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바퀴형 역진자 시스템의 T-S Fuzzy Modeling에 관한 연구
이승택, 이동광, 곽군평, 박승규 창원대학교 전기공학과
Study on the T-S Fuzzy Modeling in Cart-Type Inverted Pendulum System
Seung-Taek Lee, Dong-Kwang Lee, Gun-Pyong Kwak, Seung-Kyu Park Changwon National University
cos
cos
cos
sin
cos
cos
cos
sin
…
≠
or and
≠
⋯ ⋯
Abstract -제어를 할 때 비선형 시스템을 선형화 하는 것이 중요하
다. 선형화를 하기위해는 퍼지 모델을 사용하는데 그 중 바퀴형 역진자 시스템은 비선형 시스템의 파라미터 값을 모두 알아도 T-S퍼지를 기반 으로 하여 선형제어를 사용하는데 어려움이 있다. 그래서 Identification 을 함으로써 바퀴형 역진자 시스템을 좀 더 편리하게 T-S 퍼지 모델로 만들 수 있다.
1. 서 론
역진자 시스템은 말 그대로 진자를 뒤집은 상태의 시스템을 뜻하며, 이 시스템은 비선형 시스템이다. 비선형은 불안정한 시스템으로 제어기 법의 성능 평가하는데 활발하게 이용되고 있으며, 어떤 입력을 넣어 우 리가 원하는 상태를 유지하도록 제어기를 설계하는 방법을 논문 및 다 양한 연구의 용도로 많이 사용되고 있다.[1][2]
역진자의 비선형 시스템은 복잡한 비선형요소를 표현하기가 어려워 이를 좀 더 쉽게 제어할 수 있는 여러 기법 가운데 지능형 제어인 퍼 지 제어기법 중 T-S 퍼지 제어 기법을 사용하면 불확실성을 갖는 시스 템을 표현하는데 효율적으로 나타낼 수 있다.[3]
본 논문의 바퀴형 역진자 시스템은 파라미터 값을 알고 있어도 선형화 하여 T-S퍼지 모델로 만들기가 어렵다. 그래서 Identification을 통해 비 선형 시스템을 선형화 하여 좀 더 편리하고 정확도가 높은 T-S 퍼지 모델로 만들 수 있다.[4]
2. 바퀴 형 역 진자 모델
본 논문에서 교려하는 바퀴 형 역 진자 시스템의 방정식은 다음과 같 다.[2]
여기서, g는 중력가속도, l은 폴의 길이, M은 카트의 무게, m은 진자 의 무게, J는 폴의 관성 모멘트,
는 폴의 회전 마찰계수,
는 카트의 마찰계수, r은 바퀴의 반지름,
은 전기자 저항,
은 모터 상수,
는 기어비*효율이다.
3. T-S 퍼지 모델
T-S 퍼지 모델은 “If-Then"규칙에 의해 아래와 같이 표현된다.[3]
Plant Rule i:
IF
is
and
᠁and
is
Then
(2)
For i=1, 2,
᠁L
여기서
⋯ 는 전반부 변수 이고
는 퍼지 집합,
∈
×
∈
× 이며 L은 If-Then 규칙의 개수이다.
전체 퍼지 시스템은 아래의 식과 같다.
(3)
여기서
⋯ ,
이
고,
는
에 대한
의 소속 정도를 나타낸다.
4. T-S 퍼지 모델의 Identification
입,출력 데이터 쌍이 N이라고 가정하면
…
이며
…에서 M은 변수의 수를 가리킨다. Identification의 출 력인 I-th T-S fuzzy 룰의 출력은
∙되고, 목 적함수
된다.[4]
Lagrange multiplier를 이용하여 목적함수 J를 구속하면 다음 과 같다.
(4)
여기서
는 Lagrange multiplier이고, m은 2로 고정되고 계산 식에 따라 계산하면 Membership function을 구할 수 있다.
(5)
는 다음과 같이 구할 수 있다.
