제3장_주파수영역분석(곽재민수정) [호환 모드]

신호의 주파수 영역 분석

Contents

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‰ 직교 신호에 의한 신호의 표현 ‰ 직교 신호에 의한 신호의 표현 ‰ 푸리에 급수 ‰ 푸리에 변환 스펙트럼 밀도 ‰ 스펙트럼 밀도 ‰ 선형 시스템과 필터 ‰ 신호의 왜곡 제3장 신호의 주파수 영역 분석 2 / 120

직교 신호에 의한 신호의 표현

Orthogonal Decomposition of Vector Space Orthogonal Decomposition of Vector Space

‰ Orthogonal vector를 사용한 표현(3차원 공간) g p p g p p ‰ Orthogonal vector를 사용한 표현(3차원 공간) 1 1 2 2 3 3 c c c = + + x u u u 1 2 2 3 3 1 where 0 ⋅ = ⋅ = ⋅ = u u u u u u x 3 3 c u 2 0, 1, 2, 3 i ⋅ =i i ≠ i = u u u x 1 1 c u 2 2 c u 제3장 신호의 주파수 영역 분석 4 / 120

Orthogonal Decomposition of Vector Space Orthogonal Decomposition of Vector Space

‰ 선형조합의 계수? g p p g p p ‰ 선형조합의 계수? 1 1 2 2 3 3 c c c = + + x u u u 2 1 c1 1 1 c2 2 1 c3 3 1 c1 1 ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ x u u u u u u u u 2 1 , 1, 2, 3 i i i i i _i c = ⋅ = ⋅ i = ⋅ x u x u u u _u 제3장 신호의 주파수 영역 분석 5 / 120

Orthogonal Decomposition of Vector Space Orthogonal Decomposition of Vector Space

‰ N차원 공간으로 확장 g p p g p p ‰ N차원 공간으로 확장 • 직교 벡터 0 i ≠ j ⎧⎪ 임의의 벡터 에 대한 표현 2 i j i j i j ⎪ ⋅ _{= ⎨} = ⎪⎩ u u u • 임의의 벡터 x에 대한 표현 1 N i i i c =

∑

x u • 선형조합의 계수 1 i= 1 2 1 , 1, , i i i c = x u⋅ i = N u L 제3장 신호의 주파수 영역 분석 6 / 120

Orthogonal Decomposition of Function Space Orthogonal Decomposition of Function Space

‰ 구간 [t₁ t₂]에서 두 함수 f₁(t)와 f₂(t)의 내적 g p p g p p ‰ 구간 [t₁, t₂]에서 두 함수 f₁(t)와 f₂(t)의 내적 2 1 1( ), 2( ) 1( ) 2 ( ) t t f t f t f t f ∗ t dt < > = ∫ ‰ f₁(t)와 f₂(t)가 같으면 신호의 에너지가 된다. 1 2 2 t ∫ ‰ 구간 [t t ]에서 직교 함수군 2 1 2 1( ), 1( ) _t 1( ) f t f t f t dt E < > = ∫ = { ( )φ t φ ( )t L φ ( )}t ‰ 구간 [t₁, t₂]에서 직교 함수군 { ( ),φ1 t φ2( ),t ,φN ( )}t 0 ( )t ( )t i j φ φ ⎧⎪ ≠ < ( ), ( ) _{> = ⎨} i i t j t E_φ i j φ φ < _{> = ⎨} = ⎪⎩ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 7 / 120

Orthogonal Decomposition of Function Space Orthogonal Decomposition of Function Space

‰ 직교 함수군을 사용한 함수의 표현 g p p g p p 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i x t c t c t c t c t φ φ φ φ ∞ = + + + + = ∑ L L ‰ 선형조합의 계수 1 ( ) i i i c φ t = = ∑ 2 1 2 1 ( ), _n( ) _{i i}( ), _n( ) _n t _n( ) t i x t φ t c φ t φ t c φ t dt ∞ = < > = ∑ < > = ∫ 2 1 ( ), ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 i t n x t t c φ x t φ∗ t n ⇒ < > = = ∫ = _L 2 1 1 2 ( ) ( ), 1, 2, ( ) n n t _t n n t c x t t n E t dt φ φ φ = = ∫ = ∫ L 제3장 신호의 주파수 영역 분석 8 / 120

Orthogonal Decomposition of Function Space Orthogonal Decomposition of Function Space

[예제 3.1] 다음의 함수들은 임의의 t₀에 대해 g p p g p p 0 0 t ≤ ≤ +t t T 구간에서 직교 함수 집합을 이루는 것을 보여라. { } 2 sin(nω t) cos(nω t) n 1 2 ∞ ⎜⎛ω π ⎞_⎟ [풀이] {sin(n _ot), cos(n _ot), n 1, 2, , } _o T ω ω = ∞ _⎜ω = _⎟ ⎝ ⎠ L sin( ) sin( ) 1 1 o o t T o o t mω t nω t dt + ∫ 1 1 cos(( ) ) cos(( ) ) 2 2 o o o o t T t T o o t m n t dt t m n t dt T ω ω + + = − − + ⎧ ⎪ ∫ ∫ , 2 0, T m n m n ⎧ ₌ ⎪ = ⎨ ⎪ _≠ ⎩ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 9 / 120

Orthogonal Decomposition of Function Space Orthogonal Decomposition of Function Spacegg pp pp

cos( ) cos( ) o t T o o t mω t nω t dt + ∫ 1 1 cos(( ) ) cos(( ) ) 2 2 o o o o o t t T t T o o t m n ω t dt t m n ω t dt + + = − + + ∫ ∫ ∫ , 2 0 T m n m n ⎧ ₌ ⎪ = ⎨ ⎪ _≠ ⎩0, m n ⎪ _≠ ⎩ sin( ) cos( ) o t T mω t nω t dt + ∫ sin( ) cos( ) 1 1 sin(( ) ) sin(( ) ) 2 2 o o o o o t t T t T o o t t m t n t dt m n t dt m n t dt ω ω ω ω + + = − + + ∫ ∫ ∫ 2 2 0 o o t t = ∫ ∫ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 10 / 120

Orthogonal Decomposition of Function Space Orthogonal Decomposition of Function Space

[예제 3.2] 다음의 함수들은 임의의 t₀에 대해 g p p g p p 0 0 t ≤ ≤ +t t T 구간에서 직교 함수 집합을 이루는 것을 보여라. 2 {exp( jnω t) n 0 ± ±1 2 ±∞ ⎜} ⎛ω π ⎞_⎟ [풀이] {exp( jn _ot), n 0, 1, 2, , } _o T ω = ± ± ±∞ _⎜ω = _⎟ ⎝ ⎠ L exp( ) exp( ) o o t T o o t jmω t jnω t dt + _∗ ∫ exp[ ( ) ] o o t T o t j m n t dt T m n ω + = − = ⎧ ∫ , 0, T m n m n = ⎧ = ⎨ _≠ ⎩ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 11 / 120

Fourier Series

Fourier Series

Complex Exponential Fourier Series Complex Exponential Fourier Series

‰ 구간 에서 임의의 신호 x(t)는 다음과 같이 복소 지수 함수의 선형 조합으로 나타낼 수 있다 p p p p 0 0 t ≤ ≤ +t t T 지수 함수의 선형 조합으로 나타낼 수 있다. ( ) _{n n}( ) _n exp( _o ) n n x t c φ t c jnω t ∞ ∞ =−∞ =−∞ = ∑ = ∑ 0 0 where 2 / n n T ω π = ∞ = ∞ = ‰ Fourier coefficients 0 ( ) ( ) ( ) ( ) o t T x t t dt x t φ t φ + _∗ < >

