Ⅳ Ⅳ Ⅳ 여러 가지 적분법

1 여러 가지 함수의 적분 2 ^{치환적분법}

3 ^{부분적분법} 4 정적분과 급수의 합 사이의 관계

5 ^{넓이와 부피} 6 ^{속도와 거리}

여러 가지 적분법

Ⅳ

고층 건물을 설계할 때 건물의 기둥에 가해지는 힘의 크기는 적분법을 활용하여 구할 수 있다.

남극 대륙은 지구의 육지 넓이의 약 9.3`%를 차지하는 거대한 대륙이면서, 지 구의 환경 변화를 연구하는 중요한 보고이다. 남극에서는 빙하 아래의 지질, 생태 계, 대기의 순환, 지구 온난화, 천문 등 다양한 연구가 수행되고 있으며, 이러한 연 구에 적분은 매우 유용한 도구이다. (윤경철, “대단한 지구여행”)

우리나라는 남극에 세종 과학 기지, 장보고 과학 기지를 보유하고 있으며, 수십 명의 월동 연구 대원이 파견되어 연구 활동을 수행하고 있다.

남극 연구와

적분법

우리나라 과학자들이 남극에서 빙하의 이동이나 해빙, 다양한 생태계의 변화를

연구하고 있다. 이와 같은 연구에 여러 가지 적분법의 원리가 이용된다.

2

⑴ :)1` (4xÜ`-6x) dx ⑵ :_2@ (xÜ`+6xÛ`-4x+1) dx

1

⑴ :` (2x+1) dx ⑵ :` (3x-1)(x+2) dx

배운 내용 확인하기

154

남극에 세워진 우리나라의 두 번째 기지인 장보고 과학 기지는 강한 바람을 견딜 수 있도록 유체 역학

디자인으로 설계되었고, 이와 같은 설계에 적분이 이용된다.

(“연합뉴스”, 2014년 2월 12일)

생물의 개체 수의 변화를 연구할 때 적용하는 모델인 로지스틱 방정식은

적분을 이용하여 구할 수 있다.

(J. Stewart, “Calculus”)

4

3

극지방의 빙하가 녹을 때 부피의 변화율은 지수함수로 표현되는데 이 함수를 적분하여

빙하의 녹는 양을 계산할 수 있다.

여러 가지 함수의 적분

여러 가지 함수의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다.

성취 기준

다항함수의 부정적분과 미분의 관계에서 n이 양의 정수 일 때, { 1

n+1xⁿ⁺¹}'=xÇ` 이므로 :` xÇ` dx= 1

n+1xⁿ⁺¹+C (C는 적분상수) 임을 배웠다.

함수 y=xÇ` (n은 실수) 의 부정적분

탐구 학습

다음을 읽고 y=x^-2의 부정적분을 구하여 보자.

열기

(x^-1)'=-x^-2이므로

:` x^-2 dx=-x^-1+C

=-;[!;+C (단, C는 적분상수) 따라서 y=x^-2의 부정적분은

-;[!;+C (단, C는 적분상수) 다지기

n이 실수일 때, 함수 y=xÇ` 의 부정적분은 어떻게 구할까?

키우기

함수 y=xÇ``(n은 실수)은 어떻게 적분할까?

xÛ`의 부정적분은?

;3!;xÜ`+C야. 그럼 x^-2의 부정적분은?

미분해서 x^-2이 되는 함수를 찾아봐.

지수가 음수인 함수도 부정적분을 구할 수 있구나!

일반적으로 부정적분에서 적분상수는 C로 나타낸다.

F'(x)=f(x)가 되는 함수 F(x)를  f(x)의 부정적분

이라고 해요.

156

이제 n이 실수일 때, 함수 y=xÇ` 의 부정적분에 대하여 알아보자.

함수 y=xÇ``(n은 실수)의 부정적분

➊ n+-1일 때 :` xÇ` dx= 1n+1xⁿ⁺¹+C

➋ n=-1일 때 :`x<sup>-1</sup> dx=:` ;[!; dx=ln|x|+C 이상을 정리하면 다음과 같다.

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :` Ü"xÛ` dx ⑵ :` ;[%; dx

⑶ :` x-4xÜ` dx ⑷ :` ('§x-2)Û`x dx

1

문제

예제 다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :`{'§x+ 1

'§x } dx ⑵ :` 2x-3 xÛ` dx

| 함수 y=xÇ``(n은 실수)의 부정적분 구하기

1

풀이 ▶ ⑴ :` {'§x+ 1'§x } dx=:` '§x dx+:` 1'§x dx=:` x^;2!; dx+:` x^-;2!; dx

=;3@;x^;2#;+2x^;2!;+C=;3@;x'§x +2'§x+C

⑵ :` 2x-3xÛ`  dx=:` {;[@;- 3xÛ` } dx=2:` ;[!; dx-3:` x^-2 dx

=2 ln |x|+3x^-1+C=2 ln |x|+;[#;+C

 ⑴ ;3@;x'§x +2'§x+C ⑵ 2 ln |x|+;[#;+C 두 함수  f(x), g(x)에 대하여

:`kf(x) dx=k:``f(x) dx (단, k는 0이 아닌 상수) :`{ f(x)Ñg(x)} dx

=:``f(x) dx Ñ:` g(x) dx (복호동순)

➊ n+-1일 때 { 1

n+1xⁿ⁺¹}'=xÇ` 이므로   :` xÇ` dx= 1

n+1xⁿ⁺¹+C

➋ n=-1일 때

(ln |x|)'=;[!;=x^-1이므로   :` x^-1 dx=:``;[!; dx=ln |x|+C

지수함수는 어떻게 적분할까?

지수함수의 도함수를 이용하여 지수함수의 부정적분을 구하여 보자.

지수함수의 부정적분

곡선 y=f(x) 위의 점 (x,  f(x))에서의 접선의 기울기가 eÅ`+4x이고 이 곡선이 점 (0, 4)를 지날 때,  f(x)를 구하시오.

3

문제

➋ (aÅ`)'=aÅ` ln a (a>0, a+1)이므로 :` aÅ` dx= aÅ`

ln a+C

➊ (eÅ`)'=eÅ` 이므로 :` eÅ` dx=eÅ`+C

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :` (e<sup>x-2</sup>+2<sup>x+3</sup>) dx ⑵ :` (2Å`-1)Û` dx

2

문제

지수함수의 부정적분

➊ :` eÅ` dx=eÅ`+C

➋ :` aÅ` dx= aÅ`ln a +C (단, a>0, a+1) 이상을 정리하면 다음과 같다.

