투자금융론 _5강

(1)

투자금융론 _5강

불확실성하에서의 선택이론

(2)

불확실성의 세계

1. 불확실성과 위험

✓ 총효용 _ 재화를 소비함으로써 얻을 수 있는 주관적 만족의 총량 2. 기대수익률과 위험

✓ 수익률의 확률분포

✓ 기대수익률

✓ 위험의 측정

3. 불확실성하의 선택기준

✓ 한계대체율체감의 법칙

(4)

문제_효용

불확실성하의 선택기준

홍길동의 효용함수는 U=3X+Y이다.

X재의 가격은 1원이고, Y재의 가격은 3원이다.

홍길동은 두 재화에 총 100원을 지불하려고 한다.이때 홍길동이 얻을 수 있는 최대효용은?

(5)

포트폴리오 선택

자산의 종류

- 은행예금, 국채, 주식, 부동산, 외환 포트폴리오 (portfolio)

◦ 어떤 사람이 보유하고 있는 여러 가지 자산을 통틀어서 부르는 말

◦ 포트폴리오 안에 어떤 자산이 어떤 비율로 섞여 있느냐에 따라 각각 다른 수익성과 위험성의 조합 선택

◦ 사람마다 수익성과 위험성에 대한 태도가 다름  선택하는 자산의 조합도 달라지게 됨

(6)

포트폴리오 선택의 모형

모형의 설정

◦ 무위험 자산과 위험한 자산 두 가지만 존재

◦ 무위험 자산의 수익률은 r_f, 위험자산의 수익률은 r_k (단 r_f<r_k)

◦ 어떤 투자자의 예

◦ 전 재산을 1로 잡을 때, 이중 a만큼을 위험한 자산으로, (1- a)만큼을 안전한 자산으로 보유

◦ 수익성,

r

_p

= ar

_k

+ (1－a)r

_f

◦ 위험성 , ^σ_p= aσ_k (통계학의 공식 사용, 기대치와 표준편차 사용)

 포트폴리오 선택의 문제는 결국 어떤 a의 값을 선택할 것인지의 문제로 귀착

(7)

포트폴리오 선택의 모형

◦ 투자가가 직면한 예산제약(선)

r

_p

= r

_f

+ a (r

_k

－ r

_f

)

^,

σ

_p

= aσ

_k

r

_p

= r

_f

+

^k ^f

p k

r r

 

 

A점 – 투자자가 안전한 자산만 보유 B점 – 위험한 자산만 보유

선분 AB의 기울기 => 위험성의 가격 위험성이 일정한 폭으로 커지면,

수익성은 거기에 바로 기울기를 곱한 것 만큼 더 커짐.

위험성과 수익성의 교환비율

(8)

포트폴리오의 효용수준

투자자의 효용함수

U=U( r

_p

, σ

_p

)

위험성은 비재화(bads)



σ

_p의 값이 커짐에 따라 효용수준 하락

 우상향하는 모양의 무차별곡선

(9)

포트폴리오 선택의 모형

투자자의 효용극대화 문제

◦

주어진 제약하에서 효용함수의 값을 극대화하는 a의 값은?

◦

선분의 기울기

◦ 위험성의 가격(price of risk)  포트폴리오의 위험성이 일정한 폭으로 커지면 수익성(r_p) 은 거기에 바로 이 비율을 곱한 것 만큼 더 커지게 됨

◦

예산선에 접하면서 가장 위쪽에 있는 무차별곡선을 찾음으로써 효용극대화점 찾을 수 있음 (E점)

◦ B점에 가까울수록 위험한 자산의 비율 더 높음

 수익성과 위험성을 고려해 자산 혼합, 소비자의 효용극대화 모형을

통해 안전한 자산과 위험한 자산을 어떤 비율로 섞어 보유하게 될 지

분석할 수 있음.

(10)

문제_기대효용

나리는 당첨 상품이 {자동차, 유럽 여행, 백화점 상품권, 꽝}인 경품 행사에 참가하려고 한다.

각각의 결과에 대한 나리의 기대효용은 U(자동차)=100, U(유럽 여행)=80, U(백화점 상품 권)=30, U(꽝)=0이다. 이때 A안은 각각 당첨 상품이 나올 확률이 {1/2, 0, 0, 1/2}이고 B안은 {1/4, 1/4, 1/4, 1/4}이다. 나리는 어느 안을 선호하겠는가? 또한 A안과 B안의 기대효용은 얼 마인가?

A 안의 기대효용

= 0.5 x 100 + 0 x 80 + 0 x 30 + 0.5 x 0 = 50 B 안

= 1/4 x 100 + 1/4 x 80 + 1/4 x 30 + 1/4 x 0 = 52.5

-B안이 A안보다 기대효용이 더 높으므로, 나리는 B안을 더 선호할 것이다.

(11)

문제_위험프리미엄

복권이 0.7확률로 100만원을 주고, 0.3확률로 400만원을 준다면, U=2 (M)½

+5 (1) 김씨에게 주는 효용의 크기는?

(2) 복권의 상금의 기대치를 확실하게 받는다면 그 의 효용은 얼마인가?

(3) 위의 계산 결과에 기초에 이 복권과 관련된 위

험프리미엄을 계산하라.

(12)

문제_포트폴리오의 변화

무위험자산이 수익률과 위험성이 모두 0이고, 위험자산 의 기대수익률과 표준편차는 각각 σ_p, σ_k 주어졌다.

