Impact of Secondary Currents on Solute Transport in Open-Channel Flows over Smooth-Rough Bed Strips

水 工 學

大 韓 土 木 學 會 論 文 集

第29卷 第1B 號·2009年 1月 pp. 73 ~ 81

粗·細粒床의 연속구조를 갖는 개수로 흐름에서 오염물질 수송에 대한 이차흐름 영향 분석

Impact of Secondary Currents on Solute Transport in Open-Channel Flows over Smooth-Rough Bed Strips

강형식*·최성욱**·김규호***

Kang, Hyeongsik

·

Choi, Sung-Uk

·

Kim, Kyu-Ho

···

Abstract

This paper presents a numerical investigation of the impact of the secondary currents on solute transport in open-channel flows. The RANS model with Reynolds stress model is used for flow modeling, and the GGDH(generalized gradient diffusion hypothesis) model is used to close the scalar transport equation. Using the developed model, the impact of secondary currents on solute transport in open channel flows over smooth-rough strip is investigated. Through numerical experiments, the sec- ondary currents are found to affect the solute spreading, leading a movement of the position of the peak concentration and a skewed distribution of solute concentration. Due to the lateral flow of secondary currents near the free surface, the concen- tration at the rough strip is found to be larger than that at the smooth strip bed. The solute at the rough strip is more rapidly transported than smooth bed. A magnitude analysis of the solute transport rate in scalar transport equation is also carried out to investigate the effect of secondary currents and scalar flux on the concentration distribution.

Keywords : solute transport, secondary currents, Reynolds stress model, GGDH model, mean concentration, scalar flux

···

요 지

본 연구에서는 개수로 흐름에서 오염물질 이동 현상에 대한 이차흐름의 영향을 분석하였다. 운동량 방정식과 스칼라 수송 방정식에서의 난류 폐합을 위해 레이놀즈응력 모형 및 GGDH 모형을 사용하였다. 개발된 모형을 이용하여 조·세립상의 횡 방향 연속구조를 갖는 개수로 흐름에서의 오염물질 이동에 대한 이차흐름의 영향을 분석하였다. 그 결과, 이차흐름의 영향으 로 인해 최대 농도 값의 발생 위치가 이동하는 것으로 나타났으며, 농도 분포 역시 정규 분포에서 거리에 따라 점차 왜곡 되는 것으로 확인되었다. 또한, 이차흐름의 영향으로 자유수면 근처에서는 매끄러운 하상에 비해 거친 하상에서의 오염물질 농도가 더 크게 발생되었으며, 스칼라-흐름률을 계산한 결과, 오염물질의 수직방향 확산은 매끄러운 하상에 비해 거친 하상 에서 더 빨리 진행되는 것으로 확인되었다. 한편, 농도 분포 변화에 대한 이차흐름 및 스칼라-흐름률의 영향을 살펴보기 위 하여 스칼라 수송률 분석을 수행하였다.

핵심용어

:

오염물질 수송, 이차흐름, 레이놀즈응력모형, GGDH 모형, 평균농도, 스칼라-흐름률

···

1.

서 론

직선 개수로 흐름에서 발생되는 이차흐름은 그 크기가 주 흐름방향 평균유속의 약 2-3%에 불과하지만, 평균유속과 난 류구조 및 오염물질의 이동에 매우 큰 영향을 미치는 것으 로 알려져 있다. 이와 같은 이차흐름의 생성 원인은 주로 난류의 비등방성에 의해 발생되는데, 수로의 형태와 측벽 및 바닥에서 서로 다른 조도 등의 영향에 의해 다양한 구조의 이차흐름이 형성된다. 특히, 실제의 자연 상태에서 흔히 볼 수 있는 격자형 이차흐름(cellular secondary current)은 하

상이 상대적으로 매끄러운 구간과 거친 구간이 연속으로 존 재하는 경우이거나, 마찬가지로 언덕과 저면의 연속구조가 존재하는 경우에 형성된다. 일반적으로 수심-폭의 비가 B/H

>5-6

인 경우, 수로의 중앙부에서는 측벽의 효과가 전달되지

않고, 渦의 생성항인 의 값이 거의 영이기 때문에 이 영역에서는 이차흐름과 이에 따른 velocity dip 현상이 형성되지 않는다. 그러나 많은 연구자에 의해 B/H >

5-6

인 실제 하천의 중앙부에서 velocity dip 현상이 발생되 는 것이 확인되었으며(Nezu와 Nakagawa, 1993), 이에 대한 원인이 격자형 이차흐름인 것으로 나타났다. 격자형 이차흐

∂ v′ (

²–w′²

) ∂y∂z ⁄

*정회원·교신저자·한국건설기술연구원 하천·해안연구실 박사후연구원 (E-mail : [email protected])

**정회원·연세대학교사회환경시스템공학부교수 (E-mail : [email protected])

***정회원·한국건설기술연구원 하천·해안연구실 책임연구원 (E-mail : [email protected])

름 구조에 대해서는 지금까지 많은 연구가 진행되어 왔으나

(Muller

와 Studerus, 1979; McLean, 1981; McLelland 등,

1999; Wang

과 Cheng, 2005; Nezu와 Nakagawa, 1984;

Naot, 1984; Ohmoto

와 Hayashi, 2003; Choi 등, 2007),

격자형 이차흐름이 스칼라 수송에 미치는 영향에 대한 연구 는 극히 드물다.

