The Comparative Study on Teaching of Multiplication Tables in South Korea, China, Japan, Singapore

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(1)한국초등수학교육학회지 20 (3) 407-430. 2016. 08. 31. Journal of Elementary Mathematics Education in Korea 20 (3) 407-430. August 31. 2016.. 한국‧중국‧일본‧싱가포르 수학교과서의 곱셈구구 지도내용 비교 연구. 김현1) ․ 조영미2) ․ 정연준3). 본 논문에서는 한국, 중국, 일본, 싱가포르 등 4개국 수학 교과서의 곱셈구구 지도 내용을 비교하였다. 이를 위해 곱셈구구 지도시기와 지도순서, 곱셈구구의 주요 요 소의 지도 내용을 중심으로 나라별 교과서를 분석하였다. 비교 분석 결과를 바탕으 로 추후 우리나라 수학 교과서를 개발할 때 숙고해야 할 쟁점들을 도출하였다. 곱 셈구구 지도 단원의 수, 구구단의 범위와 단과 단 사이의 연속성과 비약, 곱셈 모 델의 다양성과 일관성 확보, 0단과 1단의 지도, 곱셈의 원리 이해와 암기의 조화 등이 쟁점으로 도출되었다. 주제어: 곱셈구구, 한국, 중국, 일본, 싱가포르, 초등학교 수학교과서. Ⅰ. 서. 론. 곱셈구구는 한 자리수 사이의 곱셈을 한데 묶어놓은 것이다. 곱셈구구는 복잡한 곱셈을 효율적으로 처리하거나 나눗셈 문제를 해결하는 주요 도구이다. 곱셈구구는 거의 대부분 의 계산에서 기본이 되기 때문에 학생들은 이에 숙달해야 한다. 곱셈구구는 단순하다.  ×    라는 형태로 그 원리는  개씩  묶음의 개수이다. 그런데 곱셈구구는 복잡하기도 하다. 2단부터 9단까지 등장하는 구구의 수는 72개이다. 외운다는 입장에서 보면 72개의 구구는 만만치 않다. 그리고 10살이 채 안 된 어린 아이들에게 가 르쳐야 한다는 점을 생각해 보면, 곱셈구구 지도 내용을 교과서에 구성한다는 것은 섬세 한 작업일 수밖에 없다. 그동안 초등학교 수학교과서 저자들은 아이들이 곱셈구구를, 원리 를 이해하면서, 지루하지 않게, 효율적으로 배우고 암기할 수 있도록 각종 장치들을 고안 해 왔다. 해방 이후 4차 교육과정에 이르기까지 우리나라 곱셈구구 지도는 교육과정 개정 시기마 다 여러 변화가 있었다. 곱셈구구의 지도 시기, 구구단별 지도 순서 등 곱셈구구 지도의 흐름이 바뀌곤 하였다. 그에 대해 5차 교육과정 이후 최근까지 구조적 변화는 크게 없이 작은 조정만이 있어 왔다. 이는 오늘날 우리나라에서 곱셈구구 지도가 상당히 안정되어 1) 천안삼거리초등학교(제1저자) 2) 공주교육대학교(교신저자) 3) 한국교육과정평가원.

(2) 김. 408. 현 ·. 조. 영 미. ·. 정 연. 준. 있는 것으로 해석될 수 있다. 그런데 지금의 안정성이 현재의 지도 내용에 개선의 여지가 없음을 뜻하는 것은 아닐 것이다. 새로운 방향에서 현재의 지도 내용을 점검하고 더 나은 교육을 위한 도전은 항상 필요하다. 본 연구에서는 교과서 국제비교연구를 통해서 곱셈구구 지도의 개선을 위해 논의가 필 요한 쟁점 사항을 추출하였다. 한국, 중국, 일본, 싱가포르는 같은 동양권 나라들로 국제수 학성취도평가에서 우수한 성적을 내고 있다. 이 나라들의 수학교과서에 나타난 곱셈구구 지도내용을 비교 분석하여 지도 시기, 구구단별 지도순서, 지도 내용 등과 관련하여 향후 교육과정과 교과서 개발에서 쟁점으로 삼고 사전에 숙고되어야 할 내용들을 추출하고자 하였다.. Ⅱ. 곱셈구구 지도내용 분석 틀 김상근(2008)은 제1차 교육과정에서 제7차 교육과정을 대상으로 하여 곱셈의 기초부터 곱셈구구까지의 곱셈 지도 내용을 분석하였다. 그는 ‘곱셈의 기초’와 관련해서는 묶어 세기, 곱의 정의, 곱셈식 읽기를 주요 분석 대상으로, ‘곱셈구구’와 관련해서는 구구단 별 소재, 곱셈표 만들기, 곱셈활용, 곱셈의 성질, 0과 1단의 지도 등을 주요 분석 내용으로 추출하였다. 이와 함께, 곱셈구구 지도 시기, 구구단별 순서도 주요 분석 내용으로 보았다.. <표 1> 우리나라 곱셈구구 학년별 지도 시기 및 지도 순서 시기 학기. 1차. 2차. 곱셈구구. 2-1. 2-2. 3차. (5까지) 2,3,5. 곱셈구구. 곱셈구구. 곱셈. (2,4,5). 곱셈표. 4차. 5차. 6차. 곱셈구구. 곱셈구구. 곱셈표. 곱셈표. 곱셈활용. 곱셈활용. 7차. 곱셈구구. 곱셈구구. 곱셈구구 교환법칙 곱셈표 곱셈활용. 3,6,7, 3-1. 곱셈구구 곱셈표. 8,9,1,0 곱집합 곱셈구구 (1)(2). 김상근의 이 분석틀 중 이 연구에서는 ‘곱셈의 기초’에 해당하는 것은 사용하지 않았 다. 묶어 세기, 곱의 정의 등 ‘곱셈의 기초’도 곱셈구구 지도와 밀접한 관련이 있는 학 습내용이긴 하다. 하지만 이 연구에서는 2단부터 9단까지의 기본 구구, 거기에 추가하여 1 단, 0단, 10단에만 주목하고자 하였기 때문이다. 따라서 김상근 연구 틀의 일부(<표1>)를 빌어 교과서 구성 체제, 곱셈구구 지도 계열, 2단부터 9단까지의 기본 구구와 0의 곱, 1단 의 지도 방식, 곱셈의 교환법칙을 중심으로 네 나라의 곱셈구구 지도 내용을 분석하였다..

(3) 한국‧중국‧일본‧싱가포르 수학교과서의 곱셈구구 지도내용 비교 연구. 409. 한편 곱셈구구 지도에 사용하는 소재 분석을 위해 정영옥(2013)의 연구를 참조하였다. 김상근도 구구단별 소재를 분석 항목으로 삼았다. 그는‘구체물→반구체물→곱셈식’이라 는 추상화 과정이 구구단별로 어떻게 반영되어 있는지를 분석하였다. 이는 부르너의 EIS이 론에서 아이디어를 따온 것으로 보인다. 이에 대해 정영옥(2012)의 연구에서는 ‘소재’를 곱셈 모델의 성격에 따라 구분하였다. 즉, 그는 곱셈 지도 모델을 묶음 모델, 직선 모델, 배열 모델로 분류하였다. 여러 나라의 교과서를 비교해 본 결과, 나라에 따라 사용하는 모 델이 다름을 알 수 있었고 이를 분석하는 유의미한 틀로는 묶음 모델, 직선 모델, 배열 모 델의 분류가 더 적절할 것으로 여겨졌다. 그래서 이러한 모델 유형 분류를 통하여 국가별 곱셈구구 지도의 특징을 분석하였다. 참고로, 묶음 모델은 여러 사물을 몇 씩 몇 묶음으로 만드는 것이다. 이런 모델로는 산 가지, 바둑돌, 수모형 등 다양하며, 몇 묶음, 몇 상자, 몇 봉지 등 다양한 형태로 제시될 수 있다. 둘째, 직선 모델은 반직선 형태를 일정한 간격으로 나누어 일정한 호 등을 그려 서 곱셈을 나타내는 모델이다. 이런 모델은 띠, 수직선, 이중 수직선 등 다양한 형태로 제 시될 수 있고 길이가 4인 막대 세 개의 전체 길이, 4만큼씩 점프할 때 간 거리 등 다양한 상황으로 제시될 수 있다. 셋째, 배열 모델은 여러 사물을 가로 방향과 세로 방향으로 일 정하게 배열하여 전체적으로 직사각형 모양을 이루도록 한 것이다. 이런 모델은 물건이 m×n의 형태로 배열된 상황이나 직사각형의 격자 모양, 가로줄과 세로줄이 만나는 점들의 배열 등 다양하게 제시될 수 있다4).. <표 2> 곱셈 개념 지도를 위한 모델. 묶음모델. 직선모델. 배열모델. 지금까지의 내용을 정리하여 이 연구의 분석틀을 제시하면 다음과 같다.. <표 3> 곱셈구구 비교 분석을 위한 틀 분석 범주 학년별 교과서 구성 곱셈구구 지도 계열 구구별 차시 구성 방식 곱셈 지도 모델 곱셈의 교환법칙 곱셈구구 외우기. 하위 요소 곱셈구구 도입 학년, 단원의 개수, 교과서상 분량 2단~9단, 1단, 10단, 0의 곱의 도입 및 순서 각 구구 제시의 기본 패턴, 반복과 변화의 내용 묶음 모델, 직선 모델, 배열 모델의 사용 빈도와 경향성 교환법칙 지도 여부와 방식 외우기 지도 여부와 방식. 4) 이밖에 조합모델도 제시하였지만, 조합 모델을 사용하는 나라는 없었다. 따라서 이 논문에서는 사 용하지 않았다..