예제 다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :` e<sup>x+3</sup> dx ⑵ :` 3^2x-1 3Å`+1 dx

| 지수함수의 부정적분 구하기

2

풀이 ▶ ⑴ :` e<sup>x+3</sup> dx=:` eÅ`_eÜ` dx=eÜ`:` eÅ` dx=eÜ`_eÅ`+C=e^x+3+C

⑵ :` 3^2x-1

3Å`+1 dx=:` (3Å`-1)(3Å`+1)3Å`+1  dx=:` (3Å`-1) dx= 3Å`ln 3 -x+C

 ⑴ e^x+3+C ⑵ 3Å`

ln 3 -x+C

158

삼각함수는 어떻게 적분할까?

삼각함수의 도함수를 이용하여 삼각함수의 부정적분을 구하여 보자.

(cos x)'=-sin x이므로 :` sin x dx=-cos x+C (sin x)'=cos x이므로 :` cos x dx=sin x+C (tan x)'=secÛ` x이므로 :` secÛ` x dx=tan x+C 삼각함수의 부정적분

삼각함수의 부정적분

➊ :` sin x dx=-cos x+C ➋ :` cos x dx=sin x+C

➌ :` secÛ` x dx=tan x+C ➍ :` cscÛ` x dx=-cot x+C

➎ :` sec x tan x dx=sec x+C ➏ :` csc x cot x dx=-csc x+C 이와 같은 방법으로 삼각함수의 부정적분을 구하면 다음과 같다.

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :` (2 cos x-4 sin x) dx ⑵ :` sinÛ` x+cosÛ` x sinÛ` x cosÛ` x dx

4

문제

예제 다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :`(sin x+3 cos x) dx ⑵ :` 3 cosÜ` x-2 cosÛ` x dx

| 삼각함수의 부정적분 구하기 ⑴

3

풀이 ▶ ⑴ :` (sin x+3 cos x) dx=:` sin x dx+3:` cos x dx

⑴ :` (sin x+3 cos x) dx=-cos x+3 sin x+C

⑵ :` 3 cosÜ` x-2

cosÛ` x  dx=:` {3 cos x- 2cosÛ` x } dx

=:` (3 cos x-2 secÛ` x) dx

=3:` cos x dx-2:` secÛ` x dx

=3 sin x-2 tan x+C

 ⑴ -cos x+3 sin x+C ⑵ 3 sin x-2 tan x+C

예제 다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :` tanÛ` x dx ⑵ :`  sinÛ` x 1-cos x ^dx

| 삼각함수의 부정적분 구하기 ⑵

4

풀이 ▶ ⑴ 1+tanÛ` x=secÛ` x에서 tanÛ` x=secÛ` x-1이므로

:` tanÛ` x dx=:` (secÛ` x-1) dx

=tan x-x+C

⑵ sinÛ` x+cosÛ` x=1에서 sinÛ` x=1-cosÛ` x이므로

:` sinÛ` x

1-cos x dx=:` 1-cosÛ` x 1-cos x dx

=:` (1-cos x)(1+cos x) 1-cos x dx

=:` (1+cos x) dx

=x+sin x+C

 ⑴ tan x-x+C ⑵ x+sin x+C

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :` cotÛ` x dx ⑵ :` 1+sin x 1-sinÛ` x dx

5

문제

문제 해결 생각을넓히는 수학

어느 풍력 발전기는 날개의 길이가 38`m이고, 날개의 중심이 지면으로부터 70`m의 높이에 있다. 이 풍력 발전기의 한 날개의 끝에 있는 점 P가 지면에서 가장 멀리 떨어져 있는 순간으로부터 날개가 시계 반대 방향으로 x라디안만큼 회전했을 때, 지면으로부터 점 P의 높이 h(x)`m에 대하여

h'(x)=-38 sin x 가 된다. 다음 물음에 답하여 보자.

⑴ h(x)를 구하여 보자.

⑵ 점 P가 ;3@;p만큼 회전했을 때, 지면으로부터 점 P의 높이를 구하여 보자.

함수 f(x)에 대하여  f '(x)= 1

1+cos x ,  f {;4Ò;}='2가 성립할 때, 함수  f(x)를 구하시오.

6

문제

160

다음 정적분의 값을 구하시오.

⑴ :<sub>eÛ`</sub><sup>eÜ`</sup> ;[@; dx ⑵ :!4```x'§x dx

⑶ :!2` 4Å` dx ⑷ :)<sup>`````;4Ò;`</sup>secÛ` x dx

7

문제

여러 가지 함수의 정적분은 어떻게 구할까?

닫힌구간 [a, b]에서 연속인 함수  f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 할 때, :Ab``f(x)dx=F(b)-F(a)

를 함수  f(x)의 a에서 b까지의 정적분이라 함을 배웠다.

정적분의 정의에 따라 여러 가지 함수의 정적분의 값을 구하여 보자.

여러 가지 함수의 정적분

예제 정적분 :)1` (eÅ`+1)Û` dx-:)1` (eÅ`-1)Û` dx의 값을 구하시오.

| 정적분의 성질을 이용하여 정적분의 값 구하기

6

풀이 ▶ :)1` (eÅ`+1)Û` dx-:)1` (eÅ`-1)Û` dx=:)1` {(eÅ`+1)Û`-(eÅ`-1)Û`} dx

=4:)1` eÅ` dx=4[eÅ`]1)=4(e-1)

 4(e-1) 정적분 :!3` 1

xÛ` dx의 값을 구하시오. 정적분 :)^;2Ò; sin x dx의 값을 구하시오.

| 정적분의 값 구하기

예제

5

풀이 ▶ :!3` 1

xÛ` dx=:!3` x^-2 dx=[-;[!;]3!

=-;3!;-(-1)=;3@;

 ;3@;

풀이 ▶ :)^;2Ò; sin x dx=[ ])^;2Ò;

=



다음 정적분의 값을 구하시오.

⑴ :)^;2Ò; (1+sin x)Û` dx+:)<sup>;2Ò;</sup> (1+cos x)Û` dx

⑵ :$9`` x-1'§x-1 dx+:$9`` x-1'§x+1 dx

8

문제

다음 정적분의 값을 구하시오.

⑴ :)^;2Ò; |sin x-cos x| dx ⑵ :_1! |eÅ`-1| dx

9

문제

예제 정적분 :)È` |cos x| dx의 값을 구하시오.

| 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분의 값 구하기

7

풀이 ▶ |cos x|=

à

-cos x {;2Ò;ÉxÉp}

이므로

    :)È` |cos x| dx=:)<sup>;2Ò;</sup> cos x dx+:`È`<sub>;2Ò;</sub>`(-cos x) dx

=[sin x])^;2Ò;+[-sin x]È`_;2Ò;=2

 2 O

1 y

y=| cos x |

p x p2

추론 생각을넓히는 수학

다음 그림을 보고 2 이상의 자연수 n에 대하여 부등식 1+;2!;+;3!;+`y`+;n!;>ln (n+1)이 성립함을 설명하 여 보자.

