Study on a Mechanical Model by Using the q-deformed Discrete-time Derivative

(1)

Study on a Mechanical Model by Using the q-deformed Discrete-time Derivative

Won Sang Chung ^∗

Department of Physics and Research Institute of Natural Science, College of Natural Science, Gyeongsang National University, Jinju 660-701, Korea (Received 26 November 2013 : revised 12 December 2013 : accepted 16 December 2013)

In this paper, we used q-deformed variational calculus to construct the q-deformed version for classical mechanics. We used the q-deformed derivative and the q-deformed integral to study the motion with constant velocity and the motion with constant acceleration, and we extended our work to the motion of a body in a resisting medium, in which the retarding force was assumed to be proportional to the q-deformed velocity. We found that the ordinary exponential function was replaced with the q-deformed exponential function for the first order q-deformed differential equation such as terminal velocity problem. We also dealt with the damped oscillator problem by using the second-order q-deformed differential equation. In that case, we found new kinds of q-deformed exponential functions.

PACS numbers: 02.20.Uw

Keywords: q-deformed velocity, q-deformed variational calculus

q- ì Å] k ùc Ü R T m S mQ Ä Z Øù p § T Ó Þ X ¢ W Ä] K ¡ Ã U Ø< g8 ý ì Å

+ ä

T Ö h ç ¡ ^∗

²

D Gw n â © @ / < Æ § Ó ü t o < Æõ , Å Ò 660-701

(2013¸ 11 Z 4 26{ 9 ~ Ã Î6 £ §, 2013¸ 12 Z 4 12{ 9 Ã º& ñ : r ~ Ã Î6 £ §, 2013¸ 12 Z 4 16{ 9 > F S X & ñ )

s

7 Hë H É r q- + þ A ) a ì r : r` ¦ s 6 x ô Ç q- + þ A ) a ¦ % i < Æ\ @ /ô Ç ½ ¨ õ \ ¦ À Ò ¦ e . q- + þ A

)

a p ì r õ & h ì r` ¦ s 6 x # q- + þ A ) a 1 p x5 Å q ¸ î r1 l x õ q- + þ A ) a 1 p x 5 Å q ¸ î r1 l x` ¦ À Ò% 3 ¦ q- + þ A ) a 5 Å q

¸\ q Y V H / B N l $ ½ Ó` ¦ t H ë H ] j\ @ /ô Ç ½ ¨ ¸ s À Ò# Q& . = å Q 5 Å q ¸ ë H ] jü < ° ú s { 9 > q- + þ A

)

a p ì r ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ 6 x H â Ä º H é ß t t Ã º < ÊÃ º\ ¦ q- + þ A ) a t Ã º < ÊÃ º Ð õ H õ Ð z ¤ . t

ë ß 2> q- + þ A ) a p ì r ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð Å Ò# Qt H q- + þ A ) a y û Z 1 l xë H ] j_ â Ä º\ H + þ A÷ &t · ú § H % i

< Æë H ] jü < H ¸ ª s ² ú t ¦ D h Ðî r q- + þ A ) a < ÊÃ º 9 כ ¹ H כ s µ 1 ß) & .

PACS numbers: 02.20.Uw

Keywords: q- + þ A ) a s í ß r ç ß p ì r, q- + þ A ) a p ì r ~ ½ Ó& ñ d

∗

E-mail: [email protected]

66 This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License

(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any

medium, provided the original work is properly cited.

(2)

I. " e Â ] Ø

1985¸ Jimbo H su q (2) @ /Ã º Â ÒØ Ô H su(2) @ /Ã º_ q-

+ þ A` ¦ µ 1 Ï³ ðÙ þ ¡ [1]. Õ ª Ê ê Macfarlane [2]õ Biedenharn [3] É r Ð > r @ /Ã º_ q- + þ A` ¦ µ 1 Ï³ ðÙ þ ¡ . s Qô Ç q- + þ A ) a @ / Ã

º H q- + þ A ) a : x > Ó ü t o < Æ [4–11], q- + þ A ) a Ù þ Ó ü t o < Æ [12, 13] õ q- + þ A ) a ª & ñ Ðs : r [14,15]1 p x \ & h 6 x ÷ &% 3 .

þ

j H q- + þ A ) a s í ß p ì r í ß 6 £ x6 x Ã º < Æõ s : rÓ ü t o

< Æ ì r \ " f < É ª p \ ¦ = å J ¦ e [16–20]. q- + þ A ) a s í ß p

ì r í ß \ ¦ s 6 x ô Ç p & h ì r < Æ` ¦ q- + þ A ) a p & h ì r < Æs

¦ Â ÒØ Ô H X < s â Ä º l > r _ p ì r õ & h ì r @ / q- + þ A

)

a s í ß p ì r í ß ü < q- + þ A ) a s í ß & h ì r í ß 6

x ) a . s Qô Ç í ß H Ã º < Æ Jackson [21]\ _ K % 6

£

§ ¸{ 9 ÷ &% 3 ¦ Hahn [22]\ _ K 7 á § 8 { 9 ì ø Í o ÷ &% 3 .

q- + þ A ) a s í ß p ì r í ß H 6 £ § õ ° ú s & ñ _ ) a .

int ^x ₀ f (t) = f (qt) − f (t)

t(q − 1) (1) s

d \ " f + þ A q 1\ 0 >t H F G ô Ç` ¦ 2 [ q- + þ A ) a s í ß p ì r í ß H l > r _ p ì r í ß ) a

. q- + þ A ) a s í ß p ì r í ß \ ¦ t ⁿ \ 6 x

D t t ⁿ = [n] q t ⁿ⁻¹ , (2) s

) a . # l " f [n] q H q- + þ A ) a Ã º ¦ Â ÒØ Ô 9 [n] _q = q ⁿ − 1

q − 1 (3)

Ð & ñ _ ) a . q- + þ A ) a Ã º [n] ^q H q 1\ 0 >t H F G ô

Ç\ " f ns ) a . q- + þ A ) a s í ß p ì r É r 6 £ § õ ° ú É r + þ

A ) a s á Ôm Þ Ô ½ ©g Ë :` ¦ ë ß 7 á ¤ ô Ç .

