Effect of axial rotation on oscillatory thermocapillary flow in half-zone of high Prandtl number fluid

높은 Prandtl 수 유체에서 축회전이 열모세관 유동의 진동에

미치는 영향

전승원

*

, 이규정

†

Effect of axial rotation on oscillatory thermocapillary flow in half-zone

of high Prandtl number fluid

Seung-Won Jeon

*

, Kyu-Jung Lee

†

Key Words: Thermocapillary(열모세관), Floating zone(플로팅존), Oscillation(진동), Marangoni

convection(마랑고니 대류), Axial rotation(축회전)

Abstract

A numerical study on oscillatory thermocapillary flow in half-zone has performed to understand the effect of axial rotation. 2d unsteady code is developed to observe the onset of oscillation. 2cs Silicone oil with Prandtl number of 26.5 is used as a working fluid. The critical temperature difference at onset of oscillation is investigated under the different aspect ratios and rotation modes. It is shown that the onset of oscillation is delayed when aspect ratio reduces and rotating speed increases. The oscillatory flow is strongly reduced under top rotation and co-rotation modes, while it is augmented under bottom rotation and counter-rotation modes. It is thought that interaction between return flow and bottom wall is important to explain the oscillatory flow.

†책임저자, 회원, 고려대학교 기계공학과 E-mail : [email protected] TEL : (02)3290-3359 FAX : (02)928-9768

*

고려대학교 기계공학과 대학원 기호설명 Ar : 종횡비 Ma : Marangoni 수 Nu : Nusselt 수 Pr : Prandtl 수 R : 봉의 반지름 [m] Reσ : 표면장력 Reynolds 수 Reω : 회전 Reynolds 수 H : 봉의 높이 [m]

n

: 동점성계수 [m2/s]

m

: 점성계수 [N·s/m2] T

s

_{: 표면장력 온도계수 [N/m·K]}

1. 서 론

서로 섞이지 않는 두 유체의 표면에서 발생하 는 표면장력은 온도, 농도와 전위 등에 의해 영 향을 받는다. 표면에 온도 구배가 존재하면 표면 장력 변화에 의해 유동이 발생하고 점성에 의해 유체 전반에 영향을 미치게 되는데, 이를 열모세 관 유동이라 한다. 열모세관 유동은 부력과 함께 존재하는데 일반적인 경우 부력에 비해 열모세관 힘은 무시할만하다. 그러나 형상이 작을 때나 미 소 중력장의 경우 열모세관력은 중요한 구동력이 된다(1) . 열모세관 유동에 있어서 중요한 현상 중 하나 는 정상 상태에서 진동 상태로의 천이 과정이다. 일정한 온도차까지는 유동이 정상 상태를 유지하 지만, 일정 온도를 넘어서면 유동이 진동 상태로 천이하게 되는데 그때의 온도를 임계 온도라 한 다. 진동 현상은 단결정 제조시 비정상 상태 유 동으로 인해 줄무늬가 나타나게 되어 결정의 질 대한기계학회 2008년도 추계학술대회 논문집

Fig. 1 Half-zone configuration. 저하에 큰 영향을 미치게 된다. 열모세관 유동의 진동과 관련하여 실험과 수치해석 방법으로 많은 연구가 이루어지고 있다(2-7) . 차원해석에 의하면, 표면이 고정되어 변형이 없는 경우 열모세관력에 관련된 유일한 무차원수는 Marangoni 수이다(8) . Marangoni 수는 열모세관 대류에 의해 전달된 에 너지와 전도에 의한 에너지의 비이다. 이러한 사 실은 많은 연구자들이 열모세관 진동 현상에 관 련된 어떤 임계 Ma 수가 존재한다고 생각하게 되었으며 길이나 부피, 자유표면의 형태, 표면에 서의 열전달 등 여러 요소에 의해 Ma 값이 영향 을 받는다고 보고되고 있다(9-12) . 진동 현상의 억제책으로 결정체 성장 영역에 강제 대류를 주는 방법이 있는데, 축회전 방법과 자기장 방법 등이 있다. 이 중 축회전 방법은 Chun(13), Kobayashi(14), Kamotani and Kim(15) 등에