직사각형의 넓이의 합과 정적분 :!ⁿ⁺¹ ;[!; dx의 값은

어떤 관계가 있을까?

n개의 직사각형의 넓이의 합은 얼마일까?

1 2 3 4 n

O n+1 1

y f(x)=

x ...

12 13 1 n

1x

162

스스로 확인하기

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ n+-1일 때 :` xÇ` dx= +C n=-1일 때

:` x<sup>-1</sup> dx=:` ;[!; dx= +C

⑵ :` eÅ` dx= +C

:` aÅ` dx= +C (단, a>0, a+1)

⑶ :` sin x dx= +C :` cos x dx= +C :` secÛ` x dx= +C

4

정적분 :_1! |2Å`-1| dx의 값을 구하시오.

5

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수  f(x)가 xf(x)=3x+:!/``f(t) dt

를 만족시킬 때,  f(e)의 값을 구하시오.

6

북극의 바다 위를 떠다니는 빙산은 남쪽으로 내려오면서 녹 아 없어진다. 부피가 a`mÜ`인 어느 빙산이 녹기 시작한 지 t 시간 후의 부피의 변화율 V'(t)가

V'(t)=-ke^-t (k는 상수)

일 때, 이 빙산의 t시간 후의 부피 V(t)를 구하시오.

창의• 융합

2

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :` 3xÝ`+1xÛ`  dx

⑵ :` (sin x-cscÛ` x) dx

3

다음 정적분의 값을 구하시오.

⑴ :!8` {Ü'§x-;[@;} dx

⑵ :)1` e<sup>2x</sup>-xÛ`

eÅ`-x  dx

치환적분법

치환적분법을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

성취 기준

탐구 학습

d

dx{(2x-1)¹⁰}을 구하고, 이를 이용하여 부정적분 :` (2x-1)á` dx를 구하여 보자.

열기

식의 일부를 다른 변수로 바꾸어 부정적분을 구하여 보자.

함수  f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면

:``f(t) dt=F(t)+C yy ㉠

이다. 한편 미분가능한 함수 g(x)에 대하여 g(x)=t로 놓으면 F(g(x))=F(t)이 다. 이때 합성함수의 미분법을 이용하여 F(g(x))를 x에 대하여 미분하면

d

dxF(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x) 이므로 다음을 얻는다.

:``f(g(x))g'(x) dx=F(g(x))+C=F(t)+C yy ㉡ 치환적분법

{(2x-1)¹⁰}'=20(2x-1)á`이므로 :` (2x-1)á` dx=;2Á0;(2x-1)¹⁰+C 다지기

합성함수의 꼴로 주어진 함수의 부정적분은 어떻게 구할까?

키우기

치환적분법이란 무엇일까?

(2x-1)¹⁰을 전개해야 하나?

합성함수의 미분법을 이용해 봐.

미분가능한 두 함수  f(x), g(x)에 대하여 { f(g(x))}'

=f '(g(x))g'(x)

인수분해가 어렵네.

치환을 하면 쉽잖아. 적분에서도 치환을 이용할 수 있을까?

164

따라서 ㉠, ㉡으로부터 다음 등식이 성립한다.

:``f(g(x))g'(x) dx=:``f(t)dt

이처럼 미분가능한 함수를 다른 변수로 바꾸어 적분하는 방법을 치환적분법이라 한다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

치환적분법

미분가능한 함수 g(x)에 대하여 g(x)=t로 놓으면 :``f(g(x))g'(x) dx=:``f(t)dt

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :` 6x(3xÛ`+2)Ý` dx ⑵ :` 2xe^xÛ` dx

⑶ :` (ln x)Û`

x dx ⑷ :` tan x secÛ` x dx

1

문제

예제 다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :` 2x(xÛ`+4)Û` dx ⑵ :` sinÜ` x cos x dx

| 치환적분법을 이용하여 부정적분 구하기 ⑴

1

풀이 ▶ ⑴ xÛ`+4=t로 놓으면 2x=dt

dx이므로 :` 2x(xÛ`+4)Û` dx=:` tÛ` dt=;3!;tÜ`+C

=;3!;(xÛ`+4)Ü`+C

⑵ sin x=t로 놓으면 cos x=dt

dx이므로 :` sinÜ` x cos x dx=:` tÜ` dt=;4!;tÝ`+C

=;4!; sinÝ` x+C

 ⑴ ;3!;(xÛ`+4)Ü`+C ⑵ ;4!; sinÝ` x+C 구한 결과를 처음의 변수로

바꾸어 나타내야 해.

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :`  12x-3 dx ⑵ :` e^4x+5 dx

⑶ :` cos (3x-4) dx ⑷ :` x"ÃxÛ`+1 dx

2

문제

부정적분 :`(3x+2)Þ` dx 를 구하시오. 부정적분 :` sin (2x-1) dx 를 구하시오.

| 치환적분법을 이용하여 부정적분 구하기 ⑵

예제

2

풀이 ▶ 3x+2=t로 놓으면 3= dt dx이므로

    :` (3x+2)Þ` dx=;3!;:` (3x+2)Þ`_3 dx     :` (3x+2)Þ` dx=;3!;:` tÞ` dt

    :` (3x+2)Þ` dx=;1Á8;tß`+C     :` (3x+2)Þ` dx=;1Á8;(3x+2)ß`+C

 ;1Á8;(3x+2)ß`+C

풀이 ▶ =t로 놓으면 =dt

dx이므로     :` sin (2x-1) dx=

    =

    =

    =



부정적분 :`  f '(x)

f(x)  dx 에 대하여  f(x)=t로 놓으면  f '(x)=dt

dx이므로 치환적분 법에 의하여

:`  f '(x)

 f(x)  dx=:`[ 1 f(x)_f '(x)] dx=:` ;t!; dt   =ln |t|+C=ln | f(x)|+C 이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

함수   f '(x)  f(x) 의

부정적분

함수  f '(x)

 f(x) 의 부정적분 :`  f '(x)

 f(x) dx=ln | f(x)|+C

166

예제 다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :`  2x

xÛ`-3 <sup>dx ⑵</sup> :` tan x dx

| 함수  f '(x)

 f(x)  의 부정적분 구하기

3

풀이 ▶ ⑴ (xÛ`-3)'=2x이므로 :`  2xxÛ`-3 dx=:` (xÛ`-3)'xÛ`-3  dx

=ln |xÛ`-3|+C

⑵ tan x=sin x

cos x =-(cos x)'

cos x 이므로 :` tan x dx=-:` (cos x)' cos x  dx

=-ln |cos x|+C

 ⑴ ln|xÛ`-3|+C ⑵ -ln|cos x|+C

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :`  3xÛ`xÜ`+1 dx ⑵ :` cot x dx

⑶ :`  eÅ`

eÅ`+1 dx ⑷ :` sin x

2+cos x dx

3

문제

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :` x+2x+1 dx ⑵ :`  2x(x+2) dx

⑶ :`  1xÛ`-1 dx ⑷ :` 1

xÛ`-3x+2 dx

4

문제

예제 부정적분 :  1

(x+1)(x+2) dx 를 구하시오.

| 분수 꼴인 함수의 부정적분 구하기

4

풀이 ▶ 1 (x+1)(x+2)

= 1

x+1- 1 x+2 이므로

:` 1

(x+1)(x+2) dx=:` { 1 x+1- 1

x+2 } dx

=ln |x+1|-ln |x+2|+C

=ln | x+1x+2 |+C

 ln | x+1x+2 |+C 1

AB = 1 B-A  {

1 A -

1 B } (단, A+B)

변수가 바뀌었으니까 적분 구간도 바뀌겠지?