(4) 김. 410. 현 ·. 조. 영 미. ·. 정 연. 준. 나라별 교과서 분석을 위해 우리나라 교과서로는 ‘초등학교 1-2학년군 수학 4’(교육 과학기술부, 2013), 중국교과서로는 ‘9년 의무교육 6년제 초등학교 교과서 수학3’(인민교 육출판사 초등학교 수학실, 2003), 일본교과서로는. ‘新しぃ算數 2-下’, ‘新しぃ算數 3-. 上’(橋本{吉彦, 2005), 싱가포르 교과서로는 I‘n Step Maths Text Book 2A, 2B’(Shirley T., Kang M. T., Varsha P., Chan M. L., Karen Q., 2007))와 ‘In Step Maths Text Book 3A’(Varsha P., Karen Q, 2007)을 사용하였다.. Ⅲ. 수학교과서에 나타난 곱셈구구 지도 비교 및 분석 1. 학년별 교과서 구성 한국, 중국, 일본, 싱가포르는 모두 곱셈구구를 2학년부터 다룬다. 중국과 싱가포르는 2-1학기에, 우리나라와 일본은 2-2학기에 시작한다. 일본과 싱가포르는 두 개 학년, 즉 2 학년과 3학년에서 곱셈구구를 나누어 다룬다는 점에서 공통된다. 곱셈구구를 다루는 단원 의 개수에서, 일본과 싱가포르는 3개 단원, 중국은 2개 단원, 우리나라는 1개 단원이다.. <표 4> 나라별 곱셈구구 도입 시기 및 단원 한국. 중국. 일본 3단원. 2-2학기. 2단원. 2-1학기 6단원. 2-2학기 3-1학기. 싱가포르 10단원. 2-1학기. 7단원. 11단원. 2-2학기. 9단원. 1단원. 3-1학기. 3단원. 네 나라 중에서 곱셈구구를 가장 이른 시기에 집중 다루는 나라는 중국이다. 그 다음으 로 우리나라라고 볼 수 있다. 우리나라는 곱셈구구를 한 학년, 한 단원에서 집중 제시한 다. 우리나라도 4차 교육과정까지는 2, 3학년에 걸쳐 곱셈구구를 가르쳤다. 1990년대 이후 지금의 모습이 되었다. 곱셈구구를 긴 시간 늘여서 가르치는 나라는 싱가포르이며, 일본은 싱가포르와 중국(또는 우리나라) 중간 정도라고 볼 수 있다. 각 단원별로 어떤 내용에 분량이 얼마나 할당되어 있는지를 살펴보았다. 나라마다 교과 서 크기나 편집이 다르기 때문에 교과서 분량으로 비교하는 것은 무리가 있지만 어떤 경 향성은 짐작해 볼 수 있었다. ‘구구 지도’(빗금친 부분)에 한정해 볼 때, 우리나라는 한 단원에서 26쪽, 일본은 세 단원에 걸쳐 29쪽, 싱가포르는 세 단원에 걸쳐 28쪽, 중국은 두 단원에 걸쳐 17쪽 분량이다. 중국은 교과서에 내용을 상당히 압축하여 제시한다는 점을 감안해야 한다. 따라서 나라에 따라 전체 분량은 크게 차이 나지 않는다. 유사한 분량의 내용을 여러 학년에 펼쳐 놓느냐, 한 개 학년에 집중 배치해 놓느냐의 차이가 있다..

(5) 한국‧중국‧일본‧싱가포르 수학교과서의 곱셈구구 지도내용 비교 연구. ※숫자는 쪽 수임. <표 5> 나라별 곱셈구구 지도 단원의 구성 한. 2-1. 국. 2단원. 중 국. 단원. 구구. 공부를. 문제. 놀이. 이야기. 체험. 도입. 지도. 잘했... 해결. 마당. 마당. 마당. 6. 26. 2. 2. 2. 2. 42. 2-1. 구구지도. 연습문제. 응용문제. 정리와 복습. 합계. 3단원. (4). 5. 8. 2. 2. 17(21). 2-1. 구구지도. 연습문제. 응용문제. 정리와 복습. 합계5). 6단원. 12. 10.5. 3.5. 1. 27. 10단원. 단원. 곱셈. 구구. 힘을. 확인해. 구구. 구구. 도입. 기초. 지도. 기르자. 보자. 연습. 빙고. 3. (6). 10. 1. 1. 1. 1. 일. 2-2. 구구지도. 챌린지. 문제. 본. 11단원. 10. 1. 2. 3-1. 구구지도. 1단원 2-1 7단원. 가. 2-2. 포. 9단원. 르. 2. 합계. 곱셈의 기초. 2-2. 싱. 411. 3-1 4단원. 9 표지. 구구. Up. 지도. 1 표지. 1. 10. Warm-. 구구. Up. 지도. 1 표지. 1. 9. Warm-. 구구. Up. 지도. 1. 9(13). 1. 확인해보자. 합계. 1. 1. 15. 써보자. 1 Warm-. 기억하고 있을까. 합계. 1. 12. 1 문장제 2 문장제 5 문장제 4. 17(23). 힘을 기르자. 학습감상을. 확인해보자. 합계. Brain. Fun. Wrap. Power. Time. Up. 1. 2. 1. Brain. Fun. Wrap. Power. Time. Up. 1/2. 1/2. 1. Brain. Fun. Wrap. Power. Time. Up. 1. 1. 1. 합계 18 합계 18 합계 18(22). 2. 곱셈구구 지도 계열 곱셈구구의 기본은 2단부터 9단까지이다. 여기에 1단, 10단, 0의 곱이 추가된다. 즉, 곱 셈구구단은 모두 11개이다. 나라별로 이 11개 구구 중에서 무엇이 다루어지는지, 그 지도 계열은 어떠한지를 살펴보았다. 먼저 네 나라 모두 2단부터 9단까지 다룬다. 둘째, 1단과 0의 곱을 별도의 단으로 독립 하여 다루는 면에서 한국과 일본이 공통된다. 싱가포르는 1단을 독립된 단원으로 다루지 않는다. 중국은 1단, 0의 곱을 독립된 단원으로 다루지 않고 다른 곱셈구구를 다루는 과정 에서 잠깐 다루어진다. 셋째, 5단을 보면, 우리나라는 2단 다음에 5단을 다루고, 중국과 싱 가포르는 2, 3, 4, 5 순서대로 도입하고, 일본은 5단을 가장 먼저 다룬다. 넷째, 싱가포르는 네 개 나라 중 유일하게 10단을 다루고 10단을 5단과 6단 사이에 둔다. 다섯째, 각 단에서 구구를 다룰 때 우리나라, 일본, 중국은  ×    에서    , …, 9까지인데 반해, 싱가포 르는  ×    에서    , …, 10까지 다루고 있다.. 5) 연습문제와 응용문제는 1/2만 포함.