D t (f (t)g(t)) = (D t f (t))g(t) + f (qt)D t g(t) (4) q- + þ A ) a s í ß p ì r \ @ /ô Ç % i % i í ß ` ¦ q- + þ A ) a s í ß & h ì

r s ¦ H X < 6 £ § õ ° ú s & ñ _ ) a .

Z x 0

f (t)d _q t = x(1 − q)

∞

X

n=0

q ⁿ f (xq ⁿ ), (5)

q- + þ A ) a s í ß & h ì r É r 6 £ § õ ° ú É r $ í | 9 [ þ t` ¦ ë ß 7 á ¤ ô Ç .

Z x 0

D t f (t)d q t = f (x) − f (0), (6)

D t

Z x 0

f (t)d q t = f (x) (7)

Z a 0

g(t)D t f (t)d q t = [f (t)g(t)] ^a ₀ − Z a

0 f (qt)D t g(t)d q t (8)

þ

j H \ Malinowskaü < Torres [23] H q- + þ A ) a s í ß p ì

r í ß \ ¦ s 6 x ô Ç ì r : r` ¦ µ 1 Ï³ ðÙ þ ¡ . Õ ª[ þ t É r + þ A ) a p

ì r í ß \ ¦ s 6 x K l > r _ % i < Æ` ¦ + þ Ar ~ ´ Ã º e 6 £ §

`

¦ · ú 9Å Ò% 3 . Õ ª[ þ t s ¹ 1 Ô É r + þ A ) a 6 x É r S[x] =

Z b a

L(x, D t x; t)d q t (9) s

¦, î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r D t ( ∂L

∂D t x ) − ∂L

∂x = 0 (10) s

) a . # l " f L H q- + þ A ) a Õ ª| ½ Ót î ß s . # l " f q- + þ A ) a Õ ª| ½ Ót î ß ` ¦

L = 1

2 m(D t x) ² − V (x) (11)

Ð × þ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r

F = mD _t ² x(t) (12) s

) a . d (12) H q- + þ A ) a ¾ » î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d s .

q

2 ¤ q- + þ A ) a ì r : r s s À Ò# Q& t ë ß q- + þ A ) a p ì r

`

¦ s 6 x K ¾ » % i < Æ_ q- + þ As Ã » % i < Æ_ q- + þ A\ r ¸ô Ç ½ ¨ H & ³F t B Ä º × ¼ë H ¼ # s . þ j

H \ Nalciü < Pashaev [24] q- + þ A ) a p ì r` ¦ s 6 x K y û

Z 1 l x ë H ] j\ ¦ À Ò% 3 t ë ß Õ ª[ þ t É r e > y û Z 1 l x s p

f ¨ y û Z 1 l x \ @ /K q- + þ A ) a 2 > p ì r ~ ½ Ó& ñ d _ & ñ S X ô

Ç K \ ¦ ½ ¨ t 3 l w ¦ q = 1 + s ¦ Z ~ ¦ s 1\ q K

Å Ò ¦ & ñ ô Ç H K \ ¦ ½ ¨Ù þ ¡ .

s

7 Hë H \ " f Ä ºo H q- + þ A ) a Õ ª| ½ Ót î ß ` ¦ s 6 x K Y >

t % i < Æë H ] j\ ¦ ê r . q- + þ A ) a p & h ì r < Æ\ e ¸ n q t

· ú

§ É r 1 l q [ þ t` ¦ 0 AK { 9 > q- + þ A ) a p ì r ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð Å Ò# Q t

H ç ß é ß ô Ç ë H ] j\ ¦ $ À Ò ¦ q- + þ A ) a 2 > p ì r ~ ½ Ó& ñ d

Ü ¼ Ð Å Ò# Qt H / B N l $ ½ Ós e H 1 l xë H ] j\ ¦ Ò ¦ כ s

. s 7 Hë H \ " f Ä ºo H Nalci ü < Pashaev_ õ ü < H

² ú

o p f ¨ y û Z 1 l x s e > y û Z 1 l x \ @ /ô Ç { 9 ì ø ÍK \ ¦

½

¨½ + É כ s . Ä ºo H q # Q " ° ú כ` ¦ ° ú ~ © Ã º> Ã º\ ¦

q- + þ A ) a 2 > p ì r ~ ½ Ó& ñ d s { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð Û ¦ 2 ; H כ

`

¦ Ð# q- + þ A ) a e > y û Z 1 l xë H ] jõ q- + þ A ) a p f ¨ y û

Z 1 l x ë H ] j\ @ /ô Ç & ñ S X ô Ç { 9 ì ø ÍK \ ¦ ½ ¨ H X < $ í / B NÙ þ ¡

. s õ & ñ \ " f Ä ºo H D h Ðî r q- + þ A ) a < ÊÃ º\ ¦ ] jî ß ô Ç

.