치환적분법을 이용하여 정적분을 어떻게 구할까?

함수  f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면 미분가능한 함수 t=g(x)에 대하여 :``f(g(x))g'(x) dx=F(g(x))+C

이다.

여기서 함수 t=g(x)의 도함수 g'(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고, g(a)=a, g(b)=b에 대하여 함수  f(t)가 a와 b를 양 끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때

:Ab``f(g(x))g'(x) dx=[F(g(x))]bA

=F(g(b))-F(g(a))

=F(b)-F(a)

=:òÕ``f(t) dt 이다.

정적분의 치환적분법

a b

O

t t=g(x)

x a

b

이상을 정리하면 다음과 같다.

정적분의 치환적분법

미분가능한 함수 t=g(x)의 도함수 g'(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고,

g(a)=a, g(b)=b에 대하여 함수  f(t)가 a와 b를 양 끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 :Ab``f(g(x))g'(x) dx=:òÕ``f(t)dt

다음 정적분의 값을 구하시오.

⑴ :)^;2Ò; sin x cos x dx ⑵ :E<sup>eÛ`</sup>` ln x x dx

5

문제

168

예제 정적분 :!2` x'Äx-1 dx의 값을 구하시오.

| 치환적분법을 이용하여 정적분의 값 구하기

5

풀이 ▶ x-1=t로 놓으면 1= dt

dx x=1일 때 t=0,

x=2일 때 t=1이므로 :!2` x'Äx-1 dx=:)1` (t+1)'t dt

=:)1` (t^;2#;+t^;2!;) dt

=[;5@;t^;2%;+;3@;t^;2#;]1)=;1!5^;

 ;1!5^;

다음 정적분의 값을 구하시오.

⑴ :!3` e<sup>3x-4</sup> dx ⑵ :)1`  1 (2x+1)Ü` dx

⑶ :!2` x'Ä2-x dx ⑷ :)2` eÅ`+1eÅ`+x dx

6

문제

의사소통 생각을넓히는 수학

정적분 :)^;2Ò; sinÜ` x dx의 값을 구하려는 두 학생의 대화를 읽고, 다음 물음에 답하여 보자.

⑴ 위의 풀이를 완성하여 보자.

⑵ 정적분 :)^;2Ò; cosÞ` x dx 의 값을 구하는 방법에 대하여 모둠별로 토론하여 보고, 그 값을 구하여 보자.

모둠 활 동

sinÜ` x의 부정적분은 직접 구하기 어렵네.

그럼 치환하여 적분할 수 있도록 sinÜ` x를 (1-cosÛ` x) sin x로

변형해 보자.

:)^;2Ò; sinÜ` x dx=:)<sup>;2Ò;</sup> (1-cosÛ` x) sin x dx

스스로 확인하기

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ 미분가능한 함수 g(x)에 대하여 g(x)=t로 놓으면 :``f(g(x))  dx=:``f(t) dt

⑵ :`<sup> f '(x)</sup><sub> f(x)</sub>`dx=ln | |+C

⑶ 미분가능한 함수 t=g(x)의 도함수 g'(x)가 닫 힌구간 [a, b]에서 연속이고, g(a)=a, g(b)=b 에 대하여 함수  f(t)가 a와 b를 양 끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때

:Ab``f(g(x))g'(x) dx=:  f(t) dt

4

함수  f(x)에 대하여  f '(x)= x

"Ã1-xÛ`,  f(0)=0

이 성립할 때, 방정식  f(x)=;2!; 을 만족시키는 양수 x의 값 을 구하시오.

5

함수  f(x)가 다음 등식을 만족시킬 때,  f {;6Ò;}의 값을 구 하시오.

f(x)=sin x+2:)^;2Ò;`f(t) cos t dt

2

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :` sinÛ` x cos x dx

⑵ :`(3x-4)Þ` dx

⑶ :`  x-1xÛ`-2x+2 dx

3

다음 정적분의 값을 구하시오.

⑴ :!^'5` x"Ã3xÛ`+1 dx

⑵ :)1` xÛ`e^xÜ` dx

⑶ :!<sup>eÛ`</sup>`  2

x(2+ln x)Û` dx

6

냉장고에서 온도가 4`ùC인 음료수를 꺼내 기온이 30`ùC인 실내에 두었다. t분 후 이 음료수의 온도를  f(t)`ùC라 할 때, 음료수 온도의 순간변화율  f '(t)는

f '(t)=2.6e^-0.1t`(ùC/min)

이 성립한다. 7분 후 이 음료수의 온도를 구하시오.

{단, e^-0.7=;2!;로 계산한다.}

창의• 융합

170

소득이 증가하면 소비도 증가할까?

생활  속 수학   쏙 

소득은 지출 면에서 소비와 저축으로 나누어진다. 이때 소득에 대한 소비의 비율을 소비 성향, 저축의 비율을 저축 성향이라 하는데, 한계 소비 성향은 새로 늘어난 소 득 중에서 늘어난 소비의 비율을 뜻한다. (매일경제 경제용어사전 http://dic.mk.co.kr)

일반적으로 소득이 적은 사람은 기본적으로 지출해야 하는 소비가 소득의 대부분을 차지하며 소 득이 증가하면 그동안 참아 왔던 지출을 하는 경우가 많다. 이 때문에 소득이 적은 사람들은 한계 소 비 성향이 높게 나타난다. 따라서 한계 소비 성향이 높을수록 소비 증대에 미치는 영향력이 커진다.

한편 한계 소비 성향은 소득 x의 증가량에 대한 소비 y의 증가량의 비율이므로 한계 소비 성향을 알면 부정적분을 이용하여 특정 소득액에 대한 소비를 예측할 수 있다. (선대인, “선대인의 대한민국 경제학”)

추론하기 어느 4인 가족을 기준으로 연간 수입 x만 원과 소비 y만 원에 대하여 관계식

dy dx =

9 10(x-1608)^0.1

가 성립하고, 연간 수입이 1609만 원일 때 수입 전체를 소비한다고 하자.

