
Fig. 4. (Color online) (a) A metal-anion octahedron, which is a basic building block for many of transition metal compounds. (b) An illustration of cubic crystal field from the anion cage, and the following lifting of d-orbital degeneracy. (c) Real-space isosurfaces of t 2g
and e g orbitals. Note that (a) and (c) share the same Cartesian coordinate system, and that t 2g states can be represented as L z eigenvectors as shown in the figure.
(d) Evolution of orbital degeneracy within the t 2g states and the magnetic degree of freedom when the spin-orbit coupling comes into play. t 2g orbitals are considered to have effective orbital angular momentum L eff = 1. (e) A schematic representation of our |J eff = 1/2; J eff z = +1/2 ⟩ orbital. ↑, ↓ denote the up and down spin moments along the z-direction respectively.
페르미 준위가 t 2g 오비탈들로 이루어진 밴드에 걸려 있을 때 이를 마치 p-오비탈과 같이 유효 각운동량 L eff = 1 을 가진 상태들로 생각할 수 있다. 따라서 t 2g 상태에 가해지는 스핀-오비탈 결합은 L eff = 1 및 S = 1/2 자유도를 섞어 유효 전체 각운동량 J eff = 1/2 및 3/2 상태들로 분리하게 되며 (Fig. 4(d) 참조), 특별히 t 2g 오비탈에 전자가 5개 채워져 있는 상태의 자유도는 J eff = 1/2 자성 모먼트밖에 남지 않게 된다. 이 J eff = 1/2 상태 중 J eff z = 1/2를 가지는 상태의 파동함수는 Fig. 4(e)에 개략적으로 나타나 있으며, 이는 유효 자성 모먼트 J eff = 1/2 를 가지는 ‘스핀-오비탈 얽힘 상태 (spin-orbital entangled state)’ 의 가장 간단한 예이다 [27]. 그리고 그림에서도 확인할 수 있듯, J eff = 1/2 모먼트는 공간상에서 매우 비등방적인 모양을 하고 있으며, 이는 다음 섹션에서도 확인할 수 있듯이 비등방적인 자성 상호작용을 만들어 내는 데 핵심적인 역할을 한다.
III. 키타에프 자성을 구현하는 Jackeli-Khaliuilin 메커니즘 및 그 일반화
스핀-오비탈 결합에 의한 전이금속 화합물에서의 J eff 자
성 모먼트의 형성은 본래 이리듐 계열 층상구조 산화물의
일종인 Sr 2 IrO 4 에서의 모트 절연체 상태를 설명하기 위해
서 2008년에 도입된 개념이다 [27]. 이는 이후 또 다른 층상
A Short Introduction to Kitaev Magnetism: An Electronic Structure Perspective – Heung-Sik Kim 999
x y
z
t
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t ⇡
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d
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p z
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d xy
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d