∫

0 2 0 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 1 n o o o o o t n n _{t T t T} n t t x t t c t dt dt φ φ φ + + < > = =

∫

∫

∫

0 1 ( ) o o o o o t T jn t t x t e dt T ω + ₋ =

∫

제3장 신호의 주파수 영역 분석 0 o T 13 / 120

Complex Exponential Fourier Series Complex Exponential Fourier Seriespp pp

‰ 만일 신호 x(t) 가 주기 T를 가진 주기 신호라면 지수 함수 φ_n(t)도 역시 동일한 주기를 가진 함수가 되므로 위의 푸리에 급수 표현은 한 주기의 동일한 주기를 가진 함수가 되므로 위의 푸리에 급수 표현은 한 주기의 구간을 넘어서 모든 시구간으로 확장할 수 있다. ‰ 주기 신호의 Fourier series 표현 ‰ 주기 신호의 Fourier series 표현 2 ( ) jn ot j nf to n n x t c e ω c e π ∞ ∞ =

∑

=

∑

2 ( ) 1 1 ( ) o ( ) o n n n n jn t j nf t n c x t e ω dt x t e π dt =−∞ =−∞ − − = =

∑

∑

∫

∫

0 0 ( ) ( ) o o n _{T T} T

∫

T

∫

amplitude spectrum c 2 amplitude spectrum phase spectrum t n n c c ∠ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 power spectrum n c 14 / 120

Trigonometric Fourier Series Trigonometric Fourier Series

‰ Basis function set

g g { } ‰ 주기 신호의 Fourier series 표현 {1, cosnω_ot, sin nω_ot n, =1, 2, 3,L} 0 1 ( ) [ _n cos _{o n} sin _o ] n x t a a nω t b nω t ∞ = = +∑ + ‰ Fourier coefficients 0 0 ( ) cos ( ), cos T_o x t n tdt x t n t a ω ω < > = = ∫ 2 ₁ 0 2 0 0 cos {1 cos 2 } 2 ( ) cos o o n T T a n t dt n t dt x t n tdt ω ω ω + = ∫ ∫ ∫ 0 0 0 0 2 0 ( ) ( ), sin 2 ( ) sin , 1, 2, 3, sin o o T n T T x t n t b x t n tdt n T n t dt ω _ω ω < > = = = ∫ ∫ ∫ L 제3장 신호의 주파수 영역 분석 0 0 sin o T nω t dt ∫ 15 / 120

Trigonometric Fourier Series Trigonometric Fourier Series

‰ For n = 0 g g ( ) 1 1 0 ₂ 0 ( ),1 1 ( ) 1 o o T T x t a x t dt T dt < > = = ∫ ∫ ‰ 요약 ( ) [ cos sin ] x t a a nω t b nω t ∞ + ∑ + 0 1 0 ( ) [ cos sin ] 1 ( ) , n o n o n x t a a n t b n t a x t dt ω ω = = + + = ∑ ∫ 0 0 0 ( ) , 2 ( ) cos , 1, 2, 3, o T n a x t dt T a x t n tdt n T ω = = ∫ ∫ 0 L 0 0 ( ) , , , , 2 ( ) sin , 1, 2, 3, o n _T n T T b x t n tdt n T ω = = ∫ ∫ L 제3장 신호의 주파수 영역 분석 0 To T ∫ 16 / 120

Fourier 계수의 성질 Fourier 계수의 성질

i) If ( ) is realx t c = c∗

ii) If ( ) is real and even

Im[ ] 0 and is also real and even

n n n n n n c c x t c c c c − = = = ⇒ [ ]

iii) If ( ) is real and odd

Re[ ] 0 and is pure imaginary and odd

n n n n n n n n x t c c c c − − = = − ⇒ iv) P 2 2 arseval's Theorem 1 ( ) _n T P x t dt c T ∞ = ∫ = ∑ 0 0 1 ( ) v) [ ] 0 n T n T jb =−∞ ⎧ > ∑ ∫ 복소지수형 푸리에급수 계수와 삼각함수형 푸리에급수 계수와의 관계 2 0 1 [ ] 0 0 [ ] 0 n n n a jb n c a n a jb n ⎧ − > ⎪ = _⎨ = ⎪ _{+ <} ⎩ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 2[a−n + jb−n] n < 0 ⎩ 17 / 120

Fourier Series Fourier Series ‰ 예제 3.3: Pulse train x t( ) T T

L

L

t T T − ₀ 2 T 2 T − 2 2 1 1 ( ) exp( ) (1) exp( ) T c = ∫ x t − jnω t dt = ∫ τ −jnω t dt 2 2 2 ( ) exp( ) (1) exp( ) 1 exp( ) n _T o o o c x t jn t dt jn t dt T T jn t jn T τ τ ω ω ω ω − − = − − ∫ ∫ 2 1 exp exp 2 2 2 o o o jn T jn jn j n τ ω ω τ ω τ π − − ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ = _{⎢ ⎜}− _⎟− _{⎜ ⎟⎥} − _{⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦} sin 2 o j nω τ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 제3장 신호의 주파수 영역 분석 nπ 18 / 120

Fourier Series Fourier Series

‰ Example (pulse train)

sin 2 o n n c n ω τ π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = sin 1 2 2 o o n n n n π ω τ ω τ ω τ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⋅ ⋅ 2 2 o o o n n n Sa ω τ π ω τ ⎛ ω τ ⎞ = ⋅ _{⎜ ⎟} 2 2 1 2 Sa Sa T π ωτ τ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⋅ ⋅ _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⇒ Line spectrum 0 2 _n T ⎝ ⎠_{ω ω=} 제3장 신호의 주파수 영역 분석 19 / 120

Fourier Series Fourier Series τ τ ττ 2π ω τ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 0 ω 20 / 120

Fourier Series Fourier Series

‰ Example (pulse train): in terms of frequency

sin 2 o n n c ω τ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ( ) sin 1 n o o o n nf nf n nf π π τ π τ π π τ = ⋅ ⋅ c_n /T τ ( ) ( ) sinc 1 sinc o o o f f nf f τ τ τ τ = ⋅ 1 τ ( ) 0 sinc f nf f T τ τ ₌ = ⋅ ⋅ 0 0 f f τ ⇒ Line spectrum 제3장 신호의 주파수 영역 분석 21 / 120

Fourier Series Fourier Series n c / T τ 1 4 T τ = 0 / T τ 0 sinc(f ) T τ _τ 0 / 4 T τ = 0 f 0 T τ 0 f 2 f₀3 f₀ n c 0 / T τ 1 2 T τ = 0 sinc(f ) T τ _τ 0 f 0 T τ 0 f 0 2 f 3 f0 0 f − τ = T0 / 2 제3장 신호의 주파수 영역 분석 22 / 120

Fourier Series Fourier Series

‰ Sampling function and sinc function

sin Sa( )t = t S ( ) t sin sinc( )t πt Sa(πt) sinc( )t Sa( t) t π π = = 제3장 신호의 주파수 영역 분석 23 / 120

Fourier Series Fourier Series ‰ 예제 3.4(양극성 펄스열) ( ) x t 1 t 0 T 0 2 T 0 0 2 T − 0 T − 1 − 1 1 0 2 0 2 1 ( ) exp( ) 1 1 (1) exp( ) ( 1) exp( ) T n o T T o o T c x t jn t dt T jn t dt jn t dt T T ω ω ω = − = − + − − ∫ ∫0 ∫ 2 2 0 2 1 1 exp( ) exp( ) T T T o o o o _T T T jn t jn t jnω T ω jnω T ω = − − − − − ∫ ∫ 1