II. q- ì Å] k ùc Ü R m m X ¢ W Ä] K ¡ { ¢] k ù

s

é ß " é ¶ \ " f Ä ºo H + þ A ) a Õ ª| ½ Ót î ß ` ¦ s 6 x K { 9

>

q- + þ A ) a p ì r ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð Å Ò# Qt H ç ß é ß ô Ç ë H ] j\ ¦

(3)

ê

r . + þ A ) a Õ ª| ½ Ót î ß Ü ¼ Ð Â Ò' 5 Å q ¸ü < 0 Aü < 5 Å q

¸ s _ ' a > H l > r _ p ì r @ / q- + þ A ) a s í ß p ì r Ü

¼ Ð Å Ò# Q . { 9 " é ¶ î r1 l x` ¦ H Ó ü t ^ _ 0 A\ ¦ x(t)

¦ ½ + É M : + þ A ) a 5 Å q ¸ v(t)ü < + þ A ) a 5 Å q ¸ a(t) H 6 £ § õ

° ú s & ñ _ ) a .

v(t) = D _t x(t), a(t) = D _t v(t), (13)

· ú

¡Ü ¼ Ð + þ A ) a 5 Å q ¸ + þ A ) a 5 Å q ¸\ ¦ Õ ªz ª 5 Å q ¸ü < 5

Å

q ¸ Â Ò\ ¦ כ s . $ Ó ü t ^ { 9 & ñ ô Ç 5 Å q ¸ v Ð ¹ ¡ §f s

H â Ä º\ ¦ Ð . s M : 5 Å q ¸_ & ñ _ Ð Â Ò' x(qt) − x(t)

t(q − 1) = v (14) s

÷ & ¦, s d ` ¦ & ñ o

x(qt) − x(t) = (q − 1)vt (15) s

) a . < ÊÃ º & h od (15)\ ¦ Û ¦

x(t) = vt (16)

÷ &# Q, + þ A_ ´ òõ ) t · ú § H .

s

\ H 5 Å q ¸ a Ð { 9 & ñ ô Ç â Ä º\ ¦ Ð . s M : 5

Å

q ¸_ & ñ _ Ð Â Ò'

v(qt) − v(t)

t(q − 1) = a (17) s

÷ &# Q s d ` ¦ Û ¦

v(t) = at (18) s

) a . 7 £ ¤, s â Ä º ¸ 5 Å q ¸-r ç ß ' a > d É r ² ú t t · ú §

H . t ë ß

D _t ² x(t) = a (19) s

Ù ¼ Ð s d ` ¦ Û ¦ # Q" f æ ¼

x(q ² t) − [2] _q x(qt) + qx(t) = q(q − 1) ² at ² (20) s

) a . < ÊÃ º & h od (20)` ¦ Û ¦ x(t) = qa

[2] q

t ² (21)

s

÷ &# Q l > r _ õ ¸F K + þ A ) a . t ë ß 1 p x 5 Å q ¸ î

r1 l x \ " f 0 A r ç ß _ ] jY L \ q Y Vô Ç H z ´ É r ² ú

t t · ú § H .

s

\ H / B N l $ ½ Ós e H â Ä º\ ¦ Ò q ty . ¹ 1 Ï` ¦ Á

ºr ½ + É M : { 9 f ` ¦ ¹ ¡ §f s H Ó ü t ^ 5 Å q ¸\ q Y V

H / B N l $ ½ Ó` ¦ ~ Ã Î H î r1 l x` ¦ Ò q ty . Ó ü t ^ _ | 9 | ¾ Ó` ¦ m s ¦ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r 6 £ § õ ° ú s Å Ò# Q .

mD _t v = −kv(t) (22) s

~ ½ Ó& ñ d _ K \ ¦ ½ ¨ l 0 AK q- + þ A ) a t Ã º < ÊÃ º\ ¦ ¸ { 9

. q- + þ A ) a t Ã º < ÊÃ º H 6 £ § õ ° ú s & ñ _ ) a .

e q (at) = 1

(at(1 − q); q) _∞ (23)

#

l " f (a; q) N H 6 £ § õ ° ú s & ñ _ ) a .

(a; q) 0 = 1,

(a; q) N = (1 − a)(1 − qa)(1 − q ² a) · · · (1 − q ^{N −1} a), n = 1, 2, 3, · · · (24) q- + þ A ) a t Ã º < ÊÃ º\ ¦ " 4 / å L Ã º+ þ AI Ð ? / 6 £ § õ ° ú

.

e q (x) =

∞

X

n=0

1 [n] q ! x ⁿ , (25)

#

l " f [n] q ! = [n] _q [n − 1] _q · · · [2] q [1] _q s . q- + þ A ) a t Ã º

< ÊÃ º H 6 £ § õ ° ú É r $ í | 9 ` ¦ ë ß 7 á ¤ ô Ç .

e _q (x)e _q

−1

(−x) = 1 (26)

#

l " f e q

⁻¹

(x) É r e q (x) \ " f q\ ¦ q ⁻¹ Ð õ H < ÊÃ ºs .

q- + þ A ) a t Ã º < ÊÃ º\ q- + þ A ) a p ì r` ¦ 6 x 6 £ § õ

° ú .

D t e q (at) = ae q (at) (27) Ó

ü

t ^ _ íl 5 Å q ¸\ ¦ v 0 ¦ d (22)_ K H 6 £ § õ

° ú .

v(t) = v 0 e q (− k

m t) (28)

ð ø Ít Ð Ä ºo H × æ§ 4 © 5 Å q \ " f z H Ó ü t ^ 5 Å q

¸\ q Y V H / B N l $ ½ Ó` ¦ ~ Ã Î` ¦ M :_ î r1 l x ¸ Ò ¦ Ã º e

. Ó ü t ^ _ íl 5 Å q ¸\ ¦ v(0) = 0 ¦ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d

É

r 6 £ § õ ° ú .

mD t v = mg − kv(t) (29) s

d % i r q- + þ A ) a t Ã º < ÊÃ º\ ¦ s 6 x K ~ 1 > Û ¦ Ã º e ¦ Õ

ª õ H 6 £ § õ ° ú .

v(t) = mg

k (1 − e q (−kt/m)) (30)

(4)

III. q- ì Å] k ùc Ü R à Ã Å Ò ÞÃ U Ø< g

s

\ H 2 > q- + þ A ) a p ì r ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ s 6 x H % i < Æ ë

