Calculation
In this paper, we studied dissociation potential energy surfaces of transition metal compounds with DFT and HF-DFT. We also calculated CCSD(T)[14] which is called the “golden standard” in ab-initio calculations as a reference. Dissociation curves calculated with DFT are well known to be largely affected by SIE. Also, transition metal compounds are very challenging systems for the DFT due to their degenerated 3d orbitals. For practical comparisons between functionals and densities, molecular vibrational frequency is omitted. Various dissociation curves are graphed by calculating the binding energy, 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑏𝑏𝑏𝑏
which is given by
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑏𝑏𝑏𝑏(R) = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑅𝑅𝑅𝑅) − (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴+ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴) (5)
where 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑅𝑅𝑅𝑅) is the energy of the dimer at
distance R, and 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴 and 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴 are the energy of
each atom.
First, we calculated the K2 dimer which has no electrons in the 3d orbital to test the HF density. While evaluating the results, we chose three DFT functionals to examine ScH and ScH+ DC-DFT and HF-DFT calculations - PBE and BLYP as generalized gradient approximates(GGA)[15], and B3LYP as a hybrid functional[16].
Since the spin state of the dimer and dissociated atoms could be different, multiplicity is considered. The logical spin multiplicities for each distance is calculated and the lower energy value is used. All
calculations are done with the Turbomole program.[17]
Results and Discussion
A. K2
As shown in Table 1, BLYP and HF-PBE meet chemical convergence. B3LYP is also chosen since it is a popular functional used in various fields.
HF HF-PBE TPSS HF- HF-LDA B3LYP
HF-15.24 0.34 2.12 2.14 1.32
CCSD PBE TPSS LDA B3LYP
0.48 1.32 2.60 3.29 0.46 HF-PBE0 BP86 HF- HF-HH BLYP HF- TPSSH HF-0.86 1.41 1.93 1.34 1.70 PBE0 BP86 HH BLYP TPSSH 0.41 0.66 1.63 0.25 2.10
Table 1. Ground state binding energy error(kcal/mol)
compared with experimental value (3.9 Å, -12kcal/mol)[18]
The HOMO-LUMO gap of K2 shown in Figure 1 implies that K2 is a normal case, where functional driven error is larger than density driven error.
Figure 1. HOMO-LUMO gap of K2 0 1 2 3 4 5 3 4 5 E( Ev ) R(Å) HF pbe b-lyp b3-lyp
복합재료 미시역학적 전산모형의 혼합 법칙을 통한 검증
양예지, 손명진†, 천재희†, 신의섭* 항공우주공학, 전북대학교, 전라북도 전주시 덕진구 백제대로 567E-mail: [email protected], [email protected]*
초록 다양한 분야에서 복합재료의 중요성이 강조되면서 각각의 재료 특성에 따른 물성을 미시역학적으로 구하는 것에 대한 다양한 방법이 제시되고 있다. 본 논문에서는 5개의 혼합 법칙을 선정하여 전산구조해석을 통한 유한요소 해석을 비교 검증한다. 그 과정에서 산출된 결과를 통하여 복합재료의 탄성 거동의 오차가 1% 미만인 것을 확인하였고, 프로그램의 해석이 적절하다는 것을 검증하였다. 또한 프로그램과 가장 유사한 혼합 법칙이 무엇인지 확인하고, 체적 비에 따른 오차를 비교하여 가장 적합한 체적 비를 선정하였다.
1. 서론
복합재료는 높은 비강성, 비강도를 가지고 있기 때문에 항공, 조선 등 다양한 분야에서 연구가 진행되고 있으며, 보다 높은 물성을 지 닌 복합재료를 개발하기 위하여 기계적 물성을 예측할 필요가 있다. 복합재료는 두 가지 이상 의 재료가 혼합되어 있으므로 각 재료의 특성 을 고려한 미시역학적 접근이 필요하다.Jones와 Daniel은 Voigt/Reuss 모델을 기반으 로 체적 비 함수와 물성을 고려하여 단순한 혼
합 법칙(Rule of Mixtures, ROM)을 개발했다[1].
단순 혼합 법칙은 간단하지만 계산한 횡 방향
물성과 실험 결과의 경향이 일치하지 않는다.
이를 개선하기 위하여 다양한 기법이 제시되어
왔다.
