ºÇ X Ø-@ _ª ŽQ Æ X Ø V ê s„ ÆX c l “ Ó Þ{ ¢] k ù; c" e SU(3) 6 È S Ë

|

ºÇ X Ø-@ _ª ŽQ Æ X Ø V ê s„ ÆX c l “ Ó Þ{ ¢] k ù; c" e SU(3) 6 È S Ë

T

¬ £a : @ · T  ø ¶ BZ 9 

∗ 1

l

x _ @ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ ,  Òí ß – 614-714 (2008¸   2 Z 4 4{ 9  ~ à Î6 £ §)

˜

Д > r- ` …Ø Ôp “ : r  © œ  ñ Œ •6   x — ¸+ þ A (IBFM)_  d  ¦ \ " f   + þ A f . Ë Ã º-AÙ þ ˜_  | 9 é ß –& h  $ í | 9 `  ¦  7 H _  % i  . s  ƒ  

½

¨\ " f  H   + þ A ) a f . Ë Ã º Ù þ ˜_  ± ú “ É r \  -t  ï  r 0 A\  ¦ [ O " î l  0 AK  U

^(B)

(6) × U

^(F)

(12) @ /g A_  SU(3) F G ô

 Ç\  œ í& h `  ¦ ´ ú Æ Ò% 3  . f . Ë Ã º Ù þ ˜_  ± ú “ É r \  -t  ï  r 0 A  s _  E2 „  s ü < „  l  ×  æF G  — ¸F ' pà Ô\  ¦ @ /à º& h  Ü

¼– Ð Ä »• ¸ “ ¦ s    õ \  ¦

¹⁷¹

Yb _  1/2

⁻

(  { Œ • © œI ) { \  & h 6   x “ ¦ z  ´+ « >° ú כõ  q “ § % i  .

PACS numbers: 21.60.Fw, 23.20.Gq

Keywords: ˜ Д > r-` …Ø Ôp “ : r  © œ  ñ Œ •6   x — ¸+ þ A, E2 „  s 

I. " e  ] Ø

@

/g A$ í õ  ç  H : r \  l œ í\  ¦ é  H Ù þ ˜½ ¨› ¸\  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨  H Arima ü < Iachello [1,2] ] jî ß –ô  Ç ˜ Д > r (boson)  © œ  ñ Œ •6   x

—

¸+ þ A (IBM)Ü ¼– Ð  € ª œ >  s À Ò# Q4 R M ® o  . IBM\ " f  H Ù þ ˜

`

 ¦ Ù þ ˜d ”  ü @y Œ •_  Ù þ ˜  Š © œ`  ¦ 
_  ˜ Д > r (boson) Ü ¼– Ð s À Ò

#

Q”   / B N ç ß –Ü ¼– Ð & ñ “ ¦ ç  H : r& h  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð ‹ Œ •Ã º-‹ Œ •Ã º Ù þ ˜ _

 ± ú “ É r \  -t  ï  r 0 A_  \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3  x 9  „   l & h  $ í

| 9

 1 p x | 9 é ß –& h  $ í | 9 `  ¦ [ O " î ô  Ç . s  — ¸+ þ A“ É r @ /g A$ í _  þ j@ /



© œ& h “   ç ß –  † < Ê ÷  r  m   œ íl  — ¸+ þ A_  # 3 0 A\  ¦  Å # Q" f  H 4

Ÿ

¤ ¸ ú šô  Ç ‰ & ³ © œ`  ¦ [ O " î   H — ¸+ þ AÜ ¼– Ð S X ‰  © œ½ + É Ã º e ” # Q ×  æ ç ß – x 9

 Á º î  r Ù þ ˜`  ¦ [ O " î   H  © œ “  l e ”   H @ /à º& h  — ¸+ þ As 

÷

&% 3  . IBM`  ¦ S X ‰  © œô  Ç < É ª p e ”   H — ¸+ þ A ×  æ _  
 ˜ Д > r-

`

…Ø Ôp “ : r  © œ  ñ Œ •6   x — ¸+ þ A (IBFM) [3]Ü ¼– Ð s  — ¸+ þ A\ " f  H f

. Ë Ã º-A Ù þ ˜`  ¦ IBM Ù þ ˜d ” \  & h ] X ô  Ç ˜ Д > r- ` …Ø Ôp “ : r  © œ  ñ Œ • 6

 

x`  ¦ : Ÿ x K    ½ + ˝ ) a ` …Ø Ôp “ : r > – Ð Ò q ty Œ •ô  Ç . IBFM “ ¦Ä »

