Analysis of Vibration Characteristics of a Full Vehicle Model Using Substructure Synthesis Method

<학술논문> DOI:10.3795/KSME-A.2010.34.5.519

부분구조합성법을 이용한 전차량 모델의 진동 특성 분석^§

김범석^* · 김봉수^**· 유홍희^*†

* 한양대학교 기계공학과, ** 현대기아자동차 연구개발총괄본부

Analysis of Vibration Characteristics of a Full Vehicle Model Using Substructure Synthesis Method

Bum Suk Kim^*, Bong Soo Kim^** and Hong Hee Yoo^*†

* Department of Mechanical Engineering, Hanyang University

** Corporate Research & Development Division, Hyundai-kia Motors Company

(Received July 22, 2009 ; Revised March 5, 2010 ; Accepted March 13, 2010)

1. 서 론

승용 차량과 같은 대형 구조물은 여러 개의 부 분구조물들이 서로 복합적으로 결합되어 그 구조 자체가 매우 복잡함으로 단순한 진동계로 모델화 하기가 어렵다. 그러므로 근래에 들어 주로 유한 요소법을 이용하여 진동 구조물에 대한 동특성 연 구가 이루어지고 있지만 차량 전체 모델을 유한요 소로 모델화 하여 해석하는 경우에는 자유도의 수

가 수천에서 수만에 이르게 되어 이를 직접 해석 하기 위해서는 많은 시간과 노력이 필요하다. 따 라서 차량 모델과 같은 대형 복잡 구조물을 효율 적으로 해석하기 위하여 전체 구조물을 수치해석이 용이한 여러 개의 부분 구조들로 분할하고 유한요소 법에 의해 각 분계를 모델링 한 후 이들을 다시 합성 하는 부분구조 합성법(Substructure Synthesis Method)이 많이 사용되고 있다.

부분구조 합성법은 자동차나 항공기와 같이 거 대하고 복잡한 구조물의 해석을 효과적으로 수행 하기 위해 Hurty⁽¹⁾에 의해 처음 개발 되었다. Hurty 는 부구조의 일반화된 자유도로 강체운동 모드, 경계변형모드, 고유모드를 사용하였다. Hurty 의 방 Key Words : Substructure Synthesis Method(부분구조합성법), Full Vehicle Model(전차량 모델), Subframe

Equivalent Model(서브프레임 등가모델)

초록: 승용 차량과 항공기와 같은 대형 구조물에 대한 해석에는 유한요소법이 일반적으로 사용되고 있다.

그러나 대형 구조물을 유한요소로 모델화 하여 해석하는 경우에는 자유도의 수가 수천에서 수만에 이르게 되어 이를 직접 해석하기 위해서는 많은 시간과 노력이 필요하다. 따라서 차량 모델과 같은 대형 복잡 구조물을 효율적으로 해석하기 위해 부분구조 합성법이 많이 사용되고 있다. 본 연구에서는 Craig-Bampton 방법을 이용한 전차량 모델링 방법을 제안하고 전차량 모델의 진동 특성을 분석하였다. 차량 모델을 구성하는 각 부분을 각각 부분구조 모델로 치환한 후 다시 합성하여 전차량 모델을 구성하였다. 또한, 서브프레임 주요 설계변수, 즉 마운트 위치나 프레임 크기의 편차가 전체 시스템의 모드 특성의 통계적 변화에 미치는 영향을 살펴보았다.

Abstract: The finite element (FE) method is generally used to model and simulate the physical behavior of large structures, such as passenger vehicles or aircraft. However, FE analysis involves a very large computation time and cost for developing the analysis model. Therefore, the vibration characteristics of large structural systems are often analyzed using the component mode synthesis (CMS) method, which is one of the substructure synthesis methods. In this study, the vibration characteristics of passenger vehicles are analyzed by using the substructure synthesis method. A passenger vehicle model, which includes a vehicle body, suspension systems, and a sub-frame, is presented. The physical components of the vehicle system are modeled as equivalent substructures using the Craig-Bampton method of CMS. The vibration characteristics, such as the natural frequencies and mode shapes and frequency response, of the vehicle system are determined. The effects of variations in some design parameters on the vibration characteristics of the full vehicle model are also investigated.