H ] j\ ¦ À Ò# Q Ð . © @ /³ ð& h ë H ] j H 1 l xë H ] js

. $ q- + þ A ) a ¸ o 1 l x \ ¦ Ò q ty . s â Ä º î r1 l x

~

½ Ó& ñ d É r 6 £ § õ ° ú s Å Ò# Q .

mD ² _t x(t) + mw ₀ ² x(t) = 0 (31) s

q- + þ A ) a 2 > p ì r ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Û ¦

x(t) = c 1 cos q w 0 t + c 2 sin q w 0 t (32) s

÷ & ¦, # l " f q- + þ A ) a y < ÊÃ º H 6 £ § õ ° ú s & ñ _

) a .

cos _q (t) = 1

2 (e _q (it) + e _q (−it)) (33)

sin q (t) = 1

2i (e q (it) − e q (−it)) (34) Ó

ü

t ^ _ íl ; ¤ s As ¦ íl 5 Å q ¸ D t x\ ¦ 0 s ¦

d (32) H

x(t) = A cos q w 0 t (35)

) a .

s

] j / B N l $ ½ Ós e H â Ä º_ 1 l xë H ] j\ ¦ Ò q ty .

/ B

N l $ ½ Ós 5 Å q ¸\ q Y Vô Ç ¦ & ñ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r mD _t ² x(t) + 2mγD t x(t) + mw ² ₀ x(t) = 0 (36)

) a . s â Ä º Ó ü t ^ _ î r1 l x É r γ ² − w ₀ ² _ Â Ò ñ\ [

j t â Ä º Ð ¾ º# Q À Ò# Q ô Ç .

1. U á Ã Å P c p7 ûÆ U Ø Ò Þ s

â Ä º d (36)_ K H x(t) = c ₁ e _q ((−γ+

q

γ ² − w ² ₀ )t)+c ₂ e _q ((−γ−

q

γ ² − w ² ₀ )t) (37)

) a . íl ¸| ` ¦ V , Ü ¼ d (37) É r

x(t) = A γ + pγ ² − w ² ₀

2pγ ² − w ² ₀ e q ((−γ + q

γ ² − w ₀ ² )t)

+A pγ ² − w ² ₀ − −γ

2pγ ² − w ² ₀ e q ((−γ − q

γ ² − w ² ₀ )t) (38)

s

) a .

2. Q ÿ X ¢ P c p7 ûÆ U Ø Ò Þ s

â Ä º d (36)_ K H x(t) = c ₁ e _q ((−γ+i

q

w ² ₀ − γ ² )t)+c ₂ e _q ((−γ−i q

w ² ₀ − γ ² )t) (39)

) a . íl ¸| ` ¦ V , Ü ¼ d (37) É r

x(t) = A(γ + ipw ² ₀ − γ ² )

2ipw ² ₀ − γ ² e _q ((−γ + i q

w ₀ ² − γ ² )t)

+ A(−γ + ipw ₀ ² − γ ² )

2ipw ₀ ² − γ ² e q ((−γ − i q

w ² ₀ − γ ² )t) (40)

#

l " f e q (A + B) 6= e _q (A)e _q (B) s . e q (A + B)\ ¦ > í ß

e q (A + B) =

∞

X

l=0

∞

X

j=0

(l + j)!

[l + j]!l!j! a ^l b ^j (41) s

) a . s ] j 6 £ § õ ° ú É r ¿ º < ÊÃ º\ ¦ & ñ _ .

C _q (a, b) =

∞

X

l=0

∞

X

m=0

(−1) ^m (l + 2m)!

[l + 2m]!l!(2m)! a ^l b ^2m (42)

S q (a, b) =

∞

X

l=0

∞

X

m=0

(−1) ^m (l + 2m + 1)!

[l + 2m + 1]!l!(2m + 1)! a ^l b ^2m+1 (43) s

M : d (40) É r 6 £ § õ ° ú s j þ t Ã º e .

x(t) = A(

q

w ₀ ² − γ ² C _q (−γt, q

w ² ₀ − γ ² t)

+γS _q (−γt, q

w ² ₀ − γ ² t) (44)

3. Æ k È4 P c pê ø Æ U Ø Ò Þ

e

> 1 l x _ â Ä º î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r 6 £ § õ ° ú .

D ² _t x(t) + 2γD _t x(t) + γ ² x(t) = 0 (45) s

â Ä º q = 1 â Ä ºü < H ² ú o te q (−γt) H p ì r ~ ½ Ó& ñ d _

K m . s d _ K \ ¦

x(t) =

∞

X

n=0

a n t ^n+k (46)

¦ Z ~ ¦ d (45)\ @ /{ 9 6 £ § ' a > d ` ¦ % 3 H .

a 0 [k][k − 1] = 0,

(5)

a 1 [k][k + 1] + 2γ[k] = 0,

a n+2 [n + k + 2][n + k + 1] + 2γa n+1 [n + k + 1] + γ ² a n = 0,

n = 0, 1, 2, · · · (47) k = 0{ 9 M :_ 1 l qw n K \ ¦ x 1 s ¦ . a ⁰ = 1 s ¦

¦ d (47)` ¦ Û ¦

a n = (−γ) ⁿ

[n]! (48)

s

÷ &# Q

x 1 = e q (−γt) (49)

) a . k = 1{ 9 M :_ 1 l qw n K \ ¦ x 2 s ¦ . a ⁰ = 1 s

¦ ¦ d (47)` ¦ Û ¦

a n = (n + 1)(−γ) ⁿ

[n + 1]! (50) s

÷ &# Q

x 2 = E q (−γt) (51)

) a . # l " f D h Ðî r q- + þ A ) a t Ã º < ÊÃ º E q (t) H

E q (t) =

∞

X

n=0

n + 1

[n + 1]! t ⁿ (52)

Ð & ñ _ ) a . " f íl ¸| ` ¦ ë ß 7 á ¤ H e > 1 l x _ K

H

x(t) = A(e q (−γt) + γtE q (−γt)) (53)

) a .

