주제별 실력다지기

(1)

좌표평면과 그래프

1 좌표평면과 그래프

ⅠⅠⅠ

A(50) ① 1, 2 풀이 참조 8개 10개

(4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4), (8, 5), (9, 6), (10, 7) 제 4 사분면 제 2 사분면

제 3 사분면, 제 4 사분면 (-1, -2) (2, 3) 25

ㄱ－①, ㄴ－②, ㄷ－⑤ ⑤ ②, ④

113~118쪽

주제별 실력다지기

STEP

제1사분면에 있는 점 A(a, b)를 x 축에 대하여 대칭한 점의 좌표를 B(xÁ, yÁ)이라고 하면 오른쪽 그림 에서 APÓ=BRÓ, AQÓ=BQÓ이므로 두 점 A, B의 x좌표는 같고, y좌표는 절댓값이 같고 부호만 다르다.

따라서 xÁ=a, yÁ=-b이므로 B(a, -b) 대칭인 점의 좌표

최상위 NOTE

07

또, 점 A(a, b)를 y축에 대하여 대칭한 점의 좌표를 C(xª, yª)라 고 하면 그림에서 AQÓ=CSÓ, APÓ=CPÓ이므로 두 점 A, C의 y좌 표는 같고, x좌표는 절댓값이 같고 부호만 다르다.

따라서 xª=-a, yª=b이므로 C(-a, b)

원점 대칭은 점 A를 x축에 대하여 대칭한 후 y축에 대하여 대칭 한 점이므로 그림에서 점 D의 x좌표는 점 C의 x좌표와 같고, 점 D의 y좌표는 점 B의 y좌표와 같다. 즉, D(-a, -b)이다.

Z

0 2

4

$ Ym AZm

# Y AZ

%

" B AC 1

3

Y

B B

C C

62ⅠⅠⅠ^{좌표평면과 그래프}

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(2)

문제 풀이

보기의 내용을 수직선에 나타내면 다음과 같다.

"

제과점 우리집 치킨집

따라서 0과 100의 정중앙은 50이므로 수학 학원의 좌표는 A(50)이다.

-1<a<0, 1<b<2에서 -2<-b<-1이므로 -3<a+(-b)<-1

∴ -3<a-b<-1

점 P의 좌표를 a라고 하면 점 Q의 좌표는 3-a이므 로

a-(3-a)=-1, 2a=2 ∴ a=1

따라서 점 P의 좌표는 1, 점 Q의 좌표는 2이다.

다른풀이

점 P의 좌표를 a, 점 Q의 좌표를 b라 하면 (점 P의 좌표)+(점 Q의 좌표)=3이므로 a+b=3에서 a=3-b yy`㉠

(점 P의 좌표)-(점 Q의 좌표)=-1이므로 a-b=-1에서 a=-1+b yy`㉡

㉠, ㉡에 의하여

3-b=-1+b, 2b=4 ∴ b=2 b=2를 ㉠에 대입하면

a=3-2=1

따라서 점 P의 좌표는 1, 점 Q의 좌표는 2이다.

x=1일 때, y=3, 6, 9

0

Z

Y

x=2일 때, y=6 x=3일 때, y=3, 6, 9

따라서 순서쌍 (x, y)는 (1, 3), (1, 6), (1, 9), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (3, 9)이 므로 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림 과 같다.

a, b가 정수이므로 |a|는 자연수이다.

따라서 1<|a|<4인 자연수 |a|는 2 또는 3이므로 a=Ñ2 또는 Ñ3, |b|=2에서 b=Ñ2

그러므로 구하는 순서쌍 (a, b)는

(2, 2), (2, -2), (-2, 2), (-2, -2), (3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2)

의 8개이다.

a=1, 2, 3, 4이고 b=1, 2, 3, 4, 5, 6이므로 a¾b를

만족하는 순서쌍 (a, b)는

(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

의 10개이다.

x-y=3에서 x=y+3이므로 y=1, 2, 3, 4, y, 7에 대하여 x=4, 5, 6, 7, y, 10이 각각 대응되므로 구하는 순서쌍은

(4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4), (8, 5), (9, 6), (10, 7)

점 A(a, 4-a)가 x축 위의 점이므로 (y좌표)=0에서 4-a=0 ∴ a=4 또, 점 B(b+1, b)가 y축 위의 점이므로 (x좌표)=0에서 b+1=0 ∴ b=-1

따라서 점 (a, b)는 점 (4, -1)이고, 이 점이 속하는 사분 면은 제 4 사분면이다.

점 (b-a, ab)가 제3사분면 위의 점이므로 (x좌표)<0, (y좌표)<0에서 b-a<0, ab<0 이때 ab<0에서 a, b의 부호가 다르고 b<a이므로 a>0, b<0이다.

따라서 bÛ`>0, -3b>0에서 -bÛ`<0, a-3b>0이 되어 점 (-bÛ`, a-3b)가 속하는 사분면은 제 2 사분면이다.

a>0, b<0이므로` a+b의 부호는 알 수 없고, ab<0 이다.

Ú a+b>0, ab<0일 때, 제4사분면 위의 점 Û a+b=0, ab<0일 때, y축 위의 점 Ü a+b<0, ab<0일 때, 제3사분면 위의 점

따라서 점 (a+b, ab)가 속할 수 있는 사분면은 제 3 사분 면, 제 4 사분면이다.

원점 대칭

A(-1, 2) 111Ú B(1, -2)

y축 대칭

111Ú C(-1, -2)

x축, y축을 기준으로 각각 접어 보면 대칭인 점의 좌표의 부호가 바 뀌는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

점 (a, b)와 x축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (a, -b)이고 (-3, 2)와 같으므로 a=-3, -b=2에서 a=-3, b=-2

따라서 (b, a), 즉 (-2, -3)과 원점에 대하여 대칭인 점 의 좌표는 (2, 3)이다.