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<latexit sha1_base64="XxufwgnD1F9oCbP1aHYkkirvHGQ=">AAAB7XicbVBNSwMxEJ2tX7V+VT16CRbBU9mtgh6LXjxWsB/QLiWbzbax2WRJsmJd+h+8eFDEq//Hm//GtN2Dtj4YeLw3w8y8IOFMG9f9dgorq2vrG8XN0tb2zu5eef+gpWWqCG0SyaXqBFhTzgRtGmY47SSK4jjgtB2Mrqd++4EqzaS4M+OE+jEeCBYxgo2VWmE/e3ya9MsVt+rOgJaJl5MK5Gj0y1+9UJI0psIQjrXuem5i/Awrwwink1Iv1TTBZIQHtGupwDHVfja7doJOrBKiSCpbwqCZ+nsiw7HW4ziwnTE2Q73oTcX/vG5qoks/YyJJDRVkvihKOTISTV9HIVOUGD62BBPF7K2IDLHCxNiASjYEb/HlZdKqVb2zau32vFK/yuMowhEcwyl4cAF1uIEGNIHAPTzDK7w50nlx3p2PeWvByWcO4Q+czx/+6o9n</latexit>xz
d yz
<latexit sha1_base64="GIwDFy8sDsRvmfROQDIrQd4HSG0=">AAAB7XicbVBNS8NAEJ34WetX1aOXxSJ4KkkV9Fj04rGC/YA2lM1m067d7IbdjRBD/4MXD4p49f9489+4bXPQ1gcDj/dmmJkXJJxp47rfzsrq2vrGZmmrvL2zu7dfOThsa5kqQltEcqm6AdaUM0FbhhlOu4miOA447QTjm6nfeaRKMynuTZZQP8ZDwSJGsLFSOxzk2dNkUKm6NXcGtEy8glShQHNQ+eqHkqQxFYZwrHXPcxPj51gZRjidlPuppgkmYzykPUsFjqn289m1E3RqlRBFUtkSBs3U3xM5jrXO4sB2xtiM9KI3Ff/zeqmJrvyciSQ1VJD5oijlyEg0fR2FTFFieGYJJorZWxEZYYWJsQGVbQje4svLpF2veee1+t1FtXFdxFGCYziBM/DgEhpwC01oAYEHeIZXeHOk8+K8Ox/z1hWnmDmCP3A+fwAAf49o</latexit>
d yz
<latexit sha1_base64="GIwDFy8sDsRvmfROQDIrQd4HSG0=">AAAB7XicbVBNS8NAEJ34WetX1aOXxSJ4KkkV9Fj04rGC/YA2lM1m067d7IbdjRBD/4MXD4p49f9489+4bXPQ1gcDj/dmmJkXJJxp47rfzsrq2vrGZmmrvL2zu7dfOThsa5kqQltEcqm6AdaUM0FbhhlOu4miOA447QTjm6nfeaRKMynuTZZQP8ZDwSJGsLFSOxzk2dNkUKm6NXcGtEy8glShQHNQ+eqHkqQxFYZwrHXPcxPj51gZRjidlPuppgkmYzykPUsFjqn289m1E3RqlRBFUtkSBs3U3xM5jrXO4sB2xtiM9KI3Ff/zeqmJrvyciSQ1VJD5oijlyEg0fR2FTFFieGYJJorZWxEZYYWJsQGVbQje4svLpF2veee1+t1FtXFdxFGCYziBM/DgEhpwC01oAYEHeIZXeHOk8+K8Ox/z1hWnmDmCP3A+fwAAf49o</latexit>
Fig. 5. (Color online) Three representative electronic hopping paths between transition metal t rm2g (t δ , t π , t σ ).
Kitaev interaction arises from t π by the Jackeli- Khaliuilin mechanism.
구조 이리듐 산화물인 Na 2 IrO 3 및 Li 2 IrO 3 에서의 위상 절 연체 상태를 이론적으로 제안하는데 사용되기도 하였으며 [38–40] 무엇보다도 해당 상태의 스핀-오비탈 얽힘을 이용 하면 기존에 구현하기 거의 불가능하리라 여겨졌던 자성을 만들어낼 수 있음이 2009년 Jackeli와 Khaliullin의 연구에 의해 밝혀져 [11] 이후 해당 자성을 가지리라 여겨진 물질 들에 대한 폭발적인 관심으로 이어졌다.
Jackeli-Khaliuilin의 논의는, 전이금속 산화물에서 존재 할 수 있는 다양한 모비탈들 및 이들 사이에 존재할 수 있 는 2개 이상의 다양한 전자 건너뜀 경로의 존재에 그 기반 을 두고 있다. Figure 3에서 보여진 바와 같은, 모서리를 공유하며 연결되어 있는 전이금속-음이온 8면체들을 예로 들어보면, D 2h 점그룹의 존재 하에 해당 구조에서 존재할 수 있는 전이금속 t 2g 오비탈 사이에 존재할 수 있는 전자간 건너뜀 상수는 Fig. 5에 그려진 3가지 종류로 (t δ , t π , t σ ) 한정된다. 이 중에서도, 그에서 보이는 바와 같이 산소의 p-오비탈에 의해 매개되는 t π 와, 또한 금속 이온간 거리가 가까울 때 금속 이온의 d-오비탈끼리의 직접 겹침에 의해 강해질 수 있는 t σ 가 주된 전자 건너뜀 경로의 역할을 한다. 6 후술할 바와 같이, 이들 중 t π 가 비등방성 자성 및 이로부터 유발되는 흥미로운 성질들에 필수적인 역할을 한다.
