Small sample confidence intervals of the stress-strength reliability of inverse exponential distribution

2021, 32

(

5)

,

931–941

역지수분포의 부하-강도 신뢰도에 대한 소표본 신뢰구간 추정

ᄇ ᅡ

ᆨ홍경

¹

·강상길

²

·이우동

³

1

대구한의대학교 의과학대학 의료산업융합학부 ·

²

상지대학교 IT 통계학과 ·

³

대구한의대학교 ᄇ

ᅡ이오산업대학 화장품·제약자율전공

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2021ᄂ ᅧ ᆫ 7ᄋ ᅯ ᆯ 9ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2021ᄂ ᅧ ᆫ 8ᄋ ᅯ ᆯ 4ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2021ᄂ ᅧ ᆫ 8ᄋ ᅯ ᆯ 4ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄋ

ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫ ᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄋ ᅧ ᆨᄌ ᅵᄉ ᅮᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩ (inverse exponential distribution)ᄋ ᅴ ᄇ ᅮᄒ ᅡ-ᄀ ᅡ ᆼᄃ ᅩ ᄉ ᅵ ᆫᄅ ᅬᄃ ᅩ (stress- strength reliability)ᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆫ ᄉ ᅵ ᆫᄅ ᅬᄀ ᅮᄀ ᅡ ᆫ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄆ ᅮ ᆫ ᄌ ᅦᄅ ᅳ ᆯ ᄃ ᅡᄅ ᅮ ᆫ ᄃ ᅡ. ᄀ ᅪ ᆫ ᄉ ᅵ ᆷᄆ ᅩᄉ ᅮ (parameter of interest)ᄀ ᅡ ᄇ ᅮ ᄒ

ᅡ-ᄀ ᅡ ᆼᄃ ᅩ ᄉ ᅵ ᆫᄅ ᅬᄃ ᅩᄋ ᅵ ᆫ ᄀ ᅧ ᆼᄋ ᅮᄋ ᅦ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅴ ᄑ ᅭᄇ ᅩ ᆫᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄉ ᅵ ᆫᄅ ᅬᄀ ᅮᄀ ᅡ ᆫᄀ ᅪ ᄋ ᅮᄃ ᅩᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮ (likelihood function)ᄎ ᅮ ᄅ

ᅩ ᆫ ᄋ ᅦ ᄀ ᅵᄎ ᅩᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡᄉ ᅵ ᆫᄅ ᅬᄀ ᅮᄀ ᅡ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅵᄀ ᅭᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ. ᄋ ᅮᄃ ᅩᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮᄎ ᅮᄅ ᅩ ᆫ ᄋ ᅦ ᄀ ᅵᄎ ᅩᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡᄉ ᅵ ᆫᄅ ᅬᄀ ᅮᄀ ᅡ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅮᄒ ᅡᄀ ᅵ ᄋ ᅱᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄇ ᅮᄒ ᅩ ᄒ

ᅪ ᄅ ᅩᄀ ᅳᄋ ᅮᄃ ᅩᄇ ᅵ (signed log-likelihood ratio) ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼᄀ ᅪ ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄇ ᅮᄒ ᅩᄒ ᅪ ᄅ ᅩᄀ ᅳ ᄋ ᅮᄃ ᅩᄇ ᅵ (modified signed log-likelihood ratio) ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅨᄉ ᅡ ᆫᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ. ᄆ ᅩᄋ ᅴᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄐ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫ ᄃ ᅬ ᆫ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅦ ᄀ ᅵᄎ ᅩᄒ ᅡ ᆫ ᄉ ᅵ ᆫᄅ ᅬᄀ ᅮᄀ ᅡ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄎ ᅮ ᄌ ᅥ

ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄑ ᅩᄒ ᅡ ᆷᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯ ᄀ ᅪ ᄑ ᅩᄒ ᅡ ᆷᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯ ᄋ ᅴ ᄃ ᅢᄎ ᅵ ᆼᄉ ᅥ ᆼ, ᄉ ᅵ ᆫᄅ ᅬᄀ ᅮᄀ ᅡ ᆫᄋ ᅴ ᄀ ᅵ ᆯᄋ ᅵᄎ ᅳ ᆨᄆ ᅧ ᆫᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄇ ᅵᄀ ᅭᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ. ᄉ ᅵ ᆯᄌ ᅦᄋ ᅴ ᄃ ᅦᄋ ᅵᄐ ᅥᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄌ

ᅦᄋ ᅡ ᆫ ᄃ ᅬ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆫ ᄇ ᅮ ᆫᄉ ᅥ ᆨᄉ ᅡᄅ ᅨᄅ ᅳ ᆯ ᄌ ᅦᄉ ᅵᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄇ ᅮᄒ ᅩᄒ ᅪ ᄅ ᅩᄀ ᅳ-ᄋ ᅮᄃ ᅩᄇ ᅵ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄅ ᅩᄀ ᅳ-ᄋ ᅮᄃ ᅩᄇ ᅵ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼ, ᄉ ᅵ ᆫᄅ ᅬᄀ ᅮᄀ ᅡ ᆫ, ᄋ ᅮᄃ ᅩᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮ.

1. 서론

Keller와 Kamath (1982)는역지수분포 (inverse exponential distribution)를제안하고 신뢰수명 자 ᄅ

ᅭ 분석에활용하였다. 역지수분포는상수 위험률함수 (failure rate function)를갖는지수분포 (expo- nential distribution)와는 달리 욕조형태의 위험률함수를 가지고 있어서 시간에 따라 위험률이 달라지 느

ᆫ 특성을가진 수명자료의 분석에 유용한 분포이다.