†

< Êà º_  l ‘ : r ½ ¨› ¸  H ˜ Д > r Ù þ ˜d ” õ  ˜ Д > r- ` …Ø Ôp “ : r  © œ  ñ Œ • 6

 

x _  ß ¼l \  ŠҖ Ð _ ” > r ô  Ç . ˜ Д > r Ù þ ˜d ” “ É r IBM Ü ¼– Ð l Õ ü t

÷

&“ ¦ [ j t _  1 l x% i † < Æ& h  @ /g A, 7 £ ¤ U(5), SU(3) x 9  O(6) F G ô

 Ç`  ¦ ”    [4–6]. IBFM\ " f f . Ë Ã º-A Ù þ ˜“ É r l = 0, 2`  ¦  t

  H N > h_  ˜ Д > r õ  é ß –{ 9  { 9  C • ¸ j = j ¹ , j 2 , · · · “   ` … Ø

Ôp “ : r 
– Ð ½ ¨$ í  ) a  . ˜ Д > r Ù þ ˜d ” `  ¦ € ª œ$ í  ü < ×  æ$ í  

\

 ¦ ½ ¨Z >  t  · ú §  H IBM-1 Ü ¼– Ð ] jô  Ç €   IBFM\ " f \  - t

 Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 “ É r @ /à º U ^(B) (6) × U ^(F) (Ω) – Ð ³ ð‰ & ³÷ &“ ¦, # Œ l

" f ٍ  H ` …Ø Ôp “ : r / B N ç ß –_  " é ¶ Ü ¼– Ð Ω = P

j (2j + 1) s 



.  © œ @ /³ ð& h “   ` …Ø Ôp “ : r @ /à º_  \ V– Ð ` …Ø Ôp “ : r _  é ß – { 9

 { 9   C • ¸ j = 3/2“   U ^(F) (4) ü < ` …Ø Ôp “ : r s  [ j> h_ 

∗

E-mail: [email protected]

C

• ¸ j = 1/2, 3/2, 5/2\  & h Ä »÷ &  H U ^(F) (12)  e ”   [7,8].

`

…Ø Ôp “ : r @ /à º U ^(F) (4){ 9 M :  Òì  r @ /à º SU(4)  H O(6) ü <

° ú

 “ É r g 1 J(isomorphic) s Ù ¼– Ð  r„  — ¸+ þ A`  ¦ [ O " î ½ + É Ã º \ O   [9]. Õ ª QÙ ¼– Ð   + þ A f . Ë Ã º Ù þ ˜_   r„   Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦ [ O " î  l

 0 AK " f  H U ^(F) (12) @ /à º\  ¦ • ¸{ 9 K   ô  Ç . U ^(F) (12)

½

¨› ¸\  ¦ t   H @ /³ ð& h “   \ V– Ð ¹⁹⁵ Pt  e ” Ü ¼
 s  Ù þ ˜“ É r SO(6) _  @ /g A$ í `  ¦ ”   “ ¦ · ú ˜ 94 R e ”   [8].

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H   + þ A f . Ë Ã º Ù þ ˜_  | 9 é ß – $ í | 9 `  ¦  7 H _  l  0

AK  ˜ Д > r- ` …Ø Ôp “ : r   ½ + Ë @ /à º U ^(B) (6) × U ^(F) (12)\  ¦ “ ¦



9 “ ¦ SU(3)\ ë ß – ² D G ô  Ç • ¸2 Ÿ ¤ ô  Ç . s  — ¸+ þ A\ " f ± ú “ É r

\

 -t  ï  r 0 A  s _  E2 „  s Ö  ¦ õ  „  l  ×  æF G  — ¸F ' pà Ô

\

 ¦ { Œ —˜ 2 ³ ³ ð‰ & ³Ü ¼– Ð
  · p . # Œl " f_    õ \  ¦ ¹⁷¹ Yb \ 

&

h

6   x “ ¦ z  ´+ « >° ú כõ  q “ § % i  .