보다 구체적으로, 스핀-오비탈 결합에 의해 전이금속의
6 이 외에도, 각 금속-음이온 8면체가 정8면체 모양에서 벗어나게 만드는 격자구조 뒤틀림이 존재할 때 추가로 발생되는 전자간 건너뜀 경로나, 가장 가까운 이웃 뿐만 아니라 두번째, 세번째 가까운 이웃들 사이를 연결하는 건너뜀 경로, 그리고 8면체의 뒤틀림에 의해 전이금속 이온이 갖는 대칭성을 추가로 낮추는 결정장등이 존재하나, 이들의 역할에 대한 논의는 본 논문의 주된 관심사는 아니므로 다음의 참고문헌을 참조하기 바란다 [41].
|d yz ,#i i |d xz , #i it ⇡
3
<latexit sha1_base64="EC9N9jtB0TrBB+i/9d4e62t+vaU=">AAAB+nicbVBNS8NAEJ3Ur1q/Uj16WSyCp5K0gh6LXjxWsK3QhrDZbtqlm03Y3Sgl5qd48aCIV3+JN/+N2zYHbX0w8Hhvhpl5QcKZ0o7zbZXW1jc2t8rblZ3dvf0Du3rYVXEqCe2QmMfyPsCKciZoRzPN6X0iKY4CTnvB5Hrm9x6oVCwWd3qaUC/CI8FCRrA2km9XB6HEJGNI+4OE5Vkz9+2aU3fmQKvELUgNCrR9+2swjEkaUaEJx0r1XSfRXoalZoTTvDJIFU0wmeAR7RsqcESVl81Pz9GpUYYojKUpodFc/T2R4UipaRSYzgjrsVr2ZuJ/Xj/V4aWXMZGkmgqyWBSmHOkYzXJAQyYp0XxqCCaSmVsRGWOThTZpVUwI7vLLq6TbqLvNeuP2vNa6KuIowzGcwBm4cAEtuIE2dIDAIzzDK7xZT9aL9W59LFpLVjFzBH9gff4ASxyUBQ==</latexit>
it ⇡
3
<latexit sha1_base64="nY9xNTPdrxmUuHFQ6Cd+2MdCytE=">AAAB+3icbVBNS8NAEJ34WetXrUcvi0XwYklaQY9FLx4r2A9oQthsN+3SzSbsbsQS8le8eFDEq3/Em//GbZuDtj4YeLw3w8y8IOFMadv+ttbWNza3tks75d29/YPDylG1q+JUEtohMY9lP8CKciZoRzPNaT+RFEcBp71gcjvze49UKhaLBz1NqBfhkWAhI1gbya9UL9xQYpIxpH03YXnWzP1Kza7bc6BV4hSkBgXafuXLHcYkjajQhGOlBo6daC/DUjPCaV52U0UTTCZ4RAeGChxR5WXz23N0ZpQhCmNpSmg0V39PZDhSahoFpjPCeqyWvZn4nzdIdXjtZUwkqaaCLBaFKUc6RrMg0JBJSjSfGoKJZOZWRMbYZKFNXGUTgrP88irpNupOs964v6y1boo4SnACp3AODlxBC+6gDR0g8ATP8ApvVm69WO/Wx6J1zSpmjuEPrM8ft3CUPA==</latexit>
|d xy , "i
x y
z (a)
Hund J H
J eff =1/2
J eff =3/2
Metal ion 1 Metal ion 2
t ⇡
