Math., Physics, and Computer Graphics

(1)

(2)

(3)

두려움, 공포 (恐怖, fear)

제어할 수 없는 대상이 나에게 영향을 주거나 또는, 영향을 줄 가능성이 있을 때 느끼는 감정

(4)

물리

(

物理, Physics)

수학

(

數學, Mathematics)

두려움, 공포 (恐怖, fear)

제어할 수 없는 대상이 나에게 영향을 주거나 또는, 영향을 줄 가능성이 있을 때 느끼는 감정

(5)

물리

(

物理, Physics)

수학

(

數學, Mathematics)

해결 방법 (solution)

공포의 대상을 제어 가능하도록 만들거나, 나에게 영향력을 가하지 못하도록 만든다.

(6)

우리는 왜

수학과 물리를 배웠는가?

Dexter RND Wanho Choi

(7)

지구인으로서의 기본 소양

(8)

(9)

그리고, CG인으로서의 기본 소양 scripted animation physically based animation procedural animation data driven animation shading rendering

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

• _물리학 (物理學, Physics)

– _{자연 현상}_의_원리_{를 연구하는}_과학_{의 한 분야}

– _{자연 현상}_{을 대상으로 하여}_물리량_들의_관계_{를 연구하는 학문}

(17)

• _물리학 (物理學, Physics) – _{자연 현상}_의_원리_{를 연구하는}_과학_{의 한 분야} – _{자연 현상}_{을 대상으로 하여}_물리량_들의_관계_{를 연구하는 학문} • _수학 (數學, Mathematics) – _물리량_들의_관계_를_정량적_으로_해석_{하기 위한 도구} 물리학 & 수학

(18)

• _물리학 (物理學, Physics) – _{자연 현상}_의_원리_{를 연구하는}_과학_{의 한 분야} – _{자연 현상}_{을 대상으로 하여}_물리량_들의_관계_{를 연구하는 학문} • _수학 (數學, Mathematics) – _물리량_들의_관계_를_정량적_으로_해석_{하기 위한 도구} 물리학 & 수학

(19)

• _물리학 (物理學, Physics) – _{자연 현상}_의_원리_{를 연구하는}_과학_{의 한 분야} – _{자연 현상}_{을 대상으로 하여}_물리량_들의_관계_{를 연구하는 학문} • _수학 (數學, Mathematics) – _물리량_들의_관계_를_정량적_으로_해석_{하기 위한 도구} ✓ _물리량 (物理量, physical quantity) – 정량적으로 측정 가능한 물리적 속성 물리학 & 수학

(20)

(21)

(22)

• _정성적 (定性的, qualitative) – _성분_이나_성질_{을 밝히는 것} – _자연어_{로 기술} • _정량적 (定量的, quantitative) – _양_{을 헤아려 정하는 것} – 수치화로 기술 정성적 vs 정량적

(23)

(24)

(25)

측정 (Measurement)

(26)

(27)

물리량 (Physical Quantity)

(28)

물리량 (Physical Quantity) 시간 (time) 길이 (length) 각도 (angle) 면적 (area) 부피 (volume) 질량 (mass) 온도 (temperature) 밀도 (density) 스칼라 (scalar) 벡터 (vector)

(29)

물리량 (Physical Quantity) 시간 (time) 길이 (length) 각도 (angle) 면적 (area) 부피 (volume) 질량 (mass) 온도 (temperature) 밀도 (density) 변위 (displacement) 속도 (velocity) 가속도 (acceleration) 힘 (force) 운동량 (momentum) 위치 (position) 법선 (normal) 접선 (tangent) 스칼라 (scalar) 벡터 (vector)

(30)

물리량 (Physical Quantity) 시간 (time) 길이 (length) 각도 (angle) 면적 (area) 부피 (volume) 질량 (mass) 온도 (temperature) 밀도 (density) 변위 (displacement) 속도 (velocity) 가속도 (acceleration) 힘 (force) 운동량 (momentum) 위치 (position) 법선 (normal) 접선 (tangent) 스칼라 (scalar) 벡터 (vector) 하나의 숫자로 표기가 가능한 물리량