1. 좌표평면과 그래프 63

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(3)

150 7개 15 5 21 ③, ④

제 3 사분면 제 1 사분면 제 4 사분면 -9 ;2&; 20

C(2, -1), D(2, 2) 또는 C(-4, -1), D(-4, 2) 2 ③, ⑤ ②

③, ⑤ ③

119~123쪽

실력 높이기

STEP

사선 공식을 이용하여 넓이를 구하면

△ABC=;2!;

|

^{5 1}8 1 -1 8^{7 5}

|

=;2!;|(5-1+56)-(8+7-5)|=25

다른풀이

오른쪽 그림과 같이 점 A, B,

0

"

#

3 1 4

2 $

Z

Y

C를 지나고 x축 및 y축에 평행 한 선을 그으면

P(1, 8), Q(1, -1), R(7, -1), S(7, 8)

PQÓ=8-(-1)=9, PSÓ=7-1=6이므로

 PQRS=PQÓ_PSÓ=9_6=54

또, △PAB=;2!;_PAÓ_PBÓ=;2!;_4_7=14

△QRB=;2!;_QRÓ_QBÓ=;2!;_6_2=6

△SAR=;2!;_SAÓ_SRÓ=;2!;_2_9=9

∴ △ABC = PQRS-△PAB-△QRB-△SAR

=54-14-6-9=25

ㄱ. ‘덥다’는 기온이 높은 것에, ‘시원하다’는 기온이 낮 은 것에 대응되므로 처음에 높은 기온에서 시작되어 정 오에 기온이 잠시 내려간 후 밤까지 기온이 높은 그래 프를 찾는다. 즉, ①이다.

ㄴ. ‘쌀쌀하다’는 기온이 낮은 것에, ‘더위에 쩔쩔매다’는 ‘덥 다’는 이야기, 즉 기온이 높은 것에 대응되므로 처음에 낮은 기온에서 시작되어 점점 기온이 오르다가 저녁에 기온이 떨어지는 그래프를 찾는다. 즉, ②이다.

ㄷ. 처음에 낮은 기온에서 높은 기온으로 변하다가 한동안 온도 변화가 없고, 오후에 기온이 내려가는 그래프를 찾는다. 즉, ⑤이다.

②, ③ 1시간 후부터 1시간 30분 사이의 그래프가 일 직선으로 변화가 없는 것은 거리의 변화가 없는 것이므 로 차가 멈춰있음을 알 수 있다.

즉, 1시간 후부터 30분간 휴게소에 들렀다고 볼 수 있다.

④ 걸린 시간 총 3시간 중 중간에 30분은 이동하지 않았으 므로 차를 타고 이동한 시간은 2시간 30분이다.

⑤ 서울에서 휴게소까지 1시간 동안 70`km를 이동했고, 휴게소에서 대전까지 1.5시간 동안 90`km를 이동했으 므로 처음엔 시속 70`km, 나중엔 시속 60`km로 이동했 음을 알 수 있다.

즉, 서울에서 휴게소에 도착할 때까지의 속력이 휴게소 에서 대전에 도착할 때까지의 속력보다 빠르다.

① 14분 ~ 18분까지 4분간 0.2`km/분으로 최고 속력 이었다.

② (거리)=(속력)_(시간)이고, 14분 ~ 18분까지 4분간 최고 속도 0.2`km/분으로 달렸으므로 구하는 거리는 0.2_4=0.8(km)=800(m)

③ 중간에 6분 ~ 10분까지 속력이 0이라는 것은 멈춰있다 는 것이므로 쉬었다고 볼 수 있다.

따라서 달린 시간은 20-4=16(분)이다.

④, ⑤ 속력이 증가한 시간은 0분 ~ 3분, 10분 ~ 14분까지 각각 3분, 4분이므로 총 7분이고, 속력이 감소한 시간은 3분 ~ 6분, 18분 ~ 20분까지 각각 3분, 2분이므로 총 5분 이다.

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(4)

문제 풀이

문제의 뜻대로 우리 집의 좌표를 0, 놀이터의 좌표를 -100이라고 하면 다음 그림과 같고, 우리 집에서 놀이터 방향으로 놀이터에서 150`m 떨어진 곳에 꽃집이 있으므로 꽃집의 좌표는 -250이다.

꽃집 놀이터 우리 집 버스 정류장

따라서 우리 집과 꽃집 사이의 거리는 |-250|=250이고, 이 거리만큼 놀이터에서 우리 집 방향으로 가면 버스 정류 장이 있으므로 버스 정류장의 좌표는 150이다.

x=1일 때, 1이 y의 약수인 y는 2, 4, 6이다.

x=2일 때, 2가 y의 약수인 y는 2, 4, 6이다.

x=3일 때, 3이 y의 약수인 y는 6이다.

따라서 순서쌍 (x, y)는 (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6)의 7개이다.

a=(16 미만의 소수의 개수)이고, 16 미만의 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13의 6개이므로 a=6

또, b={:¢2»: 미만의 소수의 개수}이고,

:¢2»:(=24.5) 미만의 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 의 9개이므로 b=9

∴ a+b=6+9=15

a=(30보다 작은 3의 배수의 개수)이고, 30보다 작은 3의 배수는 3, 6, 9, 12, y, 27의 9개이므로 a=9

또, b=(15보다 작은 3의 배수의 개수)이고, 15보다 작은 3의 배수는 3, 6, 9, 12의 4개이므로 b=4

∴ a-b=9-4=5

5=(a 이하의 짝수의 개수)이고, a 이하의 연속한 5 개의 짝수는 2, 4, 6, 8, 10이므로 a=10 또는 a=11 따라서 구하는 합은 10+11=21

a<0, b<0이고` c>0, d<0이므로

③ ab>0

④ aÛ`+a의 부호는 알 수 없다.

따라서 옳지 않은 것은 ③, ④이다.

표현 단계 x축 위의 점은 y좌표가 0이고, y축 위의 점은 x좌 표가 0이다.

변형 단계 점 A(-a-3, 2b-1)은 x축 위의 점이므로 y좌 표가 0이다.

서술형

2b-1=0, 2b=1 ∴ b=;2!;

점 B{;2!;a+b, a+b}는 y축 위의 점이므로 x좌표 가 0이다.

;2!;a+b=0이고 b=;2!;이므로

;2!;a+;2!;=0, ;2!;a=-;2!; ∴ a=-1

풀이 단계 점 C(a-2b, 2ab)에 a=-1, b=;2!;을 대입하면 a-2b=-1-2_;2!;=-2

2ab=2_(-1)_;2!;=-1이므로 C(-2, -1)

확인 단계 따라서 점 C가 속하는 사분면은 제3사분면이다.

두 점 P, Q가 모두 y축 위의 점이므로 x좌표는 0이다.

즉, 3a=a=0에서 두 점은 P(0, b), Q(0, b-8)이고 x축 에 대하여 대칭이므로

-b=b-8, -2b=-8　　∴ b=4 즉, a+4=0+4=4, b-3=4-3=1

따라서 점 R(4, 1)은 제 1 사분면 위의 점이다.

a<0, b<0이므로 `ab>0, a+b<0이다.

따라서 점 A(ab, a+b)가 속하는 사분면은 제 4 사분면이 다.