<latexit sha1_base64="Hzj9/A5qa6JxXBXZfkHJDd52NAY=">AAAB7HicbVBNS8NAEJ34WetX1aOXxSJ4KkkV9Fj04rGCaQttKJvtpl262YTdiVBCf4MXD4p49Qd589+4bXPQ1gcDj/dmmJkXplIYdN1vZ219Y3Nru7RT3t3bPzisHB23TJJpxn2WyER3Qmq4FIr7KFDyTqo5jUPJ2+H4bua3n7g2IlGPOEl5ENOhEpFgFK3kY7+Xin6l6tbcOcgq8QpShQLNfuWrN0hYFnOFTFJjup6bYpBTjYJJPi33MsNTysZ0yLuWKhpzE+TzY6fk3CoDEiXalkIyV39P5DQ2ZhKHtjOmODLL3kz8z+tmGN0EuVBphlyxxaIokwQTMvucDITmDOXEEsq0sLcSNqKaMrT5lG0I3vLLq6RVr3mXtfrDVbVxW8RRglM4gwvw4BoacA9N8IGBgGd4hTdHOS/Ou/OxaF1zipkT+APn8wfdpY64</latexit>
t , t
<latexit sha1_base64="SGU0mroiwDvjt0Pm9ZHdxMZP/hA=">AAAB+3icbZDLSsNAFIYn9VbrLdalm8EiuJCSVEGXRTcuK9gLtCFMJpN26GQSZk7EEvoqblwo4tYXcefbOG2z0NYfBj7+cw7nzB+kgmtwnG+rtLa+sblV3q7s7O7tH9iH1Y5OMkVZmyYiUb2AaCa4ZG3gIFgvVYzEgWDdYHw7q3cfmdI8kQ8wSZkXk6HkEacEjOXbVfAHmg9jco4NhUwA8e2aU3fmwqvgFlBDhVq+/TUIE5rFTAIVROu+66Tg5UQBp4JNK4NMs5TQMRmyvkFJYqa9fH77FJ8aJ8RRosyTgOfu74mcxFpP4sB0xgRGerk2M/+r9TOIrr2cyzQDJuliUZQJDAmeBYFDrhgFMTFAqOLmVkxHRBEKJq6KCcFd/vIqdBp196LeuL+sNW+KOMroGJ2gM+SiK9REd6iF2oiiJ/SMXtGbNbVerHfrY9FasoqZI/RH1ucPmwGUKA==</latexit>
(b) Anion
Metal
Fig. 6. (a) A cartoon diagram of electron hopping path mediated via t π channels between two adjacent
|J eff = 1/2, J eff z = +1/2 ⟩ spin-orbit-entangled orbitals.
Two metal-anion octahedra are sharing an edge paral- lel to ˆ x + ˆ y, where dotted squares depict top-view of metal-anion octahedra along the local z-axis (see Fig. 5 for their three-dimensional illustration). (b) t δ,π,σ hop- ping channels contributing to magnetic exchange inter- actions in the edge-sharing geometry, where J H denotes the Hund’s coupling term within the t 2g states. Here we are assuming that 5 electrons are occupying the t 2g
space; filled and empty circles depict electron and hole, respectively.
t 2g 로부터 생성되는 J eff 오비탈들은 다음과 같이 쓰인다.