§ 이 논문은 대한기계학회 2009 년도 동역학 및 제어부문 춘계학술대회(2009. 5. 21.-22., BEXCO) 발표논문임

† Corresponding Author, [email protected]

법을 발전시키려는 시도가 Goldman, Hou, Craig 와 Bampton 등에 의해 수행되었다. Craig 와 Bampton 은 Hurty 가 제안한 강체운동 모드와 경계변형모 드를 구속모드로 일반화시켜서 좋은 결과를 얻었 으며, 이 방법은 Craig-Bampton 방법⁽²⁾이라 불리며 널리 사용되고 있다.

본 연구에서는 전차량 모델의 진동 특성을 분석 하기 위하여 Craig-Bampton 방법을 이용한 전차량 모델링 방법을 제안하였다. 전차량 모델을 구성하 는 각 부분은 서브프레임, 서스펜션 그리고 차체 바디이며 이를 각각 부분구조모델로 치환한 후 다 시 합성하여 전차량 모델을 구성하였다. 또한, 서 브프레임 설계변수의 편차가 전체 시스템의 모드 특성 변화에 미치는 영향도를 알아보기 위해 서브 프레임 마운트 위치와 크기의 편차에 따른 주파수 응답 특성의 통계적 특성 변화를 살펴보았다.

2. 부분구조합성법

부분구조 합성법(Substructure Synthesis Method)은 크고 복잡한 구조물에 대한 해석시간 절감 및 모 델링의 효율성을 높이기 위해 개발되었다. 이 방 법은 복잡한 구조물을 몇 개의 주요 요소 또는 부 분구조로 나누어 유한요소법이나 시험을 통하여 독립적으로 고유진동수와 모드형상을 구한 후 이 들 사이에 적절한 구속조건을 고려하여 합성한 전 체 구조물의 고유진동수와 모드형상 및 강제진동 에 의한 응답 등을 구하는 방법^(3,4)이다.

본 연구에서는 부분구조합성법 중 모드합성법 (Component Mode Synthesis Method)을 사용하였다.

모드합성법은 각 부분의 동특성을 소수의 저차 고 유 진동형만으로 나타내고 이들 몇 개의 고유진동 수와 고유모드의 결합으로 전체계의 동특성을 해 석하는 방법이다.

부분구조 합성법에 대한 자세한 내용을 살펴보 면 다음과 같다. 일반적으로 임의의 부구조물에 대한 동적 시스템의 운동방정식은 다음과 같이 표 현된다.

[ ]

M

{ }

u&& +

[ ]

K

{ } { }

u = f(t) (1) 이 식은 다음과 같이 비구속 내부좌표와 구속좌 표로 나누어 표현할 수 있다. 구속좌표는 다른 부 분구조물에 연결되거나 경계조건으로 설정된 좌표 를 의미하여 비구속 내부좌표는 구속좌표를 제외 한 모든 좌표를 의미한다.

{ }^(t)

K K

K K M

M M M

N I NN NI

IN II N

I NN NI

IN

II f

u u u

u =











 

 +











 





&

&

&

& (2)

여기서 하첨자 I 는 비구속 내부좌표, 하첨자 N 은 구속좌표이다.

또한 Craig-Bampton 변환 행렬을 다음과 같이 정의한다.

{ }

[ ]











 



=







= 







=

N N M

N N M N

I

I u q φ φ

u Φ q u Φ

u u

0

(3)

여기서 모드벡터φ_M 과 강체벡터 φ_N은 다음과 같은 관계식으로부터 얻어진다.

I φ M

φ^T_{M II M} = , φ_N =−K_II⁻¹K_IN (4)

위의 식 (3)을 식 (2)에 대입한 후 변환행렬을 전적하여 정리하면 다음과 같다.