IV. + s Ç Â ] Ø

: r ½ ¨\ " f H q- + þ A ) a s í ß r ç ß p ì r` ¦ s 6 x K q- + þ

A ) a % i < Æ> \ ¦ ½ ¨Ù þ ¡ . q- + þ A ) a Õ ª| ½ Ót î ß Ü ¼ Ð Â Ò' Ä

ºo H q- + þ A ) a î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ % 3 ` ¦ Ã º e ± % 3 ¦ Y > t

%

i < Æ ë H ] j\ s \ ¦ & h 6 x K Ð ¤ . 1 p x 5 Å q ¸ î r1 l x s = å Q 5

Å

q ¸ ë H ] jü < ° ú s { 9 > q- + þ A ) a p ì r ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ 6 x

H â Ä º H é ß t t Ã º < ÊÃ º\ ¦ q- + þ A ) a t Ã º < ÊÃ º Ð ÷ ¶

õ Ð z ¤ . ¢ ¸ô Ç q- + þ A ) a ¸ o 1 l x ë H ] j_ â Ä

º H ï < ÊÃ º q- + þ A ) a ï < ÊÃ º Ð 7 % 3 .

t

2 ; y û Z 1 l x _ â Ä º H t Ã º < ÊÃ º q- + þ A ) a t Ã º

< ÊÃ º Ð 7 % 3 t ë ß p f ¨ ô Ç y û Z_ â Ä º\ H q- + þ A÷ &t

· ú

§ H % i < Æ_ â Ä ºü < ² ú o t Ã º < ÊÃ ºü < y < ÊÃ º_ Y L Ü ¼

Ð K Å Ò# Qt t · ú § ¦ D h Ðî r q- + þ A ) a < ÊÃ º ¸{ 9 ÷ &

%

3 . ¢ ¸ô Ç e > y û Z_ â Ä º ¸ ¿ º P : 1 l qw n K ' Í P

: 1 l qw n K \ t\ ¦ Y L ô Ç + þ AI D h Ðî r q- + þ A ) a t Ã º

< ÊÃ º 9 כ ¹Ù þ ¡ .

s

ì r ~ ½ Ó& ñ d _ { 9 ì ø Í& h K Z O \ @ /K · ú > ÷ &% 3 ¦, s כ

É r q- + þ A ) a { 9 " é ¶ Ã »ø @` ç ~ ½ Ó& ñ d % ! 3 q- + þ A ) a p ì r

~

½ Ó& ñ d ` ¦ 6 x H ´ ú § É r ¸+ þ A\ " f 6 x| ¨ c Ã º e ` ¦ כ Ü ¼

ø Í& h q- + þ A ) a p ì r ~ ½ Ó& ñ d _ K Z O ` ¦ ½ ¨ H ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð 7

á

§ 8 ½ ¨÷ &# Q t ë ß Õ ª כ É r 6 £ § ½ ¨\ " f Ã º' ½ + É

\ V& ñ s .

P

c p 8 ý ò k >

s

½

¨t " é ¶ q \ _ # Ã º' ÷ &% 3 6 £ §.

REFERENCES

[1] M. Jimbo, Lett. Math. Phys. 10, 63 (1985).

[2] A. Macfarlane, J. Phys. A 22, 4581 (1989.) [3] L. Biedenharn, J. Phys. A 22, L873 (1990.)

[4] A. Lavagno and P. Swamy, Phys. Rev. E 61, 1218 (2000).

[5] A. Lavagno and P. Swamy, Phys. Rev. E 65, 036101 (2002).

[6] G. Su, J. Chen and L. Chen, J. Phys. A 36, 10141 (2003).

[7] P. Swamy, Int. J. Mod. Phys. B 20, 697 (2006).

[8] A. Algin and E. Arslan, J. Phys. A 41, 365006 (2008).

[9] A. Lavagno and P. Swamy, Physica A 389, 993 (2010).

[10] A. Algin, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat.

15, 1372 (2010).

[11] F. Brito and A. Marinho, Physica A 390, 2497 (2011).

[12] K. Sviratcheva, C. Bahri, A. Georgieva and J.

Draayer, Phys. Rev. Lett. 93, 152501 (2004).

[13] A. Ballesteros, O. Civitarese, F. Herranz and M.

Reboiro, Phys. Rev. C 66, 064317 (2002).

(6)

[14] M. Tichy, F. Mintert and A. Buchleitner, J. Phys.

B 44, 192001 (2011).

[15] A. Gavrilik and Yu. A. Mishchenko, Phys. Lett. A 376, 1596 (2012).

[16] R. Almeida and D. Torres, J. Math. Anal. Appl.

359, 674 (2009).

[17] G. Bangerezako, J. Math. Anal. Appl. 289, 650 (2004).

[18] G. Bangerezako, J. Math. Anal. Appl. 306, 161 (2005).

[19] J. Cresson, G. Freserico and D. Torres, Topol. Meth- ods Nonlinear Anal. 33, 217 (2009).

[20] V. Kac and P. Cheung, Quantum Calculus (Springer, New York, 2002).

[21] F. Jackson, Mess. Math. 38, 57 (1909).

[22] W. Hahn, Math. Nachr. 2, 4 (1949).

[23] A. Malinowska and D. Torres, arXiv:1006.3765v1 (2010).

[24] S. Nalci and O. Pashaev, arXiv:1107.2518 (2011).