[{exp( ) exp(0)} {exp( 2 ) exp( )}]

2 jn j n jn jn π π π π = − − − − − − − exp(−jπ)= −1 exp(− j2 )π =1 exp( ) 1, exp( 2 ) 1 2 , 0 odd e en n j j n jn c n π π π = = ⎧ ₌ ⎪ = ⎨ ⎪⎩ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 0, _n even ⎪ ₌ ⎩ 24 / 120

Fourier Series Fourier Series n c 2 , 0 n n jn c π ⎧ ₌ ⎪ = ⎨ ⎪⎩ odd 0, n ⎪ ₌ ⎩ even 0 ω 0 ω 0 ω − 2ω₀ 0 2ω − 3ω₀ 5ω0 0 3ω − 0 5ω − ω 0 ω n c 0 3ω 5ω0 90D 0 ω 0 0 ω − 2ω₀ 0 2ω − 0 0 0 3ω − 0 5ω − 90 − D 제3장 신호의 주파수 영역 분석 25 / 120

Fourier Series Fourier Series ‰ 예제 3.5 (impulse train) ( ) x t t ( ) x t

L

L

t 0 T₀ 2T₀ 0 3T − −2T0 −T0 3T0 n c f 0

L

L

2 f f 3 f − −2 f −f 3 f 4 f − 4 f 5 f 6 f 5 f − 6 f − 0 2 2 1 1 1 ( ) exp( ) exp( ) T n o o T c t jn t dt jn t T δ ω T ω T = ∫ − = ⋅ − = 0 f0 2 f0 0 3 f 2 f₀ −f₀ 3 f0 0 4 f 4 f0 5 f0 6 f₀ 0 5 f 0 6 f 0 2 0 0 ₀ 0 ( ) p( ) p( ) 1 ( ) exp( ) n o o T t o j j T T T x t jn t T ω − = ∞ = ∫ ∑ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 0 o n∑=−∞T 26 / 120

Power Spectrum Power Spectrum ‰ Average Power ‰ Average Power 2 1 2 ( ) lim ( ) 2 T T T P x t x t dt T − →∞ = =

∫

For periodic signal

2 1 T 2T ‰ Parseval’s Theorem 2 ₂ 2 1 ( ) T T P x t dt T − =

∫

‰ Parseval s Theorem 2 _{2 2} 2 1 ( ) T n T P x t dt c T ∞ − =

∫

=

∑

‰ is called power spectrum

2 T n T

∫

=−∞ 2 n c 제3장 신호의 주파수 영역 분석 27 / 120

Power Spectrum Power Spectrum ‰ Example 정현파 f(t)=2sint에 대해 Parseval 정리를 증명하라. i) time domain 2 1 T

ii) frequency domain 2 2 2 1 4 sin 2W ( 2 ) T T P tdt T T − π = ∫ = =

ii) frequency domain

) exp( ) exp( sin 2 t = − j jt + j − jt , 1 j n ⎧− = ⎪ , 1, 0, 1. n c j n n ⎪ = _⎨ = − ⎪ _≠ ⎩ 2 2 2 1 1 1 1 2 W n n P c c c ∞ − =−∞ = ∑ = + = + = 제3장 신호의 주파수 영역 분석 28 / 120

선형 시스템과 Fourier Series 선형 시스템과 Fourier Series

‰ System Analysis

‰ System Analysis

For periodic input:

h y t( ) 0 ( ) _n jn t x t c e ω ∞ = ∑ n=−∞ 0 0 ( ) ( ) _n jn t y t H nω c e ω ∞ = ∑ 0 0 ( ) ( ) _n n jn t n y d e ω =−∞ ∞ = ∑ ∑ n∑=−∞ 0 ( ) n n d = H nω c 제3장 신호의 주파수 영역 분석 29 / 120

Fourier Transform

(푸리에 변환)

(푸리에 변환)

Fourier Transform Fourier Transform ‰ 주기함수는 Fourier Series로 표현되며 기본주파수 f₀(=1/T₀)의 정수배 주파수 성분들만 존재함 (선스펙트럼) ‰ 앞의 구형파 펄스열 예제에서 • 주기 신호의 기본주기가 증가할수록 푸리에 급수의 기본주파수는 감소하고, 선 스펙트럼의 간격이 줄어든다. • 주기가 무한대로 접근할수록 선 스펙트럼의 간격이 무한소로 줄어들어 스펙트럼은 연속 스펙트럼으로 되고 결과적으로 i 줄어들어 스펙트럼은 연속 스펙트럼으로 되고, 결과적으로 sinc 함수 모양이 된다. ‰ 비주기 신호는 푸리에 변환을 이용하여 주파수 성분분석 제3장 신호의 주파수 영역 분석 31 / 120

Fourier Transform Fourier Transform ‰ 비주기 신호의 푸리에 변환 sin t sin sinc( )t t Sa( t) t π _π π = = • 비주기 신호 = 주기가 무한대인 주기신호 ( ) x t x tx tp( )( ) sin Sa( )t t t = τ T T T T

L

L

t T T − ₀ 2 2 − 0 2 ( ) j nf t p n x t c e π ∞ = ∑ 0 / 2 2 0 1 ( ) ( 1/ ) T j nf t n p c x t e dt f T T π − = ∫ = ( ) p n n∑=−∞ ( ) / 2 0 sin ( 0 ) 2 T o T n Sa Sa n f c nf T T T ω τ τ τ _{π τ} τ _τ − ⎛ ⎞ = ⋅ _{⎜ ⎟} = ⋅ = ⎝ ⎠ ∫ 2 T ⎝ ⎠ T T 0 / 2 2 / 2 ( ) T j nf t n p T Tc x t e− π dt − = ∫ 2 lim[ _n] ( ) j ft ( ) T Tc x t e dt X f π ∞ − →∞ = ∫ = 제3장 신호의 주파수 영역 분석 32 / 120 / 2 T − T→∞ −∞∫ 0 / nf =n T → f

Fourier Transform Fourier Transform ‰ 비주기 신호의 푸리에 변환 sin t sin sinc( )t t Sa( t) t π _π π = = • 비주기 신호 = 주기가 무한대인 주기신호 ( ) x t x tx tp( )( ) sin Sa( )t t t = τ T T T T

L

L

t T T − ₀ 2 2 − 0 2 ( ) j nf t p n x t c e π ∞ = ∑ lim[ ( )] ( ) lim 1 j2 nf t0 p n T x t x t T T Tc e π ∞ →∞ = = →∞ ∑ ( ) p n n∑=−∞ 0 2 0 0 lim [ ] T T n j nf t n T n f T Tc e π f →∞ →∞ =−∞ ∞ →∞ _=−∞ = ∑ 0 0 2 [ ( )] n f j ft X f e π df = ∞ → ∞ = ∫ −∞

Fourier Transform Fourier Transform ‰ 푸리에 변환(Fourier Transform) 2 j f ∞ ∫

‰ 푸리에 역변환 (Inverse Fourier Transform)

2 ( ) [ ( )] ( ) j ft X f F x t x t e− π dt −∞ = = ∫ ∞

‰ 푸리에 변환쌍 (Fourier Transform Fair)

1 2 ( ) [ ( )] [ ( )] j ft x t F X f X f e π df ∞ − −∞ = = ∫ ( ) ( ) x t X f( ) [ ( )] F x t 1 [ ( )] F− X f ‰ 진폭스펙트럼과 위상스펙트럼 [ ( )] F X f ( ) ( ) ( ) j f X f = X f e θ ( ) amplitude spectrum X f ( ) ( ) phase spectrum = ∠X f =θ f ( ) amplitude spectrum = X f