개수로 흐름에서 오염물질 거동에 대한 난류 수치해석 연 구로는 Simoes와 Wang(1997), Prinos(1992), Lin과 Shiono

(1995), Shiono

등(2003)이 있다. 먼저 Simoes와 Wang

(1997)

과 Prinos(1992)는 각각 혼합거리모형(mixing length

model)

및 선형 k-

ε

모형을 사용하여 개수로 흐름에서 오염

물질의 이동을 수치모의 하였다. 그러나 이들의 연구에서 사 용된 난류모형은 모두 등방성 모형이기 때문에 오염물질의 수송에 대한 이차흐름의 영향을 계산에 반영할 수 없었다.

또한 Lin과 Shiono(1995)는 선형 및 비선형 k-

ε

모형을 이 용하여 복단면 수로에서의 평균농도를 수치모의 하였다. 비 선형 k-

ε

모형은 Launder와 Ying(1973)이 제시한 LY 모형 을 사용하였다. 그 결과 비선형 k-

ε

모형에 의해 계산된 결 과가 기존의 실험 결과와 더 잘 일치하는 것으로 나타났으 며, 특히 복단면의 접합부 근처에서 발생되는 이차흐름의 영 향으로 이 영역에서 두 모형에 의한 평균농도 분포의 차이 가 크게 발생하는 것으로 나타났다. Shiono 등(2003)은 Lin 과 Shiono(1995)와 동일하게 선형 k-

ε

모형과 비선형 k-

ε

모형인 LY모형을 이용하여 복단면 수로를 수치모의 하였다. 그 결과 비선형 k-

ε

모형에 의한 평균농도 분포는 거리에 따라 이차흐름의 진행 방향으로 첨두농도의 발생 위치가 이동하 는 것으로 나타났으며, 농도 분포 역시 정규분포에서 왜곡된 형상을 보이는 것으로 나타났다.

이상과 같이 개수로 흐름에서의 오염물질 거동에 대한 연 구는 난류흐름 특성을 해석한 연구에 비해 그 수가 매우 적 음을 알 수 있다. 특히, 흐름해석을 위해 등방성과 비등방성 의 난류해석을 수행하였지만, 앞에서 언급된 모든 연구에서 는 스칼라 수송방정식에서 스칼라-흐름률(scalar flux)을 모형 화하기 위해 등방성의 난류확산개념(eddy diffusivity concept) 을 이용하였다. 난류확산개념은 스칼라-흐름률이 단순히 평 균농도에 비례하며, 비례상수 역시 세 방향으로의 스칼라-흐 름률에 동일하게 적용되기 때문에 스칼라-흐름률의 모든 성 분을 정확히 예측하는 것은 불가능하다. 이외에도 난류확산 개념의 또 다른 문제점은 난류확산계수를 산정하기 위해 난 류점성계수를 이용하고 비례상수로서 난류 슈미트 수(turbu-

lent Schmidt number)

를 사용하는데, 아직까지 난류 슈미트

수에 대한 일반적인 값이 제시된 바 없다. 따라서 대부분의 연구에서는 운동량의 확산과 스칼라의 확산이 동일하다는 가 정하에 1.0의 슈미트 수를 사용하여 수치모의 한다. 그러나

Simoes

와 Wang(1997)의 연구에 따르면 난류 슈미트 수는

비등방의 성질을 갖으며, 모든 방향으로 1.0을 적용하였을 경우 보다 횡방향과 수직방향으로 각각 0.5와 1.0을 사용하 였을 경우 더 좋은 결과를 보인다고 보고한 바 있다. 따라 서 개수로 흐름에서의 오염물질 거동을 수치모의 하기 위해 서는 비등방성의 흐름 해석 모형 및 비등방성의 스칼라-흐름 률 모형이 필요할 것으로 판단된다.

본 연구의 목적은 개수로 흐름에서의 오염물질 거동에 대

한 이차흐름의 영향을 분석하는 것이다. 이를 위해 등류의 3차 원 수직모형을 구성하고 운동량 방정식과 스칼라 수송방정식 에서의 난류 폐합을 위해 2차 폐합모형인 레이놀즈응력 모형 및 GGDH 모형을 사용하였다. 레이놀즈응력모형은 모든 난류 모형 중 가장 정확하다고 알려진 모형이며, GGDH 모형은 비 등방성의 스칼라-흐름률 모형이다. 개발된 모형을 이용하여 매 끄러운 하상-거친 하상의 횡방향 연속구조를 갖는 개수로 흐름 에서 오염물질이 한점으로 주입된 경우와 다점에서 주입된 경 우 오염물질의 거동에 대한 이차흐름의 영향을 살펴보았다. 또 한 계산결과를 이용하여 수직방향으로의 난류 슈미트 수를 분 석하였으며, 스칼라 수송률 분석을 통하여 평균농도 변화에 대 한 스칼라-흐름률 및 이차흐름의 영향에 대해 고찰하였다.

2.