표현 단계 점 P와 점 Q는 원점에 대하여 대칭이므로 x좌표 와 y좌표의 절댓값은 각각 같고 부호는 반대이다.

변형 단계 점 P(4x+2, 5-3y)와 원점에 대하여 대칭인 점 을 P'라고 하면

P'(-4x-2, -5+3y)

풀이 단계 점 P'(-4x-2, -5+3y)와 점 Q(-x, 2y+1) 은 같은 점이므로

-4x-2=-x에서 -3x=2 ∴ x=-;3@;

-5+3y=2y+1에서 y=6

확인 단계 ∴ ;[};= 6 -;3@;=-9

△ABC의 넓이를 S라고 하면 S=;2!;

|

^{1 -2}₁ _{0 -1 1}^{2 1}

|

=;2!;|(0+2+2)-(-2+0-1)|

=;2!;|4-(-3)|=;2&;

서술형

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(5)

다른풀이

오른쪽 그림과 같이 점 A,

0

"

$

1

2 3

4

#

Z

Y

B, C를 지나고 x축 및 y축 에 각각 평행한 선을 그으면 P(-2, 1), Q(-2, -1), R(2, -1), S(2, 1) PQÓ=1-(-1)=2, PSÓ=2-(-2)=4이므로

 PQRS=PQÓ_PSÓ=2_4=8

또, △PAB=;2!;_PAÓ_PBÓ=;2!;_3_1=;2#;

△QRB=;2!;_QRÓ_QBÓ=;2!;_4_1=2

△SAR=;2!;_SAÓ_SRÓ=;2!;_1_2=1

∴ △ABC= PQRS-△PAB-△QRB-△SAR

=8-;2#;-2-1=;2&;

표현 단계 점 P(-2, 5)에 대하여

변형 단계 (`x축에 대하여 대칭인 점 A(-2, -5) {`y축에 대하여 대칭인 점 B(2, 5) 9`원점에 대하여 대칭인 점 C(2, -5)

풀이 단계 좌표평면 위에 나타내 ^Z

Y

#

0

$

"

1

면 오른쪽 그림과 같다.

확인 단계 ∴ △^ABC

=;2!;_4_10=20

구하는 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 두 점 A, B의 y좌표 사이의 거리이므로

2-(-1)=3

이때 구하는 정사각형 ABCD는

0

#

"

$ $

% %

Z

Y

오른쪽 그림과 같이 두 가지가 존재한다.

따라서 구하는 좌표는 C(2, -1), D(2, 2) 또는 C(-4, -1), D(-4, 2)

B(2, -1), C(2, 1)이

0

$

"

#

% Y Z

므로 오른쪽 그림에서

△OBC=;2!;_ODÓ_BCÓ

=;2!;_2_2=2

서술형

① 저수지의 저수량이 줄어드는 것으로 볼 때 물을 빼 고 있다는 것을 알 수 있다.

② 100톤에서 40톤으로 줄었으므로 총 60톤의 물을 빼냈다 고 할 수 있다.

③ 저수지에서 물을 뺀 시간은 처음 ~ 2시간까지, 3시 간 ~ 4시간까지이므로 각각 2시간, 1시간이고 따라서 물 을 뺀 시간은 총 3시간이다.

④ 처음 ~ 2시간까지 50톤의 물을 빼냈으므로 시간당 25톤 의 물을 빼낸 것이고, 3시간 ~ 4시간까지는 10톤의 물을 빼냈으므로 처음엔 물을 많이 빼다가 나중엔 천천히 빼 냈다고 볼 수 있다.

⑤ 2시간 ~ 3시간까지 저수량의 변화가 없으므로 그 사이에 는 물 빼는 작업을 멈추었다고 할 수 있다.

따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다.

A 부분에 물을 채울 때는 처음에는 물

$

#

"

의 높이가 서서히 오르다가 나중에 급격히 오르므로 그래프의 모양은 , B 부분에 물 을 채울 때는 물의 높이가 일정하게 오르므

로 그래프의 모양은 , C 부분에 물을 채울 때는 처음에는 물의 높이가 급격히 오르다가 나중에는 서서히 오르므로 그 래프의 모양은 이다.

따라서 알맞은 그래프는 ②이다.

① 그래프에서 현정이의 출발 시간은 좌표가 0.5이므 로 은정이보다 30분 늦게 출발했다.

② 그래프가 x축과 평행한 곳에서는 거리의 증가, 감소가 없으므로 쉬었다고 볼 수 있다. 따라서 은정이는 2번 쉬 었고 현정이는 쉬지 않았다.

③ 현정이는 수업이 끝나고 30분 후에 한강공원을 갔다가 2`km를 되돌아 온 후 다시 한강공원까지 갔다가 학교로 돌아왔다.

④ 갈 때는 은정이가 15`km를 3시간에, 현정이는 1.5시간 에 갔으므로 현정이가 빨랐고, 올 때는 15`km를 은정이 가 2시간, 현정이가 최대 5시간 걸렸으므로 은정이가 빨 랐다고 볼 수 있다.

⑤ 현정이의 그래프에서 x축과 평행한 곳이 없으므로 머물 지 않았다고 볼 수 있다.

그래프의 기울어짐이 완만한 것은 물병의 폭이 넓어 서 물의 높이가 천천히 높아지는 것이고, 그래프의 기울어 짐이 급한 것은 물병의 폭이 좁음을 알 수 있다. 또, 물의 높이가 세 구간 OAÓ, ABÓ, BCÓ로 나뉜 것으로 봤을 때, 물 66ⅠⅠⅠ^{좌표평면과 그래프}

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(6)

병의 모양은 3단 케이크의 모양이며 그 길이는 OAÓ, ABÓ 구간에 해당하는 부분의 높이가 각각 5로 같고, BCÓ 구간에

해당하는 부분의 높이는 10으로 길다.

따라서 가장 적절한 물병의 모양은 ③이다.

3 8개 6 4

최고 실력 완성하기

STEP

124쪽

문제 풀이

두 점 A와 B가 원점에 대하여 대칭이므로 3a+2=-(-5a+6)에서

3a+2=5a-6, 2a=8 ∴ a=4 -2b-1=-(3b+2)에서

-2b-1=-3b-2 ∴ b=-1

∴ a+b=3

소수는 2, 3, 5, 7, 11, y이므로 Ú x+y=2일 때, (1, 1)로 1개 Û x+y=3일 때, (1, 2), (2, 1)로 2개 Ü x+y=5일 때, (1, 4), (2, 3), (3, 2)로 3개 Ý x+y=7일 때, (2, 5), (3, 4)로 2개 따라서 구하는 순서쌍 (x, y)의 개수는 1+2+3+2=8(개)

△OPQ=;2!;

|

^-2a_3b ⁰₀ ^a_b ^-2a_3b

|

=;2!;|(0+0+3ab)-(0+0-2ab)|

=;2!;|5ab|

=;2%;ab

이때 △OPQ=15이므로 ;2%;ab=15 ∴ ab=6

다른풀이

a>0, b>0이므로 점 P는 제1사분

0

) )

1 B C 2 B C

Z

Y

면 위에, 점 Q는 제2사분면 위에 있 다.