Fourier Transform Fourier Transform 1 x (t) τ c 1 t T T/ 2 T/ 2 0 T ( ) 0 / 2 2 0 / 2 0 0 1 ( ) ( 1/ ) sin ( ) T j nf t n p T o c x t e dt f T T n Sa Sa n f c nf π ω τ τ τ _{π τ} τ _τ − − = = ⎛ ⎞ = ⋅ _{⎜ ⎟}= ⋅ = ⎝ ⎠ ∫ c_n /T_o τ ( 0 ) ( 0 ) 2 f f T ⎜⎝ ⎟⎠ T T f 0 f_o 1 τ (a) T = T_o c_n /2T τ o f 0 f_o/ 2 1 τ (b) T =2 T_o 제3장 신호의 주파수 영역 분석 2 35 / 120

Fourier Transform Fourier Transform 1 / 2 ( ) 0 otherwise t t x t τ τ ⎧ ≤ ⎪ ⎛ ⎞ = Π_{⎜ ⎟ = ⎨} ⎝ ⎠ ⎪⎩ ( ) X f τ 0 otherwise τ ⎝ ⎠ ⎪⎩ 1 τ ( ) X f 1 τ ( ) sinc( ) X f =τ fτ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 36 / 120

Fourier Transform Fourier Transform

‰ Fourier transform pair

1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 j t j t x t X ω e ω dω X ω x t e ω dt π ∞ ∞ ₋ −∞ −∞ =

∫

⇔ =

∫

‰ Fourier transform pair

2 2 2 ( ) ( ) j ft ( ) ( ) j ft x t X f e π df X f x t e π dt π ∞ ∞ ₋ −∞ −∞ =

∫

⇔ =

∫

( ) ( ) exp[ ( )] : (continuous) spectrum of ( )

X ω = X ω jφ ω x t

2 2

1

( ) Re{ ( )} Im{ ( )} : magnitude spectrum of ( ) Im{ ( )} X X X x t X ω ω ω ω = + 1 Im{ ( )}

( ) ( ) tan : phase spectrum of ( ) Re{ ( )} X X x t X ω φ ω ω ω − = ∠ = 제3장 신호의 주파수 영역 분석 37 / 120

Fourier Transform Fourier Transform ‰ 예제 3.6: rectangular pulse ( ) X f

( )

( / )t τ τ sinc fτ Π ⇔ t 1 ( ) x t _τ 2 ( ) exp( 2 ) X f = ∫ τ − j π ft dt t 0 τ 0 f 1 τ 2 τ 3 τ 2 2 ( ) exp( 2 ) exp( 2 ) sin( ) 2 X f j ft dt j ft f j f f τ τ π π π τ − = − = − = ∫ 2 2 sinc( ) j f f f τ π π τ τ − = 제3장 신호의 주파수 영역 분석

• A smaller τ produces a wider main lobe (broad bandwidth)

Fourier Transform Fourier Transform ‰ 예제 3.7: impulse ( ) ( ) ( ) 1 x t = δ t ⇔ X f = 2 0 [ ( )]δ t ∞ δ( )t e− j π ftdt −∞ ∞ = ∫ ∫ F 0 ( ) 1 e δ t dt −∞ = = ∫ ( ) ( ) x t =δ t X f( ) =1 1 t 0 0 f 1 ←⎯→F 제3장 신호의 주파수 영역 분석 39 / 120

Fourier Transform Fourier Transform ‰ 예제 3.8: constant ( ) 1 ( ) ( ) x t = ⇔ X f = δ f 2 0 1 [ ( )] ( ) ( ) j ft f f e df f df π δ δ δ ∞ −∞ ∞ − ₌

∫

∫

F 0 ( ) 1 e δ f df −∞ = =

∫

( ) 1 x t = _{X f( ) =}δ_{( )f} 1 _F t 0 0 f ←⎯→F 제3장 신호의 주파수 영역 분석 40 / 120

Fourier Transform Fourier Transform ‰ 예제 3.9: exponential functionp 1 ( ) ( ), 0 ( ) 2 at x t e u t a X f a j π f − = > ⇔ = + 2 ( 2 ) ( 2 ) 0 0 1 ( ) ( ) ( 2 ) at j ft a j f t a j f t X f e e u t dt e dt e a j f π π π π ∞ _{− −} ∞ _{− + − +} ∞ −∞ ⎡ ⎤ = = = _{⎣ ⎦} − + ∫ ∫ _{( )} 1 , 0 2 j f a a j π f = > + _{푸리에변환이 존재하기 위한 충분조건 (Dirichlet Condition)} 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) 4 1 4 X f a a π f _f π = = + _{⎛ ⎞} + _{⎜ ⎟} X f( ) ( ) x t dt ∞ −∞ < ∞ ∫ 2 ( ) j ft x t e π dt ∞ ₋ ≤ ∫ 1 1 4 2 ( ) tan a f f a π π θ − + _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ 2 ( ) ( ) j ft X f x t e π dt ∞ ₋ −∞ = ∫ 2 ( ) ( ) ( ) j ft x t e dt x t e dt x t dt π −∞ ∞ ₋ −∞ ∞ ≤ = = < ∞ ∫ ∫ ∫ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 a ⎝ ⎠ 41 / 120 ( ) x t dt −∞ =∫ < ∞

Fourier Transform Fourier Transform ( ) X f 2 1 1 ( ) 2 1 X f a _{π f} = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ( )f 1 a 1 2 a 0 1 f a ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 a π 2 a π − f ( ) at ( ) x t = e− u t 1 _←⎯→F 0 ( )f θ a 2 π π t ←⎯→ 1 2 ( )f tan f a π θ _{= −} − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 a π 2 a π − 4 4 π − f 2 π − 4 제3장 신호의 주파수 영역 분석 42 / 120

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Linearityy 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ax aX t bx t aX bX f bX f ω ω + ⇔ + +

‰ Time shifting; shifting in time changes only the phase

2 1( )f ( )f 0 0 ( ) ( ) ( ) j t ( ) y t = x t −t ⇔ Y ω = e− ω X ω 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ( ) ) j ft Y f e X f Y f X f Y f y t x t t Y X e X f f t π ω ω π − = ⇒ = ∠ = ∠ − ⇔ 0 ( ) ( ) , ( ) ( ) (2 ) Y f X f Y f X f π f t ⇒ ∠ ∠ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 44 / 120

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Time scaling ⎛ ⎞ g 1 ( ) 1 x at X a f a ω ⎛ ⎞ ⇔ _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎛ ⎞

• expanding in time (|a|<1) leads to slow variation

1 f X a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(deemphasizing high frequency components)

1 x (t) t 0 τ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 45 / 120

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Time scalingg 1 ( ) x t X f( ) τ f 1 2 τ 2 τ − t 1 − ←⎯→F τ 2 2 τ ( ) x t ( ) X f 2 1 f t 2τ ←⎯→F f 1 2τ τ τ − t 1 2τ − 제3장 신호의 주파수 영역 분석 46 / 120

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Frequency shifting and modulation