Tomota는 E22와 G12에 대한 보정 인자를 설
정한 수정된 혼합 법칙(Modified Rule of Mixtures, MROM)을 제안하였다[2]. Chamis는 섬유 체적 비에 대해 제곱근으로 처리함으로써 단층의 유 효 물성을 산출하였다[3]. Hill은 원통 형태의 대표 체적 요소를 사용 한 Self-Consistent 기법을 이용하였으며, 이를 통해 단섬유 복합재료의 유효 물성을 예측하였
다. Halpin과 Tsai는 Hill의 모델을 단순화하고,
다양한 섬유 형상을 적용할 수 있도록 개선하 였다[4]. Mori-Tanaka는 기지와 섬유의 평균 응력 및 변형도를 고려하여 평균 응력장 이론을 제시하 였다. 여기에 Benvensite는 Eshelby 모델을 적용 함으로써, 일방향 복합재료의 모든 유효 물성 을 계산할 수 있도록 하였다[5]. Haung은 기지와 섬유의 응력 변화량 사이 의 비례 계수로서 Bridging 행렬을 제안하여 복합재료의 탄성 거동을 예측하였다[6]. 다양한 수학적인 접근과 더불어 최근 컴퓨 터를 이용한 전산 구조 해석을 통해 유효 물성 을 예측하는 방법이 제안되고 있다[7]. 본 연구에서는 에디슨 구조해석 프로그램인 미시역학 기반 복합재료 거동 해석 프로그램을 활용하여 체적 비에 따른 Carbon/Epoxy 복합재 료의 탄성 거동 해석을 수행하였으며, 이를 통 해 유효 물성을 예측하였다. 또한 5개의 혼합 법칙을 이용하여 유효 물성을 산출하였으며, 이를 에디슨 프로그램의 해석 결과와 비교함으 로써 에디슨 프로그램의 신뢰성을 검증하였다.
Calculation
In this paper, we studied dissociation potential energy surfaces of transition metal compounds with DFT and HF-DFT. We also calculated CCSD(T)[14] which is called the “golden standard” in ab-initio calculations as a reference. Dissociation curves calculated with DFT are well known to be largely affected by SIE. Also, transition metal compounds are very challenging systems for the DFT due to their
degenerated 3d orbitals. For practical
comparisons between functionals and densities, molecular vibrational frequency is omitted. Various dissociation curves are
graphed by calculating the binding energy, 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑏𝑏𝑏𝑏
which is given by
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑏𝑏𝑏𝑏(R) = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑅𝑅𝑅𝑅) − (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴+ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴) (5)
where 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑅𝑅𝑅𝑅) is the energy of the dimer at distance R, and 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴 and 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴 are the energy of each atom.
First, we calculated the K2 dimer which has
no electrons in the 3d orbital to test the HF
density. While evaluating the results, we chose three DFT functionals to examine ScH and
ScH+ DC-DFT and HF-DFT calculations - PBE
and BLYP as generalized gradient
approximates(GGA)[15], and B3LYP as a hybrid functional[16].
Since the spin state of the dimer and dissociated atoms could be different, multiplicity is considered. The logical spin multiplicities for each distance is calculated and the lower energy value is used. All
calculations are done with the Turbomole program.[17]
Results and Discussion
A. K2
As shown in Table 1, BLYP and HF-PBE meet chemical convergence. B3LYP is also chosen since it is a popular functional used in various fields.
HF HF-PBE TPSS HF- HF-LDA B3LYP
HF-15.24 0.34 2.12 2.14 1.32
CCSD PBE TPSS LDA B3LYP
0.48 1.32 2.60 3.29 0.46 HF-PBE0 BP86 HF- HF-HH BLYP HF- TPSSH HF-0.86 1.41 1.93 1.34 1.70 PBE0 BP86 HH BLYP TPSSH 0.41 0.66 1.63 0.25 2.10
Table 1. Ground state binding energy error(kcal/mol)
compared with experimental value (3.9 Å, -12kcal/mol)[18]
The HOMO-LUMO gap of K2 shown in Figure
1 implies that K2 is a normal case, where
functional driven error is larger than density driven error.