(6) 김. 412. 현 ·. 조. 영 미. ·. 정 연. 준. <표 6> 나라별 구구단 도입 순서 한국. 중국. 일본. 싱가포르. 2→5→3→4. 2→3→4→5. 5→2→3→4. 2→3→4→5. →6→7→8→9→1→0. →6→7→8→9. →6→7→8→9→1→0. →10→6→7→8→9. 3. 각 구구별 차시 구성의 방식 곱셈구구에서는 기본 패턴 □×◌=◇이 매 구구마다 반복된다. 그러면서 각 단별 지도 방식은 달라진다. 나라별로 구구단이 진행됨에 따라 반복되는 내용이 있고 변화되는 내용 이 있다. 그 차이들을 살펴보았다. 가. 한국 우리나라는 2, 5, 3, 4, 6, 7, 8, 9단 순서로 다룬다. 곱셈구구 차시의 기본 패턴은 ‘몇 개씩 몇 묶음의 상황(이야기) 제시’ → ‘몇 개씩 몇 묶음을 곱셈구구로 표현하기’ → ‘곱셈구구 계산하는 방법을 여러 가지로 알아보기’ → ‘해당 구구단 완성하기’이다.. [그림 1] 우리나라 수학4, 44쪽. [그림 2] 우리나라 수학4, 45쪽. 위와 같은 패턴이 5단, 3단까지 이어진다. 우리나라 곱셈구구 차시의 특징은 <활동2>에 서와 같이‘계산하는 방법’을 다양하게 찾아보는 활동이 매번 있다는 점이다. 이는 곱셈 구구의 원리에 대한 이해와 연결된다. 나중에 언급되겠지만, 우리나라 교과서에서는 ‘암 기’에 대한 언급이 없다. 우리나라는 곱셈 구구를 암기가 아니라 원리 이해의 대상으로 보는 경향이 강하다6). 1단은 우리나라와 일본에서만 다룬다. 우리나라는 이미 2단에서 2×1=2, 3단에서 3×1=3, …, 9단에서 9×1=9를 다루었다. 따라서 [그림3]과 같이 1단으로 다루게 되는 내용 은 1×a=a（a=1, …9)이다. <생각열기>에서 기념품 가게를 둘러보고 1개의 물건이 1상자에 6) 4단부터 9단까지 구성도 위와 거의 같다. 다만 <활동1>에서 액자 2, 5개에 전시된 나비의 수를 묻 고 4×□=□의 빈칸을 채우게 하는 것과 같이 학생이 직접 곱셈식을 찾는다는 점에서 달라졌다..

(7) 한국‧중국‧일본‧싱가포르 수학교과서의 곱셈구구 지도내용 비교 연구. 413. 담겨 있는 기념품의 수를 알아보는 방법을 이야기 하도록 한다. <활동1>에서는 꿀벌 모양 의 책갈피 1개가 1상자에 들어있을 때 상자 3, 7개에 들어있는 책갈피의 개수를 묻고 1× □=□의 빈칸을 채우도록 한다. 이 구성의 기본 아이디어는 이전의 2단부터 9단까지의 지도와 일관된다. 즉,  ×  를  개씩  묶음으로 접근하였듯이  ×  를 1개씩  묶음으로 접 근하였다. 이어서 1단 곱셈구구표를 채우도록 한다. <활동2>에서는 2×1=□부터 9×1=□까 지 빈칸을 채우도록 하였다. 이미 배운 2단부터 9단까지의 곱셈구구를 통해 a×1=a（a=1, …9)임을 알고 있고 이를 종합하여 다루는 것이다.. [그림 3] 우리나라 수학4, 60-61쪽 0의 곱을 다루는 나라는 우리나라와 일본이다. [그림4]를 보면, 우리나라에서는 0단이라 고 하지 않고 ‘0과 어떤 수의 곱’이라고 한다. 0과 어떤 수의 곱에는 0×a=0과 a×0=0 이 있다. 우리나라는 0×a를 먼저 다룬다. 0이 a번(개)라는 표현이, 앞서 배운 ‘몇 개씩 몇 묶음’이라는 설명 원리와 일관되기 때문이다. 이에 대해 a×0을 ‘a가 0번’으로 해 석할 경우, 그 해석이 일상적으로 사용되는 표현은 아니다. 그만큼 학생들에게 심리적 거 리감이 있을 수 있다. 그래서 나중에 다루어지는 것이다.. [그림 4] 우리나라 수학4, 62-63쪽.

(8) 김. 414. 현 ·. 조. 영 미. ·. 정 연. 준. 0×a를 먼저, a×0을 나중에 다룬다. 그러면서 등장하는 상황은 점수가 적혀 있는 공을 꺼내는 것이다. 이전까지 다루어진‘몇 개씩 몇 묶음’의 상황과 완전히 다르다. 이전과는 다른 구조를 지닌 상황이 제시되었기 때문에 초등학생들에게는 무척 낯설게 다가갈 수 있 다. 하지만 0×a, a×0을 ‘몇 개씩 몇 묶음’으로 접근하는 상황이 어색하기 때문에 위 상황은 불가피한 선택으로 볼 수 있다. 나. 중국 2-1학기 3단원에서 곱셈구구의 2, 3, 4, 5, 6단을, 6단원에서 7, 8, 9단을 다룬다. 곱셈구 구 각 단에서, 예컨대 2단이면 2×1=2에서 2×9=18까지 모두 다루는 것이 아니라 2×1=2, 2×2=4까지만 제시한다. 2×3=6은 3단에서, 2×4=8은 4단에서 다룬다. 즉 2×b=c에서 b가 2를 초과할 경우는 2단에서 다루지 않는다. 대신 b단에서 b×2=c로 다루어진다. 이는 중국 만의 독특한 장면이다. 중국 교과서가 효율성을 강조함을 잘 드러내는 사례로 보인다. 2, 3, 4단은 6개의 활동으로 구성되었다. 1번 활동인 2단에서는 2개씩 2묶음의 막대가 나온다. 동수누가 상황과 함께 곱셈구구는 2×1=2, 2×2=4까지 독음(讀音)과 함께 제시하였 다. 2번 활동인 3단과 3번 활동인 4단도 마찬가지 방식이다. 4번 활동에서는 2행 4열로 나 열된 동그라미 조각들을 보고 4×□=8, □×4=8을 채우고 구구단 독음을 빈칸에 넣는다.. [그림 5] 수학3, 21쪽 2. 2~6의 구구단 - 2, 3, 4의 구구단 ① 2 2*1=2 2+2=4 2*2=4 ② 3 3*1=3 3+3=6 3*2=6 3+3+3=9 3*3=9 ③ 4 4*1=4 4+4=8 4*2=8 4+4+4=12 4*3=12 4+4+4+4=16 4*4=16. [그림 6] 수학3, 22쪽. 2 1은 2 2 2는 4 3 1은 3 3 2는 6 3 3은 9 4 1은 4 4 2는 8 4 3은 12 4 4는 16. 선생님:1 곱하기 1은 뭘까요? 1 × 1 = __ 1 1은 ( ) 곱셈을 사용하면 계산도 정확하고 빠르게 할 수 있으니까, 반드시 구구단을 외우도록 하자. 1. 3 × 2는 ( ). 구구단으로: . 4 × 3은 ( ). 구구단으로: . 2. 2개씩 3번 더한 것은 ( )이고, 1개씩 3번을 더한 것은 ( )이다. 3개씩 4번 더한 것은 ( )이고, 1개씩 4번을 더한 것은 ( )이다. ④ 배열해 봐요. 4 ×__ = 8 2 ×__ = 8 구구단: ( ) ( )는 ( )..