ᄋ

ᅧᆨ지수분포와관련된 통계적 추론연구를소개하면 다음과 같다. Lin 등 (1989)은역지수분포의 모수 ᄋ

ᅪ 신뢰도 (reliability)에 대한 최대우도추정량 (maximum likelihood estimator), 일양최소분산불편추 저

ᆼ량 (uniformly minimum variance unbiased estimator)과 신뢰구간 등을연구하였다. Dey (2007)는 ᄋ

ᅧᆨ지수분포의 모수에 대한 베이지안 추론을연구를하였다. Singh 등 (2013)은역지수분포의 모수와 신 ᄅ

ᅬ도에 대해 정보적 사전분포 (informative prior)와 무정보적 사전분포 (noninformative prior)를이용 ᄒ

ᅡᆫ 베이지안 추론에 대해 연구하였다. Kang 등 (2013)은 독립인 2개의 역지수분포의 모수비가관심모 ᄉ

ᅮ (parameter of interest)일 때, 모수비에 대한 무정보적 사전분포를개발하고 베이지안 추론에 대해 ᄋ

ᅧᆫ구하였다. Kang 등 (2019)은 독립인 2개의 역지수분포의 모수비에 대한 우도함수 추론에 대해 연구 ᄒ

ᅡ였다.

ᄇ

ᅮ하-강도 신뢰도 (stress-strength reliability)는 신뢰성분야에서 시스템의 신뢰도를 측정하는 측도로 ᄉ

ᅥ 매우 중요한 역할을한다. 부하-강도 신뢰도는확률적으로 시스템에 스트레스가 가해질 때, 시스템이

1 (38610) ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᄋ ᅲᄀ ᅩ ᆨᄃ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫᄋ ᅴᄃ ᅢᄅ ᅩ 1, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄒ ᅡ ᆫᄋ ᅴᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄋ ᅴᄀ ᅪᄒ ᅡ ᆨᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨ ᄋ ᅴᄅ ᅭᄉ ᅡ ᆫᄋ ᅥ ᆸᄋ ᅲ ᆼ ᄒ ᅡ ᆸᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ.

2 (26339) ᄀ ᅡ ᆼᄋ ᅯ ᆫ ᄃ ᅩ ᄋ ᅯ ᆫ ᄌ ᅮᄉ ᅵ ᄉ ᅡ ᆼᄌ ᅵᄃ ᅢᄀ ᅵ ᆯ 83, ᄉ ᅡ ᆼᄌ ᅵᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ IT ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ.

3 ᄀ ᅭᄉ ᅵ ᆫᄌ ᅥᄌ ᅡ : (38610) ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᄋ ᅲᄀ ᅩ ᆨᄃ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫᄋ ᅴᄃ ᅢᄅ ᅩ 1, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄒ ᅡ ᆫᄋ ᅴᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄇ ᅡᄋ ᅵᄋ ᅩᄉ ᅡ ᆫᄋ ᅥ ᆸᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨ ᄒ

ᅪᄌ ᅡ ᆼᄑ ᅮ ᆷ· ᄌ ᅦᄋ ᅣ ᆨᄌ ᅡᄋ ᅲ ᆯᄌ ᅥ ᆫᄀ ᅩ ᆼ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ. E-mail : [email protected]

저

ᆼ상 작동할 확률을 나타내는것으로, 부하-강도 신뢰도가 높은 시스템 일수록안정적인 시스템이라고 ᄒ

ᅡᆯ 수 있다.

과

ᆫ심모수가 부하-강도 신뢰도인관련연구로는 Singh 등 (2015)이 역지수분포에서 부하-강도 신뢰도 ᄋ

ᅦ 대한 통계적 추론에 대해 연구하였다. 특히, 그들은부하-강도 신뢰도에 대한 최대우도추정량을제안 ᄒ

ᅡ고 최대우도추정량의 점근분포 (asymptotic distribution)를기초로 부하-강도 신뢰도에 대한 점근 신 ᄅ

ᅬ구간추정을 제안하였다. Pak 등 (2018)은 일반화된지수분포에서 부하-강도 신뢰도의 신뢰구간추정 ᄋ

ᅦ 대해 연구하였다. Kang (2020) 은 L´evy 분포의 부하-강도 신뢰도에 대한 베이지안 추정에 대해 연 ᄀ

ᅮ하였다.

ᄋ

ᅵ 연구에서는 부하의 분포와 강도의 분포가 독립적이며 역지수분포를 하는 경우에 부하-강도 신뢰 ᄃ

ᅩ에 대한 구간추정문제를다룬다. 역지수분포가 신뢰수명분야에서 유용한 분포인 점을감안한다면, 부 ᄒ

ᅡ-강도 신뢰도 추정문제는 중요한 문제라고 할 수 있다. 부하-강도 신뢰도에 대한 최대우도추정량의 표 보

ᆫ분포를이용하여 정확한 신뢰구간을 추정하고, 우도함수 (likelihood function)에 기초한 근사신뢰구 ᄀ

ᅡᆫ을추정하여 신뢰구간의 길이, 포함확률, 신뢰구간의 대칭성 등의 측면에서 비교한다. 특히, 소표본인 겨

ᆼ우, 우도함수추론을이용하여 부하-강도 신뢰도에 대한근사이론에 기초한 신뢰구간추정이 이 논문의 주

ᆼ요한 주제이다.

이

ᆯ반적으로, 우도함수추론은모수의 수가 2개 이상인 경우에관심모수와 몇 개의 장애모수 (nuisance parameter)가 존재하는모형의 신뢰구간추정이나 검정에 유용한 방법이며, 근사이론 (approximation theory)에 기초한 방법이다. Cox와 Hinkley (1974)는우도함수에 기초하여관심모수에 대한 구간추정 ᄀ

ᅪ 검정을 할 수 있는부호화 로그-우도비 검정통계량 (signed log-likelihood ratio statistic)을제안하 ᄋ

ᅧᆻ다. 부호화 로그-우도비 검정통계량은표본의 수가 커지면서 표준정규분포로 수렴한다. 이 통계량은 과

ᆫ심모수의 변환(transformation)에 대해 불변성 (invariance property)를갖는 통계량이며, 표본의 수 ᄀ

ᅡ 작은경우에는표준정규분포로 수렴하는 속도가 느린 단점이 있다. 그러므로, 표본의 수가 작은경우 ᄋ

ᅦ 이 통계량에 기초한 신뢰구간추정과 검정결과는부정확할 수 있다.