수치모형

2.1

흐름 해석 모형

흐름이 등류 상태인 개수로 흐름에서 Navier-Stokes 방정 식을 시간 평균하여 유도된 연속방정식과 운동량 방정식은 다음과 같다.

(1)

(2)

여기서 는 i-방향으로의 평균유속,

ρ

는 유체 밀도, P는 평균 압력,

ν

는 동점성계수, 는 레이놀즈응력, g

i

는 중력가속도이다. 운동량 방정식 식(2)에서 레이놀즈응력을 위 해 레이놀즈응력 모형을 사용하였다. 레이놀즈응력모형은 레 이놀즈응력의 수송방정식을 해석하는 모형인데, 수송방정식에 포함된 난류 확산항, 소산률 항, 압력-변형률 상관항에 대한 모델링이 필요하며, 각 항을 모형화한 레이놀즈응력의 수송방 정식은 다음과 같다.

(3)

여기서 R

ij(= )

는 레이놀즈응력, k는 난류운동에너지,

ε

은 k의 소산율, P

k

는 난류운동에너지의 생성항, C

s(=0.22/3)

는 모형 상수, b

ij

는 비등방 텐서, S

ij

는 변형률 텐서, W

ij

는 회전률 텐서,

δij

는 Kronecker delta,

α0-α5

는 모형상수로서 각각

α0= -3.4, α1=4.2, α2=0.8-1.3(bmnbnm)1/2, α3= -1.8, α4= 1.25, and α5=0.4, Cfs,1(=0.5)

과 C

fs,1(=0.1)

는 모형상수, fs는 자유수면 감쇠함수(damping function)이다. 식(3)과 같이 구 성된 레이놀즈응력 모형은 기존의 다양한 개수로 흐름에 적

∂u

_i

∂x

_i ---=0

∂u

_i --- u

∂t

_j

∂u

_i

∂x

_j ---

+ 1

ρ

--- –

∂p

∂x

_i ---

∂

∂x

_j --- v

∂u

_i

∂x

_j ---

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞ ∂u

i′u_j^′

∂x

_j --- g+ _i – +

=

u_i

u_i^′u_j^′ –

u_k

∂R

_ij

∂x

k

--- R_ik

∂u

j

∂x

k

--- R_jk

∂u

i

∂x

k

---

⎝

+

⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

–

ε

k--R_ij –

=

C_s

∂

∂x

_k --- k²

---

ε ∂R

_ij

∂x

_k ---

∂R

_ik

∂x

_j ---

∂R

_jk

∂x

_i ---

+ +

⎝ ⎠

⎛ ⎞

+

α

₀

ε

^b_ij

α

₁

ε (

^b_ik^b_jk–^{1 3 b}

⁄ ⋅

_mn^b_nm

δ

_ij

) α

₂^kS_ij

α

₃^P_k^b_ij

+ + + +

+

α

4k b

(

_ikS_jk+b_ijS_ik–2 3 b

⁄ ⋅

_klS_kl

δ

ij

)

+

α

5k b

(

_ikW_jk+b_ijW_ik

)

+C_{fs 1,}

ε

k-- R_kmn_kn_m

δ

_ij 3

2---R_kin_kn_j 3 2---R_kjn_kn_i –

⎝

–

⎠

⎛ ⎞ f ⋅

_s

+C_{fs 2,}

Π

km 2, n_kn_m

δ

ij

3

2---

Π

ki 2, n_kn_j 3 2---

Π

kj 2,

– n_kn_i

⎝

–

⎠

⎛ ⎞ f ⋅

_s

u_i^′u_j^′

용된 바 있다(Choi와 Kang, 2008).

2.2

오염물 수송 모형

시간평균된 스칼라의 수송방정식은 다음과 같다.

(4)

여기서 은 평균농도,

λ

는 분자 확산계수, 는 난류 스 칼라-흐름률이다. 식(4)에서 스칼라-흐름률을 위해 Daly와

Harlow(1970)

가 제안한 다음과 같은 GGDH 모형을 사용하

였다.

(5)

여기서 C

c(=0.22)

는 모형 상수이다. 식(5)와 같은 GGDH 모 형은 스칼라-흐름률 대수식 모형 중 가장 간단하며, 공학적으 로 가장 많이 사용되는 모형이다. 특히 GGDH 모형은 스칼 라-흐름률 대수식 모형(Algebraic Scalar Flux Model) 중 하 나로서 최근 Kang과 Choi(2008)가 다양한 스칼라-흐름률 대 수식 모형의 성능 평가에 관한 연구 결과, 가장 단순하며 비 교적 정확한 예측을 수행할 수 있는 모형인 것으로 나타났다.

3.