0 0 0 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j t j t j f t e x t X f f e x t X e x t X ω ω π ω ω ω ω − ⇔ − ⇔ + − ⇔ 0 0 2 2 2 ) [ j f t ( )] j f t ( ) j ft proof F e π x t e π x t e π dt ∞ − = ∫ { } 0 0 0 0 0 2 0 ( ) ( ) 1 ( )cos(2 f t) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) j f t e x t X e x t X x t X f f X f f f f π ω ω π − ⇔ + ⇔ − + + ⇔ + 0 2 ( ) [ ( )] ( ) ( ) j f f t F e x t e x t e dt x t e π dt −∞ ∞ − − = ∫ ∫ { } 0 0 0 2 1 ( )sin(2 f t) ( ) ( 2 ) x t X f f X f j f π ⇔ − − + 0 ( ) X f f −∞ = − ∫ ‰ x(t)=1인경우 0 0 0 2 2 0 1 ( ) ( ) j f t j f t e f f e f f π π δ δ − ⇔ − ⇔ + { } { } 0 0 0 0 0 0 1 cos(2 f t) ( ) ( ) 2 1 sin(2 f t) ( ) ( 2 ) f f f f f f f f j π δ δ π δ δ ⇔ − + + ⇔ − − + 제3장 신호의 주파수 영역 분석 47 / 120 2 j

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Frequency shifting and modulation

EX3-14) ( ) x t ( ) X f τ ( ) ( /10) cos(1000 ), ( ) ? x t = Π t πt X f = 0 1 f τ τ t τ ←⎯→F 0 1 τ 2 τ 2 τ − 0 ₁ τ − 0 ( ) ( ) cos(2 ) y t = x t π f t Y f( ) 2 τ ←⎯→F 2 τ 2 τ − t 0 f 2 τ 0 f 0 f − ← → 제3장 신호의 주파수 영역 분석 48 / 120

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Dualityy ( ) 2 ( ) ( ) ( ) X t x X t x f π ω ⇔ − ⇔ − Example: pf) 2π x t( ) ∞ X ( )ω ej tω dω t↔ω 2π x( ω) ∞ X t e( ) −j tω dt −∞ −∞ = ∫ ⎯⎯⎯→ − = ∫ p 2 2 2 2 2 2 2 a t a a a e e a a t ω π ω − _{⇔ ⎯⎯→ ⇔} − + + a +ω a + t ( ) ( ) sinc ( ) sinc 2 ( ) 2 2 2 2 t t w w x t X ω τ ωτ X t τ τ πx w π π τ π π τ τ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = Π_{⎜ ⎟} ⇔ = ⎯⎯→ = ⇔ − = Π_{⎜ ⎟} = Π_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) sincf ( ) sinc( ) ( ) f f X f τ τ X t τ tτ x f τ τ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎯⎯→ = ⇔ − = Π_{⎜ ⎟} = Π_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 49 / 120

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Dualityy 1 ( ) x t ( ) X f τ 0 1 f 1 τ τ − 0 t 1 − ←⎯→F τ 2 2 −τ ( ) y t ( ) Y f f τ 1 t ←⎯→F 0 f 1 τ 1 τ − 2 τ 2 τ − 0 t 제3장 신호의 주파수 영역 분석 50 / 120

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Differentiation

( ) ( ) (obtained by differentiating both sides w.r.t. )

2 ( ) d x t j X t dt X f j f ω ω π ⇔ Example: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) n n x X f t j f jω X π ω ⇔ Example: 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t y t y t x t x t jω Y ω jω Y ω Y ω jω X ω X ω ′′ + ′ + = ′ + ⇔ + + = + ‰ Integration ( jω) Y( )ω + 2( jω) ( )Y ω +Y( )ω = ( jω) ( )X ω + X( )ω ( ) ( ) + (0) ( ) t X x τ τd ⇔ ω π X δ ω ∫ ( ) ( ) + (0) ( ) (0) + ( ) 2 2 ( ) X f X f j x d X j f τ τ π δ ω ω δ π −∞ ⇔ ∫ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 2 2 j π f 51 / 120

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Example : triangular pulse

( ) ( ) t x t τ ⎛ ⎞ = Λ ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} ( ) x t 1 τ ⎝ ⎠ [ ] 2 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) d x t t t δ τ δ δ τ = + − + − t τ τ − 1 dx dt [ ] 2 ( ) ( ) ( ) dt τ 2 2 2 1 2 F ⎡d x⎤ ⎡ j π τf −j π τf ⎤ ⎢ ⎥ t τ − τ 1 τ 1 τ − [ ] 2 2 2 2 = 2 2 4 cos(2 ) 1 sin ( ) F j f j f e e dt f f π τ π τ τ π τ π τ τ τ − ⎡ ⎤ _{⎡ ⎤} = − + ⎢ ⎥ _{⎣ ⎦} ⎣ ⎦ = − = − τ 1 τ 2 2 d x dt 1 τ τ τ 2 4 sin ( ) 2 F dx f d f π τ ⎡ _{⎤ = −} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ t τ − τ τ 2 − τ [ ] 2 2 2 2 2 2 4 sin ( ) sin ( ) ( ) sinc ( ) ( 2 ) ( ) F dt j f f f x t f j f f τ π π τ _τ π τ _{τ τ} τ π π τ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − = = 제3장 신호의 주파수 영역 분석 τ 52 / 120

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Parseval’s Theorem 2 1 2 2 ( ) ( ) 2 1 ) ( E x t dt X ω dω X f df π ∞ − ∞ ∞ −∞ −∞ ∞ = = = ⎧ ⎫ ∫ ∫ ∫

{

}

2 1 pf) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) j t j t x t dt x t x t dt x t X e d dt X x t e dt d X X d ω ω ω ω π ω ω ω ω ω ∞ ∞ _∗ ∞ ∞ _{∗ −} −∞ −∞ −∞ −∞ ∞ _∗ ∞ ₋ ∞ _∗ ⎧ ⎫ = = _{⎨ ⎬} ⎩ ⎭ = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

‰ Energy Spectral Density (ESD) :

{

}

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 j X ω x t e dt dω X ω X ω ωd π −∞ −∞ π −∞ = ∫ ∫ = ∫ 2 ( ) X f

‰ Energy Spectral Density (ESD) :

• the frequency distribution of total energy

( )

X f

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Symmetry given ( )x t ⇔ X( ),ω

(

)

* * ( ) ( ) ( ) j t ( ) j t ( ) x t x t e ω dt x t e ω dt X ω ∗ ∞ ₋ ∞ _{− − ∗} −∞ −∞ ⇔ ∫ = ∫ = − If x(t) is real (x(t) = x*(t)) then X(ω) = X*( ω)

(

)

(

)

* * ( ) ( ) j t ( ) j t ( ) x t x t e ω dt x t e ω dt X ω ∗ ∞ ₋ ∞ _{− ∗} −∞ −∞ − ⇔ ∫ − = ∫ = If x(t) is real (x(t) = x (t)), then X(ω) = X (-ω). { } { } ( ) ( ) Re ( ) Im ( ) ( ) j X , X ω = X ω + j X ω = X ω e ω { } { } ( ) ( ) Re ( ) Im ( ) ( ) j X X ∗ −ω = X −ω − j X −ω = X −ω e− −ω { } { } Re X( )ω Re X ( ω) : even X( )ω X( ω) : even ∴ { } = { − } = − { } { } Re ( ) Re ( ) : even ( ) ( ) : even Im ( ) Im ( ) : odd ( ) ( ) : odd X X X X X X X X ω ω ω ω ω ω ω ω ∴ = = ∴ = − − = − − 제3장 신호의 주파수 영역 분석 54 / 120

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Symmetry (continued)y y ( )

i) If x(t) is real and even, X(ω) is also real and even

(

)

∗ ∞ ∞ ∫

(

∫

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j t j t j t j t X x t e dt x t e dt X x t x t x t e dt x t e dt X x t x t ω ω ω ω ω ω ω ∞ ∞ _{∗ − ∗ ∗} −∞ −∞ ∞ ∞ ₋ − = = = = = − = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ Q Q

ii) If x(t) is real and odd, X(ω) is imaginary and odd

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t e dt x t e dt X ω x t x t −∞ −∞ ∫ ∫ Q ( ) ( ) ( ) X −ω = X∗ ω = −X ω 제3장 신호의 주파수 영역 분석 55 / 120