Figure 1. HOMO-LUMO gap of K2
0 1 2 3 4 5 3 4 5 E( Ev ) R(Å) HF pbe b-lyp b3-lyp
복합재료 미시역학적 전산모형의 혼합 법칙을 통한 검증
양예지, 손명진†, 천재희†, 신의섭* 항공우주공학, 전북대학교, 전라북도 전주시 덕진구 백제대로 567E-mail: [email protected], [email protected]*
초록 다양한 분야에서 복합재료의 중요성이 강조되면서 각각의 재료 특성에 따른 물성을 미시역학적으로 구하는 것에 대한 다양한 방법이 제시되고 있다. 본 논문에서는 5개의 혼합 법칙을 선정하여 전산구조해석을 통한 유한요소 해석을 비교 검증한다. 그 과정에서 산출된 결과를 통하여 복합재료의 탄성 거동의 오차가 1% 미만인 것을 확인하였고, 프로그램의 해석이 적절하다는 것을 검증하였다. 또한 프로그램과 가장 유사한 혼합 법칙이 무엇인지 확인하고, 체적 비에 따른 오차를 비교하여 가장 적합한 체적 비를 선정하였다.
1. 서론
복합재료는 높은 비강성, 비강도를 가지고 있기 때문에 항공, 조선 등 다양한 분야에서 연구가 진행되고 있으며, 보다 높은 물성을 지 닌 복합재료를 개발하기 위하여 기계적 물성을 예측할 필요가 있다. 복합재료는 두 가지 이상 의 재료가 혼합되어 있으므로 각 재료의 특성 을 고려한 미시역학적 접근이 필요하다.Jones와 Daniel은 Voigt/Reuss 모델을 기반으 로 체적 비 함수와 물성을 고려하여 단순한 혼
합 법칙(Rule of Mixtures, ROM)을 개발했다[1].
단순 혼합 법칙은 간단하지만 계산한 횡 방향
물성과 실험 결과의 경향이 일치하지 않는다.
이를 개선하기 위하여 다양한 기법이 제시되어
왔다.
Tomota는 E22와 G12에 대한 보정 인자를 설
정한 수정된 혼합 법칙(Modified Rule of Mixtures, MROM)을 제안하였다[2]. Chamis는 섬유 체적 비에 대해 제곱근으로 처리함으로써 단층의 유 효 물성을 산출하였다[3]. Hill은 원통 형태의 대표 체적 요소를 사용 한 Self-Consistent 기법을 이용하였으며, 이를 통해 단섬유 복합재료의 유효 물성을 예측하였
다. Halpin과 Tsai는 Hill의 모델을 단순화하고,
다양한 섬유 형상을 적용할 수 있도록 개선하 였다[4]. Mori-Tanaka는 기지와 섬유의 평균 응력 및 변형도를 고려하여 평균 응력장 이론을 제시하 였다. 여기에 Benvensite는 Eshelby 모델을 적용 함으로써, 일방향 복합재료의 모든 유효 물성 을 계산할 수 있도록 하였다[5]. Haung은 기지와 섬유의 응력 변화량 사이 의 비례 계수로서 Bridging 행렬을 제안하여 복합재료의 탄성 거동을 예측하였다[6]. 다양한 수학적인 접근과 더불어 최근 컴퓨 터를 이용한 전산 구조 해석을 통해 유효 물성 을 예측하는 방법이 제안되고 있다[7]. 본 연구에서는 에디슨 구조해석 프로그램인 미시역학 기반 복합재료 거동 해석 프로그램을 활용하여 체적 비에 따른 Carbon/Epoxy 복합재 료의 탄성 거동 해석을 수행하였으며, 이를 통 해 유효 물성을 예측하였다. 또한 5개의 혼합 법칙을 이용하여 유효 물성을 산출하였으며, 이를 에디슨 프로그램의 해석 결과와 비교함으 로써 에디슨 프로그램의 신뢰성을 검증하였다.