오른쪽 그림과 같이 두 점 P, Q에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 H, H'

이라 하자.

△OPQ= PQH'H-△OQH'-△OPH

=;2!;(b+3b)_3a-;2!;_2a_3b-;2!;_a_b

=6ab-3ab-;2!;ab=;2%;ab

△OPQ=15이므로 ;2%;ab=15 ∴ ab=6

점 A가 x축 위의 점이므로 y좌표는 0 즉, 2-3b=0 ∴ b=;3@;

또, 점 B가 y축 위의 점이므로 x좌표는 0 즉, 3a-1=0 ∴ a=;3!;

따라서 A(2, 0), B(0, 2), C(1, 1)이므로 C'(-1, -1)

∴ △ABC'=;2!;

|

²₀ 0 2 -1

-1 2 0

|

=;2!;|(4+0+0)-(0-2-2)|

=;2!;|8|=4

다른풀이

A(2, 0), B(0, 2), C(1, 1), C'(-1, -1)

∴ △ABC'

0

3 # 2

$ 1

"

$

Z

Y

= PQRC'-△APC' -△ABQ-△BRC' =3_3-;2!;_3_1

-;2!;_2_2-;2!;_3_1 =9-;2#;-2-;2#;=4

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(7)

정비례와 반비례

2

ㄷ. y=1000x, ㄹ. y=1400x, ㅁ. y=6x y=-2x -;3$; y=;5#;x y=;5@;x

⑤ -10 S=;4!;aÛ`, (4, 2) ㄴ. y=:Á[¼: ㄷ. y=:ª[°: ㅁ. y=:¢[¼: y=;[(;

;3$; y= y=-;[@; 4 a=-1, b=-;2#; 8개

-2 A(-3, 4), B(3, -4) 10 y=:Á;[);¼:`(x>0)

2`cm :ª6°:초

x+aaÛ`

126~131쪽

주제별 실력다지기

STEP

문제 풀이

ㄱ. y=2x+8 ㄴ. y= 50x (반비례) ㄷ. y=1000x(정비례) ㄹ. y=1400x(정비례) ㅁ. y=6x(정비례)

;[};=-2이므로 y=-2x

y=ax(a+0)라 하고 x=-3, y=2를 대입하면 2=-3a ∴ a=-;3@;

즉, y=-;3@;x이므로 x=2일 때, y=-;3$;

A가 x바퀴 회전할 때의 톱니 수는 15x개, B가 y바퀴 회전할 때의 톱니 수는 25y개이므로

15x=25y ∴ y=;5#;x

주어진 그래프는 점 (5, 2)를 지나므로 y=ax에 x=5, y=2를 대입하면

2=5a, a=;5@; ∴ y=;5@;x

a+0일 때, 항상 |a|>0이므로 |a|=k라 하면 y=kx(k>0)의 꼴이다. 즉, 그래프는 제1사분면과 제3사 분면을 지나며, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

두 점 O(0, 0), A(3, -6)을 지나는 직선을 y=ax라 하고 x=3, y=-6을 대입하면

-6=3a ∴ a=-2

∴ y=-2x

y=-2x의 그래프 위에 점 C(5, k)가 있으므로 x=5, y=k를 대입하면

k=-2_5=-10

점 P(a, b)는 정비례 관계 y=;2!;x의 그래프 위의 점 이므로 점 P의 좌표를 {a, ;2!;a}라 하면

△OPM=;2!;_a_b=;2!;_a_;2!;a=;4!;aÛ`

∴ S=;4!;aÛ`

이때 S=;4!;aÛ`=4에서 aÛ`=16 ∴ a=4 (∵ a>0) 따라서 점 P의 좌표는 (4, 2)이다.

ㄱ. y=4x(정비례)

ㄴ. xy=10 ∴ y= 10x (반비례) ㄷ. xy=25 ∴ y= 25x (반비례) ㄹ. y=1000x(정비례)

ㅁ. ;2!;xy=20 ∴ y= 40x (반비례)

xy=a(a+0)라고 하면 x=3일 때, y=3이므로 a=9

∴ y=;[(;

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(8)

y=;[A;`(a+0)라고 하면 x=;3!;일 때, y=12이므로 12=3a ∴ a=4

즉, y=;[$;이므로 x=3일 때, y=;3$;

오른쪽 그림에서

Y B

B

Z

aÛ`=(a+x)y

∴ y= aÛ`x+a

주어진 그래프는 점 (1, -2)를 지나므로 y=;[A;에 x=1, y=-2를 대입하면

-2=;1A;, a=-2 ∴ y=-;[@;

점 P는 y=;[$;(x>0)의 그래프 위의 점이므로 점 P의

좌표를 {a, ;a$;}라고 하면 두 점 A, B의 좌표는 A(a, 0), B{0, ;a$;}

∴  OAPB=a_;a$;=4

다른풀이

반비례 관계 y=;[$;의 그래프 위의 한 점 P에 대하여 주어진

 OAPB의 넓이는 |4|=4이다.

점 (-1, 3)이 y= 3ax 의 그래프 위에 있으므로 y= 3ax 에 x=-1, y=3을 대입하면

3= 3a-1 ∴ a=-1 ∴ y=-;[#;

또, 점 {;2!;b, 4}가 y=-;[#;의 그래프 위에 있으므로 y=-;[#;에 x=;2!;b, y=4를 대입하면

4=- 3

;2!;b, 4= -6b ∴ b=-;2#;

y좌표, 즉 -;[^;이 정수가 되기 위해서는 x가 Ñ(6의 약수)이어야 한다.

따라서 x=Ñ1, Ñ2, Ñ3, Ñ6이므로 구하는 점의 좌표는 (-1, 6), (-2, 3), (-3, 2), (-6, 1), (1, -6), (2, -3), (3, -2), (6, -1)의 8개이다.