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Convolution (in time)( )

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t x t h t Y X Y f X f H H f ω ω ω ⇔ = = ∗ = Example 1 ( )f ( )f ( f ) ( ) ( ) dx t ( ) ( ) ( ) y t Y j X H j dt ω ω ω ω ω = ⇔ = ∴ = Example 2 dt ( ) bt ( ) 0 ( ) at ( ) 0 x t( ) = e u t− ( ), b > 0, ( )h t = e− u t( ), a > 0,a ≠ b x t = e u t b > h t = e u t a > a ≠ b 1 1 ( ) ( ) ( ) Y X H b j a j ω ω ω ω ω = = ⋅ + + 1 1 1 1 ( ) ( ) ( at bt) ( ) b j a j Y y t e e u t b a a j b j b a ω ω ω ω ω − − + + ⎧ − ⎫ = _⎨ + _⎬ ⇔ = − − _⎩ + + _⎭ − 제3장 신호의 주파수 영역 분석 ⎩ ⎭ 56 / 120

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Convolution (in time)( )

1 1 ( / )t τ Λ τ τ ( / )t τ Π Π( / )t τ 2 τ 2 τ − 0 t 2 τ 2 τ − 0 t ∗ = t τ τ − 2 2 2 2 ( / )t τ Λ (a) 2 sinc (f ) τ τ t 1 ←⎯→F f τ t τ τ − (b) 0 f 1 τ 1 τ − 제3장 신호의 주파수 영역 분석 57 / 120

Properties of Fourier Transform Properties of Fourier Transform

‰ Multiplication (in time) : dual of convolution propertyp ( ) p p y

1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x t m t X ω M ω π ⇔ ∗ ) ( ( ) X f ∗M f 제3장 신호의 주파수 영역 분석 58 / 120

Application of Fourier Transform Application of Fourier Transform

‰ Communication system : modulation and demodulation

Modulation { 0 0 } { } 1 0 2 0 0 ( ) cos j t j t ( ) ( ) ( ) c t = ω t = e ω +e− ω ⇔C ω =π δ ω ω− +δ ω ω+ { } { } { } 0 0 2 2 1 0 2 0 0 0 0 1 ( ) cos 2 ( ) 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j f t j f t f t e e C f y t x t f f f f c t Y X C X X π π π ω ω ω ω ω ω δ ω δ − = = + ⇔ = ⇔ = ∗ = = − + + − + + { } { } 0 0 0 0 ( ) 1 ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 2 2 2 y t x t Y f X f C f X f f X f c t Y X C X X f ω ω ω ω ω ω ω π ⇔ = + ⇔ ∗ = + + − + ( ) X f Y f( ) ( ) c t f B f B f − 0 f 0 f − f 2f 제3장 신호의 주파수 영역 분석 59 / 120 2f_B

Application of Fourier Transform Application of Fourier Transform

‰ Communication system : modulation and demodulation

Demodulation { 0 0 } 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 ) y t x t c t Y ω X ω C ω X ω ω X ω ω π = ⇔ = ∗ = − + + ( ) ( ) ( ) z t = y t c t { } { 0 0 } 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 ) Y f X f C f X f f X f f π = ∗ = − + + ⇔ { 0 0 } { 0 0 } 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( 2 ) 2 ( ) ( 2 ) 2 2 4 1 z t y t c t Z ω Y ω C ω Y ω ω Y ω ω X ω ω X ω X ω ω π = ⇔ = ∗ = − + + − + + + { 0 0 } { 0 0 } 1 ( ) ( 2 ) 2 ( ) ( 2 ) 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Y f C f Y f f Y f f Z f X f f X f X f f ⇔ = ∗ = − + + = − + + + ( ) Z f H f( ) f f 제3장 신호의 주파수 영역 분석 60 / 120 B f − f_B 0 2f − 2f₀ f f

Application of Fourier Transform Application of Fourier Transform

‰ Multiplexing (frequency division multiplexing)

Useful Fourier Transform Pairs Useful Fourier Transform Pairs

‰ Unit impulse x t( )=δ( )t X f( )=1 1 0 0 0 2 ( ) 1 ( ) j t , j ft t t t e ω e π δ δ − − ⇔ − ⇔ 0 t 0 f 1 ←⎯→F ‰ Constant 1 ⇔ 2πδ ω( ), δ ( f ) ( ) 1 x t = _{X f( )=δ( )f} 1 ←⎯→F

‰ Unit step function

1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 u t ⇔ πδ ω + δ f + t 0 0 f ‰ Exponential ( ) ( ) , ( ) 2 2 u t f j j f πδ δ π ω ω + ⇔ + po e t a 1 2 1 ( ) , at e u t a jω a j π f − + ⇔ + 제3장 신호의 주파수 영역 분석 62 / 120

Useful Fourier Transform Pairs Useful Fourier Transform Pairs

‰ Complex exponential 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 ( ), ( ) ( ) ( ) j f t j j f t t t j e e e f f e π f f ω ω π π δ δ δ ω ω πδ ω ω − − ⇔ − ⇔ + ⇔ − ⇔ + ‰ Sinusoidal functions

{

0 0

}

{ } 1 0 2 0 0 cosω t =

{

ejω t + e−jω t

}

⇔π δ ω ω{ ( − )+δ ω ω( + )} { } 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 cos 2 ( ) ( ) 2 f t f f f f π ⇔ δ − +δ +

{

}

{ } { } 0 0 1 0 2 0 0 sin ( ) ( 1 sin 2 ( ) ) ( ) j t j t j j t e e f t f f f f ω ω _π ω δ ω ω δ ω ω π δ δ − = − ⇔ − − + ⇔ { + } 0 0 0 sin 2 ( ) ( ) 2 f t f f f f j π ⇔ δ − −δ + 제3장 신호의 주파수 영역 분석 63 / 120

Useful Fourier Transform Pairs Useful Fourier Transform Pairs

‰ Rectangular pulse ( ) t ( ) sinc( ) x t X f T fT T ⎛ ⎞ = Π_{⎜ ⎟} ⇔ = ⎝ ⎠ ‰ Triangular pulse 2 ( ) t ( ) sinc ( ) x t = Λ⎛ ⎞_{⎜ ⎟} ⇔ X f =T fT ‰ Impulse train ( ) ( ) sinc ( ) x t X f T fT T = Λ_{⎜ ⎟} ⇔ = ⎝ ⎠ p 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x t t nT X f f f nf f T δ δ ∞ ∞ =−∞ =−∞ = ∑ − ⇔ = ∑ − = n=−∞ n=−∞ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 64 / 120

Fourier Transform of Periodic Signals Fourier Transform of Periodic Signals

‰ Arbitrary periodic signal x(t) with period Ty p g ( ) p ₀₀ Fourier series 0 2 0 1 ( ) _n j nf t, x t c e f T π ∞ = ∑ = 0 0 0 0 / 2 2 / 2 1 ( ) o n n T j nf t n T T c x t e dt T π =−∞ − − = ∑ ∫

Take Fourier transform

2 ( ) F j nf t X f π ∞ ⎡ ⎤ ⎢ ∑ ⎥ 0/ 2 0 T T 2 2 ( ) [ ] F F o o j nf t n n j nf t n X f c e c e π π =−∞ ∞ ⎡ ⎤ = _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ = ∑ ∑ ( ) n n o n c δ f nf =−∞ ∞ =−∞ = − ∑ ∑ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 65 / 120