어느 한 시점에서 정부가 위험한 자산에서 나오는 수익 에 과세를 시작하여, 수익률과 표준편차가 모두 동일한 비율로 감소되는 결과가 빚어진다면, 과세로 인해 포트 폴리오의 구성에는 어떤 변화가 있겠는가? σ_p, σ_k

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예산제약과 효용

예) 사과의 가격 200원, 배는 150원, 귤은 100원으로 시장가격이 형성되었다. 나는 매우 귤을 좋아한다. 그에게 누군가가 3개의 과일 중 하나를 주겠다고 한다. 어떤 것을 선택할 것인가?

당연히 사과를 선택한다. 사과를 선택해서 시장에 200원에 팔고, 귤을 2개 산다.

선택은 그의 효용이 아닌 시장가격에 따라 선택해야 한다. 시장가치가 최대화된 수, 즉 자신 의 부가 극대화된 상태에서 적당한 교환으로 자신의 효용을 극대화한다.

처음부터 시장가치를 무시한 상태에서 자신의 효용을 극대화하는 것은 잘못된 결정이다.

(14)

불확실성하의 선택기준

1. 기대가치극대화 기준 2. 기대효용극대화기준

3. 위험에 대한 태도와 효용함수

(15)

문제

기업의 부채는 현재 2,000억원이다. 미래의 상황은 호황과 불황이 동일한 확률로 발생한다.

기업은 상호배타적인 두 투자안을 고려하고 있다. 유한기업의 가치는 다음과 같다.

1. 각 투자안의 기대치와 표준편차 2. 각 상황에서 자기자본가치

3. 기업가치 극대화를 추구할 때 선택하는 투자안

4. 자기자본가치극대화를 추구할 때 선택하는 투자안

상황 A투자안 B투자안

호황에서 기업가치

불황에서 기업가치 4,300억원 1,100억원

3,800억원 2,000억원

(16)

위험회피형 투자자

1. 효용함수

U[E(W)] > E[U(W)]

2. 확실성등기부(certainty equivalent wealth) U(CEW) = E[U(W)]

3. 위험프리미엄

risk premium = E(W) - CEW 4. 갬블의 비용(cost of gamble) CG = 현재부 - CEW

5. 무차별곡선

(17)

위험회피형 투자자

1. 효용함수

2. 확실성등기부 3. 위험프리미엄 4. 갬블의 비용 5. 무차별곡선

(18)

위험중립형 투자자

1. 효용함수

U[E(W)] = E[U(W)]

위험의 크기에 관계없이 기대수익률의 수준만을 고려한다.

위험을 부담하더라도 대가를 요구하지 않는다.

확실성등가부가 위험을 내포한 기대부와 동일하기 때문에 위험프리미엄은 항상 0이다.

3. 무차별곡선

(19)

위험선호형 투자자

1. 효용함수

U[E(W)] < E[U(W)]

대가를 지불하고도 위험을 부담

확실성 등가부가 위험을 내포하고 있는 기대부보다 크다 위험프리미엄은 항상 부(-)의 값을 갖게 된다.

3. 무차별곡선

(20)

문제

가격이 1만원인 복권을 판매하려고 하는데, 복권의 당첨확률은 0.001%이고 당첨금은 9억 원이라고 한다. 물론 당첨하지 않으면 아무 것도 얻을 수 없다.

1. 복권의 기대치를 구하라.

2. 위험회피자 3. 위험중립자

4. 위험선호자 복권의 구입유무를 말하라.

(21)

평균-분산기준

확률분포의 평균과 분산을 이용하여 투자안을 선택하는데 평균-분산 기준을 적용하려면 자산의 미래수익률에 대한 확률분포가 정규분포이거나 투자자의 효용함수가 2차함수라는 전제가 필요하다.

1. 최적자산의 선택기준: 지배원리에 의한 효율적 자산의 선택

2. 최적자산의 선택기준: 효용구조에 따른 최적자산의 선택

(22)

문제

현재부는 100원이고 그의 부에 대한 효용함수는 U(w)= 𝑤 이다.

현재 한 게임에 직면해 있는데 이 게임에서 갑이 10원을 잃을 확률이 10%

100원을 획득할 확률이 90%이다. 보험회사에서 이 게임에 포함된 모든 불확실성을 없애 주는 보험에 가입할 것을 권유해왔다.

보험료로 지불할 수 있는 최대금액은 얼마인가?

(풀이) E(w) = 0.1*90+0.9*200=189원 E(U(w)] = 0.1* 90 +0.9* 200 =13.68원 CEW = 𝑤 =13.68원 w=187원

최대보험료 = 위험프리미엄 = 기대부 – 확실성등기 = E(w) – CEW = 189원-187원 =2원

(23)

문제

재화 X재와 Y재를 소비하는 어떤 소비자는 한계대체율이 체감하는 무차별곡선을 가지고 있다.

Y재로 표시한 X재의 상대가격은 2이다.

이 소비자느 Y재 10단위를 살 수 있는 현금을 보조금으로 받고 있다.

(X, Y) =(30,10)은 이 소비자의 예산성상의

한 점이며, 소비자는 X재 1단위와 Y재 1단위를 교환해도 같은 만족도를 얻는다.

이제 정부가 이 보조금을 Y재 10단위의 현물로 지급하는 방식으로 제도를 바꾸었다.

이 제도의 변호로 인한 효과를 설명하라.

소비자의 효용수준?

X재의 소비수준? Y재의 소비수준?

(24)

정리

1. 기대수익률 2. 위험

3. 기대가치 극대화 4. 기대효용 극대화 5. 평균-분산기준

수고하셨습니다~~

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