의하여 연구되었다. Chun(13)_{은 실리콘 오일을 이}

용한 실험에서 상하부 같은 방향 회전을 통해 진 동을 효과적으로 억제할 수 있음을 확인하였고,

Kobayashi(14)은 수치해석을 통하여 낮은 Prandtl

수에서 (Pr=0.01, 1) 회전의 영향을 다양한 회전

모드에서 관찰하였다. Kamotani and Kim(15)_{은 높}

은 Prandtl 수의 (Pr=27, 62) 실리콘 오일을 이용 하여 축회전에 따른 진동상태로의 천이 과정을 실험하였다. 일반적으로 회전 속도가 증가하면서 진동이 감소되었지만, 회전 속도가 진동 주기와 같을 때는 진동이 증가하는 현상이 관찰되었다. 본 논문에서는 2cs 실리콘 오일을 (Pr=26.5) 이 용한 Half-zone 모델에서 축대칭으로 가정한 2차 원 비정상상태 수치해석을 통하여 열모세관 유동 의 특징을 살펴보고, 정상 상태에서 진동 상태로 의 천이 과정에 축회전이 미치는 영향을 파악하 고자 한다.

2. 수치해석

2.1 해석모델 Half-zone 모델에서 액적은 서로 다른 온도의 원형단면을 가진 두 개의 금속 막대 사이에 표면 장력에 의해 유지되고 있다. 상부에 고온, 하부에 저온 조건을 주며 이는 자연대류의 영향을 억제 하기 위함이다. 해석 모델의 개략도를 Fig. 1에 나타내었다. 액적의 지름 D는 4mm이고 높이는 종횡비에 따라 변한다. 열모세관 유동의 진동 현 상을 관찰하기 위하여 비압축성 2차원 축대칭 비 정상상태 유동을 해석하였다. 중력과 복사열전달 의 영향은 무시하였고, 실리콘 오일의 상태량은 일정하다고 가정하였다. 이산화 방법으로는 유한 체적법인 SIMPLER 알고리즘을 사용하였고 Kim(16)의 논문에 기초하여 해석을 수행하였다. 2.2 지배방정식 및 경계조건 2.2.1 지배방정식 - 연속방정식

(

)

1 0 z r v rv r r z ¶ ¶ + = ¶ ¶ (1) - 모멘텀 방정식 r-방향 2 ₂ 4 2 2 2 2 Re 16 Re 1 4 [4 ( ) ] Re r r r r z r r r v v v v v v Ar t r z r v v v p Ar Ar r r r r z w q s s

¶

¶

¶

¶

¶

¶

æ ö ¶ + + - _{ç ÷} ¶ _{è ø} ¶ ¶ ¶ = - + + + ¶ ¶ ¶ (2) θ-방향 2 2 2 1 [4 ( ) ] Re r z v v v v v t r z v v v Ar r r r z q q q q q q s

¶

¶

¶

¶

¶ + + ¶ ¶ ¶ ¶ = + + ¶ ¶ ¶ (3) z-방향

(a) Streamline (b) Isotherm Fig. 2 Streamline and isotherm without rotation.

(Ar=0.65, △T=3.5℃) time (sec) T E M P 10 20 30 40 50 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25

Fig. 3 Processing to the oscillation. (Ar=0.65, △T=8℃) 2 2 2 1 [4 ( ) ] Re z z z r z z z z v v v v v t r z v v v p Ar z _s r r r z

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶ + + ¶ ¶ ¶ ¶ = - + + + ¶ ¶ ¶ (4) - 에너지 방정식 2 2 2 2 2 2 1 1 4Ar 4Ar Ma r z T T T v v t r z T T T r r r z ¶ ¶ ¶ + + ¶ ¶ ¶ æ ¶ ¶ ¶ ö = _ç + + _÷ ¶ ¶ ¶ è ø (5) 2.2.2 무차원수 위 식에서 무차원수는 다음과 같다. - 표면장력 Reynolds 수