이 4인 가족의 수입이 2632만 원이 되었을 때, 소비하는 금액은 얼마인 지 위의 관계식을 이용하여 예측하여 보자.

저축 60만 원

저축 70만 원

140만 원소비

소비 180만 원

한계 소비 성향: 180-140

250-200=80`(%) 소비 성향: 70`%

월 소득 200만 원

월 소득 250만 원

소비 성향: 72`%

220만 원저축

300만 원저축

280만 원소비 소비 300만 원

한계 소비 성향: 300-280

600-500=20`(%) 월 소득 500만 원

월 소득 600만 원

소비 성향: 56`% 소비 성향: 50`%

탐구 학습

함수  f(x)=x sin x에 대하여  f '(x)를 구하고, 그 결과를 이용하여 부정적분 :`x cos x dx를 추측하여 보자.

열기

부분적분법

부분적분법을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

성취 기준

함수의 곱의 미분법을 이용하여 곱의 꼴로 된 함수의 부정적분을 구하여 보자.

미분가능한 두 함수  f(x), g(x)에 대하여 두 함수의 곱의 미분법에서 { f(x)g(x)}'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)

이므로 이 식의 양변을 x에 대하여 적분하면

f(x)g(x)=:` f '(x)g(x) dx+:` f(x)g'(x) dx 이다.

부분적분법

 f '(x)=(x sin x)'=sin x+x cos x에서 x cos x=(x sin x)'-sin x 이 식의 양변을 x에 대하여 적분하면

:`x cos x dx=x sin x-:`sin x dx

=x sin x+cos x+C 로 추측할 수 있다.

다지기

두 함수의 곱의 꼴로 주어진 함수의 부정적분은 어떻게 구할까?

키우기

부분적분법이란 무엇일까?

곱의 미분법의 원리를 거꾸로 적용하면

되지 않을까?

두 함수의 곱의 꼴로 주어진 함수를 미분하려면 곱의

미분법을 이용하면 돼.

그럼 적분은 어떻게 하지?

172

이상을 정리하면 다음과 같다.

부분적분법

미분가능한 두 함수  f(x), g(x)에 대하여

:` f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-:` f '(x)g(x) dx

부분적분법을 이용할 때 미분하여 그 결과가 간단한 것을  f(x)로, 적분하기 쉬운 것을 g'(x)로 놓으면 편리하다.

참고

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :`(x+1)e<sup>-x</sup> dx ⑵ :`x e^3x dx

⑶ :`(2x-1) sin x dx ⑷ :`x cos 5x dx

1

문제

부정적분 :`x eÅ` dx 를 구하시오. 부정적분 :`x sin x dx 를 구하시오.

| 부분적분법을 이용하여 부정적분 구하기 ⑴

예제

1

풀이 ▶  f(x)=x, g'(x)=eÅ`으로 놓으면      f '(x)=1, g(x)=eÅ`

부분적분법에 의하여

    :`x eÅ` dx=x eÅ`-:`1_eÅ` dx     :`x eÅ` dx=x eÅ`-eÅ`+C     :`x eÅ` dx=(x-1)eÅ`+C

 (x-1)eÅ`+C

풀이 ▶  f(x)=x, g'(x)=sin x로 놓으면      f '(x)= , g(x)=

부분적분법에 의하여     :`x sin x dx=

=

=



따라서 다음을 얻을 수 있다.

:` f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-:` f '(x)g(x) dx 이처럼 적분하는 방법을 부분적분법이라 한다.

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :`x ln x dx ⑵ :`3xÛ` ln x dx

2

문제

예제 부정적분 :`ln x dx 를 구하시오.

| 부분적분법을 이용하여 부정적분 구하기 ⑵

2

풀이 ▶  f(x)=ln x, g'(x)=1로 놓으면  f '(x)=;[!;, g(x)=x

부분적분법에 의하여 :`ln x dx=(ln x)_x-:` ;[!;_x dx :`ln x dx=x ln x-x+C

 x ln x-x+C

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :`(ln x)Û` dx ⑵ :`xÛ` sinx dx

3

문제

문제 해결 생각을넓히는 ^수학

정빈이가 다음과 같이 부분적분법을 이용하여 부정적분 :`eÅ` sin x dx 를 구하려고 한다. 풀이를 완성하여 보자.

부정적분 :`eÅ` cos x dx 에 부분적분법을 한 번 더

적용해 볼까?

174

부분적분법을 이용하여 정적분을 어떻게 구할까?

미분가능한 두 함수  f(x), g(x)에 대하여  f '(x), g'(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때, 함수의 곱의 미분법에서

{ f(x)g(x)}'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x) 이므로

:Ab`{ f(x)g(x)}' dx=:Ab`{ f '(x)g(x)+f(x)g'(x)} dx

=:Ab``f '(x)g(x) dx+:Ab``f(x)g'(x) dx 이다. 그런데 :Ab`{ f(x)g(x)}' dx=[f(x)g(x)]bA이므로 다음이 성립한다.

:Ab``f(x)g'(x) dx=[f(x)g(x)]bA-:Ab``f '(x)g(x) dx 정적분의 부분적분법

다음 정적분의 값을 구하시오.

⑴ :!e` xÜ` ln x dx ⑵ :)^;4Ò; x cos 2x dx

4

문제

예제 정적분 :)^;2Ò; x sin x dx 의 값을 구하시오.

| 부분적분법을 이용하여 정적분의 값 구하기

3

풀이 ▶  f(x)=x, g'(x)=sin x 로 놓으면

 f '(x)=1, g(x)=-cos x

부분적분법에 의하여 :)^;2Ò; x sin x dx=[-x cos x])^;2Ò;-:)^;2Ò; 1_(-cos x) dx

=0+[sin x])^;2Ò;=1

 1 이상을 정리하면 다음과 같다.

정적분의 부분적분법

미분가능한 두 함수  f(x), g(x)에 대하여  f '(x), g'(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때 :Ab``f(x)g'(x) dx=[f(x)g(x)]bA-:Ab``f '(x)g(x) dx

스스로 확인하기

4

상수 a에 대하여 함수  f(x)=:`(x+a)eÅ` dx 가      f '(3)=0,  f(0)=3

을 만족시킬 때,  f(4)의 값을 구하시오.

5

함수  f(x)=a ln x+b가

 f '(1)=3, :!e``f(x) dx=2e+1

을 만족시킬 때, 두 상수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구하

2

다음 부정적분을 구하시오.

⑴ :`x sin 3x dx

⑵ :` ln x xÛ`  dx

⑶ :`(3x+2) cos x dx

3

다음 정적분의 값을 구하시오.

⑴ :!e` x ln x dx

⑵ :)1` x e^2x dx

⑶ :)^;2Ò; x cos x dx

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

6

소리가 난 지 t초 후에 어느 악기 소리의 파동의 형태를 나 타내는 함수 W(t)의 순간변화율 W'(t)는

W'(t)=(cos t-sin t) e^-t

이 성립한다. W(0)=0일 때, W{;6Ò;}의 값을 구하시오.