점 A는 y=-2x와 y=;[A;의 그래프 위의 점이므로 y=-2x에 x=-1을 대입하면 y=2

∴ A(-1, 2)

y=;[A;에 x=-1, y=2를 대입하면 2= a-1 ∴ a=-2

점 (-2, 6)은 y=;[B;의 그래프 위의 점이므로 y=;[B;에 x=-2, y=6을 대입하면

6= b-2 , b=-12 ∴ y=-12 x

이때 교점 B의 x좌표가 3이므로 y=- 12x 에 x=3을 대입 하면 y=-:Á3ª:=-4 ∴ B(3, -4)

또한, 점 B는 y=ax의 그래프 위의 점이므로 y=ax에 x=3, y=-4를 대입하면

-4=3a, a=-;3$; ∴ y=-;3$;x

이때 ab=(-12)_{-;3$;}>0이므로 두 점 A, B는 원점 에 대하여 서로 대칭이다.

∴ A(-3, 4), B(3, -4)

점 B의 좌표를 (p, q) (p>0, q>0)라 하면 어두운 사각형의 넓이는 pq=9 …… ㉠

점 B는 함수 y=;[B;의 그래프 위에 있으므로 q=;pB; ∴ b=pq …… ㉡

㉠, ㉡에서 b=9 ∴ y=;[(;

한편, 점 A의 y좌표가 -3이므로 y=;[(;에 y=-3을 대입 하면 -3=;[(;, x=-3 ∴ A(-3, -3)

또, y=ax의 그래프도 점 A를 지나므로 y=ax에 x=-3, y=-3을 대입하면 a=1

∴ a+b=1+9=10

돼지 우리의 넓이가 100`mÛ`이므로 xy=100 ∴ y= 100x (x>0)

△DPC의 넓이는 y=;2!;_x_3=;2#;x

y=3일 때, 3=;2#;x이므로 x=2

∴ PCÓ=2`cm

2. 정비례와 반비례 69

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(9)

③ ② 1 ② ;1Á8;ÉaÉ2 ;2!;

(3, 3), (-3, -3) 8개 y= x y=:£[¤: ;4%;

;3$; (3, -8) ;3!; ⑤

관계식：y=:ª[¢:, x의 값：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 풀이 참조 6 a-cc-b

132~136쪽

실력 높이기

STEP

문제 풀이

① ;2!;_x_2y=10, xy=10 ∴ y= 10x (반비례)

② 10x _100=y ∴ y=1000

x (반비례)

③ 1000_;10{0;=y ∴ y=10x(정비례)

④ xy=20 ∴ y= 20x (반비례)

⑤ 3_10=xy ∴ y= 30x (반비례)

①, ⑤와 같이 y=ax+b의 형태는 y가 x에 정비례하 지도, 반비례하지도 않는다.

② 5x=2y ∴ y=;2%;x(정비례)

③ 반비례

④ y=;[!;(반비례)

표현 단계 y의 2배가 x+3에 정비례하므로 x와 y 사이의 관 계식은 다음과 같다.

변형 단계 2y=a(x+3)(a+0) yy`㉠

풀이 단계 x=5, y=6을 ㉠에 대입하면

서술형

2_6=a(5+3), 12=8a ∴ a=;2#;

a=;2#; 을 ㉠에 대입하면

2y=;2#;(x+3) ∴ y=;4#;(x+3) y=3일 때, x의 값을 구하면 3=;4#;(x+3), x+3=4

확인 단계 ∴ x=1

x축은` y=0, 즉 y=0´x이므로` a=0일 때이다.

y=-3x는 a=-3일 때이다.

따라서 y=ax의 그래프가 두 직선 사이에 존재하려면 -3<a<0

y=;[*;에 x=2를 대입하면 y=4 y=;[*;에 x=12를 대입하면 y=;3@;이고

오른쪽 그림과 같이 a의 값은 Z Z: ZBY

0 Y

"

#Y [

y=ax의 그래프가 점 A를 지 날 때 최대, 점 B를 지날 때 최 소이다.

즉, y=ax에 점 A(2, 4)의 x A는 출발한 지 3초 후에 24`m를 갔으므로 y=ax에

x=3, y=24를 대입하면 24=3a, a=8 ∴ y=8x

B는 출발한 지 4초 후에 24`m를 갔으므로 y=bx에 x=4, y=24를 대입하면

24=4b, b=6 ∴ y=6x

이때, A, B 두 사람이 100`m를 달렸을 때 걸리는 시간을 각각 구하면

A：y=8x에 y=100을 대입하면 x=:ª2°:

B：y=6x에 y=100을 대입하면 x=:°3¼:

따라서 A, B 두 사람의 기록의 차는 :°3¼:-:ª2°:=:Á;6);¼:-:¦6°:=:ª6°:(초)

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(10)

좌표와 y좌표를 각각 대입하면 4=a_2 ∴ a=2

y=ax에 점 B{12, ;3@;}의 x좌표와 y좌표를 각각 대입하면

;3@;=a_12 ∴ a=;1Á8;

따라서 a의 값의 범위는 ;1Á8;ÉaÉ2

점 P는 함수 y=ax

1 N BN

0

% )

)

$

" # Z

ZBY

Y

의 그래프 위의 점이므로 좌표를 (m, am)이라 하 고, 오른쪽 그림과 같이 점 P에서 x축, y축 위에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라고 하자.

CDÓ=2, ABÓ=4, PÕH'Ó=m, PHÓ=am이므로

△PCD=;2!;_CDÓ_PÕH'Ó=;2!;_2_m=m

△PAB=;2!;_ABÓ_PHÓ=;2!;_4_am=2am 이때 △PCD=△PAB이므로

m=2am ∴ a=;2!;

x좌표와 y좌표가 같은 점의 좌표를 (a, a)라 하고 x=a, y=a를 y=;[(;에 대입하면

a=;a(;에서 aÛ`=9 ∴ a=Ñ3

따라서 구하는 점의 좌표는 (3, 3), (-3, -3)이다.

y=:ª[¢:에서 y가 양의 정수이므로 x는 24의 양의 약수 이다.

즉, x=1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이므로 8개이다.

a`%의 소금물 x`g에 녹아 있는 소금의 양은

;10A0;x yy`㉠

b`%의 소금물 y`g에 녹아 있는 소금의 양은

;10B0;y yy`㉡

㉠, ㉡을 더한 소금의 양은 c`%의 소금물 (x+y)`g에 녹아 있는 소금의 양과 같다. 즉,

;10A0;x+;10B0;y=;10C0;(x+y) (a-c)x=(c-b)y

∴ y= a-cc-b x

표현 단계 작은 톱니바퀴의 톱니의 수：18개 큰 톱니바퀴의 톱니의 수：x개

작은 톱니바퀴가 2바퀴 돌 때, 큰 톱니바퀴는 y바 퀴 돈다.