Re

T

TR

s

s

mn

D

=

- 회전 Reynolds 수 2

Re

_w

R

w

n

=

- Marangoni 수

Re Pr

T

TR

Ma

s

s

ma

D

=

=

- 종횡비

₂

H

Ar

R

=

2.2.3 경계조건 ⅰ) z=0, 0≤r≤1

v

q

= ×

s r

,

v =

r

0

,

v =

z

0

,

T =

0

ⅱ) z=1, 0≤r≤1

v

q

= ×

s r

,

v =

r

0

,

v =

z

0

,

T =

1

ⅲ) r=0, 0≤z≤1

v

q

=

0

,

v =

r

0

, 0 z v r ¶ = ¶ , 0 T r ¶ = ¶ ⅳ) r=1, 0≤z≤1 v v r r q q ¶ = ¶ ,

v =

r

0

, 0 T r ¶ = ¶ , z v T r z ¶ ¶ = -¶ ¶ 여기서 s=1,0,-1을 각각 나타내며 s=0 일 때는 회전이 없고, s=1 에서는 반시계 방향, s=-1 에서 는 시계 방향으로 회전하게 된다.

3. 결과 및 고찰

3.1 진동 상태로 천이 Fig. 2는 회전이 없을 때 일반적인 열모세관 유 동의 유선과 등온선이다. 유선을 보면 고온의 상 부에서 자유표면을 따라 아래 방향으로 상대적으 로 강한 표면 유동이 흐르고 하부에서 상부로 약 한 순환 유동이 되돌아오게 된다. 등온선에서는 표면을 따라 많은 열이 전달되고 상부와 하부에 급격한 온도 구배가 나타나는데, 표면의 온도 분 포는 열모세관 유동의 구동력으로 중요한 역할을 한다. 온도차가 작을 때는 유동이 정상 상태를 유지하지만 임계 온도를 넘어서면 유동이 진동

X Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 X Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

(a) Without rotation (b) Top rotation

X Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 X Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

(c) Bottom rotation (d) Co-rotation

X Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 (e) Counter-rotation

Fig. 6 Streamlines at the different rotation modes. (200rpm, Ar=0.65, △T=4.5℃) 0 5 10 15 20 25 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 q '/ D T DT Ar=0.6 Ar=0.65 Ar=0.7 Ar=0.75 Ar=0.8

Fig. 4 Oscillation amplitude with aspect ratio.

0 5 10 15 20 25 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 H z DT Ar=0.6 Ar=0.65 Ar=0.7 Ar=0.75 Ar=0.8

Fig. 5 Oscillation Frequency with aspect ratio. 상태로 천이하게 된다. Fig. 3은 한점에서 시간에 따른 온도 변화를 나타낸 것으로 별다른 외란을 설정하지 않음에도 불구하고 비정상 상태로 유동 의 천이가 일어나고 있다. Fig. 4와 Fig. 5는 회전 이 없을 때 서로 다른 종횡비에서 온도차에 따른 진폭과 주파수를 나타낸 것이다. Fig. 4에서

q

'

는 진폭을 나타내며 y축은 상하부 온도차로 무차원 화된 진폭이다. 진폭이 0에 가까운 온도차가 임 계 온도차이고 온도차와 종횡비가 증가할수록 진 폭이 증가하게 된다. 종횡비가 0.6일 경우에는 온 도차가 증가하여도 진폭이 매우 작은 값에 머물 러 있고, 종횡비 0.65에서는 온도차가 15도를 넘 어서면서 진폭이 0.01 이상으로 증가하게 된다. 종횡비 0.7 이상에서는 임계 온도차를 지나면서 진폭이 증가하기 시작한다. 진폭과 마찬가지로 주파수도 온도차가 증가할수록 증가하게 된다. 종횡비가 주파수에 미치는 영향은 상대적으로 작 은데, 높은 온도차에서 종횡비가 감소할수록 주 파수가 커지는 경향이 있다. 3.2 축회전의 영향 Fig. 6은 종횡비가 0.65이고 온도차 4.5℃, 회전 수 200rpm일 때 회전 모드에 따른 유선을 나타낸 것이다. 회전수가 작을 때는 유선의 변화가 크지 않아 회전수가 상대적으로 큰 200rpm일 때의 결 과를 나타내었다. Fig. 7은 종횡비가 0.65로 일정 할 때 회전 모드와 회전수에 따른 임계 온도를 나타낸 것으로 회전수가 증가할수록 임계 온도도 증가하는 경향을 보이는데, 회전에 의해 열모세

0 20 40 60 80 100 4 6 8 10 12 14 Ar=0.65 D Tc r ( oC ) Rotating speed(rpm) Top rotation Bottom rotation Co-rotation Counter-rotation

Fig. 7 Critical △T at the different rotation modes. 0 30 60 90 120 150 3 4 5 6 7 8 _{Bottom rotation} D Tc r ( oC ) Rotating speed(rpm) Ar=0.6 Ar=0.65 Ar=0.7 Ar=0.75 Ar=0.8

Fig. 8 Critical △T with bottom rotation for the aspect ratios.