=











 

 +











 





N N NN N

NN NM

I MN

f 0 u

q K 0

0 Λ u

q M M

M

&

&

&

&

(5)

여기서 각 행렬 요소는 다음과 같은 관계를 갖 는다.

N T M T

NM MN

N T N NN N

T N NN

MΦ Φ M

M

MΦ Φ M

KΦ Φ K

=

=

=

= (6)

식 (5)에서 전체 자유도는 경계점에서의 노드와 내부 모드점으로 축소됨을 알 수 있다.

전차량 모델을 부분구조 합성법을 이용하여 구 성하기 위해서 전차량을 구성하는 전후방 서스펜 션과 차체바디의 각 유한요소 모델을 식 (5)와 같 은 축소된 형태의 모델로 만들었다. 이후 각 부분 구조물을 구속좌표를 기준으로 직접 합성하여 전 체 차량 구조물의 운동방정식을 유도하였다. 따라 서 전차량 모델의 운동방정식도 식 (5)와 같이 표 현되며 각 부분구조물의 모드특성이 반영되어 있 다. 각 부분구조물을 축소된 형태의 모델로 만들 기 위해서는 구속좌표와 내부모드의 수가 결정되 어야 하는데 이는 다음 절에서 설명하였다.

(a) Subframe (b) Suspension

(c) Trimmed body

Fig. 1 Components of full vehicle model

Fig. 2 Master nodes of trimmed body and front & rear suspension system

3. 전차량 모델 구성

전차량 모델을 구성하기 위해 사용된 부분구조 모델은 Fig. 1 과 같이 크게 세 부분(서브프레임, 전·후방 서스펜션, 차체 바디)으로 나뉜다.

전차량 모델을 구성하기 위해 우선 서브프레임 은 보 요소 만으로 구성된 간단한 등가모델을 사 용하였다.⁽⁵⁾ 서브프레임 유한요소모델을 직접 사용 하였을 경우 자유도 수가 크게 늘어나 해석에 효 율적이지 못하다. 또한 서브프레임을 구성하는 설 계인자들이 전체 시스템에 미치는 영향을 알아보 기 위해서 부분구조 합성법을 이용한 축약모델 대 신 등가모델을 사용하여 설계변경이 용이하도록 모델링 하였다.

서스펜션과 차체 바디는 실제 유한요소 모델을 Fig. 2 와 같이 경계 구속좌표를 정의하고 Craig- Bampton 방법을 이용하여 축소된 부분구조로 치 환하였다. 차체는 총 85 개의 구속좌표(서스펜션과 서브프레임과 결합되는 31 개의 노드와 차체 형상 을 나타내는 18 개의 노드 그리고 36 개의 응답 노 드)와 약 500 개의 내부모드를 사용하여 부분구조 모델화하였다.

전방 서스펜션의 경우 서브프레임과 차체가 붙 는 총 14 개의 노드를 경계점으로 하고 34 개의 내 부모드를 사용하였다. 후방 서스펜션은 차체와 결 합되는 23 개의 노드와 45 개의 내부모드를 이용하 여 부분구조 모델화 하였다.

또한, 각 부분구조들은 강결합 혹은 필요에 따 라 적절한 마운트 부시를 사용하여 결합되었다.

4. 산포해석과 민감도 해석

생산과정에서 발생하는 제조공차나 시간이 지남 에 따라 주위의 환경에 의해 변하는 불확실한 변 동 등은 설계자가 최초에 의도한 성능을 적절히 발휘하지 못하게 하며, 제품의 성능에 급격한 변 동을 초래할 수 있다. 따라서 불확실한 변동을 초 기 설계단계에서 고려해야 하며 이러한 불확실성 은 표준편차로 고려될 수 있다.

본 연구에서는 서브프레임의 엔진 및 로어암 마 운트 위치나 서브프레임의 크기, 단면 특성의 불 확실한 변화에 의해 야기되는 주파수 응답함수의 변화에 대해서도 살펴보았다.

