수학적귀납법_5
수학의정상M A T H P E A K
1. 1)수열
을 ⋯ 으로 정의할 때, 다음은 모든 자연수 에 대하여 ≤ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) ≤ ㈎ ≤ , ㈏ ≤ 이다. (ⅱ) ≥ 일 때, ≤ 이 성립한다고 가정하면 일 때 ㈐ ≥ ㈐ ≥ 이므로 일 때도 성립한다. 따라서 모든 자연수 에 대하여 ≤ 이 성립한다. 위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 수 또는 식을 모두 더한 것을 라 할 때, 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 2. 2)자연수 에 대하여 H ··· 이라 할 때, 다음은 부등식 H≥ (단, ⋯ )……… ∗ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) 일 때 (∗ )의 좌변은 이고, 우변도 이므로 ∗ 이 성립한다. (ⅱ) 는 자연수)일 때 ∗ 이 성립한다고 가정하면 H≥ 이므로 H H ··· ㈎ ≥ ··· ㈎ ≥ × ㈏ 따라서, 일 때도 ∗ 이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 에 대하여 부등식 H≥ 이 성립한다. 위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 식의 합을 라 할 때, 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 3. 3)다음은 모든 자연수 에 대하여
이 성립함을 증명한 것이다. (ⅰ) 일 때, (좌변) (우변)
∴ 성립 (ⅱ) 일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면
㈎
㈎
㈏
㈐
따라서 일 때도 주어진 부등식이 성립한다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 모든 자연수 에 대하여 주어진 부등식이 성립한다. 위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은? [3점] ㈎ ㈏ ㈐ ①
②
③
④
⑤
4. 4)다음은 모든 자연수 에 대하여 등식
⋯
⋯ (∗ )이 성립함을 수학적귀납 법으로 증명한 것이다. (ⅰ) 일 때 (좌변) (우변)이므로 (*)은 성립한다. (ⅱ) ( 는 자연수)일 때 (∗ )이 성립한다고 가정하면 일 때
⋯
⋯ 가 ⋅
나
가 ⋅ (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다. 위의 증명에서 (가), (나)에 들어갈 두 식의 합은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 5. 5)다음은 모든 자연수 에 대하여 등식
⋯⋯ (∗ )이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) 일 때, (좌변) , (우변) 이므로 (∗ )이 성립한다. (ⅱ) 일 때, (∗ )이 성립한다고 가정하면
이다. 일 때, (∗ )이 성립함을 보이자.
가 나 다
그러므로 일 때도 (∗ )이 성립한다. 따라서 모든 자연수 에 대하여 (∗ )이 성립한다. 위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①
②
③
④
⑤
6. 6)다음은 자연수 에 대하여 ⋯ 이 모두 양 수일 때, 부등식
⋯
⋯
≥ ⋯⋯ ＊ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (단, ⋯ ) (ⅰ) 일 때 ＊ 의 좌변은 가 이고, 우변은 이므로 ＊ 이 성립한다. (ⅱ) ( 는 자연수)일 때 ＊ 이 성립한다고 가정하면
⋯
⋯
≥ 이다.