창의• 융합

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ 미분가능한 두 함수  f(x), g(x)에 대하여 :` f(x)g'(x) dx

=f(x)g(x)-:`  dx

⑵ 미분가능한 두 함수  f(x), g(x)에 대하여  f '(x), g'(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때

:Ab` f(x)g'(x) dx

=[f(x)g(x)]bA-:Ab`   dx

176

정적분과 급수의 합 사이의 관계

정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이해한다.

성취 기준

탐구 학습

다음 그림은 하트 무늬의 넓이를 알아보기 위하여 모눈의 크기를 다르게 나타낸 것이다.

<그림 1>, <그림 2>, <그림 3> 중 하트 무늬 안쪽에 포함된 정사각형의 넓이의 합이 하트 무늬 의 넓이에 가장 가까운 것은 어느 것인지 말하여 보자.

열기

정적분과 급수의 합은 어떤 관계가 있을까?

곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 실제 넓이에 가깝게 구하는 방법은 무엇일까?

키우기

모눈의 크기가 작아질수록 하트 무늬 안쪽에 포함된 정사각형의 넓이의 합이 하트 무늬의 넓이 에 가까워진다. 따라서 하트 무늬의 넓이에 가장 가까운 것은 <그림 3>이다.

다지기

<그림 1> <그림 2> <그림 3>

글쎄…. 여러 개의 원기둥으로 자른 다음 원기둥의 부피의 합을 구하면 되지 않을까?

저 포도주 통의 부피는 어떻게 구하지?

곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여 보자.

다음 그림과 같은 도형 ABCD의 넓이를 S라 하고, 도형 ABCD에서 선분 BC를 n등분하여 만든 n개의 직사각형의 넓이의 합을 SÇ이라 할 때, n을 한없이 크게 하면 SÇ은 도형 ABCD의 넓이 S에 한없이 가까워진다. 즉 S=lim_{n Ú¦} SÇ으로 구할 수 있다.

급수를 이용한 도형의 넓이와 부피

A

B C

D

S§

A

B C

D

S¡™

A

B C

D

S«...

이처럼 어떤 도형의 넓이를 구할 때, 이 도형을 여러 개의 기본 도형으로 나누어 그 기본 도형의 넓이의 합의 극한값으로 원래 도형의 넓이를 구할 수 있다.

곡선 y=xÛ`과 x축 및 직선 x=1로 둘러싸인 도형의 넓이 S를 오른 쪽 그림을 이용하여 구하고, ^예제 1 의 결과와 비교하시오.

1

문제

O 1 x

1

y y=x¤

...

...

1n2 n3

n n-1

n 예제 곡선 y=xÛ` 과 x축 및 직선 x=1로 둘러싸인 도형의 넓이 S

를 오른쪽 그림을 이용하여 구하시오.

| 급수를 이용하여 도형의 넓이 구하기

1

풀이 ▶ 각 직사각형의 가로의 길이는 모두 ;n!;이고, 세로의 길이는 각 구간의 오른쪽 끝에서의 함숫값과 같으므로 각 직사각형의 세로의 길이를 왼쪽부터 차례로 쓰면

{;n!;}Û`, {;n@;}Û`, {;n#;}Û`, y, { n-1n }Û`, {;nN;}Û`

직사각형의 넓이의 합을 SÇ이라 하면

SÇ=;n!;{;n!;}Û`+;n!;{;n@;}Û`+;n!;{;n#;}Û`+`y`+;n!;{n-1

n }Û`+;n!;{;nN;}Û`

=1

nÜ`{1Û`+2Û`+3Û`+`y`+(n-1)Û`+nÛ`}

=1

nÜ`_n(n+1)(2n+1) 6

=;6!;{1+;n!;}{2+;n!;}

여기서 n Ú ¦일 때, SÇ은 구하는 도형의 넓이 S에 한없이 가까워진다.

따라서 구하는 도형의 넓이 S는 S=lim

n Ú¦ SÇ=lim_{n Ú¦}[;6!;{1+;n!;}{2+;n!;}]=;3!;

 ;3!;

아르키메데스 (Archimedes, B.C. 287?~B.C. 212) 도형을 여러 개의 기본 도 형으로 나누어 넓이와 부피 를 구한 고대 그리스의 수 학자

O 1 x

1

y y=x¤

...

...

n12 n3

n n-1

n

178

정적분과 급수의 합 사이의 관계

이상을 정리하면 다음과 같다.

정적분과 급수의 합 사이의 관계

함수  f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때 :Ab``f(x) dx=lim

n Ú¦ ;Kn+!`f(xû)Dx {단, Dx= b-an , xû=a+kDx}

함수  f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고  f(x)¾0 일 때, 곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘 러싸인 도형의 넓이를 S라 하면 S=:Ab``f(x) dx임을 배

웠다. O _{a b} x

y

y=f(x)

S

닫힌구간 [a, b]에서  f(x)É0이면 :Ab``f(x) dxÉ0이다.

한편 함수  f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고  f(x)É0일 때, 곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이를 T라 하면

T=:Ab` {-f(x)} dx

이다. 이때 -f(x)¾0이므로 ㉠에 의하여 :Ab` {-f(x)} dx=lim_{n Ú¦} ;Kn+! {-f(xû)}Dx 이다. 따라서 다음이 성립함을 알 수 있다.

:Ab` f(x) dx=lim<sub>n Ú¦</sub> ;Kn+!`f(xû)Dx

a b

O x y

y=f(x) T

여기서 S의 값을 구하여 보자.

오른쪽 그림과 같이 닫힌구간 [a, b]를 n등분하여 양 끝점과 각 분점의 x좌표를 차례로

a=x¼, xÁ, xª, y, xn-1, xÇ=b 라 하고 각 소구간의 길이를 Dx라 하면

Dx= b-an , xû=a+kDx (k=0, 1, 2, y, n) 이다. 이때 색칠한 직사각형의 넓이의 합을 SÇ이라 하면

SÇ=f(xÁ)Dx+f(xª)Dx+`y`+f(xÇ)Dx=;Kn+!`f(xû)Dx

이다. n이 한없이 커지면 SÇ의 값은 구하는 도형의 넓이 S에 한없이 가까워지므로 S=lim

n Ú¦ SÇ=lim_{n Ú¦} ;Kn+!`f(xû)Dx

가 성립한다. 따라서 다음이 성립함을 알 수 있다.

:Ab``f(x) dx=lim_{n Ú¦} ;Kn+!`f(xû)Dx yy ㉠

xº a x¡ x™ x£

x«–¡x«

O = b= x

y

y=f(x)

...

...

