미소 T 채널의 혼합 특성에 관한 연구
이상현
* ·안철오
* ·서인수
* ·이상환
†Study on mixing characteristics of T-type micro channel
Sang hyun Lee, Cheol-O Ahn, In Soo Seo, Sang Hwan Lee
Key Words : Lattice Boltzmann Method(격자 볼츠만법), Micro Mixer(미소 혼합기), Static Mixer(정 적 혼합기)
Abstract
We simulated the mixing characteristics in micro T-channel using Lattice Boltzmann Method. We studied the relation a mixing length and pressure-drop due to inlet and outlet ration in Reynolds number 0.5, Peclet number 500 and Schmidt 1000. The ratio of a down-inlet to up-inlet was 0.5~1.5 times, up-inlet to outlet was 1~3 times and outlet length was 250 times to up-inlet. The mixing length decrease linearly as outlet ratio decreased, and pressure-drip increase non-linearly. Initial stage of micro channel mixture was fast by down-inlet ratio, however, the mixing length is not influence.
기호설명 c : 격자 속도 s c : 음속 g f , : 입자 분포 및 농도 분포함수 eq g : 농도 평형 분포함수 α ω : 확률 분포의 가중치 값 D : 분자 확산계수 u : 속도 Re : Reynolds 수 Pe : Peclet 수 Sc : Schmidt 수 Sh : Sherwood 수 Ω : 충돌 연산자
1. 서 론
생체공학 및 생화학 분야에 있어 미소유체기 기는 매우 중요한 분야 중 하나이다. 이러한 미 소유체 기기를 검출기 등 다양한 분야에 적용하 기 위해 혼합효율을 증가시키는 것은 매우 중요 한 일이다. 혼합효율을 증가시키는 것은 결과의 신뢰성을 높이고, 전체 시스템의 성능을 향상시 키는데 큰 도움이 된다. 혼합은 크게 세가지로 나뉘는데 bulk 확산, 와 에 의한 확산, 그리고 분자 확산이 있다. 거시적 영역에서의 혼합은 난류 eddy 와 bulk 확산의 효과에 의해 급격하게 이루어 지고, 분자에 의 한 확산은 매우 작기 때문에 무시된다. 하지만 미소유체 기기 내에서는 그 크기의 제약으로 작 은 레이놀즈 수의 영역인 층류유동의 영역이 되 기 때문에 난류 확산은 발생하지 못한다. 따라 서 분자 확산이 가장 큰 혼합 인자가 된다. 이 런 분자 확산의 경우 매우 느리게 진행되기 때 문에 미소 기기 내에서의 짧은 거리 및 잔류시 간의 부족으로 인하여 충분한 혼합을 이루기 어 렵다.(1) 그렇기 때문에 여러 방법으로 혼합 길이 와 시간을 짧게 하려는 노력이 있어왔다. 미소 영역에 사용되는 혼합기의 종류로 능동형 혼합기(Static mixer)와 수동형 혼합기(static mixer) 가 있다. 능동형 혼합기란 외부 에너지원을 이 용하여 인위적으로 난류에 가까운 교란을 주는 방식을 말한다. 이는 간단한 형상과 장치로 혼 합효과를 혼합길이를 줄일 수 있는 장점이 있다. 하지만, 공정이 비교적 복잡하고 다른 소자들과 의 집적성이 떨어지며, 혼합을 위해 외부 에너†
회원, 한양대학교 기계공학부 E-mail : [email protected] TEL : (02)2220-4452 FAX : (02)2220-0445*
한양대학교 대학원 기계공학과 대한기계학회 2008년도 추계학술대회 논문집지원을 필요로 하는 단점이 있다. 한편 정적 혼 합기란 유동이 발생하기 위한 구동력을 제외하 고 외부 에너지원을 추가하지 않고, 유로의 형 상 변화를 통해 혼합을 유도하는 방식이다. 이 방식의 경우 장치 및 추가 에너지원이 필요하지 않기 때문에 기기내의 무게 및 부피를 줄일 수 있는 장점이 있지만, 혼합효과의 극대화를 위해 형상설계를 복잡하게 해야 한다는 단점이 있다. 본 연구에서는 미소 T 채널의 수동형 혼합기 에서 입구와 출구에 비율에 따른 혼합 길이 및 압력강하에 대한 혼합 특성을 알아보았다. 유 동분포를 해석하기 위하여 LBM 의 유동분포 해 석 방법 중 하나인 다중 완화시간 (MRT; Multiple relaxation time) 방법(5)을 이용하였고, 농 도 분포에 대해 해석하기 위하여 Passive scalar 방법을 사용하였다.