(9) 한국‧중국‧일본‧싱가포르 수학교과서의 곱셈구구 지도내용 비교 연구. 415. 5단부터 9단까지는 위와 조금 다르게 제시한다. 6단을 예로 들면, 준비문제에서는 6개 칸으로 된 가로막대에 첫째 칸이 6으로 채워져 있고, 6씩 더하여 나머지 빈칸을 채우는 활동을 한다. 10번 활동은 다리가 6개인 곤충이 6마리 그려져 있고 6×1=6, 6×2=12, 6× □=□, 6×□=□, 6×□=□, 6×□=□까지 독음과 함께 제시하였다.. [그림 7] 수학3, 27쪽. <6단의 구구단> 준비 문제 매 번 6을 더하세요. 얻어지는 수를 빈칸에 적어보세요. ⑩ 6*1=6 6 1은 6 6*2=12 6 2는 12 6*__=___ 6 3은 ( ) 6*__=___ 6 4는 ( ) 6*__=___ 6 5는 ( ) 6*__=___ 6 6은 ( ) 1. 막대기 6개를 사용해서 6각형 1개를 만드세요. 6각형 2개를 만들려면 나무막대기 몇 개가 필요하나요? 6개는? (말로 답해보세요).. 한편 p단을 다룰 때 모든 구구 p×r(r=1, …9)을 다루지 않고, r=1,…p까지 다루며 이는 중국만의 특징이라고 하였다. 이에 따라 중국 교과서에 추가적으로 나타나는 색다른 내용 이 있다. 예컨대 7단을 지도할 때 2번 활동은, 7×4=28을 알려주고 4×7=□을 어떤 구구단 으로 구할지를 생각해보게 한다. 8단 역시 2번 활동은 6×8=□를 제시하고 어떤 구구단을 이용할 수 있는지 생각해보는 활동으로 구성되었다. 중국 교과서의 입장에서 볼 때, 1단을 이루는, 예컨대 1×2=2와 같은 경우 2×1=2에서 이미 다루었기 때문에 1×2=2를 또 다룰 필요가 없다. 그래서 1단에서 다루지 않은 곱은 오직 1×1=1뿐이다. 그래서 1단 전체가 제시되지 않고 1×1=1 내용만이 간단하게 다음과 같이 제시되었다.. [그림 8] 수학3, 22쪽. 여자:1 곱하기 1은 뭘까요? 1 * 1 = __ 1 1은 ( ) 곱셈을 사용하면 계산도 정확하고 빠르게 할 수 있으니까, 반드시 구구단을 외우도록 하자.. 다. 일본 일본은 2-2학기와 3-1학기인 두 개 학년에 걸쳐 곱셈구구를 다룬다. 2-2학기 10단원에 서 5, 2, 3 4단을, 11단원에서 6, 7, 8, 9, 1단을 다루기 때문에 곱셈구구의 기본은 2-2학기 에 모두 다루어지는 것이다. 3-1학기 1단원에서는 0의 곱셈, 곱셈구구 안의 규칙, 10단의 일부, 12단으로의 확장 등을 다룬다..

(10) 김. 416. 현 ·. 조. 영 미. ·. [그림 9] 수학2-하, 11쪽. 정 연. 준. [그림 10] 수학2-하, 12쪽. ❷ 5단, 2단의 구구. 5×4의 답은 「오사20」, 5×5의 답은 「오 5단의 구구 오 25」라고 외워두면 편리합니다. 1. 1대에 5명씩 타고 있는 자동차가 4대 이런 식의 좋은 방법을 구구라고 합니다. 있습니다. 자동차에 타고 있는 사람은 모두  5단 구구를 외워보세요. 몇 명입니까? ★1. 5단 구구를 다시 보시오. ★ 1. 5명의 2대분 사람 수는 몇 입니까? (5단 구구의 답은 얼마씩 증가하고(늘어나 3대분, 4대분의 사람 수도 알아보시오. 고) 있을까?) 22쪽 구구의 연습을 해보자. ★ 2. 5명의 5대분 사람 수는, 몇 입니까? ① 토마토가 5개씩 있는 접시가 6접시 있 ★ 3. 5명의 6대분, 7대분, 8대분, 9대분의 습니다. 토마토는 전부 몇 개 있습니까? 사람 수는, 각각 몇 명입니까?(74쪽에 세어 ② 5단 구구를, 답이 큰 쪽부터 말하시오. 보세요.). ⇒. 2-2학기 10단원에서는 양쪽에 걸쳐 놀이동산 삽화가 있고, 이를 소재로 5, 2, 3, 4단을 지도한다. 가장 먼저 다루는 5단은 크게 두 활동으로 구성되어 있다. 1번 활동은 5단을 5×1=5부터 5×9=45까지 동수누가 개념을 바탕으로 이해하는 것이며, 2번 활동은 5단 외 우기와 적용이다. 이어지는 2단과 3단은 5단과 유사하다. 달라지는 것은, 3단에서는 새로 운 용어가 도입된다. ‘3×9의 식에서 3을 곱해지는 수라 하고, 9를 곱하는 수’라고 설명 한다. 4단은 3단과 유사하다. 그러면서 새롭게 첨가된 내용이, 4×3의 곱하는 수가 1 증가 하면 답은 얼마 증가하는지 묻는 질문이다. 4×3의 결과와 4×4의 결과를 그림으로 비교 하고 곱하는 수가 1증가함에 따라 계산결과의 차이가 얼마인지 확인하도록 한다([그림 11]). 이와 같이 2-2학기 10단원에서는 각 단별 원리 이해와 외우기 활동 두 가지가 기본 이다. 그러면서 5, 2, 3, 4단으로 순서가 진행되면서 새로운 내용이 점진적으로 첨가되는 꼴이다.. ★1. 4×3의 곱하는 수가 1증가하면, 답은 얼마 증가합니까? 1うえる (1증가). [그림 11] 수학2-하, 17쪽.

(11) 한국‧중국‧일본‧싱가포르 수학교과서의 곱셈구구 지도내용 비교 연구. 417. 2-2학기 11단원에서 다루어지는 6단에서는 새로운 방식이 제시된다([그림 12], [그림13]). 먼저 6단을 만드는 방법이 두 가지로 제시된다. 마미(학생)는 동수누가를, 마고토(학생)는 곱하는 수가 1 증가함에 따라 이전보다 6만큼 증가한다는 아이디어를 사용한다. 다음으로 6×1=□에서 6×9=□까지 빈칸을 채우고 9×9 곱셈구구단표에 6단을 쓰도록 한다. 두 번 째 활동에서는 6단을 외우는 활동이 제시된다. 또한 6×4와 4×6의 답이 같음을 설명한다. 추가되어 있는 ‘박식코너’에서는 ‘6×3의 답’을 구하는 방법을 새 방식으로 다룬다. 6×3의 답은 4×3의 답과 2×3의 답을 더한 수가 됨을 설명하며 그림으로도 제시한다. 이 는 분배법칙과 관련되어 있으며 장차 복잡한 곱셈식 계산을 다룰 때 사용하게 된다. 7단 은 6단과 같은 방식이다.. [그림 12] 수학2-하, 25쪽. • 곱셈(2) 11. 구구를 만들자. ❶ 6단, 7단 구구. 6단 구구  6단 구구를, 증가시켜 만들어보자. 마미의 생각 마코토의 생각 うえる(증가) ★1. 23쪽의 표에, 6단 구구 답을 쓰시오.. [그림 13] 수학2-하, 26쪽  6단의 구구를 외워보시오.. ★1. 6단의 구구를 다시 보시오. 유우타의 생각 6×4의 답은 4×6의 답과 같다. 22쪽 구구의 연습을 해보자. ① 1통에 6개씩 치즈가 3통 있습니다. (1) 치즈는 전부 몇 개 있습니까? (2) 1통이 늘면 치즈는 얼마 늘어납니까? 박식코너) 6×3의 답 6×3의 답의 답은 4×3의 답과 2×3의 답을 더한 수가 됩니다.. ←. [그림 14]과 [그림 15]를 보면 8단과 9단에서는 첫 번째 활동에서 곧장 8단과 9단 구구 를 만들도록 한다. 이전에 충분히 곱셈구구의 규칙을 배웠기 때문에 학생들이 스스로 할 수 있는 부분을 최대한 늘린 것으로 보인다. 8단에서는 8행 9열로 배열된 모형이 제시되 었고 8×1=□에서 8×9=□까지 빈칸을 채우도록 하였다. 9단에서는 9행 9열로 배열된 모 형이 제시되었고 9×1=□에서 9×9=□까지 빈칸을 채우도록 하였다. 두 번째 활동에서는 8, 9단을 독음과 함께 표로 제시하고 외우도록 한다..

(12) 418. 김. 현 ·. 조. 영 미. ·. [그림 14] 수학2-하, 29쪽. ❷ 8단, 9단, 1단의 구구. 8단, 9단 구구  8단, 9단 구구를 만들어보시오. ★1. 23쪽 표에 8단, 9단의 구구 답을 쓰시오.. 정 연. 준. [그림 15] 수학2-하, 30쪽  8단, 9단 구구를 외워보시오.. ★1. 8단, 9단의 구구를 다시 보시오. 22쪽 구구 연습을 하시오. ① 9장씩 6명에게 나누어주었습니다. 전부 몇 장 있었습니까? ② 긴 의자가 6개 있습니다. 1개에 8명씩 앉았습니다. 모두 몇 명 앉았습니까?. ⇐. 2학년에서 마지막으로 1단 구구가 제시된다. 이쑤시개 3개와 도토리 1개로 장식품 하나 를 만들 수 있을 때 6개의 장식품을 만드는데 필요한 이쑤시개와 도토리의 개수를 구하는 상황이다. 사실 1단 구구이기 때문에, 이쑤시개 3개 없이, 도토리 1개로 장식품 하나를 만 드는 상황을 설정할 수 있다. 그런데 1개씩 n묶음이라는 말이 어색하기 때문에, 일부러 이 쑤시개 3개의 상황을 덧붙인 것으로 보인다. 다시 말해 이쑤시개 3개씩 2묶음이면 3×2로 표현된다는 익숙한 상황에 기대어, 도토리 1개씩 2묶음이면 1×2로 표현될 수 있다는 것 을 조금은 자연스럽게 유도하려는 장치인 것이다..

