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http://LegendStudy.com 2011학년도 대학수학능력시험 대비

2010년도 3월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설

• 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1 ④ 2 ⑤ 3 ③ 4 ② 5 ③

6 ① 7 ② 8 ④ 9 ① 10 ⑤

11 ③ 12 ⑤ 13 ② 14 ④ 15 ③

16 ② 17 ⑤ 18  19  20 

21  22  23  24  25 

26 ① 27 ④ 28 ② 29 ① 30 

해 설

1. [출제의도] 지수를 계산할 수 있는가를 묻는 문제 이다.

^



× ^{ }



× ^



 ^



× ^{ }



× ^



× ^



 ^

 



× ^{ }

 



 ^×   

2. [출제의도] 로그를 계산할 수 있는가를 묻는 문제 이다.

log_ ×log_^  log





 log_ ×



^

log_ 

log_



 log_ ×log_  

3. [출제의도] 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

lim

→ ∞

^^   lim

→ ∞^^   

  



4. [출제의도] 지수부등식과 로그부등식을 풀 수 있는 가를 묻는 문제이다.

^{  } ^{  }의 해가   이려면

   ⇔       

∴     

log_    log_  에서

       ∴    … ㉠

진수는 양수이어야 하므로          

∴      … ㉡

㉠, ㉡에서 주어진 부등식의 해는     이다.

5. [출제의도] 역행렬을 구할 수 있는가를 묻는 문제 이다.

  sin   cos 

 sin



^{  } 



 cos

 

^{ }  



cos  sin



sin cos 이므로

^{ }



 sin cos^{cos sin}



  sin



^{  } 



 cos

 

^{ }    sin  cos

6. [출제의도] 조건부확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제 이다.

두 주사위의 바닥에 닿은 면에 적힌 숫자의 합이 짝 수인 사건을 , 정육면체 모양의 주사위의 바닥에 닿은 면에 적힌 숫자가 짝수인 사건을 라 하자. 두

주사위의 바닥에 닿은 면에 적힌 숫자의 합이 짝수 이려면 두 숫자 모두 짝수이거나 모두 홀수이어야 한다. 따라서 구하는 확률은

P     P 

P ∩

 



× 

 

× 





× 



 



7. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

  일 때,  ^ _이므로 이를 대입하면 log^ 



^

 _







 _

 ∴ _



 

  _일 때 log _

 



^_

 _





^{ }_

  



_

  ^



∴   ^



_^ _

8. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

^ ^





^{  } 



이므로

^ 





^{ }  ^



  

^ 





^{ }  ^



  

∴ ^^ ^^ ^^      

따라서 모든 성분의 합은     이다.

9. [출제의도] 수열을 이용하여 점의 개수를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 규칙에 따라 각 항의 값을 구하면

_ , _   _ 

_ _ 

…

이므로 _{  } _ 이 성립함을 알 수 있다.

_{  } 

 



^{ }





^에서

_ 





^{ }





^{․   }

∴ _ 

^ 

따라서 _ 

^   이다.

10. [출제의도] 지수의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. ^․ ^ ^․ ^ ^ (참) ㄴ. ^․ ^{  } ^

^․ ^

 ^

^

  (참) ㄷ. ^ ^ ^{  }에서 ^ ,   log_

^ ^ ^log에서   log_^log log_ ․ log_ (참)

11. [출제의도] 행렬의 연산의 성질을 이해할 수 있는 가를 묻는 문제이다.

ㄱ. ^    ^

^  ^ (참) ㄴ. (반례)  



   ^{ }



^{,  }



^{  }  



^{라 하면}

^^이지만  ≠이다. (거짓)

ㄷ. ^     , 즉       이므로 행렬

는 역행렬을 갖는다.

  의 양변에 ^{ }을 곱하면    (참)

12. [출제의도] 수열을 이용하여 점의 좌표를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 규칙에 따라 점 A_을 정하면

   (    ⋯)일 때, 점 A_은 제사분면 에 있다.

A_    A_    A_    ⋯  A_{  }   

따라서 A_ 이므로     이다.

