연습문제 풀이

(1)

Copyright  Chul-Goo Kang

연습문제 풀이

학습목표

1. 근궤적 그리는 문제 풀이 2. 근궤적 활용에 대한 문제 풀이

3. 운반지연이 있는 경우의 근궤적 문제 풀이

(2)

Copyright  2005 by Chul-Goo Kang

2

1 ( 4 5) s s  s

2

2 3 2 2

( ) ( )

( 4 5)

: 1 0

( 4 5) : 0, 2 , 2

: .

180 (1 2 )

: 60 , 60 , 180

3 0

( 2 ) ( 2 ) 0 4

3 0 3

: ( 4 5) ( 4 5 ), (3 8 5)

a

G s H s K

s s s

K s s s

s i i

k

i i

K s s s s s s dK s s

ds





  

  

 

     

   



      

 



            

특성방정식 개루프극점 개루프영점 없음 점근선

이탈점

3 2

2 2

1

(3 5)( 1) 0

5 5

1, ( 1 2, 1.85 )

3 3

: ( ) 4( ) 5( ) 0

( 4 ) (5 ) 0 0, 0 5, 20

2 0 tan ( 1) 9

2

s s

s s K s K

s j j j j K

K j K or K

s i GH

   

    





   

         

    

          

        

일때 일때 이므로 이탈점 또는 복귀점임

허수축과의 교점 를 특성방정식에 대입하면

에서 출발각도: 0 180   



423.43  63.43 문제: 다음 시스템에 대하여 K에 대한 근궤적을 그려라.

풀이:

+ -

R(s) E(s) C(s)

K

(3)

이 시스템의 거동:

0 < K <1.852 이면 부족감쇠시스템 1.852 < K <2 이면 과감쇠시스템

K > 2 이면 부족감쇠시스템

(4)

1 ( 3)

s s s





2 2

2

( 1) ( ) ( )

( 3)

( 1)

: 1 0

( 3) : 0, 3

: 1

: , .

180 (1 2 )

: 180 , 180

2 1

( 3) 3 (2 3)( 1) ( 3 ) 1

: , 0

1 1 ( 1)

a

G s H s K s s s

K s s s s s

k

s s s s dK s s s s

K s s ds s



 



   



 

 



   



      

      

  

특성방정식 개루프극점 개루프영점

실수축 상에서의 근궤적 3과 0 사이 -1과 - 사이 점근선

이탈점

2 2

(2 3)( 1) ( 3 ) 1 2 3 ( 3)( 1) 0 1, 3

( 1 1, 3 9 )

: ( ) ( 3)( ) 0

( ) ( 3) 0 0, 0 3, 3

10

s s s s s s s s s

s K s K

s j j K j K

K j K K or K

K

  

   

               

    

    

          



일때 일때 이므로 이탈점 또는 복귀점임

허수축과의 교점 를 특성방정식에 대입하면

일 때 폐루프극점은 (s s 3) 10(s 1) s²7s100    s 2, 5

문제: 다음 시스템에 대하여 K에 대한 근궤적을 그려라. 그리고 K = 10일 때 폐루프극점을 표시하여라.

풀이:

+ -

R(s) E(s) C(s)

K

(5)

2 ( 3) s s 

3 2

1 1

2 1 2 1

( ) ( ) : 1 0

( 3) ( 3)

1 2

( 3) 2 1 0 ( 3 2 ) 0 Let 2 . Then ( 3 2 ) 0

1 0

3 2

: 0, 1, 2 : :

Ts Ts

G s H s

s s s s

s s s s s

Ts T

K s s s K

T K

s s s

s

     

   

   

   

 

 

          

    

  

 

   

특성방정식

개루프극점 개루프영점 없음

실수축 상에서의 근궤적 0

3 2 2

, .

180 (1 2 ) 3 0

: 60 , 60 , 180 1

3 0 3 0

: 3 2 , 3 6 2 0 0.42, 1.58

( 0.42 0, 1.58 0 1.58 )

:

a a

k

K s s s dK s s s

ds

s K s K s

s j

 





  

     

 

             

       



과 -1 사이 -2와 - 사이 점근선

이탈점

일때 일때 이므로 은 이탈점 또는 복귀점이 아님

허수축과의 교점 를 특성방정 ( )³ 3( )² 2( ) 0

6 1 3

1 .

3

. .

j j j K

K T

T

K T

      

   

 

식에 대입하면

일 때 이 시스템은 안정하다

참고 근궤적 상에서 가 증가하는 방향은 가 감소하는 방향이다

문제: 다음 시스템에서 T 에 대한 근궤적을 그려라. 그리고 이 시스템이 안정할 T 의 범위는?

풀이:

+ -

R(s) 1 C(s)

1

Ts

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Root Locus

Real Axis

Imaginary Axis

T = 1/3

(6)

2 4 3 2

( 1) ( 1)

( ) ( )

( 1)( 4 16) 3 12 16

K s K s

G s H s

s s s s s s s s

 

 

     

문제: 다음 개루프 전달함수를 가진 시스템에 대하여 K에 대한 근궤적을 그려라. 그리고 이 시스템이 안정하게 될 K의 범위를 구하여라.

풀이: 이 시스템은 좀 복잡하므로 CEMTool (또는 MATLAB)을 이용하여 근궤적을 그려 보자.

2

( 1) ( ) ( )

( 1)( 4 16) G s H s K s

s s s s

 

  

CEMTool (또는 MATLAB)을 실행한 다음 아래 명령을 입력한다.

num = [1 1];

den = [1 3 12 –16 0];

K = 0: 0.01 : 200;

rlocus(num, den, K)

그러면 오른쪽과 같은 근궤적을 얻을 수 있다.

그러므로 안정할 K의 범위:

23.5< K <35.9

즉, 이 시스템은 조건부 안정시스템이다.

-4 -3 -2 -1 0 1 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

4 ^{Root Locus}

Real Axis

Imaginary Axis

K = 35.9 K = 23.5

K = 70.6 K = 3.1

K = inf K = 0

K = 0

(7)

4 3 2

20 180 840 1680 20 180 840 1680

s s s s s

e s s s s

     

   

문제: 다음 개루프 전달함수를 가진 시스템에 대하여 K에 대한 근궤적을 그려라. 그리고 이 시스템이 안정하게 될 K의 범위를 구하여라.

풀이: 이 시스템은 운반지연 또는 불감시간이 1초인 무리함수 형태의 개루프전달함수를 갖는 경우이다. 지수함수를 pade 근사화에 의해 4차의 유리함수로 근사화한 다음 CEMTool (또는 MATLAB)으로 근궤적을 그려 보자.

( ) ( ) 1 Ke s

G s H s s

 



CEMTool (또는 MATLAB)을 실행한 다음 아래 명 령을 입력한다.

[num, den] = pade(1, 4);

그러면 다음과 같은 전달함수를 얻을 수 있다.

CEMTool (또는 MATLAB)에서 아래 명령을 입력 한다.

denom = conv(den, [1 1]) K = 0: 0.01: 50;

rlocus(num, denom, K)

그러므로 0 < K < 2.3의 범위에서 이 시스템은 안 정하다. 더 정확한 값은 0 < K < 2.26 이다.

Root Locus

Real Axis

Imaginary Axis

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

K=2.3 K=9.2