2. 혼합 법칙 이론 및 유한요소 해석
본 연구에서 사용한 대표적인 복합재료인 Carbon/Epoxy의 물성은 Table 1과 같다. 섬유 (Carbon) 기지 (Epoxy) 11f E 232 [GPa] E m 5.35 [GPa] 22f E 15 [GPa] vm 0.354 [-] 12f G 24 [GPa] 23f G 5.03 [GPa] 12f v 0.279 [-] Table 1. Carbon/Epoxy 구성 재료 물성[8] E11과
12의 경우 ROM 모델의 결과가 실험 및 유한요소 해석 결과와 잘 일치하여, 다른 혼합 법칙 모델은 이를 고려하지 않았다.2.1 혼합 법칙 (ROM)
단순 혼합 법칙은 Voigt 및 Reuss 모델을 사 용하여, 구성 재료의 체적비에 따라 복합재료 의 탄성 물성을 예측한다. Voigt/Reuss 모델은 균일 변형도 및 응력 가정하에 구성 되었으며, E11과 12는 Voigt 모델, E22와 G12는 Reuss 모델 을 이용하여, 식 (1)~(4)와 같은 수식을 구성하 였다. 11 f 11f m m E V E V E (1) 22 22 22 f m m f f m E E E E V E V (2) 12 f 11f m m v V v V v (3) 12 12 12 f m f m m G G G G V G V (4)2.2 수정된 혼합 법칙(MROM)
단순 혼합 법칙을 통해 산출한 종방향 물성 은 실험 및 전산구조 해석 데이터와 잘 일치하 지만 횡방향 및 전단 물성은 잘 일치하지 않는 다. 따라서 횡방향 및 전단 물성에 대해 보정 인자 f, m를 설정하여 이를 개선하였다. 보정 인자 f, m는 응력 분배 계수로서 실험 데이터 를 통해 경험적으로 얻어졌으며, 식 (5), (6)과 같이 구성 되었다. 보정 인자와 기존 혼합 법 칙을 연결한 수식은 식 (7), (8)과 같으며, 이를 통해 개선된 유효 물성을 얻을 수 있다. 11 12 21 21 11 11 [(1 ) ] f f f f m m f f m f f f m m E V v v E v v E V E V E V (5)
2 11 12 2 11 [(1 ) (1 ) ] 4 m f m f m f m m m f f m m v E v v E V E V b ac E V E V (6) 22 22 1 f f m m f m V V E E E (7) 12 1 f m f m f m V V G G G V V , (0 1) (8)2.3 Chamis 모델
Chamis 모델은 기존 단순 혼합 법칙의 섬유 체적 비를 제곱근으로 대체하여 수정한 기법이 다. 기존 혼합 법칙과 달리 G23을 포함한 5개 의 유효 물성 값을 측정할 수 있어 많이 사용 되는 기법이다. 22 22 1 (1 / ) m f m f E E V E E (9) 12 12 1 (1 / ) m f m f G G V G G (10) (11)2.4 Halpin-Tsai 모델
Halpin-Tsai 모델은 실험을 통해 산출한 보강 인자(Reinforcing Factor, )를 이용해 기존 혼합 법칙을 개량한 기법이다. 보강 인자는 섬유의 형상, 배열 상태, 하중 조건에 의존하며, 범위 는 1~2이다. 보강 인자 와 구성 재료의 물성을 연관 시 켜주는 보정 인자 를 통해 식 (12), (13)과 같 이 구성하고, 이를 유효 물성 산출식 (14), (15) 에 도입하였다. ( / ) 1 ( / ) f m E f m E E E E (12) 23 23 1 (1 / ) m f m f G G V G G Calculation
In this paper, we studied dissociation potential energy surfaces of transition metal compounds with DFT and HF-DFT. We also calculated CCSD(T)[14] which is called the “golden standard” in ab-initio calculations as a reference. Dissociation curves calculated with DFT are well known to be largely affected by SIE. Also, transition metal compounds are very challenging systems for the DFT due to their degenerated 3d orbitals. For practical comparisons between functionals and densities, molecular vibrational frequency is omitted. Various dissociation curves are graphed by calculating the binding energy, 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑏𝑏𝑏𝑏
which is given by
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑏𝑏𝑏𝑏(R) = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑅𝑅𝑅𝑅) − (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴+ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴) (5)
where 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑅𝑅𝑅𝑅) is the energy of the dimer at
distance R, and 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴 and 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴 are the energy of
each atom.
First, we calculated the K2 dimer which has no electrons in the 3d orbital to test the HF density. While evaluating the results, we chose three DFT functionals to examine ScH and ScH+ DC-DFT and HF-DFT calculations - PBE and BLYP as generalized gradient approximates(GGA)[15], and B3LYP as a hybrid functional[16].