수치 모형 검증

개수로 흐름에서 스칼라-흐름률을 측정하기 위해서는 순간

유속 및 순간 농도를 동시에 관측해야 하므로 개수로 흐름 에서의 스칼라-흐름률에 대한 실내 실험 결과는 극히 드문 상태이며, 특히 매끄러운 하상-거친 하상을 갖는 개수로 흐 름에서의 스칼라-흐름률은 전무하다. 따라서 본 연구에서는 개발된 수치모형의 정확성을 분석하기 위해 직사각형 및 복 단면 개수로 흐름에서의 Kearney(2000)와 Shiono 등(2003) 의 실험 데이터를 이용하였다. 직사각형 개수로에 대한 실험 에서는 수심 H = 0.085 m, 수로 폭 B = 1.2 m이고, 바닥 경사 S = 5×10

⁻⁴

이다. 염료 주입 위치는 y = 0.085 m과 z =

0.082 m

이며, 염료 농도는 2500 ppb이다. 또한 복단면 수

로에 대한 실험 조건으로는 주수로와 홍수터의 수심이 각각

H = 0.11 m

와 h = 0.055 m, 주수로와 홍수터의 폭은 b

m=

0.1 m

와 b

f= 0.1 m

로서 전체 수로 폭은 0.2 m이고, 바닥

경사는 S = 5×10

⁻⁴

이다. 염료 주입 위치는 y = 0.1 m과 z =

0.108 m

이고, 염료 농도는 2500 ppb이다. 또한 각각의 실

험에서의 염료 주입은 1점 주입으로서 위치는 모두 자유수 면 근처이며, 사용된 염료가 Rhodamine 6G로서 염료가 흐 름에 영향을 미치지 않는 수동 스칼라(passive scalar)이다. 실 험에 사용된 순간 유속 및 순간 농도 측정은 LDA(Laser

Doppler Anemometer)

와 LIF(Laser Induced Fluorescence)를 이용하여 흐름과 농도를 동시에 측정하였으며, 측정 위치는 염 료 주입 위치로부터 하류 방향으로 1 m 떨어진 단면이다.

그림 1은 직사각형과 복단면 수로에서의 평균농도에 대한

∂c ∂t

--- u_i

∂c

∂x

_i ---

+

∂

∂x

_i

---

⎝ ⎛ λ ∂c ∂x

--- u_i– _i^′c^′

⎠ ⎞

=

c u_i^′c

′

u_i^′c^′ –C_ck

ε

--u_i^′u_j^′

∂c

∂x

_j ---

=

그림

1.

직사각형 및 복단면 수로에서의 평균농도 분포

계산결과와 실험 결과의 비교를 보여준다. 그림에서 y는 가 로축이고, z는 세로축을 나타낸다. 그림 1(a)의 직사각형 수 로에서의 평균농도 분포를 살펴보면, 전반적인 농도 분포는 정규분포와 유사하게 좌우 대칭을 이루며, 평균농도의 최대 값은 염료 주입 위치 z = 0.082 m로부터 멀어짐에 따라 최 대 농도 값이 감소하는 것을 확인할 수 있다. 특히, z =

0.08 m

인 경우 평균농도의 최대 값은 염료 주입 위치로부터

오른쪽으로 약간 이동된 것을 볼 수 있는데, 이는 이차흐름 에 의한 횡방향 유속 때문인 것으로 판단된다. 따라서 염료 주입 위치에서 이차흐름의 크기가 클 경우 거리에 따라 최 대 농도의 발생 위치가 이동하고, 농도 분포의 형태 역시 변화할 것으로 예상된다. 또한 본 연구에서 사용된 GGDH 모형에 의한 계산 결과와 실험 결과가 매우 잘 일치하는 것 으로 나타났다.

그림 1(b)는 복단면 수로에서의 평균농도 분포도이다. 그림

1(b)

에서 z = 0.105 m를 살펴보면, 평균농도의 최대 값이 염 료 주입 위치로부터 오른쪽 방향으로 이동된 것을 볼 수 있 으며, 최대 농도를 기준으로 오른쪽 영역이 왼쪽 보다 더 큰 농도 경사를 갖는 것으로 나타났다. 이는 이차흐름에 의한 영 향인 것으로 판단된다. 또한 수치모의에 의한 계산 결과가 이 와 같은 현상을 잘 예측하고 있으며, 실험 결과와 잘 일치하 는 것을 볼 수 있다. 이외의 다른 지점에서 주입된 경우의 수치모의 결과 및 평균농도와 스칼라-흐름률에 대한 계산결과 비교는 Kang과 Choi(2008)에 자세히 언급되어 있다.

4.

粗·細粒床의 개수로 흐름

본 연구에서는 그림 2와 같이 매끄러운 하상과 거친하상이 횡방향 연속적으로 존재하는 개수로 흐름에서 오염물질이 한 점에서 주입된 경우와 다수의 점에서 주입된 경우, 오염물질 의 이동 현상을 수치모의 하였다. 그림 2를 살펴보면 일반 개

수로와는 달리 수로 중앙 영역에서도 이차흐름이 존재하며 횡 방향으로 상향류 및 하향류가 반복하여 발생된다. 그림 2와 같은 흐름을 수치모의하기 위해 사용된 실험 조건은 수심

H = 0.075 m,

수로 폭 B = 0.6 m로서 수심-폭 비(aspect ratio)

AR = 8.0,

바닥 경사 S

0= 0.0007,

입자의 중앙입경은

d50= 2.55 mm

이고, 이는 Wang과 Cheng(2005)의 실험조건과

같다.

그림 3은 매끄러운 하상과 거친 하상이 반복적으로 존재하 는 개수로 흐름에서의 계산된 이차흐름 벡터도를 보여준다.