II. | ºÇ X Ø-@ _ª ŽQ Æ X Ø V ê s„ ÆX c l “ Ó Þ { ¢] k ù

IBFM \ " f f . Ë Ã º-AÙ þ ˜“ É r N > h_  ˜ Д > r õ  ô  Ç > h_  ` …Ø Ôp 

“

: r Ü ¼– Ð s À Ò# Q ”   . ˜ Д > r >   H IBM Ü ¼– Ð l Õ ü t “ ¦ ` …Ø Ô p

“ : r“ É r é ß –{ 9  { 9   C • ¸\  & h Ä »  ) a  . s  — ¸+ þ A\ " f• ¸ IBM _

  © œ& h “   1 l x% i † < Æ& h  @ /g A$ í `  ¦ “ ¦ 9 l  0 AK " f  H é ß –{ 9  { 9

  C • ¸_  ‚  × þ ˜s  ×  æ כ ¹  . IBMõ  1 l x% i † < Æ& h  @ /g A`  ¦

t “ ¦  r„   Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦ [ O " î   H  Òì  rç  H SU(3)\  ¦ t  l

 0 AK  ` …Ø Ôp “ : r _  é ß –{ 9  { 9   C • ¸\  ¦ j = 1/2, 3/2, x 9  7/2 – Ð Ò q ty Œ • €   ` …Ø Ôp “ : r“ É r U ^(F) (12)`  ¦ t “ ¦ IBM @ / Ã

º U ^(B) (6) ü <   ½ + Ë # Œ U ^(B) (6) × U ^(F) (12) ½ ¨› ¸\  ¦ ”  



. ` …Ø Ôp “ : r é ß –{ 9  { 9   C • ¸ j = 1/2, 3/2, x 9  7/2  H Ä »



-C • ¸ y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó Â Òì  r l = 0, 2 ü < Ä » -Û ¼— 2 ; s = 1/2_ 

 

½ + ËÜ ¼– Ð Ò q ty Œ •ô  Ç  [10, 11]. ç  H : r& h Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ €   ` …Ø Ô

-193-

p

“ : r @ /à º  H  6 £ § õ  ° ú  s  ¿ º  Òì  rç  H _  Y  L Ü ¼– Ð ×  ¦{ 9  à º e ” 



 [8].

U ^(F) (12) ⊃ U ^(F) (6) × SU ^(F) (2) (1) s

 ×  ¦e ” (reduction)\  U(6) Ÿ í† < Ê÷ &# Q e ” Ü ¼Ù ¼– Ð ˜ Д > r õ 

`

…Ø Ôp “ : r / B N ç ß –“ É r f ” ½ + Ë @ /à º U ^(B+F) (6)\  ¦ ½ ¨$ í ½ + É Ã º e ”  .

U ^(B+F) (6) _   Òì  rç  H“ É r IBM _  U ^(B) (6) _   Òì  rç  H õ  { 9 u 

Ù ¼– Ð SO ^(B+F) (3)\  ¦ Ÿ í† < Ê   H ç  H  _ þ t“ É r IBM _  ç  H  _ þ t [4–6] õ  1 l x{ 9  >  [ jt _  ç  H  _ þ t s  0 p x  . 7 £ ¤, U(5), SU(3) x 9  O(6) F G ô  Çs  . # Œl \  SO ^(B+F) (3)  H Ä » -Û ¼

—

2 ; ç  H SU ^(F) (2) õ    ½ + Ë # Œ ˜ Д > r õ  ` …Ø Ôp “ : r > _  8 ú x y Œ • î

 r1 l x | ¾ Ó`  ¦ Ÿ í† < Ê   H Spin(3) ç  H`  ¦ ë ß –Ž  H  . ‘ : r ƒ  ½ ¨  H   + þ A Ù þ

˜\  ² D G ô  Ç Ù ¼– Ð SU(3) F G ô  Çë ß – “ ¦ 9ô  Ç . s  F G ô  Ç\ " f ç

 H  _ þ t“ É r

U ^(B+F) (6) × SU ^(F) (2) ⊃ SU ^(B+F) (3) × SU ^(F) (2)

⊃ SO ^(B+F) (3) × SU ^(F) (2) ⊃ Spin(3) (2)

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f f . Ë Ã º Ù þ ˜“ É r ˜ Д > r Ù þ ˜d ” õ  ô  Ç > h_  ü @y Œ •Ù þ ˜ 