정적분을 이용하여 다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

n Ú¦ 1n [{1+ 1n }Þ`+{1+ 2n }Þ`+{1+ 3n }Þ`+`y`+{1+;nN;}Þ`]

⑵ lim

n Ú¦ 1n {sin  pn +sin 2pn +sin 3pn +`y`+sin np n }

2

문제

예제 정적분을 이용하여 극한값 lim

n Ú¦

1

nÞ`(1Ý`+2Ý`+3Ý`+`y`+nÝ`)을 구하시오.

| 정적분을 이용하여 극한값 구하기

2

풀이 ▶ lim

n Ú¦

1

nÞ`(1Ý`+2Ý`+3Ý`+`y`+nÝ`)=lim

n Ú¦;Kn+! { kn }Ý` 1 n 이때  f(x)=xÝ`, Dx=1-0

n , xû=0+kDx=;nK;라 하면 lim

n Ú¦;Kn+! {;nK;}Ý` ;n!;=:)1``xÝ` dx=[;5!;xÞ`]1)=;5!;

 ;5!;

추론 생각을넓히는 수학

다음은 정적분을 이용하여 극한값 lim

n Ú¦{ 1

n+1 + 1 n+2 + 1

n+3 + y + 1n+n }을 구하는 과정을 나타낸 것이 다. 안에 알맞은 것을 써넣어 보자.

n limÚ¦ { 1n+1+ 1

n+2+ 1

n+3+ y + 1 n+n }

=limn Ú¦ ;n!;

{

}

이때  f(x)= 1 , Dx=1

n , xû=k n 라 하면

lim

n Ú¦ ;Kn+! f(xû)Dx=:) `f(x) dx=:) ` 1  dx=

어떤 함수의 정적분으로 변형하여

극한값을 구하지?

180

스스로 확인하기

2

정적분을 이용하여 다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

n Ú¦  p n {cos  p

n +cos 2p

n +`y`+cos np n }

⑵ ^lim

n Ú¦ ;n!;{®É1+ 2n+®É1+4

n +`y`+®É1+2n n }

3

정적분을 이용하여 다음 극한값을 구하시오.

⑴ ^lim

n Ú¦ 1 n;Kn+! ²ⁿ"eû`

⑵ lim

n Ú¦  p

n;Kn+! sin kp 2n

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

함수  f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때 :Ab``f(x)dx=lim_{n Ú¦} ;Kn+!`f(xû)Dx

{단, Dx=b-

n , xû= +kDx}

4

정적분을 이용하여 극한값 lim

n Ú¦ ;Kn+! ln(n+k)-ln n n 을 구하시오.

5

다음 그림과 같이 자연수 n에 대하여 사분원 xÛ`+yÛ`=4 (x¾0, y¾0)

의 호 AB를 n등분하여 양 끝점과 각 분점을 차례로 A(=P¼), PÁ, Pª, y, Pn-1, B(=Pn)라 하자. 원 위의 점 Pû(1ÉkÉn-1)에서의 접선과 x축, y축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 Sû라 할 때, 극한값 lim

n Ú¦ 1

n ;nK-+1! _Sû^{1  을 구하} 시오.

도전

O y

x P¬

P™

B(=P«) P«–¬

A(=Pº) P«–™...

컴퓨터와 수학    click!

182

정적분 의 어림수와 직사각형의 넓이의 합

정보 처리

능력 기르기 위의 방법으로 함수  f(x)=xÛ`+2에 대하여 닫힌구간 [0, 3]을 10등분, 20등분하여 직사각형 의 넓이의 합을 각각 구하여 보고, 정적분 :)3` (xÛ`+2) dx 의 값과 비교하여 보자.

컴퓨터 프로그램을 이용하여 정적분 :)3` {;2!;xÛ`+1} dx의 어림수를 구하는 방법에 대하여 알아보자.

오른쪽 그림과 같이 함수 y=;2!;xÛ`+1의 그래프와 두 직선 x=0, x=3 및 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구할 때, 닫힌구간 [0, 3]을 n등분 하고 각 소구간의 오른쪽 끝에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각 형의 넓이의 합을 SÇ, 각 소구간의 왼쪽 끝에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형의 넓이의 합을 TÇ이라 하자.

순서

같은 방법으로 마우스를 이용하여 n의 값을 더 큰 값에 고정하면 닫힌구간 [0, 3]이 더 잘게 쪼 개지고 SÇ과 TÇ의 값은 정적분 :)3` {;2!;xÛ`+1} dx의 값 7.5에 더 가까워짐을 알 수 있다.

Oa b

-2 2

2 4 6 8

4 6 8 10 12

-4 x

S¡º=8.1975 T¡º=6.8475

( x¤+1)dx=7.5 º‹

Ú y

n = 10 f(x) = 1/2x²+1

Limit b = 3 Limit a = 0

12

➊ 함수  f(x)의 입력 창에 ‘1/2 x^2+1’을 입력하여 함수 y=;2!;xÛ`+1의 그래프를 그린다.

➋ 구간 입력 창에 a=0, b=3을 각각 입력하고 마우스를 이용하여 n=10에 고정하면 SÁ¼, TÁ¼의 값과 :)3` {;2!;xÛ`+1} dx의 값이 화면에 나타난다.

… 3n 6

n 12 112

O 3

1

x

y y= x¤+1

3(n-1) n

탐구 학습

곡선  f(x)=-xÛ`+4x-3과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여 보자.

열기

함수  f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도 형의 넓이 S는 다음과 같다.

곡선과 x축 사이의 넓이

곡선  f(x)=-xÛ`+4x-3과 x축의 교점의 x좌표는 -xÛ`+4x-3=0에서

-(x-1)(x-3)=0, 즉 x=1 또는 x=3

따라서 닫힌구간 [1, 3]에서  f(x)¾0이므로 구하는 도형의 넓이는

    :!3` (-xÛ`+4x-3) dx=[-;3!;xÜ`+2xÛ`-3x]3!

=;3$;

다지기

다항함수가 아닌 함수의 그래프와 x축 사이의 넓이는 어떻게 구할까?

키우기

곡선과 좌표축 사이의 넓이는 어떻게 구할까?

넓이와 부피

곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.

입체도형의 부피를 구할 수 있다.

성취 기준

그럼 고래 그림의 넓이를 구할 수 있겠네요.

이 고래 그림은 사인함수와 이차함수의 그래프로 그린 것입니다.