2. Numerical Method
2.1 Lattice Boltzmann Method / MRT model LBM 방법의 지배방정식은 다음과 같다.
(
t)
f( )
t( )
f fa rj +ea, +1 = a rj, +Ωa (1) 여기서 fa,ea,Ω는 각각 rj 위치에서의 입자 분포 함수, 이산화된 입자 방향, 충돌을 뜻한다. LBM 의 MRT 방법이란 LBM 의 지배 방정식인 식 (1) 에서 충돌항Ω
를 운동량에 대해 각각 다른 완화시간으로 제어하는 방법이다 D2Q9 의 경우 총 9 개의 방향에 대한 입자를 가지고 있고, 이 9 개의 방향에 대한 입자를 이 용하여(
)
T yy xx y y x x q j q p p j e Rr= ρ, ,ε, , , , , , 로 나타낸 다.(5) 이때 Rr은 rj의 입자분포함수 f( )
rj 와 관 련해 다음과 같이 나타낼 수 있다. F M f f f f f f f f f p p q j q j e R xy xx y y x x r r r = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 0 2 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 2 0 2 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ε ρ (2) 이때 Mr은 Fr를 Rr로 바꿔주는 변환행렬이다. 여기서 Rr의 항은 각각 ρ 는 밀도, e 는 에너지,ε 는 related to the square of the energy, j 와x j 는 y
각각 x, y 방향 질량유동, q 와x q 는 x, y 방향 y
에너지유동, 그리고 pxx와 pxy는 각각 diagonal,
off-diagonal stress tensor 를 뜻한다. (5)
그리고 Rr의 충돌 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. ( )
(
eq)
e e s e e = − 2 − ~ (3) ( )(
eq)
s ε ε ε ε~= − 3 − (4) ( )(
eq)
x x x x q s q q q = − 5 − ~ (5) ( )(
eq)
y y y y q s q q q~ = − 7 − (6) ( )(
eq)
xx xx xx xx p s p p p = − 8 − ~ (7) ( )(
eq)
xy xy xy xy p s p p p = − 9 − ~ (8) 여기서 ~는 충돌 후의 항을 나타낸다. 그리고 각각의 평형분포함수를 나타내면 다음과 같다. ( )(
2 2)
3 2 x y eq j j e =− ρ+ + (9) ( )(
2 2)
3 x y eq j j + − =ρ ε (10) ( ) x eq x j q =− (11) ( ) y eq y j q =− (12) ( )(
2 2)
3 1 y x eq xx j j p = − (13) ( )(
)
y x eq xy j j p 3 1 = (14) 이렇게 충돌이 계산되고 다시 행렬 Mr 에 의 해 입자 속도 분포인 Fr로 바꾸게 된다. 각각의 운동량을 완화시키는 완화시간은 0 과 2 사이의 숫자로 해야 하며, s 과8 s 는9 같은 수를 가져 야만 한다 그리고 MRT 모델에서 속도와 밀도 는 다음과 같이 구할 수 있다. (5)∑
= a a f ρ (17)∑
= a a af e u ρ (18) 그리고 동점성 계수 및 압력은 다음과 같이 구할 수 있다.(
)
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 1 1 12 2 8 1 s c v (19)(
3)
2 c c c P=ρ s S = (20) 이때 cS 는 음속(Sound speed)으로 격자속도( )
c 의 식으로 표현된다. 여기서 c=δx δt 이고 x δ 와δ 는 격자 공간에 대한 상수와 격자의 단t위시간을 나타낸다. 2.2 Passive Scalar
Lattice Boltzmann Method 를 이용하여 비 용해 성 물질의 농도 분포에 대한 확산 방정식을 해 석 할 수 있다. 이는 이전에 계산된 유동분포를 사용하여 LBM 의 Passive Scalar 형태로 나타내 어 해석하는 방식이다. 이에 관한 식은 다음과 같다.