(31)

물리량 (Physical Quantity) 시간 (time) 길이 (length) 각도 (angle) 면적 (area) 부피 (volume) 질량 (mass) 온도 (temperature) 밀도 (density) 변위 (displacement) 속도 (velocity) 가속도 (acceleration) 힘 (force) 운동량 (momentum) 위치 (position) 법선 (normal) 접선 (tangent) 스칼라 (scalar) 벡터 (vector) 하나의 숫자로 표기가 가능한 물리량 N(=차원)개의 숫자로 표기가 가능한 물리량

(32)

물리량 (Physical Quantity) 시간 (time) 길이 (length) 각도 (angle) 면적 (area) 부피 (volume) 질량 (mass) 온도 (temperature) 밀도 (density) 변위 (displacement) 속도 (velocity) 가속도 (acceleration) 힘 (force) 운동량 (momentum) 위치 (position) 법선 (normal) 접선 (tangent) 스칼라 (scalar) 벡터 (vector) 하나의 숫자로 표기가 가능한 물리량 “크기”를 가짐 N(=차원)개의 숫자로 표기가 가능한 물리량

(33)

물리량 (Physical Quantity) 시간 (time) 길이 (length) 각도 (angle) 면적 (area) 부피 (volume) 질량 (mass) 온도 (temperature) 밀도 (density) 변위 (displacement) 속도 (velocity) 가속도 (acceleration) 힘 (force) 운동량 (momentum) 위치 (position) 법선 (normal) 접선 (tangent) 스칼라 (scalar) 벡터 (vector) 하나의 숫자로 표기가 가능한 물리량 “크기”를 가짐 N(=차원)개의 숫자로 표기가 가능한 물리량 “크기”와 “방향”을 가짐

(34)

(35)

(36)

• _어떤_물리량_{은 저절로}_발생_하거나_소멸_되지_않는다. (시간이 변해도 일정하게 유지)

(37)

• _어떤_물리량_{은 저절로}_발생_하거나_소멸_되지_않는다. (시간이 변해도 일정하게 유지) 보존 법칙 (Conservation Law) system input input = output output

(38)

• _어떤_물리량_{은 저절로}_발생_하거나_소멸_되지_않는다. (시간이 변해도 일정하게 유지) • _{어떤 물리량은}_{다른 물리량으로 변화}_{하기도 한다.} 보존 법칙 (Conservation Law) system input output loss

(39)

(40)

만약 물리량이 보존되지 않는다면?

보존되어야 할 물리량이 보존되지 않으면

(41)

보존되어야 할 물리량(volume)이 보존되지 않으면

(42)

보존되어야 할 물리량(light energy)이 보존되지 않으면

(43)

보존되어야 할 물리량(momentum)이 보존되지 않으면

(44)

보존되어야 할 물리량(???)이 보존되지 않으면

(45)

거인의 어깨에 올라서서 더 넓은 세상을 바라보라!

If I have seen further it is by standing on the shoulders of Giants.

(46)

(47)

(48)

(49)

물리학(Physics)의 분류 광학 optics 물리학 physics 고전 역학 classical mechanics 양자 역학 quantum mechanics 역학 mechanics 전자기학 electromagnetism

(50)

물리학(Physics)의 분류 역학 mechanics 전자기학 electromagnetism 광학 optics 물리학 physics 고전 역학 classical mechanics 양자 역학 quantum mechanics

(51)

물리학(Physics)의 분류 역학 mechanics 전자기학 electromagnetism 광학 optics 물리학 physics 고전 역학 classical mechanics 양자 역학 quantum mechanics

(52)

(53)

• _{뉴턴 역학} (Newtonian mechanics)

(54)

(55)

고전 역학 (Classical Mechanics)

(56)

– _{힘 (force)}: 운동의 원인

(57)

– _{힘 (force)}: 운동의 원인

– _{물체에 작용하는}_힘_과_운동_{의 관계를 설명}

(58)

(59)

• _힘 (force)

– _{물체에 작용하여 물체의 모양이나}_운동 _상태를_변화_시키는_원인

(60)

• _힘 (force)

– _{물체에 작용하여 물체의 모양이나}_운동 _상태를_변화_시키는_원인

• _운동 (motion)

– _{시간에 따라 변하는}_물체_의_위치

(61)

(62)

힘과 운동

(63)

힘과 운동

한 남자가 힘을 쓰고 있다. 왜?