13. [출제의도] 수열의 성질을 이용하여 부등식을 증명 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

_ _ _ ⋯  _





^{ }





^{ ․  }



^

 





^{ ․  }



^

 





^{ ․ }

 ⋯ 



^  

  





^  ․ _





^{ }

 

 





^{ ․ }





^

 

 

 





^{ ․   ․ }





^

 

 

 





^{ ․   ․   ․   ⋯}





^  

  





^{ ․   ․ } ⋯    ․ _

≧



^{ }

 

 





^{ }



^

 

 

 





 



^

 

 

 





^{ ⋯  }



^  

  





   

 

 

 

 

 ⋯    

  



   

 

 

 ⋯    

  



 



^

 

 

 ⋯  









  



  



(가)



  



  

 (나) 



^  

  





(다) 



^

 

 

 ⋯  





14. [출제의도] 도형의 넓이에 관한 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원 _과 직선 _의 한 교점을 A_, 원 _의 중심을 B_   이라 하면 삼각형 A_O B_은 직각이등변삼각 형이므로 ^O A_ ^

_ 





^

^



^{ }

  

 

  

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같은 방법으로 원 _와 직선 _의 한 교점을 A_, 원 _의 중심을 B_라 하면 삼각형 A_O B_는 직각 이등변삼각형이므로 ^O A_ 

_ 





^





^{ }





^

^



^{ }





^

^



^{ }

  

⋯

_ ^

  

수열 _은 첫째항이 _



  , 공비가 _



인 등비

수열이므로

  



∞

_ 

  





  

   

15. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제 이다.

정삼각형에 칠할 색을 결정하는 경우의 수는

C_ 

나머지 가지 색으로 등변사다리꼴을 칠하는 경우의 수는 C_×   ×  

따라서 구하는 경우의 수는 ×  이다.

16. [출제의도] 확률의 성질을 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. P_ 

 

 

 (참)

ㄴ. 짝수 번을 이동하면 말은 A 또는 D에 도착하게 된다. 말이  번째에 처음으로 D에 도착하려면 처음 번을 이동한 후 A에 있고 그 이후 번을 이동하여 처음으로 D에 도착해야 하므로 P_{  } 

P_ (참)

ㄷ. P_{  }  (     ⋯)이므로

∴



  



P_ P_ P_ P_ P_ P_

_{ }



 

^

 

^

 

^

 

^

 

 (거짓)

17. [출제의도] 정규분포를 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수험생의 점수를 확률변수 라 하면, 는 정규분포 N ^을 따른다.

합격하기 위한 최저 점수를 (점)이라 하면 P ≧   P



^{ ≧ }

 



^{ }

 

P



^{ ≦ ≦ }

 



^{ }



 

 

∴   

18. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이해할 수 있는가를 묻는

문제이다.



 

^

 

^{ } 

 

^



^{ }  





 

^

^

 

^

 

^

 

^

 

^{ } 

 

^



^{} 





 

^

       

∴       

       

∴        따라서   이다.

19. [출제의도] 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

   ^   

^    



^{  }





^{  }

∴ P_



^

  



따라서 _ 

 _  이므로

lim

→∞_

_

lim

→ ∞





  

 

20. [출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 이해하여 각 수열의 항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 _의 공차를 , 수열 _의 공비를 라 하면

_ _이므로      … ㉠

_ _이므로     ^ … ㉡

㉠, ㉡에서 ^     

  ^    

∴    (∵ ≠),    

∴ _ _     ^      

21. [출제의도] 상용로그의 가수를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

log  라 하면     이므로     이다.

log 

  log        

log^ log  

(ⅰ) _{    }



일 때,

   이므로 _{    }





따라서   log  

이므로    ^

∴    (ⅱ) _



≦   일 때,

    이므로 _



≦   



따라서 _



≦ log  

이므로 ^ ≦  ^

∴   

따라서 구하는 모든 자연수 의 값의 합은      이다.

22. [출제의도] 함수의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ)    인 경우

 는 로,   은     중 하나로 대응되므로 경우의 수는 _Π_×_Π_ 

(ⅱ)    인 경우

 는    중 하나로,   은   중 하나로 대응 되므로 경우의 수는 Π

×_Π

 

(ⅲ)    인 경우는 없다.

따라서 구하는 모든 함수의 개수는     이다.

23. [출제의도] 확률변수의 평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

꺼낸 개의 공에 적혀 있는 숫자 중에서 최솟값이  (    )가 되는 경우의 수는 이상의 숫자 중에서

개의 숫자를 뽑는 경우의 수에서 보다 큰 숫자 중에서 개의 숫자를 뽑는 경우의 수를 뺀 것과 같다.

P    

C_

C__C_

 

 



P    

C_

C__C_

 

 



P    

C_

C_

 



따라서 확률변수 의 평균은

 × 

 × 

  × 

 

이다.

∴         

24. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 무한 급수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 ^은       ⋯이므로

  



∞

^

_





^

 ^

 ^

 ⋯



^



^^

 ^

 ^

 ⋯



_{ }

  







 

  







_{ }



 

 



∴         

25. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

삼각형 AOB의 넓이가 이고 ^OB 이므로 점 A의

좌표는 이다.