Since the spin state of the dimer and dissociated atoms could be different, multiplicity is considered. The logical spin multiplicities for each distance is calculated and the lower energy value is used. All
calculations are done with the Turbomole program.[17]
Results and Discussion
A. K2
As shown in Table 1, BLYP and HF-PBE meet chemical convergence. B3LYP is also chosen since it is a popular functional used in various fields.
HF HF-PBE TPSS HF- HF-LDA B3LYP
HF-15.24 0.34 2.12 2.14 1.32
CCSD PBE TPSS LDA B3LYP
0.48 1.32 2.60 3.29 0.46 HF-PBE0 BP86 HF- HF-HH BLYP HF- TPSSH HF-0.86 1.41 1.93 1.34 1.70 PBE0 BP86 HH BLYP TPSSH 0.41 0.66 1.63 0.25 2.10
Table 1. Ground state binding energy error(kcal/mol)
compared with experimental value (3.9 Å, -12kcal/mol)[18]
The HOMO-LUMO gap of K2 shown in Figure 1 implies that K2 is a normal case, where functional driven error is larger than density driven error.
Figure 1. HOMO-LUMO gap of K2 0 1 2 3 4 5 3 4 5 E( Ev ) R(Å) HF pbe b-lyp b3-lyp ( / ) 1 ( / ) f m G f m G G G G (13) 22 1 ( ) 1 f m f V E E V (14) 12 1 ( ) 1 f m f V G G V (15)
2.5 Bridging 모델
Bridging 모델은 섬유와 기지의 응력 변화량 사이의 비례 계수로서 Bridging 행렬을 도입하 였다. Bridging 행렬의 요소는 식 (16)~(18)의 aij 이며, 섬유와 기지의 물성에 의존한다. f ijS
및 m ijS
는 섬유 및 기지의 유연도 행렬 성분이며, Bridging 행렬의 요소와 함께 기존 혼합 법칙 의 개선에 사용된다. 11 22 22 11 11 22 22 21 21 12 ( )( ) ( )( ) ( ) f m f m f m m f f m f m f m V V a V V a E V V a V S V a S V V S S a (16) 66 12 12 66 12 ( ) f f m m f f m m V V a G G G V G V a G (17) 44 23 22 23 44 22 23 0.5( ) ( ) ( ) f m f f m m f m V V a G V S S V a S S (18)2.6 미시역학 기반 유한요소 해석
본 연구에서 사용한 미시역학 기반 복합재 료 거동 해석 프로그램의 대표 체적 요소(RVE) 는 1×1×1 m3의 크기로, 실제 복합재료의 단면 과 유사한 원형 섬유를 갖는 삼차원 모형으로 구성되어 있다. 절점 개수는 1,500개, 요소 개 수는 2,300개이며, 삼각기둥 요소가 사용되었다. 경계 조건은 각각 x, y, z 방향으로의 변위를 0.01 m 설정하였다. 여기서 x는 섬유 방향을, y 와 z는 면내 방향을 의미한다. 미시역학 기반 복합재료 거동 해석 프로그 램을 사용하여 Carbon/Epoxy 복합재료의 구조 해석 수행하였으며, 그 결과로 변위, 평균 응력, 평균 변형도를 산출할 수 있다. 이를 탄성 계 수 행렬 및 물성 산출식을 적용하여 필요한 물 성을 산출할 수 있다. 먼저, 응력-변형도 관계식인 식 (19)를 이용 하여 [C]의 행렬을 구한다. 1 11 12 13 1 2 21 22 23 2 3 31 32 33 3 C C C C C C C C C (19) 이때, 행렬 [S]를 통해 복합재료의 물성을 산출할 수 있다. 31 21 1 2 3 11 12 13 32 12 21 22 23 1 2 3 31 32 33 13 23 1 2 3 1 1 1 E E E S S S S S S E E E S S S E E E (20)3. 결과 및 논의
3.1 체적 비 변화에 대한
E
11 수행한 FEA와 ROM의 평균 오차는 0.186% 다. 체적 비가 0.7일 때 최대 오차 0.442%를 가지며, 이는 오차 범위 3% 이내다. ROM은 E11 산출에 대해 검증된 기법으로, ROM과 FEA 의 유사성을 통해 FEA의 E11 산출 기능을 검 증할 수 있었다. 체적 비가 0.65 일 때, ROM과 FEA의 오차가 0.178%로 가장 적었다. Figure 1. Vf에 따른 E11 (FEA vs. 혼합 법칙)Calculation
In this paper, we studied dissociation potential energy surfaces of transition metal compounds with DFT and HF-DFT. We also calculated CCSD(T)[14] which is called the “golden standard” in ab-initio calculations as a reference. Dissociation curves calculated with DFT are well known to be largely affected by SIE. Also, transition metal compounds are very challenging systems for the DFT due to their
degenerated 3d orbitals. For practical
comparisons between functionals and densities, molecular vibrational frequency is omitted. Various dissociation curves are
graphed by calculating the binding energy, 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑏𝑏𝑏𝑏
which is given by
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑏𝑏𝑏𝑏(R) = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑅𝑅𝑅𝑅) − (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴+ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴) (5)
where 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑅𝑅𝑅𝑅) is the energy of the dimer at distance R, and 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴 and 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴 are the energy of each atom.