(
r c t)
g( )
r t[
g( )
r t g( )
r t]
g aeq a D a a a , , 1 , 1 , + = + − + τ (21) 이 식에서 각각 g 는a 입자농도분포함수, τD 는 농도 분포 방정식에 대한 완화계수, eq a g 는 농도 분포 방정식에 대한 평형 분포 함수를 나 타내며 이는 다음 식과 같다. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + = 2 3 1 c u e C w g a a eq a (22) 이때 w 는a weighting factor 로 각각 다음의 값 을 가진다. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = = = 8 5 , 36 1 4 1 , 9 1 0 , 9 4 a a a wa (23) 표준농도 C 는 식 (24) 와 같이 입자 농도로 표시되며, 분자확산계수인 D는 농도 분포 방정 식에 대한 완화계수 τ 를D 이용하여 나타낸다. (6)∑
= = 8 0 a a C g (24) 6 1 2 − = D D τ (25)3. 결 과
연구에 사용된 LBM-MRT 방법의 정확도를 검증하기 위해 Cavity flow 를 해석해 보았다. 그 H 0 , 1 , 1 = = = u v CH 0 , 0 = = = u v CL 0 , 0 = = = ∂ ∂ v u x C L y x 0 , 0 = = = ∂ ∂ v u x C H 0 , 1 , 1 = = = u v CH 0 , 0 = = = u v CL 0 , 0 = = = ∂ ∂ v u x C L y x 0 , 0 = = = ∂ ∂ v u x CFig. 1 Geometry of cavity flow
리고 T 채널에서 입구와 출구의 비율에 따른 혼합길이 및 압력 강하에 대해 알아보았다. 연 산은 nVIDIA 에서 개발한 CUDA (Compute Unified Device Architecture) 기술을 통해 GPU(Graphical Processing Unit)를 이용하여 수행 하였다. 연산에 사용된 GPU 는 GeForce 8800GT 이다.
3.1 Cavity flow
Cavity flow 는 2 차원 상판 끌림 공동유동을 뜻하며 Ghia 등(10)이 Re=100 부터 Re=10,000 까
지 연구하였으며 해석방법의 정확도를 검증하기 위해 오랫동안 쓰여왔다. Fig.1 은 Cavity 의 형 상 및 경계 조건이며, Fig.2 (a),(b)는 Re=100 일 때 Ghia 등(10)의 결과와 비교한 것이다.
Fig.2 의 (a) (b)를 보면 해석영역에서의 중심부 u, v 속도 가 잘 일치하는 것을 볼 수 있다. Fig.3 은 Re=50 일 때 Antonini(11) 의 실험치를 이용한 준 이론적 수식과 한 것이며 보는 것과 같이 매우 잘 일치하고 있음을 볼 수 있다. 이 때 비교된 값은 Sherwood(11) 수로 다음과 같이 정의한다. orH y L dx y C L Sh 0 0 1 =
∫
∂ ∂ = (26)(a) u-velocity profile
(b) v-velocity profile
Fig. 2 Comparison of u and v velocity profile along
vertical and horizontal line through geometric center for Re=100
X v/ Vma x -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Present Ghia et al u/Umax Y -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Present Ghia et al
Pe Sh 200 400 600 800 1000 1 2 3 4 5 6 Present Antonini
Fig. 3 Comparison of Sherwood number for cavity,
Re=50
3.2 T-shape micro channel