점 A는 곡선   ^  위의 점이므로 점 A의 좌 표를 라 하면 ^    ∴   log_

이때, 점 Alog_ 은 곡선   ^{ } 

 위의 점이

므로   ^{ log} 

 

 



∴   

26. [출제의도] 이항계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제 이다.

  ^의 전개식에서 , ^, ^의 계수는

C_^, _C_^, _C_^ 즉, ^, ^, ^ 이 순서로 등비수열을 이루므로

^^ ^․ ^

∴ _{  }





27. [출제의도] 확률변수의 평균과 분산을 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다.

 

   에서 _{   }





3

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E     , E^     

이므로

V   E^ E ^ 

   ^ 



∴  ^ 



28. [출제의도] 독립시행의 확률과 이항정리를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

P _C_



^





^



^





^{  }     ⋯ 

  





P   P

P   P P  P  ⋯  P   P

_C_



^





^





^{C}



^





^



^





^{C}



^





^



^





^

 ⋯ _C_



^





^



^





^{C}



^





^

 



^

 





^



^





^



^





^



^





^

29. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해할 수 있는 가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 두 무한급수



  

∞

_,



  

∞

_이 모두 수렴하므로 lim

→ ∞

_ lim

→∞

_ 이다. (거짓)

ㄴ. 두 무한급수



  

∞

 _ _,



  

∞

 _ _이 모두 수렴하므로 lim

→ ∞

 _ _ lim

→ ∞

 _ _  이다.

lim

→ ∞

_ 

lim

→ ∞ _ _  _ _  lim

→ ∞

_lim

→∞ _ _  _ 

따라서 두 수열 ^과 ^은 모두 수렴한다. (참) ㄷ. (반례) _  ^, _  ^{  }이면

_ _ , _ _ 이므로

두 수열 ^ _,  ^ _이 모두 수렴하지 만 수열 _과 _은 수렴하지 않는다. (거짓)

30. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 부분의 넓 이는 그림과 같이 평행사변형 OABC의 넓이와 같다.

  log_    의 그래프는   log_  의 그래 프를 축, 축의 방향으로 각각 ,  만큼 평행이 동시킨 것이다. 원점을 축, 축의 방향으로 각각 ,

 만큼 평행이동시키면   이고, 점   는 직선    위의 점이다.

따라서   log_    의 그래프와 직선    

의 교점 A의 좌표는 A  이다. 이때, 점 C의 좌표는  이므로 ^OC  이고, 평행사변형 OABC 의 넓이는 ×  이다.

수리‘나’형 정답

1 ④ 2 ⑤ 3 ③ 4 ④ 5 ③

6 ① 7 ② 8 ④ 9 ① 10 ⑤

11 ③ 12 ⑤ 13 ② 14 ① 15 ②

16 ③ 17 ② 18  19  20 

21  22  23  24  25 

26 ① 27 ④ 28 ⑤ 29 ③ 30 

해 설

1~3. ‘가’형과 같음.

4. [출제의도] 행렬의 연산을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

^{ }



 ^{  }



이다.  ^{ }에서

    ^{ }

 

^{ } 



 ^{  }





 

^  ^ 따라서   ^{ }



^  ^







 ^{  }

  

^  ^



^{  }  



∴   

5. ‘가’형과 같음.

6. [출제의도] 상용로그의 지표를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

  ^ ^ ^ ⋯이고 집합 의 원소 중에서 상 용로그의 지표가 인 자연수는 두 자리 자연수이다.

따라서 주어진 조건을 만족시키는 원소는 ^, ^, ^ 이므로 ^ ^ ^ 이다.

7~13. ‘가’형과 같음.

14. [출제의도] 역행렬의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

^         … ㉠





^





^{ … ㉡}

㉠, ㉡에서 ^{ }    



∴     

행렬 의 모든 성분의 합은 ×   ×  이다.

15. [출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 이용하여 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

등비수열 _의 첫째항을 , 공비를 라 하면

_ _ _ ⋯  _ _

 log_ log_^ log_^ ⋯  log_^ log_^

 log_^^ log_^ 

∴ ^ ^ … ㉠

_ _ _ ⋯  _ _

 log_  log_^ log_^ ⋯  log_^ log_^

 log_^^ log_^ 

∴ ^ ^ … ㉡

㉠, ㉡에서      

이므로 _ ^{  }이다.