–

Ð s À Ò# Q4 R e ”  “ ¦ & ñ ô  Ç . ë ß –€  • Ù þ ˜s  SU(3)_  1 l x% i 

†

< Æ& h  @ /g A`  ¦ t €   d ”  (1)– Ð Å Ò# Q”   ç  H  _ þ t \  Ÿ í† < ʝ ) a y

Œ

• ç  H _  Casimir ƒ  í ß – _  ‚  + þ A  ½ + ËÜ ¼– Ð ³ ð‰ & ³÷ &“ ¦, s  M

: \  -t  “ ¦Ä » © œI   H s  ç  H  _ þ t \  › ' a > ÷ &  H € ª œ à º– Ð

 è ­ q à º e ”  . f . Ë Ã º-| 9 | ¾ Ó Ù þ ˜`  ¦ N > h_  ˜ Д > r Ü ¼– Ð s À Ò

#

Q”   IBM Ù þ ˜d ” õ    ½ + Ë÷ &t  · ú §“ É r ô  Ç > h_  ` …Ø Ôp “ : r Ü ¼– Ð

½

¨$ í  ) a > – Ð Ò q ty Œ • €   ç  H U ^(B) (6) × U ^(F) (12) _  €  •³ ð

‰

&

³(irrep)“ É r U ^(B) (6) _  @ /g A& h “   irrep [N ]õ  U ^(F) (12) _  ì

ø Í@ /g A& h  irrep [1]– Ð ½ ¨$ í  ) a  . U ^(F) (12) _  irrep [1]“ É r d ”  (1) _  ç  H×  ¦e ” \ " f U ^(F) (6) _  irrep [0, 1]õ  SU ^(F) (2) _  ir- rep S = 1/2\  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç . U(6) " é ¶ \ " f ˜ Д > r õ  ` …Ø Ôp 

“

: r s    ½ + Ë €   ç  H×  ¦e ”  U ^(B) (6) × U ^(F) (6) ⊃ U ^(B+F) (6) \ 

"

f 0 p x ô  Ç U ^(B+F) (6) _  irrep“ É r [N + 1, 0] ü < [N, 1]s   0

p

x  . ç  H  _ þ t (2) _  ç  H×  ¦e ”  õ & ñ \ " f 0 p x ô  Ç y Œ • ç  H _  irrep“ É r ¸ ú ˜ & ñ o ÷ &# Q e ”  . SU(3) F G ô  Ç\ " f basis\  ¦ s [ þ t

€ ª

œ à º– Ð ³ ð‰ & ³ €    6 £ § õ  ° ú   .

|N [N 1 , N 2 ]α(λ, µ)κL J M i (3)

#

Œl " f [N 1 , N ₂ ]  H U ^(B+F) (6), (λ, µ)  H SU ^(B+F) (3), L“ É r SO ^(B+F) (3), J, M “ É r y Œ •y Œ • Spin(3)ü <  Òì  rç  H Spin(2) _  irrep`  ¦
 ? /  H € ª œ à ºs  . y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó   ½ + Ë\  _ K   0

p

x ô  Ç 8 ú x y Œ •î  r1 l x | ¾ ӓ É r J = L ± ¹ ₂ s  . € ª œ à º α ü < κ  H y Œ • y

Œ

• ç  H×  ¦e ”  U(6) ⊃ SU(3), SU(3) ⊃ SO(3) õ & ñ \ " f  © œI 

\

 ¦ ¢ - a„  y  ì  r o  l  0 AK  € 9 כ ¹ô  Ç Â Ò € ª œ à º s  .

SU(3) F G ô  Ç\ " f 1 l x% i † < Æ& h  @ /g A`  ¦ s À ҍ  H K x 9 ž Ðm î ß –

“ É

r ç  H  _ þ t \  Ÿ í† < ʝ ) a ç  H _  Casimir ƒ  í ß – _  ‚  + þ A  ½ + ËÜ ¼

Table 1. The geometrical factor G(LJ ; L ⁰ J ⁰ ).

L − 1/2 L + 1/2

L

⁰

− 1/2 h

L+L⁰+3)(L+L⁰−2) (2L+1)(2L⁰+1)

i

1/2

h

(L⁰−L+2)(L−L⁰+3) (2L+1)(2L⁰+1)

i

1/2

L

⁰

+ 1/2 − h

_(L−L0+2)(L⁰−L+3) (2L+1)(2L⁰+1)

i

1/2

h

_(L+L0+4)(L+L⁰−1) (2L+1)(2L⁰+1)

i

1/2

–

Ð ³ ð‰ & ³ ) a  .  © œ  ñ Œ •6   x`  ¦ 2 ^ ‰ † ½ ÓÜ ¼– Ð ] jô  Ç “ ¦ [ þ t> p u \  - t

\  l # Œ   H † ½ Óë ß – “ ¦ 9 €   s  F G ô  Ç\ " f K x 9 ž Ðm î ß –

“ É r

H = AC 2U 6 + BC 2SU 3 + DC 2SO3 + EC 2Spin3 (4) s

“ ¦ d ”  (3)_  “ ¦Ä » © œI _  \  -t  “ ¦Ä »° ú כ“ É r E = A[N ₁ (N ₁ + 5) + N ₂ [N ₂ + 3)]

+B(λ ² + µ ² + λµ + 3λ + 3µ)

+DL(L + 1) + EJ (J + 1) (5) s

 .