(64)

힘과 운동

한 남자가 힘을 쓰고 있다. 왜?

(65)

힘과 운동

힘이 물체의 운동을 만들어내며,

(66)

힘과 운동

힘이 물체의 운동을 만들어내며,

(67)

(68)

모든 물체의 운동은 다음 세 가지 법칙을 따른다.

• _{관성의 법칙 (v}1=v2)

• _{가속도의 법칙 (F=ma)}

• _{작용, 반작용의 법칙 (F=-F)}

(69)

• _{관성의 법칙 (v}1=v2)

(70)

• _{관성의 법칙 (v}1=v2)

(71)

• _{관성의 법칙 (v}1=v2)

(72)

• _{관성의 법칙 (v}1=v2)

• _{가속도의 법칙 (F=ma)}

(73)

• _{관성의 법칙 (v}1=v2)

• _{가속도의 법칙 (F=ma)}

(74)

• _{관성의 법칙 (v}1=v2)

• _{가속도의 법칙 (F=ma)}

(75)

• _{관성의 법칙 (v}1=v2)

• _{작용, 반작용의 법칙 (F=-F)}

(76)

• _{관성의 법칙 (v}1=v2)

• _{작용, 반작용의 법칙 (F=-F)}

(77)

• _{관성의 법칙 (v}1=v2)

• _{작용, 반작용의 법칙 (F=-F)}

(78)

(79)

알짜힘 (Net Forces)

(80)

(81)

• _{물체에 작용하는 모든}_힘_의_합력

(82)

• _{물체에 작용하는 모든}_힘_의_합력

(83)

(84)

(85)

• _삼(tri) + 각형(gon) + 측정법(metry)

(86)

• _삼(tri) + 각형(gon) + 측정법(metry)

• _삼각형(triangle)에 대해서 연구하는 수학의 한 분야

(87)

(88)

• _삼각형(triangle): 2D 다각형을 구성하는 기본 도형

(89)

(90)

피타고라스의 정리 (Pythagorean Theorem)

l = x2 + y2

x

y

(91)

피타고라스의 정리 (Pythagorean Theorem) l = x2 + y2 증명 (proof) (x + y)2 = l2 + 4 xy 2 x2 + 2xy + y2 = l2 + 2xy l2 = x2 + y2 ∴l = x2 + y2 x y l

(92)

(93)

• _{정의 (definition)} 삼각함수 (Trigonometric Function) θ (cosθ,sinθ) 1 cosθ sinθ x y

(94)

1

cosθ

sinθ

θ

(95)

1

cosθ

sinθ

θ

(96)

삼각함수 (Trigonometric Function) • _{그래프 (graph)} θ (cosθ,sinθ) 1 cosθ sinθ x y

(97)

• _{기하학적 의미 (meaning)} 삼각함수 (Trigonometric Function) l_x = 1× sinθ l_y = 1× cosθ cos 2θ + sin2θ = 1 θ (cosθ,sinθ) 1 cosθ sinθ x y

(98)

• _{응용 (application)}

(99)

• _{회전 (rotation)}

삼각함수 (Trigonometric Function)

θ

(x, y) (x ,′ y )′

(100)

• _{회전 (rotation)}

삼각함수 (Trigonometric Function)

(x, y) (x ,′ y )′

(101)

• _{회전 (rotation)} 삼각함수 (Trigonometric Function) (x, y) (x ,′ y )′ θ x y θ

(102)