그림 3의 이차흐름 분포도를 살펴보면, 자유수면 渦와 바닥 渦 만이 존재하는 일반 개수로 흐름과 달리, 거친 하상에서는 하향류가 존재하고 매끄러운 하상에서는 상향류가 발생되는 것을 볼 수 있다. 또한 방향이 반대이고 수심과 같은 규모의 渦가 한 쌍을 이루어 발생되는 것을 볼 수 있는데, 이를 격 자형 이차흐름(cellular secondary currents)이라 한다. 특히, 본 연구에서 사용된 레이놀즈응력 모형에 의한 계산 결과가 이와 같은 현상을 잘 예측하는 것을 확인할 수 있다. 그림 3 과 같은 이차흐름 벡터도외의 매끄러운 하상-거친 하상이 연 속적으로 존재하는 개수로 흐름에서의 다양한 평균유속 및 난 류구조를 본 모형이 매우 잘 예측하는 것으로 나타났으며, 이 에 대한 연구결과는 Choi 등(2007)에 자세히 소개되어 있다.

4.1 1

점 주입의 경우

매끄러운 하상-거친 하상을 갖는 개수로 흐름에서 한 점으 로 주입된 오염물질의 이송 확산에 대한 이차흐름의 영향을 분석하였다. 염료의 주입 위치는 매끄러운 하상과 거친하상 의 경계지점과 각 경계점의 중앙에 위치시켰다. 즉, z =

0.95H

인 경우에 대해 (1) y/H = 2.6, (2) y/H = 3.1, (3) y/

H = 3.6

이며, 주입된 농도는 2,500 ppb이다. 여기서 y/H =

2.6

및 3.6인 경우는 상대적으로 이차흐름의 영향이 큰 지점 이고, y/H = 3.1은 상대적으로 작은 지점이다. 또한 염료 주 그림

2.

粗·細粒床의 횡방향 연속구조를 갖는 개수로 흐름에서의 이차흐름 분포도

그림

3.

격자형 이차흐름 벡터도

입 위치에서의 이차흐름 크기는 y/H = 2.6, y/H = 3.1, y/H

= 3.6

각각에 대해 단면평균유속의 약 0.79%, 0.18%,

0.98%

인 것으로 계산되었다.

그림 4는 염료의 주입위치가 y/H = 3.1과 y/H = 3.6인 경 우 거리에 따른 평균농도 분포도의 변화를 보여준다. 그림에 서 좌측이 염료 주입위치가 y/H = 3.1인 경우이고, 우측이 y/

H = 3.6

인 경우이다. 먼저 염료 주입위치가 y/H = 3.1인 경우 를 살펴보면, x = 2 m인 경우 전 수심에 걸쳐 염료가 확산 되며, 염료의 농도 분포는 거리에 따라 횡방향으로 거의 대 칭으로 확산되는 것을 볼 수 있다. 반면에 염료 주입위치가

y/H = 3.6

인 경우를 살펴보면, 바닥 근처에서는 비대칭적으로

확산되는 것처럼 보이지만, 전반적으로는 이차흐름의 영향은 크게 발생되지 않는 것을 볼 수 있다. 또한 거리에 따른 최 대 농도 분포를 살펴보면, 염료의 주입위치가 y/H = 3.1인 경우에는 최대 농도의 발생위치와 염료 주입위치가 동일하 며 거리에 따라 변화하지 않는 것을 확인할 수 있다. 그러 나 염료 주입위치가 y/H = 3.6인 경우에는 거리에 따라 최대

농도의 발생 위치가 이차흐름의 진행 방향으로 이동되는 것 을 확인할 수 있다.

그림 5는 z = 0.07 m에서 염료 주입위치 별 거리에 따른 농도분포의 변화를 보여준다. 그림 5(a)와 (c)를 살펴보면, 앞 의 그림 4에서 예상된 바와 같이 최대농도의 발생 위치가 이 차흐름의 진행 방향으로 이동되는 것을 볼 수 있으며, 농도 분포 역시 거리에 따라 좌, 우가 비대칭화 되는 것을 볼 수 있다. 또한 최대 농도 지점을 기준으로 최대 농도가 이동하는 방향으로의 농도 경사가 반대 방향에서 보다 더 큰 것을 볼 수 있다. 반면 그림 5(b)를 살펴보면, 농도 최대값의 발생 위 치가 변화 없으며 농도 분포 역시 거리에 따라 정규분포의 형태를 유지하는 것으로 나타났다. 또한 그림 5에서 거리에 따른 최대농도 값을 살펴보면, 염료 주입위치가 y/H = 3.1인 경우 거리에 따른 최대 농도값이 더 크게 감소하는 것을 볼 수 있다. 이에 대한 설명은 그림 7에 언급하였다.

그림 6은 거리에 따른 최대농도 발생지점의 이동 거리를

보여준다. 그림 6에서 이동된 거리를 수심으로 무차원화하였

그림

4.

거리에 따른 농도분포 변화

(

좌

:

염료주입위치

y/H = 3.1,

우

:

염료주입위치

y/H = 3.6)

다. 그림을 살펴보면 이차흐름의 영향이 가장 큰 y/H = 3.6 인 경우가 최대농도의 이동 거리가 가장 크고, y/H = 3.1인 경우는 최대농도의 이동이 거의 없는 것을 확인 할 수 있다.