First, we calculated the K2 dimer which has
no electrons in the 3d orbital to test the HF
density. While evaluating the results, we chose three DFT functionals to examine ScH and
ScH+ DC-DFT and HF-DFT calculations - PBE
and BLYP as generalized gradient
approximates(GGA)[15], and B3LYP as a hybrid functional[16].
Since the spin state of the dimer and dissociated atoms could be different, multiplicity is considered. The logical spin multiplicities for each distance is calculated and the lower energy value is used. All
calculations are done with the Turbomole program.[17]
Results and Discussion
A. K2
As shown in Table 1, BLYP and HF-PBE meet chemical convergence. B3LYP is also chosen since it is a popular functional used in various fields.
HF HF-PBE TPSS HF- HF-LDA B3LYP
HF-15.24 0.34 2.12 2.14 1.32
CCSD PBE TPSS LDA B3LYP
0.48 1.32 2.60 3.29 0.46 HF-PBE0 BP86 HF- HF-HH BLYP HF- TPSSH HF-0.86 1.41 1.93 1.34 1.70 PBE0 BP86 HH BLYP TPSSH 0.41 0.66 1.63 0.25 2.10
Table 1. Ground state binding energy error(kcal/mol)
compared with experimental value (3.9 Å, -12kcal/mol)[18]
The HOMO-LUMO gap of K2 shown in Figure
1 implies that K2 is a normal case, where
functional driven error is larger than density driven error.
Figure 1. HOMO-LUMO gap of K2
0 1 2 3 4 5 3 4 5 E( Ev ) R(Å) HF pbe b-lyp b3-lyp ( / ) 1 ( / ) f m G f m G G G G (13) 22 1 ( ) 1 f m f V E E V (14) 12 1 ( ) 1 f m f V G G V (15)
2.5 Bridging 모델
Bridging 모델은 섬유와 기지의 응력 변화량 사이의 비례 계수로서 Bridging 행렬을 도입하 였다. Bridging 행렬의 요소는 식 (16)~(18)의 aij 이며, 섬유와 기지의 물성에 의존한다. f ijS
및 m ijS
는 섬유 및 기지의 유연도 행렬 성분이며, Bridging 행렬의 요소와 함께 기존 혼합 법칙 의 개선에 사용된다. 11 22 22 11 11 22 22 21 21 12 ( )( ) ( )( ) ( ) f m f m f m m f f m f m f m V V a V V a E V V a V S V a S V V S S a (16) 66 12 12 66 12 ( ) f f m m f f m m V V a G G G V G V a G (17) 44 23 22 23 44 22 23 0.5( ) ( ) ( ) f m f f m m f m V V a G V S S V a S S (18)2.6 미시역학 기반 유한요소 해석
본 연구에서 사용한 미시역학 기반 복합재 료 거동 해석 프로그램의 대표 체적 요소(RVE) 는 1×1×1 m3의 크기로, 실제 복합재료의 단면 과 유사한 원형 섬유를 갖는 삼차원 모형으로 구성되어 있다. 절점 개수는 1,500개, 요소 개 수는 2,300개이며, 삼각기둥 요소가 사용되었다. 경계 조건은 각각 x, y, z 방향으로의 변위를 0.01 m 설정하였다. 여기서 x는 섬유 방향을, y 와 z는 면내 방향을 의미한다. 미시역학 기반 복합재료 거동 해석 프로그 램을 사용하여 Carbon/Epoxy 복합재료의 구조 해석 수행하였으며, 그 결과로 변위, 평균 응력, 평균 변형도를 산출할 수 있다. 이를 탄성 계 수 행렬 및 물성 산출식을 적용하여 필요한 물 성을 산출할 수 있다. 먼저, 응력-변형도 관계식인 식 (19)를 이용 하여 [C]의 행렬을 구한다. 1 11 12 13 1 2 21 22 23 2 3 31 32 33 3 C C C C C C C C C (19) 이때, 행렬 [S]를 통해 복합재료의 물성을 산출할 수 있다. 31 21 1 2 3 11 12 13 32 12 21 22 23 1 2 3 31 32 33 13 23 1 2 3 1 1 1 E E E S S S S S S E E E S S S E E E (20)3. 결과 및 논의
3.1 체적 비 변화에 대한
E