변형 단계 두 개의 톱니바퀴가 맞물려 돌아간 톱니의 수는 서 로 같으므로

풀이 단계 x와 y 사이의 관계식은 18_2=x_y y를 x에 대하여 풀면

확인 단계 y=:£[¤:

크기가 서로 다른 두 톱니바퀴가 회전할 때, 작은 톱니바퀴는 더 많 이 회전을 하고 큰 톱니바퀴는 더 적게 회전함을 이해한다.

y=4x이고, z=;]%;이므로 z=;4°[;에서 비례상수는 ;4%;

이다.

표현 단계 y=ax의 그래프가 직사각형 ABCD의 두 대각선 의 교점을 지나면 직사각형의 넓이를 이등분한다.

변형 단계 직사각형의 대각선의 교점은 점 A(1, 5)와 점 C(5, 3)의 중점이므로

{ 1+52 , 5+3

2 }, 즉 (3, 4)

풀이 단계 직사각형 ABCD의 넓이를 이등분하려면 y=ax 의 그래프가 점 (3, 4)를 지나야 한다.

x=3, y=4를 y=ax에 대입하면 4=a_3

확인 단계 ∴ a=;3$;

두 점 P, Q는 반비례 관계 y=;[A;의 그래프 위의 점이 므로 두 점 P, Q의 좌표는

P{3, ;3A;}, Q{4, ;4A;}

이때 점 Q의 y좌표가 점 P의 y좌표보다 크므로

;4A;-;3A;=2에서 -;12;=2

∴ a=-24

따라서 y=- 24x 에 x=3을 대입하면 y=-:ª3¢:=-8 ∴ P(3, -8)

표현 단계 [ y=2x y=ax에서

서술형

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(11)

풀이 참조 y=:Á3Á:x y=;5@;x 3ÉyÉ4 ;7@;ÉaÉ2

A(4, 12), B(4, -16) D(8, 9) B{:2M:, 0} y= 6x :£5¢:초 x-6

최고 실력 완성하기

STEP

137~139쪽 변형 단계 점 C의 x좌표가 6이면 점 A의 x좌표는 6-2=4

이다.

점 A는 y=2x 위의 점이므로 x=4를 대입하면 y=2_4=8, 즉 A(4, 8)

직사각형의 세로의 길이가 6이므로 점 C의 y좌표 는 8-6=2이다.

∴ C(6, 2)

풀이 단계 점 C(6, 2)는 직선 y=ax 위의 점이므로 x좌표와 y좌표를 각각 대입하면 2=a_6

확인 단계 ∴ a=;3!;

점 P의 좌표를 (x, y),  PQOR의 넓이를 S라 하면 S=xy`(S는 일정)이므로 `y= Sx `(S>0, x>0)

따라서 점 P(x, y)가 그리는 그래프의 모양으로 적절한 것 은 ⑤이다.

표현 단계 직사각형 모양의 가로에 놓인 타일 수는 x개, 세로 에 놓인 타일 수는 y개이고

변형 단계 전체 타일 수는 24개이므로 xy=24 ∴ y=:ª[¢:

풀이 단계 타일 수는 자연수이므로 가능한 x의 값은 24의 양 의 약수인 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이다.

확인 단계 관계식 y=:ª[¢:, x의 값：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

점 P가 BCÓ를 따라 점 B에서 점 C까지 움직이면

△ABP의 넓이는 점점 커지며 넓이는 BPÓ의 길이에 비례 한다.

서술형

즉, △ABP=;2!;_10_BPÓ=5x

그런데 점 P가 CDÓ 위에 있을 때의 △ABP의 넓이는 밑변 을 ABÓ, 높이를 BCÓ로 하는 삼각형과 넓이가 같다. 즉,

△ABP=;2!;_ABÓ_BCÓ

0

Z

Y

=;2!;_10_10

=50(cmÛ`)

따라서 구하는 그래프는 오른쪽과 같다.

표현 단계 주어진 그래프는 반비례하므로 y=;[A;`(a+0)라 하자.

변형 단계 점 P(-3, -1)을 지나므로 x=3, y=-1을 대입하면 -1= a-3 ∴ a=3 y=;[#;에서 xy=3

풀이 단계 A(p, q), 선분 AC

"

# $

0

1

Z

% Y

의 x축의 교점을 D 라고 하면 pq=3

△AOD

=;2!;_p_q

=;2!;_3=;2#;

이때 삼각형 ABC의 넓이는 삼각형 AOD의 넓이 의 4배이다.

확인 단계 ∴ △ABC=;2#;_4=6

서술형

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(12)

문제 풀이

0<x<1일 때, y=1000 1Éx<2일 때, y=2000 2Éx<3일 때, y=3000 3Éx<4일 때, y=4000

0

(원)

Y

Z

LH

4Éx<5일 때, y=5000 ⋮

이므로 그래프를 그리면 오른쪽과 같다.

두 톱니바퀴 P, Q의 톱니 수를 각각 11a, 3a라고 하 면 P의 1분 동안 맞물린 톱니 수는 11ax이고, Q의 1분 동 안 맞물린 톱니 수는 3ay이다.

두 톱니바퀴 P, Q는 맞물려 있으므로 1분 동안 맞물린 톱 니의 수는 같다. 즉,

11ax=3ay ∴ y=:Á3Á:x

매분 나오는 일정한 물의 양을 t라 하면 x분 동안 나 오는 물의 양 y`L는 y=tx이고, 5분 동안 2`L의 물이 흘러 나오므로 x=5, y=2를 대입하면

2=5t ∴ t=;5@; ∴ y=;5@;x

xy=240에서 y=:ª;[$;¼:

60ÉxÉ80이므로 x=60일 때 y=4이고, x=80일 때 y=3이다.

∴ 3ÉyÉ4

a의 값은 y=ax의 그래프가 점 A를 지날 때 최대이 고, 점 B를 지날 때 최소이다.

즉, y=ax에 점 A(2, 4)의 x좌표와 y좌표를 각각 대입하면 4=2a ∴ a=2

y=ax에 점 B(7, 2)의 x좌표와 y좌표를 각각 대입하면 2=7a ∴ a=;7@;

따라서 a의 값의 범위는 ;7@;ÉaÉ2

두 점 A, B의 x좌표를 a(a>0)

0

"

)

# Y Z

ZY ZY

라고 하면 점 A의 좌표는 (a, 3a), 점 B의 좌표는 (a, -4a)이다.