⋯
⋯
나
나
나
≥ 나
≥ 나 다 따라서, 일 때도 ＊ 이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 에 대하여 부등식 ＊ 이 성립한다. 위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것의 합을 라 할 때, 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 7. 7)다음은 모든 자연수 에 대하여 등식 ⋅⋅ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ∗ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. S ⋅⋅ ⋯ , T ⋯ 이라 하자. (ⅰ) 일 때, S ㈎ T이므로 등식 (∗ )이 성립한다. (ⅱ) ≥ 일 때, 주어진 등식 (∗ )이 성립한다고 가정하고, 일 때, 등식 (∗ )이 성립함을 보이자. S S× ㈏ T ⋯ ⋯ × ㈏ ∴ T S ㈐ 즉, 일 때, 등식 (∗ )이 성립한다. 따라서, 모든 자연수 에 대하여 등식 (∗ )이 성립한다. 위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은? [3점] ㈎ ㈏ ㈐ ① ② ③ ④ ⑤ 8. 8)다음은 모든 자연수 에 대하여 이 의 배수임을 증명한 것이다. 로 놓으면 (ⅰ) 일 때 ㈎ 이므로 은 의 배수이다. (ⅱ) 일 때, 이 의 배수라 가정하면 일 때, ㈏ ㈐ ⋅ 이므로 도 의 배수이다. 따라서, 모든 자연수 에 대하여 은 의 배수이다. 위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 수를 모두 더한 값 은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤
9. 9)다음은 모든 자연수 에 대하여 등식
……… (∗ ) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) 일 때, (좌변) ㈎ , (우변) ㈎ 이므로 등식 (∗ )이 성립한다. (2) 일 때, 등식
이 성립한다고 가정하자. 일 때,
㈏
㈏
㈐
㈐
그러므로 일 때도 등식 (∗ )이 성립한다. 따라서 모든 자연수 에 대하여 등식 (∗ )이 성립한다. 위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ① ② ③ ④ ⑤ 10. 10) 이상의 자연수 에 대하여 S ⋯ 이라 정의하자. 다음은 부등식 S ……… (∗ ) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) 일 때, 이므로 (*)는 성립한다. (ⅱ) ( ⋯ )일 때, (∗ )가 성립한다고 가정하면 S 이다. 일 때, (∗ )가 성립함을 보이자. S 여기서 ㈎ 이므로 ㈎ S S ……… ㉠ 또한, ㈏ 이므로 S S ……… ㉡ ㉠, ㉡에서 일 때도 (∗ )가 성립한다. 그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에서 이상의 자연수 에 대하여 (∗ )가 성립한다. 위의 ㈎와 ㈏에 알맞은 식을 각각 , 라 할 때, 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 11. 11)다음은 이상의 모든 자연수 에 대하여 부등식 ⋯
⋯ ∗ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) 일 때, (좌변) 가 , (우변) 이므로 (∗ )이 성립한다. (ⅱ) ≥ 일 때, (∗ )이 성립한다고 가정하면 ⋯
일 때 (∗ )이 성립함을 보이기 위해서 양변에 나 를 더하면 ⋯ 나
나
다
따라서 일 때도 (∗ )이 성립한다. 따라서 이상의 모든 자연수 에 대하여 부등식 (∗ )이 성립한다. 위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것의 합을 라 할 때, 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 12. 12)다음은 “ 개의 양수 ⋯ 에 대하여 ⋅⋅ ⋯ ⋅ 이면 ⋯ ≥ 이다.” 를 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (Ⅰ) 일 때 성립한다. (Ⅱ) 일 때 성립한다고 가정하면 개의 양수 ⋯ 에 대하여 (ⅰ) 개의 수가 모두 인 경우 그 합은 이다. (ⅱ) 개의 수 중 적어도 하나가 이 아닌 경우 보다 큰 수 중 하나를 , 작은 수 중 하나를 라 하고, 그 외의 수를 ⋯ 이라 하면 ㈎ ⋯ ㈏ ⋯ 한편 ⋯ 은 그 곱이 ㈐ 인 ㈑ 개의 양수이므로 ⋯ ≥ ㈒ 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 ⋯ ≥ 이므로 일 때도 성립한다. 따라서 모든 자연수 에 대하여 성립한다. 위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐+㈑+㈒에 알맞은 것은? [4점] ㈎ ㈏ ㈐+㈑+㈒ ① < > ② < > ③ < < ④ > < ⑤ > < 정답 (수학적귀납법_5) 1) ③ 2) ② 3) ② 4) ④ 5) ⑤ 6) ② 7) ⑤ 8) ④ 9) ③ 10) ① 11) ④ 12) ②