O 1 3

y

f(x)=-x¤+4x-3 x

S=:Ab` | f(x)| dx

O

b

a x

y=f(x) y

S

예제 곡선 y=sin x와 x축 및 두 직선 x=;2Ò;, x=;2#;p로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

| 곡선과 x축 사이의 넓이 구하기

1

풀이 ▶ 닫힌구간 [;2Ò;, p]에서 sin x¾0 닫힌구간 [p, ;2#;p]에서 sin xÉ0

따라서 구하는 도형의 넓이 S는

S=:_;2Ò;^;2#;p|sin x| dx=:_;2Ò;È``sin x dx+:_p^;2#;p (-sin x) dx

=[-cos x]È_;2Ò;`+[cos x]ù^;2#;p=2

 2

다음 곡선과 x축 및 두 직선 x=0, x=2로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

⑴ y='§x-1 ⑵ y=eÅ`-e

1

문제

곡선 y=ln (x-1)과 y축 및 두 직선 y=1, y=2로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

2

문제

함수 g(y)가 닫힌구간 [c, d]에서 연속일 때, 곡선 x=g(y)와 y축 및 두 직선 y=c, y=d로 둘러싸인 도 형의 넓이 S는 다음과 같다.

곡선과 y축 사이의 넓이

O x

x=g(y) d

c y

S

S=:Cd` | g(y)| dy

예제 곡선 y=ln x와 y축 및 두 직선 y=0, y=1로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

| 곡선과 y축 사이의 넓이 구하기

2

풀이 ▶ y=ln x에서 x=e´``

따라서 구하는 도형의 넓이 S는 S=:)1` e´` dy=[e´`]1)=e-1

 e-1

y y=ln x

O x 1

1 e

y y=sinx

O p x 2

32 p

p

184

두 곡선 사이의 넓이는 어떻게 구할까?

두 함수  f(x), g(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속 일 때, 두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S는 다음과 같다.

두 곡선 사이의 넓이

O a S

b x

y y=f(x)

y=g(x)

S=:Ab` | f(x)-g(x)| dx

곡선 y=eÅ` 과 이 곡선 위의 점 (2, eÛ`)에서의 접선 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하 시오.

4

문제

다음 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

⑴ y=;[!;, y='§x, x=4

⑵ y=sin x, y=cos x, x=0, x=p

3

문제

예제 두 곡선 y=eÅ`, y=e^-x과 두 직선 x=-1, x=1로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

| 두 곡선 사이의 넓이 구하기

3

풀이 ▶ 두 곡선의 교점의 x좌표는 eÅ`=e^-x에서 e^2x=1, 2x=0 즉 x=0

닫힌구간 [-1, 0]에서 e^-x¾eÅ`

닫힌구간 [0, 1]에서 e^x¾e^-x 따라서 구하는 도형의 넓이 S는 S=:_1! |eÅ`-e^-x| dx

=:_0! (e^-x-eÅ` ) dx+:)1``(eÅ`-e^-x) dx =[-e^-x-eÅ`]0_!+[eÅ`+e^-x]1) =2{e+;e!;-2}

 2{e+;e!;-2}

O

-1 1

1 e y=e—≈ y

y=e≈

x

탐구 학습

오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 4이고 높이가 8인 원뿔이 있다. 원뿔의 높이 OH 위에 OPÓ=x인 점 P를 잡을 때, 점 P를 지나고 밑면에 평행한 평면으로 자른 단면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=;4Ò;xÛ`

이다. 다음 물음에 답하여 보자.

⑴ 정적분 :)8` S(x) dx 의 값을 구하여 보자.

⑵ 원뿔의 부피를 구하고 ⑴의 결과와 비교하여 보자.

열기

⑴ :)8` S(x) dx=;4Ò;:)8` xÛ` dx=;4Ò;[;3!;xÜ`]8)=128 3 p

⑵ (원뿔의 부피)=;3!;_p_4Û`_8=128

3 p이므로 ⑴의 결과와 같다.

다지기

입체도형의 부피를 정적분으로 구할 수 있을까?

키우기

입체도형의 부피는 어떻게 구할까?

O

H x S(x)

P

4 8

오른쪽 그림과 같이 어떤 입체도형에 대하여 한 직 선을 x축으로 정할 때, x좌표가 각각 a, b(a<b)인 두 점을 지나고 x축에 수직인 두 평면 사이에 있는 부 분의 부피 V를 구하여 보자.

x좌표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로 이 입체도형을 잘랐을 때의 단면의 넓이를 S(x)라 하자.

x축 위의 닫힌구간 [a, b]를 n등분하여 양 끝점과 각 분점의 x좌표를 차례로

a=x¼, xÁ, xª, y, xÇ=b 라 하고 각 소구간의 길이를 Dx라 하면

Dx= b-an ,

xû=a+kDx (k=0, 1, 2, y, n)

이다. 이때 밑면의 넓이가 S(xû)이고 높이가 Dx인 기둥의 부피는 S(xû)Dx이므로 n개의 기둥의 부피의 합 VÇ은

VÇ=S(xÁ)Dx+S(xª)Dx+`y`+S(xÇ)Dx=;Kn+! S(xû)Dx 이다. 따라서 구하는 입체도형의 부피 V는 다음과 같다.

V=lim

n Ú¦ VÇ=lim_{n Ú¦} ;Kn+! S(xû)Dx=:Ab` S(x) dx 입체도형의 부피

x a

S(x)

x b

x S(x˚)

a= x˚–¡

xº

=

x«

x˚

èx

b

186

이상을 정리하면 다음과 같다.

입체도형의 부피

닫힌구간 [a, b]에서 x좌표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면 의 넓이가 S(x)인 입체도형의 부피 V는

V=:Ab``S(x) dx

예제 오른쪽 그림과 같이 높이가 9`cm인 입체도형을 높이 가 x`cm인 지점에서 밑면에 평행하게 자를 때 생기는 단면은 반지름의 길이가 (5+'§x)`cm인 원이 된다.

이 입체도형의 부피를 구하시오.

| 입체도형의 부피 구하기

4

풀이 ▶ 단면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=p(5+'§x)Û`=p(25+10'§x+x)`(cmÛ`) 따라서 구하는 입체도형의 부피

V는

V=:)9` S(x) dx=p:)9` (25+10'§x+x) dx

=p[25x+:ª3¼:x'§x+;2!;xÛ`]9)= 8912 p`(cmÜ`)

 891 2 p`cmÜ`

9 cm x cm

(5+ x ) cm

오른쪽 그림과 같이 어떤 그릇에 물을 채우는데 그릇에 채워진 물의 높이가 x`cm일 때, 수면의 모양은 한 변의 길이가 ®É10+;2!;xÛ``cm 인 정사각형이 된다. 물의 높이가 18`cm일 때, 물의 부피를 구하 시오.

5

문제

x cm

10+ x¤ cm1 2

문제 해결 생각을넓히는 수학

수민이가 미술 시간에 만든 비누 공예품의 밑면은 지름의 길이가 10`cm인 원이고 이 원 의 지름 AB에 수직인 평면으로 자른 단면은 항상 정삼각형이 된다. 이 공예품의 부피를

구하여 보자. _{A B}

10 cm S(x)는 닫힌구간 [a, b]에

서 연속인 경우만 생각한다.