관 유동이 억제되어 진동으로의 천이가 늦어짐을 볼 수 있다. 상부 회전과 상하부 같은 방향 회전 일 때 진동으로의 천이가 억제되는 정도가 크고, 하부 회전과 상하부 다른 방향 회전일 경우 상대 적으로 빠르게 천이가 일어남을 볼 수 있는데, Fig. 6의 유선에서 하부의 순환 유동을 통해 그 이유를 설명하려고 한다. 실험에서 유동 가시화 및 온도 측정에서 알 수 있듯이 하부의 순환유동 은 유동이 불안정하여 진동 상태로 천이될 때 가 장 먼저 천이가 발생하는 곳이다. 상부 회전시는 회전에 의한 반경 방향 속도 성분으로 인해 상부 로부터 발생하는 표면 유동이 강해지고 아래 벽 면까지 영향을 미쳐 유동이 안정적으로 유지된 다. 상하부 같은 방향 회전일 때도 원심력에 의 해 유동이 표면으로 치우치기는 하지만 표면 유 동이 하부를 지나 안정적으로 순환하여 되돌아오 고 있다. 그러나 하부 회전일 때는 표면 유동과 하부 반경 방향 속도의 충돌에 의하여 하부의 유 동이 불안정해진다. 상부로 되돌아가는 순환 유 동은 내부까지 도달하지 못하고 표면 부근에서 순환하게 되며, 내부에는 반대 방향의 유동이 발 생하게 된다. 상하부 반대 방향 회전시에는 상부 회전과 같이 강한 표면 유동이 발생하지만 하부 의 반대 방향 회전에 의해 하부에서 표면 유동의 영향이 약해지고 순환 유동은 하부 벽면까지 미 치지 못하고 위로 치우치게 된다. 하부 벽면 부 근에서는 반대 방향 유동도 관찰되고 있다. Fig. 8은 상대적으로 임계 온도가 낮은 하부 회전시 회전수와 종횡비가 임계 온도에 미치는 영향을 관찰한 것이다. 종횡비가 낮을 때는 회전수가 높 아짐에 따라 임계 온도가 감소하다가 60rpm 이상 에서 증가하게 된다. 종횡비가 높을 경우 60rpm 까지는 변화가 없다가 그 이상의 회전이 가해지 면 임계 온도가 증가하게 된다. 이러한 경향은

Kamotani and Kim(15)의 실험 결과와 일치한다.

4. 결 론

본 연구는 Half-zone 모델에서 축대칭으로 가정 한 2차원 비압축성 비정상 상태 수치해석을 통하 여 열모세관 유동의 진동 특성을 관찰하였다. 상 하부 온도차를 변화시키며 해석을 수행하여 진동 이 시작되는 온도를 임계 온도로 간주하였다. 축 회전이 없을 때 온도차와 종횡비가 증가할수록 진폭이 증가하게 되고, 주파수도 온도차가 증가 할수록 증가한다. 축회전이 존재할 경우 회전수 가 증가할수록 회전력 즉 원심력에 의해 열모세 관 유동의 진동이 억제된다. 상부 회전과 상하부 같은 방향 회전일 때는 진동으로의 천이가 억제 효과가 크지만, 하부 회전과 상하부 반대 방향 회전시에는 진동 억제 효과가 상대적으로 적다. 이는 하부 회전과 상하부 반대 방향 회전시 하부 의 순환 유동에 아래 벽면의 영향이 적어져 불안 정성이 커지기 때문으로 생각된다.

후 기

이 연구는 2단계 BK21 사업의 지원을 받았으

며, 이에 감사드린다.

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