Study on a Mechanical Model by Using the q-deformed Discrete-time Derivative

Study on a Mechanical Model by Using the q-deformed Discrete-time Derivative

Won Sang Chung ∗

Department of Physics and Research Institute of Natural Science, College of Natural Science, Gyeongsang National University, Jinju 660-701, Korea (Received 26 November 2013 : revised 12 December 2013 : accepted 16 December 2013)

PACS numbers: 02.20.Uw

Keywords: q-deformed velocity, q-deformed variational calculus

q- ì Å] k ùc Ü R T   m S   mQ Ä Z Øù p § T  Ó Þ X ¢ W Ä] K ¡ Ã U Ø< g8 ý  ì Å 

+ ä

T Ö h ç ¡ ∗

²

D Gw n  â  © @ / < Æ § Ó ü t o  < Æõ ,   Å Ò 660-701

(2013¸  11 Z 4 26{ 9  ~ Ã Î6 £ §, 2013¸  12 Z 4 12{ 9  Ã º& ñ  : r ~ Ã Î6 £ §, 2013¸  12 Z 4 16{ 9  > F  S X & ñ )

s

  7 Hë  H É r q-  + þ A ) a   ì  r : r`  ¦ s 6 x ô  Ç q-  + þ A ) a  ¦  % i  < Æ\  @ /ô  Ç   ½ ¨   õ \  ¦ À Ò ¦ e   . q-  + þ A

 )

a p ì  r õ  & h ì  r`  ¦ s 6 x #  q-  + þ A ) a 1 p x5 Å q  ¸ î  r1 l x õ  q-  + þ A ) a 1 p x 5 Å q  ¸ î  r1 l x`  ¦ À Ò% 3  ¦ q-  + þ A ) a 5 Å q



¸\  q Y V   H / B N l $  ½ Ó`  ¦ t   H ë  H ] j\  @ /ô  Ç   ½ ¨ ¸ s À Ò# Q&   . = å Q 5 Å q  ¸ ë  H ] jü < ° ú s  { 9 >  q-  + þ A

 )

a p ì  r ~ ½ Ó& ñ d  `  ¦  6 x   H  â Ä º  H é ß t  t Ã º < ÊÃ º\  ¦ q-  + þ A ) a t Ã º < ÊÃ º Ð  õ  H   õ  Ð  z  ¤ .  t

ë ß  2>  q-  + þ A ) a p ì  r ~ ½ Ó& ñ d  Ü ¼ Ð Å Ò# Qt   H q-  + þ A ) a y  û Z   1 l xë  H ] j_   â Ä º\   H   + þ A÷ &t  · ú §  H % i



< Æë  H ] jü <  H  ¸ ª s  ² ú  t  ¦ D h Ðî  r q-  + þ A ) a  < ÊÃ º  9 כ ¹    H  כ s  µ 1 ß) &   .

PACS numbers: 02.20.Uw

Keywords: q-  + þ A ) a s í ß  r ç ß  p ì  r, q-  + þ A ) a p ì  r ~ ½ Ó& ñ d 

E-mail: [email protected]

66

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License

(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any

medium, provided the original work is properly cited.

I. " e Â ] Ø

1985¸  Jimbo  H su q (2) @ /Ã º  Â ÒØ Ô  H su(2) @ /Ã º_  q-



 + þ A`  ¦ µ 1 Ï³ ðÙ þ ¡  [1]. Õ ª Ê ê Macfarlane [2]õ  Biedenharn [3] É r  Ð > r @ /Ã º_  q-  + þ A`  ¦ µ 1 Ï³ ðÙ þ ¡ . s  Qô  Ç q-  + þ A ) a @ / Ã

º  H q-  + þ A ) a :  x > Ó ü t o  < Æ [4–11], q-  + þ A ) a Ù þ Ó ü t o  < Æ [12, 13] õ  q-  + þ A ) a  ª  & ñ  Ðs  : r [14,15]1 p x \  & h 6 x ÷ &% 3  .

þ

j   H q-  + þ A ) a s í ß  p ì  r   í ß   6 £ x6 x Ã º < Æõ  s  : rÓ ü t o

 < Æ ì  r  \ " f < É ª p \  ¦ = å J  ¦ e    [16–20]. q-  + þ A ) a s í ß  p

ì  r   í ß  \  ¦ s 6 x ô  Ç p & h ì  r  < Æ`  ¦ q-  + þ A ) a p & h ì  r  < Æs 

 ¦ Â ÒØ Ô  H X < s   â Ä º l  > r _  p ì  r õ  & h ì  r @ /  q-  + þ A

 )

a s í ß  p ì  r   í ß  ü < q-  + þ A ) a s í ß  & h ì  r   í ß     6

x ) a . s  Qô  Ç   í ß    H Ã º < Æ  Jackson [21]\  _ K  %  6

£

§  ¸{ 9 ÷ &% 3  ¦ Hahn [22]\  _ K  7 á §  8 { 9 ì ø Í o ÷ &% 3  .

q-  + þ A ) a s í ß  p ì  r   í ß    H 6 £ § õ  ° ú s  & ñ _   ) a .

int x 0 f (t) = f (qt) − f (t)

t(q − 1) (1) s

 d  \ " f   + þ A    q 1\   0 >t   H F G ô  Ç`  ¦ 2 [   q-  + þ A ) a s í ß  p ì  r   í ß    H l  > r _  p ì  r  í ß    ) a

. q-  + þ A ) a s í ß  p ì  r   í ß  \  ¦ t n \    6 x  

D t t n = [n] q t n−1 , (2) s

  ) a . # l " f [n] q   H q-  + þ A ) a Ã º  ¦ Â ÒØ Ô 9 [n] q = q n − 1

q − 1 (3)



Ð & ñ _   ) a . q-  + þ A ) a Ã º [n] q   H q  1\   0 >t   H F G ô

 Ç\ " f ns   ) a . q-  + þ A ) a s í ß  p ì  r É r 6 £ § õ  ° ú  É r   + þ

A ) a s á Ôm Þ Ô ½ ©g Ë :`  ¦ ë ß 7 á ¤ ô  Ç .

D t (f (t)g(t)) = (D t f (t))g(t) + f (qt)D t g(t) (4) q-  + þ A ) a s í ß  p ì  r \  @ /ô  Ç % i % i í ß `  ¦ q-  + þ A ) a s í ß  & h ì

 r s   ¦   H X < 6 £ § õ  ° ú s  & ñ _   ) a .