(13) 한국‧중국‧일본‧싱가포르 수학교과서의 곱셈구구 지도내용 비교 연구. 419. 1단 구구  이쑤시개를 3개, 도토리를 1개 사용하여, 오른쪽과 같이 장식품을 6개 만들었습니다. 이쑤시개와 도토리는 각각 얼마만큼 이었습니까? ★1. 식을 쓰고 답을 구하시오. ★2. 1단 구구를 만들고, 23쪽의 표에 답을 쓰시오.  1단 구구를 외워보시오.. ★3. 1단 구구를 다시 보시오. 22쪽 구구 연습을 하시오.. ⇐ [그림 16] 수학 2-하, 31쪽. 3-1학기에 곱셈구구를 다시 배우는데 0의 곱을 먼저 다룬다. 0의 곱을 2-2학기에 다루 지 않고 3-1학기에 다루는 것이다. 0의 곱을 어떤 수와 0의 곱으로 다룬다. 0의 곱을 다루 는데 유리구슬을 넣는 게임에서 똑같은 점수를 얻은 2명의 학생의 득점 구성을 살펴보도 록 한다. 유리구슬을 3점, 2점, 1점, 0점에 몇 개씩 넣었는지를 조사하고 득점을 구한다. 치히로의 득점을 구하기 위하여 ‘넣은 곳의 점수 × 넣은 수 = 득점’ 임을 제시하고 3 점은 3×□=□, 1점은 1×□=□, 2점은 2×□=□, 0점은 0×□=□의 빈칸을 채우도록 한다. 2×0=0, 0×6=0처럼 0의 경우에도 곱셈식을 쓰고 있음을 설명하고 ‘어떤 수에 0을 곱해 도 답이 영이 되고, 0에 어떤 수를 곱해도 답이 0이 된다.’고 정리하고 있다. 0의 곱을 3학년으로 배치한 것은 아이들의 학습 능력을 고려한 것으로 보인다.  ×  이 나  ×  을 ‘몇 개씩 몇 묶음’의 아이디어로 설명하게 되면  개씩 0묶음,  개씩  묶음 이 되어 상당히 어색하다. 이전의 기본 구구단과 설명 방식이 다르다는 점, 아이들이 어려 워할 수 있다는 점 등이 감안되어 0의 곱은 3학년에 배치된 것으로 보인다..

(14) 420. 김. 현 ·. 1. 구구를 다시 알아보자.. 조. 영 미. ·. 정 연. 준. [그림 17] 수학3-상, 2-3쪽. 치히로와 친구들은 납작한 유리구슬 넣는 게임을 하고 있습니다. * 유리구슬 10개를 가지고 득점합계를 겨룹니다. * 게임지에 있는 숫자는 유리구슬이 들어간 곳의 점수입니다. * 구슬이 경계에 있으면 큰 점수로 합니다. 치히로:득점합계는 8점이 됩니다. 잇케이:나도 8점입니다. 에이타:2명이 득점한 방법이 같을까?. ❶ 0의 곱셈.  유리구슬을 넣는 게임에서 치히로와 잇케 이의 득점합계는 같습니다. 2명이 점수를 얻은 방법을 조사해봅시다. ★1. 앞 쪽 모습을 보고 넣은 구슬의 수를 표 에 써보세요. ★2. 치히로의 3점과 1점인 곳의 득점을 찾는 식을 써 봅시다. 넣은곳의 점수×넣은수 = 득점 3점 …3× = 1점 …1× = 치히로의 2점과 0점의 곳에서 얻은 점수를 식 으로 써봅시다. 2점 …2× = 0점 …0× =. □□. □□. □□. □□. 2×0=0 0×6=0 로봇: 0의 경우에도 곱셈식을 쓰네 어떤 수에 0을 곱해도 답은 0이 됩니 다. 또 0에 어떤 수를 곱해도 답은 0이 됩 니다.. ★3. 잇케이가 넣은 곳의 점수를 식을 써서 찾 아보시오. 3점 …3× = 2점 …2× = 1점 …1× = 0점 …0× = ★4. 에이타의 점수는 아래 식으로 찾을 수 있 습니다. 아래 표에 식을 쓰고 득점 합계를 찾아 보세요.. □□ □□. [그림 18] 3-상 4쪽. □□ □□.

(15) 한국‧중국‧일본‧싱가포르 수학교과서의 곱셈구구 지도내용 비교 연구. 421. 라. 싱가포르 싱가포르는 곱셈구구를 3개 학기에 걸쳐 다룬다. 네 나라 중에서 가장 긴 시간 동안 가 르친다. 2-1학기 7단원에서 2, 3단을, 2-2학기 9단원에서 4, 5, 10단을 지도한다. 이어 3-1 학기 4단원에서 6, 7, 8, 9단을 다룬다. 0의 곱은 따로 제시되지 않고 4단, 5단, 10단 등 각 구구 안에서 문제로 잠깐 다룬다. 맨 처음 다루는 2단과 3단을 보면, 2단 바로 앞에‘2씩 세기’가, 3단 바로 앞에‘3씩 세기’가 제시되어 있다([그림19]~[그림21]). 이는 다른 나라들과 매우 다른 것으로, 곱셈구 구의 기본 원리를 두 번에 걸쳐 반복적으로 설명하는 효과를 갖는다.. [그림 19] In Step maths 2A, 115쪽. [그림 20] In Step maths 2A, 116쪽. [그림 21] In Step maths 2A, 117쪽. ‘2단 곱셈구구’에서는 무당벌레가“같은 묶음을 여러 개 셀 때 곱한다.”고 설명한다. 2개씩 3묶음인 과일에 한 묶음이 추가되는 그림이 주어지며 개미가 4×2는 3×2보다 2만 큼 많다고 말한다. 2단 구구는 1×2=2부터 10×2=20까지 다루어진다. 10×2=20과 같은 10×n을 네 나라 중 유일하게 다룬다. 맨 아래에는 수직선에서 0부터 20까지 2씩 뛰어세 기가 표시되어 있고 2를 곱하기 위해 2씩 셀 수 있다고 설명한다. 4단부터는 ‘몇씩 세기’가 등장하지 않는다. 4개씩 3묶음인 그릇에 한 묶음이 추가되 는 그림이 주어지며 개미가 4×4는 3×3보다 4만큼 많다고 말한다. 다음으로 구슬을 4개 씩 세도록 한다. 1×4=4부터 10×4=40까지 식과 함께 구슬이 세로로 제시되고 있다. 하단 에는 수직선에서 0부터 20까지 4씩 뛰어세기가 표시되었고 4를 곱하기 위해 4씩 셀 수 있 다고 설명한다. 5단은 4단과 같은 방식이며 이어 10단이 다루어진다. 10단은 싱가포르 교과서에서 유 일하게 등장하며 4단과 같은 방식이다. 한편 4단, 5단, 10단을 다루는 과정에서 각각 0×4=0, 0×5=0, 0×10=0을 다룬다..

(16) 422. 김. 현 ·. 조. 영 미. ·. 정 연. 준. [그림 22] In Step maths 2B, 11쪽 3-1학기의 6단에서는 하나에 6개씩 꽂힌 어육완자 막대가 10개 제시되며 나비가 어육완 자의 개수를 묻고 있다. 꿀벌은 문제를 설명하고 어육완자의 개수는 6단으로 해결할 수 있음을 설명한다. 6씩 뛰어세기와 6단구구가 제시된다. 마찬가지로 7단에서는 한 줄에 7개 씩 연결된 종이 10개 그려져 있으며 7씩 뛰어세기와 7단구구가 제시된다. 개미는 종이 모 두 70개이며 10×7=70으로 쓰고 읽는 법을 설명한다. 하단에 생각해보기에서는 무당벌레 가 7곱하기 3의 결과가 21일 때, 3곱하기 7의 결과를 묻는다. 8단, 9단도 마찬가지이다.. [그림 23] In Step maths 2B, 67쪽. [그림 24] In Step maths 3A, 70-71쪽. 한편 [그림 25]와 같이‘생각해보기’ 코너에서는 ‘0과 어떤 수를 곱하면 결과가 0이 다. 1과 어떤 수를 곱했을 때 결과는 무엇일까?’를 묻고 있다. 이 질문을 통해 1단을 가 볍게 다루고 있는 것이다.. [그림 25] In Step maths 3A, 67쪽.