11 수행한 FEA와 ROM의 평균 오차는 0.186% 다. 체적 비가 0.7일 때 최대 오차 0.442%를 가지며, 이는 오차 범위 3% 이내다. ROM은 E11 산출에 대해 검증된 기법으로, ROM과 FEA 의 유사성을 통해 FEA의 E11 산출 기능을 검 증할 수 있었다. 체적 비가 0.65 일 때, ROM과 FEA의 오차가 0.178%로 가장 적었다. Figure 1. Vf에 따른 E11 (FEA vs. 혼합 법칙) Figure 2. Vf에 따른 E22 (FEA vs. 혼합 법칙) Figure 3. Vf에 따른 12 (FEA vs. 혼합 법칙)3.2 체적 비 변화에 대한
E
22 ROM을 이용한 E22를 개선하기 위한 다양한 혼합 법칙이 개발되었으며, E22값의 비교를 통 해 FEA와 유사한 경향을 보이는 모델을 도출 하였다. FEA와 Bridging 모델의 평균 차이가 2.399%로 5가지의 혼합 법칙 중 가장 작은 차 이를 보였으며, 이를 통해 FEA 모델의 미시역 학적 접근이 E22에 있어서 Bridging 모델과 가 장 유사하다. 또한, ROM과 FEA의 평균 차이는 16.277%로 5가지의 혼합 법칙 중 가장 큰 차 이를 보인다. 이를 통해 FEA 모델이 기존 ROM을 개선한 혼합 법칙과 값이 유사하다 할 수 있다. 또한 Bridging 모델에서 체적 비가 0.65일 때 값이 1.576%로 가장 적은 오차를 가 진 것으로 보아 0.65의 체적 비가 가장 적절한 것이라고 판단된다. Volume Fraction fV Young’s Modulus, EFEA 11 [GPa] ROM
0.50 118.4500 118.6750 0.55 129.7600 130.0075 0.60 141.0800 141.3400 0.65 152.4000 152.6725 0.70 164.7300 164.0050 Table 2. Vf에 따른 E11 (FEA vs. 혼합 법칙) f
V Young’s Modulus, E22 [GPa]
FEA ROM MROM Chamis Bridging Halpin-Tsai 0.50 9.17 7.89 8.81 9.81 9.44 8.68 0.55 9.63 8.28 9.19 10.23 9.87 9.13 0.60 10.01 8.71 9.61 10.66 10.32 9.61 0.65 10.62 9.20 10.07 11.12 10.79 10.12 0.70 11.53 9.73 10.56 11.59 11.29 10.67 Table 3. Vf에 따른 E22 (FEA vs. 혼합 법칙) Volume Fraction f
V FEA Poisson’s ratio, 12 [-] ROM
0.50 0.3156 0.3165 0.55 0.3119 0.3128 0.60 0.3082 0.3090 0.65 0.3044 0.3053 0.70 0.3007 0.3015 Table 4. Vf에 따른 12 (FEA vs. 혼합 법칙) Figure 4. EDISON 산출 결과 (Vf = 0.5)
Calculation
In this paper, we studied dissociation potential energy surfaces of transition metal compounds with DFT and HF-DFT. We also calculated CCSD(T)[14] which is called the “golden standard” in ab-initio calculations as a reference. Dissociation curves calculated with DFT are well known to be largely affected by SIE. Also, transition metal compounds are very challenging systems for the DFT due to their degenerated 3d orbitals. For practical comparisons between functionals and densities, molecular vibrational frequency is omitted. Various dissociation curves are graphed by calculating the binding energy, 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑏𝑏𝑏𝑏
which is given by
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑏𝑏𝑏𝑏(R) = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑅𝑅𝑅𝑅) − (𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴+ 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴) (5)
where 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑅𝑅𝑅𝑅) is the energy of the dimer at
distance R, and 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴 and 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴 are the energy of
each atom.