ᄇ

ᅮ호화 로그-우도비 통계량의 문제점을 개선하기 위하여 많은 시도가 있었다. Barndorff-Nielsen (1986, 1991)의 수정된부호화 로그-우도비 통계량 (modified signed log-likelihood ratio statistic) 은 ᄋ

ᅵ러한 문제점을개선한 통계량 중하나이다. 이 통계량도 표본의 수가 커지면 표준정규분포로 수렴하 느

ᆫ성질을가지고 있다. 또한, 이 통계량은표본의 수가 작은경우에도 표준정규분포와 가까운 특징을 ᄀ

ᅡ진 통계량이다. 그러나, 이 통계량은완전계수 지수족모형 (full rank exponential family)인 경우나 ᄇ

ᅧᆫ환모형 (transformation model)을제외하고는계산이 매우 어렵거나 불가능한 경우도 있다.

ᄋ

ᅵ 논문의 구성은 다음과 같다. 제2절에서는부하-강도 신뢰도에 대한 최대우도추정량과, 이 추정량 ᄋ

ᅴ 표본분포를 유도하고, 이 표본분포로 부터 부하-강도 신뢰도에 대한 정확한 신뢰구간을 구한다. 부 ᄒ

ᅡ-강도 신뢰도가관심모수일 때, 부호화 로그-우도비 통계량과 수정된부호화 로그-우도비 통계량을계 ᄉ

ᅡᆫ하고, 이 통계량들로부터 신뢰도에 대한 신뢰구간을 구한다. 3절에서는 모의실험을 통하여 2절에서 ᄌ

ᅦ안된 신뢰구간에 대해 포함확률, 신뢰구간의 길이와 신뢰구간의 대칭성 측면에서 비교한다. 그리고 시

ᆯ제 자료를이용하여 분석하는사례를다룬다. 4절에서는이 논문의 결론을맺는다.

2. 부하-강도 신뢰도에 대한 통계적 추론 ᄆ

ᅩ수 λ를갖는역지수분포의확률밀도함수 (probability density function)는 f (x|λ) = λ

x

²

e

⁻

^λx, λ > 0, x > 0, (2.1)

ᄋ

ᅵ다. 위의확률밀도함수를갖는확률변수 X ∼ IE(λ)로 나타낸다. 그리고확률변수 X의 분포함수는 F (x|λ) = e

⁻

^λx, x > 0, λ > 0,

ᄋ

ᅵ다. X

i

, i = 1, · · · , m 를 강도의 확률분포 X ∼ IE(λ)로 부터 추출된 m개의 확률표본 (random sample)이라고 두자. 그리고 Y

j

, j = 1, 2, · · · , n를강도의 분포와 통계적으로 독립인 스트레스의확률 ᄇ

ᅮᆫ포 Y ∼ IE(θ)로 부터 추출된 n개의 확률표본이라고 두자. 강도와 스트레스 분포로부터 부하-강도 ᄉ

ᅵᆫ뢰도 P (X > Y )는다음과 같다.

ψ ≡ P (X > Y ) = Z Z

0<y<x<∞

λ x

²

exp



−λ x

 θ y

²

exp



−θ y



dydx (2.2)

= λθ Z

∞

0

Z

x 0

exp

−

_y ^θ



y

²

dyexp −

^λ _x

x

²

dx

= λ Z

∞

0

exp −

^θ+λ _x

x

²

dx

= λ λ + θ. 화

ᆨ률표본의관찰값 x = (x

i

, y

j

), i = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, · · · , n가 주어졌을때, 모수 λ 와 θ에 대한 ᄋ

ᅮ도함수는다음과 같다.

L(λ, θ|x) = λ

^m

e

^−λt

³θ

ⁿ

e

^−θt

⁴t

1

t

2

, ᄋ

ᅧ기에서 t

¹

=Q

m

i=1

x

⁻² _i

, t

2

=Q

n

j=1

y

_j ⁻²

, t

3

=P

m

i=1

x

⁻¹ _i

그리고 t

⁴

=P

n

j=1

y

⁻¹ _j

이다. 관찰값 x가 주 ᄋ

ᅥ졌을때, 모수 λ와 θ에 대한 로그 우도함수 (log-likelihood function)는다음과 같다.

l(λ, θ) ≡ log L(λ, θ|x) = m log(λ) − λt

3

+ n log(θ) − θt

4

+ log(t

1

) + log(t

2

). (2.3) ᄋ

ᅱ의 로그-우도함수 (2.3)를모수 λ와 θ로 편미분하여 0으로 두고 해를구하면 모수에 대한 최대우도추 저

ᆼ량을얻을수 있고 모수들에 대한 최대우도추정량은모수 λ와 θ에 대해 아래와 같다.

bλ = m t

3

, bθ = n t

4

. ᄋ

ᅧᆨ지수분포의 성질을이용하면, 2λt

3

∼ χ

²

(2m)그리고 2θt

4

∼ χ

²

(2n)임을 쉽게 증명할 수 있다. 여기 ᄉ

ᅥ χ

²

(ν) 은자유도가 ν인 χ

²

분포를나타낸다. 또한, 이 두 통계량은 통계적으로 독립이므로 F = nt

3

mt

4

λ θ = nt

3

mt

4

ψ

1 − ψ ∼ F (2m, 2n) (2.4) ᄀ

ᅡ된다. 여기에서 F (ν

1

, ν

2

)는자유도가 (ν

1

, ν

2

)인 F 분포를의미한다. 위의 분포 (2.4)로 부터, ψ에 ᄃ

ᅢ한 100(1 − α)% 신뢰구간은다음과 같이 얻을수 있다.

1 1 +

_mt ^nt

³

4

F (2m,2n;α/2)

, 1

1 +

_mt ^nt

³

4

F (2m,2n;1−α/2)

!

, (2.5)

ᄋ

ᅧ기에서 F (ν

1

, ν

2

; γ)는 F (ν

1

, ν

2

)분포의 γ분위수 (quantile)를나타낸다.

ᄌ

ᅵ금부터 우도함수에 기초한 추론을이용하여관심모수 ψ에 대한근사신뢰구간 (approximate confi- dence interval)을구하는 문제를고려해 보자. 관심모수가 ψ =

θ+λ ^λ

인 경우, 장애모수를 ω = λ

^m

θ

ⁿ

라 ᄀ

ᅩ 두자. 로그-우도함수 (2.3)로 부터, 새로운모수 ψ와 ω에 대한 로그-우도함수는다음과 같다.

l ≡ l(ψ, ω) = log(ω) + log(t

1

) + log(t

2

) − ω^N1

 ψ 1 − ψ

_Nⁿ

t

3

− ω^N1

 ψ 1 − ψ



−

^m_N

t

4

, (2.6)

ᄋ

ᅧ기에서 N = m + n이다. 그리고 모수 ψ와 ω에 대한 최대우도추정량은각각

ψ =b bλ

θ + bb λ,ω = bb λ

^m

θb

ⁿ

, ᄋ

ᅵ다.