(17) 한국‧중국‧일본‧싱가포르 수학교과서의 곱셈구구 지도내용 비교 연구. 423. 4. 곱셈 지도 모델 곱셈 지도 모델은 묶음 모델, 직선 모델, 배열 모델로 구분할 수 있다(정영옥, 2013). 이 절에서는 나라별로 어떤 모델을 사용하였는지 분석하였다. 해당 구구단은 2단부터 9단까 지이다. 먼저 한국은 곱셈 지도 모델 중 묶음 모델을 12회로 가장 많이 적용하고 있으며 배열 모델을 6회 제시하였다. 5단을 제외한 모든 단에서 묶음 모델을 사용하고 있다. 5단부터 9 단까지는 배열모델이 사용되고 있다. 8단과 9단에서는 묶음 모델, 배열 모델에 이어, 수직 선에 뛰어 세기를 표현하는 방법으로 직선 모델이 사용된다. 전체적으로 단이 올라가면서 모델이 추가되는 형태를 띤다. 또한 모델로 추상적인 모양은 거의 사용하지 않고 실물이 라는 점도 독특하다. 다음으로 중국은 곱셈 지도 모델 중 묶음 모델을 10회로 가장 많이 적용하고 있으며 배 열 모델을 2회 제시되었다. 직선 모델은 사용하지 않는다. 모델로 막대, 막대삼각형, 막대 사각형, 막대오각형과 같이 추상적인 모양을 주로 사용하고 있다는 점이 독특하다. 일본은 곱셈 지도 모델 중에서 묶음 모델을 13회로 가장 많이 적용하고 있다. 배열 모 델은 각 단을 지도할 때 원이 배열된 직사각형꼴 모형으로 9회 제시하였다. 직선 모델은 2회 제시하였다. 모든 구구에서 묶음 모델과 배열 모델이 동시에 사용된 점이 독특하다. 특히 묶음 모델에서는 구체적인 실물을 사용하고 배열 모델에서는 추상성이 강한 원 모양 을 일관되게 사용하였다. 싱가포르는 곱셈 지도 모델 중에서 배열 모델을 24회로 가장 많이 적용하고 있다. 이는 각 단을 지도할 때 교환법칙을 다루면서 각각 3개의 배열 모델을 예시로 보여주고 있기 때문이다. 묶음 모델을 12회, 직선 모델을 15회 제시하여 곱셈 지도 모델을 가장 다양하게 활용하고 있다. 곱셈구구를 도입할 때 다양한 모델을 제시하며 학습이 진행됨에 따라 곱 셈 지도 모델 사용이 줄어들고 있다. 한편 묶음 모델과 배열 모델에서는 구체적인 실물을 주로 사용하며 직선모델에서는 수직선을 사용하고 있다.. <표 7> 곱셈구구별 모델 빈도 수 나라 한국. 모델. 2. 3. 4. 묶음. 2. 2. 2. 배열. 5 2. 6. 7. 8. 9. 합계. 2. 2. 1. 1. 12. 1. 1. 1. 1. 6. 1. 1. 2. 1. 1. 10. 직선 묶음 중국. 1. 배열. 1. 1. 1. 1. 2. 2. 1. 2. 직선 일본. 0. 묶음. 2. 3. 2. 2. 1. 1. 1. 1. 13. 배열. 1. 1. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 9. 묶음. 6. 6. 2. 2. 1. 1. 19. 배열. 6. 6. 4. 4. 20. 직선. 3. 3. 3. 3. 12. 직선 싱가 포르. 2 1. 2.

(18) 김. 424. 현 ·. 조. 영 미. ·. 정 연. 준. 5. 곱셈의 교환법칙 네 나라 모두 곱셈의 교환법칙을 다룬다. 우리나 라에서는 곱셈구구표를 보고 3×7과 7×3의 결과를 비교하고 있다. 또 각각 묶어 센 결과를 비교하여 결과가 같음을 확인하도록 하였다. 그 후 곱셈구구 표에서 9×6과 곱이 같은 곱셈구구를 찾아보도록 하 였다. 중국에서는 2, 3, 4단을 학습한 후 ‘배열 해봐 요’ 활동에서 교환법칙을 설명하고 있다. 2열 4행 으로 나열된 원 그림을 보고 2개의 곱셈구구로 표현 하도록 한다. 한편 중국에서는 각 단을 가르칠 때 교환법칙을 알고 있다고 가정하고 전개하고 있다. 예컨대 7단을 지도할 때 7×1=7부터 7×7=49까지만 다룬다. 7×8=56은 8단에서 8×7=56을 통해 배운다. 이는 교환법칙을 알고 있다고 전제하는 것이다.. [그림 26] 우리나라, 수학4 65쪽 ④ 배열해봐요. 4 × = 8 4 × = 8 구구단: ( )( )는 (. □ □. [그림 27] 중국 수학4 22쪽. ). 일본에서는 6단을 지도할 때‘6×4의 답은 4×6의 답과 같다’라고 명시하고 있다. 7단 에서는 7단을 여러 가지 방법으로 만들어보는 활동에서 대화문을 통하여 7×2의 답과 2×7의 답이 같음을 설명한다. 또한 7단을 외우는 활동에서도‘곱해지는 수와 곱하는 수 를 바꾸어도…’라고 언급하여 교환법칙을 성립함을 보여준다. 곱셈구구표와 규칙을 다루 는 활동에서도 다루고 있다. 곱셈구구를 만드는 규칙 중 하나로서 곱해지는 수와 곱하는 수를 바꾸어 계산해도 답은 같게 됨을 직접 설명한다. 또한 곱셈구구표에서 5×9와 9×5 의 답을 비교하도록 하였다.. 곱셈의 규칙을 다루는 활동에서도 교환법칙을 설명한다. 곱. 셈의 규칙 2가지를 제시할 때 곱해지는 수와 곱하는 수를 바꾸어도 답이 같음을 제시하고 있다.. ❹ 구구의 표와 규칙. [그림 28] 수학2-하 34쪽.  구구를 만들 때 사용한 규칙을 요 약해 보자. ① 곱하는 수가 1증가하면 답은 곱해 지는 수 만큼 증가한다. 4 × 8 = 4 × 7 + 4 ② 곱해지는 수와 곱하는 수를 바꾸 어 계산해도 답은 같게 된다. 7 × 8 = 8 × 7.

(19) 한국‧중국‧일본‧싱가포르 수학교과서의 곱셈구구 지도내용 비교 연구. 425. 싱가포르에서는 2단·3단(2학년 1학기), 4단·5단·10단(2학년 2학기)에서 각 곱셈구구를 지도할 때마다 직사각형 모양의 그림을 보여주어 수의 위치가 바뀌어도 같은 값을 가지고 있음을 제시한다. 또한 7단을 지도할 때 생각해보기에서 무당벌레가 7곱하기 3의 결과가 21일 때, 3곱하기 7의 결과를 묻는 질문을 던지고 있다.. [그림 29] In Step maths 2A 118쪽. [그림 30] In Step Maths 119쪽. 6. 곱셈구구 외우기 우리나라 교과서에는 곱셈구구를 외우기와 연결시킨 내용이 없다. 이에 대해 중국에서 는 곱셈구구를 처음 학습하는 2, 3, 4단을 제시할 때 “곱셈을 사용하면 계산도 정확하고 빠르게 할 수 있으니까, 반드시 곱셈구구를 외우도록 하자.”라고 언급한다. 곱셈구구의 각 단을 학습할 때마다 후속 연습문제에서 외우는 활동을 제시한다. 단원을 마무리하는 정리와 복습 문제에서 곱셈구구표를 제시하고 가로, 세로, 방향을 바꾸어서 외우도록 하고 있다.. [그림 31] 수학4 22쪽. 선생님: 1 곱하기 1은 뭘까요? 1 × 1 = __ 1 1은 ( ) 곱셈을 사용하면 계산도 정확하고 빠르 게 할 수 있으니까, 반드시 구구단을 외우 도록 하자.. 일본 교과서에서도 곱셈구구를 처음으로 도입하는 5단에서 곱셈구구를 정의할 때 외워 두면 편리하다고 설명한다. 각 단의 학습활동 중 두 번째 활동에서 해당 곱셈구구를 외우 도록 한다. 5단과 2단의 확인활동에서는 구구를 거꾸로 말해보는 활동이 구성되어 있다..