T-채널의 형상은 Fig.4 와 같다. 먼저 출구 너 비 L 과 위쪽 입구 너비 A 를 고정하고, 아래쪽 입구너비를 변화하며 해석했다. 이때 아래쪽 입 구의 유량은 너비 변화와 관계없이 위쪽 입구의 유량과 같게 두었다. 그리고 아래쪽과 위쪽 입 구의 너비를 고정하고 출구 너비를 변화하며 해 석해 보았다. 다음 Table 1 은 본 연구에서 사용 된 T 채널의 너비에 대한 비율에 대해 정리한 것이다. 농도에 대한 경계조건은 위쪽입구(A)에서 0.5 아래쪽 입구 (B)에서 -0.5 로 일정 농도 유입조 건을 사용하였고, 채널벽면 및 출구는 Neumann 조건을 사용하였다. 그리고 Reynolds 수
(
Re=ULν)
와 Peclet 수(
Pe=UL d)
는 각각 0.5 와 500 의 값으로 연산을 수행하였으며 두 수의 비로 표현 되는 Schmidt 수는 식 (27)과 같이 표 현된다.[
]
[
]
[
2[
]
1]
1 2 6 1 2 6 1 2 Re − − = − − = = = D D d Pe Sc τ τ τ τ ν (27) 연산에 사용된 Schmidt 수는 1000 이다. 이때 L은 출구의 너비 이고 U는 출구에서의 평균 A=0.1㎜ B L 25 ㎜ 1㎜Fig. 4 Schematic of the T-Shape micro channel
geometry
Table 1 Test channel width ratio
A B L 1 0.5~1.5 2 1 1 1~3 유속을 기준으로 하였다. 총 격자의 수는 약 100 만개 정도를 사용하였다. 3.2.1 Mixing index 본 연구에서 유체의 혼합 정도를 정량화 하기 위해 혼합지수(Mixing index, DI )를 사용했다. 이는 각 단면에 대한 농도 값들을 표준편차로 나타내는 것으로 다음과 같은 식을 사용한다. (7-9)
∑
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = N i up down mean i I C C C C N D 2 1 1 (28) 이 혼합지수는 채널 길이 방향의 각 위치에 대한 값을 나타내며, Cmean 은 입구유동의 평균 농도, Cup와Cdown는 각각 위쪽 입구와 아래쪽 입구에서 유입되는 농도이고, Ci는 채널 폭 방 향의 각 지점에 대한 농도 값들을 나타낸다. 3.2.2 입구 너비의 변화Fig.5 (a),(b),(c)는 각각 위쪽 입구(A) 너비 에 대한 아래쪽 입구(B)의 비율이 각각 0.5, 1, 1.5 일 때 모습이다. 아래쪽 입구의 비율이 바뀌어 도 위쪽 입구와 같은 유량을 유지하기 때문에 입구가 좁아지면 유속이 빠르게 된다. 비율이 0.5 일 때를 보면 1 일 때 보다 아래쪽 입구에서 유입되는 속도가 더 빠르기 때문에 아래쪽 농도 가 위쪽으로 조금 더 올라와 있음을 볼 수 있다. 또한 비율이 1.5 일 때를 보면 위쪽 농도가 아래 쪽으로 조금 내려와 있음을 볼 수 있다 Fig.6 은 각각의 아래쪽 입구의 비율에 따른 압력강하 및 혼합 길이를 나타낸 것이다. 그래 프를 보면 아래쪽 입구 비율이 늘어날수록 혼합 길이가 선형적으로 더 짧아짐을 볼 수 있으며, 압력강하는 비 선형적으로 줄어드는 것을 알 수 있다. 이는 아래쪽 입구가 넓어져서 속도가 줄
(a) Down-inlet ratio 0.5
(b) Down-inlet ratio 1
(c) Down-inlet ratio 1.5
Fig. 5 Concentration distribution for various
(a) Mixing index
(b) Pressure drop
Fig. 6 Mixing index and pressure drop through the
channel for various down-inlet case
어들고 위쪽 입구에서 내려온 유체와 마주치는 면이 넓어지며, 체류하는 시간이 늘어나 전체적 인 혼합길이가 줄어들게 된다. 이러한 입구의 너비 변화에 대해 혼합길이의 줄 어드는 정도는 최대 0.2 ㎜이고, 압력강하 또한 매우 적게 줄어드는 것을 볼 수 있다. 이는 입 구 너비의 변화를 주는 것은 혼합길이를 줄이는 데 별 도움이 되지 않음을 보여준다. 하지만 초 기 혼합 정도를 나타낸 Fig.7 을 살펴보면 입구 의 비율이 줄어들수록 초기에 혼합이 빨라진 다 는 것을 볼 수 있다. 이를 이용해 초기에 구조 물을 설치한다면 좀 더 나은 혼합효과를 기대 할 수 있음을 보여준다. Channel Length( ) M ix ing In de x DI 100 200 300 400 500 0.8 0.85 0.9 0.95 1 Down-inlet ratio 0.5 Down-inlet ratio 1.0 Down-inlet ratio 1.5 ㎛