ᄅ

ᅩ그-우도함수 (2.6)로 부터, ψ와 ω 에 대한 1차 편미분한 식은다음과 같다.

l

ψ;

≡ ∂l

∂ψ = − nt

3

ω^N1 N (1 − ψ)

²

 ψ 1 − ψ

_Nⁿ

−1

+ ω^N1mt

4

N (1 − ψ)

²

 ψ 1 − ψ



−

^m_N

−1

(2.7)

l

ω;

≡ ∂l

∂ω = 1 ω−

ω^N1

⁻¹



ψ 1−ψ

_Nⁿ t

3

N −

ω^N1

⁻¹



ψ 1−ψ



−

^m_N

t

4

N . (2.8)

ᄋ

ᅱ의 식 (2.8)로 부터,관심모수 ψ가 고정되었을때, 장애모수 ω에 대한 제한된 (constrained)최대우 ᄃ

ᅩ추정량은

ωb

ψ

=







N



ψ 1−ψ

_Nⁿ t

3

+

ψ 1−ψ



−

^m N t

4







N

(2.9)

ᄋ ᅵ다.

ξ = (ψ, ω), bξ = ( bψ,bω)그리고 bξ

ψ

= (ψ,bω

ψ

)이라고 두자. 그러면, Cox와 Hinkley (1974)의 부호화 ᄅ

ᅩ그-우도비 검정통계량 r은다음과 같이 나타낼 수 있다.

r ≡ r(ψ) = sgn( bψ − ψ)n 2h

l(bξ) − l(bξ

ψ

)io¹₂

, (2.10)

ᄋ

ᅧ기서 sgn(a) 함수는 a > 0인 경우에는 1, a = 0인 경우에는 0,그리고 a < 0인 경우에는 -1의 값을갖 ᄂ

ᅳᆫ다.

(2.10)의 부호화 로그-우도비 통계량 r은표본의 크기가 커지면 표분정규분포와 가까워 진다. Cox와 Hinkley (1974)에 의하면 r은 표본의 수가 n일 때, O

p

(n

⁻

¹²)의 차수(order)로 표준정규분포에 수렴한 ᄃ

ᅡ. 그러므로 표본의 크기가 작은 경우에는 표준정규분포와 차이가 있을 수 있다. 그리고, 부호화 로 ᄀ

ᅳ-우도비 검정통계량 r을사용한 ψ의 100(1 − α)%근사신뢰구간은다음과 같이 구할 수 있다.

n

ψ; |r(ψ)| ≤ z^α

2

o

, (2.11)

ᄋ

ᅧ기에서 z^α₂는표준정규분포의 100(1 −

^α ₂

)%분위수를나타낸다.

Cox와 Hinkley (1974)가 밝힌 것과 같이 부호와 로그-우도비 통계량은표준정규분포로 수렴하는 속 ᄃ

ᅩ가 느리다. 그러므로 표본의 수가 작은 경우에는 근사의 정도 (precision)가 낮은 단점이 있다. 이 ᄅ

ᅥ한 단점을 극복하기 위하여 몇 가지 방법이 제안되었는데, 그 중에서도 Barndorff-Nielsen (1986, 1991)이 제안한 수정된 부호화 로그-우도비 통계량은 부호화 로그-우도비 통계량의 수렴속도와 관련 되

ᆫ 문제점을수정한 통계량이다.

Barndorff-Nielsen (1986, 1991)이 제안한 수정된부호화 로그-우도비 통계량 r

^∗

는다음과 같다.

r

^∗

≡ r

^∗

(ψ) = r(ψ) + r(ψ)

⁻¹

log u(ψ) r(ψ)



. (2.12)

ᄋ

ᅱ의 식(2.12)에서 u는로그 우도함수 l(ξ)가 l(ξ; bξ, a)와 같이 표현될수 있다는조건에서

u(ψ) =  

l

_{; b ξ}

(bξ) − l

_{; b ξ}

(bξ

ψ

) l

_{ω; b ξ}

(bξ

ψ

)   n

 j

ξξ

(bξ)

     j

ωω

(bξ

ψ

)

  

o¹₂ ,

ᄋ

ᅪ 같이 표현되며, 여기에서 a는보조 통계량 (ancillary statistic) 이며, 표본공간 (sample-space)상의 ᄆ

ᅵ분정의는다음과 같다.

l

_{; b ξ}

(ξ) = ∂l(ξ; bξ, a)

∂ bξ . ᄀ

ᅳ리고 혼합 미분(mixed derivatives)의 정의는다음과 같다.

l

_{ω; b ξ}

(ξ) = ∂

²

l(ξ; bξ, a)

∂ω∂ bξ = ∂

∂ωl

_{; b ξ}

(ξ), ᄋ

ᅧ기에서 j

ξξ

(bξ)는관찰된 정보행렬 (observed information matrix)이고, j

ωω

(bξ

ψ

)는장애모수에 해당하 느

ᆫ관찰된 정보행렬이다.