(20) 김. 426. 현 ·. 조. 영 미. ·. 정 연. 준. 5×4의 답은 「오사20」, 5×5의 답은 「오 오25」라고 외워두면 편리합니다. 이런식으로 좋은방법을 구구라고 합니다.  5단 구구를 외워보세요.. ★1. 5단 구구를 다시 보시오. (5단 구구의 답은 얼마씩 증가하고(늘어나 고) 있을까?) 22쪽 구구의 연습을 해보자. ① 토마토가 5개씩 놓인 접시가 6접시 있 습니다. 토마토는 전부 몇 개 있습니까? ② 5단 구구를, 답이 큰 쪽부터 말하시오.. ⇒. [그림 32] 수학2-하, 12쪽. Ⅳ. 나라별 비교를 통한 곱셈구구 지도의 쟁점 도출 지금까지 한국, 중국, 일본, 싱가포르 초등학교 수학교과서에서 곱셈구구 지도 내용을 비교하였다. 곱셈구구는 매우 단순하지만, 그것을 초등학교에서 사용하는 수학 교과서에 구현하는 방식은 미묘하게 다른 점이 확인되었다. 이러한 사항들을 토대로 교육과정 개정 과 교과서 개발시 참여자들이 숙고해야 할 곱셈구구의 쟁점들을 도출해 보았다. 첫째, 단원 배정 문제를 고려할 필요가 있다. 우리나라는 2학년 2학기 한 단원에서 곱셈 구구를 지도하는 반면 중국에서는 2학년 1학기에 2개의 단원에 걸쳐 다루고 있다. 일본의 경우 2학년 2학기부터 3학년 1학기까지 3개의 단원을 할애하고 있으며 싱가포르에서는 2 학년 1학기부터 3학년 1학기까지 3학기동안 각각 1단원씩 구성하였다. 네 나라 모두 2학 년부터 곱셈구구를 지도하지만, 곱셈구구를 한 개의 단원에서 가르치는 나라부터 세 개의 단원에서 가르치는 나라까지 다양하게 나타났다. 다시 말하면 우리나라는 다른 나라에서 2개 혹은 3개 단원에서 지도하는 내용을 한 단원에 압축하여 그리고 보다 어린 학생들에 게 집중적으로 지도하고 있다. 실제 우리나라 교과서의 곱셈구구 지도 단원은 40쪽이 넘 는 적지 않은 분량이며, 차시별로 구구단을 가르치는데 그 구성이 매우 반복적이라 할 수 있다. 이러한 조건들은 우리나라의 곱셈구구 지도가 교육과정을 입안하였을 때의 의도대 로 교실 수업에서 효과적으로 구현될 수 있을지에 대한 합리적인 의심을 제기한다. 따라 서 곱셈구구 지도를 몇 개의 단원으로 배정할 것인가는 교과서 개발할 때 쟁점 사항이 될 수 있을 것이다. 둘째, 곱셈구구 지도 범위와 구구단별 관계 설정 문제를 고려할 필요가 있다. 곱셈구구 에서 2단부터 9단까지가 기본이며, 여기에 0의 곱, 1단, 10단이 추가될 수 있다. 묶어 세기 를 기반으로 하여 곱셈 개념을 도입하여 곱셈구구를 지도하는데, 다른 단에 비하여 1단과 0단은 묶어 세기를 통한 설명의 설득력이 다소 떨어진다. 일본은 우리나라와 같이 1단을 별도로 곱셈구구의 한 단으로 구성하여 명시적으로 지도하고 있지만, 우리나라와는 다르 게, 다른 단의 곱셈구구에서 1단을 유추하도록 하고 있다. 이러한 점에서 1단과 0단을 명.

(21) 한국‧중국‧일본‧싱가포르 수학교과서의 곱셈구구 지도내용 비교 연구. 427. 시적으로 지도하는 단으로 설정할 필요가 있는지 검토할 필요가 있다. 한편, 일본의 경우 는 여기에 12단, 13단 등으로 확장시키고 있다. 곱셈구구에서 다룰 수 있는 단의 범위를 쟁점으로 삼을 수 있다. 또한 곱셈구구의 단과 단 사이의 연속성과 비약을 쟁점으로 삼을 수 있다. 우리나라의 경우 처음 도입되는 단과 이미 곱셈구구가 어느 정도 친숙한 상태에 서 도입되는 단 사이에 큰 차이점이 없이 제시되어 있다. 곧 단별 사이의 관계가 병렬적인 형태로 설정되어 있다고 할 수 있다. 이와는 다르게 일본이나 싱가포르의 경우, 곱셈구구 지도 후반부에서는 도입 시기와는 다른 전개를 보이고 있다. 2, 5단과 같이 규칙이 단순한 단을 처음 소개할 때와 8, 9단과 같이 이미 구구가 어느 정도 친숙한 상태에서 도입되는 후속 단 사이에 연속되는 내용은 무엇이고 달라지거나 심화되어야 하는 내용은 무엇이어 야 하는지를 쟁점으로 삼을 수 있는 것이다. 셋째, 곱셈 지도 모델을 고려할 필요가 있다. 중국, 일본에서는 묶음 모델과 배열 모델 을 주로 사용하고 있으며 직선 모델 사용에 소극적이다. 우리나라 역시 묶음 모델과 배열 모델을 주로 사용하지만 8, 9단의 지도에서는 직선 모델을 사용하고 있다. 반면 싱가포르 는 묶음 모델, 직선 모델, 배열 모델을 비교적 고르게 제시하고 있다. 곱셈구구에서 사용 되는 모델은 곱셈구구 지도에 한정된 것이 아니다. 곱셈구구는 묶어 세기를 통해 도입된 곱셈 개념이 형식화된 곱셈 계산으로 가는 출발점이며, 이후 곱셈 지도의 연결 통로이다. 이러한 점에서 단순히 곱셈구구의 원리 지도뿐 아니라 곱셈이 관련된 다양한 맥락과 상황 을 포괄할 수 있도록 모델을 사용할 필요가 있다. 이러한 점에서 곱셈구구에서 어떤 모델 을 어떤 방식으로 제시할 것인지는 쟁점 사항이 될 수 있다. 넷째, 곱셈구구의 읽기와 암기를 고려할 필요가 있다. 한국과 싱가포르에서는 곱셈식을 읽는 것 이외에 별도로 곱셈구구를 읽는 방법과 암기에 대한 명시적인 언급이 제시되지 않았다. 이에 비하여 중국과 일본에서는 곱셈구구 지도 도입부터 적극적으로 암기의 중요 성을 강조하며 구구단을 축약하여 읽고 외우는 활동을 지도하고 있다. 중국의 경우 연습 문제에 외우는 활동을 구성하였고 일본에서는 각 단을 학습할 때마다 외우는 활동이 제시 되고 있다. 곱셈 계산을 정확하게 그리고 빠르게 실행하기 위해서는 곱셈구구의 숙달이 필수적이며, 여기에는 전통적인 곱셈구구의 암송 지도가 불가피해 보인다. 현재 우리나라 는 암기에 대한 언급이 일체 교과서에 없다. 향후 교과서 개발에서 곱셈구구에서 암기와 이해를 어떻게 조화시킬 것인지를 쟁점으로 논할 수 있을 것이다. 이 쟁점들을 2장에서 설명한 분석틀에 맞춰 진술해 보면 다음 <표 8>과 같다.. <표 8> 곱셈구구 지도 내용 구성의 쟁점 분석 범주. 쟁점. 학년별 교과서 구성. 곱셈구구를 몇 개의 단원에 걸쳐 구성할 것인가?. 곱셈구구 지도 계열. 2단~9단, 1단, 10단, 0의 곱의 계열을 어떻게 정할 것인가?. 구구별 차시 구성. 구구단에 따라 연속성과 비약을 어떻게 구성할 것인가?. 곱셈 지도 모델. 전체 곱셈 지도 맥락에서 곱셈구구 모델을 어떻게 사용할 것인가?. 곱셈구구 외우기. 곱셈구구의 원리 이해와 암기의 균형을 어떻게 담보할 것인가?. Ⅴ. 요약 및 제언.