Fig. 7 Initial mixing index for various down-inlet
cases
(a) Outlet ratio 1
(b) Outlet ratio 2
(c) Outlet ratio 3
Fig. 8 Concentration distribution for various outlet
cases 3.2.3 출구 너비의 변화 Fig.8 은 각각 위쪽 입구(A) 너비 에 대한 출 구 너비(L)의 비율이 각각 1,2,3 일 때의 모습이다. 각각의 비율에서 아래쪽 입구와 위쪽 입구 의 유량은 같게 유지된다. 비율이 1 일 때 가장 빠 르게 혼합되는 것을 볼 수 있다. Fig.9 는 각각 혼합길이와 압력강하에 대해 나 타낸 그래프이다. 혼합길이의 그래프에서 보면 비율이 줄어들수록 혼합길이가 선형적으로 줄어
(a) Mixing index
(b) Pressure drop
Fig. 9 Mixing index and pressure drop through the
channel for various outlet cases
A:B:L Channel width ratio(1:1:x)
M ix ing Le ng th( m m ) 1 2 3 3 6 9 12 15 18 21 24
A:B:L Channel width ratio (1:1:x)
P re ssu re D rop 1 2 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
A:B:L Channel width ratio(1:x:2)
Pr e ss u re D ro p 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 0.04 0.06 0.08 0.1 A & L B & L
A:B:L Channel width ratio(1:x:2)
M ix ing Le ng th (m m ) 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 15 15.5 16
드는 것을 볼 수 있다. 비율이 3 배일 때 보다 1 배 일 때가 약 20 ㎜ 줄어드는 반면에, 압력강하 는 비율이 줄어들수록 급격히 증가하는 것을 볼 수 있다. 이는, 충분한 출력의 마이크로 펌프가 있다면 출구의 비율이 입구의 비율과 비슷해 질 수록 좋다는 것을 알 수 있다.
4. 결 론
본 연구에서는 Lattice Boltzmann Method 의 Passive scalar model 을 이용하여 미소 T 채널의 입구 및 출구의 비율의 변화에 따른 혼합길이의 변화 및 압력강하에 대하여 알아보았다. 이러한 차이를 살펴보기 위해 Reynolds 수 0.5, Peclet 수 500, Schmidt 수 가 1000 일 때 모사를 해 보았 다. 이때 위쪽 입구에 대한 아래쪽 입구 및 출 구의 비율은 각각 0.5~1.5 배 및 1~3 배로 하고 출구의 길이는 250 배로 고정하였다. 출구의 너비를 고정하고, 입구의 비율을 높아 지게 할수록 혼합 길이가 줄어드는 것을 볼 수 있었다. 하지만 그 차이는 크지 않고, 압력강하 역시 크게 줄어들지 않는다. 하지만 입구의 비 율이 줄어들수록 초기 혼합속도가 빠른 것을 이 용하여 초기에 구조물을 설치한다면 혼합길이를 줄일 수 있을 것이다. 아래 위 입구의 너비를 같게 하고 출구의 비 율을 변화시켰을 때, 비율이 낮아질수록 혼합길 이가 선형적으로 줄어드는 것을 볼 수 있었다. 하지만 압력강하 또한 비 선형적으로 크게 늘어 나는 것을 볼 수 있었다. 미소 채널을 설계할 때 아래 위 입구의 비율 을 변화시키는 것 보다 출구의 비율을 변화시키 는 것이 혼합길이를 변화시키는데 큰 영향을 주 는 것을 알 수 있었다. 또한 충분한 미소펌프가 있다면 채널 출구의 비율을 입구의 비율과 비슷 하게 할수록 유리하다는 것을 알 수 있었다.
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