• _{회전 (rotation)} 삼각함수 (Trigonometric Function) (x, y) (x ,′ y )′ θ θ x sinθ x cosθ x y

(103)

• _{회전 (rotation)} 삼각함수 (Trigonometric Function) (x, y) (x ,′ y )′ θ θ x sinθ x cosθ y cosθ ysinθ x y

(104)

• _{회전 (rotation)} 삼각함수 (Trigonometric Function) (x, y) (x ,′ y )′ θ θ x sinθ x cosθ y cosθ

ysinθ x′ = x cosθ − ysinθ

′

y = xsinθ + ycosθ

x y

(105)

• _{회전 (rotation)} 삼각함수 (Trigonometric Function) (x, y) (x ,′ y )′ θ θ x sinθ x cosθ y cosθ

ysinθ x′ = x cosθ − ysinθ

′ y = xsinθ + ycosθ ′ x ′ y ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = cos θ −sinθ sinθ cosθ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎡ x_y ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ x y

(106)

• Lambert’s cosine law (1760)

(107)

(108)

(109)

• _화살표(arrow)로 표시

(110)

• _화살표(arrow)로 표시 • _크기(magnitude), 방향(direction) – _{위치를 나타낼 때에만 시작점을 가짐 (위치 벡터)} 벡터 (Vector) magn itude direction

(111)

• _화살표(arrow)로 표시 • _크기(magnitude), 방향(direction) – _{위치를 나타낼 때에만 시작점을 가짐 (위치 벡터)} • N(=차원)개의 숫자로 표기 벡터 (Vector) magn itude direction (x, y, z)

(112)

(113)

벡터의 크기 (Magnitude)

(114)

벡터의 크기 (Magnitude)

x

y

x2 + y2

(115)

벡터의 크기 (Magnitude) x y x2 + y2 (x, y) (x, y, z)

(116)

벡터의 크기 (Magnitude) x y x2 + y2 (x, y) (x, y, z) x y z m l l = m2 + y2 = x2 + y2 + z2

(117)

• _{길이(magnitude) = 1} • _{단위 벡터 (unit vector)} • _{정규화 (normalization)} 벡터의 방향 (Direction) ˆa = a a

(118)

벡터의 합(Addition) / 차 (Subtraction)

A

(119)

A

B

(120)

A

B

(121)

A B

A + B −B

(122)

벡터의 합(Addition) / 차 (Subtraction) A B A + B −B A − B B

(123)

벡터의 합(Addition) / 차 (Subtraction) • _{각 성분별(component-wise) 연산} A B A + B −B A − B B

(124)

(125)

내적 (Inner/Dot/Scalar Product)

• _{정의 (definition)}

A = (a_x,a_y,a_z)

B = (b_x,b_y,b_z)

(126)

내적 (Inner/Dot/Scalar Product) • _{기하학적 의미 (meaning)} A = (a_x,a_y,a_z) B = (b_x,b_y,b_z) A⋅B ≡ a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = abcosθ θ a b

(127)

내적 (Inner/Dot/Scalar Product) • _{기하학적 의미 (meaning)} A = (a_x,a_y,a_z) B = (b_x,b_y,b_z) A⋅B ≡ a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = abcosθ θ a b ab cosθ = ab a 2 + b2 − (b − a)2 2ab = 1 2 a 2 + b2 − (b − a)2 { } = 1 2 ⋅ (ax 2 + a y 2 + a z 2 )+ (b_x2 + b_y2 + b_z2)− (a{ _x − b_x)2 + (a_y − b_y)2 + (a_z − b_z)2} ⎡⎣ ⎤⎦ = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z 증명 (proof)

(128)

내적의 활용 1 - 투영 A = (a_x,a_y,a_z) B = (b_x,b_y,b_z) A⋅B ≡ a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = abcosθ θ a b A_proj A_proj = acosθ ⋅ B b = a b A⋅B ab ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ B = A⋅B b2 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ B = axbx + ayby + azbz b_xb_x + b_yb_y + b_zb_z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ B

(129)

내적의 활용 2 - 사이각 A = (a_x,a_y,a_z) B = (b_x,b_y,b_z) A⋅B ≡ a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = abcosθ θ a b θ = cos−1 A⋅B ab ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟

(130)

내적의 활용 3 - 예각/직각/둔각 테스트

θ < 90! θ = 90! θ > 90!