∴ _ ^{  } ^

16. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ.     log(참) ㄴ. (반례)   ,  ^이면 



^





^{ ,}

     이다. (거짓)

ㄷ.     이므로     이다. 따라서

  ^,   ^(, 은 정수)이다. 그런데   ,

  이므로 , 는 모두 정수이다. (참)

17. [출제의도] 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 조건에서 _^^ 이다.

 ^^  ^^     이므로 ^ 이다.

lim

 →∞^

_^_^_ ⋯ _

lim

 → ∞

^

     ⋯  

lim

 →∞^



  

lim

 → ∞^

  

 



18~21. ‘가’형과 같음.

22. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 연립방정식의 해를 판별할 수 있는가를 묻는 문제이다.

연립방정식



^{   }   

  

^

 

^이   ,    이외의

해를 갖기 위해서는 행렬



^{   }   



가 역행렬을 갖지 않아야 한다.

      에서     

, 는 자연수이므로

     

     

, 의 값은 다음 표와 같다.

    

    

따라서 구하는 순서쌍    의 개수는 이다.

23. [출제의도] 로그의 기본성질을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 조건에서 각 변끼리 더하면

^log  log_  log_ 

log_  log_  log_   … ㉠

따라서 log_  , log_  , log_  이므로

  ,   ,    … ㉡

㉠에서 log_^ , log_  

∴    … ㉢

㉡, ㉢에서   ,   ,   이므로      

24. [출제의도] 행렬의 거듭제곱에 대한 성질을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

4

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행렬  



  ^{ }



^{에서   이므로  이다.}

따라서 다음 등식이 성립한다.

  ^^ ⋯ ^

^^^ ⋯ ^

^^^ ⋯ ^

^^^ ⋯ ^

^^^ ⋯ ^

^ ^ ^ ⋯  ^

즉, ^^이 성립하려면    의 값이 의 배수가 되어야 한다.

따라서     의 최댓값은 , 최솟값은 이다.

∴        

25. [출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 ^의 제항을 제(  )행에 나열된 모든 자 연수의 평균이라 하자.

수열 _의 각 항은       … 이므로

_의 계차수열은 첫째 항이 이고 공차가 인 등차 수열을 이룬다.

따라서 _  



  

  

        ^  에서

_ 이므로 제행에 나열된 수들의 평균은 

이다.

26. [출제의도] 귀납적 정의로 주어진 수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

_

 _이라 하면, ^은 공차가 _



인 등차수열이다.

_ 이므로 _   

    

 이다.

따라서 _ _

   

 이므로 _ 



27. [출제의도] 정수로 이루어진 수열의 항을 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.

연속된 네 개의 항이 처음으로    이 되는 때는 다음과 같이 자연수 과 의 각 자릿수를 나 열할 때이다.

    ⋯          ⋯

자연수 이 나타날 때까지 나열된 자릿수의 개수는 한 자리 수의 자릿수 : (개)

두 자리 수의 자릿수 :  ×  (개) 세 자리 수의 자릿수 :  ×  (개) 네 자리 수의 자릿수 :  ×  (개) 이를 모두 더하면         이다.

따라서 의 최솟값은     이다.

28. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 무한수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

^

 

^{ } 

 

^{ } 

 

^ ^{ }

^

 

^ ^{ }

 

^{ } 

 

^ ^{ }

…

이므로 ^



^ ^{ }



임을 알 수 있다.

∴ ^{ }^ 

 

^{ } 



^ ^{ }

 

^{  } 







^^{  ․ }^{ ․  }



∴ lim

 → ∞_ _

_ _

lim

 → ∞^ ^

 ․ ^ ․ ^

^lim

 → ∞



^





^{ }

 ․



^





^

 

29. [출제의도] 무한수열의 극한에 관한 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. lim

→∞

_lim

 →∞

_․ _

_

  (참)

ㄴ. (반례) _  , _ 이면   이지만 lim

 →∞

_ _  이다. (거짓)

ㄷ. _

_

_

 _으로 놓으면 _ __

∴ lim

→∞_

_

lim

→ ∞__

_

lim

→∞_

 

 (참)

30. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 추론하여 삼각형의 넓이의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

P_P_{  } _이라 하면 규칙 (다)에서

_   

  

_{  } ⋯ ㉠

㉠의 대신    ⋯  을 차례로 대입하면

_ 

_, _ 

_, _ 

_, ⋯ , _   

  

_{  }

위의 식을 각 변끼리 곱하여 약분하면

_ _× 

× 

× 

× ⋯ × 

  

×   

  

   



따라서 _ 

_   

 이므로

  





_



  





^

  





^{ }



∴    