또한 염료주입 위치가 y/H = 2.6과 3.6인 경우를 살펴보면,

x = 2.5 m

까지는 거리에 따라 이동 거리가 거의 선형으로 증가하지만, 그 이후부터는 이동거리의 증가율이 감소되는 것을 볼 수 있다.

4.2

다점 주입의 경우

매끄러운 하상-거친 하상의 연속구조를 갖는 개수로 흐름 에서 오염물질이 다수의 점에서 연속 주입된 경우에 대한 농도 분포를 수치모의 하였다. 수로 및 흐름조건은 앞의 1 점 주입의 경우와 동일하다. 오염물질의 주입위치는 z =

0.95H

에 대해 y/H = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5 3.0, 3.5, 4.0,

4.0, 5.0, 5.5, 6.0, 6.5, 7.0, 7.5

로서 15점에서 주입되는

것으로 하였으며, 각 점에서의 주입 농도는 250 ppb이다.

각각의 주입위치는 매끄러운 하상과 거친 하상의 경계부와 각 하상 중심부를 선택하였다.

그림 7은 거리에 따른 농도 분포도이다. 먼저, 자유수면 근처를 살펴보면, 이차흐름의 횡방향흐름에 의해 농도 분포 가 거친하상 쪽으로 이동되는 것을 볼 수 있다. 특히, 초기

15

점에서 농도를 주입시켰으나, x = 0.5 m인 경우를 보면 수면 근처에서 상향류가 발생하는 위치에서는 농도 값이 매 우 작아지는 것을 볼 수 있으며, 이차흐름의 횡방향 유속성 분에 의해 농도가 이동하여 전체적으로 5개의 고농도 영역 이 발생되는 것을 확인할 수 있다. 또한 x = 1.5 m에서는 자유수면 측벽 근처에서 고농도의 값이 상대적으로 작아지 는 것으로 나타났다. 한편, 바닥 근처를 살펴보면, x = 3.0

m

인 경우 거친 하상에서는 바닥 까지 농도가 확산되었지만, 매끄러운 하상에서는 아직 확산되지 않은 것으로 나타났다.

이는 이차흐름의 상향류와 하향류에 의한 영향 때문인 것으 로 보인다. 특히, x = 4.0 m를 보면 거친하상의 바닥으로 이 동된 농도는 바닥 근처에서 발생되는 강한 이차흐름의 횡방 향 성분에 의해 매끄러운 하상쪽으로 농도를 전달시키는 것 을 볼 수 있다. 또한 동일 수심 위치에서의 전반적인 농도 값의 크기는 매끄러운 하상 보다 거친 하상에서 더 크게 발 생되는 것으로 나타났다.

그림 8은 자유수면에서의 농도 분포이다. 그림에서의 농도 분포는 최대 농도값으로 무차원화되었다. 그림을 보면 15점 에서 주입된 농도가 x = 0.4 m에서 x = 1.6 m까지는 5개의 고농도 띠를 이루다가 그 이후에는 3개의 고농도 띠를 이루 는 것을 볼 수 있다. 또한 앞의 그림 7에서 예상된 바와 같이 거친 하상에서 고농도 띠가 형성되는 것으로 나타났다.

그림 9는 거친 하상과 매끄러운 하상에서의 스칼라-흐름률 구조를 비교한 것이다. 먼저 그림 9(a)의 을 살펴보면,

0.5 < z/H < 0.9

에서는 매끄러운 하상에서의 가 거친 하

상 보다 더 크고, 그 이외의 영역에서는 거친 하상에서의

u

′c′

u′c′

그림

5. z = 0.07 m

에서 거리에 따른 농도분포 변화

그림

6.

거리에 따른 최대농도 발생 위치의 이동 거리

가 더 크게 나타났다. 즉, 바닥과 수면 근처에서 거리에 따른 농도 변화는 거친 하상에서 더 크게 발생되는 것을 알 수 있다. 그림 9(b)의 은 매끄러운 하상과 거친하상에서 의 부호가 서로 다른 것을 볼 수 있다. 즉, 매끄러운 하상

에서의 는 양인 반면에 거친하상에서는 음의 값을 갖는 다. 이는 난류확산개념을 고려해 볼 때 은 - 과 비례하기 때문인 것으로 판단된다. 그림 9(c)는 의 수 직구조이다. 그림을 살펴보면 은 전체적으로 거친하상에

u′c′

v

′c′

v′c′

v

′c′ ∂c ∂y ⁄

w

′c′

w′c′

그림

7.

거리에 따른 평균농도 분포 변화

그림

8.

자유수면에서의 농도 분포

서 더 큰 것으로 나타났다. 이는 앞의 그림 7에서 이미 예 상된 바와 같이 거친하상에서 수직방향으로의 농도 변화가 매끄러운 하상에서 보다 더 크다는 것을 의미한다.

그림 10은 수직방향 난류 슈미트 수이다.

σtz

의 평균값은 약 0.98로서 거의 1.0과 같은 값을 갖는 것으로 나타났다.