± ú

“ É r \  -t  ï  r 0 A  s _  E2„  s ü < : £ ¤& ñ ï  r 0 A_  „  l 



×  æF G  — ¸F ' pà Ô\  ¦ ½ ¨ l  0 AK  € 9 כ ¹ô  Ç E2 „  s  ƒ  í ß – 



 H  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ _ ô  Ç  [8].

T (E2) = G ⁽²⁾ (02) + G ⁽²⁾ (20) −

√ 7

2 G ⁽²⁾ (22) (6)

#

Œl " f G ⁽²⁾ (ll ⁰ )“ É r U ^(B+F) (6) Ò q t$ í  – Ð  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ _

ô  Ç .

G ⁽²⁾ (02) = (s ^† d) ˜ ⁽²⁾ − p

4/5(a ^† _1/2 a ˜ _3/2 ) ⁽²⁾

− p

6/5(a ^† _1/2 ˜ a _5/2 ) ⁽²⁾ G ⁽²⁾ (20) = (d ^† s) ˜ ⁽²⁾ − p

4/5(a ^† _3/2 a ˜ _1/2 ) ⁽²⁾

− p

6/5(a ^† _5/2 ˜ a _1/2 ) ⁽²⁾ (7) G ⁽²⁾ (22) = (d ^† d) ˜ ⁽²⁾ − ( √

14/5)(a ^† _3/2 ˜ a _3/2 ) ⁽²⁾

−( √

24/5)(a ^† _5/2 ˜ a _5/2 ) ⁽²⁾ +( √

6/5)(a ^† _3/2 ˜ a _5/2 − a ^† _5/2 ˜ a _3/2 ) ⁽²⁾

#

Œl " f s ^† , d ^† (˜ s, d) ˜  H ˜ Д > r Ò q t$ í (™ èY > ) ƒ  í ß – s “ ¦ a ^† _j (˜ a j )  H ` …Ø Ôp “ : r Ò q t$ í (™ èY > ) ƒ  í ß – s  . d ”  (7)– Ð Å Ò

#

Q”   E2 „  s  ƒ  í ß –   H SU ^(B+F) (2) \ " f Û ¼º ú ˜ s Ù ¼– Ð, SU(3) F G ô  Ç\ " f \  -t  “ ¦Ä » © œI   s _  E2 „  s  ƒ  í ß –



_  ' Ÿ § > =כ ¹™ è  H 8 ú x y Œ •î  r | ¾ Ó J\  _ ” > r   H  Òì  r`  ¦ “  à ºì  r K

 # Œ
 è ­ q à º e ”  .

hN [N 1 , N 2 ]β(λ, µ)κL; J ||T (E2)

× ||N [N ₁ ⁰ , N ₂ ⁰ ]β ⁰ (λ ⁰ , µ ⁰ )κ ⁰ L ⁰ ; J i

= G(LJ ; L ⁰ J ⁰ )hN [N ₁ , N ₂ ]β(λ, µ)κL||T (E2)

× ||N [N ₁ ⁰ , N ₂ ⁰ ]β ⁰ (λ ⁰ , µ ⁰ )κ ⁰ L ⁰ i (8)

Table 2. Matrix elements of the E2 transition operator in the ground-state band.

Initial Final Matrix element

L

⁰

, J

⁰

L, J hgL; L

⁰

||T (E2)||gL

⁰

; J

⁰

i

L, L − 1/2 L, L − 1/2 −(4N + 7) h

2(L−1)L(L+1) 2L−1)(2L+1)

i

1/2

L, L + 1/2 L, L + 1/2 −(4N + 7) h

2L(L+1)(L+2) 2L+1)(2L+3)

i

1/2

L, L + 1/2 L, L − 1/2 (4N + 7) h

6L(L+1) (2L−1)(2L+1)(2L+3)

i

1/2

L + 2, L + 5/2 L, L + 1/2 h

12(2N +L+5)(2N −L+2)(L+1)(L+2)(L+3) (2L+3)(2L+5)

i

1/2

L + 2, L + 3/2 L, L + 1/2 h

24(2N +L+5)(2N −L+2)(L+1)(L+2) (2L+1)(2L+3)(2L+5)

i

1/2

L + 2, L + 3/2 L, L − 1/2 h

12(2N +L+5)(2N −L+2)L(L+1)(L+2) (2L+1)(2L+3)

i

1/2

#

Œl " f G(LJ; L ⁰ J ⁰ )“ É r l  “   – Ð G(LJ ; L ⁰ J ⁰ ) = (−1) ^L+1/2+J

⁰

p

(2J + 1)(2J ⁰ + 1)