|J eff = 1 2 ; ± 1
2 ⟩ = ∓
√ 1
3 ( |d xy , ↑↓⟩ ± |d yz , ↓↑⟩ + i|d xz , ↓↑⟩)
|J eff = 3 2 ; ± 3
2 ⟩ = ∓
√ 1
2 ( |d yz , ↑↓⟩ ± i|d xz , ↑↓⟩)
|J eff = 3 2 ; ± 1
2 ⟩ =
√ 2 3
(
|d xy , ↑↓⟩ ∓ |d yz , ↓↑⟩ ± i|d xz , ↓↑⟩
2
) . (9) 이들은 t 2g ⊗ S = 1/2 기저로 쓴 스핀-오비탈 결합 λL eff · S 을 대각화했을 때의 고유벡터들에 해당하며, 여기에서 혼동 하기 쉬운 점은, 비록 |J eff = 1 2 ⟩ 및 |J eff = 3 2 ⟩ 상태들이 각각 SU (2) 및 SU (4) 회전 대칭성을 가지지만 (따라서 이들은 유사 ‘스핀’ 자유도라 부를 수 있음), 위 식과 같은 오비탈 기저를 선택했을 때 스핀 ↑ / ↓의 방향은 항상 결정구조로 정의되는 z-축 방향으로 양자화되어 있다는 점이다. 이는 J eff = 1 2 , 3 2 상태 각각은 연속적 회전 대칭성을 가지지만, 스핀-오비탈 결합에 의해 오비탈 및 스핀 모먼트 각각은 공간상에서의 회전 대칭성을 잃어버렸기 때문이며, 이는 후술할 자성의 비등방성의 직접적인 원인이 된다.
Figure 6(a)는 모서리를 공유하며 접하는 두 금속-음이온
8면체에 위치한 |J eff = 1 2 ; ± 1 2 ⟩ 스핀-오비탈 얽힘 오비탈들
사이의 전자간 건너뜀 경로를 보여주고 있다. 이 상황에서는
인접한 t 2g 오비탈들 사이에 t π 채널만 존재한다고 가정하고
있으며 (t π 에 대해서는 Fig. 5 참조), 공유된 모서리 위에
위치한 두 산소에 의해 각각 ±it π /3 의 세기를 갖는 전자
건너뜀이 발생한다. Figure 6(a)에 묘사된 상황 이외에, 두
금속-음이온 8면체가 다른 방향을 모서리를 공유하게 될
경우 |J eff = 1 2 ⟩ 상태들 사이의 전자간 건너뜀 상수의 값이
달라지는 것 또한 비교적 쉽게 확인할 수 있으며, 이를 통해 스핀-오비탈 결합에 의한 스핀-오비탈 얽힘 상태의 형성이 어떻게 방향에 따라 서로 다른 건너뜀 상수의 값을 주는지를 알 수 있다. 7
Figure 6(b) 는, Fig. 6(a) 및 5에서 묘사된 모서리 공유 상황에서의 두 전인금속 이온 사이의 자성 상호작용을 유 발하는 경로들에 대한 도해이다. 이 중, t π 및 전이금속 t 2g
오비탈 내에서의 ‘훈트 결합 (Hund’s coupling)’ J H 을 통 한 바닥 상태로부터 J eff = 3/2 상태로의 들뜸만이 허락될 경우, Fig. 6(a) 에 묘사된 좌표계에서 두 전이금속 사이의 자성 상호작용은 다음과 같이 쓰일 수 있다 [11].
H xy ij = Kσ z i σ z j (K ≈ − 8 3
J H
U 2 t 2 π ) (10) 위 식이 바로 첫머리에 소개한 키타에프 상호작용이다. 이 항을 전자 건너뜀을 섭동항으로 고려했을 때의 (U ≫ J H ≫
λ ≫ t σ,π,δ ) 2차 섭동이론 전개를 통해 얻어낼 수 있다는 점
이 2009년 Jackeli-Khaliullin의 핵심 결과이다. 여기에서, σ z 는, 전자의 스핀 S = 1/2 이 아닌 스핀-오비탈 유사스핀 J eff = 1/2의 z-성분임과, 또한 J eff = 1/2 유사스핀 모먼 트의 z-방향은 두 전이금속 이온 및 공유 모서리가 속하는 평면에 수직하는 방향으로의 의미를 가짐에 유의해야 한다.
이는 전이금속 이온 쌍이 공간에 배열된 방향에 따라 (또한 두 전이금속 사이에 공유되는 금속-음이온 8면체 모서리 방향에 따라) 자성 상호작용이 변한다는 의미를 가지며, 실제로 ˆ y + ˆ z, ˆ z + ˆ x 방향에 평행한 모서리를 공유하는 방향 으로의 자성 상호작용은 각각 Kσ i x σ x j , Kσ y i σ y j 로 주어지게 된다.
t π 에 더하여 t σ,δ 항에 의한 전자 건너뜀을 고려할 때의 교환 상호작용은 다음과 같이 주어진다 [42].