Fourier Transform of Periodic Signals Fourier Transform of Periodic Signals

‰ Arbitrary periodic signal x(t) with period Ty p g ( ) p ₀₀ (continued)( ) Define truncated signal

0 0 ( ) T T x t t ⎧ _{− ≤ ≤} ⎪ ⎨

Then the Fourier coefficients are

( ) ( ) _{2 2} 0, otherwise T x t t x t = ⎨⎪ ≤ ≤ ⎪⎩ 0 0 / 2 2 2 / 2 0 0 1 1 ( ) o ( ) o T j nf t j nf t n _T T c x t e dt x t e dt T T π ∞ π − − − −∞ = ∫ = ∫ 0 0 0 2 0 1 ( ) j f t T f nf x t e dt T π ∞ ₋ −∞ ₌ ⎡ ⎤ = _{⎢ ⎥} ⎣∫ ⎦ [ ] 0 0 0 1

( ) : sampling of ( ) with the interval

T _{f nf}

X f X f f

T =

=

Fourier Transform of Periodic Signals Fourier Transform of Periodic Signals

‰ Arbitrary periodic signal x(t) with period Ty p g ( ) p ₀₀ (continued)( )

주기 신호의 푸리에 변환은 주파수 영역에서 임펄스 열이 되며 각 임펄스의 가중치는 푸리에 계수가 되는데, 이 푸리에 계수는 한 주기의 신호만 취해 만들어진 신호 x_T(t)의 푸리에 변환을 기본주파수의 정수배 주파수에서 표본화하고 주기로 나눈 것과 동일하다 표본화하고 주기로 나눈 것과 동일하다. ( ) _n ( _o) n X f c δ f nf ∞ = ∞ = ∑ − 0 0 ( ) ( ) n T o n X nf f nf T δ =−∞ ∞ =−∞ = ∑ − 0 ( ) ( ) T o n X f f nf T δ ∞ =−∞ = ∑ − 제3장 신호의 주파수 영역 분석 67 / 120

Fourier Transform of Periodic Signals Fourier Transform of Periodic Signals

‰ 예제3.16) Impulse train

0 0

( ) ( ) : periodic with period

k x t δ t kT T ∞ =−∞ = ∑ − ( ) x t 0 T0 2T0 3T 0 T − 0 2T −

...

...

i) Fourier series 0 T0 2T0 3T0 0 T 0 2T 2 1 _{j πnf t} 1 ∫ 2 1 j f t ∞ ∑

ii) Fourier transform to get

0 0 2 0 0 1 1 ( ) j nf t n T c t e dt T T π δ − = ∫ = 0 2 0 0 1 ( ) _n j nf t, n x t c e f T π =−∞ = ∑ =

ii) Fourier transform to get

0 0 0 0 0 ( ) 1 ( ) ( ) T ( ) ( ) n n n n X f X f c f nf f nf f nf T T δ δ δ ∞ ∞ ∞ = −∞ = −∞ = −∞ = ∑ − = ∑ − = ∑ −

...

...

...

...

f (f) X 1 T₀ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 68 / 120 f 0 f _{2 f0} 0 f − 0 2 f − ₀

Fourier Transform of Periodic Signals Fourier Transform of Periodic Signals

‰ 예제 0 ( ) k t kT x t A τ ∞ = ∞ − ⎛ ⎞ = _{Π ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ∑ k=−∞ ⎝ τ ⎠ ( ) x t

L

L

( ) x t A 0 t 0 T 0 T − 제3장 신호의 주파수 영역 분석 69 / 120

Fourier Transform of Periodic Signals Fourier Transform of Periodic Signals

‰ 풀이 Truncated signal ( ) ( / ) T x t = ΠA t τ 0 sinc( ) ( ) ( _o) n A f X f f nf T τ _{τ δ} ∞ =−∞ = ∑ −

⇒

( ) ( / ) ( ) sinc( ) T T x t A t X f A f τ τ τ Π = 0 sinc( ) ( ) o o n A nf f nf T τ _{τ δ} ∞ =−∞ = ∑ −

⇒

A T τ ( ) X f 0 T 1/τ f 0 1 T 제3장 신호의 주파수 영역 분석 70 / 120

선형 시스템과 Fourier Transform 선형 시스템과 Fourier Transform ‰ Linear systemy ( ) h t ( ) x t( ) _{h t( ) y ty t( )( )} = _{h th t( )( )}∗ _{x tx t( )( )} ( ) X f( ) H f( ) Y f( ) H f( ) X f( ) X f H f( ) Y f( ) = H f( )⋅ X f( ) 제3장 신호의 주파수 영역 분석 71 / 120

스펙트럼 밀도

Energy Spectral Density (ESD) Energy Spectral Density (ESD)

‰ Energy Spectral Density (ESD) function

2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 E =

∫

∞ x t dt =

∫

∞ X ω dω =

∫

∞ X f df • Total energy ( ) ( ) ( ) 2 _x( ) f f f df π −∞ −∞ −∞ ∞ −∞ = Ψ

∫

∫

∫

∫

E S t l D it 2 ( ) ( ) x f X f Ψ =

• Energy Spectral Density

Energy Spectral Density (ESD) Energy Spectral Density (ESD)

‰ Autocorrelation과의 관계 • 에너지 신호의 자기상관함수 ( ) ( ) ( ) x R τ ∞ x t x t τ dt −∞ = ∫ + • 자기상관함수의 푸리에 변환 [ ] 2 ( ) ( ) F j f R ∫∞ R − π τd [ ] 2 ( ) ( ) ( ) ( ) F j f x x j f R R e d e x t x t dt d π τ π τ τ τ τ τ τ −∞ ∞ ₋ ∞ −∞ −∞ = ⎡ ⎤ = _⎢ + _⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j f j f t j f t x t x t e d dt x t X f e dt X f x t e dt π τ π π τ τ ∞ ∞ ₋ −∞ −∞ ∞ ∞ ⎡ ⎤ = _⎢ + _⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = _{⎣ ⎦} = ∫ ∫ ∫ ∫ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _x( ) f f X f X f X f f −∞ ⎣ ⎦ −∞ = − = = Ψ ∫ ∫ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 74 / 120

Energy Spectral Density (ESD) Energy Spectral Density (ESD)

‰ 요약 • ESD 2 ( )f X f( ) Ψ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F x x f X f R τ ∞ x t x t τ dt −∞ Ψ = ⎡ ⎤ = = _⎢ + _⎥ ⎣∫ ⎦ • Total energy 2 ( ) _x( ) _x(0) E ∞ x t dt ∞ f df R −∞ −∞ = ∫ = ∫ Ψ = 제3장 신호의 주파수 영역 분석 75 / 120

Energy Spectral Density (ESD) Energy Spectral Density (ESD)

‰ 예제 3.18 x t( ) A t τ ⎛ ⎞ = Π ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} ( ) X f Aτ ₂ A2τ2 ( ) x f Ψ f 1 1 ( ) x t ₁ 1 1 f τ 1 τ − A ( ) x t t 0 1 τ 1 τ − F ( ) R τ Ψx( )f 2 τ 2 τ − t 2 Aτ ( ) x R τ ( ) x R τ F 2 2 Aτ t τ τ − 0 f 1 τ 1 τ − 제3장 신호의 주파수 영역 분석 76 / 120

LTI 시스템 출력의 ESD LTI 시스템 출력의 ESD

‰ E t i i th h LTI t

‰ Energy transmission through LTI system

( ) ( ) x X f f Ψ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x Y f H f X f f H f f = Ψ = Ψ ( ) H f ( ) ( ) ( ) y f f x f 제3장 신호의 주파수 영역 분석 77 / 120