이는 운동량과 스칼라의 확산이 거의 같음을 의미한다. 그러 나

σtz

의 분포를 살펴보면, 매끄러운 하상이 거친 하상보다 더 큰 값을 갖는 것으로 나타났다. 일반적으로

σtz=νt/Γt(

여 기서,

νt

는 난류점성계수,

Γt

는 난류확산계수)을 의미하기 때 문에

σtz

의 값이 작다는 것은 수직방향으로 스칼라의 확산이 더 빨리 진행함을 의미한다.

5.

스칼라 수송률 분석

본 연구에서는 거리에 따른 농도 분포의 변화에 대해 이 차흐름 및 스칼라-흐름률의 영향을 살펴보았다. 정상상태이 고 분자확산을 무시할 경우 스칼라 수송방정식 식(4)는 다음 과 같다.

(6)

그림 11은 x = 1.0 m인 경우 직사각형 및 복단면 수로에 서 식(6)의 각 항의 비교를 보여주며, 한점에서 염료가 주입 된 경우의 계산결과이다. 특히 y-z 평면에서의 이차흐름과 스칼라-흐름률의 영향을 살펴본 것이기 때문에 주흐름방향으

로 스칼라-흐름률의 변화율인 는 그림 11에서 고려 하지 않았다. 또한 그림에서 음과 양의 값은 각각 거리에 따라 평균농도를 감소 및 증가시키는 것을 의미한다.

이차흐름이 거의 없는 y/H = 3.1에서의 스칼라 수송률인 그림 11(a)를 살펴 보면 스칼라-흐름률의 변화율

과 및 횡방향 이차흐름 성분의 변화율 의 최대점의 위치가 평균농도의 최대점 위치와 동일하며, 이들 은 주흐름방향에 따라 농도의 최대값을 감소 시키는 역할을 하는 것을 확인할 수 있다. 특히 스칼라-흐름률 이 가 장 큰 기여를 하는 것으로 나타났다. 또한 는 횡방

∂uc ∂x

---

∂u′c′

--- ∂

∂x ν ′c′

--- ∂

∂y

w

′c′

---

∂z

+ +

⎝ ⎠

⎛ ⎞

–

∂v′c

--- ∂

∂y

wc ---

∂z

– –

=

∂u′c′ ∂x ⁄

∂w′c′ ∂z ⁄

∂ ν ′c′ ∂y ⁄ ∂ ν

^c

⁄ ∂y

w

′c′

∂w′c′ ∂z ⁄ 그림

9.

스칼라

-

흐름률의 수직 구조

그림

10.

난류 슈미트 수

그림

11.

스칼라 수송율 변화

(at x = 1 m & z = 0.07 m)

향 전체에 걸쳐 음의 값을 나타내는 것으로 보아 횡방향으 로의 모든 점에서의 농도 값을 감소 시키는 역할을 수행하 는 것으로 간주할 수 있다. 반면에 횡방향으로의 스칼라-흐 름률 및 이차흐름 벡터도의 변화율 과 는 최대 농도를 감소시키는 역할을 하지만 농도 꼬리 부분에서 는 농도 값을 증가시키는 역할을 하는 것으로 나타났다. 즉, 최대 농도 값을 감소 시킬 뿐만 아니라 감소된 농도를 횡방 향으로 이동시키는 역할을 수행한다. 또한 수직방향 이차흐 름 벡터 는 다른 성분들과는 달리 최대 농도 값을 증가시키는 역할을 하며, 이는 이차흐름 벡터도에 나타난 바 와 같이 염료 주입위치에서 상향류가 발생되기 때문이다.

이차흐름이 상대적으로 큰 y/H = 3.6에서의 스칼라 수송률 을 살펴보면, 앞의 경우와 마찬가지로 스칼라-흐름률은 최대 농도의 값을 감소시키는 역할을 수행하며, 수직방향 스칼라- 흐름률 는 횡방향의 모든 위치에서의 농도를 감소 시키고 횡방향 스칼라-흐름률 는 감소된 농도를 횡 방향으로 이동시켜 꼬리 부분에서의 농도를 증가시키는 역 할을 수행한다. 한편, 횡방향 이차흐름 벡터도 성분인 의 분포를 살펴보면 최대 농도 근처에서 영의 값을 갖으며, 영의 값을 기준으로 좌, 우에서 각각 음과 양의 값 을 갖는 것을 볼 수 있다. 즉, 는 최대 농도를 기준 으로 이차흐름의 진행 방향으로는 농도를 증가시키고 그 뒷 면으로는 농도를 감소시켜, 결국 최대 농도의 위치를 이동시 키는 역할을 수행하는 것을 확인할 수 있다. 반면에 수직방 향 이차흐름 벡터도 성분인 는 과 반대로 작 용하며, 그 절대 크기는 보다 작은 것을 볼 수 있다.

6.

결 론

본 연구에서는 3차원 수치모의를 통하여 매끄러운 하상-거 친 하상의 횡방향 연속구조를 갖는 개수로 흐름에서 오염물 질의 이동 현상에 대한 이차흐름의 영향을 분석하였다. 지배 방정식의 난류 폐합 문제를 위해 레이놀즈응력모형 및

GGDH

모형을 이용하였다.