First, we calculated the K2 dimer which has no electrons in the 3d orbital to test the HF density. While evaluating the results, we chose three DFT functionals to examine ScH and ScH+ DC-DFT and HF-DFT calculations - PBE and BLYP as generalized gradient approximates(GGA)[15], and B3LYP as a hybrid functional[16].
Since the spin state of the dimer and dissociated atoms could be different, multiplicity is considered. The logical spin multiplicities for each distance is calculated and the lower energy value is used. All
calculations are done with the Turbomole program.[17]
Results and Discussion
A. K2
As shown in Table 1, BLYP and HF-PBE meet chemical convergence. B3LYP is also chosen since it is a popular functional used in various fields.
HF HF-PBE TPSS HF- HF-LDA B3LYP
HF-15.24 0.34 2.12 2.14 1.32
CCSD PBE TPSS LDA B3LYP
0.48 1.32 2.60 3.29 0.46 HF-PBE0 BP86 HF- HF-HH BLYP HF- TPSSH HF-0.86 1.41 1.93 1.34 1.70 PBE0 BP86 HH BLYP TPSSH 0.41 0.66 1.63 0.25 2.10
Table 1. Ground state binding energy error(kcal/mol)
compared with experimental value (3.9 Å, -12kcal/mol)[18]
The HOMO-LUMO gap of K2 shown in Figure 1 implies that K2 is a normal case, where functional driven error is larger than density driven error.
Figure 1. HOMO-LUMO gap of K2 0 1 2 3 4 5 3 4 5 E( Ev ) R(Å) HF pbe b-lyp b3-lyp
3.3 체적 비 변화에 대한
12 ROM과 FEA를 비교 시. 12는 0.278% 의 평 균 오차를 보인다. 오차 범위 3% 이내이며, Fig. 3의 두 기법의 12 경향이 같은 경향을 보인다. E11과 마찬가지로 12에 대해 ROM은 검증된 기법으로, ROM의 결과와 유사한 FEA 역시 12 산출 기능을 검증할 수 있었다. E11과 E22와 다 른 점은 0.65일 때 12값의 오차가 가장 크게 나타난다. 12은 0.6일 때 가장 적은 오차를 보 인다3.4 EDISON
요소망과 각 인장 하중에 따른 유한요소 해 석 결과를 Figure 4에 도시하였다. 이 때 22와 33은 서로 방향만 반대로 대칭인 형태로 응력 이 분포하고 있음을 확인하였다. 또한 섬유 영 역에서 응력 분포가 높게 나타나는 것을 확인 하였다. 이는 섬유의 물성이 기지의 물성과 비 교하여 높기 때문에 외부 하중에 의한 응력이 섬유에 높게 분포하는 것으로 판단된다.4. 결론
본 연구에서는 복합재료 미시역학적 전산모 형을 유한요소 해석을 통해 탄성 거동을 예측 하고자 하였다. 유한요소 해석을 통해 산출된 탄성 계수를 검증하기 위하여, 다양한 혼합 법 칙을 조사하고 이를 비교하였다. E11과 12의 경우 ROM 모델의 결과가 유한요소 해석 결과 와 잘 일치하였다. E22의 경우 여러 혼합 법칙 중 Bridging 모델이 유한요소 해석 결과와 가 장 일치함을 확인하였다. 추후에는 여러 혼합 법칙과 유한요소 해석 을 통해 G12의 검증을 수행할 예정이다. 구조 물 설계에 있어 복합재료의 파손을 예측하는 것은 필수적이기 때문에, 이렇게 검증된 탄성 계수를 활용하여 파손 해석을 수행할 예정이다.감사의 글
본 논문은 2017년도 정부(미래창조과학부)의 재원으로 한국연구재단 첨단 사이언스·교육 허 브 개발 사업의 지원을 받아 수행된 연구임 (2014M3C1A6038856)참고문헌
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