H xy ij = J σ i · σ j + Kσ i z σ j z + Γ (
σ i x σ y j + σ i y σ j x )
(11) 이 때, σ ≡ (σ x , σ y , σ z ) 이며, 각 상호작용 계수는 다음과 같이 주어진다.
J = 4 27
[ 6t δ (t δ + 2t σ ) U − 3J H
+ 2(t δ − t σ ) 2 U − J H
+ (2t δ + t σ ) 2 U + 2J H
]
K = 8J H
9
[ (t δ − t σ ) 2 − 3t 2 π
(U − 3J H )(U − J H ) ]
Γ = 16J H
9
[ t π (t δ − t σ ) (U − 3J H )(U − J H )
]
. (12)
7 서로 다른 두 산소에 의해 크기가 같고 부호가 반대인 전자 건너뜀이 발생하며, 이 두 경로는 서로 상쇄간섭을 일으키며, 이 때문에 t π 채널에 의한 인접한 스핀-오비탈 얽힘 오비탈들 사이의 전자 건너뜀은 소멸된 다. 이와 같이 스핀-오비탈 결합이 서로 인접한 원자들 사이의 전자 건 너뜀을 감소시켜 전자간 상호작용에 의한 모트 절연체 상을 형성한다는 사실 이에 대한 보다 자세한 논의는 Ref. 27, 28 및 32를 참조하시오.
위 식 (11) 의 형태는, 스핀 S x,y,z 가 J eff = 1/2 유사스핀
σ x,y,z 로 바뀌었을 뿐, 대칭성만을 가지고 얻어낼 수 있었던
식 (7) 과 완전히 같다. 또한 각각의 항은 입방 대칭성에서 존재하는 서로 다른 방향으로의 (ˆ x + η ˆ y + ξ ˆ z, η, ξ = ±) 3 축 회전대칭들에 의해 다른 방향으로의 자성 상호작용들로 변환될 수 있다. 이를 통해, 스핀-오비탈 결합 및 이로 인한 자성 모먼트의 스핀-오비탈 얽힘의 영향을 모두 고려할 때 에야 비로소 결정상 물질의 대칭성과 일치하는 자성 해밀 토니안을 끌어낼 수 있음을 알 수 있다.
서론에서 서술하였듯, 식 (12) 중 이론적으로 잘 이해되 었으면서도 또한 흥미로운 물성을 보여주는 것은 키타에프 상호작용 K 에 비례하는 부분이다. 후술할 바와 같이, 실제 물질들은 하이젠베르크 J, 비등방 상호작용 Γ, 그리고 2-3 번째 가까운 이웃 사이의 자성 상호작용을 유발하는 수많 은 전자 건너뜀 경로들의 존재로 인해 더욱 복잡한 모양의 자성 해밀토니안으로 기술될 것으로 추정되나, 놀랍게도 여러가지 실험 및 이론 연구 결과에 따르면 상당수의 키타 에프 물질 후보군들의 자성은 K 항으로부터 가장 큰 영향 을 받는 것으로 여겨지고 있다. 따라서 현재 키타에프 자성 관련한 실험 연구들은 압력이나 자기장 등의 외부 자극을 통해 키타에프 항에 의해 발생하는 스핀 액상에 졉근하는 것을 목표로 하고 있다. 따라서 키타에프 항이 어떠한 과 정을 통해 흥미로운 물성을 만들어내는가를 이해하는 것이 중요하다 할 수 있으며, 따라서 다음 섹션에서는 이에 대한 키타에프의 이론 연구 및 해당 모델의 정확한 해의 성질에 대해 간단히 소개하고자 한다.
IV. 키타에프 자성 모델 및 이의 결과