× (

L J 1/2 J ⁰ L ⁰ 2

)

(9)

s

“ ¦ { }  H 6 − j l   ñs  . 0 p x ô  Ç 8 ú x y Œ •î  r1 l x | ¾ ӓ É r J = L ± 1/2 s Ù ¼– Ð ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H W 1 > h_  l  “   ë ß – € 9 כ ¹

 . 6 − j l   ñ\  ¦ @ /{ 9  “ ¦ & ñ o  # Œ Table 1\ 
 ? /

% 3  .

d ”

 (8) Ä º  _  ¨ 8 Š í ß –' Ÿ § > =כ ¹™ è  H IBM _    õ \  ¦ s 6   x 

#

Œ ½ ¨½ + É Ã º e ”  . SU(3) F G ô  Ç\ " f  { Œ • © œI { _   © œI   H

|gL; J M i = |N [N + 1, 0](2N + 2, 0)L; J M i (10) s

“ ¦ L“ É r ‹ Œ •Ã º“   ° ú כë ß –s  0 p x  .  { Œ • © œI   s _  E2 '

Ÿ § > =כ ¹™ è  H

hgL; J ||T (E2)||gL ⁰ ; J ⁰ i

= G(LJ ; L ⁰ J ⁰ )hgL||T (E2)||gL ⁰ i (11) Ü

¼– Ð ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ” “ ¦, ' Ÿ § > =כ ¹™ è  H L ⁰ = L, L ± 2{ 9  M : ë

ß – 0s      ° ú כ`  ¦ ”   . d ”  (11)_  Ä º  _  ' Ÿ § > =כ ¹™ è  H IBM   õ \  ¦ s 6   x # Œ ~ 1 >  ½ ¨½ + É Ã º e ”  .  { Œ • © œI  { 

?

/_  0 p x ô  Ç E2 „  s  ƒ  í ß – _  ¨ 8 Š í ß –' Ÿ § > =כ ¹™ è\  ¦ > í ß – 

#

Œ & ñ o ô  Ç   õ \  ¦ Table 2 \ 
 ? /% 3  .

III. ¹⁷¹ Yb8 ý  R c lV ê s? 0 + ; c X ì Ä “ Ó Þ

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f Ä »• ¸ô  Ç   õ \  ¦  Bž ÐÀ Ó % ò % i _   r„   Û ¼& 7 ˜ à

Ô! 3 `  ¦ ˜ Ðs   H f . Ë Ã º-A Ù þ ˜“   ¹⁷¹ Yb _   { Œ • © œI  { \  & h  6

 

x “ ¦ z  ´+ « >° ú כõ  q “ §ô  Ç . : £ ¤Z > y  s  Ù þ ˜`  ¦ × þ ˜ô  Ç s Ä »  H f

. Ë Ã º Ù þ ˜ ×  æ \ " f ‘ : r ƒ  ½ ¨_    õ \  ¦ q “ §½ + É Ã º e ”   H z  ´+ « >

&

ñ ˜ Ð q “ §& h  ´ ú §l  M :ë  H s  . IBFM\ " f ¹⁷¹ Yb“ É r ˜ Д > r

Table 3. Energy levels in the ground state-band of ¹⁷¹ Yb (keV).

States Exp. [12] This work

1/2

⁻

0 0

3/2

⁻

66.7 66.9

5/2

⁻

75.8 76.3

7/2

⁻

230.6 232.4

9/2

⁻

246.6 249.4

11/2

⁻

487.2 494.7

13/2

⁻

509.1 519.3

Ã

º N = 15“   ˜ Д > r > ü < ô  Ç > h_  ü @y Œ •Ù þ ˜    ½ + Ëô  Ç  © œ I

s  . ¹⁷¹ Yb _   { Œ • © œI (1/2 ⁻ ) { _  \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 

“

É r d ”  (5)_  B > h  à º ×  æ ¿ º t , 7 £ ¤ D ü < E\  _ K    

&

ñ  ) a  .  { Œ • © œI _  ± ú “ É r ï  r 0 A_  z  ´+ « > X <s  \  ¦ s 6   x 

#

Œ ¿ º B > h  à º\  ¦ ½ ¨ €  

D = 10.2 keV, E = 1.9 keV (12) s

“ ¦, s – РÒ'  {  ? /_  ï  r 0 A_  \  -t \  ¦   & ñ €   Table 3 Ü ¼– Ð Å Ò# Q”   . ¹⁷¹ Yb _   { Œ • © œI  { (1/2 ⁻ { )\  5 Å q 



 H ï  r 0 A_  \  -t   H ‘ : r ƒ  ½ ¨_    õ ü < ¸ ú ˜ { 9 u ô  Ç .