4.1 산포해석

설계변수 b의 변화에 의해 야기되는 시스템의 동적 반응이나 성능함수의 변화는 다음과 같이 구 할 수 있다.

b b

g g δ

δ 



 





∂

= ∂ (7)

여기서 ∂g/δb는 설계변수 b 에 대한 시스템 모드특성이나 성능함수의 민감도로써 본 연구에서 는 주파수 응답함수의 민감도를 사용하였다.

4.2 민감도 해석

주파수 응답함수는 다음과 같이 리셉턴스 행렬 로 나타낼 수 있다.⁽⁶⁾

[ ]

∑

= − +

= ⁿ

i i i i

sr T i i

1 2 2 2 2

) 2 ( ) (

)

(ω ω ω^φφ ξωω

α (8)

여기서 φ_i는 i 번째 모드벡터, ω_i는 i 번째 고 유진동수이다.

) (ω

α 는 행렬이기 때문에 입출력의 비로써 나타 낼 수는 없으나 각 성분은 전달함수가 된다.

[

^α(ω)

]

sr sr^(ω) r

s H

f

u = = (9)

주파수 응답함수의 민감도 방정식을 얻기 위해 설계변수 b에 대해 주파수 응답함수를 직접 미분 하여 정리하면 다음과 같은 민감도 방정식을 얻을 수 있다.

[ ]{ }

∑=

































∂

∂ +

× −

+

−

+

− + −

−



 





∂ + ∂

∂

∂

∂ =

∂ ⁿ

i

i i i i

i i i

i i i

T i i

i i i

T i i T i i

sr

b b

b

b H

1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

) 2 ( ) (

1

) 2 ( ) (

) ( 2 ) ( 2

) 2 ( ) (

ω ω ω ξ ω ω

ω ω ξ ω ω

ω ω ξ ω ω

ω ω ξ ω ω

φ φ

φ φ φ φ

(10)

한편, 주파수 응답함수의 민감도를 얻기 위해서 는 설계변수에 대한 고유진동수와 고유벡터의 민 감도 정보가 필요하다.

비감쇠 시스템에서 고유치 문제는 다음과 같이 정의된다.

j j

j Mφ

φ

Kˆ =λ ˆ (11) 여기서 φ_j와 λ_j 는 각각 정규화된 모드벡터와 고유치이다. 일반적으로 모드벡터 φ_j 는 다음과 같이 질량행렬에 대해 정규화 조건을 만족한다.

ˆ _j =1

T jMφ

φ (12)

민감도 식을 얻기 위해 고유치 문제인 식 (11) 을 설계변수 b에 대해 미분하면 다음과 같다.

j j j

j j j

b b

b b

φ λ λ φ

λ φ

) ˆ ˆ

( ) ˆ

ˆ (ˆ

∂

− ∂

∂

− ∂

∂ =

−∂

∂

− ∂

M K

M M

K

(13)

또한 정규화 식 (12)를 설계변수 b _{에 대해 미} 분하여 정리하면 다음과 같다.

ˆ 0 5 .

0 =

∂ + ∂

∂

∂

j T j T j

j φb φ b φ

φ M ^M (14)

따라서 식 (13)과 식 (14)는 다음과 같은 행렬식 형태로 정리될 수 있으며 고유진동수와 고유벡터 의 민감도는 다음 식을 통해 얻어진다.⁽⁷⁾

















∂

∂

∂

− ∂

∂

− ∂

=













∂

∂∂

∂



 





−

−

−

k T k

k k k

k

T k

k k

b b b

b b

Mφ φ

M φ K

φ M

φ

φ M M K

ˆ 5 . 0

) ˆ ˆ

( ˆ 0

ˆ ˆ

ˆ λ

λ

λ (15)

전체 시스템의 고유진동수와 고유벡터는 식 (5) 로 표현되는 운동방정식을 통해 모드해석을 수행 하여 구하였다. 또한 설계변수에 대한 질량, 강성 행렬의 민감도는 해석적으로 구하기 어렵기 때문 에 유한차분법(섭동량 0.1%)을 이용하였다. 식 (15)를 통해 얻어진 고유진동수와 고유벡터의 민 감도를 식 (10)으로 표현된 주파수 응답함수의 민 감도를 계산하는데 이용하였다.