Barndorff-Nielsen (1986, 1991)에 의하면 수정된부호화 로그-우도비 통계량은 O

p

(n

⁻

³²)의 차수로 ᄑ

ᅭ준정규분포에 수렴한다. 그러므로 표본의 수가 작은경우에도 r

^∗

는 r보다 표준정규분포에 더 가깝다 ᄀ

ᅩ 할 수 있다. 수정된부호-로그우도비 통계량 r

^∗

를이용한 ψ의 100(1 − α)%근사 신뢰구간은아래와 ᄀ

ᅡ

ᇀ이 구할 수 있다.

n

ψ; |r

^∗

(ψ)| ≤ z^α

2

o

. (2.13)

ᄀ

ᅳ러나 통계량 u는완전계수 지수족 모형이나 특정한 변환모형을제외한 모형에서는계산이 매우 어 려

ᆸ다. 이 논문의 경우에는관찰값 x가 주어진 경우에, 로그-우도함수 (2.3)는최소충분통계량 (minimal sufficient statistic) t = (t

3

, t

4

)으로만 표현되고, 또한완전계수 지수족모형이다. 더우기, 최대우도추 저

ᆼ량 bξ와 t = (t

³

, t

4

)는 일대일 대응관계에 있고, 변환에 대한 Jacobian 행렬은 ∂ bξ/∂t이다. 그리고 통 ᄀ

ᅨ량 u에 포함된ξb와관련된표본공간 미분은 t에 대한 미분으로 계산할 수 있다. j

ξξ

(bξ) = −l

_{ξ; b ξ}

(bξ)이 ᄆ

ᅳ로, Barndorff-Nielsen 과 Cox (1994)는 통계량 u가 다음과 같음을 증명하였다.

u(ψ) =  

l

;t

(bξ) − l

;t

(bξ

ψ

) l

ω;t

(bξ

ψ

)    

 l

ξ;t

(bξ)

  





   j

ξξ

(bξ)

     j

ωω

(bξ

ψ

)

  







1 2

,

ᄋ

ᅧ기에서 표본공간 미분은 l

;t

(ξ) =

^∂l(ξ;t) _∂t

이고 혼합 미분은 l

ω;t

(ξ) =

^∂

²

_∂ω∂t ^l(ξ;t)

이다.

과

ᆫ심모수가 ψ, 장애모수가 ω인 경우의 로그-우도함수 (2.6)으로 부터 식 (2.12)에 포함된 통계량 u를 ᄀ

ᅮ하면 다음과 같다.

l

ψψ;

= ∂

²

l

∂ψ

²

= −ω^N1n(n − N ) N

²

(1 − ψ)

⁴

 ψ 1 − ψ

_Nⁿ

−2

t

3

− 2 ω^N1n N (1 − ψ)

³

 ψ 1 − ψ

_Nⁿ

−1

t

3

−m(m + N )ω^N1 N

²

(1 − ψ)

⁴

 ψ 1 − ψ



−

^m_N

−2

t

4

+ 2 mω^N1 N (1 − ψ)

³

 ψ 1 − ψ



−

^m_N

−1

t

4

l

ψω;

= ∂

²

l

∂ψ∂ω = − nω^N1

⁻¹

N

²

(1 − ψ)

²

 ψ 1 − ψ

_Nⁿ

−1

t

3

+ mω^N1

⁻¹

N

²

(1 − ψ)

²

 ψ 1 − ψ



−

^m N

−1

t

4

l

ωω;

= ∂

²

l

∂ω

²

= −1

ω

²

−(1 − N )ω^N1

⁻²

N

²

( ψ 1 − ψ

_Nⁿ t

3

+

 ψ 1 − ψ



−

^m N

t

4

) ,

ᄀ

ᅡ 되며,관찰된 정보행렬 j

ξξ

(ξ)는

j

ξξ

(ξ) = −l

ψψ;

−l

ψω;

−l

ψω;

−l

ωω;

!

ᄋ

ᅵ고, 장애모수에 대한관찰된 정보행렬은 j

ωω

(ξ) = −l

ωω;

이다. 표본공간 미분은

l

;t

= (l

;t

₃ l

;t

₄)

^T

= −ω^N1

 ψ 1 − ψ

_Nⁿ

− ω^N1

 ψ 1 − ψ



−

^m N

!

T

ᄋ

ᅵ고 혼합 미분은

l

ξ;t

= l

ψ;t

₃ l

ψ;t

₄

l

ω;t

3 l

ω;t

4

!

=







−

^ω

1 N−1



_ψ

1−ψ



ⁿ N

N

−

^ω

1 N−1



_ψ

1−ψ



− mN

N

−

^nω

1 N



_ψ 1−ψ



n N−1

N (1−ψ)

²

mω

N¹



_ψ 1−ψ



− m N−1

N (1−ψ)

²





 ᄋ

ᅵ됨을알 수 있다. 이제 j

ξξ

(ξ),j

ωω

(ξ),l

;t

그리고 l

ξ;t

를이용하여 통계량 u를계산할 수 있다.

3. 모의실험과 예제

3절에서는 2절에서 개발된신뢰구간 비교를위한 모의실험과 실제 자료를 분석하는사례를다룬다.

3.1. 모의실험 ᄆ

ᅩ의실험으로관심모수 ψ에 대한 100(1 − α)% 신뢰구간 (2.5), (2.11), (2.13)의 추정된포함확률, 길 ᄋ

ᅵ, 대칭성을비교한다. 신뢰구간에 대한 비교기준은주어진 신뢰수준에서 신뢰구간의 추정된포함확률 ᄋ

ᅵ 일치하면서, 신뢰구간의 상한을벗어나는 확률과 하한을 벗어나는 확률이 비슷하며 (대칭성), 같은 ᄉ

ᅵᆫ뢰수준에서 신뢰구간의 길이가 짧은것이 더 우수한 신뢰구간이라는것이다.

ᄋ

ᅵ 모의실험에서는 독립적으로 10,000번 반복으로 주어진 신뢰수준에서 관심모수 ψ에 대한 포함확 ᄅ

ᅲᆯ, 상한과 하한을벗어나는확률, 신뢰구간을추정하였다. 관심모수 ψ가 신뢰구간에 포함되는확률은 ᄉ

ᅵᆫ뢰구간의 상한을벗어나는경우와 하한을벗어나는경우를헤아려 추정할 수 있다.

ᄋ

ᅵ 때, 강도의 분포X ∼ IE(λ)와 부하의 분포 Y ∼ IE(θ)로 부터 추출된표본의 크기는 (m, n) =(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,5), (5,2), (5,5), (5,10), (10,5), (10,10)으로 가정하였다. 그리고, 모수는 (λ, θ) = (1,2),(1,1),(2,1)로 가정하여관심모수 ψ = 1/3, 1/2, 2/3의 값을 갖도록 하였다. 신뢰수준은 95%와 90%인 경우를가정하였으며, Table 3.1 (신뢰수준 95%)과 Table 3.2 (신뢰수준 90%)에 모의실험 결과 르

ᆯ제시하였다.