Z x 0

f (t)d q t = x(1 − q)

∞

X

n=0

q n f (xq n ), (5)

q-  + þ A ) a s í ß  & h ì  r É r 6 £ § õ  ° ú  É r $ í | 9 [ þ t`  ¦ ë ß 7 á ¤ ô  Ç .

Z x 0

D t f (t)d q t = f (x) − f (0), (6)

D t

Z x 0

f (t)d q t = f (x) (7)

Z a 0

g(t)D t f (t)d q t = [f (t)g(t)] a 0 − Z a

0

f (qt)D t g(t)d q t (8)

þ

j   H \  Malinowskaü < Torres [23]  H q-  + þ A ) a s í ß  p  ì

 r   í ß  \  ¦ s 6 x ô  Ç   ì  r : r`  ¦ µ 1 Ï³ ðÙ þ ¡ . Õ ª[ þ t É r   + þ A ) a p

ì  r  í ß  \  ¦ s 6 x K  l  > r _  % i  < Æ`  ¦   + þ Ar ~ ´ Ã º e  6 £ §

`

Won Sang Chung ^∗

q- ì Å] k ùc Ü R T m S mQ Ä Z Øù p § T Ó Þ X ¢ W Ä] K ¡ Ã U Ø< g8 ý ì Å

T Ö h ç ¡ ^∗

D Gw n â © @ / < Æ § Ó ü t o < Æõ , Å Ò 660-701

(2013¸ 11 Z 4 26{ 9 ~ Ã Î6 £ §, 2013¸ 12 Z 4 12{ 9 Ã º& ñ : r ~ Ã Î6 £ §, 2013¸ 12 Z 4 16{ 9 > F S X & ñ )

7 Hë H É r q- + þ A ) a ì r : r` ¦ s 6 x ô Ç q- + þ A ) a ¦ % i < Æ\ @ /ô Ç ½ ¨ õ \ ¦ À Ò ¦ e . q- + þ A

)

a p ì r õ & h ì r` ¦ s 6 x # q- + þ A ) a 1 p x5 Å q ¸ î r1 l x õ q- + þ A ) a 1 p x 5 Å q ¸ î r1 l x` ¦ À Ò% 3 ¦ q- + þ A ) a 5 Å q

¸\ q Y V H / B N l $ ½ Ó` ¦ t H ë H ] j\ @ /ô Ç ½ ¨ ¸ s À Ò# Q& . = å Q 5 Å q ¸ ë H ] jü < ° ú s { 9 > q- + þ A

)

a p ì r ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ 6 x H â Ä º H é ß t t Ã º < ÊÃ º\ ¦ q- + þ A ) a t Ã º < ÊÃ º Ð õ H õ Ð z ¤ . t

ë ß 2> q- + þ A ) a p ì r ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð Å Ò# Qt H q- + þ A ) a y û Z 1 l xë H ] j_ â Ä º\ H + þ A÷ &t · ú § H % i

< Æë H ] jü < H ¸ ª s ² ú t ¦ D h Ðî r q- + þ A ) a < ÊÃ º 9 כ ¹ H כ s µ 1 ß) & .

Keywords: q- + þ A ) a s í ß r ç ß p ì r, q- + þ A ) a p ì r ~ ½ Ó& ñ d

1985¸ Jimbo H su q (2) @ /Ã º Â ÒØ Ô H su(2) @ /Ã º_ q-

+ þ A` ¦ µ 1 Ï³ ðÙ þ ¡ [1]. Õ ª Ê ê Macfarlane [2]õ Biedenharn [3] É r Ð > r @ /Ã º_ q- + þ A` ¦ µ 1 Ï³ ðÙ þ ¡ . s Qô Ç q- + þ A ) a @ / Ã

º H q- + þ A ) a : x > Ó ü t o < Æ [4–11], q- + þ A ) a Ù þ Ó ü t o < Æ [12, 13] õ q- + þ A ) a ª & ñ Ðs : r [14,15]1 p x \ & h 6 x ÷ &% 3 .

j H q- + þ A ) a s í ß p ì r í ß 6 £ x6 x Ã º < Æõ s : rÓ ü t o

< Æ ì r \ " f < É ª p \ ¦ = å J ¦ e [16–20]. q- + þ A ) a s í ß p

ì r í ß \ ¦ s 6 x ô Ç p & h ì r < Æ` ¦ q- + þ A ) a p & h ì r < Æs

¦ Â ÒØ Ô H X < s â Ä º l > r _ p ì r õ & h ì r @ / q- + þ A

)

a s í ß p ì r í ß ü < q- + þ A ) a s í ß & h ì r í ß 6

x ) a . s Qô Ç í ß H Ã º < Æ Jackson [21]\ _ K % 6

§ ¸{ 9 ÷ &% 3 ¦ Hahn [22]\ _ K 7 á § 8 { 9 ì ø Í o ÷ &% 3 .

q- + þ A ) a s í ß p ì r í ß H 6 £ § õ ° ú s & ñ _ ) a .

int ^x ₀ f (t) = f (qt) − f (t)

d \ " f + þ A q 1\ 0 >t H F G ô Ç` ¦ 2 [ q- + þ A ) a s í ß p ì r í ß H l > r _ p ì r í ß ) a

. q- + þ A ) a s í ß p ì r í ß \ ¦ t ⁿ \ 6 x

D t t ⁿ = [n] q t ⁿ⁻¹ , (2) s

) a . # l " f [n] q H q- + þ A ) a Ã º ¦ Â ÒØ Ô 9 [n] _q = q ⁿ − 1

Ð & ñ _ ) a . q- + þ A ) a Ã º [n] ^q H q 1\ 0 >t H F G ô

Ç\ " f ns ) a . q- + þ A ) a s í ß p ì r É r 6 £ § õ ° ú É r + þ

A ) a s á Ôm Þ Ô ½ ©g Ë :` ¦ ë ß 7 á ¤ ô Ç .