변조된 신호의 ESD 변조된 신호의 ESD ‰ 진폭변조 y t( ) = x t( ) cos(2π f t0 ) [ 0 0 ] 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 Y f = X f + f + X f − f [ ] 2 2 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 ( ) ( ) 4 y x x f Y f X f f X f f f f f f Ψ = = + + − = Ψ + + Ψ − 0 4 1 , 2 2 y x E = E f ≥ B 제3장 신호의 주파수 영역 분석 78 / 120

변조된 신호의 ESD 변조된 신호의 ESD ‰ 진폭변조 y t( ) = x t( ) cos(2π f t0 ) ( ) X f 1 ( ) x f Ψ 1 0 f B B 1 0 B f B 1 0 B B − −B 0 B ( ) Y f Ψ_y( )f 1 2 y 1 4 0 f 0 f 0 f − 0 f 0 f 0 f − 4 제3장 신호의 주파수 영역 분석 79 / 120

Power Spectral Density (PSD) Power Spectral Density (PSD)

‰ Power Spectral Density (PSD) function

/ 2 ₂ 1 lim T ( ) P =

∫

x t dt • Average power / 2 ( ) ( ) T T x T S f df − →∞ ∞ −∞ =

∫

∫

• Power Spectral Density S_x(f)

2 ( ) ( ) li XT f S ( )f lim ( ) where ( ) / 2 / 2 T x T f S f T T T →∞ = ≤ ≤ ⎧ ( ) / 2 / 2 ( ) 0 otherwise T x t T t T x t = ⎨⎧ − ≤ ≤ ⎩ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 80 / 120

Power Spectral Density (PSD) Power Spectral Density (PSD)

‰ Autocorrelation과의 관계 • 전력 신호의 자기상관함수 / 2 / 2 1 ( ) lim T ( ) ( ) x T T R x t x t dt T τ τ − →∞ = ∫ + • 자기상관함수의 푸리에 변환 / T→ T 2 ( ) X f [ ( )] lim ( ) ( ) F T x x T X f R S f T τ →∞ = = 제3장 신호의 주파수 영역 분석 81 / 120

Power Spectral Density (PSD) Power Spectral Density (PSD)

‰ 요약 • PSD 2 ( ) ( ) li XT f S f [ ] / 2 / 2 ( ) ( ) lim 1 ( ) lim ( ) ( ) F F T x T T x _T f S f T R x t x t dt T τ τ →∞ = ⎡ ⎤ = = _⎢ + _⎥ ⎣ ∫ ⎦ • Average power [ ] / 2 ( ) ( ) ( ) x _T T→∞ T − ⎢ ⎥ ⎣ ∫ ⎦ / 2 ₂ / 2 1 lim T ( ) _x( ) _x(0) T T P x t dt S f df R T ∞ − −∞ →∞ = ∫ = ∫ = 제3장 신호의 주파수 영역 분석 82 / 120

Power Spectral Density (PSD) Power Spectral Density (PSD)

‰ 주기신호의 PSD 0 2 2 0 1 ( ) _n T n P x t dt c T ∞ =−∞ = ∫ = ∑ 0 ( ) n x S f df ∞ ∞ −∞ = ∫ 2 0 ( ) ( ) x n n S f c δ f nf ∞ =−∞ = ∑ − 제3장 신호의 주파수 영역 분석 83 / 120

Power Spectral Density (PSD) Power Spectral Density (PSD)

‰ Power transmission through LTI system

( ) X f( ) Y f( )= H f X f( ) ( ) ( ) x X f S f 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x Y f H f X f S f H f S f = = ( ) H f 제3장 신호의 주파수 영역 분석 84 / 120

선형 시스템과 필터

선형시스템의 입출력 관계와 주파수응답 선형시스템의 입출력 관계와 주파수응답 ( ) h t ( ) x t( ) ( ) y ty( )( ) = h t( )( )∗ x t( )( ) ( ) X f _{H f( ) Y f( )} = _{H f( )}⋅ _{X f( )}

‰ 주파수 응답(frequency response)(또는 전달함수 transfer function)

( )

( ) [ ( )] Y f

H f = F h t =

‰ 진폭응답(amplitude response)과 위상응답(phase response)

( ) [ ( )] ( ) f X f ( ) 2 2 : ( ) Re{ ( )} Im{ ( )} ( )

amplitude response: ( ) (Re{ ( )}) (Im{ ( )})

j H f frequency response H f H f j H f H f e H f H f H f ∠ = + = = + { } { } 1

amplitude response: ( ) (Re{ ( )}) (Im{ ( )})

Im ( )

phase response: ( ) ( ) tan

Re ( ) h H f H f H f H f f H f H f θ − + ⎡ ⎤ = ∠ = _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ 제3장 신호의 주파수 영역 분석 { } ⎣ ⎦ 86 / 120

선형시스템의 입출력 관계와 주파수응답 선형시스템의 입출력 관계와 주파수응답 ‰ 선형 시스템의 출력의 푸리에변환 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y h x j f j f j f Y f Y f e H f X f H f e X f e θ θ θ = 1 {{ }} Im ( ) ( ) ( ) tan Re ( ) y Y f f Y f Y f θ _{= ∠ =} − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h x h x j f j f j f f H f X f H f e X f e H f X f e θ +θ = = = • 따라서 출력신호의 진폭스펙트럼과 위상스펙트럼은 ( ) ( ) ( ) Y f = H f X f ( ) ( ) ( ) y f h f x f θ =θ +θ ( ) h t ( ) x t y t( ) = h t( )∗ x t( ) ( ) X f _{H f( ) Y f( )} = _{H f( )}⋅ _{X f( )} 제3장 신호의 주파수 영역 분석 87 / 120 ( )f _{H f( ) Y f( ) H f( ) X f( )}

선형시스템의 입출력 관계와 주파수응답 선형시스템의 입출력 관계와 주파수응답 ‰ 주파수 응답(H(f) : frequency response)의 대칭성( ( ) q y p ) • h(t)는 일반적으로 실수함수 ( ) ( ) H f( ) = H(− f ) ( ) ( ), _h( ) _h( ) H f H f H f H f θ f θ f = − ∠ = −∠ − = − − 2 ( ) . ( ) j ft ( ) h t F T ∞ h t e− π dt H f ∞ = ∫ = 의

(

)

* 2 (2 ( ) ) * ( ) j ft ( ) j f t ( ( )) ( ) h t e π dt h t e π dt H f H f −∞ ∗ ∞ ₋ ∞ _{− − ∗} −∞ −∞ = = = − = − ∫ ∫ ∫ ( ) * * ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) { ( )} { ( ) } ( ) j H f j H f j H f H f H f e H f H f H f e H f e ∠ ∠ − ∠− − = = − = − = − = − 제3장 신호의 주파수 영역 분석 88 / 120

선형시스템의 입출력 관계와 주파수응답 선형시스템의 입출력 관계와 주파수응답 ‰ 복소지수함수에 대한 응답 ( ) h t 0 2 ( ) j f t x t = Ae π y t( ) = h t( )∗ x t( ) ( ) ( ) ( ) Y f = H f X f 0 ( ) ( ) X f = Aδ f − f 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f AH f δ f f AH f δ f f = − = − ( ) H f 0 2 1 0 ( ) { ( )} ( ) j f t y t = F − Y f = AH f e π 0 0 0 0 ( ) 2 0 ( 2 ( )) 0 ( ) ( ) j H f j f t j f t H f A H f e e A H f e π π ∠ + ∠ = = ( f₀) 제3장 신호의 주파수 영역 분석 89 / 120