Table 3.1과 Table 3.2는 통계량 F , r, r

^∗

에 기초한 신뢰구간 (2.5), (2.11), (2.13)에 해당하는추정 되

ᆫ포함확률과 신뢰구간의 길이를계산한 결과이다. 각 통계량의 첫번째 열은모수 ψ가 정해진 신뢰수 주

ᆫ에서 신뢰구간의 하한을벗어나는비율이며, 두번째 열은 신뢰구간의 상한을벗어나는비율을나타낸 ᄃ

ᅡ. 그리고 마지막 열은 신뢰구간의 길이를나타낸다. 이 결과에서 각 통계량의 첫 번째와 두 번째 열은 ᄉ

ᅵᆫ뢰수준이 α인 경우에, α/2에 가까울수록정확하다고 할 수 있고, 세 번째 열의 길이는짧을수록바람 지

ᆨ한 신뢰구간이라고 할 수 있다.

Table 3.1과 Table 3.2에서 신뢰수준과 ψ의 값에관계없이 표본의 수 m, n이 커지면서 각 통계량의 처

ᆺ 번째 열과 두 번째 열은 α/2와 비슷한 값을갖는다는것을알 수 있다. 표본의 수 m, n에관계없이 F와 r

^∗

는 신뢰구간의 상한이나 하한을벗어나는확률이 비슷하여 대칭성을만족하고 있으며, 두 통계량 F와 r

^∗

에 기초한 신뢰구간을벗어나는확률도 α/2에 가까우면서 거의 비슷하다는것을 볼수 있다. 그 ᄅ

ᅥ나 r의 경우에는표본의 크기가 10이상인 경우에도 부정확하다는사실을알 수 있다. r은주어진 신 ᄅ

ᅬ수준에서 양쪽구간을 벗어난확률이 α/2보다큰 경향을보이고 있으며, 대칭성도 만족되지 않는다.

ᄀ

ᅳ리고 신뢰구간의 길이를비교해 보면, r의 길이가 가장 짧다. 그러나 r에 기초한 신뢰구간은 신뢰수 주

ᆫ α보다큰 확률을가지는경향이 있어서 신뢰구간의 길이가 짧은 것으로 나타난다고 볼수 있다. 특

ᄒ

ᅵ, 표본의 수가 작은경우에는이러한 경향이 더욱두드러진다. r

^∗

에 의한 신뢰구간의 길이는 F 통계량 ᄋ

ᅦ 기초한 신뢰구간의 길이와 비슷하다는것을 볼수 있다.

겨

ᆯ론적으로, 소표본인 경우에 r

^∗

의 신뢰구간은정확한 분포로부터 만들어진 F 통계량의 신뢰구간과 ᄑ

ᅩ함확률,대칭성 그리고 신뢰구간의 길이가 비슷하다는사실을알 수 있다.

Table 3.1 The estimated coverage probabilities and lengths of the 95% confidence intervals

F r r

^∗

ψ m n .0250 .9750 length .0250 .9750 length .0250 .9750 length ψ = 1/3 1 1 .0239 .0248 .8434 .0354 .0381 .7921 .0235 .0234 .8488

1 2 .0230 .0229 .7646 .0394 .0243 .7375 .0220 .0221 .7679 λ = 1 2 1 .0244 .0229 .8115 .0252 .0420 .7546 .0233 .0218 .8151 θ = 2 2 2 .0231 .0254 .7029 .0306 .0318 .6725 .0226 .0253 .7044 2 5 .0248 .0246 .6073 .0376 .0207 .5959 .0247 .0241 .6081 5 2 .0253 .0236 .6450 .0232 .0371 .6095 .0249 .0234 .6457 5 5 .0235 .0242 .5030 .0269 .0267 .4922 .0235 .0242 .5032 10 5 .0254 .0270 .4501 .0234 .0332 .4379 .0254 .0270 .4502 5 10 .0248 .0244 .4398 .0302 .0226 .4354 .0248 .0243 .4399 10 10 .0254 .0251 .3714 .0268 .0266 .3671 .0254 .0251 .3715 ψ = 1/2 1 1 .0254 .0262 .8537 .0409 .0383 .8041 .0238 .0252 .8589 1 2 .0253 .0254 .8065 .0438 .0267 .7663 .0242 .0250 .8098 λ = 1 2 1 .0250 .0251 .8045 .0258 .0459 .7639 .0246 .0247 .8078 θ = 1 2 2 .0232 .0270 .7305 .0290 .0323 .7009 .0228 .0268 .7320 2 5 .0256 .0253 .6566 .0391 .0222 .6336 .0255 .0250 .6573 5 2 .0250 .0247 .6585 .0228 .0371 .6354 .0248 .0246 .6592 5 5 .0236 .0250 .5381 .0263 .0284 .5271 .0235 .0250 .5383 10 5 .0250 .0246 .4820 .0238 .0298 .4734 .0250 .0246 .4821 5 10 .0249 .0250 .4817 .0299 .0230 .4731 .0249 .0248 .4818 10 10 .0262 .0256 .4057 .0275 .0270 .4011 .0261 .0256 .4057 ψ = 2/3 1 1 .0292 .0248 .8403 .0404 .0373 .7890 .0273 .0232 .8457 1 2 .0257 .0264 .8075 .0451 .0275 .7500 .0250 .0257 .8111 λ = 2 2 1 .0255 .0271 .7625 .0262 .0484 .7347 .0249 .0262 .7658 θ = 1 2 2 .0241 .0236 .7024 .0312 .0302 .6719 .0236 .0234 .7039 2 5 .0242 .0255 .6441 .0362 .0232 .6083 .0241 .0253 .6448 5 2 .0257 .0249 .6064 .0233 .0365 .5952 .0256 .0245 .6071 5 5 .0245 .0232 .5020 .0274 .0262 .4912 .0245 .0232 .5021 10 5 .0241 .0264 .4400 .0232 .0324 .4355 .0241 .0264 .4401 5 10 .0250 .0263 .4506 .0302 .0242 .4384 .0250 .0263 .4506 10 10 .0278 .0246 .3713 .0294 .0257 .3670 .0278 .0246 .3713

3.2. 예제 ᄃ

ᅡ음의 자료는 두 종류의 전기 절연체 (electrical insulation)에 전압을 증가시켜 수명시간을 분 (minute)단위로관찰한 자료이다.