ABÓ=3a-(-4a)=7a

ABÓ와 x축이 만나는 점을 H라고 하면 OHÓ=a

△AOB=;2!;_7a_a=56

aÛ`=16 ∴ a=4 (∵ a>0)

∴ A(4, 12), B(4, -16)

점 B의 x좌표가 3이므로 점 A의 x좌표도 3이다.

따라서 y=3x에 x=3을 대입하면 y=9 ∴ A(3, 9) 점 C의 x좌표를 a라 하면 점 C는 y=;2!;x의 그래프 위에 있으므로 C{a, ;2!;a}, 즉 B{3, ;2!;a}

이때 사각형 ABCD는 정사각형이므로 ABÓ=BCÓ ABÓ=9-;2!;a, BCÓ=a-3

9-;2!;a=a-3, -;2#;a=-12 ∴ a=8

∴ C(8, 4)

이때 구하는 점 D의 x좌표는 점 C의 x좌표와 같고, y좌표 는 점 A의 y좌표와 같다. ∴ D(8, 9)

오른쪽 그림과 같이 두 점 B ^Z

Y

"[B @]

%[C @]

&[ ]BC @

와 C의 좌표를 B(a, 0), C(b, 0)이라고 하면 A{a, ;a#;}, D{b, ;a#;}, E{ a+b2 , 3

2a }이다.

점 E가 `y=;[#;`(x>0)의 그래프 위의 점이므로 점 E의 x좌표와 y좌표를 대입하면

;2£a;= 6a+b , 3(a+b)=12a ∴ b=3a

b=3a를 점 E의 x좌표와 y좌표에 대입하면 E{2a, ;2£a;}

이때 점 E의 x좌표가 m이므로 2a=m 즉, a= m2 ∴ B{ m2 , 0}

초점거리 6의 역수가 x, y 각각의 역수의 합과 같으므 로 ;[!;+;]!;=;6!;

양변에 6xy를 곱하면 6y+6x=xy, xy-6y=6x, (x-6)y=6x

∴ y= 6xx-6

시간을 t(초)라고 하면 t초 후에 두 점 P, Q가 움직인 거리는 각각 2t, 3t이다.

이때 두 점 P, Q가 만나기 위해서는 두 점이 움직인 거리 의 합이 직사각형의 둘레의 길이와 같으므로

2t+3t=34, 5t=34 ∴ t=:£5¢:(초) 따라서 두 점 P, Q는 :£5¢:초 후에 만난다.

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(13)

11개 ① Ñ1 또는 Ñ3 18 Q(-a, -b) 2

제 1 사분면 또는 제 3 사분면 ②, ③, ⑤ ③ ③ ④

⑴ 30초, 60초 ⑵ 해피, 대지, 구름 ⑶ 해피, 구름, 대지 ④ ④ ②

8개 -2ÉaÉ-1 1 9 8 y=;2#;x

A(2, 6) B{6, ;3$;} ;4#; 풀이 참조

단원 종합 문제

^140~144쪽

ⅠⅠⅠ

문제 풀이

세 점 A, B, C를 좌표평면 위에 나

0

$ "

#

Z

Y

타내면 오른쪽 그림과 같으므로

△ABC의 넓이는

;2!;_6_6=18

점 P를 x축에 대하여 대칭한 후 다시 y축에 대하여 대 칭한 것은 점 P를 원점에 대하여 대칭한 것과 같다.

∴ Q(-a, -b)

a>0이므로 P{a, ;a!;}은

#[B @Å] "[B @Å]

1[B @Å]

0 Z

Y

제1사분면 위의 점이다.

또, 점 P와 x축에 대하여 대칭 인 점 A의 좌표는 {a, -;a!;}, 원점에 대하여 대칭인 점 B의 좌표는 {-a, -;a!;}이므로

APÓ=;a!;-{-;a!;}=;a@;, ABÓ=a-(-a)=2a

∴ △PAB=;2!;_APÓ_ABÓ

=;2!;_;a@;_2a=2

ab<0에서 a>0, b<0 또는 a<0, b>0이다.

Ú a>0, b<0이고 |a|>|b|일 때, 양수인 a의 절댓값이 음수인 b의 절댓값보다 크므로 a+b>0, a-b>0 따라서 점 P는 제1사분면 위의 점이다.

Û a<0, b>0이고 |a|>|b|일 때, 음수인 a의 절댓값이 양수인 b의 절댓값보다 크므로 a+b<0, a-b<0 따라서 점 P는 제3사분면 위의 점이다.

Ú, Û에서 점 P는 제1사분면 또는 제3사분면 위의 점이 다.

점 P가 제3사분면 위의 점이므로 a는 1, 2, 3 중의 한 수이고, b는 2, 3, 4, 5 중의 한

수이므로 aÉb를 만족하는 순서쌍은

Ú a=1일 때, b=2, 3, 4, 5가 가능하므로 순서쌍은 4개 Û a=2일 때, b=2, 3, 4, 5가 가능하므로 순서쌍은 4개 Ü a=3일 때, b=3, 4, 5가 가능하므로 순서쌍은 3개 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 4+4+3=11(개)

-2<a<-1이므로 1<aÛ`<4 1<b<2이므로 -2<-b<-1

따라서 -1<aÛ`-b<3이므로 점 P의 위치가 될 수 없는 곳은 ①이다.

다른풀이

1<aÛ`<4와 1<b<2에서 적당한 a, b를 정하여 aÛ`-b의 값을 구해도 된다. 즉,

Ú aÛ`=1.1, b=1.9일 때 aÛ`-b=-0.8로 ②에 위치한다.

Û aÛ`=2.1, b=1.9일 때 aÛ`-b=0.2로 ③에 위치한다.

Ü aÛ`=3.1, b=1.2일 때 aÛ`-b=1.9로 ④에 위치한다.

Ý aÛ`=3.9, b=1.1일 때 aÛ`-b=2.8로 ⑤에 위치한다.

|a|+1=2|a|-1에서 |a|=2이므로 a=Ñ2 3|b|+4=|b|+6에서 2|b|=2, |b|=1이므로 b=Ñ1 따라서 a=2, b=1일 때 a+b=3

a=2, b=-1일 때 a+b=1 a=-2, b=1일 때 a+b=-1 a=-2, b=-1일 때 a+b=-3 따라서 a+b의 값은 Ñ1 또는 Ñ3

점 A(3, 3)과 x축에 대하여 대칭의 점의 좌표는 B(3, -3)

점 A(3, 3)과 y축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 C(-3, 3)

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(14)

(x좌표)<0, (y좌표)<0

a-b<0, 즉 a<b이고 ab<0이므로 a<0, b>0

따라서 점 Q(-a, b)는 -a>0, b>0이므로 제1사분면 위 의 점이다.