A⋅B > 0 A⋅B = 0 A ⋅B < 0

A⋅B ≡ a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

(131)

내적의 활용 4 - 내부/외부 테스트 N O A C B ON⋅OA > 0 ON⋅OB = 0 ON⋅OC < 0

(132)

내적의 활용 5 - 반사 벡터 R = 2(N ⋅L)N − L N L R −L θ θ N⋅L N⋅L

(133)

내적의 활용 6 - 퐁 조명 모델 I = k_dI_d (N ⋅L) + k_sI_s(R ⋅V)α N L R V

(134)

(135)

(136)

속력(Speed) / 속도(Velocity)

자동차를 시속 100 km/h로 운전해서 한 시간 뒤에 만나자!

(137)

• _속력 (speed)

– “물체가 얼마나 빨리 움직이는가”를 나타내는 물리량

(138)

• _속력 (speed)

– “물체가 얼마나 빨리 움직이는가”를 나타내는 물리량

• _속도 (velocity)

– “물체가 어느 방향으로 얼마나 빨리 움직이는가”를 나타내는 물리량

(139)

• _속력 (speed) – “물체가 얼마나 빨리 움직이는가”를 나타내는 물리량 • _속도 (velocity) – “물체가 어느 방향으로 얼마나 빨리 움직이는가”를 나타내는 물리량 속력(Speed) / 속도(Velocity) spee d velocity

(140)

(141)

• _{주행중인 자동차의 속도를 바꾸는 3가지 방법은?}

(142)

• _{주행중인 자동차의 속도를 바꾸는 3가지 방법은?} – 악셀레이터 페달을 밟는다. (가속)

(143)

• _{주행중인 자동차의 속도를 바꾸는 3가지 방법은?} – 악셀레이터 페달을 밟는다. (가속)

– _{브레이크 페달을 밟는다. (감속)}

(144)

• _{주행중인 자동차의 속도를 바꾸는 3가지 방법은?} – 악셀레이터 페달을 밟는다. (가속)

– _{브레이크 페달을 밟는다. (감속)} – 조향 핸들을 돌린다. (방향 전환)

(145)

(146)

• 130 km/h의 속력으로 주행중인 자동차에 타고 있다.

1시간 뒤에는 현재 위치로부터 얼마나 멀어져 있을까? (단, 직선경로, 정속주행 가정)

(147)

– 130 km

(148)

– 130 km = 0km + 1h x 130 km/h

(149)

• 130 km/h의 속력으로 주행중인 자동차에 타고 있다. 1시간 뒤에는 현재 위치로부터 얼마나 멀어져 있을까? (단, 직선경로, 정속주행 가정) – 130 km = 0km + 1h x 130 km/h Quiz #2 현재 위치가 주어지면 속도(시간에 대한 위치의 변화율)로부터 일정 시간 후의 위치를 추정해낼 수 있다.

(150)

• 130 km/h의 속력으로 주행중인 자동차에 타고 있다. 1시간 뒤에는 현재 위치로부터 얼마나 멀어져 있을까? (단, 직선경로, 정속주행 가정) – 130 km = 0km + 1h x 130 km/h Quiz #2 p₁ = p₀ + Δt ⋅v 적분 (integration)

(151)

• 130 km/h의 속력으로 주행중인 자동차에 타고 있다. 1시간 뒤에는 현재 위치로부터 얼마나 멀어져 있을까? (단, 직선경로, 정속주행 가정) – 130 km = 0km + 1h x 130 km/h Quiz #2 p₁ = p₀ + Δt ⋅v ⇐ v = Δp Δt = p₁ − p₀ t₁ − t₀ 미분 (differentiation) 적분 (integration)