X 219.3, 79.4, 86.0, 150.2, 21.7, 18.5, 121.9, 40.5, 147.1, 35.1, 42.3, 48.7 Y 21.8, 70.7, 24.4, 138.6, 151.9, 75.3, 12.3, 95.5, 98.1, 43.2, 28.6, 46.9 ᄋ

ᅵ 자료는 Lawless (2003)에서 두 표본 X,Y가 2-모수 지수분포 (two-parameter exponential distri- bution)를하는지를확률대확률그림 (probability-probability plot)을이용하여 점검하라는예제의 자 ᄅ

ᅭ이다.

Table 3.2 The estimated coverage probabilities and lengths of the 90% confidence intervals

F r r

^∗

ψ m n .0500 .9500 length .0500 .9500 length .0500 .9500 length ψ = 1/3 1 1 .0489 .0526 .7467 .0689 .0714 .6888 .0482 .0505 .7531

1 2 .0525 .0484 .6740 .0835 .0476 .6424 .0510 .0472 .6775 λ = 1 2 1 .0476 .0526 .7124 .0462 .0843 .6493 .0461 .0515 .7164 θ = 2 2 2 .0483 .0447 .6128 .0602 .0537 .5832 .0480 .0445 .6142 2 5 .0491 .0522 .5277 .0701 .0468 .5158 .0489 .0520 .5284 5 2 .0473 .0499 .5512 .0427 .0713 .5166 .0468 .0498 .5517 5 5 .0468 .0519 .4267 .0502 .0567 .4171 .0467 .0519 .4268 10 5 .0505 .0475 .3818 .0473 .0575 .3710 .0504 .0476 .3818 5 10 .0490 .0514 .3750 .0576 .0473 .3710 .0490 .0514 .3751 10 10 .0523 .0501 .3141 .0549 .0526 .3104 .0523 .0501 .3141 ψ = 1/2 1 1 .0491 .0496 .7666 .0710 .0682 .7097 .0466 .0477 .7729 1 2 .0486 .0504 .7173 .0794 .0499 .6716 .0482 .0497 .7210 λ = 1 2 1 .0490 .0491 .7193 .0481 .0799 .6731 .0478 .0480 .7230 θ = 1 2 2 .0467 .0520 .6394 .0565 .0627 .6098 .0463 .0515 .6408 2 5 .0504 .0477 .5701 .0733 .0425 .5470 .0503 .0474 .5708 5 2 .0495 .0508 .5709 .0440 .0688 .5477 .0492 .0507 .5716 5 5 .0492 .0498 .4611 .0536 .0534 .4511 .0491 .0498 .4613 10 5 .0508 .0512 .4110 .0472 .0594 .4032 .0508 .0512 .4111 5 10 .0486 .0490 .4114 .0574 .0461 .4037 .0486 .0488 .4115 10 10 .0465 .0501 .3447 .0487 .0521 .3407 .0465 .0501 .3447 ψ = 2/3 1 1 .0500 .0483 .7483 .0686 .0672 .6904 .0484 .0471 .7547 1 2 .0533 .0473 .7125 .0825 .0461 .6490 .0523 .0458 .7164 λ = 2 2 1 .0515 .0466 .6759 .0508 .0761 .6450 .0502 .0455 .6794 θ = 1 2 2 .0512 .0478 .6094 .0629 .0580 .5799 .0509 .0473 .6108 2 5 .0474 .0499 .5532 .0677 .0451 .5187 .0473 .0495 .5538 5 2 .0491 .0504 .5268 .0428 .0736 .5150 .0490 .0502 .5276 5 5 .0463 .0459 .4282 .0495 .0504 .4186 .0462 .0459 .4283 10 5 .0494 .0509 .3754 .0458 .0615 .3714 .0492 .0509 .3755 5 10 .0486 .0522 .3822 .0578 .0485 .3715 .0487 .0520 .3823 10 10 .0518 .0545 .3144 .0540 .0564 .3107 .0517 .0545 .3144

ᄋ

ᅵ 자료가 역지수분포를 하는지를 콜모고로-스미르노프 적합도 검정 (Kolmogorov-Smirnov (KS) goodness of fit test)과 확률 대 확률그림 등을 이용하여 알아보자. 먼저, X의 분포가 역지수분포를 ᄒ

ᅡᆫ다는귀무가설에 대한 KS검정통계량의 값은 D = 0.198(p − value = 0.665)로서 역지수분포를한다 ᄂ

ᅳᆫ귀무가설이 채택된다. Y 의 분포도 KS 검정통계량의 값이 D = 0.225(p − value = 0.506)로서 역지 ᄉ

ᅮ분포를한다고 할 수 있다.

Figure 3.1에서 bF 는 분포함수 F 에 포함된모수 λ와 θ의 최대우도추정치 bλ = 48.40, bθ = 38.77를이 ᄋ

ᅭ

ᆼ하여 추정한 것이며, F

n

은경험적 분포함수 (empirical distribution function)을나타낸다. 그림에서 X와 Y 의 분포가 역지수분포를한다는것을알 수 있다.

ᄋ

ᅵ제 부하-강도 신뢰도 추정문제를고려해 보자. X를강도, Y 를부하로 가정하자. 그러면,관심모수 ψ에 대한 최대우도추정값은자료로 부터 bψ = 0.56으로 추정된다. Table 3.3은 통계량 F , r, r

^∗

를이용 ᄒ

ᅡ여 ψ에 대한 95%와 90% 신뢰구간추정값과 신뢰구간의 길이를 계산한 결과이다. 통계량 F 와 r

^∗

의 겨

ᆯ과는 일치하며, r의 경우에는 신뢰구간의 길이가 다른 신뢰구보다 짧다. 모의실험결과에서 볼수 있 ᄃ

ᅳ

ᆺ이 r의 경우에는 표본의 수가 적은경우에 주어진 신뢰수준을만족하지 못하지만 신뢰구간의 길이는 ᄃ

ᅡ른 신뢰구간보다 짧았다는것을보았다.