¨ 8

Š í ß – E2 „  s Ö  ¦ õ  E2 „  s ƒ  í ß – _  ' Ÿ § > =כ ¹™ èü <_  › ' a

>

  H

B(E2; αLJ → βL ⁰ J ⁰ )

= 1

2J + 1 |hαL; J ||T (E2)||βL ⁰ ; J ⁰ i| ² (13) s

 . # Œl " f hαL; J||T (E2)||βL ⁰ ; J ⁰ i  H E2 „  s ƒ  í ß –  _

 ' Ÿ § > =כ ¹™ è– Ð · ú ¡ ] X \  > í ß –÷ &# Q e ”  . s \  ¦ s 6   x # Œ

171 Yb  { Œ • © œI  {  ? /_  ¨ 8 Š í ß – E2 „  s Ö  ¦`  ¦ ½ ¨ “ ¦ z  ´+ « >

° ú

כõ  q “ § # Œ Table 4\ 
 ? /% 3  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f \ V8 £ ¤ ô  Ç E2 „  s  S X ‰Ò  ¦“ É r z  ´+ « >° ú כ\   _  { 9  u

 “ ¦, ¹⁷¹ Yb _  Ä »´ ò„     H ∼ 0.5e s  .  { Œ • © œI  {  ? /

Table 4. E2 transition probabilities in the ground-state band of ¹⁷¹ Yb (W.u.).

Initial (L, J ) Final (L, J ) Exp. [13] This work

2,3/2 0,1/2 223 223

2,5/2 0,1/2 157 223

2,5/2 2,3/2 55 64

4,7/2 2,3/2 211 284

4,7/2 2,5/2 33 32

4,9/2 2,5/2 280 316

4,9/2 4,7/2 19

Table 5. Electric quadrupole moments in the ground- state band of ¹⁷¹ Yb (b).

States (L, J ) Exp. [13] This work

2, 3/2 1.59 1.59

2, 5/2 2.12 2.08

4, 7/2 2.45

4, 9/2 3.21

_

 ï  r 0 A  s _  „  s  ÷  r  m   {   s _  „  s • ¸ > í ß –

½

+ É Ã º e ” Ü ¼
 z  ´+ « >  « Ñ_   Ò7 á ¤ Ü ¼– Ð ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H ] jü @

% i  . y Œ • ï  r 0 A_    + þ A`  ¦
 ? /  H „  l  ×  æF G  — ¸F ' p à

ԍ  H

Q = r 16π

5 s

L(2L − 1) (L + 1)(2L + 1)(2L + 3)

×hL; J ||T (E2)||L; J i (14) s

“ ¦  { Œ • © œI  { _  ' Í P : [ þ t> p u  © œI _  ° ú כ\  ´ ú Æ Ò# Q {  ? / _

 y Œ • ï  r 0 A_   ×  æF G  — ¸F ' pà Ô\  ¦   & ñ ½ + É Ã º e ”  . s     õ

\  ¦ Table 5 \  z  ´+ « >° ú כõ  q “ § # Œ
 ? /% 3  . „  l  

×

 æF G  — ¸F ' pà Ô\  @ /ô  Ç z  ´+ « >  « э  H ‰ & ³$ y   Ò7 á ¤ # Œ ´ ú §

“ É

r ï  r 0 A\  ¦ q “ § t  3 l w % i t ë ß –, 5/2 ⁻ ï  r 0 A_   ×  æF G  

—

¸F ' pà ԍ  H z  ´+ « >° ú כõ   _  { 9 u ô  Ç . „  l  ×  æF G  — ¸F ' pà Ô



 H Ù þ ˜_    + þ A`  ¦
 ? /  H ' ‘ • ¸s “ ¦ ¹⁷¹ Yb _   ×  æF G  — ¸ F '

pà ԍ  H € ª œ_  ° ú כÜ ¼– Ð  r„  » ¡ ¤ \ " f prolate + þ A_    + þ AÙ þ ˜s 



.