(152)

(153)

(154)

단일 입자 운동 (A Particle Motion)

p₀

m

(155)

단일 입자 운동 (A Particle Motion) p₀ m v = v₀ p₁ = p₀ + Δt ⋅v 속도와 위치의 관계 (적분) 뉴턴 운동의 제 1법칙

(156)

• _{만약 외력(external force)이 존재한다면…} 단일 입자 운동 (A Particle Motion) p₀ m v = v₀ p₁ = p₀ + Δt ⋅v

(157)

• _{만약 외력(external force)이 존재한다면…} 단일 입자 운동 (A Particle Motion) p₀ m a = F / m v = v₀ p₁ = p₀ + Δt ⋅v 뉴턴 운동의 제 2법칙

(158)

• _{만약 외력(external force)이 존재한다면…} 단일 입자 운동 (A Particle Motion) p₀ m a = F / m ′ v = Δt ⋅a v = v₀ p₁ = p₀ + Δt ⋅v 스칼라와 벡터의 곱 가속도와 속도의 관계 (적분)

(159)

• _{만약 외력(external force)이 존재한다면…} 단일 입자 운동 (A Particle Motion) p₀ a = F / m m v = v₀ v = v₀ + Δt ⋅a p₁ = p₀ + Δt ⋅v 두 벡터의 합 ′ v = Δt ⋅a

(160)

• _{만약 외력(external force)이 존재한다면…} 단일 입자 운동 (A Particle Motion) p₁ = p₀ + Δt ⋅v p₀ a = F / m m v = v₀ v = v₀ + Δt ⋅a p₁ = p₀ + Δt ⋅v 속도와 위치의 관계 (적분) ′ v = Δt ⋅a

(161)

단일 입자 운동 (A Particle Motion) 외력 (force) 가속도 (acceleration) 속도 (velocity) 위치 (position) Visualization Rendering

(162)

(163)

particle effects

(164)

particle effects hair/fur

(165)

particle effects hair/fur cloth

(166)

particle effects hair/fur cloth fluid

(167)

(168)

(169)

(170)

• _지구_{가 물체를 지구 중심 방향으로}_{끌어당기는 힘}

(171)

• _{힘을 측정하기 어렵기 때문에 대신}_가속도_{를 측정}

(172)

• _{중력 가속도} (gravitational acceleration): 9.81 m/sec^2

(173)

• _{중력 가속도} (gravitational acceleration): 9.81 m/sec^2

(174)

(175)

• _{중력에 의해 지구 중심으로}_낙하_하는_{등가속도 운동}

(176)

• _{중력에 의해 지구 중심으로}_낙하_하는_{등가속도 운동}

(177)

• _{중력 가속도 실험}

(178)

(179)

자유 낙하 운동 (Free Fall Motion)

(180)

(181)

(182)

• _발사체(초기 속도를 가지고 던져진 물체)의 운동

(183)

• _발사체(초기 속도를 가지고 던져진 물체)의 운동

• _{탄도체 운동}(ballistic motion)이라고 부르기도 한다.

(184)

(185)

• _수평 _방향:_등속도 _운동

• _수직 _방향:_등가속도 _{운동 (자유 낙하 운동)}

(186)

(187)

포물선 운동 (Projectile motion)

(188)

(189)

(190)

강체 (Rigid Body)

(191)

• _{변형 없이}_{초기 형태}_를_유지_하는_이상적_인_물체

(192)

• _{모든 물체}_는_변형체(deformable body)이다.

(193)

(194)

• _하지만,_강체(rigid body)로 가정하면 편리한 경우가 많다.

(195)

(196)

강체의 운동 (Rigid Body Dynamics)

(197)

• _강체_의_운동_은

(198)

• _강체_의_운동_은

한 점을 기준으로 한 이동(translation)과

(199)

(200)

• _하지만_강체_의_운동_{은 보통의 경우}