●

●

●

● ●

●

● ●

●

● ●

●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

F

_n

( ^x )

F ^

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

● ●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

F

_n

( ^y )

F ^

Figure 3.1 The probability-probability plot

Table 3.3 The confidence intervals for ψ 95% ᄉ ᅵ ᆫᄅ ᅬᄀ ᅮᄀ ᅡ ᆫ 90% ᄉ ᅵ ᆫᄅ ᅬᄀ ᅮᄀ ᅡ ᆫ lower upper length lower upper length F 0.355 0.739 0.384 0.386 0.712 0.326

r 0.357 0.737 0.381 0.388 0.711 0.323 r

^∗

0.355 0.739 0.384 0.386 0.712 0.326

4. 결론 ᄋ

ᅵ 논문에서는역지수분포의 부하-강도 신뢰도에 대한 신뢰구간 추정문제를다루었다. 관심모수가 부 ᄒ

ᅡ-강도 신뢰도인 경우에 추정량의 표본분포를이용한 정확한 신뢰구간과 우도함수에 기초한근사신뢰 ᄀ

ᅮ간을제안하였다. 우도함수추론에 기초한근사신뢰구간을구하기 위하여관심모수에 대한 부호화 로 ᄀ

ᅳ우도비 통계량과 수정된 부호화 로그 우도비 통계량을개발하였다. 모의실험을 통하여 제안된 통계 ᄅ

ᅣᆼ에 기초한 신뢰구간을추정된포함확률과 포함확률의 대칭성, 신뢰구간의 길이를구하여 비교하였다.

시

ᆯ제의 데이터를이용하여 제안된방법에 대한 분석사례도 제시하였다.

겨

ᆯ론적으로, 소표본의 경우에 수정된부호화 로그 우도비 통계량에 기초한 신뢰구간은정확한 분포에 ᄉ

ᅥ 유도된신뢰구간과 포함확률, 신뢰구간의 길이 등이 거의 일치다는것을알았으며, 부호화 로그 우도 ᄇ

ᅵ 통계량은표본의 수가 작을때는 신뢰구간의 길이는짧은반면, 포함확률이나 대칭성에서 다른 통계 ᄅ

ᅣᆼ들보다 부정확하다는사실을알 수 있었다.

References

Barndorff-Nielsen, O. E. (1986). Inference on full and partial parameters, based on the standardized signed

log likelihood ratio. Biometrika, 73, 307-322.

Barndorff-Nielsen, O. E. (1991). Modified signed log likelihood ratio. Biometrika, 78, 557-563.

Barndorff-Nielsen, O. E. and Cox, D. R. (1994).Inference and Asymptotics. London : Chapman and Hall.

Cox, D. R. and Hinkley, D. D. (1974). Theoretical Statistics. Chapman and Hall, London.

Dey, S. (2007). Inverted exponential distribution as a life time distribution model from a Bayesian viewpoint.

Data Science Journal, 6, 107-113.

Kang, S. G. (2021). Bayesian estimation of P (Y < Y ) for L´ evy distribution. Journal of the Korean Data

& Information Science Society, 32, 257-266.

Kang, S. G., Kim, D. H. and Lee, W. D. (2013). Noninformative priors for the ratio of the scale parameters in the inverted exponential distributions. Communications for Statistical Applications and Methods, 20, 387-394.

Kang, S. G., Pak, H. K. and Lee, W. D. (2019). Likelihood-based inference for the ratio of the parameters of the inverse exponential distributions. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 30, 1399-1408.

Keller, A. Z. and Kamath, A. R. (1982). Reliability analysis of CNC machine tools. Reliability Engineering, 3, 449-473.

Lawless, J. F. (2003). Statistical Models and Methods for Lifetime Data. John Wiley & Sons, Inc.

Lin, C. , Duran, B. S. and Lewis, T. O. (1989). Inverted gamma as a life distribution, Microelectronics Reliability, 29, 619-626.

Pak, H. K., Kang, S. G. and Lee, W. D. (2018). Confidence intervals for the stress-strength reliability of the generalized exponential distribution. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 29, 1309-1318.

Singh, S. K., Singh, U. and Kumar, D. (2013). Bayes estimators of the reliability function and parameter of inverted exponential distribution using informative and non-informative priors. Journal of Statistical Computation and Simulation, 83, 2258-2269.

Singh, S. K., Singh, U., Yadav, A. S. and Vishwkarma, P. K. (2015). On the estimation of stress strength

reliability parameter of inverted exponential distribution. International Journal of Scientific World,

3, 98-112.

2021, 32

(

5)

,

931–941

Small sample confidence intervals of the stress-strength reliability of inverse exponential distribution

Hong Kyung Pak

¹

· Sang Gil Kang

²

· Woo Dong Lee

³

1

Department of Medical Information Technology and Data Science, Daegu Haany University

2

Department of IT Statistics, Sangji University

3

Pre-major of Cosmetics and Pharmaceutics, Daegu Haany University

Received 9 July 2021, revised 4 August 2021, accepted 4 August 2021

Abstract

In this paper, when the parameter of interest is the stress-strength reliability of inverse exponential distribution, the confidence interval estimation problem of the re- liability is studied. Three confidence intervals are developed. The exact confidence interval based on the sampling distribution of the maximum likelihood estimator and two approximate confidence intervals based on the likelihood function are developed.

Through the simulation study, these confidence intervals are compared with respect to the estimated coverage probability, the length and bilateral properties of confidence intervals. Data sets of lifetimes of electrical insulators observed under two different voltages are analyzed.

Keywords: Confidence interval, likelihood function, modified signed log-likelihood ratio statistic, signed log-likelihood ratio statistic.

1 Professor, Department of Medical Information Technology and Data Science, Daegu Haany University, Kyungsan, 38610, Korea.

2 Professor, Department of IT Statistics, Sangji University, Wonju, 26339, Korea.

3 Corresponding author: Professor, Pre-major of Cosmetics and Pharmaceutics, Daegu Haany University,

Kyungsan, 38610, Korea. E-mail: [email protected]