IV. ~ ¿ W d l

‘

: r ƒ  ½ ¨  H IBFM _  d  ¦ \ " f   + þ AÙ þ ˜_  \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3  õ  E2 „  s  x 9  „  l  ×  æF G  — ¸F ' pà Ô\  @ /K   7 H _  % i  .

f

. Ë Ã º-A   + þ A Ù þ ˜_  | 9 é ß –& h  $ í | 9 `  ¦  7 H _  l  0 AK  f . Ë Ã º Ù þ ˜

`

 ¦ ˜ Д > r Ü ¼– Ð s À Ò# Q”   Ù þ ˜d ” õ  ü @y Œ •Ù þ ˜  (` …Ø Ôp “ : r) – Ð s  À

Ò# Q”   > – Ð & ñ % i  . f . Ë Ã º Ù þ ˜“ É r U ^(B) (6) × U ^(F) (12)

½

¨› ¸\  ¦ ”   “ ¦ & ñ Ù þ ¡“ ¦ ˜ Д > r Ù þ ˜d ” _   © œI   H IBM Ü ¼– Ð l

Õ ü t % i  . ˜ Д > r õ  ` …Ø Ôp “ : r / B N ç ß –“ É r U(6) \ " f   ½ + Ë # Œ IBM õ  Ä » ô  Ç ç  H  _ þ t`  ¦ t “ ¦ ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H   + þ A Ù þ ˜ _

  r„   Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦ l Õ ü t   H SU(3) F G ô  Ç`  ¦ Ò q ty Œ • % i  .

1

l x% i † < Æ& h  @ /g A`  ¦ t   H  © œI \ " f  { Œ • © œI  {   s _  E2 „  s Ö  ¦`  ¦ @ /à º& h Ü ¼– Ð Ä »• ¸ “ ¦ s    õ \  ¦ ¹⁷¹ Yb _    {

Œ

• © œI  { \  & h 6   x “ ¦ z  ´+ « >° ú כõ  q “ § % i  . \  -t  ï  r 0

Aü < E2 „  s Ö  ¦“ É r z  ´+ « >° ú כõ   _  { 9 u  % i Ü ¼
, z  ´+ « >° ú כ s

 ‰ & ³$  >   Ò7 á ¤ # Œ   É r { _   â Ä º ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð q “ §

t  3 l wÙ þ ¡t ë ß – ‘ : r ƒ  ½ ¨\  ¦ S X ‰  © œ €   ´ ú §“ É r < É ª p e ”   H   õ 

\

 ¦ % 3 `  ¦ à º e ” `  ¦  כ Ü ¼– Ð l @ /ô  Ç .

P

c p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2007 † < Ƹ  • ¸ 1 l x _ @ /† < Ɠ § “ §? /ƒ  ½ ¨q \  _ K 

ƒ

 ½ ¨÷ &% 3 6 £ § (2007AA105).

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] A. Arima and F. Iachello, Phys. Rev. Lett. 35, 1069 (1975).

[2] F. Iachello and A. Arima, The Interacting Bo- son Model (Cambridge University Press, Cambridge, 1987).

[3] F. Iachello and O. Scholten, Phys. Rev. Lett. 43, 679 (1979).

[4] A. Arima and F. Iachello, Ann. Phys. 99, 253 (1976).

[5] A. Arima and F. Iachello, Ann. Phys. 111, 201 (1978).

[6] A. Arima and F. Iachello, Ann. Phys. 123, 468 (1979).

[7] A. Frank and P. Van Isacker, Algebraic Methods in Molecular and Nuclear Structure Physics (Wiley, New York, 1994).

[8] P. Van Isacker, A. Frank and H. Z. Sun, Ann. Phys.

157, 183 (1984).

[9] A. B. Balantekin, I. Bars and F. Iachello, Nucl.

Phys. A 370, 284 (1981).

[10] J. N. Ginocchio, Ann. Phys. 126, 234 (1980).

[11] O. Schoten, Phys. Lett. B 108, 155 (1982).

[12] R. B. Firestone and V. S. Shirley (eds.) Table of Isotopes, 8th ed. (Wiley, New York, 1996).

[13] V.S. Shirley, Nucl. Data Sheets 66, 69 (1992).

SU(3) Dynamical Symmetry in the Interacting Boson-Fermion Model

Su Youn Lee and J. H. Lee ^∗

Department of Physics, Dong-Eui University, Busan 614-714 (Received 4 February 2008)

The collective properties of the low-lying states in odd-A nuclei have been studied in the frame- work of the interacting boson-fermion model (IBFM). In this work, the SU(3) limit of the group U

^(B)

(6) × U

^(F)

(12) in the IBFM has been the focus to describe the collective states of deformed odd-A nuclei. The E2 transition probabilities between states and the electric quadrupole moments in the ground state band have been derived analytically. The results obtained in this work have been applied to

¹⁷¹

Yb and compared with corresponding experimental data.

PACS numbers: 21.60.Fw, 23.20.Gq

Keywords: Interacting boson-fermion model, E2 transition

∗

E-mail: [email protected]