5. 해석결과

Fig. 3 은 서브프레임의 차체 결합 유무에 따른 FRF 해석 결과를 보여주고 있다. 서브프레임의 엔 진 마운트에 수직방향 단위입력을 주고 가속도 응 답을 얻은 결과이다. 서브프레임이 서스펜션과 차 체로 구성된 전차량 모델에 결합되었을 때는 서스 펜션이나 차체로 흡수되는 진동량이 많기 때문에 전체적으로 진동 정도가 감소되는 것을 볼 수 있 다. 특히, 200Hz 미만에서 진동감도가 크게 감소되 는 현상을 볼 수 있다.

Fig. 4 와 Fig. 5 는 서브프레임에 직접 입력되는 가진에 대한 차체 응답점에서의 가속도 응답을 얻 은 결과이다. 입력점에서는 단위 하중의 조화가진 을 주었으며 주파수 해석범위는 400Hz 로 하였다.

Fig. 4 는 서브프레임 전방 엔진 마운트 입력에 대한 차체 시트 레일부의 다양한 출력점에서의 응 답 결과를 비교한 것이다. 저주파 대역에서는 시 트 레일부 보다는 스티어링 부분에서 진동 정도가 크지만 고주파 대역에서는 시트 레일부나 배기관 부분에서 진동 정도가 더 크다. Fig. 5 는 서브프레 임의 다양한 마운트 위치에서의 입력에 대한 차체 의 동일한 시트 출력점에서의 응답 결과를 비교한 것 이 다 . 서 브 프 레 임 의 엔 진 마 운 트 와 로 어 암

Fig. 3 Comparison of FRF results for subframe itself and subframe attached to full vehicle

Fig. 4 FRF results for various output response point 마운트를 입력점으로 선택하였고, 차체 바디의 전 방 시트 체결부에서의 응답을 구하였다. 입∙ 출력 점 변화에 따라 응답이 상이하게 변하는 것을 볼 수 있으며 특히 가속소음이 문제가 되는 132Hz 정도에서 피크치가 발생하는 현상을 확인하였다.

Fig. 6 은 서브프레임 마운트 위치 변화에 대한 차체 출력점에서의 응답변화를 살펴본 결과이다.

로어암 A, G 마운트와 엔진마운트의 위치를 프레 임 길이의 약 5% 정도 이동시켰을 경우 차체 시 트레일부에서의 응답 결과를 각각 비교하였다. 약 200Hz 이내의 주파수 대역에서는 마운트 위치가

Fig. 5 FRF results for various input response point

Fig. 6 Effect of mount location variation on FRF results 변경되었을 경우 응답특성이 전체적으로 나빠지는 경향을 보인다. 반면 고주파 대역에서는 응답특성 의 변화가 거의 없었다. 이는 해석에 사용된 서브 프레임 모델이 실제 양산 차량에 장착되어 있는 모델이므로 마운트 위치에 대한 충분한 설계 검토 가 이루어진 것이라 판단된다.

Fig. 7 은 로어암 및 엔진마운트 위치가 1%의 표준 편차를 가질 때 100-300Hz 범위에서 전∙ 후방 시트 체결부와 스티어링에서의 주파수 응답함수의 크기에 대한 표준편차의 변화를 나타낸 것이다. 전체적으로 로어암 G 마운트 위치의 산포가 주파수 응답함수의

통계적 변화에 가장 큰 영향을 미치며 로어암 A 마운 트 위치의 산포가 가장 작은 영향을 미치는 것을 알 수 있다. 반면, 가속 소음이 문제가 되는 132Hz 근방 에서는 오히려 로어암 A 마운트 위치의 산포가 가장 큰 영향을 미쳤다. 또한 스티어링보다는 시트 체결부 에서의 주파수 응답함수의 변화가 설계변수의 산포에 더 민감하게 반응하는 것을 볼 수 있다.