(22) 428. 김. 현 ·. 조. 영 미. ·. 정 연. 준. 본 연구는 우리나라에서 초등학교 2학년에서 지도되고 있는 곱셈구구에 관하여 한국, 중국, 일본, 싱가포르 교과서를 바탕으로 비교하고 분석하였다. 곱셈구구의 지도 시기 및 지도 순서, 지도내용, 교환법칙, 곱셈 모델 등을 바탕으로 분석하였다. 각 나라별 교과서의 특징은 다음과 같다. 한국 교과서에서는 한 단원의 내용을 곤충박물관 체험학습에 관한 이야기로 구성하였 다. 곱셈지도가 1개의 단원에서 이루어지며 차시마다 소재를 달리하고 있다. 삽화를 크게 제시하고, 응용활동을 다양하게 제시하는 등 학생들의 흥미를 유발할 수 있도록 하였다. 곱셈지도 모델로는 묶음 모델과 배열 모델을 주로 활용하였으며 직선 모델 제시 빈도가 낮다. 문제를 푸는 활동이 상대적으로 적고, 문제를 해결한 방법을 표현하도록 하는 활동 이 많으며 암기에 대한 언급이 없다. 교환법칙, 1단 구구, 0의 곱셈 등 지도요소를 고루 다루고 있다. 중국 교과서에는 한 학기 동안 2개의 단원에서 곱셈구구를 다루고 있다. 곱셈구구를 각 단의 수만큼 제시되어 암기에 대한 부담이 상대적으로 적다. 도입활동이 없고 각 단마다 독음을 제시한다. 곱셈구구에 대한 설명보다는 문제를 푸는 활동이 많다. 응용활동을 따로 구성하지 않고 활동 중간에 조금씩 제시하고 있다. 묶음 모델과 배열 모델만 제시하고 있 으며 직선 모델은 사용하지 않는다. 1단구구와 교환법칙을 소극적인 수준에서 다루고 있 으며 0의 곱셈에 대한 내용은 제시하지 않고 있다. 곱셈구구 암기를 강조하고 있다. 일본 교과서는 2학기 동안 3개의 단원에서 곱셈구구를 지도하고 있으며 체험학습을 주 제로 단원을 도입한다. 교환법칙에 관하여 곱하는 수가 1 증가하면 해당 구구의 수만큼 결과가 늘어나는 성질을 구체적으로 확인할 수 있도록 구성하였다. 각 단마다 독음을 제 시하고 외우는 활동을 강조한다. 곱셈지도 모델로는 묶음 모델과 배열 모델을 주로 활용 하였으며 직선 모델 제시 빈도가 낮다. 곱셈구구의 구성 요소 및 성질, 교환법칙, 곱셈구 구 표와 규칙을 자세하게 설명하고 있다. 설명이 자세하여 이해하기 쉬우나 페이지마다 여백 없이 내용이 구성되어 학습자에게 부담이 될 수 있다. 싱가포르 교과서는 단원명과 함께 학습할 내용을 개조식으로 보여준다. 시, 노래, 이야 기 등을 활용하여 단원을 도입하며 4마리 곤충(벌, 나비, 무당벌레, 개미)가 활동을 제시하 고 있다. 교재구성이 단순하며 양적(페이지 수)으로는 많지만 페이지마다 여백이 많아 학 습자에게 부담이 적다. 곱셈 지도 모델은 묶음 모델, 직선 모델, 배열 모델을 고르게 제시 하고 있다. 각 단마다 교환법칙이 성립하는 예를 3가지씩 제시하고 확인문제에서도 다룬 다. 1단과 0의 곱셈을 소극적으로 다루고 있으며 단원별로 문장제를 따로 구성하였다. 단 원이 끝나면 배운 내용이 무엇이었는지 제시한다. 네 나라의 곱셈구구 비교를 통해 주요 쟁점들을 도출하였다. 첫째, 곱셈구구를 몇 개의 단원에 배정할 것인가, 둘째, 곱셈구구단의 범위를 어디까지로 정할 것이며, 단과 단 사이 의 연속성과 비약을 어떻게 구성할 것인가, 셋째, 곱셈지도 모델을 곱셈구구와 어떻게 연 결시킬 것인가, 넷째, 0단과 1의 곱셈을 어떻게 다룰 것인가, 다섯째, 곱셈의 원리 이해와 암기의 조화를 어떻게 이룰 것인가 등이다. 이 논문에서는 네 나라의 곱셈구구를 단순 비교한 것으로 볼 수도 있다. 단순 비교를 통해 드러나 차이를 곧장 ‘쟁점’으로 삼는 것에는 무리가 따를 수 있다. 이 논문에서 밝 혀낸 차이들은 쟁점을 찾고자 할 때 그 근거자료로 사용될 수 있을 것이다. 앞으로 초등수 학교과서를 개발할 때 이 쟁점들을 기초 자료로 삼아 곱셈구구 지도의 교과서 구성에 관 한 논의가 내실 있게 이루어지길 기대해 본다..

(23) 한국‧중국‧일본‧싱가포르 수학교과서의 곱셈구구 지도내용 비교 연구. 429. 참 고 문 헌 강흥규, 심선영 (2010). 알고리즘의 다양성을 활용한 두 자리 수 곱셈의 지도 방안과 그에 따른 초등학교 3학년 학생의 곱셈 알고리즘 이해 과정 분석. 한국초등수학교육학회 지, 14(2), 287-314. 교육과학기술부 (2013). 초등학교 1-2학년군 수학 4. 서울: ㈜ 천재교육. 교육과학기술부 (2009). 수학2-2 서울: 서울교육대학교 국정도서편찬위원회. 김상근 (2008). 초등학교 수학 교과서에 나타난 곱셈 지도 방법에 대한 분석 : 곱셈 기초부 터 곱셈 구구 지도까지. 서울교육대학교 석사학위 논문. 김수정, 방정숙 (2007). 십진블록을 활용한 소수의 곱셈 지도에서 초등학교 5학년 학생들의 개념적 이해 과정 분석. 한국초등수학교육학회지, 11(1), 1-21. 서미나 (2012). 한국과 중국의 초등 수학 교과서 비교 분석 : 소수를 중심으로. 부산교육대 학교 석사학위 논문. 송순희 (2000). 스켐프의 곱셈구구 지도방법 적용사례연구 : 초등학교 3학년 수학학습부진 아를 대상으로. 인천교육대학교 석사학위 논문. 이지현 (2004). 한국과 미국의 초등 수학 교육과정에 대한 인지중심적 관점에서의 비교분 석 : 초등학교 2-3학년 수준의 곱셈 단원 교육과정 사례를 중심으로. 이화여자대학 교 박사학위 논문. 임재훈 (2014). 선험적 지식으로서 곱셈의 교환법칙 교육의 문제. 한국초등수학교육학회지, 18(1), 1-17. 장미라 (2006). 초등학교 2학년 학생의 곱셈적 사고에 관한 연구. 서울교육대학교 석사학위 논문. 정영옥 (2013). 초등수학에서 자연수 곱셈지도. 학교수학, 15(4), 889-920. 인민교육출판사 초등학교 수학실 (2003). 9년 의무교육 6년제 초등학교 교과서 수학 3. 허 난성: 인민교육출판사. 橋本{吉彦 (2005). 新しぃ算數 2-下. 東京書籍. 橋本{吉彦 (2005). 新しぃ算數 3-上. 東京書籍. Shirley T., Kang M. T., Varsha P., Chan M. L., Karen Q. (2007). In step maths textbook 2A. PanPac Education. Shirley T., Kang M. T., Varsha P., Chan M. L., Karen Q. (2007). In step maths textbook. 2B. PanPac Education. Varsha P., Karen Q. (2007). In step maths textbook 3A. PanPac Education..

(24) 김. 430. 현 ·. 조. 영 미. ·. 정 연. 준. <Abstract>. The Comparative Study on Teaching of Multiplication Tables in South Korea, China, Japan, Singapore Kim, Hyun7); & Cho, Youngmi8); & Joung Youn Joon9) In this study, we analyzed and discussed the instruction method of multiplication tables in mathematics textbooks from four countries in Asia; South Korea, China, Japan, and Singapore. The conclusions of remarks are states as follows: First. The teaching period and elements should be subdivided more structurally so that the learner could understand the concept and principle of multiplication tables better. Second. The bundle model, the linear model, and the array model of multiplication need to be presented so that the learners could experience various situations related to multiplication. Third, The concrete explanation. and. the. higher. frequency. of. presenting. the. commutative. rules. of. multiplication is suggested so that the learner could understand the concept of the rules well. Fourth. The context related to multiplication by 1 and 0 should be presented so that the learner could comprehend the character of multiplication by 1 and 0. Fifth. The activities which helping memorizing a multiplication table should be suggested when the memorization is needed. Key words: multiplication tables, South Korea, China, Japan, Singapore, elementary textbooks. 논문접수: 2016. 07. 11 논문심사: 2016. 08. 11 게재확정: 2016. 08. 24. 7) [email protected] 8) [email protected] 9) [email protected].

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