1.

이차흐름의 영향이 큰 지점에서는 거리에 따라 최대 농도 값의 발생 위치가 이차흐름의 진행 방향으로 이동하는 것 으로 나타났으며, 농도 분포 역시 정규분포가 아닌 왜곡된 형태를 갖는 것으로 확인되었다.

2.

이차흐름이 농도의 확산 속도에 영향을 미치는 것으로 나 타났으며, 특히 거친 하상에서 발생되는 하향류에 의해 매 끄러운 하상 보다 수직방향으로 농도 확산이 더 빨리 진 행되는 것으로 확인되었다.

3.

스칼라 수송률을 계산한 결과, 수직방향 스칼라-흐름률은 전단면에 걸쳐 평균농도를 감소시키는 역할을 하고 횡방 향 스칼라-흐름률은 첨두 부분의 농도는 감소시키는 역할 을 하지만, 감소된 농도를 이동시켜 꼬리 부분의 농도를 증가시키는 것으로 나타났다.

감사의 글

본 연구는 국토해양부 및 한국건설교통기술평가원 건설핵

심기술연구개발사업(06건설핵심B01)에 의해 지원되었으며, 지원에 감사드립니다.

참고문헌

Choi, S.-U. and Kang, H. (2008) Reynolds stress modeling of turbu- lent open-channel flows. in Water Resources Research Trend, Nova Science Publishing Inc., N.Y.

Choi, S.-U., Park, M., and Kang, H. (2007) Numerical simulations of cellular secondary currents and suspended sediment trans- port in open-channel flows over smooth-rough bed strips. Jour- nal of Hydraulic Research, IAHR, Vol. 45, No. 6, pp. 829-840.

Daly, B.J. and Harlow, F.H. (1970) Transport equations in turbu- lence. Physics of Fluids, Vol. 13, pp. 2634-2649.

Kang, H. and Choi, S.-U. (2008) Scalar flux modeling of solute transport in open channel flows: numerical test and effect of secondary currents. Journal of Hydraulic Research, IAHR, submitted.

Kearney, D.J. (2000) Turbulent diffusion in channels of complex geometry. Ph.D. thesis, Loughbough University. England.

Launder, B.E. and Ying, W.H. (1973) Prediction of flow and heat transfer in ducts of square cross section. Proceedings of Instruction Mechanical Engineers, Vol. 187, pp. 455-461.

Lin, B. and Shiono, K. (1995) Numerical modeling of solute trans- port in compound channel flows. Journal of Hydraulic Research, IAHR, Vol. 33, No. 6, pp. 773-788.

McLean, S.R. (1981) The role of non uniform roughness in the for- mation of sand ribbons. Marine Geology, Vol. 42, pp. 49-74.

McLelland, S.J., Ashworth, P.J., Best, J.L., and Livesey, J.R. (1999) Turbulence and secondary flow over sediment strips in weakly bimodal bed material. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 125, No. 5, pp. 463-473.

Muller, A. and Studerus, X. (1979) Secondary flow in an open-chan- nel. Proc. of 18^th IAHR congress, Cagliari, Vol. 3, pp. 19-24.

Naot, D. (1984) Response of channel flow to roughness heterogene- ity. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 110, No. 11, pp. 1568-1587.

Nezu, I. and Nakagawa, H. (1993) Turbulence in open-channel flows. Monograph, Balkema, Rotterdam, The Netherland.

Nezu, I. and Nakagawa, H. (1984) Cellular secondary currents in straight conduit. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 110, No. 2, pp. 173-193.

Ohmoto, T. and Hayashi, S. (2003) Study of generation mechanism of secondary currents in open-channel flow by direct numeri- cal simulation. Journal of Hydroscience and Hydraulic Engi- neering, Vol. 21, No. 1, pp. 11-21.

Prinos, P. (1992) Dispersion in compound open channel flow.

Hydraulic and Environmental Modeling: Estuarine and River Waters, Ed. Falconer, Shiono, Mattew, Ashgate Publishng Ltd., pp. 359-372.

Simoes, F.J.M. and Wang, S.S.Y. (1997) Numerical prediction of three dimensional mixing in a compound channel. Journal of Hydraulic Research, IAHR, Vol. 35, No. 5, pp. 619-642.

Shiono, K., Scott, C.F., and Kearney, D. (2003) Predictions of sol- ute transport in compound channel using turbulence models.

Journal of Hydraulic Research, IAHR, Vol. 41, No. 3, pp. 247- 258.

Wang, Z.-Q. and Cheng, N.-S. (2005) Secondary flows over artifi- cial bed strips. Advances in Water Resources, Vol. 28, pp. 441- 450.

(

접수일: 2008.11.5/심사일: 2008.12.3/심사완료일: 2009.1.2)

∂ ν ′c′ ∂y ⁄ ∂ ν

^c

⁄ ∂y

∂wc ∂z ⁄

∂w′c′ ∂z ⁄

∂ ν ′c′ ∂y ⁄

∂ ν

^c

⁄ ∂y

∂ ν

^c

⁄ ∂y

∂wc ∂z ⁄ ∂ ν

^c

⁄ ∂y

∂ ν

^c

⁄ ∂y