②

0 Z

Y

③

0 Z

Y

⑤

0 Z

Y

올라갈 때보다 내려올 때 걸린 시간이 적으므로 그래 프의 직선은 올라갈 때가 완만하고 내려올 때가 급한 경사 를 갖게 된다. 또, 산정상에서 1시간을 쉬었으므로 올라갈 때와 내려올 때의 사이에는 평평한 구간이 있어야 한다.

따라서 가장 적당한 그래프는 ③이다.

주의

②의 그래프는 올라갈 때의 속도가 내려올 때의 속도보다 빠른 경우이다.

0 Z

Y

ⓐ

ⓑ

ⓒ

ⓓ

ⓔ

구간으로 나누면

후부터 4시간 후까지 1시간 동안 10`km를 달렸다. 이후 ⓔ 1시간 동안 90`km를 달렸다.

① 위에서 구름이가 차를 타고 달린 거리는 총 100+20+10+90=220(km)

② ⓓ 구간은 약속장소 방향으로 가는 것을 나타낸다.

③ 갈 때는 1시간 동안 100`km를 갔으므로 평균속력은 100`km/시, 올 때는 4시간 동안 120`km를 갔으므로 평균속력은 :Á;4@;¼:=30(km/시)

따라서 올 때의 속력이 훨씬 느리다.

⑤ 약속장소에 다녀오는 데 총 5시간이 걸렸다.

그래프를 보면 변수 y의 값이 일정하다.

따라서 일정한 속력으로 달리는 ④의 그래프로 보는 것이 가장 알맞다.

①

0 Z

Y

②

0 Z

Y

③

0 Z

Y

⑤

0 Z

Y

⑴ 해피가 대지를 30초에 역전하여 순위가 바뀌고, 구 름이가 대지를 60초에 역전하여 순위가 바뀐다.

⑵ 출발한 지 50초일 때, 출발점에서 가장 멀리 간 사람은 해피, 대지, 구름 순이다.

⑶ 결승점에 들어온 순서는 400`m를 가장 빠른 시간에 도 착한 그래프 순서이므로 해피, 구름, 대지 순이다.

처음엔 짧은 시간 동안 물의 높이가 급격하게 낮아졌 고, 꺾인 점 이후로 직선이 완만해졌으므로 수조의 윗부분 은 좁고, 밑부분은 넓은 2단 케이크의 형태임을 알 수 있다.

따라서 가장 적당한 수조의 형태는 ④이다.

y가 x에 정비례하므로 관계식을 y=ax라 하자.

x=2, y=-1을 대입하면 -1=2a ∴ a=-;2!;

∴ y=-;2{;

반비례 관계 y=-;[$;의 그래프는 제2, 4사분면을 지 난다.

그런데 x>0이므로 그래프는 제4사분면만 그려진다.

y=;[%;의 그래프 중에서 x, y가

0

Z

Y

정수인 점을 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

따라서 제1사분면에 8개 존재한다.

반비례관계의그래프와x축,y축의사이에있는정수인순서쌍 (x,y)이므로그래프위의점(1,5),(5,1)은해당되지않음에유의한다.

y=ax의 그래프가 선분 AB와 만날 때, a의 값은 점 A를 지날 때 최소, 점 B를 지날 때 최대이다.

즉, y=ax에 점 A(1, -2)의 x좌표와 y좌표를 대입하면 a=-2

y=ax에 점 B(5, -5)의 x좌표와 y좌표를 대입하면 a=-1

따라서 a의 값의 범위는 -2ÉaÉ-1

단원종합문제75

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(15)

y=;[K;에 점 A(2, 6)의 x좌표와 y좌표를 대입하면 6=;2K; ∴ k=12

따라서 y=:Á[ª:에` 점 B(12, a)의 x좌표와 y좌표를 대입하면 a=;1!2@;=1

점 (4, 3)의 x좌표와 y좌표를 각 그래프의 식에 각각 대입하면

3=4a, 3=;4B;`

따라서 a=;4#;, b=12이므로 ab=;4#;_12=9

y=;2#;x의 그래프 위의 한 점의 x좌표가 2일 때, y=3`

이다.

즉, y=;[A;는 점 (2, 3)을 지나므로 x=2, y=3을 대입하면 3=;2A; ∴ a=6

따라서 점 (3, b)가 y=;[^;의 그래프 위에 있으므로 x=3, y=b를 대입하면

b=;3^;=2

∴ a+b=6+2=8

두 톱니바퀴 A와 B의 톱니 수의 비가 36`:`24=3`:`2 이므로 A가 2회전할 때, B는 3회전한다. 즉,

x`:`y=2`:`3, 2y=3x

∴ y=;2#;x

점 A의 좌표를 (a, 3a)라 하고

0 %

"

#

$ Z

Y

점 A에서 x축 위에 내린 수선의 발 을 D라 하면

ODÓ=a, ADÓ=3a, CDÓ=10-a이 므로

 OABC=△OAD+ABCD

=;2!;_a_3a+;2!;(3a+10)(10-a)

=;2#;aÛ`+;2!;(3a+10)(10-a)

=10a+50=70 10a=20 ∴ a=2

따라서 구하는 점 A의 좌표는 A(2, 6)이다.

x와 y 사이의 관계식을

0

" 

$ Q 

Z

Y

#[Q O]

y=;[A;라 하자.

그래프가 점 (2, 4)를 지나므로 x=2, y=4를 대입하면 4=;2A; ∴ a=8 즉, y=;[*;

q=;p*;이므로 BCÓ=;p*;

∴  OABC =;2!;_{2+;p*;}_p

=p+4=10

∴ p=6 ∴ B{6, ;3$;}

ABÓ와 y=ax의 그래프의 교점을

0

"

#

Z

Y ZBY

P(k, ak)라 하면 1

△AOP=;2!;_3_k=;2#;k

△BOP=;2!;_4_ak=2ak

△AOP=△BOP이므로 ;2#;k=2ak

∴ a=;4#;

Ú 점 P가 ABÓ 위에 있을 때 y=;2!;_2x_40=40x`(0<x<10) Û 점 P가 `BCÓ 위에 있을 때

y=;2!;_20_40=400`(10Éx<30) Ú, Û에 의하여 x와 y 사이의 관계를

0

Z

Y

그래프로 나타내면 오른쪽 그림과 같 다.