Fig. 8 은 서브프레임 크기의 편차에 대한 주파 수 응답함수의 표준편차 변화를 비교한 결과이다.

서브프레임의 길이와 너비가 1%의 표준편차를 갖 고 있다고 가정하였다. 마운트 위치에 대한 산포

Fig. 7 FRF standard deviation due to the mount location variation

Fig. 8 FRF standard deviation due to the subframe size variation

Fig. 9 FRF standard deviation due to the cross sectional property variation

해석 결과의 표준편차 값과 비교해볼 때 서브프레 임의 길이와 너비의 산포가 주파수 응답함수의 통 계적 변화에 미치는 영향이 상대적으로 더 컸다.

Fig. 9 는 서브프레임의 전방 크로스프레임의 단 면적과 단면관성모멘트의 편차에 대한 주파수 응 답함수의 표준편차 변화를 비교한 결과이다. 단면 특성의 편차에 의한 영향은 다른 설계 파라미터의 편차에 의한 영향보다 훨씬 작았다. 특히, 단면적 의 편차가 주파수 응답함수의 통계적 변화에 미치 는 영향은 거의 없었다.

6. 결 론

본 연구에서는 부분구조합성법을 이용하여 서브 프레임, 서스펜션 그리고 차체로 구성된 전차량 모델을 구성하는 방법을 제안한 후 전차량 모델에 대한 진동 특성을 분석하였다. 서브프레임은 빔 요소로 모델링된 등가모델을 이용하였으며 서스펜 션 및 차체 바디는 부분구조 합성법을 이용한 축 소된 형태의 모델을 사용하였다. 제안된 전차량 모델로부터 서브프레임 마운트 위치에서의 입력에 대한 다양한 차체 출력점에서의 응답을 살펴보았 으며 특히 서브프레임 설계 변경에 따른 응답 특 성 변화를 쉽게 파악할 수 있었다. 또한, 서브프레 임을 구성하는 설계변수들의 편차가 주파수 응답 함수의 통계적 변화에 미치는 영향을 살펴보았다.

마운트 위치에 대한 산포해석 결과 로어암 G 마 운트 위치의 산포가 주파수 응답함수의 통계적 변 화에 가장 큰 영향을 미쳤다. 서브프레임 너비의 산포는 본 연구에서 고려된 모든 설계변수들 중에 서 주파수 응답함수 변화에 가장 큰 영향을 미쳤 다. 반면, 프레임 단면적의 편차는 주파수 응답함 수 통계적 변화에 거의 영향을 미치지 않았다. 본 연구에서 제시된 방법을 통해 다른 복잡한 구조물

에 대한 해석이나 설계 인자들의 산포에 의한 영 향을 쉽게 예측할 수 있을 것으로 판단된다.

후 기

이 논문은 2010 년도 두뇌한국 21 사업의 지원과 2009 년도 정부(교육과학기술부)의 재원으로 한국 연구재단의 지원을 받아 수행된 기초연구사업임 (No. 2009-0073743).

참고문헌

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“Dynamic Analysis of Structural Systems using Component Modes,” AIAA J., Vol. 3, pp. 678~685.

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“Coupling of Substructures for Dynamic Analysis,”

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“Component Mode Synthesis of a Vehicle System Model Using the Fictitious Mass Method,” Journal of Vibration and Acousitcs, Vol. 129, pp. 73~83.

(4) Qiu, J. B., Ying, Z. G. and Williams F. W., 1997,

“Exact Modal Synthesis Techniques using Residual Constraint Modes,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 40, pp.

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(5) Kim, B. S., Kim, B. S. and Yoo, H. H., 2008,

“Analysis of the Tolerance Effects of Main Design Parameters on the Vibration Characteristics of a Vehicle Subframe,” Transaction of KSAE, Vol. 16, No.

5, pp. 100~105.

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(7) Lee, I. W. and Jung, G. H., 1997, “An Efficient Algebraic Method for Computation of Natural Frequency and Mode Shape Sensitivities : Part 1, Distinct Natural Frequencies,” Computers and Structures, Vol.62, pp.429~435.