D t (f (t)g(t)) = (D t f (t))g(t) + f (qt)D t g(t) (4) q- + þ A ) a s í ß p ì r \ @ /ô Ç % i % i í ß ` ¦ q- + þ A ) a s í ß & h ì

r s ¦ H X < 6 £ § õ ° ú s & ñ _ ) a .

f (t)d _q t = x(1 − q)

q ⁿ f (xq ⁿ ), (5)

q- + þ A ) a s í ß & h ì r É r 6 £ § õ ° ú É r $ í | 9 [ þ t` ¦ ë ß 7 á ¤ ô Ç .

g(t)D t f (t)d q t = [f (t)g(t)] ^a ₀ − Z a

j H \ Malinowskaü < Torres [23] H q- + þ A ) a s í ß p ì

r í ß \ ¦ s 6 x ô Ç ì r : r` ¦ µ 1 Ï³ ðÙ þ ¡ . Õ ª[ þ t É r + þ A ) a p

ì r í ß \ ¦ s 6 x K l > r _ % i < Æ` ¦ + þ Ar ~ ´ Ã º e 6 £ §

¦ · ú 9Å Ò% 3 . Õ ª[ þ t s ¹ 1 Ô É r + þ A ) a 6 x É r S[x] =

¦, î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r D t ( ∂L

) a . # l " f L H q- + þ A ) a Õ ª| ½ Ót î ß s . # l " f q- + þ A ) a Õ ª| ½ Ót î ß ` ¦

2 m(D t x) ² − V (x) (11)

Ð × þ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r

F = mD _t ² x(t) (12) s

) a . d (12) H q- + þ A ) a ¾ » î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d s .

2 ¤ q- + þ A ) a ì r : r s s À Ò# Q& t ë ß q- + þ A ) a p ì r

¦ s 6 x K ¾ » % i < Æ_ q- + þ As Ã » % i < Æ_ q- + þ A\ r ¸ô Ç ½ ¨ H & ³F t B Ä º × ¼ë H ¼ # s . þ j

H \ Nalciü < Pashaev [24] q- + þ A ) a p ì r` ¦ s 6 x K y û

Z 1 l x ë H ] j\ ¦ À Ò% 3 t ë ß Õ ª[ þ t É r e > y û Z 1 l x s p

f ¨ y û Z 1 l x \ @ /K q- + þ A ) a 2 > p ì r ~ ½ Ó& ñ d _ & ñ S X ô

Ç K \ ¦ ½ ¨ t 3 l w ¦ q = 1 + s ¦ Z ~ ¦ s 1\ q K

Å Ò ¦ & ñ ô Ç H K \ ¦ ½ ¨Ù þ ¡ .

7 Hë H \ " f Ä ºo H q- + þ A ) a Õ ª| ½ Ót î ß ` ¦ s 6 x K Y >

t % i < Æë H ] j\ ¦ ê r . q- + þ A ) a p & h ì r < Æ\ e ¸ n q t

§ É r 1 l q [ þ t` ¦ 0 AK { 9 > q- + þ A ) a p ì r ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð Å Ò# Q t

H ç ß é ß ô Ç ë H ] j\ ¦ $ À Ò ¦ q- + þ A ) a 2 > p ì r ~ ½ Ó& ñ d

Ü ¼ Ð Å Ò# Qt H / B N l $ ½ Ós e H 1 l xë H ] j\ ¦ Ò ¦ כ s

. s 7 Hë H \ " f Ä ºo H Nalci ü < Pashaev_ õ ü < H

o p f ¨ y û Z 1 l x s e > y û Z 1 l x \ @ /ô Ç { 9 ì ø ÍK \ ¦

¨½ + É כ s . Ä ºo H q # Q " ° ú כ` ¦ ° ú ~ © Ã º> Ã º\ ¦

q- + þ A ) a 2 > p ì r ~ ½ Ó& ñ d s { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð Û ¦ 2 ; H כ

¦ Ð# q- + þ A ) a e > y û Z 1 l xë H ] jõ q- + þ A ) a p f ¨ y û

Z 1 l x ë H ] j\ @ /ô Ç & ñ S X ô Ç { 9 ì ø ÍK \ ¦ ½ ¨ H X < $ í / B NÙ þ ¡

. s õ & ñ \ " f Ä ºo H D h Ðî r q- + þ A ) a < ÊÃ º\ ¦ ] jî ß ô Ç

.

II. q- ì Å] k ùc Ü R m m X ¢ W Ä] K ¡ { ¢] k ù

é ß " é ¶ \ " f Ä ºo H + þ A ) a Õ ª| ½ Ót î ß ` ¦ s 6 x K { 9

q- + þ A ) a p ì r ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼ Ð Å Ò# Qt H ç ß é ß ô Ç ë H ] j\ ¦

r . + þ A ) a Õ ª| ½ Ót î ß Ü ¼ Ð Â Ò' 5 Å q ¸ü < 0 Aü < 5 Å q

¸ s _ ' a > H l > r _ p ì r @ / q- + þ A ) a s í ß p ì r Ü

¼ Ð Å Ò# Q . { 9 " é ¶ î r1 l x` ¦ H Ó ü t ^ _ 0 A\ ¦ x(t)

¦ ½ + É M : + þ A ) a 5 Å q ¸ v(t)ü < + þ A ) a 5 Å q ¸ a(t) H 6 £ § õ

° ú s & ñ _ ) a .

v(t) = D _t x(t), a(t) = D _t v(t), (13)

¡Ü ¼ Ð + þ A ) a 5 Å q ¸ + þ A ) a 5 Å q ¸\ ¦ Õ ªz ª 5 Å q ¸ü < 5