(6)
clustering center의 Identification을 위한 프로그래밍 단계는 다음과 같다.[5][6]
step 1: 클러스터 c의 숫자를 할당하고 fuzzy weighting exponent인 m을 2로 설정한다. 클러스터 센터의 parameter벡터 인
를 초기화한다. 종료경계는
≻ 와 반복색인 r=1로 설정한 다.
step 2:
∙을 이용하여
를 계산하 고 식(5)를 가지고
를 계산한다. 식(6)를 가지고
를 계산한다.
step 3:
로 설정한다. 만약
║
║ ≺ 이면 멈추고 그렇지 않다면 r=r+1을 하여 step 2를 실행한다.
이러한 단계로 인해
는 J사 점점 최소화 하는 방향으로 나 아갈 수 있다.
2011년도 대한전기학회 하계학술대회 논문집 2011. 7. 20 - 22
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≠
or and
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯
║ ║
그 후 다음과 같이
를 쉽게 구할 수 있다.
(7)
를 구하면 이를 이용해 클러스터 센터와 트레이닝 입력 사 이의 거리는 아래의 식과 같다.
(8)
그리고 Membership function의 등급은 다음 식을 사용하여 알 수 있다.
(9)
여기서 j는 k-th입력의 j-th 구성요소이다.
Membership function
의 등급에 관한 training은 클러스터 센터의 training과 절차가 비슷하다.
j변수에 관한 Membership function은 다음과 같다.
(10) 전체 퍼지룰의 Membership function은 다음과 같다.
(11)
모든
를 식6에 의해 정의하면
로서 다음과 같다.
(12)
여기서
이고
⋯
⋯ 이다.
그래서 k-th 출력은 다음과 같다.
(13)
그 후 최소 제곱계산에 근거하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
(14) Training 출력은
⋯ 이다.
5. 시뮬레이션
다음 식은 전체 퍼지 시스템의 각각의 A와 B의 파라미터 값이다.
(15)
(16)
(17)
(18)
다음의 표1은 클러스터 센터
의 파라미터 값이다.
<표 1> 클러스터 센터의 파라미터
i j 1 2 3 4 5
1 0.0728 3.8525 0.0328 -5.5347 -0.7724 2 0.0831 2.6209 0.0174 0.5310 0.1074 3 0.0688 3.4155 0.0129 -1.2601 0.1078 4 0.1121 3.4644 0.0012 0.5649 -0.0199
그림1과 그림2는 비선형 시스템의 출력과 Identification을 통해 선형 화된 출력을 비교한 것이다.
<그림1> 비선형 거리, 각도와 선형 거리, 각도 비교
<그림2> 비선형 속도, 각속도와 선형 속도, 각속도 비교
test쪽의 출력은 이산화한 비선형 시스템의 입력에 sin파를 넣어 출력 으로 나온 거리, 각도, 속도, 각속도이고 est는 Identification을 통해 선 형화된 거리, 각도, 속도, 각속도의 추정 값으로 두 그래프를 비교해본 결과를 보면 비선형 시스템이 Identification을 통해 선형화된 것을 알 수 있다.
6. 결 론
본 논문에서는 바퀴형 역진자 시스템을 선형화 하기위해 T-S 퍼지 모델을 사용하였다. 바퀴형 역진자 시스템의 비선형식을 Identification한 다음 비선형 시스템의 출력 값과 Identification을 통해 선형화된 출력 값을 비교해 본 결과 미세한 차이가 있지만 같게 나오는 것을 확인 할 수 있었다. 그 결과 본 논문에서 사용된 바퀴형 역진자 비선형 시스템을 직접 선형화 하여 T-S 퍼지 모델로 만들 때 복잡하다는 문제점이 있는 데, Identification을 사용함으로써 이러한 문제점을 해결하여 간편하게 선형화 할 수 있어 보다 효율적으로 T-S 퍼지 모델로 만들 수 있다는 것을 보였다.
[참 고 문 헌]
